Escher és térszemléletünk

Bara Éva
matematika, térgeometria, Escher, formák
szóelválasztás

Bevezető

Ez az összeállítás Maurits Cornelis Escher, holland grafikus térszemléletünkre támaszkodó műveinek körébe nyújt betekintést.

A grafika és a geometria iránt vonzódva, Escher rendhagyó alkotásai már akkor felkeltették az érdeklődésemet, amikor azokkal első ízben találkoztam számítógépes grafika speciálkollégiumon. Elmélyülve a témában nyilvánvalóvá vált, hogy képeinek közel annyi közük van a matematikához, mint a művészethez. Azonban Escher munkásságáról és életéről csupán szűkös magyar nyelvű irodalom áll jelen pillanatban az érdeklődő rendelkezésére, ezért örömömre szolgált a gazdag, angol nyelvű forrásokból meríteni, s abból az engem leginkább megragadó területet az idelátogató olvasóval is megosztani.

Az összeállítás három fő részre tagolódik.

Az első rész Escher életét mutatja be a grafikai stílusát befolyásoló és alakító körülmények függvényében. A művészt, élete során ért hatások gondolatainak újabb és újabb formában való kifejezésére inspirálták. Ezért képeinek könnyebb megértéséhez szükséges életútjának alapszintű ismerete.

A következő rész a tudományos- és művészvilágnak a holland grafikushoz való viszonyát ismerteti. A tudományok közül a matematikára koncentrálva térek rá a harmadik részre.

S végül, de nem utolsósorban a térbeli ábrázolás viszonylatában három csoportba rendezem Escher térlátásunkat „megcsúfoló” műveit. A kétértelmű ábrák, a paradox perspektíva és a lehetetlen épületek képeit előzményeikkel együtt mutatom be, miközben az olvasó saját maga is próbára teheti térszemléletét. Remélem sikerül Eschert úgy bemutatnom, mint a háromdimenziós világ paradox ábrázolásának egyik legnagyobb mesterét.

Amit Escherről tudni érdemes…

Maurits Cornelis Escher 1898. június 17-én a Hollandia északi részén elterülő Friesland tartomány székhelyén Leeuwardenben született. Két bátyjával és szüleivel – George Arnold Escher, Sarah Gleichman Escher – azonban csakhamar Arnhembe költözött maga mögött hagyva a ma múzeumként működő családi házat. Az arnhemi középiskolában tanára, F. W. van der Haagen felfigyelt az ifjú Escher rajztehetségére. Irányítása alatt Escher megtanulta a linómetszés technikáját, ami nagymértékben hozzájárult grafikai készségének kialakításához.

Középiskola után apja tanácsára építészetet kezdett tanulni a haarlemi Építészeti és Díszítő Művészeti Főiskolán, ahol megismerkedett Samuel Jessurun de Mesquita-val. A holland művész Escher tehetségét felismerve építészet helyett grafikai tanulmányokra buzdította újdonsült ismerősét. Az építészet iránt egyébként sem lelkesedő Escher boldogan folytatta immár grafikai tanulmányait 1919 és 1922 között Mesquita tanítványaként, akinek erős egyénisége döntően befolyásolta további pályafutását. Tőle tanulta a fametszet készítés technikáját, s azt hogy hogyan bánjon a fával, mint anyaggal.

Tanulmányai befejeztével, 1922-ben Olaszországba utazott új inspirációk után kutatva, majd 1924-ben Rómában telepedett le. Az elkövetkező években számos tanulmányutat tett, főként vidékre. Ellátogatott az Amalfi tengerpartra, Abruzzóba, Calabria eldugott városaiba, Szicíliába, az Etna környékére, Korzikára és Spanyolországba. Ebben az időszakban elsősorban tájak, épületek és természeti formák hatották rá. Környezetét természethű módon ábrázolta, minek során a különféle grafikai technikák elsajátítására fektette a hangsúlyt. Nem is annyira a tartalom, mintsem az ábrázolás mikéntje volt lényeges számára. Az ekkor készült fametszetek és litográfiák nagy részét Escher nem tartotta túl értékesnek, inkább mint ujjgyakorlatot tartotta számon őket.

1934-ben maga mögött hagyva Olaszországot először Svájcban, Belgiumban majd Spanyolországban telepedett le. A tájak és épületek itt már kevésbé hatott rá, egyre inkább elfordult a minket körülvevő világ, a látható valóság többé-kevésbé direkt módon való ábrázolásától. Grafikai munkái fokozatosan új irányt vettek. 1937-ben elkészítette az első lehetetlen valóságot ábrázoló fametszetét Csendélet és utca címmel.

Csendélet és utca
Escher · 1937 · fametszet

A valóságban sohasem látunk egy utcát ablakon keresztül a képen látható módon. Nem is a megfigyelt környezet valósághű visszaadása itt Escher célja, hanem egy képzeletbeli kép, egy látomás tárgyi világunkba való kivetítése. Már nem a grafikai technika feletti tökéletes uralom tehát az elsődleges, hanem egy meghatározott gondolat ábrázolása.

Ezek a gondolatképek Escher szerint csak úgy válhatnak mások számára is érthetővé, ha azokat megjelenítve látják. A különböző technikák immár másodlagos szerepet töltenek be, a gondolat ábrázolásának eszközei lesznek.

Munkáit innentől kezdve ez az új szemlélet határozta meg. Azonban nem szabad megfeledkeznünk azokról a külső körülményekről sem, melyek nagymértékben hozzájárultak Escher művészetének új irányba tereléséhez. 1936-ban Spanyolországba látogatott, ahol nagy alapossággal tanulmányozta az iszlám építőművészet díszítőelemeit és remekműveit. A granadai Alhambra – 13–14. században épült arab fejedelmi palota – és a cordobai La Mezquita – a nyugati arab világ egykori főmecsetje – a falak és padlók díszítésére használt egybevágó színes majolikacsempéivel ragadta meg Eschert. Számos metszetében fedezhető fel a mór csempézés ihlette szabályos felületfelosztás.

A II. világháború kitörését követően családjával hazaköltözött Hollandiába, Baarn városába. A német megszállás zaklatott időszakában Escher nem találta meg a kreatív gondolkodáshoz nélkülözhetetlen nyugalmat, így főként csak kézügyességet igénylő alkotásokat készített. Fagömb felületére faragott egybevágó alakzatokat, ami figyelmét a végtelen problémájára irányította.

A háború után a térbeli konstrukciók ábrázolása felé fordult. Elkészítette a lehetetlen tárgyak, épületek és a relativitások metszeteit. Bár Escher egyre több munkamegbízást kapott, s 1949-ben, Rotterdamban ismertetővel egybekötött kiállítást is rendeztek képeiből, a világ csak később ismerte meg a nevét. Az 50-es évek eleje hozta meg számára az áttörést, amikor az amerikai sajtó felfigyelt rá, s munkásságáról cikkek jelentek meg a Time és Life magazinokban. Az Európában és Amerikában tartott előadásai iránt a társadalom egyre szélesebb rétege, beleértve a tudományos világot is fokozódó érdeklődést tanúsított. Nem véletlenül. A természettudományok széles skáláját ölelik át a képeiben benne rejlő vonatkozások, melyek közül a matematikai jellegűek kerülnek kifejtésre a következő fejezetekben.

Visszatérve az előző gondolatmenetre, a holland grafikus népszerűsége fokozatosan nőtt. 1952-ben a Velencei Biennálén állított ki, 1954 pedig a washingtoni Whyte Galleryben. 1959-ben adtak ki először a művész bevezető szövegeivel albumot (Grafiek en Tekeningen), amely többtucatnyi kiadást ért meg világszerte.

Munkáiban új tendencia figyelhető meg az 1950-es évek végén: mindinkább elmélyedt a végtelen megközelítésének és a sík parkettázásának témájában, amivel nemcsak a matematikusok de a krisztallográfusok figyelmét is magára vonta. Számos sikeres előadást tartott járva a világot, s amikor már súlyosbodó betegsége ezt nem tette lehetővé, írásban rögzítette azokat. Két évtizeddel később 1986-ban Escher on Escher (Escher Escherről) című könyv részeként kerültek publikálásra ezek az előadások.

Növekvő népszerűségének fokmérője, hogy élvezhette a The World of M. C. Escher (M. C. Escher világa) címmel még életében megjelent könyv angol fordításával aratott sikert is.

Noha egészsége lassú romlásával aktivitása fokozatosan csökkent, és már nem készített új terveket, 73 évesen bekövetkezett haláláig (1972. március 27., Baarn) azért folyamatosan dolgozott, nyomatokat készítve korábbi metszeteiről.

Művészet és tudomány Escher munkáiba

Bár Escher grafikus művésznek vallotta magát, aki főként fametszeteket és litográfiákat készített, a képeit tanulmányozó néző óhatatlanul észre veszi, hogy nem egyszerű grafikákat csodál. Művészet és tudomány karöltve figyelhető meg ezekben az alkotásokban.

Kezdő grafikusként még erősen mestere, Jessurun de Mesquita hatása alatt állt. Neki köszönhetően kezdett érdeklődni a fametszet és a különböző technikákkal való kísérletezés iránt. Korai munkái azonban nemcsak Mesquita stílusának jegyeit viselik magukon, hanem igazodott a kor grafikai hagyományaihoz is, amit az expresszionizmus, realizmus valamint a grafikai technikák tökéletesítésére fektetett hangsúly határoztak meg. Mindemellett szükséges kiemelni Escher metszeteinek egyediségét. Az Itália ihlette tájképein ellentétben a kortárs művekkel, sokkal karakterisztikusabban jelenik meg a perspektíva és a térbeliség. A magasság, mélység és távolság élesebb hangsúlyozása mellett Escher előszeretettel ábrázolt tükröződéseket is, ami szintén megkülönböztető vonása. Jóllehet a holland grafikus munkáiban jelentős szerepet játszó, szabályos felületfelosztások díszítőelemként már korábban is megjelentek a művészetben, fő témaként vagy gondolatkifejező eszközként elsőként Escher használta a mór mozaikcsempék ihlette motívumokat. Saját találmánya volt továbbá a valóság különböző, gyakran ellentétes aspektusainak az összekapcsolása, sokszor meghökkentő kpet trva a néző elé.

Hasonló törekvések az európai művészetben az 1910-es években jelentkeztek számottevően, Pier Mondrian és Paul Citroen műveiben. Megkérdőjelezték a látható világ egységét, amit a hagyományos perspektivikus ábrázolás sugallt, s a valóság elemeit részekre bontva, azokat egyenértékű összetevőkként, közvetlenül kapcsolták össze. Az előtér és háttér egybeolvadt, ezzel megszűnt az általuk okozott kontraszt, s az előtérben-ábrázolás elvesztette kiemelő szerepét. Az előtér hagyományos funkciója Escher nyomatain is többnyire eltűnik. Levegő és víz I. című fametszete jó példa erre, csakúgy, mint bármely két vagy többszínű motívumokból álló szabályos felületfelosztása.

Levegő és víz I.
Escher · fametszet · 1938

A kép középső részén a madarak és a halak egyenrangúak. Ha tekintetünket a világos halakra irányítjuk a sötét színű madarak vízzé alakulva hátteret alkotnak, míg a madarakat figyelve a halak veszik át a háttér szerepét. A 20. század művészetében tehát a látható valóság elveszti korábbi látszólagos egységét, és vizuális jelenségek sokaságává válik.

Olyan sokasággá, melyben minden alkotóelem egyformán egyedi. A modern művészet központi problémája ezek után az, hogy hogyan rendezze ezeket a vizuális összetevőket úgy, hogy azok összetartozzanak, de ne veszítsék el egyediségüket. A dadaizmus és szürrealizmus jegyeit viselő elrendezés zűrzavaros és abszurd, ellentétben Escher megoldásával, aki mindig logikusan, valamilyen rend szerint kapcsol össze különböző elemeket. Éppen ezért teszi próbára térlátásunkat egy-egy lehetetlen épületet ábrázoló képével, vagy amikor egymástól független megfigyelések objektumait kapcsolja össze, mint például a már említett Csendélet és utca című lenyomat. Ott az első megfigyelés az utcára irányul, míg a második az íróasztalra. Ezt a két különböző megfigyelést egyesíti egy közös nézőponttal. A valóság elemeit logikailag tehát összekapcsolja, mégis látjuk, hogy nem természethű az ábrázolás.

A művészet tradicionális világában Escher munkáit mindig bizonyos fenntartással fogadták, és sohasem részesítették kellő megbecsülésben. Tisztelték a grafikai technikák mesteri alkalmazását, és az alkotásai páratlan eredetiségét, de úgy ítélték meg, hogy azok túl intellektuálisak, és nélkülöznek mindennemű érzelmi töltést. Mi sem bizonyítja ezt jobban, minthogy Hollandia egyik vezető művészeti folyóirata, a Delta 1970-es kiadásai egyetlen Escher képet sem közöltek annak ellenére, hogy a grafikus ekkor már széles körben népszerű volt. Meglepő továbbá, hogy míg általában a művészet és tudomány között éles határ húzódik, Escher műveivel nemzetközi hírnevet és elismerést szerzett a tudósok körében. Cikkek jelentek meg róla és képeiről a Time, Studio és Life magazinokban. Műalkotásaiból több kiállítást rendeztek tudományos kongresszusokon, mint művészeti galériákban. 1960-ban Cambridge-ben, a Nemzetközi Kristálytani Unió V. kongresszusán, 1964-ben Amszterdamban egy matematikai konferencián mutatta be munkáit. A kiállítás hatalmas sikert aratott, és számos tudóssal személyes kapcsolatba került: Roger Penrose-zal, C. H. McGillavry-vel, H. S. M. Coxeterrel. Az elkövetkező években egyre több alkalommal kérték fel előadásokra, melyek rávilágítottak Escher és a tudományos világ felfogása közötti hasonlóságokra. A világ pluralitásában nem a káoszt és abszurditást látták, mint a modern művészeti irányzatok, hanem a kihívást a jelenségek közti logikus kapcsolatok feltárására. Az Escher képein megjelenő abszurditás minden esetben feloldható megfelelő elemzéssel és interpretációval.

A műveiben fellelhető vonatkozások számos tudományág vizsgálódási területét érintik. A felület szabályos felosztása, és az előszeretettel ábrázolt poliéderek az euklideszi geometriához és a kristálytanhoz kapcsolódnak, de felfedezhetők a hiperbolikus-, a projektív geometria, a logika és a topológia elemei és egy-egy metszeten. A kísérleti pszichológia és optika a tér és formaészlelés, illetve vizuális illúziók révén szintén érdekelt terület, csakúgy, mint a kémia és biológia.

A matematikusok különösen vonzódtak Escher munkáihoz, mivel rendkívüli módon jelenít meg matematikai problémákat és jelenségeket. Noha középiskolán kívül matematikát nem tanult intézményes keretek között, autodidakta módon olvasott alkalmas témájú irodalmat, ami később gazdag ihletforrásként szolgált. Laikus elméleteiben gyakran a megfelelő szaktudományi értelmezés előtt járt. Roger Penrose, miután felkereste Eschert baarni otthonában, így írt róla:

Ez a különös művész ösztönösen, minden gyakorlati tanulás nélkül ismeri a matematikai törvényeket, és alkalmazza is az ellenkezőjüket.

Escher saját bevallása szerint közelebb is érezte magát a matematikához és művelőihez, mint a művészethez és saját pályatársaihoz. Egyik albumának bevezetőjében a következőket írja:

A kötet minden nyomata azzal a szándékkal készült, hogy egy meghatározott gondolatfolyamatot világítson meg. E művek alapjául szolgáló eszmék nagyobbrészt arról a csodálatról és csodálkozásról tanúskodnak, amely engem a környező világ törvényszerűségei iránt elfog. Ha valaki valamin csodálkozik, egy csoda válik tudatossá benne. Amikor én érzéki módon, nyitottan állok szemben a rejtélyekkel, amelyek körülvesznek minket, s amikor megfigyeléseimet átgondolom és elemzem, a matematika birodalmába jutok. Jóllehet semmiféle egzakt tudományos képzettségem és ismeretem nincs, mégis közelebb érzem magam a matematikusokhoz, mint tulajdonképpeni pályatársaimhoz.

Nyilvánvaló tehát, hogy érdemes felkutatni és elemezni a képeken fellelhető többé-kevésbé látens matematikai vonatkozásokat.

A tér logikája

Először is tisztázni kell, hogy mit is jelent pontosan a „tér logikája” kifejezés.

Azokat a térbeli kapcsolatokat értjük rajta, amelyek törvényszerűen fennállnak a fizikai világ tárgyai között, s amelyek figyelmen kívül hagyása, illetve önkényes megváltoztatása ellentmondásokat, vizuális illúziókat eredményez.

Ezek az illúziók mindig is fontos szerepet játszottak, és játszanak ma is a művészetben, matematikában, pszichológiában, sőt a filozófiában is. Nem csoda, hogy Eschert is foglalkoztatták az érzékcsalódás nyújtotta lehetőségek, s mint központi témát több képében is felhasználta azokat. Az ilyen típusú képei, melyek ellentmondanak a tér logikájának, talán a legszembetűnőbbek és legérdekesebbek. Ezt tűnik alátámasztani Bruno Ernst parafrázisa is, melyet George Orwell Állatfarm című művének híres mondata ihletett.

Minden Escher kép Escher kép, de néhány közülük sokkal inkább Escher kép mint a többi.

Ha még ezek közül is ki kellene emelni a legeredetibb darabokat, 3 képhez jutnánk a Belvedere, a Vízesés és a Lépcsőn fel és le című litográfiákhoz. Bár az eredeti jelzőt használtam, némi magyarázatot kíván a kijelentés. Valójában a képek alapjául szolgáló lehetetlen alakzatok nem Escher találmányai, kivéve a lehetetlen kockát, amit később részletezek. Ami eredeti, az az ábrázolás módja; az ahogyan ezeket az alakzatokat megjelenítette saját fantáziaképeibe ágyazva. De ne siessünk így előre! Előbb vizsgáljuk meg, hogyan működik vizuális percepciós rendszerünk, hogyan értelmezi agyunk a beérkezett információkat, s mitől érzékeljük a lehetetlen tárgyak látványát vizuális illúzióként. Csak ezek tisztázása után ismertetem Escher lehetetlen tárgyakat ábrázoló képeinek előzményeit, történeti áttekintést adva a szóban forgó alakzatok megjelenéséről a művészetben és a matematikában. Végül igyekszem 3 fő csoportba rendezve a kiválasztott képeket többé-kevésbé átfogó módon elemezni, majd megvilágítani az ellentmondások háttérben húzódó matematikai vagy egyéb magyarázatait.

1. A látásról

Bármilyen kép feldolgozásához, a látvány felfogásához és értelmezéséhez vizuális percepciós rendszerünket használjuk. A látottak értelmezéséhez kétféle típusú információ szükséges: mik az ábrázolt elemek, és hogyan helyezkednek el a térben egymáshoz képest. Az előbbit piktografikus, míg az utóbbit a kép sztereografikus elemeinek nevezzük. Ezeket az információkat az agyunk dolgozza fel, tehát az, hogy a kép mit ábrázol, ott áll össze. Nem a szemünkkel látunk ebben az értelemben, hanem az agyunkkal. Ha az információk ellentmondásmentesek, a képről rendkívül gyorsan képesek vagyunk egyértelmű interpretációt alkotni. Mondhatnánk: odanézünk és látjuk. Vizuális percepciós rendszerünk a másodperc törtrésze alatt választja ki a kép legvalószínűbb értelmezését. Azonban ha a piktografikus vagy a sztereografikus információk valamelyike ellentmondásos, az egész képről képtelenek vagyunk egyértelmű térbeli modellt alkotni. Ilyenek a kétértelmű ábrák és a lehetetlen alakzatok, melyeket a következő rész tárgyal.

2. Lehetetlen alakzatok

A meggyőző lehetetlen mindig jobb, mint a nem meggyőző lehetséges.

Arisztotelész

Escher mestere volt a lehetetlen meggyőző ábrázolásának, s bár nem ő volt az első, aki lehetetlen valóságot ábrázolt, ő volt az, aki igazán népszerűsítette, és a köztudatba hozta ezeket az alakzatokat. Mielőtt azonban röviden áttekintenénk az Escher lehetetlen képeit megelőző, s azokat inspiráló korábbi paradox képeket, szükséges meghatározni a lehetetlen tárgy definícióját.

A lehetetlen tárgy olyan kétdimenziós ábrázolás, amely háromdimenziós tárgy vagy helyzet reprezentációjának tűnik, de a térbeli információk ellentmondásosak, vagy a kép elemei olyan kombinációban szerepelnek, ahogy tapasztalatunk szerint nem fordulhatnak elő a valóságban.

Azt is mondhatjuk, hogy ha ábrázoláskor a tér logikáját figyelmen kívül hagyjuk, lehetetlen alakzathoz jutunk. Ilyen ábrákra és képekre számtalan példa van a művészetben, sőt mint látni fogjuk matematikus is foglalkozott velük. A következőkben néhány, a teljesség igénye nélkül kiragadott példa szerepel.

Az egyik legkorábbi mű a holland, bredai Grote Kerk 1902-ben, egy restaurálás során felfedezett freskója. Az ismeretlen 15. századi festő a 3. képen szereplő oszlop közül a középsőt lehetetlen módon ábrázolta: míg a két szélső az előtérben helyezkedik el, addig a középső a háttérben.

Bruno Ernst vázlata az Angyali üdvözlet című freskóról

A művész célja ezzel az elrendezéssel nem a meghökkentés volt, hanem csak egyszerűen nem akarta a kompozíció egységét megtörni egy oszloppal az előtérben.


A modern belga művész, Jos de Mey számos alkalommal használta ezt a típusú lehetetlen alakzatot munkáiban. Egyik ilyen képe:

Itt is a kép sztereografikus elemei vannak ellentmondásban egymással, vagyis a térbeli elrendezés az, ami paradox.

Ennél összetettebb képet készített Giovanni Battista Piranesi, olasz rézmetsző, Carceri (Börtönök) címmel.

Piranesi · Carceri

Olyan teret próbált megalkotni, ami teljesen összezavarja a szemlélőt. Noha a mű erősen három dimenzió benyomását kelti, tele van dimenziós ellentmondásokkal. Azt mondhatnánk Piranesi lehetetlen teret próbált ábrázolni. Ezért nem meglepő, hogy lehetetlen alakzatokat alkalmazott erre a célra. A B-vel jelzett oszlop az előtérből indul, és ott is végződik.

Hogy még inkább hangsúlyozza a kép lehetetlen voltát Piranesi még elhelyezett egy, a fallal párhuzamos lépcsőt is, ami a fal mögé nyúlik, s ez szintén lehetetlen. A jobb oldali ábrán vázlatosan látszik mi is történik a képen.

Ezekből a művekből jól látszik, hogy lehetetlen alakzattal már korábban is foglalkozott a nyugati művészet, de igazán markánsan csak Oscar Reutersvärd munkáiban jelent meg 1934-től. Még középiskolás diák, amikor véletlenül rajzolt egy paradox ábrát. S noha matematikai enciklopédiákban nem talált semmiféle utalást erre a különleges geometriai alakzatra, a következő években folytatta a tér logikájának ellentmondó ábrák készítését. Eljátszott a paradox kombinációkban álló kockákkal, megalkotta a végtelen lépcsőt és az ördögvillát, ami kicsit különbözött a ma ismert alaktól.

Az ördögvilla mai változata (balra)
Reutersvärd · Végtelen lépcső (jobbra)

1958-ban vált tudatossá benne, hogy amiket kisfiúként rajzolt, valójában lehetetlen tárgyak. Ekkor szerzett ugyanis tudomást egy cikkből arról, hogy tőle függetlenül Lionel Penrose is felfedezte a végtelen lépcsőt. Elmélyedt hát a paradox alakzatok témájában, s azóta több mint 2500 lehetetlen ábrát rajzolt. Ezek közül néhány itt látható:

Reutersvärd: a) Lehetetlen háromszög b) Lehetetlen háromszögek kombinációja
Reutersvärd · Lehetetlen alakzat

A lehetetlen háromszögről később még részletesen szólunk.

Reutersvärd · Meanderszerű alakzat
Reutersvärd meanderszerű formájának ránézésre kontúrjai kétértelműek
Kulpa · Lehetetlen hasábok
Zenon Kulpa rajzán első két párhuzamos hasábot látunk, de a jobb oldali a másik árnyékává válik, s ezáltal eltűnik a szemünk elől. Az ábra csak vonalas rajzként létezhet; térbeli lehetetlenségére egyszerűen az alakzat kiszínezésével is rávilágíthatunk.

Ilyen és ehhez hasonló képek voltak Escher lehetetlen ábráinak az előfutárai, melyekből a holland grafikus ötletet meríthetett, de gazdag fantáziavilágának köszönhetően újat is tudott nyújtani. Oly annyira újat és különlegeset alkotott, hogy a nagyközönség is leginkább az ő nevével fémjelzett litográfiákhoz köti a lehetetlen tárgy fogalmát; s egyáltalán, ezek a művek azok, melyek a lehetetlen alakzatokat széles körben ismertté és népszerűvé tették.

Noha Escher lehetetlen valóságot ábrázoló képeit nem lehet szigorú kategóriákba sorolni, három fő trend azért mégis észrevehető.

2.1. Kétértelmű ábrák

Az első típusba azok a képek tartoznak, melyeket a kétértelmű ábrák ihlettek. Azonban Escher metszeteinek csak egyes elemei hordozzák magukban a kétértelműséget. E kétértelműség vizuális hatása az ábralap megfordulása. Ilyenkor változatlan retinális kép mellett percepciós rendszerünk két vagy több értelmezés között ingadozik – ugyanaz a kép, de hol ezt, hol azt látjuk rajta. Edgar Rubin, dán pszichológus volt az első, akinek rajzain két forma látható, közös határvonallal.

Rubin · Váza-arc

Vagy két szembenéző arcot látunk vagy egy vázát.

De míg ezen a képen a két alakzat a központi tárgy és a háttér funkcióját tölti be felváltva, addig a következő képen már csak központi alakzat van, amit hol ennek látunk, hol annak.

E. G. Boring · Fiatal–idős nő

E. G. Boring, amerikai pszichológus képe a legismertebb kétértelmű ábrák egyike. Fiatal hölgyként profilból látjuk, míg idős nőként az állból nagy orr lesz.


Escher kétértelmű művei nemcsak abban különböznek az eddigi példáktól, hogy csupán a kép egyes elemei kétértelműek, de abban is, hogy háromdimenziós alakzatokat jelenítenek meg kétdimenziós formában. Mivel minden kétdimenziós kép információveszteség árán képes csak a három dimenziót kettőre tömöríteni, így minden ilyen kép végtelen sok háromdimenziós tárgyat ábrázolhat. Az említett információveszteségből adódik azután a többértelműség, vagyis hogy a képnek többféle olvasata létezik. Agyunk sokféle módon igyekszik ilyenkor a dolgok térbeli elhelyezkedéséről tájékozódni. A térbeli információ egyik legfontosabb forrásaként a két szemünkben képződő retinális képek apró eltérései szolgálnak. Azonban agyunk ezeken az eltéréseken túl még számtalan információt felhasznál, hogy elrendezze a látott tárgyakat. Csak hogy néhányat említsünk:

  • a látómező felső felében látható tárgyak messzebb vannak tőlük, mint az alsó félben ábrázoltak
  • ha két tárgy közül az első részben takarja a másodikat, akkor az első közelebb van hozzánk, mint a második
  • ha ismerjük az ábrázolt tárgyak valódi méretarányait, egymáshoz viszonyított méretükből következtethetünk a távolságukra
  • a távoli tárgyak körvonalai elmosódottabbak
  • a tárgyak fényforrás felé eső oldala világosabb, mint a túloldaluk.

Escher az utolsó módszert használja ki, vagyis a fény–árnyék hatással játszik következő litográfiájában.

Kocka mágikus szalagokkal
Escher · litográfia · 1957

A képen egy kocka élváza, és 4 lapátlója körül tekeredő 2 Möbius-szalag látható. A 2 Möbius-szalag 4 ponton találkozik, ahol 90°-os szöget zárnak be egymással. A szalag széle egyik találkozási pontnál sem látható. Csupán a kocka élváza, a gombszerű kitüremkedések és a megvilágítás ad információt a szemlélőnek a szalagok lehetséges helyzetéről.

Mivel egyidejűleg három irányból éri megvilágítás az alakzatot, a kitüremkedések észrevétlenül fordulnak át, vagyis változnak konvex alakzatból konkávvá, és viszont, pontosan azon a szakaszon, ahol a szalagnak is fordulnia kell. Így az Möbius-szalaggá változik a kitüremkedések kétértelműségének eredményeként. Ezt a kétértelműséget a fény–árnyék ügyes és alkalmas váltogatásaival éri el a művész. A részleteiben kétértelmű ábra végső soron egy lehetetlen alakzat.

Az ábrázolt egyoldalú felület, a Möbius-szalag annyira lenyűgözte Eschert, hogy több képe témájául is választotta. Bár tartalmilag nem a kétértelmű ábrák közé kívánkozik a következő két kép, mégis érdekességképpen érdemes megtekinteni őket. Az első a Möbius-szalag egyik legszebb ábrázolása.

Möbius-szalag II.
Escher · fametszet · 1963

A metszeten jól látható, hogy a hangyák egy zárt szalagon vonulnak egymás után, bejárva a szalag mindkét oldalát anélkül, hogy a szélén áthaladnának. A szalag tehát egyoldalú felület.

Corrado Maltese szerint a kép Escher üzenetét hordozza, miszerint az emberek csakúgy, mint minden élőlény egy kijárat nélküli hatalmas labirintus foglyai, ahol örök menetelésre vannak ítélve. Ez a gondolat egyébként a Lépcsőn fel és le című litográfiájában is megjelenik majd.

A másik Möbius-szalag ihlette kép a Végtelen szalag.

Végtelen szalag
Escher · litográfia · 1956

Első pillantásra nehéz eldönteni, hogy Möbius-szalaggal van-e dolgunk. Azonban ha alaposabban megvizsgáljuk, látható, hogy a gyűrűző alakzat külső felületén végigfuttatva a tekintetünket, úgy jutunk a kiindulási pontra, hogy ezalatt a szalag másik oldalára nem kerülünk át.

Ez tehát egy többszörösen csavart kétoldalú felület. Érdekes, hogy ha a Möbius-szalagot a középvonala mentén két részre vágjuk, egy kétszer megcsavart kétoldalú felületet kapunk, ami a hengerpalásttal homeomorf. Az így kapott szalagot modellezi tulajdonképpen a kép.

Ez után a kis kitérő után kanyarodjunk vissza a kétértelmű ábrákhoz.

Az 1955-ben elkészített Konvex és konkáv című litográfiának feltétlenül a fenti kategóriában van a helye. Amikor Escher elkezdett dolgozni a képen, már jól ismerte a Necker-kocka és a Schröder-lépcső kétértelműségét.

Necker-kocka · 1832
Schröder-lépcső · 1858

Louis-Albert Necker, svájci krisztallográfus professzor először 1832-ben írt a róla elnevezett kockáról:

Az optika területére tartozó percepciós jelenséggel van dolgunk, olyannal, amelyet sokszor tapasztaltam kristályformák tanulmányozása során. A látszólagos helyzet hirtelen és akaratlan megváltozik, ha egy kristály vagy más háromdimenziós tárgy kétdimenziós ábrázolását nézzük.

Az élvázával ábrázolt kocka esetében a kétértelműség abban jelentkezik, hogy a kocka hátsó oldallapja képes „előreugrani”, vagyis az bármikor szemlélhető elülső lapként is. A kocka úgymond „kifordul”. Fontos itt megjegyeznünk, hogy olyan élvázas ábrázolásról van itt szó, ahol a nem látható éleket is látható élként rajzoljuk meg.

Visszatérve a kétértelműségre, egy háromdimenziós tárgy kétdimenziós ábrázolásakor a dimenzióredukálással információkat veszítünk a tárgy térbeli elhelyezkedésére, kiterjedésére, valódi alakjára vonatkozólag. Ezért, ha csak gondolatban is, de rekonstruálni szeretnénk a tárgyat, információkat kell gyűjtenünk a képről. Korábban már említettem, hogy agyunk ezt az információveszteséget legtöbb esetben ki tudja küszöbölni alkalmas segédinformációkat felhasználva. Például egy perspektivikus módon ábrázolt kocka képéről könnyű eldönteni, hogy a nagyobb oldal esik hozzánk közelebb. Még abban az esetben sem fordul ki a kocka, ha csak élvázával ábrázoljuk. Feltéve persze, ha tudjuk, hogy kockáról van szó.

Kocka perspektív képe

Hiszen ha ezt nem tudjuk, akár egy „torz” poliédernek is láthatjuk. Valójában azonban szinte mindig csak egyféleképpen látjuk.


Tónusos ábrázolás esetén a kockáról egyértelmű térinformációkat szerzünk, azaz agyunkban egyféle tárgy képe jelenik meg. De itt is meg kell jegyeznünk, hogy csak abban az esetben, ha a kocka egymagában áll.

A Necker kocka azonban nem perspektivikus módon van ábrázolva. Az úgynevezett vetítősugarak nem a tér egy adott pontjára, a vetítés centrumára illeszkednek, hanem párhuzamosak egymással. Ez abban nyilvánul meg, hogy a kocka minden lapjának szemközti oldala párhuzamos. Az így ábrázolt tárgy képét axonometrikus képnek, míg magát az eljárást axonometrikus ábrázolásnak nevezzük. Hátránya, hogy nem valószerű képet jelenít meg, ugyanis a valóságban a párhuzamos egyenesek a szemlélőtől távolodva egyre inkább összetartanak. S amíg ez térinformáció értékű a néző számára, addig az axonometrikus ábrázolás nem rendelkezik efféle tulajdonsággal, térbeli elrendezésre utaló információkat nem nyújt. Pontosabban nyújt, de azok kétféleképpen is értelmezhetőek. Mivel tehát a Necker kocka elülső és hátsó lapjai egybevágóak, nem tudjuk egyértelműen eldönteni, melyik van hozzánk közelebb. Ebből adódik, hogy megváltozhat a két oldal látszólagos helyzete.

A Schröder lépcső esetében, az axonometrikus ábrázolásból adódó kétértelműséghez még szükséges a lépcső oldalainak a megrajzolása is a kellő hatás eléréséhez. Ha figyelmesen nézzük az ábrát, a lépcső könnyen átváltozik lépcsős szerkezetű boltívvé, azaz a Schröder lépcső, csakúgy, mint a Necker kocka szemlélettől függően képes kifordulni.

Bár a két „inverzióra” hajlamos geometriai alakzat már a 19. században ismert volt, Escher csak az 1950-es években szerzett róluk tudomást, s használta fel az alakzatok alapkoncepcióját saját Konvex és konkáv című művéhez.

Konvex és konkáv
Escher · litográfia · 1955

A kép szerkezetét térbeli jobb- és bal-oldali aszimmetria jellemzi. Figyelmesen nézve, a baloldali formák konvexnek, a jobboldal konkávnak, míg a középső rész hol konvexnek, hol konkávnak látszik. Más szóval a baloldali házacskát kívülről, a jobboldalit belülről látjuk, míg a középsőt tetszés szerint így is, úgy is nézhetjük.

Az, hogy a baloldalt konvexnek látjuk, az építészeti elemek alkalmas elrendezésének köszönhető. Továbbá, az emberek fizikai környezetükben való elhelyezése és a fény–árnyék viszonyok megfelelő ábrázolása is a konvexitást sugalmazza. A baloldalon sétáló hölgy egy hídon halad keresztül, minthogy másképp nem is tudna átkelni a folyón. Következésképp konvexnek látjuk az alakzatot; így az híd, nem pedig konkáv boltozat, mint a jobboldalon, ahol a zászló rúdjának helyzete egyértelműen meghatározza a boltív konkávságát. Hasonlóan, a baloldalon ülő férfi, azáltal, hogy ül a felületen, azt padlóvá változtatja a szemünkben, míg ugyanez a felület a jobboldalon a lépcsős boltívről alácsüngő tárgy hatására plafonként funkcionál.

Vizsgáljuk még meg a középső házat, melyet kétféleképpen is láthatunk. Ha konvex, a legfelső szinten trombitáló figura nyugodtan kiléphetne a ház keresztboltozatos tetejére. Azonban ha konkáv, és a keresztboltozatos tető boltívvé alakul, a trombitásunk a mélybe zuhanna.

A kép részleteiben rejlő kétértelműséget már a zászló emblémája is előrevetíti, a paralelogrammák többféleképpen is kockákká rajzolódhatnak.

Nyilvánvaló, hogy ha az axonometrikus helyett a perspektivikus ábrázolási módot választotta volna Escher, az alakzatok, mint például a lépcső, nem jelennének meg kétféleképpen. Az egyik irányba keskenyedő lépcsőfokok végérvényesen meghatározták volna a lépcső térbeli helyzetét és szerepét.

Miután rövid betekintést nyertünk a kétértelmű ábrák világába, vizsgáljuk meg Escher „lehetetlen rajzainak” egy másik típusát. Közs vonásuk, hogy szokatlan s egyben lehetetlen képet tár a szemlélő elé, amit ellentmondásos perspektivikus ábrázolás eredményez.

2.2. Paradox perspektíva

Hagyományos esetben a grafikus vagy bármiféle ábrázolóművész egy kép készítésekor a valóságot vetíti a vászonra, illetve papírra. A vetítés centruma ilyenkor a művész szemében van. Ez a perspektivikus ábrázolási mód szükségképpen torzítja a méreteket, azonban ennek ellenére többnyire felismerhetők maradnak a tárgyak geometriai jellemzői. Ez pedig úgy lehetséges, hogy vannak olyan geometriai tulajdonságok, amelyek a képen változatlanul megjelennek, és a felismerst lehetővé teszik. Az ilyen, vetítés során megmaradó tulajdonságokkal a projektív geometria foglalkozik.

A projektív geometria általánosítással levezethető az euklideszi geometriából, mégpedig úgy, hogy a projektív síkot végtelen távoli térelemekkel kiegészített euklideszi síkként értelmezzük. Mint tudjuk, a végtelen távoli vagy ideális pont az egy egyenesre illeszkedő pontok halmazát egészíti ki úgy, hogy ha két egyenes párhuzamos, akkor közös pontjuk ez a végtelen távoli pont lesz. Az ideális pont bevezetésével egyszerűbb lett az egyenesek és síkok kölcsönös helyzetének áttekintése, mert a párhuzamosság úgymond a metszés speciális esetévé vált.

Tulajdonképpen ez figyelhető meg a perspektivikus módon ábrázolt képeken is. A tárgyak vízszintes párhuzamos egyenesei a horizonton, a végtelen távoli pontban metszik egymást. Ezt a pontot nevezzük iránypontnak. Azonban a függőleges egyenesek is találkoznak egy pontban, alul a nadírban, fönt a zenitben. Akkor látszik ez igazán, ha dűlt képsíkos perspektívában ábrázolunk egy tárgyat.

Madárperspektíva

A dűlt képsík a függőleges egyenesekkel nem párhuzamos, ezért ezek az egyenesek közös iránypontba (Iz) futnak. Madárperspektíva esetén a képsík az ábrázolandó tárgy felé dől, ez alatt a képsíkhoz merőlegesen rögzített vetítési központ felemelkedik, és a centrumon átmenő vízszintes horizontsíkot a főpontnál magasabban fekvő vízszintes horizontvonalban metszi.

Abban az esetben, ha felfelé nézünk, például egy épületre, azt békaperspektívában látjuk, míg ha fentről tekintünk lefelé, madárperspektíváról beszélhetünk.

Escher meglepő módon kombinálta a két perspektívát egy képben.

Fent és lent
Escher · litográfia · 1947

A kép felső felén a művész fentről lefelé tekintve ábrázolta az épületet, azaz madárperspektívában láttatja velünk, mialatt a kép alsó részén ugyanazt az épületet és a körülölelő világot látjuk, csakhogy már békaperspektívában. A lehetetlen térben ábrázolt lehetetlen épület térbeli ellentmondása abból fakad, hogy a kelleténél több, szám szerint öt végtelen távoli pontot is bevezet Escher (lásd ábrát lejjebb), ráadásul a felső kép nadíron fekvő iránypontja egybeesik az alsó kép zeniten nyugvó iránypontjával.


Egy iránypont kettős funkcióval való felruházása pedig szükségszerűen ellentmondáshoz vezet. A központi csempézett felület egyszerre tölti be a felső kép padlójának és az alsó kép mennyezetének szerepét. Ugyanaz a felület két különböző funkcióval bír, ami a litográfián látható módon a háromdimenziós világunkban lehetetlen.

Fent és lent
Escher · vázlat · 1947 · 5 iránypont

Az ábrán jól látható az öt iránypont.

Hasonló gondolat húzódik a következő kép szerkezeti felépítésében is.

Másik világ
Escher · fametszet · 1947

Egy kocka alakú építmény ablakain keresztül ugyanazon holdbéli táj látható egy nyomaton, de három különböző nézőpontból ábrázolva. A kép középpontjának itt is több, jelen esetben három különböző funkciója van. Hasonlóan az előző képhez, egy iránypont több feladatot is ellát, amihez képi jelentés is társítható. A középen lévő hátsó sík elölnézetből fal, felülnézetből padló, alulnézetből pedig mennyezet. Az árnyékokat megfigyelve továbbá észrevehető, hogy Escher a megvilágítás irányát világonként váltogatta, ezzel is fokozva a látvány ellentmondásosságát.

A fent bemutatott két képpel természetesen nem merül ki a paradox perspektívát felhasználó Escher művek tárháza. Két metszet azonban elég ahhoz, hogy demonstráljuk a tér logikáját ily módon felrúgó alkotások alapgondolatát.

2.3. Lehetetlen épületek

A harmadik csoportba gyűjtött művek Escher talán „legcselesebb” képei. Az eddig bemutatott metszetektől főként az különbözteti meg őket, hogy első ránézésre nem találunk semmi szokatlant. Felületes szemlélő számára mind a Belvedere, mind a Lépcsőn fel és le épületei különösnek bár, de valóságosnak tűnhetnek. A korábbi képeknél azonnal szembetűnik az ábrázolt világ lehetetlensége, a következőkben tárgyalásra kerülő művek esetén azonban csak figyelmesebb vizsgálódás fedi fel az ábrázolás paradox vonásait.

Escher tisztában volt egy kép feldolgozásának és értelmezésének agyunkban zajló mechanizmusáról. Pontosan a háromdimenziós tárgy két dimenzióban való ábrázolásakor fellépő információveszteséget kihasználva igyekezett térszemléletünket „kijátszani”. Mint látni fogjuk, az ellentmondásos részleteket gyakran próbálta valamilyen módon elrejteni, de úgy gondolom, s talán nem alaptalanul, hogy palástolás nélkül is próbára teszi agyunkat, amikor az kísérletet tesz a látottak értelmezésére, és a sztereografikus információk közit konfliktus feloldására.

Escher egyik legismertebb lehetetlen épülete a Belvedere.

Belvedere
Escher · litográfia · 1958

Alapmotívumát, a Necker kockát, s annak kétértelműségét már korábbi litográfiákban is felhasználta. A Belvedere tervezésekor még csak egyféle lehetetlen kockát ismert, s ez a Necker kocka volt. Ennek alapötletét továbbfejlesztve alkotta meg saját lehetetlen kockáját, aminek élvázát nem vonalak alkotják, hanem négyzet alapú hasábok, csakúgy, mint a lehetetlen háromszögét.

Az épület tövében ülő fiú ilyen kockát tart a kezében, míg előtte a Necker kockát ábrázoló papírlap hever, melyen a vonalak kereszteződését két körrel jelölte meg Escher, ezzel is felhívva a figyelmet a kocka kifordulásában szerepet játszó pontokra.

Escher · Lehetetlen kocka

A kereszteződő vonalakat gerendaszerű élekkel helyettesítve az élkereszteződések lehetetlenné válnak. Így az egyik távoli sarok egyidejűleg az előtérben is megjelenik.

Ma már számos formáját ismerjük a lehetetlen kockának, közöttük olyat is, melynek élei, Escher kockájával ellentétben nem tartalmaznak lehetetlen metszéseket.

Lehetetlen kocka

De koncentráljunk most csak a Belvedere-re!

A legtöbb lehetetlen kocka ránézésre nem nyújt kellemes látványt. Próbáljuk felfogni, és értelmezni a beérkező információkat, mégsem tudjuk a tárgyat gondolatban rekonstruálni az egymásnak ellentmondó térinformációk miatt. A kép csak akkor tárja elénk a lehetetlen valóságot finom és meggyőző módon, ha kellő érzékkel mossuk össze a valós és valótlan elemeket, elterelve figyelmünket a szembeötlő ellentmondásokról.

Escher mestere volt a lehetetlen, gyakran zavarba ejtően hihető ábrázolásának. Első pillantásra a szemlélőnek fel sem tűnik, hogy a Belvedere és a fiú kezében lévő lehetetlen kocka hasonló koncepció alapján épül fel. Escher ezt azzal érte el, hogy az épület vízszintes síkrészeit – padló, plafon stb. – hosszúnak és keskenynek ábrázolta.

Belvedere
Versluis · vázlat

Ebből adódik, hogy az egy csúcsból kiinduló 3 él által meghatározott Y-szerű alakzatok paradox metszéspontjai igencsak távol kerültek egymástól, szabadon hagyva a központi részt, s így megközelítették a két legszélső oszlopot.


Félig-meddig már ezzel is álcázta a lehetetlen kockát, illetve az épület esetében lehetetlen hasábot. A szerkezet középső részén továbbá, az árulkodó metszéspontokat egy korlát, valamint árkádok rejtik el. Az ábrán látható, hogy ezzel eltűnnek a szemünk elől az ellentmondást hangsúlyozó sarkok.

Escher a hasáb alá és fölé aprólékos részletességgel kidolgozott tömböket helyez, ami a képen a legfelső és a legalsó szint. Az adalék részek hatására az épület egyrészt valósabbnak tűnik, ugyanakkor azonban ki is hangsúlyozzák a szerkezet furcsaságát.

A paradox csúcsok eltűnnek
Alsó- és felső tömb jelenik meg

Hiszen ezek a részek szépen mutatják, hogy a hasáb alja és teteje mennyire összeegyeztethetetlen. Bár a hasáb nincs elcsavarodva, úgy tűnik a két tömb 90°-os szöget zár be egymással. Ezt az elfordult hatást hangsúlyozza a felső szinten álló hölgy, és a középső szint távolba merengő férfialakja is. Noha mindketten ugyanazon két oszlop – felső illetve alsó része – közül tekintenek a környező vidékre, mégis a hölgy 90°-kal elfordulva szemlélődik.

Ahhoz, hogy a hasáb alsó és felső lapját összekössük, négy oszlopra van szükség, s ezek közül csak kettőnek van köze a hasáb lehetetlen voltához. Escher nyolc oszlopot használt, amiből hatot lehetetlen módon ábrázolt. Ezzel a megoldással az elrejtő motívumok hatását ellensúlyozta.

Vizsgáljuk még meg a létrát, ami szintén egy hamis kapcsolat az alsó- és felső szint között. A ház belsejéből indul, de egy emelettel feljebb érve már kívül van az épületen.

A képen szereplő emberek úgy járnak – kelnek a kilátóban, mintha tökéletesen otthon éreznék magukat, s közben észre sem veszik, hogy egy lehetetlen világ részesei. Az ő számukra ugyanis nem az, így nem is figyelnek fel az épület furcsaságára, mint ahogy a bebörtönzött figurára sem.

Találkozhatunk hasonló jelenséggel a valós életben is. Az emberek hajlamosak arra, hogy megszokott életvitelükben már ne fedezzék fel világunk kisebb-nagyobb csodáit, s így sokszor éppen a dolgok lényegi vonása marad rejtve előttük.

S végül, de nem utolsósorban nézzük, hogy hogyan realizálható az épület a háromdimenziós világunkban. Shiego Fukuda a lehetetlen épület kétdimenziós rajza alapján megépítette az épület térbeli modelljét, aminek persze csak egyetlen nézőpontból lesz a képmással azonos látványa.

Belvedere modell 1. · Shiego Fukuda
Belvedere modell 2. (vázlat) · Sandro del Prete

Markánsan jelentkeznek a fejezet indító gondolatai a Vízesés című litográfiában. Mint korábban már említettem, a képen látható építmény alapjául szolgáló geometriai alakzat, a lehetetlen háromszög nem Escher találmánya volt. Azonban mielőtt rátérnék a lehetetlen háromszög „történetére” ismerkedjünk meg magával az alakzattal.

Lehetetlen háromszög · Penrose

Feltételezve, hogy tárgyat látunk és nem egy szakaszból álló síkbeli alakzatot, megállapíthatjuk, hogy három egybevágó négyzet alapú hasábból épül fel.

Azt látjuk, hogy az A hasáb merőleges a C-re, és felénk áll, mialatt B is merőleges C-re oly módon, hogy közben tőlünk ellentétes irányba mutat. Azonban A és B egymással 90°-ot bezárva találkoznak, ami három dimenzióban lehetetlen. Vagy mégsem? Készíthető olyan térbeli modell, ami egyetlen nézőpontból ugyan, de az ábrán látható módon láttatja velünk a háromszöget.

Ehhez adhat ötletet az egységoldalú kocka izometrikus axonometriában való ábrázolása. Az izometrikus axonometria a merőleges axonometria egy speciális esete, amikor a vetítés iránya merőleges a képsíkra, valamint a térbeli koordináta-rendszer tengelyeinek rövidülési aránya mindhárom tengely esetén ugyanannyi. Az izometrikus (egyméretű) elnevezés is innen ered, vagyis, hogy a három rövidülés egyenlő. A fentiekből adódik, hogy az x, y, z tengelyek képei 120°-os szöget zárnak be egymással, és a nyomháromszög egy egyenlő oldalú háromszög.

Kocka izometrikus képe

Az ábrán jól látható, hogy ily módon a kocka két csúcsa: D és F egybeesik. Tehát D = F. Ha jobban megnézzük, az FEH pontok által meghatározott alakzat a lehetetlen háromszög tulajdonságaival rendelkezik. (FE) merőleges az (EH) szakaszra, mivel mindkét szakasz a kockának egy csúcsból kiinduló oldaléle. Hasonlóan (EH) merőleges (HD)-re, de D = F, így (EH) merőleges (HF)-re. Persze tudjuk, hogy D és F csak az ábrán esik egybe, s így az eredeti kocka (HD) éle nem kapcsolódik az (ED)-hez D pontban. Azonban megfelelően választott nézőpontból mégis úgy látszik.

A lehetetlen háromszög képét már Escher előtt jóval korábban is megrajzolták tudatosan vagy öntudatlanul. Az első dokumentáltan tudatos ábrázolás Oscar Reutersvärd, svéd ábrázolóművész és művészettörténész nevéhez fűződik

Lehetetlen háromszögek · Reutersvärd

A lehetetlen háromszögnek számos változata készült el az idők folyamán.

Oscar Reutersvärd munkái azonban nem kerültek be a köztudatba. Így történhetett, hogy Roger Penrose tőle függetlenül szintén elkészítette rövid kísérletezés után a lehetetlen háromszöget.

A lehetetlen tárgyak iránt egyébként 1954-ben kezdett érdeklődni, amikor részt vett egy Amszterdamban megrendezett matematikai konferencián, s ott figyelmébe ajánlottak a konferenciával egy időben rendezett, Escher munkáit bemutató kiállítást. Noha a sok rendkívüli kép között egy sem volt, ami a mai értelemben vett lehetetlen tárgyat ábrázol, a látvány mégis teljesen lenyűgözte Penrose-t, s figyelmét a paradox tárgyak felé irányította.

1958-ban a British Journal of Psychology közölt cikket Penrose lehetetlen háromszögéről, aki tisztelete jeléül küldött egy különlenyomatot Eschernek.

A holland grafikust azonnal megragadta az alakzat, mivel mindig is élénken foglalkoztatta a kétdimenziós sík és a háromdimenziós tér között húzódó konfliktus. Olyannyira elnyerte a tetszését a lehetetlen háromszög, hogy fel is használta a konstrukciót Vízesés című litográfiájában.

Vízesés · Escher · litográfia · 1961

Escher három lehetetlen háromszöget kapcsol össze különös módon.

Vízesés (vázlat) · C. H. McGillavry

Az ABC, BCD, CDE lehetetlen háromszögek.

Az így nyert konstrukció alkotja a vízimalom csatornájának gerincét, aminek lépcsősen kialakított fala érzékelteti, hogy a csatorna erősen lejt. Ennek ellenére mégis úgy tűnik, hogy a víz felfelé folyik, mivel a baloldal három szintből épül fel, míg a jobboldal kettőből. Ellentmondásos a tornyok elhelyezkedése is. A baloldali torony bár függőleges, mégis a legbelső szintje a háttérben húzódik, azonban tekintetünket lefelé irányítva azt vesszük észre, hogy a talpazata az előtérben helyezkedik el.

Escher számos figyelemelterelő elem alkalmazásával igyekszik valamelyest leplezni az ellentmondásos részleteket, de legalábbis törekszik arra, hogy ne csak a konstrukcióra koncentráljunk.

A malom tövében burjánzó egzotikus növényzetnek éppen az a célja, hogy szokatlan formáival magára vonja a néző figyelmét. A valóságban 2 cm-nél nem nagyobb zuzmófélék óriásinak tűnnek eredeti méretükhöz képest. Létüknek valószerűtlensége egyrészt értelmezhető az ábrázolt paradox világ lehetetlenségének hangsúlyozásaként, de lehet hogy egyszerűen csak figyelemelterelő motívum.

A malomkerék hatékonyan rejti el a legalsó lehetetlen háromszög egyik oldalát. Hasonlóan, maga a vízesés is ugyanezt a funkciót tölti be, amikor eltakarja a legfelső háromszöget alkotó egyik oszlopot.

A két torony tetején található, gondosan kidolgozott poliéder is igencsak vonzza a tekintetet. A baloldali poliéder egy kocka kétszeri elforgatásával származtatható. A másik poliéder három egybevágó oktaéder egyesítésével állítható elő. Az eredeti oktaéderből szintén alkalmas forgatással nyerhető további kettő. Ha figyelmesen megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy az oktaéder nem minden éle egyenlő. Alapélének hossza $a$, az oktaéder magasságával egyenlő, amiből megfelelő összefüggések kihasználásával meghatározható az oldalél hossza: $ a\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Már csak azért sem árt szót ejteni a poliéderekről, mert Escher különös módon vonzódott hozzájuk. Több művében is központi témaként jelennek meg. Szimbolikus jelentést azonban felesleges az ábrázolt poliédereknek tulajdonítani. Maga Escher a következőképpen nyilatkozott:

A két torony tetején található két poliédernek semmiféle szimbolikus jelentése nincs. Azért tettem oda őket, mert tetszettek.

S végül, de nem utolsósorban érdemes a képen szereplő embereknek is szentelni egy kis figyelmet. Egyikük merengő csodálattal tekint a nem mindennapi épületre, míg a hétköznapi munkát végző nő tudomást sem vesz róla. Escher lehetetlen tárgyakat ábrázoló képeire is kétféleképpen reagálhat a szemlélő. Vagy fel sem tűnik az ellentmondás, s akkor nem nyűgözi le a látvány; vagy teljesen a hatása alá kerül, s megpróbálja a mi világunkba átültetni az épületet, azaz háromdimenziós modellt készít róla. Shiego Fukuda erre tett kísérletet.

Fukuda modellje egy árulkodó nézőpontból

Látható, hogy Fukuda nem tartotta meg a csatorna folytonosságát a lehetetlen háromszög térbeli modelljéhez hasonlóan.

Természetesen számos módja van a szerkezet megtörésének oly módon, hogy egy nézőpontból azért lehetetlennek tűnjön. Megtarthatjuk például a csatornát szakadásmentesen.

2. modell (vázlat)

Ha a csatornát vízszintesen építjük meg, a tornyokat kell úgymond feldarabolnunk, majd a csatorna síkjával alkalmas szöget bezáró síkokkal a torony alsó szintjeinek tartóoszlopait lemetszenünk. Persze a csatornából kiömlő víz így nem tud aláhullni. De ennyi hiányosságot elnézhetünk egy modellnek.


Ugyancsak nem minta nélkül készült el a Lépcsőn fel és le című litográfia. A kép fő motívumát a már említett végtelen lépcsőt Lionel Penrose, angol fizikus és kozmológus készítette el, miután fia, Roger Penrose munkája, a lehetetlen háromszög felkeltette az érdeklődését a paradox alakzatok iránt. Mindkét felfedezett tárgy a British Journal of Psychology 1958-as februári számában jelent meg.

Ezekből születtek Escher fantáziájának gyümölcseként a már bemutatott Vízesés, és a most tárgyalásra kerülő Lépcsőn fel és le.

A képen egy négyszög alapú belső udvart körülölelő épület látható, tetején egy végtelen lépcsővel.

A kép néhány eleme a szerkezet különlegességét hangsúlyozza. Ilyen többek között az épület tetején körbefutó lépcső, ami a házzal együtt meg van döntve, s így azt a néző egy bizonyos szemszögből látja. Ennek köszönhetően nehéz észrevenni, hogy miért nem jutnak függőleges irányban feljebb a felfelé menetelő szerzetesek, illetve miért nem kerülnek mélyebbre azok, akik lefelé haladnak a lépcsőn.

Lépcsőn fel és le · Escher · litográfia · 1960

Egy esetleges magyarázat lehet az, hogy a lépcsőfokok nem párhuzamosak a talaj síkjával. Így bár úgy tűnik, lefelé lépegetünk rajta, ez a „lefelé” igencsak relatív, hiszen egy vízszintes konstrukción haladunk.

Lépcső vázlat

Az egész épületet már csak kellő szögben meg kell dönteni, hogy a lépcsőfokok függőleges élei valóban annak tűnjenek. Az épület trapézszerű alakja tovább segíti az észrevétlen manipulációt.

Amíg a Vízesés című litográfiában Escher különféle elemekkel próbálta elterelni a néző figyelmét a központi problémáról, addig most épp ellenkezőleg, a szemlélő figyelmét pontosan a lépcsőre, azaz a lehetetlen szerkezetre irányítja. Teheti, hiszen még a két ellentétes irányba vonuló szerzetesek is csak fokozzák a lépcső lehetetlenségének látszatát, ahelyett, hogy a megoldásra vezetnének rá.

Az ismeretlen szekta keltette titokzatos légkör az épület egészét áthatja. Csak ketten vannak, akik még nem kerültek a misztikum hatása alá, de valószínűleg ők is előbb-utóbb beállnak a menetelők közé. Csakúgy, mint a Möbius-szalag, a végtelen lépcső is bizonyos értelemben az ember labirintus-börtöneként jelenik meg, ahonnan nincs kiút. Egyszerre végtelen és zárt, folytonos mozgásban tartva a benne élőket. Választásuk nincs, vagy csak látszólag, hiszen az épület elszigeteltsége, a táj hiánya mind a szabadulás reménytelenségét sugallják.

Utószó

Noha ez az összeállítás a lehetetlen épületek tárgyalásával véget ér, Escher világa ezen a ponton még korántsem merül ki. Változatos témájú művei további vizsgálódásra ösztönzik az érdeklődőket. Figyelemre méltóak a felület szabályos, illetve szabálytalan kitöltését ábrázoló képei, melyeken olyan transzformációk szemléltethetőek, mint a tükrözés, forgatás és az eltolás. Megjelenik a szimmetria és a végtelen fogalma.

Escher poliéderek iránti vonzódására korábban már történt utalás, azonban olyannyira gazdag ez a téma, hogy már egy másik munka alapjául is szolgálhatna.

A sík és a tér konfliktusa, csakúgy mint a tér ábrázolása a dimenziós ellentmondásokra világít rá. Valamint nem szabad megfeledkeznünk a hiperbolikus geometria Poincaré-féle körmodelljéről sem, amire szintén érdemes figyelmet fordítani Escher metszeteit tanulmányozva.

Nyilvánvaló, hogy így is csupán ízelítőt nyújtottam a képekben rejlő matematikai vonatkozások gazdag repertoárjából, s a további témák még feldolgozásra várnak.

Felhasznált irodalom

  1. COXETER, H. S. M.–M. EMMER–R. PENROSE–M. L. TEUBER, eds.: M. C. Escher, art and science. Amsterdam, New York, Oxford, Tokyo: Elsevier Science Publishers B. V., 1986.
  2. ESCHER, M. C.: Grafikák és rajzok. Köln: Benedikt Taschen, 1989.
  3. LOCHER, J. L., ed.: The World of M. C. Escher. New York: Abrams, 1971.
  4. LŐRINCZ PÁL–DR. PETRICH GÉZA: Ábrázoló geometria. Budapest: Tankönyvkiadó, 1976.

Escherrel kapcsolatos internetcímek

  1. http://www.termeszetvilaga.hu/tv9708/escher/penart.html
  2. http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/
  3. http://www.mcescher.com/
  4. http://users.erols.com/ziring/escher
  5. http://www.WorldOfEscher.com/
Maurits Cornelis Escher
(1898–1972)