Matematika és irodalom

Bencze Mihály
szóelválasztás

A matematika nem más, mint az irodalom, zene, művészet, vallás, ezotéria tudományos versbefoglalása egy különleges isteni nyelven, minimális jelrendszerrel. A matematika, irodalom, zene stb. között Pascal-féle közlekedő edények léteznek.

A matematika és költészet kapcsolatát már Goethe és Polti is tanulmányozta, ők rámutattak a 36-os szám fontosságára bizonyos drámai helyzetekben. Souriau és Ginestier pedig a dráma geometriáját elemezték. Scott Buchanan a Költészet és matematika című könyvében a görög világ tragédiája komédiája és matematikája közti összefüggéseket tárgyalja. A. Markov pedig Puskin Jevgenyij Anyegin című művében a magánhangzók és a mássalhangzók váltakozását vizsgálva bevezetett egy valószínűségi fogalmat, amit ma Markov-láncnak neveznek. Ady Endre és József Attila költészeteiben is ott a matematika. Dan Barbilian – Ion Barbu matematikus – költő világát közelebbről is tanulmányozhatjuk, végül a legérdekesebb Solomon Marcus A nyelvi szépség matematikája című könyve.

Lenszkij és Anyegin párbaja
Ilja Repin festménye · 1899

Egy jó irodalomtanár a kisdiákoknak több matematikát tanít, mint egy korlátolt matematikatanár. Az anyanyelvünk tökéletes írása és beszélése kész matematika. Ez a híd, erre épül minden. Innen a matematika holografikus tulajdonsága a diákot átemeli egy új dimenzióba. A legjobb példa erre az analitikus függvény fogalma, melynél a lokális viselkedés előrevetíti (determinálja) a globálisat. A költészetben is valami hasonló történik, a költő is arra törekszik, hogy meglássa a világot a népdal egy morzsájában, és az örökkévalóságot egyetlen másodpercben. Ezt egy más példával is próbálom körülírni. A mindennapi életben a legtöbb függvény sima, azaz görbéjüknek minden pontban van érintője. Amikor a függvény fogalmát szemléletességén túlmenve általánosítjuk, akkor szakadék keletkezik, mert sok olyan „sima” tapasztalatokkal le nem írható „költemény” található. Ilyenek például a sehol sem differenciálható folytonos függvények. Hermite, Weierstrass, Riemann, Peano ez irányú költészetét végül Benoît Mandelbrot írta versbe, megteremtve a fraktálgeometriát. A függvények sok osztályára igaz, hogy ha bizonyos elhanyagolható halmaz pontjait kihagyjuk, akkor „irodalmi” egyszerűség tárul elénk. Bármely korlátos valós függvény, amelyet egy kompakt valós intervallumban értelmezünk nem más mint két Riemann-integrálható függvény összetevése, „verse”.

Szaúd-Arábia (Fotó: Paul Bourke / Barcroft Media)

Az egyenlőtlenségekkel étrelmezett függvények osztályát egy pont környezetében való viselkedésünk szabja meg. A lokális és globális tulajdonságai között már megszületik a „vers”. Nagy űr tátong a látható és a megérthető között. A matematika és a költészet a jelenségek mögötti valóságot is feltárja. Ilyen a végtelen fogalma is. Cantor, Gödel, Péter Rózsa (Játék a végtelennel), George Gamow (Egy, kettő, … , végtelen) eredményeit Szilágyi Domokos a következőképpen írta le:

allegro-barbaro-jelen,
polifón álom, ó, jövő,
rezdülj végig,
a megismeréstől a fölismerésig,
a céltudatos húrokon!
Rezdülj végig,
a végestől a végtelenségig,
tudatos, ésszerű varázs –:
mert csak az igaz, ami végtelen,
minden véges: megalkuvás.

F. de Saussure, L. Bloomfield, L. Hjelmeslev, N. Chomsky, S. Marcus szerint is bármely természetes nyelv az elméleti megalapozás tekintetében végtelen. Másrészt a szavak ábécére alapozott véges összekapcsolt struktúrák, amelyek véges, nem üres halmazok, ezért a kombinatorika eszközeivel tanulmányozhatók. A véges és végtelen matematikai struktúrák keresztútjánál S. Marcus bevezette a kontextuális nyelvtant, amivel a szöveg-tartalom elemezhetővé vált. Ezért a tudományos szemantikának az algebrai (diszkrét), a költőinek a topológiai (folytonos) modell felel meg.

Mára a matematikai nyelvészet külön tudomány lett, de ide vezetett a matematikai és költői modell mellett a Neumann János programozási nyelvek modellje és a biológiai – élettani fejlődésvonal, amely kimutatta az agyféltekék működésbeli megosztását, ami szerint a nyelv szekvenciális tevékenység, amelyet a bal félteke irányít. Elvezetett a formális nyelvtanok kialakulásához, a neuronhálózatok modellezése pedig az emberi nyelvkézség számítógépes metafora-értelmezéséhez. Chomsky szerint is az angol nyelv morfológiája szegényes. A germán, latin, szláv nyelvek morfológiája már gazdagabb. A magyar a leggazdagabb, mivel a szavak ragozásának és a szóalkotásnak a módját a szó tövéhez illesztett toldalékkal adja meg, aglutinál.

A költészetet és matematikát is a szemiotikai optimalizálás szabályozza, azaz minimális kifejezéssel elérni a maximális jelentést. Egy költői sor szemantikai sűrűségét megfelelő mértékek hányadosával értelmezhetnénk. Én a „mondat magasságát” vezettem be, és ezzel tanulmányoztam az irodalmi alkotásokat (lásd Bencze Mihály: Matematika és irodalom. Középiskolai Matematikai Lapok. 1992/6, 250–252. p., Budapest). Az információsűrűség abban a szándékosan megalkotott végtelen határozatlanságban nyilvánul meg, amely megadja minden olvasónak, az egyéni dekülönböző értelmezés lehetőségét.

Egy vers már nem engedi meg az elvonatkoztatást, mert a szuggesztiók rendkívüli sűrűsége jellemzi. Hasonló a helyzet a matematikában is, csak ott a logikai sűrűség korlátozza az általánosítást. A matematikai nyelv végtelen szinonímalehetőséget tartalmaz, ezért lehet bármilyen fontos matematikai tételt többféleképpen is bizonyítani. Egy-egy matematikai képlet a gondolatok akkora gazdagságát süríti információvá, hogy ha ez természetes nyelven vele egyenértékű kifejezéssel írnánk le, lehet, hogy már érthetetlenné válna. Ha a Bolyai-féle mértan képleteit szavakban írnánk le, akkor soha nem törtünk volna ki Euklidész bűvköréből. Bolyai Jánosnak oly nagy volt a gondolatsűrűsége, hogy egy általa alkotott mesterséges nyelvvel tudta csak leírni álmait. Ezt a „nyelvet” Kiss Elemér tudta újra magyarra fordítani.

A matematikai nyelvezet univerzális, bármely nyelvre lefordítva nem veszít információtartalmából. A versnél sajnos ez már nem igaz. Ha az $A$ nyelvben írott verset lefordítjuk $B$ nyelvre, majd ezt $C$ nyelvre és így tovább, amennyiben véges számú lépés utánvisszatérünk a kiinduló nyelvre, meglepődünk, hogy mennyire különbözni fog. Hogy lehetne lemérni ezt az információkülönbséget? Erre ma még a matematika nem tud válaszolni. A fordítás és a költemény konjugált kört alkot, Bohr komplementaritási elve és Heissenberg határozatlansági összefüggése is befolyásolja, korlátozza.

Nyelvünk a makroszkopikus Univerzumban jött létre (Varga Csaba szerint a magyar az ősanyanyelv) ezért az Univerzumon túlmenő jelenségek nem fejezhetők ki vele, ide már isteni nyelv szükséges. De mégis a matematika és a költemény a kognitív metaforáival áthatol az új dimenzióba.

Függelék

Matematika és irodalom

Bencze Mihály

Tekintsünk egy értelmes mondatot. A mondat minden egyes betűje alá írjuk azt a számot, ahányszor az illető betű előfordul a mondatban; így egy olyan számsorozatot kapunk, amely a kiindulási mondattal azonos hosszúságú. Eme számsorozat valamennyi eleme alá beírjuk az illető szám előfordulásainak számát a számsorozatban, majd ugyanezt ismételjük meg a keletkezett új számsorozattal stb. Mindaddig folytatjuk ezt az eljárást, amíg olyan sorozathoz nem jutunk, amely megegyezik a (közvetlenül) fölötte állóval.

Nézzük a következő példát:

$$\begin{matrix} \text{Á} & \text{L} & \text{O} & \text{M} & \text{B} & \text{A} & \text{N} & , \\ 1 & 4 & 1 & 2 & 2 & 1 & 5 & \\ 10 & 4 & 10 & 6 & 6 & 10 & 5 & \\ 10 & 4 & 10 & 6 & 6 & 10 & 5 & \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} \text{S} & \text{Z} & \text{E} & \text{R} & \text{E} & \text{L} & \text{E} & \text{M} & \text{B} & \text{E} & \text{N} \\ 3 & 1 & 8 & 1 & 8 & 4 & 8 & 2 & 2 & 8 & 5 \\ 3 & 10 & 8 & 10 & 8 & 4 & 8 & 6 & 6 & 8 & 5 \\ 3 & 10 & 8 & 10 & 8 & 4 & 8 & 6 & 6 & 8 & 5 \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} \text{N} & \text{I} & \text{N} & \text{C} & \text{S} \\ 5 & 1 & 5 & 1 & 3 \\ 5 & 10 & 5 & 10 & 3 \\ 5 & 10 & 5 & 10 & 3 \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} \text{L} & \text{E} & \text{H} & \text{E} & \text{T} & \text{E} & \text{T} & \text{L} & \text{E} & \text{N} & \text{S} & \text{É} & \text{G} & . \\ 4 & 8 & 1 & 8 & 2 & 8 & 2 & 4 & 8 & 5 & 3 & 1 & 1 & \\ 4 & 8 & 10 & 8 & 6 & 8 & 6 & 4 & 8 & 5 & 3 & 10 & 10 & \\ 4 & 8 & 10 & 8 & 6 & 8 & 6 & 4 & 8 & 5 & 3 & 10 & 10 & \end{matrix}$$

A mondatok többsége a példánkéhoz hasonlóan viselkedik, azaz már a harmadik számsor megegyezik a másodikkal. Ritkábbak az olyan mondatok, amelyeknél csak a negyedik vagy annál későbbi sor ismétlődik, ilyenek például a következők:


„A BOLDOGSÁG RELATÍV; S CSAK UTÓLAG ISMERHETŐ FEL”
(Peter Marshall),


illetve


„AZ EMBER NEM ANNYI, AMENNYI, HANEM ANNYI, AMENNYI TŐLE KITELIK”
(Örkény István).


Annak érdekében, hogy minél több különböző számsor után következzék csak be ismétlődés, keressük az alapmondatot

\[ \begin{array}\text{(1)} & a_{1}, a_{2},…, a_{t}; \enspace tb;\end{array} \] \[ \begin{array}\enspace 2tc; \enspace 2^{2}td; \enspace 2^{3}te;…; \enspace 2^{k}tz \end{array} \]

alakban, azaz úgy, hogy abban $t$-féle betű 1-szer, egy betű (itt a $b$ jelű) $t$-szer, egy másik $2t$-szer, egy $2^{2}t$-szer,…, egy pedig $2^{k}t$-szer forduljon elő. A $t=2$, $k=2$ esetre egy példa:


EKE KEREKE KELLENE


(ekkor öt különböző számsor keletkezik). A fenti képlet „hígítható” is, a következőképpen: ha az $n$ a $t$-hez relatív prím, a mondatot kibővíthetjük $n$ darab $x$ és/vagy $n^{2}$ darab $y$ és/vagy $n^{3}$ darab $a_{1}$…”-jelű betűvel”, ahol $x, y, z, \dots$ az eredeti mondatban nem szerepelt, egyébként tetszőleges betűk lehetnek. Például az előbbi mondat típusának egy lehetséges hígítása:


AZ ELMENT MELEG TELET TEMETGETEM.


Vizsgáljuk meg a továbbiakban, legfeljebb hány különböző számsort kaphatunk egy (értelmes) egyszerű mondat révén. Tegyük fel, hogy a szóban forgó mondat összesen $n$ betűből áll. A mondathoz tartotó $i$-edik számsorozatban $n$-nél nem nagyobb természetes számok állnak, és ezek közül bármelyik $k$ érték legalább $k$-szor fordul elő. Pontosabban, egy $k$ szám $l·k$ helyen szerepel itt, ha az $i-1$-edik sorban $l$-féle olyan szám (vagy, $i=1$ esetén, betű) található, amely ott $k$-szor fordul elő. Megállapíthatjuk, hogy az $i+1$-edik sor éppen akkor különbözik az $i$-ediktől, ha az iménti $l$-ek között létezik $l$-nél nagyobb. Jelöljük a különböző számsorok számát $d$-vel; $i=1$-től $d-1$-ig haladva legyen az $i$-edik sorban $a_{i}$ a legkisebb olyan szám, amelyik alatt az $i+1$-edik sorban nála nagyobb többszöröse áll. Megmutatjuk, hogy

\[ {a}_{1}\le \frac{{a}_{2}}{2}\le \frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}\le \dots \le \frac{{a}_{d-2}}{{2}^{d-3}}\le \frac{{a}_{d-1}}{{2}^{d-2}} \]

Választásunk folytán az $i+1$-edik sorban $a_{i+1}$ (bármelyik előfordulása) alatt nála nagyobb szám áll. Ez azt jelenti, hogy az $i+1$-edik sorban $a_{i+1}$-nél több $a_{i+1}$-es található, vagyis az $i$-edik sorban legalább két különböző szára is $a_{i+1}$-szer szerepel. Egyikük – jelöljük ezt $r$-rel – valódi osztója (az alatta álló) $a_{i+1}$-nek, így $r≥a_{i}$, tehát valóban \( {a}_{i}\le r\le \frac{{a}_{i+1}}{2} \).

A bizonyított egyenlőtlenségek alapján ezért

\[ \begin{array}{}\text{(2)} & {1\le a}_{1}\le \frac{{a}_{d-1}}{{2}^{d-2}}.\end{array} \]

Látható, hogy a (2) becslés szempontjából az (1) szerkezetű mondatok optimálisak, hiszen $t=2$ esetén a lehető legnagyobb $d$ értéket adják. Mivel a $d$-re kapott felső korlát lényegében a mondat hosszának logaritmusa, azért (egyszerű mondatnál) $d$ valószínűleg nem lehet több 6-nál. A $d=6$ elérhető, például:


EDE, KELLENEK-E ERRE E KEREK EKEKEREKEK?


Összetett mondatra $d$ lehet 7:


EDE, ERRE KELLETTEK FEKETE KEREK EKEKEREKEK,
MERT ELREPEDTEK FELETTED KEREK EKEKEREKEK?!


Kérdés, hogy lehetséges-e még $d=8$; elég valószínű azonban, hogy $d=9$ már nem fordulhat elő.

Ha értelmezzük egy mondat magasságát mint a belőle képzett különböző számsorozatoknak a számát, akkor ezzel új lehetőség nyílik irodalmi alkotások elemzésére. Például a versek soraihoz vagy a novellák mondataihoz hozzárendelhetjük a magasságukat, és vizsgálhatjuk ezeknek az értékeknek az eloszlását. Hasonlóan próbálkozhatunk zeneművek ilyetén tanulmányozásával is… Mindezeknek a gondolatoknak a továbbvitelére már a kedves Olvasót biztatom, hiszen – Karl Weierstrass szavait idézve – „Az a matematikus, aki nem költő is egy kicsit, nem lehet igazi matematikus.”

Középiskolai Matematikai Lapok (KÖMAL), 1992/6, 250–252. p.