Borges és a matematika szépségei

Paár Tamás
Guillermo Martínez: Borges és a matematika. Budapest, Európa, 2010. Fordította: Kutasy Mercédesz.
matematika, halmazelmélet, Georg Cantor
szóelválasztás

Hadd mondjam egy focicsapat drukkerének lelkesedését idéző T/1-ben: mi, magyarok – mint gyakran megnyilvánuló reményeink szerint oly sok mindenben, és éppoly gyakran megmutatkozó borúlátásunk alapján annyi más mindenben nem – a matematikában világszínvonalút alkottunk. Sőt, (csak a leghíresebbeket említve) a két Bolyai, Pólya, Neumann, Erdős és a nem is olyan régen Rolf Schock-díjjal jutalmazott Szemerédi Endre összességében olyan eredményeket mutattak fel a matematikában, annak elméletével és felhasználásával kapcsolatosan, mint amilyeneket a magyarok talán semmi másban sem.

Reuben Hersh A matematika természete című művében a nagyjából száz évvel ezelőtt született zsidó származású magyar matematikusokat összefoglalóan egyenesen a „magyar iskolaként” emlegeti, melynek tagjai közti hasonlóságokat nehéz megfogalmazni, de könnyű felismerni. Ő így véli ezt a közös nevezőt leginkább megragadhatónak:

Erőteljes vonzódás a konkrét, speciális, emberi vonatkozáshoz. A hivalkodás, felfuvalkodottság, a hamar semmivé foszló általánosságok és öncélú szószaporítás kerülése. Széles intellektuális és kulturális látókör, kitekintés a történelemre, irodalomra és filozófiára.

Továbbá az a felismerés, amely témánk szempontjából a leghangsúlyosabb:

hogy a matematika az emberi kultúra része.

A „magyar iskola” tagjai közül Rényi Alfréd, Alexander Bernát unokája, számos matematikát népszerűsítő írás szerzője így fogalmazott egy helyütt:

A matematika bizonyos tekintetben mindig is összekötő kapocs szerepét játszotta a különböző tudományok, valamint a tudomány és a művészet között. […] Ugyanakkor a matematika az összes tudományok közül – érzésem szerint – a legközelebb áll a művészetekhez.

Ugyanerre emlékeztet minket Guillermo Martínez Borges és a matematika című műve is, mely egyike az elmúlt évben az Európa Könyvkiadónál megjelent Borgesről szóló két könyvnek. Edwin Williamson monográfiájával szemben azonban nem is annyira Borges a főszereplője, hanem inkább a matematika és az esztétikum, a matematika és az irodalom metszete.

Mégis beszélhetünk e konvergencia mellett a kötet műfaji és tematikai sokszínűségéről. Található benne előadás, interjú, jegyzet, könyvbemutató és -kritika, szerepelnek itt egy matematika(történet)i hipotézis előterjesztésének dokumentumai; mindazonáltal összességében az esszé-jelleg dominál. A könyv ötven százalékát teszi ki a kétrészes címadó előadás szövege, a Borges és a matematika szövege. A legtöbb ezután következő írás az elhangzottak függelékének is tekinthető, az első részben érintett problémák bomlanak ki a folytatásban. Ebből a szempontból Martíneznek két, az előadásban felhozott cikke sajnos hiányzik: a Borges és három matematikai paradoxon (Borges y las tres paradojas matemáticas), valamint a Visszatérés „Az Alef”-hez (Un regreso a „El Aleph”).

Guillermo Martínez

A kötetnyitó előadás tökéletlen, de előnyére legyen mondva, hogy hibáit az előadó is elismeri. Ugyanis nemcsak hogy nem jut végére a mondandójának, de mivel célkitűzése, hogy azok is megértsék, akik szinte még harangozni se hallottak a matekról, szükségképp felskiccelheti csupán a kemény dió-jellegű matematikai teóriákat, bevallva: nem tartja be az igazi matematikusokhoz illő szabatosságot. Ám ez sajnos sokszor egészen bántó ferdítésekhez vezet könyvében.1 Továbbá elismeri, hogy nézőpontja szükségképpen torzítja tárgyát, „az interpretáció ingatag talaján” mozog.

  • 1Martínez a kötet huszonhetedik oldalán, annak bemutatására, hogy ugyanannyi racionális szám létezik, mint amennyi természetes szám, az ún. Cantor-féle átlós módszert használja. Ez némi terminológiai zavart okozhat, hiszen eredetileg ez a Cantortól származó módszer annak bizonyítására szolgált, hogy a (0,1) intervallum valós számainak halmaza és a természetes számok halmaza nem azonos számosságú. Ugyanakkor nem szabad elfeledkeznünk arról, hogy ez a fajta bizonyítás egy gyakran alkalmazott fogásnak, az ún. Cantor-féle átlós módszernek a prototípusa. (Ruzsa Imre A matematika és filozófia határán [306. p. jegyzet] című kötetének nyomán.) – A szerk.

Tud arról is, hogy Borges műveiben a matematikai elemek „»valami mássá« lesznek”, stílussá, irodalommá. Arra azonban nem fektet kellő hangsúlyt, hogy ugyanitt a matematika a mágia eszköze is, és nem ejt szót Borges igen jellemző témájáról, a „misztikus permutációról”, melynek értelmében minden lehetséges variáció lejátszódik az örök visszatérésben (lásd elsősorban verseit és prózakölteményeit, például az Alexandria, Kr. u. 641 és a Cselekmény címűeket). Redundáns, de összefüggő témái néha egymástól távolabb kerülnek tárgyalásra. Egy szó, mint száz: kötetlen előadásokról beszélünk.

Ahelyett, hogy összegyűjtené a Borges-művekben fellelhető matematikai motívumokat, továbbutal minket ebben a kérdésben egy magyarul sajnos nem olvasható kiadványhoz, és inkább e motívumok tipizálását végzi el, három archetípusba gyűjtve őket, Az Alef című összegző novella alapján. E három típus a következő: a végtelen és a végtelenek; „a gömb, melynek a középpontja mindenütt van, de a felszíne sehol”; valamint a matematikai autoreferencia, azaz az „önhivatkozás” problémája. (Utóbbi megnevezés azokat a paradoxonokat és furcsaságokat öleli fel, melyek abból következnek, ha egy tárgy tartalmazza saját magát, vagy hivatkozik saját magára.) De hozzátehetjük Martínez mondandójához: e három toposz mutációi mind ugyanarra az ősforrásra vezethetők vissza. Hiszen ez a bizonyos gömb „melynek a középpontja mindenütt van, de a felülete sehol”, éppenséggel nem más, mint egyfajta végtelen, amelyben az egész saját magának a része is lehet.

A második előadás kapcsán újfent beszélhetnénk hármasságról, s ez a „háromság” ismételten egy tőről fakad. Itt a matematika és a „kreatív”, alkotói folyamatok közti megfelelések kerülnek vizsgálatra. Először is megjelenik az egyetemes vs. konkrét témája, az absztrakció és a példányok viszonya:

amikor Borges ír, jellegzetesen példákat, analógiákat, hasonló történeteket halmoz: az elbeszélni kívánt história változatait

(lásd ehhez a fent emlegetett permutációkat és mutációkat).

Borges-nél sokszor egy témának nemcsak pusztán a példái, illetve variációi szerepelnek, hanem egyre absztraktabb változatai. Martínez szerint e szerzői technikája párhuzamba állítható a tudományos absztrakcióval, fogalomképzéssel.

A matematika, valamint Borges irodalma (és általában minden művészet) párhuzamai közt másodikként lenne említhető a matematikai érvelés esztétikuma, amelyre az előadásokban Martínez nem sok időt pazarol, külön pontot sem szentel ennek, ehelyett viszont önálló esszében mutatja be. Ahogy az előadásban mondja:

A matematikusok nem fogadnak el bármiféle tételt. Nem mindegy nekik akármilyen végeredmény, hanem mindig szem előtt tartanak bizonyos esztétikai megfontolásokat. A matematikában nem lehet akármelyik megoldás jó megoldás; bizonyos mértékig szépnek kell lennie…2

  • 2A Megoldások és csalódások című esszében viszi e témát tovább, az elmondottakhoz hozzátéve: a matematikában egy esztétikai jellegű nehézség kezd körvonalazódni, mivel a számítógépek már képesek olyan problémák megoldásával szolgálni, amelyekkel még egy ember sem – ám egy ilyen megoldást éppen a szépség kritériumánál fogva egyetlen matematikus sem fogadna el valódiként.

Hadd folyamodjak itt ismét Rényihez, az analógia explicitebbé tételéhez:

Jellemző […], hogy egy matematikai bizonyítással kapcsolatban a leggyakrabban használt elismerő jelzők azok, hogy »szép«, »elegáns« […] Hangsúlyozni szeretném ezzel kapcsolatban, hogy itt többről van szó, mint pusztán a matematikusok lelkesedéséről tudományuk iránt: a matematikában a forma és a tartalom objektíve elválaszthatatlanok […] Úgy lehetne jellemezni a helyzetet, hogy a matematikában bizonyos tekintetben hasonló viszonyban áll a forma és a tartalom, mint a művészetekben, az irodalomban.

Az előadások utolsó témája, és egyben harmadik pontunk „az elbeszélés logikai szerkesztése”. Itt az előadó megállapítja, hogy az invenció/találékonyság és a logika/értelem hasonlóképp egymás támogatására szorul egy szépirodalmi mű keletkezésekor, és egy matematikai bizonyítás megalkotásakor is. Az egyértelműnek tűnő különbség jobb megértéséhez azonban vissza kell olvasnunk az egyes számú előadás egyik megjegyzését:

[M]i a különbség? Az, hogy létezik egyfajta formális protokoll, melynek segítségével az igazság, amit a matematikus embertársaival közöl, alapelvek és minden matematikus által elfogadott »játékszabályok« segítségével lépésről lépésre bebizonyítható. Egy esztétikai tény bizonyítása azonban nem ilyen általános.

Ezek a különbségek mintha nem kerülnének szóba elég hangsúlyosan.

Jorge Luis Borges

A második előadás az Umberto Eco-féle filológiai krimik és a π című filmthriller előképéül egyszerre szolgáló elbeszélés, A halál és az iránytű logikai szerkesztésének elemzésével zárul, amelyet Martínez Edgar Allan Poe önmaga alkotói folyamatait vizsgáló cikkének rigorózusságával hajt végre.

A továbbiakban számba veszem az előadáshoz szorosabban kapcsolódó „szupplementumokat”, hol hosszabban, hol rövidebben tárgyalva őket. Az első cikkben Borges Gólem című verséhez nyúlva, annak inkább csak ürügyén fejti ki Martínez gondolatait a mesterséges intelligencia megteremtésére irányuló próbálkozások új korszakáról, amikor már az M. I.-t egy organikus test részeként gondolják modellálhatónak, és nem korpusztól független programként. Ezután következik Az elbeszélés mint logikai rendszer. Martínez maga is felidézte ezt az írását előadásai során, fő témáját pedig már bemutattam az előadásokról szólva, melyekben ő.

A Megoldások és csalódások című esszében is egy már vázolt témáról beszél (a matematikai esztétikuma), hozzátéve: a matematikában egy esztétikai jellegű nehézség kezd körvonalazódni, hiszen a számítógépek már képesek olyan problémák megoldásával szolgálni, amelyekkel még egy ember sem – de ezeket a levezetéseket éppen a szépség kritériumánál fogva szerinte egyetlen matematikus sem fogadná el valódi bizonyításként.

Az előadásban szintén szerepelt már Oliver Sacks, a humánus ideggyógyász egy esete, melyből kiindulva A pitagoraszi ikrek című írásban Martínez egy matematikatörténeti jellegű feltételezést ad elő, szerepeltetve az ötletére válaszként keletkezett e-mailek sorozatát is. Hosszabban idézi itt Sacks egy ikerpárról szól klinikai leírását. Ezeket az ikreket autistákként diagnosztizálták, és annak ellenére, hogy nem lehettek tisztában még a legalapvetőbb matematikai műveletek fogalmával sem, mégis képesek voltak megállapítani például egy kiborított doboz gyufa szálainak számát egy szempillantás alatt, vagy akár huszonöt számjegyű prímszámokat felmondani. Mindezt anélkül, hogy kiszámolták volna, egyszerűen „látták”, érzékelték a prímek harmóniáit – egyértelműen esztétikai élvezetet lelve bennük.

A Gregory Chaitinnel készült interjúban sok-sok témát érintenek a szereplők (ilyen a matematikai véletlen fogalma, a mesterséges intelligencia, a Gödel-tétel, az argentin identitás). Ennek hibája azonban ugyanaz, mint a kötetnyitó előadásé: a matematikai elméletek gyorsan, töredékesen vannak felvázolva, az olvasó nem igazán győződhet meg róla, hogy az elhangzottak valóban olyan nagy jelentőséggel bírnak-e, mint ahogyan azt a beszélők beállítják.

Az Irodalom és racionalitás című esszé a posztmodern szkepticizmus, illetve a megismerés és az alkotás lehetőségébe vetett hit intelligens ütköztetése, ahol is a szerző az utóbbi mellett áll ki, végül bizakodóan és egyszerre félszegen ide konkludálva:

Lehetséges, hogy mindez a meggyőződés egyszersmind egyfajta naivitás, de végső soron az ember minden alkotása meggyőződésből és némi naivitásból van összegyúrva.

Három, könyvekről szóló írást hagytam még hátra. Az Euklidész avagy a matematikai érvelés esztétikája Beppo Levi ismeretterjesztő könyvét mutatja be; az Egy túlságosan keskeny margó leírja a hírhedt Fermat-sejtés tétellé válásának kalandos történetét, és kedvcsináló egyben Simon Singh A nagy Fermat-sejtés című művéhez; a Ki fél a szörnyű egyestől? pedig A számördög című „matematikai meséskönyv” kritikája.3 És ezekről az irodalmi igényű, matematikai tárgyú szövegekről írva ismét csak aláhúzza Martínez: matematika és irodalom párhuzamosai nem csupán a végtelenben találkozhatnak egymással.

  • 3Utóbbi két mű magyar nyelven is hozzáférhető.

Martínez könyve durva pontatlanságai és „nemteljessége” ellenére azt legalábbis mindenképpen sikeresen húzza alá Borges írásművészetét segítségül hívva, hogy matematika és irodalom párhuzamosai nem csupán a végtelenben találkozhatnak egymással. Sőt, kapcsolatuk egyenesen esztétikai természetük által megalapozottnak nevezhető.

Jorge Luis Borges (1899–1986) argentin költő, elbeszélő, esszéíró, irodalomtörténész, filozófus, a 20. századi világirodalom egyik legjelentősebb alakja
Forrás

Elektronikus kézirat.