Végjáték

Kőszegi Lajos
matematika, kombinatorika, sakk
szóelválasztás

NICOLAS BOURBAKI (1930 után, feltehetően 25 évesen született, s minden jel arra vall, hogy a párizsi École Normale Supérieure egyik termében) az egyik legismertebb filozófus–matematikus, a második világháború utáni korszak legbefolyásosabb gondolkodója. Bourbaki egyszerre eszmeáramlat és egyben maga az iskola. Szeret elrejtőzni és csak művek által megnyilatkozni. Korábban a Poldaviai Királyi Akadémia tagja és egy korszakos munka szerzője, amely Éléments de Mathématiques címmel jelent meg 1939-től a Hermann et Cie kiadónál Párizsban. Indulatoktól és félreértésektől nem mentes vitákban, születési bizonyítvány hiányában, mára a matematikusok elismerték Bourbaki egzisztenciáját, bár nélkülözi az anatómiai porhüvelyt. Az Elemek című fő művének eddig mintegy harminc füzete jelent meg, több nyelven, melyet több ezer éve elveszett szellemi magatartás jellemez: a matematika nélkülözhetetlen új szintézise – bár egyenként egzisztáló, de névtelen lények által – csupán kollektív, szimultán és anonim munkaként jöhet létre. Mert a szellemi élet, s így „a matematika szempontjából nem az a lényeges, hogy ki talált magyarázatot bizonyos kérdéseire, hanem, hogy megtalálják ezt a magyarázatot” (Erdős Pál). Mindehhez társul a derű, amelynek tengelyén – ha nem is a Föld, de – az Univerzum forog. Az alábbi írást a Sur Métamathématique című kötetéből amputáltam.

Az Acapoulade kávéház a párizsi Latin negyedben, ahol a Bourbaki-csoport tagjai az első ülésüket tartották. Ma gyorsétterem van a helyén. A csoport első tagjai: Henri Cartan, André Weil, Jean Delsarte, Jean Dieudonné és Claude Chevalley voltak
A Bourbaki-csoport 1937-es kongresszusa Chancay-ban

DUCHAMP. Az ember nem tudja, hogyan él. Akkoriban a végjáték kombinációjának radikális konvergenciája érdekelt és messze álltam attól, hogy töprengéseimből bármit az önök tudomására hozzak. Hosszú éjszakákon át sakkoztunk anélkül, hogy bármelyikünk valamilyen döntő lépésre határozta volna el magát. Sakkpartnerem, Marcel Duchamp a játszmák közben módszeresen jegyzetelt és később könyvet írt ezekről az éjszakákról, amelyet Vitaly Halberstadt-dal közösen adtak ki L’opposition et les cases conjuguées sont réconciliées (Oppozíció és a megfelelő mezők összebékülnek) címmel. A könyv, talán nem szorul magyarázatra, nagyon közel állt hozzám, főképp az a része, amely benne nem nyilvánult meg. Duchamp egy alkalommal Pierre Cabanne-nak elmondta, mára már klasszikussá vált sakk-könyvének problémái a legteljesebb mértékben elméleti kérdések maradtak, s abból az égvilágon semmi sem hasznosítható. Ezzel mélységesen egyetértettem és a könyv címét nagyon is jónak találtam. Az oppozíció a sakkban olyan helyzet, amely ilyen vagy olyan műveletekre nyújt lehetőséget. A megfelelő mezők jelentik az oppozíciót, de mivel újabb találmány, más nevet adtak neki. Természetesen a régi eljárás szerint védekezők mindig civódtak az újakkal. Duchamp azonban kitalált egy rendszert – aminek mint bizonytalan apa mondhatom, inkább anyja volt –, amely megszüntette az ellentétet, összebékítette őket. Bár a végjáték, ahol ez az egész lejátszódik, egyetlen sakkozót sem érdekelt, mert még előtte mindenki feladja a játszmát. S ez a legkülönösebb. Az egész világon csak két-három embert érint, akik maguk is ugyanezzel kísérleteztek. A könyvet a sakkbajnokok sem olvassák, mert a probléma, amelyről szól, valójában jó, ha egyszer egy életben felmerül. A lehetséges végjátékok problémái ezek, de oly ritkák, hogy majdhogynem utópisztikusak.


SZESSZA. Emlékezni jobb egy problémára, mint felvetni és kidolgozni, ugyanis a probléma beágyazódik egy re/dekonstruálhatatlan doxábaa, amiből soha többé nem hozhatjuk ki. A közismert történet elbeszéli, hogy Shehram, a hindu uralkodó nyomorba döntötte népét és a pusztulás szélére sodorta az országot. Szessza brahman úgy akarta figyelmeztetni a királyt, hogy annak haragját maga ellen ne hívja ki. Egy játékot szerkesztett, amelyben a legfőbb figura – a sah, azaz maga a király – semmit sem tehet tisztjei és katonái nélkül. A célzás félreérthetetlen volt. A királyra mély benyomást gyakorolt a különös játék. Magához hívatta a brahmant, jutalmul az életbölcsességéért és a lenyűgöző játékért megígérte, hogy bármit kérhet, minden megad neki. Szessza hallván az elbizakodott hangot, kénytelen volt újabb leckét adni a királynak. Látszólag nevetségesen csekély jutalmat kért. Mindössze annyit kívánt, hogy a király adasson neki annyi búzát (a nép éhezett), amennyit egy ártatlannak tűnő haladványszabály szerint a tábla mutat. Az első négyzetre egy búzaszemet tegyenek, a másodikra kettőt, a harmadikra kétszer annyit, mint az előzőre és így tovább. Minden mezőn kétszer annyi búzaszem legyen, mint az előzőn. A király nevetett és a csekélynek látszó jutalomigény teljesítésébe könnyen belement. Igen hamar kiderült, hogy a brahman kívánságát nem lehet teljesíteni. Ugyanis a hatvannegyedik mezőre már 17 jegyű számmal leírható mennyiségű búzaszem esett volna. Összesen 18 quintillió 446 quadrillió 744 trillió 73 billió 709 millió 551 ezer 616 búzaszem. Ez valamivel több, mint 922 milliárd köbméter búzát jelentett volna. Ennyi búza száz év alatt nem teremhetett akkoriban a földön.b

  • adoxa görög olyan vélemény, amely lehet, hogy részben igaz, de (igazságát) teljesen nem lehet megmagyarázni. – A szerk.
  • bA képlet egyszerű: n>1 esetén: 2+22+23+24+…+2n=2(n+1)–2. Mivel csak a második négyzeten kezdődik a kettessel való történet, ezért 63 négyzettel + 1 búzával kell számolni. Tehát 264–2+1 azaz 264–1=18 446 744 073 709 551 615 a megfejtés. Mivel ez így egy pusztán hosszú szám és nem mond semmit, kis kereséssel megtudhatjuk, hogy a búza 1000 magtömege 5–6%-os nedvességtartalomnál 43–47 g körül van, számoljunk 45 g/1000 magtömeggel. Az eredmény: 830 103 483 317 tonna ~830 milliárd tonna. Az USA búzatermesztése 2013-ban ~700 millió tonna volt.

BURCKHARDT. A közismert történet a sakkjáték mágikus vonzásának, kimeríthetetlen titkai megfejtésére irányuló kísérleteknek a nyitánya. E kezdetekről egy alkalommal igen kellemesen elbeszélgettünk Titus Burckhardttal, kiindulópontunk al-Mas’ udi Aranyló Puszták című könyve volt, amely a 11. században keletkezett. Egyetértettünk abban, hogy a sakktábla formája a Vastu-mandala klasszikus típusának felel meg, e diagram – az Univerzumot magába foglalva – templomok vagy városok alaprajzát is képezi. Ugyanakkor a sakktábla négy fekete és négy fehér négyzete olyan alapvázlat váltakozó alakja, amelyben nem volt nehéz felismerni felismerni a Siva-mandalá-t is. A Vastu-mandala szimbolikusan a Nap körpályájának kvadratikus jelképe, amely a védikus templomok alapját képezi. A mandala közepén helyezkedik el Brahma városa – a lét centruma. Tükörképe a dévák által legyőzött asurák világának, ahol többé már nem a sötétség erőinek földi méretekben kimeríthetetlenül megtapasztalt, hanem a fénynek elképzelhetetlen uralmát nyögi kéjesen a világ. A sakkjátékban megvalósuló küzdelem az istenek (dévák) és démonok (asurák) harcát jeleníti meg, és a játék minden jelentése ebből ered. Beszélgetéseink eredményeit Burckhardt relevánsan és kedvemre való tömörséggel írta le a Symboles. Recueil d’essais című könyvében. A sakk legmélyebb misztériumáról azonban ő sem tudott többet mondani, mint amiről akkor hosszasan hallgattunk – a sakktábla a tér-idő ciklikusságának meg-nem-nyilvánuló centruma.


POINCARÉ. Az európai mezőnyre nagyon jellemző Janis orosz matematikus és sakkteoretikus 1982-ben, francia nyelven megjelent monumentális, háromkötetes műve, amely kombinatorikai problémák gyűjteménye. Helyesebb lett volna háromezer kötetben megírni, mert az talán elfogadhatóbb bevezetése lehetett volna egy háromszázezer-kötetes bevezetésnek. Ugyancsak jellemző a több évszázados, sokáig meddő kísérletezés az Euler-probléma megoldására, amely a ló (huszár) menetmódját írja le, amelynek lényege, hogy a figura a tábla minden mezőjét csak egyszer érintse. Ma persze mindez egy személyi számítógépen könnyen elvégezhető. A zárt ciklusú mozgatások mellett (Moon, Moivre, Roge) sokakat foglalkoztatott a figurák elhelyezésének problémája, többek között Gausst is. Az egyetlen megnyugtató eredmény, amely szerintem Gödel eldönthetetlenségi tételéig vezet el, az az eredménytelenség volt, amikor végre Poincaré kimutatta, hogy matematikai sakkelmélet nem állítható fel, ugyanis a sakktáblán minden elmélet megbukik. „Mi van akkor, hogyha mind a két fél hibátlanul játszik?” – kérdezte egyszer Duchamp, miközben kifejtette, hogy számára a sakkjátékban rendkívül szép dolgok vannak a mozgásban, de vizuális téren egyáltalán nincsenek. A mozgás vagy gesztus elképzelése teremti meg a szépséget ebben az esetben és ez teljes egészében az elmében zajlik. Nem tudtuk, miért ülünk le minden este a tábla elé, csak utólag jöttem rá arra, hogy mi vonzott a sakkban – úgy emlékszem, az ok nélküli játék. Persze valójában nincs más játék, mint Istené, s ebben a játszmában Ő az egyedüli játékos. Duchamp azt mondta, hogy számára a sakkjátékosok közege sokkal rokonszenvesebb, mint a művészeké. Ezeknek az embereknek a látása tökéletesen elhomályosodott, teljesen megvakultak, azonban egy különös belső látás jellemzi őket. Nietzsche például ideális játékos lehetett volna, minden paramétere megvolt hozzá, de hirtelen félbe maradt egyetlen játszmájában – az örök ciklikusság gondolata mögött – nem ismerte fel sakk-mandalá-t. Duchamp is csak addig jutott el, hogy ez az ideális műalkotás.


BERGMAN. A hibátlan játék problémáját – legalábbis elfogadható formában – Krochmalny vetette fel, s hozzátette, hogy a jelenkori logika eszközeivel pontosan meg lehet határozni, mi a hibátlan játék. Ezt a nézetet, amelyet hipotetikus formájában sokan vonzónak találtak, nem tudtam osztani. Bár a logikát, ha lehet, majdnem annyira szeretem, mint a jó bort vagy szép nőt, s a logika jövőjét csupán jelenkori logikánk mocsarától féltem, de amit jelenkori eszközeinkkel képesek vagyunk meghatározni, az sem nem hibátlan és sem nem játék. A közönséges sakkjáték olyan mérhetetlenül bonyolult, hogy aki csak egyszer is leült a táblához, és lépett egyet – hacsak nem csapja be önmagát – tudja, hogy hibázott. A sakkjáték lényegét spekulatív módszerekkel nem érthetjük meg. Más esélyeink vannak akkor, ha Stockholm mellett egy kis faluban belépünk a templomba és türelmesen nézelődünk. A középkori freskó egyik jelenetében a Halál sakktáblát tart a kezében, a másik jelenetben – Bergman által megfilmesített – játszma folyik. Antonius lovag, visszatérve a keresztes hadjáratból, mélységes válságba zuhan, Isten létezése iránt kételye támadt. Kihívja a Halált, a tét az élete, ha győz, akkor a Halál feltárja előtte a lét titkát. Ez a játszma azonban pusztán az élettől gondolatilag leválasztott és hamis egzisztenciával felruházott halálképzeteknek kedvez. A sakkjáték egészen más.


RAHU. A sakktábla 8×8 mezőből áll. A nyolcas szám képzésének metamatematikai problémái (a négytagú sémák – kereszt, égtájak, napszakok, őselemek stb. – felezése) kutatásakor érdemes magára a szám ikonográfiájára figyelni. Az arab származtatású nyolcas jelét mindenki ismeri („8”). Miről van szó? A nyolcas mindazt jelképezi, ami Isten után van, ami a hetedik nap után történt. A nyolcas szám mindazt jelképezi, amit az ember kígyólogikája teremt. A nyolcas: dupla nulla, emeletes/kétszer semmi – az ember önarcképe. A hét nap az égből jön: a Nap, a Hold és az öt látható bolygó (Merkúr, Vénusz, Mars, Jupiter, Szaturnusz) analógiája, amelyek nevét a különböző nyelvek őrzik. Ezt a hinduk is ismerték és még tudtak valamit, hogy van egy nyolcadik „nap” is. Amint ezt Burckhardttal kitárgyaltuk, a hindu kozmológia minden esetben számol a megfordítottság és a kivételesség elvével, amely a megnyilvánulás ambivalens jellegéből adódik: a csillagoknak természetük, hogy fénylenek, de mivel a csillag nem maga a Fény, kell lennie egy sötét csillagnak is. A „nyolcadik nap” Rahu, a „fogyatkozások” sötét csillaga vagy bolygója. Amikor ugyanis az istenek megkóstolták az amritát (ambroszia vagy szoma), a halhatatlanság italát, Rahunak a démonnak is sikerült csellel belekortyolnia. Ezt észrevették és Visnu levágta Rahu fejét, csakhogy a démon feje az amritától már halhatatlanná vált és az égbe emelkedett. Azóta ez a fej bosszúvágytól fűtve időről időre elnyeli a Napot és a Holdat. A sakktábla ciklikus szimbolikájának alaptémája, a nyolcas sémája (4×4×4=8×8), amely kifejezi azt is, hogy minden létfázis egy bolygó vagy csillag uralma alatt áll. Relatív végül: a nyolcas élére állított végtelen, ami kifejezi az ember eredetét (halhatatlanságát) és tennivalóját önmagán (a divinációt). A nyolcas megértése a sakk első leckéje.


BOLYAI ÉS A TÖBBIEK. A sakktáblán egymás nélkül nem létező világos és sötét csoport, úgynevezett páros áll, úgy mint jobb és bal, jang és jin, Ábel és Káin, férfi és nő (ez utóbbival kapcsolatban meg kell jegyeznem, hogy a nőnek fiatalnak kell lennie, mint mikor Pascal, Galois, Abel, Bolyai János, Lobacsevszkij, Riemann, Félix Klein, Jacobi, Lie és mások legjelentősebb eredményeiket elérték). Tehát a páros magában foglalja a két fél duális szervezettségét és dichotom egységét. A binárisan létező két pólusának bármilyen neutralizálása végzetes. Nem mondhatjuk, hogy van jó és rossz, van igen és nem. Csak azt mondhatjuk, hogy el-nem-különíthetően együtt vannak. Agyunk egyik felével megölhetjük a másikat, ami bizonyos tekintetben figyelemre méltó, ám életünket kénytelenek volnánk befejezni.

A sakkjáték a szellem próbaköve, mondja Goethe. Hozzá tehetjük, hogy a sakkjáték rokona a piramisoknak és a katedrálisoknak – „királyi művészet”, gyakorlása során a teremtett világot csak törvényével összhangban kormányozhatjuk. A sakktáblán végbemenő mozgások minden alkalommal mások és mások lehetnek, és nem rendeződnek olyan sorba, amely matematikailag a legcsekélyebb mértékben is alá lenne támasztva. Minden matematikai megközelítés, bármily beláthatatlanul véges a kombinációk sora, egy kiismerhetetlen falba ütközik, amelyen a számok nem hatolnak át. „Csak Isten tudja bevégezni a számításokat, mi csak a bizonyításokat tudjuk befejezni” – mondta nem kis meglepetésemre egyik tanítványom, Donald Knuth. Persze mindenkinek van egy jó mondata, szeretném erősíteni ezt a szabályt.


CUSANUS. A művésznek joga (bizonyos fokig kötelessége) és lehetősége van (az érzelmek relatív logikai függetlensége folytán) arra, hogy az elvont érzéseket és hangulatokat új modelleken reprezentálja. Ha a modell ilyen anakronisztikus, mint a sakk, akkor vagy axiómarendszerén belül maradunk, vagy megkíséreljük kijavítani az axiómákat az önkényesség teljes kizárásával. Axiómát eldobni nem lehet, mert visszajön. Változatlanul a teremtés hetedik napja után vagyunk. A mi dolgunk az (ezen a hosszúra nyúlt nyolcadik napon), hogy kijavítsuk önmagunk gondolataiba gyökeret vert axiómákat, hogy a bennünk élő ember – Cusanusszal szólva – illa imitari protest Deum (Isten módjára cselekedjék). A sakktáblán a figurák megkerülhetetlen szabályok (egy törvény) szerint (de ezen belül szabadon) léphetnek, ahogy valamennyien saját életünkben. Visszalépni nem lehet, mennünk kell tovább, vár ránk a vég. A sakkjátékban kettő játszik. Életünkben egyedül önmagunkkal játszunk, a bennünk élő sötét a bennünk élő világossal. Nem tudjuk, ki győz, világos vagy sötét? A végjátékban megszűnnek az ellentétek, a megfelelő mezők összebékülnek. Az ember nem tudja, hogyan él.