Keresd a nőt!

A Buffon-féle tűprobléma
T. A.
matematika, valószínűségszámítás, geometriai valószínűség
szóelválasztás

Georges-Louis Leclerc Comte de Buffon (1707–1788) francia természettudós, matematikus, biológus, csillagász és író, korának egyik legjobb zoológusa – ez már elegendő ahhoz, hogy igazi polihisztorként emlegessük, akiről még Darwin is megemlékezett A fajok eredete 6. kiadásának előszavában. Az evolúciós gondolkodásban játszott szerepét méltatja eképpen, a természetes szelekció elméletével kapcsolatosan: „e gondolat első modern, tudományos szellemű tárgyalója Buffon volt”.

No, de hol itt a matematika és hol itt a nő?

Buffon gróf nevéhez fűződik a matematikában a geometriai valószínűség fogalmának bevezetése. A felfedezéshez egy legendás történet fűződik:

A gróf viszonylag későn, 45 éves korában házasodott meg. Korának szokásaitól eltérően, szerelemből vette nőül a szép és nagyon fiatal, mindössze 20 éves Françoise de Saint-Belin-Malaint. Az ifjú feleség szívesen kötögetett, a szerelmes férj pedig hosszasan elnézegette asszonykáját e tevékenység közben. Talán az izzó tekintet tette, talán más, de Françoise gyakran elejtette kötőtűit, s mivel Buffon gróf nem csak a feleségének, de a matematikának is szerelmese volt, elkezdte módszeresen megszámlálni, hogy a tű hányszor metszi párhuzamos deszkákból álló padlójuk illesztéseit. Így merült fel benne a kérdés, mi lehet a valószínűsége annak, hogy a leeső tű metszi a padló vonalát. (Ez nyilván függ a vonalak távolságától és a tű hosszától – lásd mellékelt ábra.)

Buffon gróf megfigyeléseiből a következő képlettel válaszolt a kérdésre:

$P=\frac{2l}{d\pi}$, ahol $l$ a tű hossza, $d$ pedig a deszka szélessége, és $l \leq d$ ($P$ a valószínűség jele.)

Képletében szerepel a matematika egyik nevezetes irracionális száma, a $π$. A Buffon-képletet a zürichi Rudolf Wolf rendezte át a $\pi$-re. $5000$-szer ejtett le egy $35$ mm-es tűt, a deszkák illesztéseinek távolsága $45$ mm volt. Az értékeket behelyettesítve az átrendezett képletbe a $\pi$ értékére a meglepően jó, $3,1596$-os közelítést kapta.

($\pi\sim 3,1416\dots$) Természetesen pontos közelítést csak végtelen számú „leejtés” hozhatna.

Az University of Illinois egyik oldalán találtam az alábbi látványos szimulációs alkalmazást a π közelítésére a Buffon módszere segítségével. – A szerk.

We'resorry,yourbrowserdoesnotsupportHTML5Canvas...
Loading, please wait...

  • Needle Scale =
  • Extent = Perimeter / Greatest Vertex Distance =
  • Number of Drops =
  • Number of Hits =
  • Drops / Hits =
  • π ≈ 2 * Extent * Scale * Drops / Hits =

Drop Shape


Így vezette be 1777-ben Buffon gróf a geometriai valószínűség fogalmát, ami szemben a kombinatorikussal (ez utóbbi a kísérletek kimenetelei bekövetkezésének számával dolgozik) geometriai, pl. területszámítási módszereket igényelt. Az ilyen feladatokban feltételezzük, hogy a vizsgálat tárgyául választott véletlen pontok egy adott tartományban egyenletesen oszlanak el (pl. céltáblán a lövedékek becsapódási helyei). Tehát a megadott tartomány bármely kis résztartományába esés valószínűsége egyenlő a résztartomány és az egész hosszának, területének, térfogatának arányával.

Kitűnő és sokoldalú tudományos munkássága ellenére Buffon gróf saját korának elismerését nem élvezhette. Bár összeállított több kortársával együtt egy 50 kötetesre tervezett nagy összefoglaló természetrajzot, ebből életében végül 36 jelent meg, a címe Histoire naturelle generale et particuliere. A mű a zoológia, az antropológia és a geológia terén a kor legjobbjai közé számított. Buffon a földtanban a történeti szemléletet hirdette minden teológiai magyarázattal szemben. Modern látásmódjával Newtonnal is szembehelyezkedett, istent kizárta a tudományokból.

Buffon számára vigaszt nyújtott, hogy már 26 évesen a Párizsi Akadémia tagja lehetett, majd kinevezték a Jardin Royal des Plantes (a párizsi füvészkert) igazgatójává.

A király kerjének izometrikus képe
Frédéric Scalberge (1542–1640) · 1636 · Bibliothèque du Muséum national d’histoire naturelle, Paris

Sajnos, a nagyobb szakmai elismertség hiányát a gróf magánélete sem pótolhatta. Egyetlen fiúgyermeke született, akit természettudományos pályára szánt, minden anyagi és szellemi feltételt megteremtve neki egy szép karrier reményében. A tékozló fiú viszont szakított apjával, kicsapongó, léha életet élt, s 1794-ben guillotine alatt végezte be sorsát.

Georges-Louis Leclerc de Buffon (Bourgogne, 1707–Párizs, 1788) – gróf, francia természettudós
A Histoire Naturelle 1783-as párizsi kiadásának első kötete