Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés

Részletek
Aposztolosz Doxiadisz
matematika, számelmélet, Goldbach-sejtés

Petrosz bácsit csak „kész csődtömegnek” nevezik a családjában: öccsei szorgosan dolgoznak, vezetik az apjuktól örökölt gyárat, miközben ő Athén külvárosában él, kertészkedik, néha sakkozik… egyszóval nem csinál semmi hasznosat.

S hogy mi köze lehet Petrosz bácsinak a Goldbach-sejtéshez, a matematika egyik híres megoldatlan problémájához, amellyel immár majd’ három évszázada küszködnek hasztalan a legnagyobb matematikusok?

Ennek a különös kapcsolatnak a titkát deríti ki Petrosz bácsi unokaöccse, s közben bepillanthat a magas matematika rejtélyes világába, ahol nemcsak bizonyítható vagy bizonyíthatatlan tételeket talál, hanem különös, gyakran tragikus emberi sorsokat is.

Doxiadisz regényében a XX. század több nagy matematikusa is felbukkan: Hardy, Littlewood, Ramanujan, Gödel és mások – olyan emberek, akik, akárcsak Petrosz bácsi, egészen közel jutottak azokhoz a titkokhoz, amelyek megismerésére az ember talán nem is hivatott…

szóelválasztás

Az évek során, melyek alatt Petrosz az elemi módszerrel közelítette meg a sejtést, az ő egész számokkal kötött barátsága is hihetetlen módon kifejlődött. Egy idő után a számok megszűntek élettelen entitások lenni, szinte életre keltek előtte, és mind saját egyéniséggel is rendelkezett. Ami azt illeti, a megoldás létezésében való bizonyossággal együtt ez is hozzájárult, hogy a legnehezebb napokon is megőrizze állhatatosságát: az egész számokkal dolgozva úgy érezte, „folyton barátok veszik körül”, hogy szó szerint idézzem.

Ennek a bizalmas viszonynak eredményeképpen aztán számok kezdték elözönleni álmait. Az egészek névtelen, arctalan tömegéből, mely addig ellepte az éjidő színpadát, egyedi színészek kezdtek kitűnni, néha még főszerepet is kapva. A 65 például valamilyen oknál fogva londoni üzletemberként tűnt fel, keménykalapban, kezében csukott ernyővel, és mindig egyik prímosztójának, a 13-nak társaságában, aki viszont ruganyos, villámgyors, koboldszerű lény volt. A kövér, semmirekellő 333 kilopta a falatokat testvérei, a 222 és a 111 szájából, míg a 8191, egy úgynevezett „Mersenne-prím” kivétel nélkül mindig a francia utcagyerekek öltözékét viselte, a szájából lógó Gauloise cigarettát is beleértve.

A látomások némelyike szórakoztatóan kellemes volt, másikuk semleges, de akadtak bosszantóak, ismétlődőek is. Volt azonban a számtani álmoknak egy olyan válfaja, melyet csak lidércesnek nevezhetünk, ha nem is a rettenet vagy a fájdalom miatt, akkor hát a feneketlenül mély bánat okán. Konkrét páros számok jelentek meg, egypetéjű ikerpárok formájában. (Emlékszünk, ugye, hogy egy páros szám mindig 2k alakú, két azonos szám összege.) Az ikrek rászegezték tekintetüket, mozdulatlanul, kifejezéstelenül. De mérhetetlen, bár néma kín ült szemükben, reményvesztett kín. Ha szólhattak volna, ezt mondják: „Gyere! Kérünk. Siess! Szabadíts ki minket!”

1933 januárjának végén ezen szomorú jelenések egy variációja ébresztette fel álmából. Visszatekintve, ezt az álmot nevezte „a vereség hírnökének”.

A 2100-ról álmodott (2 a századikon, hatalmas szám), amit két egypetéjű, gyönyörű, szeplős, sötét szemű ikerlány személyesített meg, és egyenesen a szemébe néztek. Azonban ezúttal nemcsak bánat ült tekintetükben, mint korábbi látomásaiban a Párosokról, haragot is látott, sőt gyűlöletet. Miután igen sokáig bámulták (ez már önmagában is elég volt ahhoz, hogy lidércnyomásnak bélyegezze az álmot), az egyik lány váratlanul szaggatott, hirtelen mozdulatokkal rázni kezdte a fejét. Aztán szája gonosz mosolyba torzult, akár egy eltaszított szeretőé.

– Soha nem kapsz meg minket – sziszegte.

Mire Petrosz izzadságban úszva kipattant az ágyából. A 299 szavai (a 2100 fele) egyetlen dolgot jelenthettek: nem őt szánta a sors a sejtés bizonyítására. Persze nem volt babonás vénasszony, aki indokolatlan hitelt ad az ómeneknek. De a sok meddő év okozta mély kimerültség kezdte szedni a sápot. Idegei már nem voltak olyan erősek, mint régen, és az álom módfelett felzaklatta.

Mivel nem tudott visszaaludni, lement sétálni a sötét, ködös utcákra, és próbált megszabadulni a kísérteties érzéstől. Ahogy pirkadatkor a régi kőépületek között járkált, hirtelen gyors lépteket hallott közeledni a háta mögött, amitől egy pillanatra páni félelem fogta el, és gyors mozdulattal megfordult. Egy atlétaruhás fiatalember lépett ki a ködből, szaporán futva mondott pár üdvözlő szót, majd ismét eltűnt, s lassacskán ütemes légzésének hangja is elenyészett.

Mivel még mindig rémálma felkavaró hatása alatt állt, Petrosz nem tudta eldönteni, vajon a valóságot látta-e, vagy csak álomvilágának újabb káprázatát. Pár hónappal később azonban, amikor ugyanez a fiatalember végzetes küldetésével felkereste őt a lakásán a Trinityben, azonnal felismerte benne a kora reggeli futót. Amikor magára maradt, utólag ráébredt, hogy első, hajnali találkozásuk a baljós figyelmeztetés kódolt üzenete volt, rögtön a 2100 látomása, a vereség hírnöke után.

A végzetes találkozó pár hónappal az első, hajnali egymásba botlásuk után történt. Naplójában Petrosz szűkszavú megjegyzést fűz ehhez a naphoz – ez az egyetlen keresztény szófordulat, amit naplóiban találtam: 1933. március 17. Kurt Gödel tétele. Mária, az Isten anyja legyen irgalmas hozzám!

Késő délután volt, az egész napot a lakásán töltötte, karosszékében előredőlve tanulmányozta a földön előtte heverő bab-parallelogrammákat, és elmerült gondolataiban, amikor kopogtattak ajtaján.

– Papakrisztosz professzor úr?

Szőke fej jelent meg. Petrosznak remek volt az arcmemóriája, és azonnal megismerte az ifjú futót. Az nem győzött szabadkozni, amiért megzavarta őt.

– Kérem, bocsássa meg, hogy így magára török, professzor úr – mondta –, de nagy szükségem lenne a segítségére.

Petroszt ez eléggé meglepte – azt hitte, senkinek fel sem tűnt a jelenléte Cambridge-ben. Nem volt híres, még csak jól ismert sem, és nem számítva az egyetemi sakk-klubban tett majd’ mindennapos látogatásait, ottléte alatt

Hardyn és Littlewoodon kívül senkivel két szót sem váltott.

– Milyen témában?

– Ó, egy nehéz német szöveg… matematikai szöveg megértésében. – A fiatalember ismét bocsánatot kért, amiért ilyen alantas feladattal bátorkodik rabolni az idejét. Ez a bizonyos cikk azonban annyira fontos számára, hogy amikor megtudta, van egy tapasztalt németországi matematikus a Trinityben, nem tudott nem segítségért folyamodni hozzá a pontos fordítást illetően.

Volt valami gyermeki izgalom a viselkedésében, és ezt látva Petrosz nem tudott nemet mondani neki.

– Szívesen segítek, ha tudok. Milyen területet érint a cikk?

– A formális logikát, professzor úr. A Grundlagen-t, a matematika alapjait.

Petrosz nagy megkönnyebbülést érzett, amiért nem a számelméletről van szó – egy pillanatig attól tartott, hogy az ifjú látogató a sejtésről szóló munkájáról akarja faggatni, és a nyelvi segítséget csak kifogásnak használja. Mivel többé-kevésbé amúgy is végzett az aznapra tervezett munkával, hellyel kínálta fiatal vendégét.

– Mit mondott, hogy hívják?

– Alan Turing, professzor úr. Hallgató vagyok itt.

131–135. p. Papolczy Péter fordítása

Goldbach levele Eulernek
Goldbach német matematikus 1742-ben írta Euler-nek, hogy szerinte minden 5-nél nagyobb természetes szám előállítható három prímszám összegeként. Euler válaszában leírta, hogy ennek bizonyításához elegendő lenne belátni, hogy minden páros szám felbontható két prímszám összegére. Ez az ún. Goldbach-sejtés. Például 12=7+5, 20=7+13, 98=19+79 stb.

Nincs igazán új a nap alatt – az emberi szellem nagy drámái semmiképpen sem újak. Még amikor valamelyik eredetinek tűnik is, jobban megvizsgálva kiderül, hogy már korábban is színpadra állították, csak a szereplők voltak mások, és itt-ott bizonyára másként alakult a cselekményredundáns. De a fő mondandó, a vezérelv, csak a régi nótát ismétli.

A Petrosz Papakrisztosz végső napjaiban előadott dráma zárófejezete a matematikatörténet egyik trilógiájának, melyet egyetlen közös téma fog össze: Nagy matematikus Rejtélyes megoldása egy Híres problémára.*

  • * A kóklerek által talált rejtélyes megoldásokkal folyót lehet rekeszteni.

A szakma véleménye szerint a három leghíresebb megoldatlan matematikai probléma: a) a nagy Fermat-sejtés, b) a Riemann-hipotézis, és c) a Goldbach-sejtés.

A Fermat-sejtés esetében a rejtélyes megoldás a tétel első kimondása óta létezik: 1637-ben Diophantosz Aritmetikájának tanulmányozása közben Pierre de Fermat saját példányának margójára lejegyzett valamit, éppen a II.8-as állítás mellé, mely a Pithagorasz-tételt említette az x2 + y2 = z2alakban. A következőket írta:

Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felíri két ugyanolyan hatvány összegeként. Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túlságosan keskeny, semhogy ideírhatnám.

Fermat halála után fia összegyűjtötte és kiadta a jegyzeteit. Papírjai alapos átkutatása során sem került elő azonban a demonstrationem mirabilem, a „csodálatos bizonyítás” melyről apja azt állította, hogy megtalálta. A matematikusok azóta is épp ilyen eredménytelenül igyekeznek újra rátalálni.** Ami a történelem ítéletét illeti a rejtélyes megoldás létezéséről: eltérnek a vélemények. Ma a legtöbb matematikus kétli, hogy Fermat valóban megtalálta volna a bizonyítást. A legrosszabb lehetőséget felvázoló elmélet szerint tudatosan hazudott, nem sikerült igazolnia megérkezését, és a széljegyzet nem több hencegésnél. Valószínűbb azonban, hogy tévedett, és a demonstrationem mirabilem sántított, de a hiba rejtve maradt előtte.

  • ** E könyv első, 1992-es szerkesztése óta Fermat utolsó tétele bámulatos módon bizonyítást nyert. Gerhard Frey állításával kezdődött, mely szerint a probléma alighanem visszavezethető az elliptikus görbék elméletének egy Taniyama-Shimura-sejtés néven ismert, bizonyítatlan hipotézisére. Ezt a kapcsolatot később Ken Ribert bebizonyította. Magának a Taniyama-Shimura-sejtésnek (és ennek következtében Fermat utolsó tételének) a bizonyítását Andrew Wiles adta, munkájának utolsó szakaszában együtt dolgozva Richard Taylorral.

A Riemann-hipotézis esetében a rejtélyes megoldás valójában nem volt más, mint metafizikai csínytevés, az elkövetője pedig G. H. Hardy. A következőképpen történt:

Éppen a csatornán készült komppal átkelni nagy vihar idején, és ez a megrögzött ateista feladott egy képeslapot az egyik kollégájának, melyen ez állt: „Megtaláltam a Riemann-hipotézis bizonyítását.” Úgy okoskodott, hogy a Mindenható, akinek ő esküdt ellensége volt, nem fogja engedni számára ilyen nagy babérok érdemtelen learatását, így aztán gondoskodik biztonságos megérkezéséről, hogy kiderüljön állításának valótlansága.

A Goldbach-sejtés rejtélyes megoldása zárja a trilógiát.

Az utolsó óránk utáni reggelen felhívtam Petrosz bácsit telefonon. Állhatatosságomnak köszönhetően nemrégiben beleegyezett, hogy bevezetteti a vonalat, de avval a feltétellel, hogy csak én tudhatom a számát, senki más.

Amikor felvette, hangja feszült volt és tartózkodó.

– Mit akarsz?

– Csak gondoltam, rád csörgök – mondtam. – Meg bocsánatot is szeretnék kérni. Azt hiszem, tegnap szükségtelenül goromba voltam.

Csend.

– Hát – mondta –, ami azt illeti, most el vagyok foglalva. Beszéljünk máskor… mondjuk a jövő héten?

Szerettem volna azt hinni, ridegsége csak annak köszönhető, hogy mérges rám (amire végül is megvolt minden oka), és csupán sértettségét fejezi így ki. De valami nem hagyott nyugodni.

– Mivel vagy elfogadva, Petrosz bácsi? – makacskodtam.

Ismét csend.

– Majd… majd máskor elmondom.

Nyilván nagyon szerette volna már letenni a kagylót, így mielőtt még belém fojthatta volna a szót, ösztönösen előhozakodtam a gyanúval, ami az előző éjjel formálódott bennem.

– Egész véletlenül nem a kutatásaid fonalát vetted fel újra, Petrosz bácsi?

Hallottam, ahogy levegőért kapkod.

– Ki… ki mondta ezt neked? – kérdezte rekedt hangon.

– Jaj, ne csináld, azt hiszed, nem ismerlek? Nem kellett ezt nekem mondani!

Kattanást hallottam, ahogy lerakta a kagylót. Úristen – erről van szó, igazam volt! A dilis vén szamár teljesen meghibbant. Megpróbálja bebizonyítani a Goldbach-sejtést!

196–199. p. Papolczy Péter fordítása

Aposztolosz Doxiadisz
Forrás

Aposztolosz Doxiadisz: Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés. Fordította Papolczy Péter. Európa Könyvkiadó, 2004.

Szerző

Aposztolosz Doxiadisz 1963-ban született Ausztráliában, majd Athénban nőtt fel. Tizenöt éves korában felvették a New York-i Columbia Egyetemre, miután egy eredeti meglátásokat tartalmazó tanulmányt juttatott el a matematika tanszékre. A matematikai diploma megszerzése és a párizsi École Pratique Des Hautes Études-ben végzett posztgraduális munka után azonban film- és színházi rendező, műfordító és író lett. Görög nyelven írt regényeit saját maga fordítja angolra. A Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés több mint húsz országban jelent meg nagy sikerrel.