Egy rózsaablak geometriájából

Vermes Miklós
Pint-Cowen: Rose windows (London, 1979, Thames and Hudson Ltd.) alapján
matematika, geometria, katedrális, Chartres
szóelválasztás

Az alábbi abránkon vázlat látható a Chartres-i katedrális északi oldalhajójának rózsaablakáról. A magyarázó ábra alsó fele kiemeli a kompozíció geometriai hátterét, másrészt mellőzi az itt vissza sem adható részleteket, színeket, szépségeket. A székesegyház a XIII. században épült, a francia gótika hírességeinek sorában, felhasználva a párizsi Notre Dame építészeti tanulságait, másfelől kevéssel a Reims-i és az Amiens-i katedrálisok előtt; mindegyiken látható több hasonló ún. mérmű*. Ennek az ablaknak kb. 10 méter az átmérője, szerkezete hasonló a főhomlokzat rózsájához.

A legbelső, kis félkörökből álló ablakkoszorúhoz 12 kis négyzet kapcsolható, 1-1 közös csúcspárral – a szimmetriát nem is említjük –, közéjük újabb 12, és így tovább. A hatodik koszorú négyzeteinek csatlakozási csúcsai éppen a kereten levő kisebb körök középpontjaiba kerülnek.

A második négyzet $OA$ tengelye 15°-kal van elfordulva $OC$-hez képest, ezért $OAE \sphericalangle =$ 15° és $BAE \sphericalangle =$ 60°, tehát $ABE$ szabályos háromszög, $AE = 2 \cdot AD = \sqrt{2} \cdot AC$, a négyzetek oldalai mértani sorozatot alkotnak.

A szaggatva berajzolt görbére felfűzött csúcsok mentén 45°-os elforduláshoz a vezérsugár $\sqrt{2}$-szörös növekedése tartozik. Az ilyen típusú görbéket logaritmikus spirálisnak nevezik.

  • * mérmű – (a német Maßwerk szó tükörfordítása) körívekből alkotott, áttört geometrikus díszítmény, amely a gótikus építészetnek egyik jellemző díszítő eleme. Ha nem áttört, a neve vakmérmű. Rendszerint kőből készült és csúcsíves ablakok felső részét tölti ki, de igen gyakran szolgál teljes kör alakú nyílások könnyed díszítésére. A lényegét jobban kifejező kőrács vagy kőcsipke elnevezés nem honosodott meg nyelvünkben. Szerkezeti jelentősége, hogy igen nagy levegős nyilások alkalmazásánál is némileg támasztja a vékony pilléreket, esztétikai szempontból kellően elosztja a világító felületet, mérsékli a túlságos fény beömlését és a színes üveg ritmikus elosztását engedi. Filigrán hatása a nagy tömegeket ellensúlyozza.

Forrás

Megjelent a Középiskolai Matematikai Lapok 62. kötet 3. számában, Budapesten, 1981. márciusában.