Bevezetés

Vajon miként írhatjuk le egzaktul a zene által keltett érzést a fizika nyelvén? Először is, mi maga a zene? Schönberg szerint:

"A zene egyrészt különböző frekvenciájú, különálló hangok sorozata (dallam), másrészt hangok kombinációja (harmónia), harmadrészt hangok időbeli szabályos egymásutánja (ritmus)."

A dallam hangoknak olyan rendezett sorozata lehet, mely egy, a hagyomány által meghatározott és általánosan elfogadott mintázatot követ.

Valójában a zene egészen a 17. századig az aritmetika, a geometria és az asztronómia mellett a quadrivium negyedik matematikai tárgyát képezte. Először Vincenzo Galilei* kísérletezett a húrok, sípok és egyéb rezonáló testek geometriájával. Kísérletileg megállapított összefüggését később a francia matematikus, Marin Mersenne általánosította:

ahol k egy anyagra jellemző állandó, σ a húrban ébredő feszültség, L pedig a húr hossza. Ez a törvény képezi a hangszerkészítés alapját.

A zenei hangok magassága nem fut be folytonos skálát, a megfelelő hullámok frekvenciájának aránya általában két kis egész szám hányadosa:

ahol f₀ egy önkényesen megválasztott alaphang frekvenciája, i és n pedig kis egész számok. Az arisztotelészi logika szerint a zenei hangok konszonanciájának oka ezen tökéletes arányokban keresendő, melyeknek neve numerus sonorus, azaz összhangzatos szám. Ilyen szám a tiszta oktávnak megfelelő 2:1 arány. Ez már Püthagorasz idejében (i. e. VI. század) ismert volt. Általában a zenei hangok az oktáv egyenlő közű geometriai felosztásának osztópontjai (temperált skála). A nyugati civilizáció zenéjében 1800 óta az oktávot 12 intervallumra osztják: n = 12, és i = 1, 2, 3, ... 12. Az i = 12 érték a tiszta oktávnak felel meg, melyre az f/f₀ arány egyenlő 2-vel, összhangban a püthagoraszi megfigyeléssel.

A hangközök kalibrálása egyébként J. S. Bach nevéhez fűződik, akinek a XVIII. század elején sikerült megvalósítania az oktáv pontos, geometriailag egyenlő közű felosztását. A 12 intervallum osztópontjai egy klavikord vagy csembaló 12 szomszédos billentyűjének leütésekor kapott hangok frekvenciái. 1722-ben írta meg Das Wohltemperierte Klavier (A jóltemperált zongora) című művét, amelyben a 12 dúr és 12 moll hangnemben írt kompozíciók e pontosan kalibrált hangskála zeneiségét voltak hivatottak illusztrálni. E kromatikus hangsor a Nyugat zenéjének jellemzője. Ha sorban leütjük a zongora billentyűit, különböző geometriai arányokhoz tartozó frekvenciákkal jellemzett hangokat hallunk. A félhang megfelelője i = 1 (kis szekund), az egész hangé i = 2 (nagy szekund), a kis tercé i = 3, a nagy tercé i = 4, a tiszta kvarté i = 5, a szűkített kvinté (vagy bővített kvarté) i = 6, a tiszta kvinté i = 7, ..., és végül a tiszta oktávé i = 12. Némileg kivételes a szűkített kvint (i = 6), itt a megfelelő arány közelítőleg 1000:705 ≈ √2 ami nem kis egész számok hányadosa. Ezt az intervallumot a klasszikus zenei hagyomány disszonánsnak tartja, és ezért ritkán találkozunk vele klasszikus kompozíciókban.

Néhány zenemű vizsgálatából kiderült, hogy a hangok egymásutánjában is van rendszer: a madárdaloktól, gyerekdaloktól és korai művektől továbblépve a barokk és a klasszikus zene felé, a Természet harmóniájának kifejezéseképpen egyre közelebb kerülünk a fraktális struktúrához, s ez a harmónia hiányzik a modern zenéből. A fraktál-geometria megnyilvánulása a skála-invariancia, valamint a madárdalok önaffinitása is.

Az első fejezetben megmutatom a zene fejlődése és fraktális szerkezete közötti ezen összefüggéseket.

A második fejezetben a zenei szimmetriák Lendvai-féle elméletét foglaltam össze, így teljes képet kaphatunk a hangok világának fizikai megközelítéséről.

Az utolsó fejezet Beethoven VII. szimfóniájának elemzése — szintén Lendvai Ernő nyomán.

1. fejezet

A zene fraktál-geometriája

Általában szólva fraktális jelenségről akkor beszélünk, ha két, az r-rel és N-nel jelölt változó között az

formulával leírt összefüggés áll fenn, ahol c arányossági tényező, a D kitevő pedig a jelenséghez tartozó ún. fraktál-dimenzió (Mandelbrot 1977). Magát a "fraktál" szót is Mandelbrot alkotta a latin fractus (törött) melléknévből, kifejezvén azt a tényt, hogy a fraktál-dimenzió többnyire törtszám. Az egész kitevőknek megfelelő modellek általában beilleszthetők a klasszikus euklideszi szemléletbe. Most vegyük az egyenlet mindkét oldalának természetes logaritmusát:

ln N = C – D ln r.

Ez az egyenlet felel meg például a geofizikusok által ismert, a földrengések amplitúdója és frekvenciája között fennálló összefüggésnek. Mandelbrot számos példát közölt, melyek alátámasztják azon feltevését, mely szerint a fraktális jelleg a Természet harmóniájának kifejeződése. Ez azt jelentené, hogy a természeti folyamatok nem kaotikusak, de nem is determinisztikusak vagy Gauss-eloszlásúak, hanem a fraktál-geometria törvényei szerint statisztikusan előre jelezhetők.

A zenét ugyancsak a Természet harmóniájának kifejeződéseként tartják számon. A zenei hangokat elemi részecskékhez hasonlítva érdekes párhuzam vonható a hangok közötti viszonyok és a Világegyetem struktúrája között: ugyanazok a termodinamikai törvények érvényesek rájuk, mint a kristályokra, gázokra vagy más anyagokra:

"A zeneszerzőnek nincs más dolga, mint szerzeményének entrópiáját kellően alacsonyan tartani ahhoz, hogy még tartalmazzon valamilyen felismerhető motívumot, ugyanakkor egyben kellően magasan is ahhoz, hogy helyet kapjon benne az eredetiség és az izgalommal teli feszültség." (Murchie)

1.1.  A zeneművek vizsgálata

Voss és Clarke hangfelvételek akusztikus jeleinek vizsgálatával azt találták, hogy Bach 1. Brandenburgi Versenyében a hangok erőssége hozzávetőlegesen fraktális eloszlást követ. A különböző magasságú hangok relatív gyakoriságai, vagyis az előfordulási frekvenciák viszont ettől eltérően nem fraktálisak. Ez nem meglepő, hiszen a zene nem egyszerűen különböző frekvenciájú önálló hangok összessége, hanem sokkal inkább intervallumokból, a hangmagasság változásaiból tevődik össze. Ezek eloszlása pedig megint csak fraktlis.

Elvégeztem a hangközök (i = 0, 1, 2, ..., 12) relatív gyakoriságának elemzését számos zenemű esetén. Elsőként J. S. Bach 1. C-dúr invenciójának (BWV 772) első tételét vizsgáltam (1.1 ábra). Meghatároztam a szomszédos hangok közötti hangközök relatív előfordulási gyakoriságát (F(%)). Külön vizsgáltam a jobb (1.2. ábra) és a bal kéz (1.3. ábra) által játszott szólamokat az esetlegesen fennálló különbségek kiderítése végett.

Az eredmények azt mutatják, hogy nincs jelentős eltérés az F és i közötti összefüggésben a két kéz esetén. Ez érthető, hiszen Bach zenéje többszólamú, vagyis minden szólam ugyanolyan mértékben járul hozzá az egyes motívumok és a zenei mondandó kifejezéséhez. Egyesítve a két adathalmazt, az F és i közötti összefüggés leírására egy ln F = a – b ln i alakú kifejezést találtam. Az a = ln c, b = D helyettesítésekkel a következő formulát kapjuk:

Ez a kifejezés a fraktális jelleg kifejeződése. A képlet elég pontos az 1 < i < 10 intervallumban, számottevő eltérés a grafikonon csak az i = 6 értéknél tapasztalható. Bár az eltérés kicsi, mégis sokatmondó a zenészek számára: a megfelelő intervallum, a szűkített kvint nem jellemezhető kis egész számok hányadosával, éppen ezért nehéz kiénekelni vagy húros hangszereken pontosan megszólaltatni. E hangközt régen az "ördög hangjá"-nak nevezték, és a klasszikus zeneszerzők műveikben következetesen kerülték alkalmazását.

A következő vizsgált mű Bach 13. a-moll invenciójának (BWV 784) első tétele (1.4. ábra). Ismét fraktális összefüggést kaptam, azzal a különbséggel, hogy a nagy szekundok (i = 2) szokatlanul alacsony számban fordulnak elő, míg a kis tercek és a tiszta kvintek igen gyakoriak. Ez azért van, mert Bach így kísérelt meg egy sajátos zenei hatást elérni.

A harmadik mű Bach fisz-moll Toccatájának (BWV 910) adagio tétele (1.5. ábra). Az 1 < i < 8 intervallumban ismét fraktális eloszlást kaptam, bár az illeszkedés már kevésbé tökéletes. Ez az eltérés annak tulajdonítható, hogy ez a toccata egyike Bach legmodernebb műveinek. Érzékelhetően elkülönül benne egy kérdésfeltevés (bonyodalom), a feszültség fokozása és a válasz (feloldás), s ez a fraktálszerkezettől való eltérés révén valósul meg. Ezen kívül különösen nagy az unisonok (i = 0) száma. A gyakori hangismétlések technikájával a zeneszerző az izgatottság és állhatatosság érzetét kelti. Ezzel szemben kevés harmonikus nagy tercet (i = 4) alkalmaz. E hangköz tudatos elkerülésével eléri, hogy a mű hangzása érdes és távoli.

Az 1.6. ábrán W. A. Mozart F-dúr szonátájának (KV 533) első tételének, az 1.8. és 1.9. (bal kéz) ábrákon F. Mendelssohn fisz-moll velencei gondoladalának (Op. 30. Nr. 6.) elemzése látható. A közelítőleg lineáris, logaritmikus skálázású grafikon e klasszikus zeneművek fraktális tulajdonságát ábrázolja. Míg Bach zongoraműveiben mind a bal kéz, mind a jobb kéz szólamát külön-külön vizsgálva fraktális eloszlást kapunk, addig Mozart és Mendelssohn zenéjének fraktál-tulajdonsága a két kéz szólamainak kombinációjából áll össze. Ez a jelenség a barokk korszakra (1600—1750) jellemző polifóniából a klasszikus és romantikus zenei korszak (1750—1827, ill. 1827—1900) homofonikus zenéjébe való átmenetnek a megnyilvánulása. A szimfonikus kompozíciókban az egyik szólam hordozza az egyes motívumokat, míg a többi szólam kíséretként szolgál.

Az egyszerűbb zene struktúrájának megismeréséhez hat svájci gyermekdalt vizsgáltam, s az eredményeket egy ábrán egyesítettem (1.10. ábra).

 Legszembetűnőbb jellegzetessége a hangismétlések erős túlsúlya (i = 0), mely az egyhangúság érzetét kelti. Népdaltémák gyakran képezik klasszikus zenei művek alapját, mint ahogy ezt Mozart A-dúr szonátájának (KV 331) első tételében megfigyelhetjük (1.7. ábra). E műre ugyanúgy jellemző a hangismétlések túlsúlya, akárcsak a gyermekdalokra, és a két esetben kapott tökéletlen fraktális összefüggések grafikonjai meglepően hasonlók. Egyáltalán nem meglepő az "ördög hangjának", vagyis a szűkített kvintnek (i = 6) a teljes hiánya mindkét kompozícióban.

A klasszikus és modern (XX. századi) zene közötti különbséget példázandó megvizsgáltam Stockhausen Kecskebak című művét (1.11. ábra). E műben nem tudunk felfedezni semmilyen szisztematikus trendet a hangközök eloszlásában. Struktúrája semmiben sem emlékeztet fraktális eloszlásra. A szűkített kvintek (i = 6) szélsőségesen nagy száma nagy lépés a modern zene atonálissá válásának útján.

Mindezeken kívül elemeztem egy kortárs, de nem modern stílusú zeneművet is. Fröhlich Georgina Valse (Op. 9.) című darabjában (1.12. ábra) is felfedezhetjük a fraktális jelleget. S mivel a bal kéz (1.13. ábra) az eloszlás szerint nem egy másik szólamot, hanem kíséretet játszik, ezt a darabot a neoklasszicista művek közé sorolhatjuk.

1.2.  A zene skála-invarianciája

Mi történik, ha egy műből elhagyjuk a hangok felét? Összefoglalható-e a zenei mű az irodalmi művekhez hasonlóan egy tömör kivonatban? Fennáll-e a skála-invariancia, vagyis egy fraktális tulajdonságú zenei kompozíció leírható-e más léptékű kottával, vagyis olyannal, melyre a metrum alapértéke az eredetinek a fele, negyede vagy kétszerese?

Mandelbrot a skála-invariancia fogalmának megvilágítására a térképkészítést hozta fel példának. Anglia körvonala nagyjából ugyanolyan alakúnak látszik függetlenül attól, hogy 1:1 000 000 vagy 1:2 000 000 a térkép léptéke. E határok által kijelölt körvonalnak nem tulajdoníthatunk egyértelmű hosszúságot; egy országhatár vagy egy tengerpart hosszúsága a méréshez használt mértékegység függvénye. Erre a már híressé vált paradoxonra, mely szerint az államhatároknak nem létezik pontos hossza, L. F. Richardson brit fizikus lett először figyelmes, amikor meglepetésére azt tapasztalta, hogy Spanyolország és Portugália közös határának hosszára egymástól több mint 20%-kal különböző adatok szerepelnek a két ország lexikonjaiban (1.14. ábra). A spanyol—portugál közös határszakasz hossza 987 km a spanyol enciklopédia szerint, míg a portugál 1214 km-es hosszúságot közölt, bár mindkét esetben ugyanazt mérték. Az ellentmondás oka az ε mértékegység megválasztásában keresendő. Ez esetben a méréshez használt földmérő lánc hossza. Kisebb ország lévén, Portugália rövidebb láncot használt országhatára felmérésére. A magyarázat kézenfekvő: a rövidebb lánc jobban követi a kacskaringós határvonal részleteit, ezért nagyobb hosszúságot ad. Ezeknek a részleteknek egy része hosszabb lánccal való mérés esetén kisimul.

Az előbb elmondottak mindenfajta lineáris természeti képződményre érvényesek, így például folyók, tengerpartok stb. hosszára is. Az ε mértékegység és az L(ε) mért hosszúság közötti összefüggést leíró képlet a következő:

,

ami természetesen ismét fraktális tulajdonság.

Hosszas kutatások során arra a meggyőződésre jutottak, hogy egy zenemű "hosszúságának" tekinthető a benne szereplő összes intervallum összege (), vagyis minden kis, nagy, szűkített vagy bővített prím, szekund, terc, kvart stb. megfelelő i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 stb. értékének összege. A kompozíció legrövidebb ütése képviseli most az összesített intervallum ε mértékegységét. Ha tehát a műben szereplő legkisebb időtartam a tizenhatod "hossz", akkor a fenti összesített hosszt úgy mérhetjük meg, hogy összeadjuk a tizenhatod ütésekre eső intervallumokat.

A földrajzi képződmények és a zene fraktál-tulajdonságának fenti párhuzama azt sugallja, hogy további vizsgálódások céljából vizuálisan is megjelentsük a zene akusztikus jeleit. Valójában a szokványos kottaírás is egy ilyen ábrázolás, melyben a hangoknak megfelelő, a vonalrendszeren különböző magasságban elhelyezkedő kottafejek egy topográfiai térkép emelkedőit és lejtőit mintázzák, a zene dallama pedig egy távoli város égre vetülő sziluettjét idézi. Na már most, ha ezt a sziluettet valódi méretének törtrészére kicsinyítve ábrázoljuk, akkor a léptéktől függetlenül ráismerünk az eredeti ábra alakjára még akkor is, ha nagy léptékű kicsinyítéskor számos apró részletet elveszítünk.

A vizuális és akusztikus "tájképek" közötti párhuzam vizsgálata során felmerül a zene rövidíthetőségének lehetősége. Ha egy zeneművet zenei tájképként képzelünk el, akkor e tájkép profilját a fenti módon felére, negyedére vagy nyolcadára zsugorítva az eredeti kép durva reprodukcióját kell kapnunk. Persze Bach vagy Mozart műveinek fraktális tömörítéseitől nem várjuk, hogy az eredeti darabokkal vetekedő zeneművek legyenek, ám felhasználhatók arra, hogy olyan lényeges dolgokra jöjjünk rá, melyek különben elkerülnék a figyelmünket.

A fokozatos tömörítések során az eredeti kép szabálytalanságai kisimulnak, s a hangközök száma kevesebb lesz. A 10. invenció esetén az összes hangköz hossza () 391-el egyenlő (ε = 0). Ugyanez az érték feles tömörítés esetén (ε = 1) 243 intervallum, valamint 121 és 77 az ε = 2, illetve 3 esetben. A BWV 772 (1.) invenció esetén az úgynevezett Richardson-effektust a következő formula fejezi ki:

,

ahol D a fraktális dimenzió, és c egy tapasztalatilag meghatározott arányossági tényező.

 Az 1.16. ábrán az 1. invenció tömörített sziluettjei láthatók az ε = 0 (eredeti), 1, 2, 3, 4 és 5 tömörítési léptékek mellett. A sziluettek hasonlósága világosan látszik az első négy ábrán, és nagy vonalakban felismerhető az utolsó négyen. Az Olvasó akkor értékelheti igazán a zene skálainvariáns tulajdonságát, ha zongorán lejátssza a tömörített kotta hangjait. Egy kezdő számára a felére vagy negyedére zsugorított Bach-muzsika nem különbözik jelentősen az eredetitől, bár észrevehető a trillák és a díszítések szűkösebb jelenléte. További tömörítések egyre inkább kiküszöbölik a sziluett szabálytalanságait, bár körvonalaikban megmaradnak a mű megkülönböztető jellemzői. Végül a 64-szeres tömörítés után már csak három hang marad: a három alaphang, melyre az egész mű zenei szerkezete épül.

Mind ez ideig a zenei mérőléc hosszúságát 2 hatványának választottuk. 3/4-es lüktetésű zenedarabok, mint például keringők esetén az 1/3-os tömörítések célravezetőbbnek látszottak, amint ezt Chopin etűdjeinek vizsgálata során tapasztalták.

1.3. A zene önhasonlósága

A Természet fraktál-geometriájának egyik legfigyelemreméltóbb sajátossága az önhasonlóság. A hegyfokok és a barlangok tulajdonképpen egy partvonal félszigeteinek és öbleinek kicsinyített másai. Az ágas-bogas fák önmagukat utánozzák leveleik rajzolatában. A Mandelbrot-halmazból származtatott geometriai alakzatoknak bámulatos önhasonlósági tulajdonságai vannak. A zene önhasonlóságát azok a zenészek érzékelik igazán, akik néhány téma alapján egy szimfónia teljes struktúráját képesek átlátni. Ugyanezen jelenségnek tükröződnie kell a zene vizuális ábrázolásában is.

A BWV 776-os invenció tizenhatodára zsugorított változatában a zenei önhasonlóság vizuális dokumentációját lelhetjük fel. Az eredeti és a negyedrendben csökkentett digitalizált kották az 1.18. ábrán láthatók.

Az önhasonlóság nyilvánvalóvá válik, ha a tizenhatodára tömörített verziót az eredetivel azonos időskálán ábrázoljuk (1.19. ábra). A BWV 776 utolsó 6 ütemének megfelelő 6 hang megegyezik a kompozíció témájával. Figyeljük meg, hogy az utolsó 6 ütem négy fekete ponttal jelölt témája miként születik újjá egy sorral lejjebb a tizenhatodára zsugorított változat fekete pontjaiban!

1.4.  A madárdalok fraktál-geometriája

A következő kérdés az, vajon mi történik a fraktáltulajdonsággal a tömörítések hatására? Az eredeti tökéletes illeszkedés a tömörítések során fokozatosan veszít pontosságából. Ez a felfedezés veti fel a zene fejlődése és fraktális tulajdonsága közötti összefüggés lehetőségét. Vajon lehetséges-e, hogy a madarak énekétől a gyermekdalokon át Bach és Mozart zenéjéig bejárt fejlődési út során a zene fraktális jellege folyamatosan erősödött?

Vizsgáljuk most a madárdalokat! A fajok többségénél az éneklés a hangképzés legmagasabb foka. Általában spontán módon kezdődik, és kifejezett periodicitást mutat. A madárdalok fajspecifikusak, s egyaránt vannak közös és egyedi jellemzői is. (Egyes közös jellemzők akár a fajok azonosítására is alkalmasak lehetnek.) A madárdalok lekottázhatók — ahogy ezt Heinz Tiesen meg is tette 1953-ban —, mint a diatonikus skála hangjainak sorozatai. A feketerigók "zenei szótára" diatonikus skálánk majdnem minden hangközét tartalmazza. Egy másik ornitológus, Szőke Péter a széncinegék énekét vizsgálta 1987-ben. Az ő hangfelvételei számos komplex motívum, mint például a jól ismert hármashangzat-felbontás jelenlétére mutatnak rá.

A Tiesen által lekottázott madárdalokat elemezve úgy találjuk, hogy többségük nem követi a fraktális modellt. A Harris-féle veréb (Zonostrichia querula) éneke kizárólag azonos magasságú hangokból áll (i = 0). Ezek az uniszónók képezik a zene lehető legegyszerűbb formáját. A citromsármány (Emberisa citrinella citrinella) repertoárja sem sokkal bővebb, prímekből (i = 0) és szekundokból (i = 1, 2) áll. A kakukk (Cuculus canorus canorus) kedvenc hangköze a kis terc (i = 3). A fülemüle (Luscinia megarhynchos megarhynchos) többnyire különösen szabályos ritmusú uniszónóban énekel, bár gyakran hallhatunk tőle félhangokat és nagy szekundokat, esetenként pedig akár más hangközöket is (i = 3, 4, 5, 7, 9, 11, ...). Rendkívül pontos intonációja miatt gyakran őt tekintik a legjobb hangú énekesmadárnak. Az azonos magasságú hangok és a szekundok nagyfokú dominanciája miatt ezek a dalok a gyermekek énekét juttatják eszünkbe. Dallamstruktúrájukra nyilvánvalóan a legkevésbé sem jellemző a fraktáltulajdonság, hanem leginkább az egyhangúsághoz áll közel.

Az észak-amerikai szürke rigók (Hylocichla fuscenscens) a zűrzavar és az egyhangúság két partja között ingadoznak. Énekük már jobban illeszkedik a fraktális eloszláshoz, bár a kis tercek hiánya továbbra is jellemző. Míg ezek a hangközök e kiváló "zeneszerzők" dalaiból furcsa módon hiányoznak, a kakukkok és egyes széncinege-fajok dalainak ezek a leggyakoribb alkotóelemei. Tiesen kedvenc komponistái a feketerigók. E madarak egyes egyedeinek dalaiban többségben vannak a prímek és a szekundok megtűzdelve néhány nagy terccel és tiszta kvarttal (ezek a hármashangzatok építőkövei), valamint kis és nagy szextekkel. A kis tercek és tiszta kvartok kifejezetten alacsony száma miatt kompozícióikra távolról sem teljesül a fraktáltulajdonság. Ezzel szemben más feketerigók szinte kizárólag nagy tercekből, tiszta kvartokból és nagy szextekből álló dalokat zengnek. Ha két különböző ízlésű feketerigó és egy kakukk vagy egy széncinege összeállnak, akkor rögtönzött kamaramuzsikájuk elég variációt tartalmaz ahhoz, hogy előtűnjön a zene fraktál-geometriája.

1.5.  A madárdalok önaffinitása

Bár a madarak nagyon gyorsan és nagyon magas hangon énekelnek, dalaikat elektronikusan rögzíthetjük, és mechanikusan lelassítva alacsonyabb hangfekvésbe transzponálhatjuk. Szőke Péter madárdalokat tartalmazó magnófelvételeket eredeti hosszúságuk 2-, 4-, 8-, 16-, 32-, 64- vagy akár 128-szorosára nyújtásával lassított le (1987). Ezáltal a dalok 1, 2, 3, 4, 5, 6, és 7 oktávval kerültek alacsonyabbra. A madárdalok hangmagassága a 2-től 6 kHz-ig terjedő frekvencia-tartományba esik. Egy 4 oktávos transzpozíció ezt a hangskálát a 125 és 750 Hz közötti sávba helyezi át, ami bőven az emberi hanggal képezhető hangmagasságok tartományán (16—20 000 Hz) belül van. Ugyanakkor a másodpercenkénti 50—150 modulációs (hangváltásos) sebesség 3—10 ütés/másodpercre csökken, amit egy zongorista ujjtechnikája még kezelni tud. Ezzel a módszerrel rejtett természeti állapotukban megkülönböztethetetlen hangsorozatok népdalszerű dallamokká alakíthatóak, amelyek struktúrája sok tekintetben az emberi zenével mutat hasonlatosságot.

Bach muzsikájának tömörítése nem érintette a művek zenei lényegét. Ezzel szemben a madárdalok lelassításával harsány rikoltozásokból dallamos zenét kaptunk. Ez a transzformáció tehát nem önhasonló, hanem úgynevezett önaffin transzformációnak tekinthető. Ebben az esetben az egyes koordinátákat különböző arányban skálázzuk. Ugyanezt a technikát használják például a térképészetben háromdimenziós síkdomborművi terepábrázolások készítésénél. Ennél az ábrázolásnál a táj hegyei és völgyei sokszor nem látszanak elég jól, ezért kétszeres, négyszeres, nyolcszoros stb. függőleges torzításra van szükség. A madárdalok Szőke-féle önaffin transzformációjánál a zenei panoráma durva alpesi formáit a dimbes-dombos kansasi táj lágysága váltja fel. A függőleges lépték megváltoztatása révén az ember (Homo sapiens sapiens) betekintést nyerhet a madarak zenei világába.

A madarak énekének hangmagassága és a moduláció sebessége különbözik az emberekétől, aminek az lehet az oka, hogy sokkal rövidebb ideig élnek, mint mi. Ha például a sebességre 32-szeres skálázást alkalmazunk, akkor egy 10 másodperces madárdal egy Bach-concerto 5 perces első tételéhez lesz hasonlatos. Úgy tűnik, a madarak által kifejlesztett "hardver" is különbözik a mienktől. Míg a mi idegrendszerünk a 100 Hz-es nagyságrendre van hangolva, addig a madarak a kHz-es tartományba eső hangokra a legérzékenyebbek.

E megfontolások nyomán eljutunk egy alapvető filozófiai kérdéshez, melyet Csuang Ce, az i.e. 5. században élt kínai bölcs vetett fel először. Összemérhető-e egy bogár egynapos élete egy öregember 80 esztendejével? Tekintettel arra, hogy a madarak és az emberek zenei életének időbeli léptéke olyan nagy mértékben különbözik, ugyan miért lenne az élővilág milliónyi fajának egyike, a homo sapiens sapiens bármennyire is megkülönböztetett? Lehet, hogy ez az idő fraktális geometriájának esszenciális megnyilvánulása.

1.6.  A zeneiség öröklődése és a zenei fejlődés

A zene megjeleníti világunk sajátos időbeli fejlődését. Nagyon lényeges felfedezés a szűkített kvintek a madárdalokból, gyermekdalokból, illetve a barokk és klasszikus zenéből való teljes hiánya vagy nagyon kis részaránya. Az "ördög hangja" egészen a XX. századig nem nyert polgárjogot a zenében. Nem jelentheti-e ez azt, hogy az olyan hangközök iránti ellenszenv, melyek frekvenciája nem fejezhető ki kis egészek arányaival, egészen a madarak és az emlősök közös őseiig nyúlik vissza? Lehet, hogy zeneiségünk nem is a kulturális fejlődés eredménye, hanem a távoli őstörténeti időkből származó örökség? Vagy ez maga az az irány, ahová a fejlődés tart? Előrelépést jelent-e a zeneiség fejlődése? Muzikálisabbak vagyunk-e mi, emberek a madaraknál?

Az énekesmadaraknak kitűnő hallásuk van, és bámulatos zenetanulási teljesítményekre képesek. Egy tengelice és kanári szülőktől származó hibrid fiókát magnófelvételről tanítottak énekelni, és az pillanatok alatt a legapróbb részletekig megtanulta egy pinty három különböző dalát. Az egyik dal vége felé van például egy trillaszerű hang, melynek eredeti sebessége 150 hangjegy másodpercenként. Szőke 64-szeres lassításban megszámolta a hangmodulációkat a trilla eredeti és utánzott változatában. Azt találta, hogy a madár hallása és emlékezete segítségével tökéletesen megtanulta és reprodukálta ezt a mikroakusztikus hangjelenséget mind ritmusában, mind alakjában. Ez a teljesítmény Mozartéhoz hasonló, akiről azt mesélik, hogy gyermekkorában képes volt egyszeri meghallgatás után egy teljes oratóriumot megjegyezni, és utólag lekottázni. Ha a veleszületett zeneiséget úgy definiáljuk, hogy az a különböző magasságú hangok megkülönböztetésének, megjegyzésének és azonos vagy más hangfekvésben való visszaadásának képessége, akkor az emberek többsége, aki nem rendelkezik Mozart tehetségével, mennyivel muzikálisabb a pintyeknél?

Ha a zeneiség a biológiai evolúció eredménye, milyen értéket képvisel a létért való küzdelemben? A madárdalok fontos szerepet játszanak a természetes kiválasztódás darwini elméletében. A jól éneklő madarak várhatóan könnyebben párosodnak és sokasodnak, mint a rossz énekesek elvileg kevesebb utódot hagynak hátra. De melyik madarat tekinthetjük jó énekesnek?

Tiesen nem tulajdonított sok értelmet a fajok közötti összehasonlításoknak. Az énekvirtuóz fülemüle Carusót mintázza, míg a kompozícióiról híres feketerigó inkább Strausshoz hasonlít. A fajspecifikus énekek ténye cáfolja azt a feltételezést, mely szerint az egyik madrfaj jobb zeneszerző lehetne, mint a másik.

Mi teht a zeneiség túllési értéke? Tudomásom szerint az emberen és a madarakon kívül csak a delfinek, a bálnák, az elefántok és a denevérek képesek éneklésre. Miért nem tud énekelni legközelebbi rokonunk, a majom? Vajon a szervezetet zenei hangok megkülönböztetésének képességével felruházó gének miért maradtak szunnyadó állapotban oly sok generáción keresztül, hogy csak az ember megjelenésével törjenek ismét a felszínre? Ezekre a kérdésekre még nem találtuk meg a választ.

2. fejezet

A zenei szimmetriákról

Amikor zenét hallgatunk, a tudatunkban végbemenő érzékelési folyamat valahogy így írható le: minden soron következő akkord esetében önkéntelenül is arra keresünk választ, hogy a természetes zenei logika szerint milyen akkordnak kellene következnie, és ezt összehasonlítjuk azzal a hangzattal, ami a helyébe lép. A kettő közötti feszültségkülönbség határozza meg az akkord jelentését. A zene éltető eleme a relativitás: a harmóniák között működő modális feszültségi különbségek rendszere. Zenei hallásunk "relatív hallás", vagyis a dallamhangokat mindig egy hangnemi központhoz viszonyítjuk. Ezért a relatív szolmizációnak az az előnye az abszolút hangnevekkel szemben, hogy a hangok zenei "jelentését" (funkcióját) is kifejezi.

Az elemzésben a relatív szolmizáció jeleit matematikai szimbólumként kezeljük. A 12 szimbólum mindegyike egy-egy zenei karaktert jelöl, s ha felismerjük, hogy melyik jel fejez ki fényt vagy árnyékot, melyik jár együtt emelkedéssel vagy süllyedéssel, melyik képlet rejt materiális és melyik spirituális élményt, miért expresszív tartalmú az egyik és miért impresszív a másik, ha a jelek segítségével különbséget tudunk tenni hideg és meleg színek, pozitív és negatív feszültségek között, ha tudjuk például, hogy a fi magasba emel és a ma fájdalmas vonást takar, akkor annyi jel segítségével, mint amennyivel a kromatikus skála hangjait beterítjük, meghódítottunk valamit abból a birodalomból, ami a hangok mögött rejlik.

2.1.  A játékmód szimmetriája

Érdekes megfigyelni a játékstílusra adott utasításokat a zenében. Rendszerüket egy háromszögbe foglalhatjuk, melynek csúcsában a szemcsésség, darabosság, oldalaiban a feszesség, keménység illetve a gyűrtség, lágyság állnak (2.1. ábra):

		szemcsés, darabos
		staccato
		sostenuto
		lento
		andantino
		andante
		giocoso	quieto
		allegro	parlando
		allegretto	legato
	moderato	vivo	espressivo
	gracioso	vivace	con eleganza
	portato	rubato	comodo
	semplice		cantabile
	sforzato		dolce
	tempo giusto		dolcissimo
	feszes, kemény		gyűrt, lágy

2.1. ábra

2.2.  A tengelyrendszer

Ha visszatekintünk a harmonikus gondolkodás múltjára és fejlődésére, azt kell mondanunk, hogy a tengelyrendszer kialakulása történeti szükségszerűség volt. Lényeges vonásaiban már a bécsi nagyoknál is készen állt. Kezdetleges formában az I–IV–V–I fokok sorában jelent meg (2.2. ábra):

A klasszikus zene már fő- és mellék-hármasokról beszél, amennyiben a C-t a paralel A, az F-et a paralel D, a G-t a paralel E helyettesíti (2.3. ábra):

A romantikus összhangzattan még tovább megy, és a felső paraleleket is szélsőségesen alkalmazza (2.4. ábra):

Innen már csak egy lépést kell tenni ahhoz, hogy a rendszer "bezáruljon". A tengely kiterjeszti a paralelek alkalmazását a teljes 12-fokúságra. A tengelyrendszer annak a felismerése, hogy az A-nak és Esz-nek nemcsak C a közös paralelje, hanem a Fisz=Gesz is. És ugyanígy a D-nek és Asz-nak nemcsak az F a közös paralelje, hanem a H (Cesz) is; az E-nek és B-nek pedig nemcsak G a közös paralelje, hanem a Cisz (Desz) is. (2.5. ábra)

Az egyes tengelyeket ne szűkített négyeseknek tekintsük, hanem négy különböző hangnem funkciós rokonságának — ami leginkább a klasszikus zene párhuzamos dúr és moll viszonyának felel meg (pl. C-dúr és a-moll, E-dúr és Cisz-moll kapcsolata).

Bartók Béla A kékszakállú herceg vára című művében a négy pólus viszonyát az opera képei értelmezik: az éj-témát a fény-téma, a virágos kertet a könnyek tava ellensúlyozza; a "főág" eszmei-logikai dimenziójával szemben a "mellékág" képviseli az érzelmi dimenziót. (2.6. ábra)

A pólus—ellenpólus szerkesztés a Bartók- és Kodály-zene legalapvetőbb építkezési és formálási elve. A fisz-moll és a C-dúr ellenpólusok feszültségi terében születik meg az Allegro barbaro főtémája is. (2.7. ábra)

A Hegedűverseny híres "Reihe"-témájában a 12 dallamhang a teljes kromatikát felöleli: tengelyében egyfelől az A-Disz-A ellenpólusok, másfelől a felbontott Fisz-dúr és C-dúr-moll ellenpólusok állnak. (2.8. ábra)

A rendszer egyik fő jellemzője a tengely-helyettesítés: a tengelyen szemben fekvő pólusok, azaz az ellenpólusok (pl. C és Fisz) sokkal érzékenyebben reagálnak egymásra, mint a szomszédosak (pl. C és A), ezért a pólus bármikor felcserélhető ellenpólusával anélkül, hogy a funkció megváltoznék.

Fontos szabály a tengely-tükröződés is, miszerint a tengelyrendszer bármely pontjáról nagyszekund, kvart, kisszext és nagyszeptim lépéssel az egyik irányban — vagy kisszekund, nagyterc, kvint és kisszeptim lépéssel a másik irányban közös funkciót érintünk. Például (2.9. ábra):

A tengelyrendszer legsajátosabb vonása, hogy a három funkció meghatározott tartalmi jelentést hordoz, s ezt a tonikai központhoz való abszolút viszony határozza meg. A szubdominánst a "süllyedéssel", a dominánst az "emelkedéssel" asszociáljuk, az előbbi a múltba néz, az utóbbi a jövőbe tekint.

A három funkció "egyéniségének" kialakulásához az opera műfaj döntően hozzájárult. — Minél összetettebb, minél kifinomultabb Mozart színpadi alakjainak egyénisége, annál inkább megnő a szubdomináns funkció szerepe (Don Ottavio, Tamino), míg a népies vagy paraszt figuráinak dallamvilágában a domináns és a tonika kerekedik felül (Leporello, Papageno).

A tengelyrendszer alkotóelemei tehát a következők:

pólus		(dimenzió nélkül)
ág	= pólus + ellenpólus	(1 dimenziós)
tengely	= főág + mellékág	(2 dimenziós)
tengelyrendszer	= T + D + S tengely	(3 dimenziós)

2.10. ábra

2.3.  Természet-szimbolika

Az aranymetszés (sectio aurea) aránya akkor jön létre, ha az egész-távolság úgy aránylik a nagyobbik részhez, mint ahogy a nagyobbik rész aránylik a kisebbikhez. A nagyobbik szelet így mértani középarányos lesz az egész-távolság és a kisebbik szelet között. (2.11. ábra) Egyszerű számítással arra az eredményre jutunk, hogy ha az egész-távolságot 1-nek tekintjük, a nagyobbik rész értéke megközelítőleg 0,618-cal, a kisebbiké pedig 0,382-vel azonos. Nem teljesen pontosan, mert az aranyszám értéke:

Bartók Kétzongorás-ütőhangszeres szonátájának I. tétele 443 ütemet tartalmaz, aranymetszete tehát 443-szor 0,618 lesz, amely a mű formai súlypontját fedi: a repríz-belépés pillanatát a 274. ütemben. A mű formai felépítése lassú+gyors–lassú+gyors tagolódást mutat, aranymetszetét tehát a II. lass-tétel kezdetére várjuk — s az eredmény meghökkentő pontossággal felel meg várakozásunknak: a teljes mű időértéke 6432 nyolcadhang, aranymetszete — 3975 nyolcad — az említett pontot érinti.

Először talán logikátlannak tűnik, hogy a tempó-változás nem befolyásolja az aranymetszés helyét. Könnyű azonban belátni: a zene szívverése a metrikus lüktetés, nem pedig a ténylegesen eltelt, órával mérhető idő.

Az aranymetszésnek kétféle lehetősége van — egy pozitív és egy negatv aszerint, hogy a hosszabb vagy a rövidebb tag ll ell. (2.12. ábra) A pozitív metszet emelkedéssel, az anyag sűrűsödésével, fokozással jár együtt, míg a negatv metszetet aláhajlás, süllyedés kíséri, s az aranymetszés mindenütt a formaegység legjelentősebb csomópontját vagy fordulópontját érinti.

Az aranymetszés nemcsak a formaalkotás egyik fontos tényezője, hanem kulcsot ad kezünkbe a hangzásvilág törvényszerűségeihez is. Az 1200-as évek elején Pisában élt természettudósról és festőről elnevezett Fibonacci-féle haladvány a legegyszerűbb aranymetszés-sort tartalmazza:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...

Ebben minden következő érték a megelőző két szám összegével egyenlő, s a sorban előrehaladva egyre jobban megközelítjük az aranyszámot. E számsor arányait Bartók már pályája kezdetén alkalmazta: az Allegro barbaro zakatoló ostinatoja hol 3, hol 5, hol 8, hol pedig 13 ütemes csoportokba rendeződik. A legjellemzőbb kromatikus dallamok és harmóniák a Fibonacci-sor arányainak engedelmeskednek. Félhang-lépésekkel mérve:

2 — nagyszekund

3 — kisterc

5 — kvart

8 — kisszext

13 — bővített oktáv

Ezek a számok valójában nem félhang-lépéseket, hanem arányokat fejeznek ki.

2.4.  Autentikus és plagális gondolkodásmód

A nyugati zene dúr-moll rendszere és funkciós gondolkodása harmónia-elvekben gyökeredzik, a keleti népzene viszont a dallam törvényeinek engedelmeskedik. A kettőt ellentétes törekvés mozgatja. A két rendszer közötti alapvető különbség abban rejlik, hogy míg a harmónia vertikális eredetű, olyan rend, amely a hangok szimultán együtthangzásán ("tér-elvű" elrendezésén) alapul, addig a dallamnak lineáris, horizontális kiterjedése ("időben" kifejlődő organizmusa) van, és egymást követő hangokat feltételez.

Mi sem mutatja érzékletesebben a két rendszer ellentétes viszonyát, mint az a tény, hogy a klasszikus zene szó-dó kadenciája és a keleti zene lá-mi kadenciája — a ré szimmetria-központhoz képest — pontos tükörképe egymásnak. (2.14. ábra) A nyugati rendszer plagális (szubdomináns-tonika) harmónia-mozgáson alapul, míg a keleti autentikus (domináns-tonika) alaplépéseket von maga után.

Hasonló a helyzet a dó-di és mi-má váltások szimmetria-viszonyában is. A "tükröt" most is a ré hang tartja. (2.15. ábra) Amíg a di és má expresszív "feszültségi" elemként, addig a fi és tá impresszionisztikus "szín" elemként jelentkezik. Az előbbi dinamikus, az utóbbi statikus jelleget ölt. A két harmóniavilág kiegészíti egymást, egységet és ellentétet képeznek. Ugyanakkor tükörképei is egymásnak, hiszen a kromatikus (nyugati) rendszer hangközeínek megfordítása útján akusztikus (keleti) jellegű hangközöket nyerünk, és fordítva (2.16. ábra):

kisszext (8)	—  nagyterc
kvárt (5)	—  kvint
kisterc (3)	—  nagyszext
nagyszekund (2)	—  kisszeptim

2.16. ábra

A keleti rendszer hangzásformái konszonánsak, a felhang-összecsengés következtében csupa konszonáns hangköz kap benne helyet — míg a nyugati Fibonacci-rendszer hangközei éppen azok, melyeket a zeneelmélet Palestrina óta feszült, disszonáns hangközökként tart számon. Ez annyit jelent, hogy a két rendszerben a konszonancia-disszonancia viszonya megfordított. A keleti hangrendszerben a Fibonacci-modellek (2, 3, 5, 8 hangközök) képviselik a legnagyobb feszültséget. Másfelől viszont — bármily hihetetlenül hangzik is — a 3, 5, 8 felépítésű ősi pentaton dallamokban a legdisszonánsabb a tiszta kvint megjelenése. A Háry János kezdőtémájában például a tiszta kvinthang (G) jelzi a legnagyobb feszültség pontját.

Eljutottunk a dualitás legmélyebb titkához: a nyugati kromatika "zárt" világával szemben a keleti diatónia "nyitott" szférát képvisel. A zárt Fibonacci-modellek feszült és dinamikus hatást hoznak létre, a nyitott felhang-harmóniák ezzel szemben kiegyensúlyozott és statikus benyomást keltenek. A tematika is ezekhez hasonul: a kromatikus technika a kör, a diatonikus pedig az egyenes dallamvonallal párosul legtermészetesebben. A kromatikus dallamvilág állandó dinamikus szűkülés vagy tágulás folyamatában van, gyakoriak a "tölcsér-menetek", a szólamok "ollószerű" mozgása. A diatonikus technikában nyomát sem találjuk ezeknek a pulzáló, táguló-szűkülő folyamatoknak, az akusztikus harmóniákat állandóság jellemzi. A nyitottság és zártság kettőssége a számviszonyokban is tükröződik a felhangrendszer kulcsszámai egész számok (oktáv — 8, szeptim — 7), az aranymetszés kulcsszáma viszont irracionális szám (a 5 miatt). Az akusztikus rendszer tehát a legegyszerűbb számtani, az aranymetszés rendszer a legegyszerűbb mértani arányokon nyugszik.

A rendszer legszilárdabb pontjai a dó és a mi, mert a tonalitás megtámasztására csak a hangrendszer aszimmetrikus megosztásai alkalmasak, hiszen szimmetrikus osztás esetén nem tudnánk eldönteni, melyik az alaphang. (Kvintrendben a pentatónia hangjai: dó-szó-ré-lá-mi a legtökéletesebb aszimmetria a szélső hangokban van.) Az Otellóban Jago és Desdemona témáját Verdi azonos hangokból kelti életre, de Jago földhöz tapadt materializmusát dó-alapú pentatóniával — Desdemona megközelíthetetlen, testetlen alakját mi-központú pentatóniával festi.

A ré-fok ezzel szemben — mint szimmetria-központ — a hangsor leglabilisabb pontjának bizonyul, a pentatonon belül ő képviseli az atonalitás pontját, ezért is olyan lebegő hatású. Bartók Dallam ködgomolyagban című zongoradarabjában például ré-pentaton harmóniák érzékeltetik a "ködöt". Verdinek elég egyetlen pentatónia ahhoz, hogy egy pillanat alatt felkavarja az Otello viharzenéjét — a hatás titka, hogy a harmóniát a ré-fokra alapozza.

12-fokú hangrendszerünkben (s ezt billentyűs hangszereinkben a fehér és fekete hangok külső képe is tükrözi) a ré fokon kívül még egy szimmetria-központ is található: a ré tritónusa — a szi fok (C-dúrban a Gisz).

2.5.  Polimodális kromatika

A kromatikus skála 12 fokát három csoportba oszthatjuk:

1. Hangrendszerünk legkülönösebb vonása, hogy középpontját egy "fekete lyuk" jelzi. A központ ugyanis összevág az atonalitás pontjával. Hangjegyírásunk és billentyűs hangszereink egyaránt arra utalnak, hogy a centrumot a két fekete billentyű közötti hang (D), vagy a három fekete billentyű középső hangja (Gisz=Asz) alkotja, amelytől felfelé és lefelé mindenhangnak szimmetrikus tükörképe van.
2. Hangrendszerünk "legstatikusabb" pilléreit a dó-mi-szó és a párhuzamos lá-dó-mi hármashangzat alkotja, együttesen a lá-dó-mi-szó képlet (pl. A–C–E–G). E képletben a legközelebbi természetes felhangok ötvöződnek, s a felhang-relációk biztosítják a hangok közötti organikus kapcsolatot: a tiszta kvint, a nagyterc és a kisszeptim hangközök szintézist teremtenek. (2.17. ábra)
3. A harmadik csoportba jellegzetes modális színek tartoznak. A di és má hangok — mint jellegzetes dúr vagy moll karakterű elemek — dinamikus feszültségi hangokként lépnek fel. Ezzel szemben a fi és tá fokok statikus szín elemekként jelentkeznek.

Verdi az Otello I. felvonásában a lá-dó-mi hármashangzat helyett a lá-di-mit használja, ezzel éri el azt a páratlan emelkedést, amitől a felvonás végén a csillagok is kigyúlnak, és ami a szerelmeseket a mennybe emeli. Mindkettő dúr hangzat, de — hála a di-foknak — a lá-di-mi akkord jóval fényesebb és emelkedettebb lesz az egyszerű dúr-hármasnál. (2.18. ábra) A hangnem-váltásban 3 előjegyzés különbség van: 3 kereszttel emelkedik. Ugyanakkor, ha az előjegyzés 3-mal csökken, a zene karaktere mélyebbre fordul. Így például Mozart Cosí fan tutte-jében a má-dúr akkord (G-dúrból B-dúr) a mély álmot, a méreg okozta kábulatot szimbolizálja. Verdi Requiemjében a "Dies irae" téma visszatérése azért kelt olyan kegyetlen hatást, mert a H domináns nem a várt e-moll tonika követi (lá-dó-mi hármashangzat), hanem a sötét g-moll (dó-má-szó). (2.19. ábra) Ha tehát egy hármashangzatot kistercfokkal mélyebbre transzponálunk, a dó di-re emelkedik és a hangzás fényesebbé válik. Például a C-dúr és A-dúr csere esetén a C hangból Cisz lesz. Ha a transzpozíciót ellentétes irányban hajtjuk végre: a mi mára süllyed és a hangzás elsötétül. Például a C-dúr és Esz-dúr csere esetén az E hang helyébe Esz lép. Amíg a dó-di váltás 3-keresztes emelkedéssel, addig a mi-má váltás 3-bés süllyedéssel jár.

Elemi fokon tehát a romantikus összhangzattannak két kulcsszava van: a di és a má. Mindazonáltal a legkarakterisztikusabb tengelyfeszültség a polaritásban ölt testet — a 3+3=6 előjegyzés távolságot mutató hangnemek viszonyában. Ebből következik, hogy poláris feszültség hozható létre, ha a dót dire és a mit mára módosítjuk. Nézzük a C-dúrt és paraleljét, az a-mollt: ha a C-dúr akkordban mi helyett mát írunk — az a-moll akkordban pedig dó helyett dit, akkor dó-má-szó és lá-di-mi hármashangzatok keletkeznek. (2.20. ábra) A c-moll hangnem 3 béje és az A-dúr hangnem 3 keresztje közötti különbség 6 előjegyzés. Otello öngyilkosságának pillanatában fordítva történik: előbb jelentkezik a lá-di-mi, aztán 6 előjegyzés zuhanással a dó-má-szó akkord (D-dúr és f-moll).

A tengelyrendszer a hagyományos dúr-moll tonalitásból alakult ki kettős irányban: egyfelől az azonos alaphangra épített "maggiore—minore" váltásokból, másfelől a paralel dúr és moll hangnemek kapcsolatából. A C-dúr minore változata c-mollal, paralelje pedig a-mollal azonos. E kapcsolódás egy nevezetes akkordtípus magvát rejti magában (A-C-Esz-G), ami valóságos szimbóluma lett a romantikus zenének. Minthogy e típus a moll harmónia alsó paraleljének bizonyul, ezért szubmoll akkordnak nevezik. A moll és szubmoll irányba történő váltás együtt jár a feszültség növekedésével, míg a dúr irányba történő a feszültség csökkenését vonja maga után. Viszont a moll-irányú váltás az, amit természetesnek érzünk, míg a dúr-irányú váltás természetellenes benyomást kelt. A paralel-váltásnál jóval erőteljesebbnek bizonyul a modális váltás (pl. C-dúrból c-mollba, c-szubmollba). Ezúttal is az azonos nevű moll-dúr váltás az, amit természetesnek érzünk (szinte fel sem tűnik, ha Bach moll-fúgáit dúr-hármassal zárjuk), míg a dúr-moll váltás szenvedélyes, indulatos, drámai hatást kelt.

A relatív szolmizáció segítségével tovább egyszerűsíthetjük az összefüggéseket. A paralel rokonságokat írjuk egymás alá (pl. C-dr, a-moll, fiszszubmoll) a modális rokonságokat pedig egymás mellé (pl. A-dúr, a-moll, a-szubmoll). (2.21. ábra) Az A-dúr, C-dúr és Esz-dúr oszlopát 3-3 előjegyzés választja el egymástól. Az így támadó "légnyomás-különbség" abban is mutatkozik, hogy a bal oldali oszlop karakterét a di fok (cisz), a jobb oldaliét pedig a má fok (esz) határozza meg. A diagramot már csak egyetlen láncszemmel lehetne kiegészíteni — akár vertikálisan, akár horizontálisan — ahhoz, hogy a tengely-kör bezáruljon.

A tengelyrendszerben gyakori, hogy a három funkció bővített hármas viszonyba kerül egymással. Verdi Otellójának szerelmi kettőse mindjárt ilyen viszonnyal kezdődik (Gesz-D-B). A duett széles érzelmi kilengéseit az idézi elő, hogy Verdi a szubdomináns "mélységét" és a domináns "magasságát" a lehetőségek határáig kitágítja. A klasszikus összhangzattanban a legegyszerűbb kadencia így festene: 2.22. ábra.

A szubdomináns negatív feszültségét úgy lehet fokozni, hogy a IV. fokú Cesz-dúr helyébe a felső kisterc-fokot: a D-dúrt léptetjük. Ha viszont a domináns pozitív feszültségét akarjuk fokozni, úgy az V. fokú Desz-dúrt alsó kisterc-fokával: B-dúrral kell helyettesítenünk. A Gesz-tonika, D-szubdomináns és B-domináns így bővített hármas kapcsolatba lép egymással. Míg a modális domináns-tonika kadencia pozitív jelentésű, addig a III-l. kadencia (lefelé irányuló nagyterc-lépés) negatív benyomást kelt, gyakran "halál"-szimbolikával terhes. Ha a domináns és tonika akkordokat felcseréljük, jelentésük is ellenkezőjére fordul. Például az Aida témájának lélekemelő hatását az táplálja, hogy a tonika Ill. fokú dominánsba torkollik. Ezzel szemben a Rigoletto drámai fordulatát az váltja ki, hogy a tonikát modális domináns követi (F tonika után Esz-dúr). Általánosan megállapíthatjuk, hogy a nagyterc-lépés és a nagyszekund-lépés felfelé pozitív, míg ugyanezek lefelé negatív hatást keltenek.

Kései stílusában Verdi feltűnően nagy szerepet juttat a szűkített négyeseknek. Ezekről azonban kiderül, hogy nem valódi szűkített négyesek, hanem olyan dó-mi-szó-tá akkordok, amelyeknek alaphangja dó-di lépés mintájára fél hangot emelkedik, és ezáltal bekövetkezik a "túlfeszültség" állapota. A di-váltás klasszikus példája a Máté-passió "Barrabam!" felkiáltása: D-dúr feloldás helyett fenyegető Disz-Fisz-A-C szűkített négyes van. (2.23. ábra)

A kései romantikában a harmóniák gyakran kapnak bizonyosfajta "mögöttes" jelentést: másodlagos, áttételes értelmet — s ez olyankor következik be, valahányszor egy dúr-hármast a nagyterccel magasabb moll-hangzat (pl. C-dúrt az e-moll) vagy megfordítva: egy moll-hármast a nagyterccel mélyebb dúr-hangzat (a-moll helyett F-dúr) helyettesíti. (2.24. ábra)

Szolmizációs jelekkel kifejezve: a dó-mi-szó dúr-hármast mi-szó-ti — vagy a lá-dó-mi moll-hármast fá-lá-dó akkord helyettesíti. A Rigoletto—Gilda párbeszédben a helyettesítő akkord — a C-dúrt felváltó e-moll — a megejtett Gilda lelki tisztaságát tükrözi: a helyettesítő-hangnem "emelkedett" érzelmi tartalommal ruházza fel a dallamot. Különösen hangzik, de a dúr helyettesítő akkord a moll karaktert, míg a moll helyettesítő akkord a dúr karaktert fokozza, s a két módosulás ezúttal is tükör-helyzetet foglal el a ré szimmetria-központhoz képest. Összefoglalva: a dúrból a moll helyettesítő-hangnembe történő cserét "pozitív", emelkedett fordulatnak érzékeljük (pl. C-dúrból e-mollba), viszont ha mollból a dúr helyettesítő-hangnembe lépünk, ez "negatív", mélybe húzó impressziót kelt (pl. a-mollból F-dúrba). Ugyanakkor azonban a negatív helyettesítő akkord "természetesnek" tűnik, míg a pozitív "természetellenes" hatást idéz elő. Bizonyos körülmények között a negatív helyettesítő-akkordok jellegzetesen keleti, míg a pozitívak jellegzetesen nyugati gondolkodásra utalnak.

Az Asz-dúr és a c-moll egymás helyettesítő-akkordjai, ezért az Asz-dúr + c-moll egyesítése útján egy szimmetrikus akkord, úgynevezett hyperdúr harmónia hozható létre, melynek felépítése: dúr hármas nagyszeptimmel (Asz-C-Esz-G).

A nyugati zene dialektikus rendszerének kialakulását mindenekelőtt két nyelvi elem tette lehetővé: egyfelől a tonalitás—atonalitás ellentétének felismerése, másfelől a polimodális feszültségek felfedezése. Bachról szoktuk mondani, hogy elhintette mindazt a magot, ami a zene további fejlődését évszázadokra meghatározta. A János-passiónak mindjárt az első mondatai beszédesen tanúskodnak erről. Amikor a szöveg szembeállítja az "isteni" elemet az "ördögi" elemmel, Bach nem tesz egyebet, mint szembeállítja egymással a tonalitás és atonalitás gondolatát. Jézust a legközelebbi természetes felhang: a tiszta kvint testesíti meg, viszont Júdás jelképe a szűkített kvint: az a hangköz, ami szimmetrikusan felezi a hangrendszert, ily módon disszonanciához vezet. (2.25. ábra) Minden hangnemnek van egy tonális és egy szimmetria központja. E-dúrban például a hangsor tonális centrumát az E hang, szimmetria-tengelyét a Fisz-C képviseli. A feszültség-feloldás elve: a konszonancia-disszonancia gondolata, a tonalitás és atonalitás szembeállítása azonban csak egyik szerkezeti eleme ennek a hangzásvilágnak. A másik mozgatója az a feszültségi elv, ami a polimodális gondolkodásban valósul meg — és ami a kifejezés még hatékonyabb, még erőteljesebb eszközének bizonyul. A János-passióban: Jézus megszólalásának pillanatában Bach úgy teszi kézzelfoghatóvá a csodát, hogy az F-dúr harmóniát felcseréli a 3 kereszttel "magasabb" D-dúrral. Itt is ugyanaz a dó-di elvű emelkedés megy végbe, amitől Verdinél "kifényesedett" a hangzás. (2.26. ábra)

Foglaljuk össze a polimodális kromatika alapjelenségeit a 12 foknak a rendszerben elfoglalt helyzete alapján! (2.27. ábra)

Ha a kromatikus skála 12 hangját (a re-centrumhoz viszonyítva) szimmetrikus párokba csoportosítjuk — az egyes fokok jelentése a következő lesz:
di és ma	dinamikus, feszültségi elemek ("dúr", ill. "moll" feszültség).
fi és ta	statikus szín-elemek (vö. akusztikus skála). Viszont: di és fi az emelkedés, ma és ta a süllyedés érzetét kelti.
re és si	a rendszer szimmetria-központjai: atonálispólusok.
ti és fa	a skála feszültségi-pontjai: érzékeny vezérhangok.
do és mi	hangrendszerünk legtonálisabb pillérei: a "do" illetve a "mi" rendszer alaphangjai. A tükör-viszonyból következik, hogy a do-mi terc impresszív alapkarakterű, a mi-do szext expresszív alapkarakterű.
so és la	jelentésüket az határozza meg, hogy a so—>do lépés (felfelé) a "do"-rendszer alapkadenciája, a la—>mi lépés (lefelé) a "mi"-rendszer alapkadenciája.
A hangnemek közt a so-hangsor képviseli a legemelkedettebb moduszt (himnikus), míg a moll-ra jellemző érzelmi mélységet a la-hangsor tükrözi. Ismét hozzátehetjük, hogy do-hoz képest a la: impresszív "pasztorál"-szext, mi-hez képest a so: expresszív "pentaton"-terc (a so—mi dallam a pentatonikus feszültség legelemibb megnyilvánulási formája!).
A négy polimodális színező-hang — di, ma, fi, ta — a következő kombinációs lehetőségeket rejti magában. A ma + fi együttesen szenvedélyes (=ma), de ugyanakkor emelkedett (=fi) atmoszférát teremt. Másfelől, a ta + di sajátságosan "magyar" (orientális) színezetet nyer (ta= melankóliára való hajlam; di = impulzivitásra, temperamentumra való hajlam). A di + fi élénk, "szangvinikus", gyakran túlcsordulóan átszellemített hangulatot sugároz. A ma + ta szomorú vagy ernyedt karaktert idéz elő. Végül a di + ma együttesen poláris feszültséget hoz létre ("kolerikus" temperamentum) — míg a fi + ta egyensúlyt tükröz: ez jut kifejezésre az akusztikus skálában is.

2.27. ábra

Amíg a klasszikus összhangzattan pusztán a zenei szerkezetek leírására szorítkozik, addig ez a kodályi relativitás-tan a zene anyagához és tartalmához egyaránt közelebb vezet. Segít eddig érthetetlen összefüggések feltárásában, így képessé tesz bennünket, hogy mélyebbre hatoljunk a kompozíció titkaiba, s feltárulhasson előttünk egy zenei "világegyetem".

Folytatás...