Gödel, Escher, Bach

Douglas R. Hofstadter
Részletek
logika, matematika, informatika, Douglas R. Hofstadter

Tartalom

Áttekintés · Az illusztrációk jegyzéke · Köszönő szavak

I. RÉSZ: GEB

Bevezetés: Zeneo-logikai Áldozat
I. fejezet: Az MU-rejtvény
II. fejezet: A matematikai jelentés és forma
III. fejezet: Alak és háttér
IV. fejezet: Következetesség, teljesség és geometria
V. fejezet: Rekurzív szerkezetek és eljárások
VI. fejezet: A jelentés helye
VII. fejezet: Az Állítás Kalkulus
VIII. fejezet: Tipográfiai Számelmélet
IX. fejezet: Mumon és Gödel

II. RÉSZ: EGB

X. fejezet: Leírási szintek és számítógéprendszerek…
XI. fejezet: Agy és gondolat
XII. fejezet: Tudat és gondolat
XIII. fejezet: BlooP, FlooP és GlooP
XIV. fejezet: A TSZ és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen állitásairól
XV. fejezet: Kilépés a rendszerből
XVI. fejezet: Önhiv és önrep
XVII. fejezet: Church, Turing, Tarski és mások
XVIII. fejezet: Mesterséges Intelligencia: visszatekintés
XIX. fejezet: Mesterséges Intelligencia: kilátások
XX. fejezet: Furcsa Hurkok avagy Összekuszált Hierarchiák

Jegyzetek · Bibliográfia · Források és jogok · Név- és tárgymutató
Részlet a szerzővel készített interjúból

szóelválasztás

Úgy tűnik, sokan nem értették meg a könyv célját. Sokan csak a címig jutottak el. Ránéztek a három szóra – Gödel, Escher, Bach – és ha tudták, hogy ki volt ez a három ember, akkor azt mondták magukban: ó, ez a könyv a matematikáról, a művészetről és a zenéről szól.

A Gödel, Escher, Bach – mint már nagyon sokszor elmondtam – az Én szóról szól. A tudatról. Arról, hogyan alakul ki jól elrejtett, alig ismert mechanizmusokból a gondolkodás. Arról, hogy nem csak a gondolkodás, hanem az én és az öntudat is megkülönböztet minket más bonyolult dolgoktól. Arról, hogy az önhivatkozás megértése milyen segítséget jelenthet az öntudat magyarázatában, és hogyan jelenhet meg egy napon az öntudat nagyon bonyolult szerkezetekben, például számítógépekben. Annak a megértésére törekedtem, hogy mi az én, és mi a lélek. Az öntudat csupán drótokon áthaladó elektronok eredménye.

Mégis, sokan úgy kezelték a könyvet, mint valamilyen nagy interdiszciplináris játékot, amelynek csak a szórakozás volt a célja. Nos, a szórakozás csak a hab volt a tortán. Eredetileg a könyv egyedül arról szólt, hogyan bukkant fel a Gödel-tétel bizonyítása egy olyan erőd – Bertrand Russell és Alfred North Whitehead Principia Mathematicajának – közepén, amelynek éppen az volt a célja, hogy kívül tartsa ezt a bizonyítást. Azt gondoltam: íme, itt egy struktúra, amely megkísérli, hogy kizárja az önismeretet, de ha a dolgok elég bonyolulttá és összetetté válnak, akkor – hipp-hopp! – a rendszerben hirtelen megjelenik önmaga. Szerintem az öntudat mélyén ez a trükk van.

Ezért aztán először nem voltak párbeszédek, tréfák, szójátékok, valamint Escherre és Bachra történő hivatkozások, de amikor 1974-ben a kéziratot gépeltem, úgy láttam, hogy kiforratlan a stílusa. Elhatároztam, hogy beleveszem a párbeszédeket és Eschert, emiatt a játékosság egy másodlagos – de nagyon fontos – része lett a könyvnek.

Sokan ezekre a dolgokra koncentráltak, és az egész könyvet egy nagy játékként kezelték. Célom az volt, hogy a könyv eljusson a filozófusokhoz, azokhoz, akik a tudatról és az öntudatról gondolkoznak. Egy viszonylag szűk réteg látta, hogy mi a valódi szándékom, de a legtöbben csak a csillogást látták. Akkoriban úgy éreztem, hogy nagy veszteséget jelentett az a tény, hogy ennyire a pályafutásom elején írtam egy ilyen könyvet, mert senki sem vett többé komolyan.

Természetesen túlzok, amikor azt mondom, hogy „senki”, mert a filozófia és a kognitív tudományok terén általam tisztelt emberek zöme komolyan vett. De az emberek többsége úgy jellemezte a könyvet, mint egy népszerűsítő munkát, vagy mint a Gödel-tétel bő lére eresztett, de szórakoztató bemutatását, ami olyan őrült dolgokat is tartalmaz, mint a molekuláris biológia, a Zen, a festmények és a szójátékok.

Másrészt azt hiszem, ha az összes filozófus azt írta volna:

„Ez a könyvek könyve az öntudatról”, de semmit sem mondott volna a szójátékokról, akkor is szomorú lettem volna, és sértve éreztem volna magam. Mindkét esetben úgy éreztem volna, hogy egy kicsit a háttérbe szorultam. [Nevet.]

A könyv hatása az volt, hogy nagyon sok fiatalt lelkesített. Sok százan írtak nekem arról, hogy a könyv hatására kezdtek számítástechnikával, kognitív tudománnyal vagy filozófiával foglalkozni. Ez pedig mindig nagyszerű dolog. Gyakran azonban úgy kezelik ezt, mint valami mellékes dolgot.

D. R. Hofstadter
Wired, 1995

II. fejezet. A matematikai jelentés és forma

Szonáta szóló-Akhilleuszra

Cseng a telefon, Akhilleusz felveszi.

Akhilleusz. Halló, itt Akhilleusz.

Akhilleusz. Ó, jó napot, T. úr. Hogy van?

Akhilleusz. Torticollis-t? Ó, sajnálom, hogy ezt kell hallanom. Van valami elképzelése arról, hogy mi okozhatta?

Akhilleusz. Mennyi ideig tartotta ebben a helyzetben?

Akhilleusz. Hát akkor nem csoda, hogy megmerevedett. De mi a csodáért tartotta ilyen sokáig kicsavarva a nyakát?

Akhilleusz. Szóval csodálatosan sok volt belőlük? Milyenek voltak?

Akhilleusz. „Képzeletbeli állatok”? Mire gondol?

Akhilleusz. Nem volt rémisztő, hogy ilyen sokat látott egyszerre?

Akhilleusz. Egy gitár? Pont egy gitár a sok furcsa teremtmény között? Mondja, tud ön gitározni?

Akhilleusz. Nos, én is így vagyok vele.

Akhilleusz. Igaza van. Nem is tudom, miért nem vettem észre eddig ezt a különbséget a hegedű és a gitár között. Apropó hegedű, mi lenne, ha átjönne, és meghallgatná kedvenc zeneszerzője, Bach egyik hegedűre írt szólószonátáját? Éppen most vettem meg egy csodálatos lemezfelvételét. Mindig bámulattal tölt el, hogy J. S. Bach ilyen érdekes darabot tudott írni egyetlen hegedűre.

Akhilleusz. Fejfájása is van? Hát ez szomorú. Talán segítene önön egy-két tabletta.

Akhilleusz. Értem. Próbálkozott már azzal, hogy birkákat számol?

Akhilleusz. Ó, ó, értem. Igen, pontosan tudom, mire gondol. Nos, ha EZ zavarja, akkor talán az lenne a legjobb, ha nekem is elmondaná a rejtvényt, és én is megpróbálkoznék a megfejtésével.

Akhilleusz. Egy olyan szó, aminek a közepén a ’B’, ’L’, ’E’ és ’T’ betű áll egymás mögött… Hm… Mit szól ahhoz, hogy „többlet”?

Akhilleusz. Igaz, a „BLET” ebben a szóban nem a szó közepén, hanem a szó végén áll.

Akhilleusz. Órákon át? Úgy látszik, hosszú feladatra vállalkoztam. Hol hallotta ezt a pokoli rejtvényt?

Akhilleusz. Szóval úgy látszott, mintha elvont buddhista dolgokról meditálna, míg a valóságban bonyolult szójátékokat próbált kitalálni?

Akhilleusz. Aha, a csiga tudta, hogy miben sántikál a fickó. De hogyan elegyedett szóba a csigával?

Akhilleusz. Hallottam egyszer egy rejtvényt, ami hasonlított ehhez egy kicsit. Akarja hallani? Vagy ettől még rosszabbul lenne?

Akhilleusz. Egyetértek – nem árthat. A rejtvény a következő: Melyik az a ragozatlan szó, amelyik „TA”-val kezdődik és így is végződik?

Akhilleusz. Nagyon ötletes – de ez jószerivel csalás. Bizony nem erre gondoltam!

Akhilleusz. Hát persze, hogy igaz – kielégíti a feltételeket, de ez egyfajta „elfajult” megoldás. Van egy másik megoldás is, én arra gondolok.

Akhilleusz. Pontosan! Hogy jött rá ilyen gyorsan?

Akhilleusz. Így hát ebben az esetben a fejfájás segítette, nem pedig hátráltatta a megfejtést. Kitűnő! De még mindig nem tudom, hogy mi lehet az ön „BLET” rejtvényének a megoldása.

Akhilleusz. Nos, általában nem szeretem az útmutatásokat, de rendben van. Mi az útmutatás?

Akhilleusz. Nem tudom, hogy ebben az esetben mi lehet az „alak” és a „háttér”?

Akhilleusz. Hát persze, hogy ismerem a Mozaik II-t! Escher ÖSSZES művét ismerem. Hiszen ő a kedvencem. Egyébként a Mozaik II ott lóg a falon, és jól látom innen, ahol most vagyok.

M. C. Escher · Mozaik II · litográfia · 1957
All M. C. Escher works (c) 2009 The M. C. Escher Company – the Netherlands.
All rights reserved. Used by permission. www.mcescher.com

Akhilleusz. Igen, látom a fekete állatokat.

Akhilleusz. Igen, azt is látom, hogy a „negatív terük” – ami kimaradt – a fehér állatokat definiálja.

Akhilleusz. Hát EZT nevezi ön „alak”-nak és „háttér”-nek. De mi köze ennek a „BLET” rejtvényhez?

Akhilleusz. Ó, ez túl bonyolult nekem. Kezd NEKEM is fejfájásom lenni.

Akhilleusz. Most akar átjönni? De azt hittem –

Akhilleusz. Rendben van. Ha az ön alak-háttér útmutatását az ÉN rejtvényemre alkalmazom, talán én is rájövök addigra az ön rejtvényének a megoldására.

Akhilleusz. Nagyon szeretném önnek lejátszani.

Akhilleusz. Azt mondja, van egy elmélete róluk?

Akhilleusz. Nos, még ha így lenne is, akkor is furcsa egy kicsit, hogy miért nem írta le és adta ki a csembaló szólamát is.

Akhilleusz. Értem – ez csak egy lehetőség. Kétféleképpen is hallgatható: kísérettel vagy anélkül. De honnan lehet tudni, hogy milyen lehetett a kíséret?

Akhilleusz. Á, igen, szerintem is a legjobb ezt a hallgató képzeletére bízni. Még az is lehet, hogy Bach sohasem gondolt semmilyen kíséretre sem. Ezek a szonáták nagyon jól hangzanak így is.

Akhilleusz. Rendben van. Nos, a közeli viszontlátásig.

Akhilleusz. Viszontlátásra, T. úr.

61–63. p.

VIII. fejezet. Tipográfiai Számelmélet

Fordítási rejtvények az olvasónak

Ezzel befejeztük a hat darab tipikus számelméleti mondat átfordítására vonatkozó gyakorlatot. Ettől azonban az olvasó még nem lett szükségszerűen a TSZ [Tipográfiai Számelmélet] jelölésrendszer mestere. Van még néhány rázós dolog, amit el kell sajátítani. A következő hat jól formált képlettel tesztelhetik, hogy értik-e a TSZ jelölésrendszert. Mit jelentenek ezek a képletek? Melyek igazak (értelmezéskor, persze) és melyek hamisak? (Útmutatás: a gyakorlat bal felé haladva kezdhető el. Először fordítsák le az atomot, majd állapítsák meg, hogy egy kvantor $[\forall, \exists]$ vagy egy tilde $[\sim ]$ hozzáadása mit eredményez, azután lépjenek balra, és vegyenek egy újabb kvantort vagy tildét, majd ismét lépjenek balra, és ismételjék meg ugyanezt.)

\begin{align} \mathrm{\sim \forall c:\exists b:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\forall c:\sim\exists b:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\forall c:\exists b:\sim(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\sim\exists b:\forall c:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\exists b:\sim\forall c:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\exists b:\forall c:\sim(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \end{align}

(Második útmutatás: vagy négy igaz közülük és kettő hamis, vagy négy hamis és kettő igaz.)

212–213. p.

Az öt Peano-posztulátum

Mellesleg, az 1. axióma értelmezése – „a nulla semmilyen természetes számnak sem az utódja” – a természetes számok öt híres tulajdonságának az egyike. Az öt tulajdonságot először Giuseppe Peano matematikus és logikatudós ismerte fel 1889-ben. Posztulátumainak felállításakor Peano Eukleidész útját követte a következőképpen: nem próbálkozott a következtetés alapelveinek a formalizálásával, megpróbálta azonban megadni a természetes számok tulajdonságainak azon kis halmazát, melyből következtetéssel minden más levezethető. Peano kísérlete emiatt „félig formálisnak” tekinthető. Peano munkájának jelentős hatása volt, ezért jó lenne bemutatni Peano öt posztulátumát. Mivel Peano a „természetes szám” fogalmát kísérelte meg definiálni, nem fogjuk használni az ismerős „természetes szám” szavakat, mivel ebben sok a mellékzönge. Azzal a nem definiált szóval helyettesítjük, hogy dzsinn, ami új szó, és nem jutnak róla mellékzöngék az eszünkbe. Ekkor Peano öt posztulátuma öt korlátozást tesz a dzsinnekre. Van még két másik nem definiált szó: Szellem és meta. Önök fogják kitalálni, hogy milyen szokásos fogalmakat szeretnének jelenteni. Az öt Peano-posztulátum:

  1. A Szellem dzsinn.
  2. Minden dzsinnek van metája (ami szintén dzsinn).
  3. A Szellem semelyik dzsinnek sem metája.
  4. A különböző dzsinneknek különböző a metája.
  5. Ha a Szellem rendelkezik X-szel, és minden dzsinn továbbadja X-et a metájának, akkor minden dzsinn megkapja X-et.

A Kis Harmóniai Labirintus lámpásainak fényében az összes dzsinnek halmazát „ÚR”-nak kell neveznünk. Ez egybecseng azzal a híres állítással, amelyet Leopold Kronecker német matematikus és logikatudós, Georg Cantor ősellensége tett: „a természetes számokat az Úr alkotta, minden más az ember műve”.

Peano ötödik posztulátumában a matematikai indukció alapelve ismerhető fel – ez egy másik szó az öröklődő következtetésre. Peano azt remélte, hogy a „Szellem”-re, „dzsinn”-re és „metá”-ra vonatkozó öt megkötése annyira erős, hogy ha két különböző ember képzeli el ezeket a fogalmakat, akkor a tudatukban lévő két elképzelés teljesen izomorf szerkezet lesz. Például, az összes elképzelésben végtelen számú különböző dzsinn szerepel. És abban is bizonyára mindenki egyetért, hogy egyetlen dzsinn sem esik egybe a metájával, vagy a metájának a metájával stb.

Peano azt remélte, hogy öt posztulátumában sikerül leszögeznie a természetes számok lényegét. A matematikusok általában megegyeznek abban, hogy sikerrel járt, de ez nem csökkenti annak a kérdésnek a fontosságát, hogy „hogyan lehet a természetes számokról szóló igaz állításokat a hamisaktól megkülönböztetni?” Ennek a kérdésnek a megválaszolásához pedig a matematikusok teljesen új formális rendszerekhez fordultak, olyanokhoz, mint a TSZ. Peano hatása azonban a TSZ-ben is látszik majd, mert a TSZ valamilyen formában mindegyik posztulátumát tartalmazza.

216–217. p.

XIII. fejezet. BlooP, FlooP és GlooP

A rend észlelése a megfelelő szűrő megválasztásával

[…] A Gödel-számozás felfedezése megmutatta, hogy bármilyen keresésnek, amely egy különleges tipográfiai tulajdonsággal rendelkező stringet szeretne megtalálni, létezik az aritmetikai unokatestvére: egy különleges aritmetikai tulajdonsággal rendelkező egész szám izomorf keresése. Emiatt a formális rendszerekben a döntési eljárás felkutatása a végtelen hosszú keresések – az egészek közötti káosz – rejtélyének megoldásával egyenértékű. Az Ária különféle változatokkalban azonban talán túl nagy súlyt helyeztem az egészekkel kapcsolatos problémákban a káosz látszólagos megjelenésének. A valóságban a „csodásság” problémájánál sokkal vadabb példákban is sikerült megszelidíteni a látszólagos káoszt. Emiatt Akhilleusznak a számok szabályosságába és megjósolhatóságába vetett erős hite egészen tiszteletre méltó – különösen azért, mert csaknem az összes matematikus hitét tükrözi, 1930-ig bezárólag. Ahhoz, hogy megmutassuk, miért olyan lényeges és bonyolult kérdés a rend és a káosz közötti különbség, valamint hogy hozzákössük a jelentés helyének és megjelenésének kérdéseihez, szeretnék egy szép és emlékezetes részletet idézni a Vajon valódiak-e a számok? című műből – a néhai J. M. Jauch egy Galileire emlékeztető dialógusából:

Salviati. Tegyük fel, hogy adok önnek két olyan számsorozatot, mint például a

\[ 7\ 8\ 5\ 3\ 9\ 8\ 1\ 6\ 3\ 3\ 9\ 7\ 4\ 4\ 8\ 3\ 0\ 9\ 6\ 1\ 5\ 6\ 6\ 0\ 8\ 4 \]

és az

\[ 1, -\frac{1}{3}, +\frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, +\frac{1}{9}, -\frac{1}{11}, +\frac{1}{13}, -\frac{1}{15},\dots\]

Ha azt kérdezném öntől, Simplicio, hogy mi a következő szám az első sorozatban, akkor mit mondana?

Simplico. Nem tudnám megmondani. Azt hiszem, véletlenszerű a sorozat, és nincs benne rendszer.

Salviati. És mi a helyzet a második sorozatnál?

Simplico. Könnyű lenne a válasz. +$\frac{1}{17}$.

Salviati. Úgy van. De mit mondana, ha elárulnám önnek, hogy az első sorozat szintén szabályszerű, mi több, ez a szabály megegyezik azzal, amit az imént a második sorozatnál felfedezett?

Simplico. Számomra ez nem látszik túl valószínűnek.

Salviati. Pedig valóban így van, mivel az első sorozat egyszerűen a második sorozat összegéből képzett tizedes tört eleje. Ennek értéke $\frac{\pi}{4}$.

Simplico. Önnek számtalan ilyen matematikai mutatványa van, de nem látom, hogy mindez milyen kapcsolatban áll az absztrakcióval és a valósággal.

Salviati. Az absztrakcióval való kapcsolat könnyen látható. Az első sorozat csak akkor látszik véletlenszerűnek, ha még nem alkottunk az absztrakció segítségével egy olyan szűrőt, amellyel a látszólagos káosz mögötti egyszerű szerkezet láthatóvá válik. Pontosan ilyen módon szokták felfedezni a természeti törvényeket. A természet számos jelensége többnyire csak kaotikus véletlennek látszik, amíg ki nem választunk néhány lényeges eseményt, és idealizálással el nem vonatkoztatunk az egyedi, lényegtelen körülményektől. Csak ekkor jelenik meg teljes fényben az igazi szerkezetük.

Sagredo. Ez egy csodálatos gondolat! Azt sugallja, hogy ha megpróbáljuk megérteni a természetet, akkor úgy kell tekintenünk a jelenségeit, mintha megérteni kívánt üzenetek lennének, eltekintve attól, hogy mindegyik üzenet véletlenszerűnek látszik, amíg létre nem hozunk egy kódot, amellyel elolvashatók. Ez a kód az absztrakció formáját ölti, vagyis kiválasztunk bizonyos dolgokat, melyek elhagyhatók, és így egy szabad választás révén részben megválasztjuk az üzenet tartalmát. A lényegtelen jelek alkotják a »háttérzajt«, amely korlátozni fogja az üzenetünk pontosságát. Mivel azonban a kód nem abszolút, ugyanabban a nyers adathalmazban szmos különböző üzenet lehet, emiatt a kód megváltoztatásával az előzővel megegyező jelentőségű üzenethez jutunk valami olyanból, ami előzőleg csupán csak zaj volt, és megfordítva: egy új kóddal a korábbi üzenet értelmetlenné válhat. Emiatt a kód szabad választást feltételez a különféle, egymást kiegészítő szempontok között, és mindegyik szempont egyformán igényt tart a valóságra, ha használhatom ezt a kétes szót. A szempontok némelyike teljesen ismeretlen lehet a számunkra, de feltárulkozik egy olyan megfigyelő számára, akinek más absztrakciós rendszere van. De mondja, Salviati, hogyan állíthatjuk, hogy felfedeztünk valamit ott kint, az objektív valóságos világban? Nem jelenti ez azt, hogy csupán a saját elképzeléseink szerint alkotjuk meg a dolgokat és hogy ez a valóság csak bennünk létezik?

Salviati. Nem hiszem, hogy ez szükségszerűen így van, de a kérdés több meggondolást igényel.

Jauch itt olyan üzenetekkel foglalkozik, amelyek nem egy »értelmes lénytől«, hanem magától a természettől érkeznek. A VI. fejezetben a jelentés és az üzenetek kapcsolatáról felvetett kérdéseink a természetből érkező üzenetek esetén ugyanúgy felvethetők. Vajon kaotikus-e a természet, vagy szabályszerű? És mi az intelligencia szerepe, ha szeretnénk választ kapni erre a kérdésre? […]

408–409. p.

Douglas R. Hofstadter 1945-ben New York-ban született; Robert Hofstadter Nobel-díjas fizikus fia. Tanulmányait 1965-ig a Stanford Egyetemen, 1972-ig pedig az Oregon Egyetemen folytatta, ahol azután 1975-ben doktorált.

További állomások: Regensburg-i Egyetem; Bloomington; Indiana University; Massachusetts Institute of Technology; Michigan-i Egyetem. Tagja az Amerikai Komputergyártók Szövetségének és a Kognitív Tudományok Társaságnak.

1979-ben a természettudományos kategóriában a Könyvkritikusok Díját, 1980-ban Pulitzer-díjat, és az Amerikai Könyvkitüntetést kapta meg, s mindezt a Gödel, Escher, Bach című mű elismeréseként.

További publikációi:

Hofstadter, D. R.–Dennett, D. C. (eds) (1981): The Mind’s 1: Fantasies and Reflections on Self and Soul. New York: Basic Books.

Hofstadter, D. R. (1985): Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern. New York: Basic Books.

Hofstadter, D. R. & the Fluid Analogies Research Group (1995): Fluid Concepts and Creatiue Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thoughts. New York: Basic Books

Forrás

Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Egybefont Gondolatok Birodalma. Metaforikus fúga tudatra és gépekre, Lewis Carrol szellemében (Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid). Fordította Lipovszky Gábor. Budapest: TypoTeX Kiadó, 1998. 61–63, 212–213, 216–217, 408–409. p.