Leibniz: Dissertatio de arte combinatoria

Göncz Zoltán
A Bach testamentuma című kötet 1.4. fejezete
matematika, kombinatorika
szóelválasztás

…létezhet egy könyv,
amelyben minden leírt és leírandó megtalálható…

Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) alig húsz évesen, 1666-ban publikálta a Dissertatio de arte combinatoriát. Hasonló kérdésekre keresett választ, mint 16–17. századi elődei – természetesen sokszor hasonló eredményre jutva. Miközben – ahogy azt később maga is elismeri – matematikai ismeretei akkor még nem voltak elég alaposak, ennek ellenére számos új kombinatorikai problémát is felvetett (így például ő írt először a ciklikus permutációról1). A terminológia ekkor még nem volt egységes; a permutációkat Leibniz variationes ordinisnak nevezi, a kombinációkat complexionesnak. Külön nevet kap a két- (com2natio = combinatio), a három- (con3natio = conternatio) és többelemű kombináció, míg a „variációnak” nincs külön terminus technicusa, csupán körül van írva. A három fő kombinatorikai eljárás (permutáció, kombináció, variáció) mind ismétléses, mind ismétlés nélküli fajtáival2 foglalkozik a szerző, a problémafelvetésen és az elméletalkotáson túl fokozott hangsúlyt helyezve a gyakorlati alkalmazásra, felhasználhatóságra.

  • 1 Ciklikus permutáció esetén az elemek nem tetszőlegesen cserélnek helyet, hanem körben forognak (pl. 3 elem [abc] esetén 3-szor: abc, bca, cab).
  • 2

    1) Az ismétlés nélküli permutációban az elemek úgy rendeződnek sorba, hogy mindegyik elem csak egyszer van felhasználva (pl. 3 elem [abc] 6-féleképpen rendezhető sorba: abc, acb, bac, bca, cab, cba).

    2) Az ismétléses permutáció elemei között egymással megegyező is található (pl. 3 elem [aab] 3-féleképpen rendezhető sorba: aab, aba, baa).

    3) Az ismétlés nélküli kombináció esetén különböző elemekből történik választás, tekintet nélkül a kiválasztott elemek sorrendjére (pl. 3 elemből [abc] 2 elem 3-féleképpen választható: ab, ac, bc).

    4) Az ismétléses kombináció esetén az elemekből úgy történik választás, hogy azok többször is választhatók, ekkor is tekintet nélkül a kiválasztott elemek sorrendjére (pl. 3 elemből [abc] 2 elem 6-féleképpen választható: aa, ab, ac, bb, bc, cc).

    5) Az ismétlés nélküli variáció esetén különböző elemekből történik választás, ugyanakkor tekintetbe van véve a kiválasztott elemek sorrendje is (az ismétlés nélküli kombinációk permutálódnak is) (pl. 3 elemből [abc] 2 elem 6-féleképpen választható: ab, ac, ba, bc, ca, cb).

    6) Az ismétléses variáció esetén az elemek többször is választhatók, és tekintetbe van véve a kiválasztott elemek sorrendje is (az ismétléses kombinációk permutálódnak is) (pl. 3 elemből [abc] 2 elem 9-féleképpen választható: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc).

A disszertáció 12 „probléma” tárgyalására tagolódik. Az első 3 probléma a kombinációkkal, a 4–12. a permutációkkal foglalkozik. A továbbiakban Leibniz könyvének főképpen zenei és poétikai vonatkozásairól esik szó.

Az 1–2. probléma alkalmazását – több más felhasználás mellett – az orgona regisztereinek különféle vegyítése, kombinálhatósága révén mutatja be a szerző. Ebben a részben tér ki Llull Ars magnájának ismertetésére is, kifogásolva annak (Leibniz számára már) önkényes fogalmait, és hiányolva a lehetőségek alapos kombinatorikus kifejtését. Llull – amint korábban láttuk – a „betűknek” (illetve a hozzájuk tartozó fogalmaknak) kizárólag kettes és hármas kombinációit vette tekintetbe. Leibniz – a tényleges jelentést figyelmen kívül hagyva – a négyes, ötös stb. kombinációkat is alkalmazná. Gondolatmenete szerint a fogalmakat kódoló 9 betű így összesen (29–1 =) 511-féleképpen kombinálható egymással, és mivel 6 fogalomoszlop van, Llull egyszerű ABC-je valójában meghökkentően nagyszámú kombinációs lehetőséget tartalmaz: (5116 =) 17 804 320 388 674 561.

A permutáció tárgyalása során (a 4. probléma kifejtésekor) számos latin nyelvű, monoszillabikus Proteusz-verset idéz (például Bauhusiustól, Lansiustól), akárcsak Harsdörffer egyik német nyelvű váltómondatát és Scaliger névadó Proteusz-sorát. A verseket alkotó mozgatható szavak lehetséges átrendezésének kiszámítását követően Leibniz áttér az ABC betűinek permutálhatóságára. Nem elégszik meg az összes betű ismétlés nélküli permutációinak kiszámításával, hanem az összes lehetséges, a sorrendet is figyelembe vevő kombinációk (vagyis az ismétlés nélküli variációk) számára kérdez rá. Az elképesztően nagy szám érzékeltetése céljából – Harsdörffer nyomán – hivatkozik Hegias Olynthius-ra, aki kiszámította, hogy a görög ABC betűinek összes lehetséges permutációja nagyobb, mint amennyi ember a teljes földfelszínen – legyen az víz vagy szárazföld – egymás mellett elférne. Hasonló megfontolások alapján felvetődik egy olyan könyv lehetősége, amelyben minden valaha leírt és jövőben leírandó megtalálható. Leibniz egyetért ennek elvi lehetőségével, azonban felhívja a figyelmet: ez a könyv az egész földkerekséget befedné.

E ponton – bár első pillantásra úgy tűnhet, nem tartozik szorosan ide – Bach nevének, e név betűiből képezhető dallamnak kapcsán érdemes egy rövid kitérőt tenni. Leibniz disszertációjában – a 24 latin betű összes permutációinak kiszámítása után (5. tabula) – a 6. tabulán az ABC első négy betűjének 24 lehetséges permutációját veszi sorra:

Leibniz disszertációjának 5. és 6. táblázata
1666 · forrás: archive.org

Akár olvasta, akár nem Bach e könyvet, alighanem elgondolkodtatta családnevének az a ritka sajátossága, hogy e név mind a négy betűje egy-egy hangot jelöl – így dallammá alakítható. Ha e különleges koincidencia létrejöttének időbeli távlatát is tekintetbe vesszük, az idő labirintusában a lehetséges elágazódások irdatlan nagy száma szinte valószínűtlenné teszi a végeredményt. Beletekintett-e Bach „a múlt mélységes mély kútjába”? Belegondolni is szédítő, hogy a B–A–C–H téma létrejöttéhez hány és miféle – természetesen földrajzilag is korlátozódó – folyamatnak kellett bekövetkeznie, amelyekre a szerzőnek semmiféle befolyása nem lehetett, s ha ezek közül akár csak egy is másképpen alakul, a Contrapunctus 14 nem, vagy nem így valósul meg:

  1. Az emberi beszéd formálódása során az egyáltalán kiejthető hangok, szavak kialakulása;
  2. a hangok, szavak írásbeli jelölésére szolgáló betűk létrejötte;
  3. e betűk sorrendjének (ABC) fixálódása;
  4. bizonyos szavak használatának elterjedése családok azonosítására (a családnév használata);
  5. a hangsorok, hangrendszerek kialakulása a zenében;
  6. a hétfokú skála egyes hangjainak jelölése az ABC első hét betűjével (A-tól G-ig);
  7. annak valószínűsége, hogy valakinek a családneve kizárólag olyan betűket tartalmaz, amelyek zenei hangokat jelölnek;
  8. a betűkottaírás fejlődése során a kétféle (kerek és négyszögletes) „B”, a „b rotundum” és a „b quadratum” megkülönböztetésének megváltoztatása a nyolcadik betű, a H bevonásával! („A kör négyszögesítése.”)

Az 5. probléma a ciklikus permutációval foglalkozik. Az elemek – Leibniz szemléletesen így világítja meg – ebben az esetben kör alakban helyezkednek el. Négy elem esetén a körforgás a következő: Abcd, Bcda, Cdab, Dabc. E speciális kombinatorikai eljárás – amellett, hogy ekkor merül fel először – azért is különösen figyelemre méltó, mert a bachi permutációs fúgák is gyakran így szerkesztődnek. A Contrapunctus 14 permutációs mátrixa3 is ciklikus permutáció.

  • 3 Itt érdemes megjegyezni, hogy a kombinatorikában használatos „permutációs mátrix” szerkezete nem teljesen azonos a Contrapunctus 14 „zenei” permutációs mátrixával, ugyanis a kombinatorikus permutációs mátrix minden vízszintes sorában, ill. függőleges oszlopában csak egy darab 1-es található, a többi helyen kizárólag 0 áll.

A 6. probléma az ismétléses permutációt taglalja, amelyet Leibniz érdekes zenei példával világít meg. Azt vizsgálja, hány különféle, 6 hangból álló dallamot lehet létrehozni oly módon, hogy a hangok ismétlődhetnek is. Kilenc csoportot, ismétlődésfajtát sorol fel, méghozzá úgy, hogy a létrehozható legegyszerűbb (skálaszerű) dallamot adja meg, szolmizálva:

  1. 111111 (mindegyik hang eltérő), (ut, re, mi, fa, sol, la),
  2. 21111 (két hang megegyezik, a többi eltérő), (ut, ut, re, mi, fa, sol),
  3. 2211 (kétszer ismétlődik két különböző hang, a maradék kettő eltérő), (ut, ut, re, re, mi, fa),
  4. 222 (kétszer ismétlődik három különböző hang), (ut, ut, re, re, mi, mi),
  5. 3111 (egy hang háromszor fordul elő, a többi eltérő), (ut, ut, ut, re, mi, fa),
  6. 321 (egy hang háromszor fordul elő, egy másik kétszer, egy eltérő), (ut, ut, ut, re, re, mi),
  7. 33 (két hang háromszor-háromszor fordul elő), (ut, ut, ut, re, re, re),
  8. 411 (egy hang négyszer fordul elő, a maradék kettő eltérő), (ut, ut, ut, ut, re, mi),
  9. 42 (az egyik hang négyszer, a másik kétszer fordul elő), (ut, ut, ut, ut, re, re).

Valójában van még két másik lehetőség is, amelyeket Leibniz „kifelejt”, de talán nem véletlenül, hiszen 6 azonos hang (főképpen a korabeli esztétika szerint) már alig nevezhető „dallamnak”, akárcsak az 5 azonos hangot és 1 eltérőt tartalmazó „melodikus képletek”. Az igazsághoz hozzátartozik, hogy a disszertációban csupán az I. – hat különböző hangot tartalmazó – csoportból képezhető dallamok kiszámítása helyes (6! = 720), az összes többi eredmény, így a végösszeg is hibás.4

  • 4 Vö. Eberhard Knobloch: Die mathematischen Studien von G. W. Leibniz zur Kombinatorik. Studia Leibnitiana Supplementa XI., Franz Steiner Verlag, Wiesbaden 1973, 46–47. p.

A további hat probléma olyan permutációkkal foglalkozik, amelyekben (például versek esetében metrikai okokból) bizonyos cserék nem, vagy csak korlátozottan valósíthatók meg.

Leibniz terveiben később többször szerepelt a „kombinatorikus művészet" továbbfejlesztése, kibővítése. A cél egy új ismereteket is lehetővé tevő ars inveniendi és egy, a teljes emberi tudást egységesen és enciklopédikusan leírni képes lingua universalis (vagy scientia characteristica generalis) kidolgozása volt, amely egyesítette volna az algebra, a zene és a logika jelrendszereit. E nagyszabású tervek azonban nem valósultak meg.

A Dissertatio de arte combinatoria számottevő érdeklődést váltott ki a kortársakból, amit az is jelez, hogy 1690-ben – Leibniz tudta nélkül – egy frankfurti könyvkereskedő másodszor is megjelentette.

Azt, hogy vajon Bach is olvasta-e a könyvet, minden kétséget kizáróan nem lehet megválaszolni. A szóbeszéd, miszerint halálos ágya mellett ezt a Leibniz-művet találták meg, nem megalapozott.5 Mindazonáltal erősen gyanítható, hogy ismerhette tartalmát, ugyanis a lipcsei Zenei Tudományos Társaságban – nem függetlenül az alapító, egykori Bach-tanítvány, Mizler szerteágazó érdeklődésétől – élénk disputa folyt a zene és matematika, zene és kombinatorika szoros összefüggéseiről. Félreérthetetlenül ezt a szemléletet tükrözik Bach azon kései, spekulatív művei is, amelyeket 1747-es belépését követően évenként nyújtott be a társaságnak (Canon triplex, Kánonikus változatok, Musikalisches Opfer). S ne felejtsük el, utolsó felajánlása 1750-ben A fúga művészete lett volna!

  • 5 E vélekedés Michel Serres Hermès IV. La distribution (1977), majd Werner Künzel, Peter Bexte Allwissen und Absturz (1993) című könyvek nyomán terjedt el.

Lorenz Christoph Mizler6 1739-ben Lipcsében kiadott Bevezetés a generálbasszus-tanba című könyvében – a permutációk kapcsán – hivatkozik Leibniz disszertációjára:

Itt nincs mód rá, hogy az átrendezés művészetét megtanítsam nektek. A nagy Leibniz arte combinatoriájából azonban kiváló tanácsokat nyerhet az ember. Ha ezeket megértitek, képesek lesztek rá, még ha híjával lennétek is az invenciónak, hogy a komponálásban valami újat találjatok ki életetek minden percében. Sőt nektek és unokáitoknak annyi tennivalótok van a 11. feladattal, hogy együtt sem juttok annak végére, még akkor sem, ha mással sem foglalkoznátok az egész élet folyamán. Ennyire változatos a zene. Az átrendezés művészetét a dallamnál is jól használhatjátok. Segítségével csupán a C–D–E–F–G–A–H–c skálából negyvenezer-háromszázhúsz dallamot hozhattok létre, mivel e 8 hang ennyiféleképpen permutálható. A 12 hangot C-től g-ig négyszázhetvenkilencmillió-ezerhatszázszor lehet változtatni. Sőt ha csak 2 oktávnyi terjedelemmel foglalkoztok, egybillió-háromszázhétezernyolcszázhetvennégymillió-háromszázhatvannyolcezer [sic! = 1 307 874 368 000] lehetséges változatot vagy dallamot tudtok benne elhelyezni. Ha ezt képtelenek vagytok felfogni, tanulmányozzátok Leibniz arte combinatoriáját, ahol mindez bizonyítást nyer.7

  • 6 Lorenz Christoph Mizler (1711–1778) német zenetörténész, matematikus és orvos, Bach tanítványa volt. A lipcsei egyetemre 1731-ben iratkozott be, tanárai többek között J. Ch. Gottsched és Christian Wolff voltak. 1738-ban alapította meg a lipcsei Zenei Tudományos Társaságot, amelynek Bach 1747-ben vált tagjává.
  • 7 „§. 209. Es ist hier der Ort nicht euch die Versetzungs-Kunst zu lehren. Man kann sich aber volkommenen Raths in des grosen Leibnizens arte combinatoria erhohlen. Wenn ihr diese verstehet, so konnet ihr in der Composition, wenn es euch an der Erfindung fehlen sollte, alle Minuten eure ganze Lebens-Zeit hindurch was neues erfinden. Ja ihr und eure Kindes-Kinder haben an der 11ten Aufgabe zu arbeiten, ihr werdet doch wohl sammt ihnen nicht damit fertig, wenn gleich die ganze Lebens-Zeit über, von allen nichts anders sollte vorgenommen werden. So reich ist die Musik an Veränderung. Ihr konnet auch die Versetzungs-Kunst in der Melodie wohl gebrauchen. Durch Hülfe derselben könnet ihr aus der einzigen Leiter C, D, E, F, G, A, H, c vierzig tausend drei hundert und zwanzig Melodien heraus bringen, denn so oft können diese 8 Tone verändert werden. Die 12. Tone vom C bis g können vier hundert neun und siebenzig Millionen, tausend und sechs hundert mahl verändert werden. Ja wenn ihr nur einen Umfang von 2 Octaven euch vornehmet, so könnet ihr eine Billion drei hundert sieben tausend, acht hundert und vier und siebenzig Millionen, drei hundert und acht und sechzig tausend mögliche Veränderungen oder Melodien darinnen anbringen. Wenn ihr dieses nicht begreifen könnet, so lernet Leibnizens artem combinatoriam, allwo es erwiesen ist.

    Lorenz Christoph Mizler: Anfangs-Gründe des General Basses. Leipzig, 1739 / facsimile: Georg Olms Verlag, Hildesheim 1972, 115. p.

Georg Venzky (1704–1754), halberstadti konrektor, aki szintén a lipcsei Zenei Tudományos Társaság tagja volt, iskolai szónoklatában (amely a társaság által kiadott folyóiratban, a „Zenei könyvtár”-ban is megjelent 1742-ben) a zenében fellelhető változatosságot, tökélyt, rendet és szervezettséget dicsőíti. Az alábbi részlet látszólag nem több, mint utalás Mizler tankönyvének (fent idézett) kombinatorikai részére (Leibniz neve nem is szerepel), valójában az egyetlen írásos dokumentum arra vonatkozóan, hogy a korabeli művészetszemlélet a permutációt, mi több, a zenei permutációt a leibnizi filozófia egyik alapfogalmával, a harmonia praestabilitával (előre megállapított harmónia, vorherbestimmte Harmonie) hozta összefüggésbe.

[…] a hangokat ilyenformán sokféleképpen emelhetjük ki skáláikból, helyezhetjük át és keverhetjük, hogy bár sokféle módon, mégis kellemes harmónia jöjjön létre. A tudós és fáradhatatlan Mizler úr vette magának Lipcsében a fáradságot, és kiszámolta a hangokból létrehozható összes lehetséges dallamot, illetve harmóniafajtát (Bevezetés a generálbasszus-tanba című könyvében), s úgy találta, hogy valamennyi mostani zeneszerzőnek, az ő fiaiknak és unokáiknak bőven lenne tennivalója, mégsem jutna a végére. Gondolják meg, uraim, mennyire változatos az a harmónia, mely alapját a természetben leli, tehát Isten előre megállapította.8

  • 8 […] man kan die Thöne dergestalt vielfältig aus ihrer Leiter herausnehmen, versetzen und vermischen, daß dennoch auf vielerley Weise eine angenehme Harmonie entstehet. Der gelehrte und unermüdete Herr. M. Mizler in Leipzig […] hat sich die Mühe gemacht und alle mögliche Melodeyen oder Uebereinstimmungsarten der Thöne ausgerechnet (in den Anfangsgründen des Generalbasses), und befunden, daß alle ietzige Komponisten und ihren Kindern und Kindeskindern Arbeit genug fänden und doch nicht fertig werden würden. Was dünket sie meine Herren, wie vielfach ist hier die Harmonie, welche doch ihren Grund in der Natur hat, folglich von GOtt vorher bestimmet ist.

    Georg Venzky: Kleine Schulrede, worin man die von GOtt bestimmte Harmonie in der Musik beurtheilt. L. Ch. Mizler: Musikalische Bibliothek. II. 3, 67–68. p.

A kombinatorikus gondolkodás folyamatos átöröklődését látványosan érzékelteti egy jellegzetes – tartalmát mindig változtató – kombinatorikus korong állandó felbukkanása. Az első két kört – az Alkotás könyve betűkombinációit ábrázoló „231 kapu”-t és az Ars magna 1. ábráját (1308) – korábban már részletesen tárgyaltuk. A harmadik kör Harsdörffer „Ötrétegű gondolkodó gyűrű”-je9 (1651), melynek (betűket, szótagokat és igekötőket tartalmazó) forgatható korongjaival létrehozható a német nyelv szinte valamennyi értelmes (és számos jelentés nélküli) szava. Mizler fent idézett Generálbasszus-tankönyvéhez (1739) egy forgatható papírtárcsákkal működő gép is tartozott, amely, jóllehet, nem maradt fenn, viszont leírása10 alapján igen hasonló lehetett Georg Joseph Vogler (1749–1814) A kurpfalzi hangiskola alapjai című oktató könyvének egyik (alább látható) ábrájához11 (1778). Nem véletlen, hogy Vogler abbé „varázskörét” az egyik korabeli recenzens nem annyira kottatáblázatnak, mint inkább kabbalisztikus ábrának tekintette. Ezzel – hogy stílszerűen fogalmazzunk – a kör bezárul.

  • 9 Georg Philipp Harsdörffer: Fünffacher Denckring der Teutschen Sprache / Philosophische und Mathematische Erquickstunden. Nürnberg 1651. facsimile: Frankfurt/Main 1990, 517. p.
  • 10 Mizler a „Zenei könyvtár”-ban így ír gépéről: „Ami a találmányt illeti, arra a megboldogult Leibniz úr számológépe vezetett rá. Ugyanis olvasván, hogy e kiváló ember egy számtani feladatokat megoldani képes számológépet talált fel, azonnal felötlött bennem, vajon nem lenne-e lehetséges ugyanilyet a zenében is létrehozni, amivel egycsapásra meg lehetne oldani minden generálbasszus-feladatot. […] Gépem első oldalán különféle körök, betűk, számok és négyzetek láthatók. A két legnagyobb kör a dúr és a moll hármashangzatok szemléltetésére szolgál, ezeken egy valamivel kisebb kör helyezkedik el, amelyben egy még kisebb kör forog…”

    L. Ch. Mizler: Musikalische Bibliothek. I. 4. Leipzig 1738, 76. p. / Vö. Sebastian Klotz: Kombinatorik und die Verbindungskünste der Zeichen in der Musik zwischen 1630 und 1780. Akademie Verlag, Berlin 2006, 131–145. p.

  • 11 Georg Joseph Vogler: Gründe der Kuhrpfälzischen Tonschule in Beispielen. Mannheim 1778. / Vö. Klotz 2006, (fenti mű) 313–327. p.
1. Az „Alkotás könyve” betűkombinációit ábrázoló „231 kapu”
2. Az „Ars magna” 1. ábrája
3. Harsdörffer „Ötrétegű gondolkodó gyűrű”-je
4. Vogler „A kurpfalzi hangiskola alapjai” című oktató könyvének egyik ábrája
Kombinatorikus korongok

A különféle permutációs szerkezetek több ezeréves európai hagyománya a legősibb kabbalista szöveg, Az Alkotás könyve kombinatorikus eljárásaival kezdve, a kabbalisztikus örökségre is támaszkodó 14. századi katalán szerzetes Ars magnáján, majd a llulli hagyományra is hivatkozó barokk kombinatorikus költészeten keresztül elért Leibniz (Harsdörffer és Llull műveit is elemző) disszertációjához, majd a könyvet lelkesen méltató Mizlerhez – a lipcsei Zenei Tudományos Társasághoz. A permutáció folyamatosan permutálódó örökségének hosszú folyama végül elvezet egészen Bachig.

Llull „Ars magná”-jának címlapja
1308 · forrás: archive.org
Leibniz disszertációjának címlapja
1666 · forrás: archive.org
Mizler „Bevezetés a generálbasszus-tanba” című könyvének címlapja
1739 · forrás: reader.digitale-sammlungen.de
Vogler oktató könyvének címlapja
1778 · forrás: imslp.org

Göncz Zoltán: „Bach testamentuma. A fúga művészete filozófiai-teológiai hátteréről.” Budapest: Gramofon, 2009
Zoltán Göncz: „Bach's Testament: On the Philosophical and Theological Background of The Art of Fugue.” Scarecrow Press, 2012. (Contextual Bach Studies)

Forrás

Muzsika 51 (2008) 8 (augusztus). 36–40. p.