Képes szimmetria

Hargittai Magdolna, Hargittai István
matematika, geometria, szimmetria, tükörszimmetria, kiralitás, forgási szimmetria, mértani testek, ismétléses szimmetria, csavarszimmetria, síkminták, kristályok, antiszimmetria, természet, képzőművészetek, természettudományok
szóelválasztás

Mi is a szimmetria?

A szó görög eredetű és jelentése „azonos mérték”; a részek ismétlődésére, egymásnak való megfelelésére vonatkozik. A szigorú értelembe vett geometriai szimmetria pontos egyezést, tökéletes azonosságot jelent. Van azonban a szimmetriának egy ennél jóval tágabb értelmezése is, amennyiben kifejez harmóniát, arányosságot, és egész általánosságban szépséget is. A madridi Prado Múzeum szimmetriaszobra is ezt érzékelteti. Természetesen minél szabadabban értelmezzük a szimmetriát, annál szubjektívebb annak eldöntése, hogy valami kifejez-e szimmetriát vagy sem.

Könyvünkben számos példát mutatunk be a geometriai szimmetriára és még többet a szabadabban értelmezett szimmetriára. Tárgyalásunkban a legegyszerűbb szimmetriáktól haladunk az összetettebbek felé és a legkülönbözőbb területekről vett példákkal szemléltetjük őket.

4 illusztráció

Valeriano Salvatierra · Szimmetria · Museo del Prado, Madrid
Kripta · Olaszország

A kripta bejárata harmóniát érzékeltet, pedig szimmetriája nem tökéletes. Közelebbről a két angyal között sok különbség van, a kezük, a lábuk tartásában és más részletekben is, nem beszélve arról, hogy az egyik férfi, a másik nő. Mindez az összkép harmóniáját nem befolyásolja és a benyomásunk is az, hogy az együttes szimmetrikus.

Tükörszimmetria

A tükörszimmetriát kétoldali szimmetriának is nevezik. Ez bármi két oldalának azonosságát jelenti. Legegyszerűbben úgy ellenőrizhetjük, hogy a tárgy, az élőlény vagy a kép középvonalára tükröt helyezünk és akkor a tükörben az egyik fél tükörképeként jelenik meg a tükör által eltakart másik fél, tehát pontosan az eredeti teljes tárgyat látjuk.

68 illusztráció (növényvilág, állatvilág, az emberi test, építészet, zene, rajz)

Pablo Picasso · Kalapos nő arcképe · Szépművészeti Múzeum, Budapest

Sok művész külön is hangsúlyozza az emberi arc tükörszimmetriáját, éppen azzal, hogy „meghúzza” a középvonalat, amelyre a tükröt helyezhetnénk… Mások éppen az arc két oldalának eltérő ábrázolásával hívják fel a figyelmet az arc szimmetriájára.

Kiralitás

Két kezünk között tükörszimmetria van, de ugyanakkor ezek egymással nem hozhatók fedésbe. Ez a fajta különleges szimmetria a kézről kapta az elnevezését, idegen szóval kiralitásnak nevezzük. Természetesen nem kizárólag a kezeink tulajdonsága ez, ugyanilyen kapcsolat van a két lábunk, vagy például a két fülünk között is. A szó eredete ugyanaz, mint ami például a magyarul is használt kiropraktor vagy csontkovács szóban szerepel. A görög kiro a kéz szóból származik. A kiralitás tehát olyan tükörszimmetrikus kapcsolatot jelez, amikor a két rész egymással nem hozható fedésbe.

16 illusztráció (szobrászat, festészet, építészet, kémia)

Ha egy almát a szokásos módon kétfelé vágunk, akkor a két fél alma nemcsak egymás tükörképe lesz, hanem egymással fedésbe is hozható.

Úgy nem tudunk egy almát kétfelé vágni, hogy az egyik fél „balkezes”, a másik fél pedig „jobbkezes” legyen. Amit viszont egy kis ravaszkodással meg tudunk tenni, az az, hogy vagy külön két „balkezes”, vagy pedig külön két „jobbkezes” fél almára vágjuk fel az almát. Ha azután két ily módon felvágott almából egy „balkezes” és egy „jobbkezes” fél almát szeretnénk egész almává összerakni, hamar kiderül, hogy ez, nem megy.

la coupe du roi. Ezt a kifejezést először a forradalom előtti Franciaországban használták. XIV. Lajos szerette az előkelő vendégeit különféle trükkökkel meglepni. Egyik alkalommal a fenti módon felvágott alma volt a meglepetés. Az alma darabolásának ezt a módját azóta „királyi vágásnak” nevezzük. – A szerk.

Többszörös tükörszimmetria

Gyakran előfordul többszörös tükörszimmetria is

70 illusztráció (növényvilág, szobrok, lámpák, építészet, hópelyhek)

Wilson Bentley hókristályokról készített fotográfiái · 1902

Thomas Mann A varázshegy című művében ír gyönyörűen a hópelyhek szépségéről és szimmetriájáról:

…milyen finoman cizellált apró cifraságokból tevődik össze, ékkövekből, érdemrend-csillagokból, briliáns-csatokból – a legügyesebb ékszerész sem tudott volna ennél gazdagabbat, aprólékosabbat alkotni. Bizony, ez a könnyű, laza, púderes fehérség, amely tömegével súlyosodott a fenyvesre, borította a lankákat és terült a sí alá – ez mégiscsak más volt, mint a honi tengeri föveny, amelyre emlékeztette; mert köztudomásúan nem kő- meg kvarcszemekből állt, hanem miriádnyi, megmerevedés közben arányos változatosságban kristályosodó vízrészecskékből – igen, ama szervetlen anyagnak részecskéi voltak ezek, amely az élő plazmát, a növényi, az emberi testet is duzzasztja; és a miriádnyi varázscsillag nem emberi szemnek szánt, titkos és mikroszkopikus pompájában egyik példány sem volt azonos a másikkal, korlátlan feltalálókedv nyilvánult itt meg a mindig egyforma alapszkéma, az egyenlő oldalú és egyenlő szögű hatszög változataiban és cifrázataiban…

Thomas Mann: A varázshegy, I–II. kötet. Fordította Szőllősy Klára. Európa Kiadó, Budapest, 1960.

Forgási szimmetria

A forgási szimmetriát már említettük az előző fejezetben. Ott ezt a szimmetriát a több tükörsík együttes jelenléte generálta, tehát azok következményeként jelent meg és a forgási tengely a tükörsíkok találkozása volt.

Forgási szimmetria nemcsak a tükrözés melléktermékeként jelentkezhet, hanem ez önmagában is fontos szimmetria. Jellemző rá, hogy egy tengely körül elforgatva valamit, az egy teljes körülforgatás során többször is önmagával fedő, az eredetivel azonos helyzetbe kerül.

88 illusztráció (növényvilág, forgók, emblémák, dísztárcsák, szobrok, építészet)

Templomablak · Ulm, Németország

Alak és mozgás

Az ember és az állatok többsége kétoldali szimmetriájú és ezt a szimmetriát a mozgással hozhatjuk összefüggésbe. Amikor mennek, szaladnak, repülnek, úsznak vagy éppen kúsznak, ezekben a mozgásokban a jobb és a bal oldal egyenértékű, viszont a test eleje és a hátulja alapvetően különbözik.

53 illusztráció (állatvilág, járművek, növényvilág, geológia)

A mályvarózsa virágporának szemcséi, elektronmikroszkópos felvétel
(fotó: Klockenkamper, R. Institut für Spektrochemie, Dortmund, Németország)

Gömbszimmetrikus a virágporszemcse is. Mozgásuknak nincs kitüntetett iránya, számukra minden irány egyforma.

Mértani testek

A szabályos testek oldalai mind azonos szabályos síkidomok, csúcsaik pedig egyformák. Összesen ötféle szabályos test létezik, a tetraéder, a kocka, az oktaéder, a dodekaéder és az ikozaéder. A tetraéder, az oktaéder és az ikozaéder egyenlő oldalú háromszögekből épül fel. A legismertebb szabályos test, a kocka négyzetekből, a dodekaéder pedig szabályos ötszögekből. Görög eredetű nevük, a kocka kivételével, a lapjaik számát jelzi, az éder lapot jelent. A kocka neve ennek megfelelően hexaéder. Sokféle tükrözési és forgási szimmetriájuk van.

40 illusztráció (szabályos testek, csillagpoliéderek, félszabályos testek)

Aranyozott sárkányszobor a pekingi Tiltott Városban, a Mennyei Tisztaság kapuja (Qianqingmen) előtt

Érdekes példa a kínai oroszlánok egyik mancsa alatt gyakran található gömb, amely főleg hatszögekből épül fel.

Ismétléses szimmetria

Eddig kétféle szimmetriával találkoztunk, a tükörszimmetriával – ami lehet egyszeri vagy többszöri – és a forgási szimmetriával. Ezekre az volt jellemző, hogy a tárgyak vagy dolgok helybenhagyásával, azok forgatása vagy önmagán belüli tükrözése révén értük el azt, hogy többször is ugyanolyan helyzetbe kerültek. Létezik egy ezektől alapvetően különböző szimmetriatípus is, amelynél a dolgokat nem hagyjuk a helyükön, hanem azokat valamilyen módon ismételjük, újra és újra, elvileg a végtelenségig. A bevezetőben elmondtuk, hogy a szimmetriára az jellemző, hogy a szimmetriaművelettel, például a tükrözéssel vagy forgatással, a dolgokat az eredetitől megkülönböztethetetlen helyzetbe hozzuk. Az ismétlés (egyszerű eltolás) is egy szimmetriaművelet, hiszen az ismétlés minden lépése az eredetit hozza újra létre. Mégis ez különbözik az eddigi példáktól, hiszen azokban egy mintán vagy tárgyon belül jutottunk újra és újra az eredeti helyzetbe, itt pedig a dolgok elmozdításával.

A kisiskolások sorminta-gyakorlata éppen úgy szimmetriaművelet, mint ahogy az utca lámpasora is a szimmetria megnyilvánulása. Ahhoz azonban, hogy az ismétlést szimmetriaműveletnek tekintsük a képzeletünket is segítségül kell hívnunk, mivel az ismétléses szimmetria elvileg végtelen, tehát legalább gondolatban sosem ér véget.

Szimmetriaképző animáció a világhálóról – A szerk.

Az, hogy mit ismétlünk, annak a szimmetria szempontjából nincs jelentősége, az ismételt tárgy vagy motívum önmaga lehet szimmetrikus vagy nem. Ezért az ismétléses szimmetria a szimmetria egyik legelterjedtebb formája. A legkülönbözőbb elemek szerepelhetnek az ismétlés elemeiként…

57 illusztráció

Ereszcsatornák · Moszkva

Csavarszimmetria

A csigalépcső is ismétléses szimmetriájú. Itt az eltolás forgatással, elfordulással kombinálódik. A csigalépcső tengelye körül minden egyes lépcsőfokkal egy kicsit előbbre is kerülünk és el is fordulunk. A csavaroknak és a rugóknak is ez a szimmetriájuk.

A DNS szobra a Cold Spring Harbor Laboratórium főépületének előcsarnokában
(Retusált fotó – A szerk.)

Síkminták

A méhkaptárban függő lép szinte tökéletes rendszere a hatszögeknek. Ezt a szabályos hatszöges hálót a méhek hozzák létre és ez ugyanúgy ismétléses eltolásos rendszernek tekinthető, mint a sorminták. A különbség csupán annyi, hogy a sorminták egyetlen irányban ismétlődnek, míg az itt bemutatott példákban a hatszögek ismétlése két egymásra merőleges irányban történik és ezzel az egész felületet lefedi. Ez kétdimenziós ismétléses szimmetria.

Falidíszítés
Batikminta

Kristályok

A kristály szó a görög krystallos szóból származik, ami jeget jelent. Abból a téves elképzelésből származik, hogy az évszázadokkal ezelőtt az Alpokban talált átlátszó kvarckristályokról azt hitték, hogy

Kvázikristályokra emlékeztető szobor · Peter Hächler, Svájc

Antiszimmetria

Az antiszimmetriában a szimmetriaművelet tulajdonságváltással párosul. Így beszélhetünk antitükrözésről, antiforgatásról stb.

23 illusztráció

Részlet a Notre Dame székesegyház faláról, Párizs

A jó és a rossz ellentétét fejezi ki a Notre Dame székesegyház homlokzatán az angyal és az ördög együttese
Képes szimmetria (borító)
Forrás

Hargittai Magdolna–Hargittai István: Képes szimmetria. Budapest: Galenus Kiadó, 2005.

Függelék

Illusztrációk a világhálóról

Carl · Fenyő arc 2. · Mállott fa részlete
forrás | ©
Wayne · Szimmetria · Vatikán
forrás | ©
C. Frank Starmer · A szimmetria eleganciája
forrás | ©
Paul Lubbers · Szimmetria
forrás | ©
Kaktusz-szimmetria
forrás | ©
Szimmetria
Mozgólépcső · La Défense, Párizs
forrás | ©
Szimmetria, Manchester
www.littlerock.ataitdesign.co.uk | ©
Kos-szimmetria
forrás | ©
André Brito · Tükrözött szív
forrás | ©
Mimosa pudica
alexander.freeblog.hu | ©
Lionel Dupre · Szimmetria · A Szépművészeti Múzeum lépcsője, Nancy
forrás | ©
Virág-szimmetria
forrás | ©
Carl · Zöld szemek · Fenyő-részlet
forrás | ©
Nazca-szimmetria
forrás | ©: Kazuya Akimoto Art Museum
Carl · Madártoll · „Borostás” fenyő részlet
forrás | ©
A Humber-folyó hídja, Toronto
forrás | ©
Leonardo da Vinci · Az emberi test szimmetriája
A szimmetria szépsége
forrás | ©
Pieter Musterd · Escher-szimmetria
forrás | ©
Svenwerk · Szimmetria, Berlin
forrás | ©
Mary Stebbins · A Renaissance Központ művészete · GM Renaissance Center, Detroit
forrás | ©
Andy Warhol · Elvis Presley
forrás | ©
Pillangó közelről
forrás | ©
Rodrigo Nuñez · Meztelenség
www.photoworkshop.com | ©
Hókristály szimmetria. Páfrányszerű csillag
forrás | ©
Dombormű közelről · Alhambra, Granada, Spanyolország
Alhambra
Kezek
Emlékmű · Berlin, Németország
forrás | ©
Animesh · Cím nélkül
forrás | ©
Marcel Duchamp · Lépcsőn lemenő akt
Linda Sorrento · Rizsföld-szimmetria · Thaiföld
www.lindasorrentoimages.com | ©
Millennium Biltmore Hotel, Los Angeles
forrás | ©
Kaotikus szimmetria
forrás | ©: Math Art
Carl · Blues
forrás | ©
Kathy Harcom · Szimmetria
forrás | ©
Carlos Velayos · Romos szimmetria · Ávila, Spanyolország
forrás | ©
Verónica Di Toro · Szimmetria
forrás | ©
Svenwerk · A Szabadegyetem kupolája · Berlin, Németország
forrás | ©
Twilight Fairy · Szirmok szimmetriája
forrás | ©
Szimmetria · Musée du Louvre, Paris
www.sinsitio.es | ©
Szimmetria · Panama
forrás | ©
Márcio Basílio · Szimmetria
forrás | ©
Hermann · Szimmetria
forrás | ©
Szimmetria a kalligráfiában
inci-lay.com | ©
Mary Stebbins · Szimmetria tanulmány · GM Renaissance Center, Detroit
forrás | ©
Kiralikus kristályok rajza