In memoriam Tóth Imre (1921–2010)

A szubjektum és szabadsága · A matematika alapjairól

Interjú Tóth Imrével
Részlet
matematika, geometria, nemeuklideszi geometria, Arisztotelész, matematika alapjai
szóelválasztás

Tanulmányai

Lényegében véve nem vagyok matematikus. Matematikát tanultam ugyan, a gimnáziumban is a legjobbak egyike voltam, de az igazi matematikus kutató lesz. Érdekelt a matematika, az új, modern elméletek, de ami igazán érdekelt bennük, az a matematikai fogalmak spekulatív bizarrsága, szellemi újdonsága volt. Kezdtem feltenni a tanáraim számára érhetetlen kérdéseket, pl.:

Tegnap még úgymond lehetetlen volt, hogy egy szám önmagával szorozva mínusz egy legyen, mert ilyen reális szám nem létezhet; ma pedig azt tetszik mondani, hogy egy imaginárius szám önmagával szorozva negatív. Hogyan lehetséges ez?

Valóban: hogyan lehetséges? Hogyan lehet a lehetetlen lehetséges?

A tanáraim válasza az volt, hogy szemtelen vagyok, és hogy a matematika nem ad választ ilyen ostoba és gyermeteg kérdésekre. A nemeuklideszi geometriáról ekkor még nem hallottam, azt csak a gimnázium utolsó évében, a relativitáselmélet nyomán fedeztem fel.

A naiv kérdéseimre kapott válaszok nem elégítettek ki, így csak az egyetemen kezdtem el olvasni a matematika nagy klasszikusait. Kolozsvárott matematikát hallgattam. A matematika filozófiai problémái érdekeltek, de mivel Kantot, Hegelt, Spinozát már olvastam, nem filozófiát akartam hallgatni. Mesterséget akartam tanulni. Tehetséges gyerek voltam, de ahhoz nem elég okos, hogy megértsem, hogyan lehet két negatív szám szorzata pozitív, azaz két hiány szorzata hogyan hozhat nyereséget. Nem találtam olyan embert, aki erre választ adott volna. Az embereket nem a matematika spekulatív vetülete érdekelte, hanem az alkalmazások, a gyakorlat. Ekkor fordultam a nagy elődök, a klasszikusok alapmunkáihoz. A matematika történetét a legtermészetesebb úton fedeztem fel, amikor elcsodálkoztam a negatív és imaginárius számokon, melyek kétséget ébresztettek bennem, hogy a matematika alapját a logika képezi. Valójában lépésről lépésre meggyőződtem róla, hogy a matematika fejlődése és kibontakozása a formális logika gondolkodási módjának ellenében ment végbe.

Munkássága

A nemeuklideszi geometriáról és filozófiai problémáiról az ötvenes években kezdtem publikálni. Ebben minden benne volt már, de még nem tudtam pontosan megfogalmazni, hogy mit is akarok… A barátaim ösztökéltek:

Mit csinálsz? Matematikus vagy és haszontalan kutatással töltöd az idődet. Miért nem foglalkozol korszerű technikai problémákkal? Sikered lesz, sok pénzt fogsz keresni.

Én viszont kezdtem újraolvasni a múlt matematikusait, azt, hogy mit írtak a geometriáról. A matematikai gondolkodás fejlődése nem folyamatos, hanem ugrásszerű, váratlan lépések lánca, melyek nem következtek az előzményekből, amelyeket senki sem látott előre, és amelyekre senki sem várt. E láncszemeket ugyanaz a művelet tartja össze, amely megtöri folyamatosságukat: a tagadásé. A folytonosság megszakadása pillanatszerű ugrás a nemlétből a létbe.

Visszahátráltam tehát a matematika múltjába, de a számfogalom változását és a nemeuklideszi geometriát érintő kutatásaim nem függenek össze. Előbb a reneszánsz és a modern matematikusok munkáit olvastam, Cardanót, Cavalierit, Leibnizet. Leibnizet olvasva mintha az ember a fekete mágia terére tévedne. Az imaginárius számokról azt mondja, hogy „a lét és a nemlét közti kétéltű lények”. Ugyanakkor döbbenten elismeri hasznosságukat. Kepler elképesztő. Egy nagy tudós, aki a matematikáról ezoterikus módján ír, mint egy misztikus alkimista vagy kabbalista. A modern matematika megalapítói, pl. Lazare Carnot, ráéreztek az imaginárius számok bizarr képtelenségére. Carnot két könyvet is írt az imaginárius számok ellen. Vagy olvasom egy briliáns, nagy tudású, átfogó matematikai ismeretekkel rendelkező teológus, Berkeley: The Analyst [Az analizáló] című művét. Azt írja:

Nekünk, teológusoknak azt hányják a szemünkre, hogy misztériumokról beszélünk. De mik a Szentháromság, a szentáldozás, a test feltámadása teológiai rejtélyei a matematikához képest! Hogy lehet az, hogy a matematika ilyen egységes, miközben ez az érthetetlen fekete mágia hemzseg az ellentmondásoktól!

És:

Egy hipotézis behelyettesítése az ellenkező hipotézis helyébe szofizma, ún. fallatia suppositionis, amely megrontja egész beteges és agyafúrt geometriájukat.

Berkeley tudta, hogy miről beszél, senki sem volt képes megcáfolni igazát.

Ezek voltak az olvasmányaim, amelyekben választ kerestem a tanáraim által ostobaságoknak tartott kérdésekre. Innen léptem tovább a görögök rendszeres tanulmányozásához. A görög matematika állandóan foglalkoztatott, mindig lenyűgözött. Például Zenón érveinek csodálatos kifinomultsága, melyek oly elemiek, oly érthetőek és oly visszataszítóak! De mélységük és komolyságuk ugyanakkor oly sok filozófust elbűvölt.

Az én olvasatom egyébként eltér a történészek bevett megközelítésétől. Nem előzményekben gondolkodom. Vezérelvem inkább Marx felismerése, miszerint az ember a majom anatómiájának kulcsa. Ha valaki nem tudja, hogy miről szól a nemeuklideszi geometria ma, nem ismerheti fel a múlt írásaiban a nemeuklideszi elemeket. Ez az én álláspontom: ha nem ismerjük a mai és a 18. századi matematika kérdésfelvetését, nem értjük meg sem Arkhimédészt, sem Leibnizet, nem tudjuk megfejteni sem az irracionalitásra vonatkozó Platón-szövegeket, sem Arisztotelész utalásait a nemeuklideszi geometriára.

Hegel szavával élve elődök helyett inkább „boldogtalan tudatról” beszélnék. Az imaginárius számok, a nemeuklideszi geometria már jelen van a tudatban, de a tagadás, a nemlét formájában. A tudat visszautasítja őket, de megszabadulni sem tud tőlük. Ez a sajátos állapot különösen makacs volt a nemeuklideszi geometria esetében. Szövege Platón Akadémiájában kezd bontakozni. Arisztotelész műveiben már körülbelül 18 fontos töredékét találjuk. A 18. században Saccheri atya és Johann Heinrich Lambert, a 19. század elején pedig Franz Adolph Taurinus már olyan szöveget bontottak ki, amely gyakorlatilag azonos Lobacsevszkij és Bolyai nemeuklideszi geometriájával – azzal a különbséggel, hogy ők ehhez a szöveghez a hamis, sőt az abszurd; ahhoz a világhoz pedig, amelyet leírt, a nem létező és a lehetetlen logikai értékét rendelték hozzá. De összes kísérletük, hogy abszurditását bebizonyítsák, hiábavalónak bizonyult: Lambert szavával argumenta ab amore et invidia ducta [magyarul mintegy: érzelmek sugallta érv] volt mindaz, amit a nemeuklideszi szövegek cáfolatára felhoztak. A boldogtalan tudat állapota életrajzuk intim részleteiben is megnyilvánult. Életérzésük zsákutcába torkollt. Képtelensége dacára képtelenek voltak megszabadulni a nemeuklideszi geometria gondolatától.

A „nemeuklideszi geometria” fogalma, melyet Gauss első ízben egy 1824-ben Taurinusnak írt levelében használt, ugyanarra az Eukleidészével ellentétes szövegre vonatkozik, amelyhez azonban most a hamisság logikai értéke helyett az igazságé rendeltetik, de úgy, hogy egyidejűleg örök időkre érvényes marad az euklideszi szöveghez rendelt igazság értéke is. Ez az ontológiai törés valójában ugrásszerű átmenet a nemlétből a létbe. Eugenio Beltrami 1868-ban megjelent Interpretazione della geometria non euclidea című korszakalkotó munkájának bevezetőjében kiemeli, hogy a nemeuklideszi geometria igazsága nem korlátozza, hanem érvénye folytán éppenséggel alátámasztja az euklideszi geometria igazát. A nemeuklideszi geometria megalapozása tehát a hegeli Aufhebung útján jár, a szó hármas értelmében: negare, tollere, conservare [tagad, felemel, megőriz]. E-t, tehát a párhuzamosok euklideszi axiómájának érvényét tagadjuk, ugyanakkor E igazságértékét megőrizzük, de egyben tagadásához, non-E-hez is az igazság azonos értékét rendeljük hozzá, és axióma érvényére emeljük.2

  • 2Eukleidész posztulátuma, E megköveteli, hogy minden egy síkban fekvő, egymáshoz közelítő egyenes egymást messe, ha tetszőlegesen meghosszabbítjuk őket. Nem léteznek tehát egymáshoz közelítő párhuzamosok. Non-E, Lobacsevszkij nemeuklideszi axiómája ennek kontradiktórikus ellentéte: nem minden egy síkban fekvő, egymáshoz közelítő egyenes metszi egymást, léteznek tehát egymáshoz közelítő párhuzamos egyenesek is.

A nemeuklideszi geometria a logika alapaxiómájának, az ellentmondás tilalmának érvényét korlátozza. Egyrészt az ellentmondás tilalma egyes univerzumokon belül érvényben marad – egy-egy univerzum akkor és csak akkor létezik, ha logikai értelemben koherens. Másrészt a nemeuklideszi geometria alapvető újdonsága, hogy az ellentmondás tilalma a gondolat világokat átfogó mindenségében érvényét veszti: az igazság értékét egyidejűleg rendeljük hozzá mind E-hez, mind non-E-hez; a lét ontikus értéke pedig egyidejűleg megilleti mindkét ellentétes univerzumot. Egyben mindkét univerzum egyidejűleg tartalmazza a geometriai tárgyak összességét: minden egyenes, minden háromszög, minden négyzet kivétel nélkül jelen van mind az egyik, mind a másik univerzumban. Sőt, az egyenes fogalma változatlanul abszolút jelentéssel bír mindkét ellentétes univerzumban. A nemeuklideszi egyenes éppoly „egyenes”, mint az euklideszi egyenes, sohasem görbe.

Az ellentétes igazságok, E és nem-E egyidejűsége elődök nélkül robban be a szellem világába: nem egy lassú, folyamatos fejlődés eredménye, hanem szakadékos törésvonal a gondolat világában. Az ellentmondásos igazságok egyidejű érvényének ez a forradalma meghaladja a matematikai gondolatvilág határait.

Hogyan fedezte fel a nemeuklideszi Arisztotelész-töredékeket?

Kezdetben Arisztotelész szövegeit fordításban olvastam. A De Caelóban a következő tételt olvasom:

Tegyük fel például a következő hipotézist: lehetetlen olyan háromszög, amelynek szögösszege azonos két derékszöggel.

(Azaz: az euklideszi háromszög lehetetlen, tehát csak nemeuklideszi háromszögek léteznek.) Majd így folytatja:

Ha így áll a dolog, akkor a négyzet átlója kommenzurábilis

281 b 4–6).

Valójában ez egy fantasztikusan szép nemeuklideszi teoréma. Én azonban ellenálltam a varázslatnak, és valahogy így folytattam: „Mint közismert, már Arisztotelész tudatában volt annak, hogy…” és a többi, hiszen itt a történelem legmélyebben ismert, legtöbbet kommentált filozófiai életművéről volt szó. Legcsekélyebb sejtelmem se volt arról, hogy valami újat, eddig nem tudottat fedeztem volna fel. Ellenkezőleg: meg voltam győződve róla, hogy egy ősidők óta ország-világ számára ismert dologra bukkantam, csak épp én voltam a kivétel, aki ebben a zárt térben éltem, ahová a nyugati szakirodalom nem ért el. Jó időbe telt, mielőtt el tudtam fogadni, hogy ezeket a nemeuklideszi töredékeket kétezer év Arisztotelész-exegézise sem ismerte fel.

A Parallelenproblem3 már vázlatban elkészült, amikor egy jó barátom, a bukaresti Nemzeti Könyvtár igazgatója elmondta, hogy talált egy 1947-ben megjelent könyvet: szerzője Sir Thomas Heath, a címe: Mathematics in Aristotle, és hogy kivételesen meghozatta a számomra. Ekkoriban nem volt könnyű dolog külföldi könyveket meghozatni. Heath volt a görög matematika legszakavatottabb tudósa, biztos voltam benne tehát, hogy az összes általam talált töredéket kommentálja. Néhányukat Heath is idézi ugyan, de minden kommentár nélkül. Az egyetlen számomra érdekes referencia a legkevésbé jelentős szövegek egyikét idézi a Fizikából, mégpedig a következő felkiáltás kíséretében:

It is AS if… – azaz: ez olyan, mintha … Arisztotelész rásejtett volna egy Riemann-féle geometriára. – But this is impossible: vagyis lehetetlen!

– teszi hozzá. És Heath a továbbiakban a többi, jóval jelentősebb nemeuklideszi töredék egyikét sem említi. Ez tudatosította bennem, hogy ezek a passzusok mindeddig valóban felfedezetlenek és ismeretlenek voltak. Erre Arisztotelész kanonizált műveit rendszeresebb archeológiai vizsgálat alá vettem. És ez nem is volt olyan nehéz, hiszen minden ott van a szöveg felületén. Inkább az exegézis volt nehéz: feltárni és megfejteni a szöveg mélyén rejlő görög szellemiség és matematikai gondolkodás hátterét. Kemény és komplex munka volt. De végül sikerült kimutatnom, hogy a szétszórt töredékek egyetlen összefüggő egész egyértelmű részeit alkotják. Olyan volt ez, mintha egy elképesztő és monstruózus, nemeuklideszi ábrákkal telefestett görög vázát találtam volna.

  • 3 IMRE TÓTH: Das Paralellenproblem im Corpus Aristotelicum. Archive for History of Exact Science. Berlin–New York, 1967.

Egy neves francia filológus, Charles Mugler azt a sejtést fogalmazta meg, hogy az Akadémia berkeiben már nemeuklideszi tételeket vitattak meg. De Mugler nem említi Arisztotelész egyetlen nemeuklideszi töredékét sem. Érthetetlen, hogyan kerülhették el Mugler figyelmét a corpus aristotelicum nemeuklideszi töredékei! Sejtését a neves antik filológus, Harold Cherniss hevesen támadta. Hogyan bátorkodik valaki minden szövegbizonyíték híján az Akadémia nemeuklideszi sejtéseiről beszélni? Másrészt a nagy amerikai logikus, Charles S. Peirce Eukleidész Elemei első könyvének részleges elemzése révén már százhúsz évvel korábban arra a kategorikus következtetésre jutott, hogy az euklideszi szöveg nyilvánvalóan nemeuklideszi reflexiókat tükröz, amelyek már szerepet játszottak az Elemek szerkesztésénél. Mikor később, 1981-ben a princetoni Institute of Advanced Studies keretében Chernisszel együtt tölthettem egy évet, nagylelkűen támogatott a De Caelo egy töredékének korrekt megfejtésében, mely a codex Vindobonensis egyik szövegvariánsa. Ekkor rá is kérdeztem, hogy mi a véleménye a szöveg extravagáns tartalmát illetőleg, de ő – bár határozottan és minden további habozás nélkül – csak ezt a lakonikus választ adta: „This must be taken very seriously!4

  • 4„Ezt nagyon komolyan kell vennünk!” (– Szerk.)

A tudománytörténészek és filológusok többsége szkeptikusan, olykor az „őrültség” vádjával fogadta Arisztotelész-archeológiám eredményeit. Érdeklődéssel, illetve egyenesen lelkesedéssel csak elenyésző kisebbségük üdvözölte ásatásaimat; köztük Kurt von Fritz, a görög szellemtörténet óriása, az Eukleidészt kiadó Euangelos Stamatis, az Arisztotelész szövegek kiváló szakértője, Lorenzo Minio Paluello, valamint Giovanni Reale és Helmut Flashar, aki eredményeimet bedolgozta a nagy hírű Ueberweg-féle Geschichte der Philosophie harmadik, Aristoteles-kötetébe. Továbbá a történészek és filozófusok közt megemlíteném B. L. van der Waarden, Willy Hartner, Marshall Clagett, Thomas Kuhn, Sir Karl Popper, Ludovico Geymonat, Ferdinand Gonseth, Jules Vuillemin, Adolf Yutchkevitch, Izabella Bachmakova, Boris Rozenfeld és – nem utolsósorban – Hans Freudenthal nevét, aki velem egyidejűleg felismerte az egyik ilyen töredék nemeuklideszi jellegét; kéziratos dolgozatát 1968-ban küldte el nekem, de ez nyomtatásban már csak 1991-es halála után jelent meg. Ha elenyésző kisebbségben voltak is, mára talán kezd megváltozni a tendencia. Wait and see…

A nemeuklideszi antivilág világra jön: „A létvágy hatalmába keríti a nemlétet”. (Jacob Böhme, sonsten Teutonicus gennant, Von sechs Puncten hohe und tieffe Gründung, Amsterdam, 1682. 88. p.)

Geometria és etika

Szintén Arisztotelésznél kezdtem el töprengeni a szubjektum szabadságáról mint a matematika megalapozásáról. A szubjektum szabadsága nála azt jelenti, hogy valaki két alternatív lehetőség közül választhat, amelyeket logikai eszközök segítségével nem lehet eldönteni. Hihetetlennek tűnt, hogy egyetlen példája erre az euklideszi és nemeuklideszi háromszög között meglévő alternatíva. Ugyanabban a mondatban még az euklideszi négyzet és a nemeuklideszi négyzet bizarr alternatívájáról is beszél, amelynek minden egyes szöge 180 fok. Rendhagyó szögek, mivel a nemeuklideszi négyzet szomszédos oldalai egyetlen egyenesen fekszenek, amely egyenes egyben azonos a négyzet kerületével. Ez a maximális nemeuklideszi négyzet, melynek kerülete egyetlen önmagában zárt egyenes. Van ugyan középpontja is, akár egy körnek, de ez a nemeuklideszi négyzet mégsem kör, mivel érintője, a körrel ellentétben, nem csupán egyetlen pontban, hanem minden pontban érintkezik a négyzet kerületével. Arisztotelész számtalan kommentátora közül egy sem akadt fenn e szöveg felett, hogy kommentálja ezt a velejéig romlott és tévedhetetlenül korrekt szörnyszülöttet. Egyébként Eudémoszi etikájának ezt a hosszú passzusát Arisztotelész egy a munkáiban ritkaságszámba menő személyes megjegyzéssel zárja:

Ez idő szerint ezekről a dolgokról nem lehet többet mondani, de róluk hallgatni sem lehet.

Lépésről lépésre vált világossá számomra, hogy mi is e passzusok értelme Arisztotelész etikájában – nevezetesen az, hogy az ethosz rangban a logosz felett áll, és hogy a matematika alapja a szubjektum szabadsága. Először Arisztotelésznél jelenik meg a matematika a szabadság kontextusában. Zárvány a szövegben az a titkos felismerése, hogy a geometria forrása a matematika transzcendentális szubjektuma. E titok végül Descartes „Metafizikai elmélkedései”-ben, valamint Mersenne atyával folytatott levelezésében ebben a formában került nyilvánosságra: Eukleidész tétele igaz, miszerint a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, mégpedig azért és csak azért igaz, mert abszolút szabadságában és végtelen hatalmában Isten így akarta. A geometriában is maga Isten, a transzcendentális szubjektum az igazság végső forrása: deus fons veritatis.

Hogy a transzcendentális szubjektum a geometria alapja, ez még világosabban mutatkozik Arisztotelész egyik problémájában (Problemata XXX 7). Azt olvassuk itt, hogy:

Ugyanazt az örömet (hédoné) éreznénk, ha a háromszög szögeinek összege két derékszöggel lenne egyenlő, mintha nem lenne egyenlő két derékszöggel.

Ez a döbbenetesen nagyszerű felismerés majd csak Gauss, Bolyai és Lobacsevszij idejében fog visszaköszönni. Arisztotelész a szalamiszi tengeri csata példájáról beszél, melyet a Kategóriában a kontingens jövővel kapcsolatában tárgyal: ha holnap tengeri csata lesz, akkor az egyik fél lesz a győztes, a másik pedig a vesztes. A geometriai példával ellentétben azonban csak akkor fogunk örülni az eredménynek, ha a mieink győznek, sohasem abban az esetben, ha az ellenfél flottája lesz a győztes. A példa sokatmondó: a geometriai alternatívát egy még el nem döntött tengeri csatával hasonlítja össze. A hasonlóság nyilvánvalóan abban áll, hogy a logika eszközeivel egyik eset sem dönthető el: az egyik, hogy legyen-e tengeri csata, a másik, hogy a háromszög szögeinek összege egyenlő legyen-e vagy ne legyen-e egyenlő két derékszöggel. Mindkét döntés szubjektivitásból fakad és a szabad szubjektum műve. Az alapvető különbség, hogy az ütközet esetében csak a saját győzelmünknek örülünk, miközben a geometriai ütközet esetében ugyanúgy, részrehajlás nélkül örülnénk a nemeuklideszi győzelemnek, mint az euklideszinek. A szerző itt a geometriai alternatíváról nyilvánvalóan úgy beszél, mint ami még nincs eldöntve, és amit a szubjektum intervenciója nélkül nem is lehet eldönteni.

Az analitikus filozófia és a matematika

Gottlob Frege a Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung évfolyamaiban 1903–1906 közt hét polemikus tanulmányt közölt a nemeuklideszi geometria és nevezetesen David Hilbert ellen – durva, sőt egyenesen vulgáris támadásokat. Az egyebek iránt termékeny Frege-kutatás mindeddig nem vett tudomást ezekről a munkáiról. Michael Dumett Frege’s Philosophy of Mathematics című monumentális művében nem foglalkozik ezekkel a munkákkal. Ha a történelem Frege szemléletében szembekerül a logikával, akkor a történelmet kell megtagadni, beleértve a nemeuklideszi geometriát is mint az irracionalitás és a miszticizmus kifejezését. Frege nem tudta megbocsátani a matematikusoknak, hogy meggyalázták a logika elveit. Szerinte a nemeuklideszi geometria becsempészte a szubjektum fogalmát a matematikába, mégpedig a szubjektumnak a legrosszabb pszichológiai értelemben vett fogalmát: az empirikus szubjektumét. Frege számára a transzcendentális szubjektum fogalma ismeretlen maradt, mintha Descartes sosem létezett volna. „Ki a nemeuklideszi geometriával, ki vele!” – kiáltotta. Frege könyörtelen és kaszárnyaudvarba illő hangon adta ki a parancsot: „Sie muss herausfliegen”, tessék az asztrológiával és alkímiával együtt kidobni, és mint múmiát a tudomány múzeumában elhelyezni…

A valóságban azonban Frege volt az, aki visszahúzódott a matematika Galápagos-szigeteire, ahonnét szarkasztikus kommentárjait és becsmérlő nyilatkozatait küldte szét mindarról, amit ez az akkoriban „modern” matematika produkált. A „modern” szót gyűlölte, és csak sértegető szándékkal használta. Mivel a szó etimológiája Frege szerint azonos a divatéval (Mode), már ezért is a közönséges, röpke és frivol hódolat jelentését hordozza. E morbus mathematicorum recens veszélye az, hogy a matematikusok elmerülnek a tisztátalan mélyben. Filozófiája szigorú határokat szab a matematikus gyakorlatának, meghatározza, hogy mit szabad tenni, és mit nem. Nevezetesen a nemeuklideszi geometria által bevezetett új eljárások, valamint Dedekind és Cantor új elméletei az irracionális számokról a tiltott dolgok listájára kerültek.

Általában jelentős tudósok politikai és tudományos felfogása közt nincs összefüggés. Lehet valaki haladó vagy forradalmi szellem az egyik területen és konzervatív vagy reakciós a másikon. Figyelemre méltóan következetes személyisége által Frege a legritkább esetet képviseli: a szó pontos etimológiai értelmében retrográd és reakciós volt a napi politika terén éppúgy, mint a tudományén. Ennek ellenére végig forradalmár maradt – a logika terén. A matematikai tudáshoz fűződő viszonya azonban kevéssé volt szerencsés. A matematikai tudás minden területén elfoglalt összes álláspontja téves volt, hasonlatai a természettudományok terével kevéssé szerencsések, a földrajzi hasonlatai pláne rosszak. A földrajznál ugyanis semmi sincs távolabb a matematikától.

Amikor „Frege matematikai filozófiájáról” beszélnek, sosem tudom, hogy milyen matematikáról van szó. Hol van az a matematika, amely megfelel az ő követelményeinek? Az az érzésem, hogy a „matematika” kifejezés ebben a kontextusban nem vonatkozik semmire. Különben Frege messze nem az egyetlen, aki elutasította a nemeuklideszi geometriát. A fiatalabb generáció egy szűk köre kivételével – Felix Klein, Poincaré, Clifford, Helmholtz, Lie, Hilbert, Beltrami, Peano, alig egy tucat matematikus tartozott ide – a matematikusok és filozófusok abszolút többsége elvetette az új geometriát. Frege az ellenzék között is kitüntetett helyet foglal el: nem csak kora legjelentősebb logikusa volt, de egy tudományos racionalista filozófiai iskola megalapozója is; innen indult aztán útjára az analitikus filozófia. Frege rendkívüli érzékenységgel rendelkezett mind a logikai, mind a matematikai és a politikai érvelés iránt. Az igazság inkorruptibilis, megalkuvást nem ismerő és tévedhetetlen fanatikusa volt. Politikai testamentuma, melynek inkább nem idézem több szövegét, a végén emlékezetünkbe idézi élete irányelvét:

Csak az igazságot akarom, semmi egyebet, mint az igazságot.

A nemeuklideszi geometriát illetőleg igaza is volt, hogy két egymással ellentétes állítás, E és nem-E szimultán igazsága összeegyezhetetlen a logikával. Ez vitathatatlan. Frege soha nem volt képes felfogni, hogy a logika nem minden. Még a matematikai ráció, a logosz birodalmában sem az.

Egyetlen embert ismerek, aki következetességében Fregere hasonlít: kortársát, William Kingdon Cliffordot. Korának legnagyobb angol matematikusa volt. Kezdetben az algebra volt a szakterülete, nem a geometria. Meggyőződéses, radikális republikánus volt, Mazzini csodálója és híve. Elkötelezett ember, aki népszerűsítő előadásokat tartott az evolúcióelméletről és a nemeuklideszi geometriáról, mivel felfogása szerint a darwinizmusnak az új geometria felel meg; mind a kettő ugyanannak az emancipációs üzenetnek a hordozója: a kopernikuszi forradalomé, a szabadságé. A nemeuklideszi geometria terén hatalmas életművet hagyott hátra, és érdeklődését az új geometria iránt a nemeuklideszi gondolat politikai távlata motiválta.

Maga az analitikus filozófia elsősorban a klasszikus filozófiai spekuláció érvényen kívül helyezése: kiiktatja a szubjektumot, az ént, melyet a túlhaladott metafizikai zűrzavar értelmetlen csökevényének tart. Az analitikus filozófia legismertebb képviselői, köztük Russell és Quine mindazt, amit a klasszikus filozófia – főként Platón, Kant és Hegel – gondolt el, leplezetlen szarkazmussal és ironikus csattanókkal intézi el. Quine például Platón egész gondolatvilágát, mindazt, amit a Theaitétoszban, a Szofistában, az Államférfiban és a Parménidészben végiggondolt – egész ún. „elviselhetetlenül zavaros spekulációját” a létről és nemlétről – magvasan a „Platón szakálla” becenévvel illeti. Russell maga se gyengédebb. A History of Western Philosophyban (A nyugati filozófia története) saját On Denoting című dolgozatát úgy említi, mint forradalmat, mely egy csapásra tisztázta a létre és nemlétre vonatkozó kétezer éves zűrzavart, melyet Platón Theaitétosza vezetett be a filozófiába. Ez az analitikus irány a filozófiát természettudománnyá szeretné átalakítani. Módszertana és formális nyelve külsőleg a matematikáéra hasonlít, a képletek, formális szimbólumok a matematikai logika nyelvét idézik, melyek a szövegeknek a nem szakavatott olvasó számára a tudományosság látszatát kölcsönzik. Legyen bár a természet könyve a matematika nyelvén írva, az ember könyve nem a matematika nyelvén íródott. A matematikai tudás a ráció, nem a logika gyümölcse; a matematika a szellem világának, nem a logikának szerves része.

Miközben köztudott, hogy az analitikus filozófia kiiktatja a szubjektumot, az ént, kevésbé közismert az a tény, hogy az analitikus filozófia Achilles-sarka maga a matematikai tudás. Talán meglepő, de a jelentős körülmény éppen az, hogy képtelen megmagyarázni és értelmezni a matematikai gondolkodás lényeges mozzanatait. Az analitikus filozófia számára teljesen elfogadhatatlan a teremtés mozzanata, amely a negatív, az irracionális és imaginárius számok, a nemeuklideszi geometria vagy a többdimenzionális topológiai terek mintájára a nemlétből a létbe való ugrásszerű átmenetet jellemzi. E és nem-E ellentétes igazsága, két ellentmondásos univerzum, az euklideszi és a nem-eukideszi univerzum szimultán léte, mindez számára valóságos iszonyat. Két különböző tér nem létezhet együtt egy és ugyanabban az univerzumban, mondta Bertrand Russell ismételten, majd egy elegáns mosoly kíséretében kiküszöbölte az irracionális számok Dedekind-féle elméletét, mondván: amit ez az elmélet nyújtott, annak ugyanaz a tagadhatatlan előnye, mint amit a lopás nyújt a tisztességes munkával szemben. Két ellentétes geometriai tér szimultán létének katasztrófáját azzal a javaslatával oldaná meg, hogy „a nemeuklideszi egyenes” kifejezés referenciája más, mint az euklideszié, nevezetesen egy bizonyos görbe, pl. egy bizonyos körív, amely merőleges egy síkkorong kerületi határkörére.5

  • 5Ez a korong a nemeuklideszi geometria Poincaré-féle abszolút geometriai modellje; az említett ortogonális görbe az abszolút sík eleme, és ebben a modellben az „egyenes” szó interpretációja. Az abszolút síkban az euklideszi és a nemeuklideszi párhuzamosok axiómája eldöntetlen és eldönthetetlen: sem nem igaz, sem nem hamis. Az abszolút síkban a kizárt harmadik elve nem érvényes az (E, nem-E) párra: sem E, se nem-E, ez a két tétel itt nem képvisel alternatívát.

Azonban Wanda Szmielewa alapvető reprezentációs tétele szerint lehetetlen a nemeuklideszi univerzum helyébe, melyben az egyenes „egyenes”, annak abszolút modelljét behelyettesíteni, melyben a nemeuklideszi egyenes egy görbe, mivel ezáltal az abszolút geometria ellentmondásossá válna. Ez az alapvető tétel lényegében azt mondja ki, hogy egy geometria modelljét lehetetlen magával a geometriával, illetve a térrel azonosítani, amelyet a modell – úgy is, mint a geometriai univerzum térképe – leképez. A Poincaré-modell ortogonális félkörei valójában a nemeuklideszi sík egyenesét képezik le, azaz reprezentálják; de hamis az, ami a filozófiai irodalomban olvasható, hogy ezek a félkörök azonosak volnának a nemeuklideszi sík egyeneseivel. A Poincaré-modell a Bolyai-féle abszolút sík figurája (ahogyan az euklideszi geometria ún. Möbius-modellje is az), és ekként már az abszolút geometriában el van döntve, hogy a modell az euklideszi, avagy a nemeuklideszi világot térképezi-e. Wanda Szmielewa tétele éppen ezt állítja: minden abszolút modell eleve vagy az euklideszi vagy a nemeuklideszi univerzum modellje.

A modell euklideszi vagy nemeuklideszi struktúrája ennélfogva szigorúan adott a modell pusztán abszolút-geometriai tulajdonságai alapján. Ezzel szemben magának az euklideszi világnak sajátosan euklideszi, a nemeuklideszi világnak sajátosan nemeuklideszi jellege nem dönthető el az abszolút geometria és a logikai bizonyítás segítségével. Az univerzum sajátos geometriai specifikuma tehát az abszolút geometria keretében eldönthetetlen; ezzel szemben a modell geometriai specifikuma már az abszolút geometria szűkebb keretei között is kategorikusan eldöntött.

Erről azonban az analitikus filozófia berkeiben nem vesznek tudomást. Ezzel kapcsolatban Quine a következőket írja:

Kezdetben ugyan minden értelmezés nélküliek, tehát érvénytelenek voltak (ti. a nemeuklideszi tételek), de időközben komoly interpretációkat kaptak. Ezzel egyidejűleg egy sor értelmetlen ítéletet hiteles igazságokkal helyettesítettek.

Ennek értelmében a nemeuklideszi univerzum abszolút modellje ezzel az univerzummal magával volna ekvivalens, úgyhogy a nemeuklideszi tételek csak azért és csak akkor bírnának az igazság értékével, ha rendelkeznének egy modellel az abszolút térben. Quine állítása szerint a nemeuklideszi tétel igazságának egy abszolút modell egzisztenciája lenne a szükséges és elegendő feltétele. Ez teljesen hamis. Ha igaz lenne, akkor ebből az következnék, hogy az abszolút geometria inkonzisztens: ugyanis mind az euklideszi, mind a nemeuklideszi geometria rendelkezik egy abszolút modellel. Quine értelmében ez tehát már az abszolút geometria rendszerén belül biztosítaná a két egymásnak formálisan ellentmondó geometria alapvető posztulátumainak szimultán, mégpedig abszolút igazságát. Ami nyilvánvalóan azt jelentené, hogy az abszolút geometria két egymásnak formálisan ellentmondó, egyaránt igaz tételt tartalmaz. De mivel az euklideszi síkban is létezik a nemeuklideszi geometria Poincaré-modellje, ha ennek egzisztenciája már önmagában a nemeuklideszi geometria párhuzamossági axiómájának igazságát jelentené, akkor természetesen az euklideszi geometria is inkonzisztens lenne.

Művészet és matematika

A természettudományok és a művészetek szokványos skolasztikus megkülönböztetése értelmében a matematikát mindig a természettudományokhoz társítják. Ezzel szemben az én értelmezésem szerint a matematikai gondolkodás a művészettel áll összefüggésben. A mathészisz és a poiészisz rokon létstruktúrák. A matematika – mint köztudott – egzakt tudomány. A tetraédert azáltal definiáltam, hogy ha adva van négy csúcspont A, B, C és D, egyik csúcspont sem fekszik két másik csúcspont között. A valós fizikai térben nyilvánvalóan léteznek háromdimenziós testek, melyek megfelelnek a tetraéder definíciójának. Ha most gondolatban veszek öt pontot A-t, B-t, C-t, D-t és E-t, és ugyanígy azt tételezem, hogy egyikük se essen két másik csúcspont közé, akkor a pentatópot definiáltam, és egyben azt a legegyszerűbb geometriai testet, mely a négydimenziós teret definiálja. De hol létezik a pentatóp? Éppoly pontosan ismerem, mint az ABCD tetraédert; a szöveg, amely definiálja, a pentatóp abszolút pontos leírását biztosítja, és ebből a szövegből bizonyítani tudom, hogy a négydimenziós térben pontosan hat szabályos geometriai test létezik. Csakhogy ez az hat négydimenziós szabályos politóp a háromdimenziós fizikai térben létező öt szabályos poliéderrel ellentétben mind olyan test, amely nem létezik. Fogalmuk feltételezi a négydimenziós tér fogalmát, de az, hogy létezik-e a négydimenziós tér, nem dönthető el pusztán logikai eszközökkel. Tételezéséhez szükség van a szubjektum döntésére.

Valójában, ha tartjuk magunkat a „létezik” szócska jelentéséhez (the good old word „exist”6), ahogyan azt Quine, és vele együtt kétségtelenül mindazok megkövetelik, akik józanul gondolkoznak, akkor el kell ismernünk, hogy in our common sense usage of „exist”7 a négydimenzionális kocka éppoly nem létező, mint Emma Bovary. Mindkettőjük természetét és összes tulajdonságait azonban ugyanúgy tökéletesen pontosan ismerjük. A két szöveg tárgyukra vonatkozólag örök és változatlan ismereteket nyújt. Ha Emma Bovary élt volna, akkor a Madame Bovaryt újságírók és történészek levéltári dokumentumok alapján vitathatnák, mint például Marie Antoinette életrajzát. Ámde, jóllehet Emma Bovary valójában nem is élt, élettörténetéhez egyetlen részlet sem adható hozzá, sem el nem vehető: a szerzőt lehetetlen megcáfolni, kijavítani. Ezzel kapcsolatban hadd idézzem a Parménidész szövegét: Amit nemlétnek hívunk, nem kevésbé ismeret tárgya, mint amit létnek. Ehhez még hozzáfűzném, hogy tökéletes pontossággal csak a nem létezőt ismerhetjük meg.

Kollázsok

Kollázsaim olvasatára Maurizio Calvesi is rákérdezett.8 Grafikáimat collages métaphysiquesnek neveztem. Ihletük forrása a szöveg, a szövegek. A teremtés Szent Tamás evangéliuma szerint című kollázst például Szent Tamásnak ez a mondata ihlette:

Isten nem teremthet olyan háromszöget, melynek szögösszege két derékszögtől eltér.

A kép érzelmi reakcióm a Summa contra gentiles e mondatára. Pontos magyarázatot nem tudnék adni. A kép nem figuratív, se nem mimetikus vagy didaktikus. Vagy itt van a Seductio ad absurdum című kollázs, amelyben a nemeuklideszi geometria hárpiája Arisztotelészt az Analytica posteriora egyik idézetével kínozza: A két ellentétes ítélet közül melyik adja a háromszög logoszát, lényegét? Mely szerint a háromszög szögösszege egyenlő, vagy mely szerint nem egyenlő két derékszöggel? Arisztotelész hallgat, nem ad választ. A kérdés döntetlen, a kín marad. A grafikák a szövegek szépségére adott érzelmi reakcióim.

  • 6„A jó öreg »létezik« szó” (– Szerk.)
  • 7„Amint a »létezik«-et közmegegyezésszerűen használjuk” (– Szerk.)
  • 8A Római Egyetem modern művészettörténeti tanszékének professzora, az 1997-ben rendezett, Tóth Imre kollázsait bemutató kiállítás egyik szervezője.
Parmenidész és Zénón Platón Parmenidészében – avagy a lét és a nemlét tortúrája: Πραγματειώδη παιδιάν παίςειν – „Tegyük fel a létezés hipotézisét és vizsgáljuk meg annak következményeit. Tegyük fel a nem létezés hipotézisét is, és nézzük meg, milyen következmények származnak belőle.” (Platón, Parmenidész, 136 B–137 B)
Seductio ad absurdum – Arisztotelészt a nem-euklideszi geometria hárpiái gyötrik: „A két egymással ellentmondásban álló állítás közül vajon melyik az igaz, melyik a háromszög létalapja: az, amelyik szerint a háromszög szögeinek összege egyenlő két derékszöggel, avagy az, amelyik szerint nem egyenlő két derékszöggel?” (Arisztotelész Második analitika 93a 33–35.)

Nemeuklideszi geometria és a szabadság

A filozófia mint tantárgy Európa több országában kikopott az iskolai oktatásból. Ennek a kulturális szempontból tragikus fejlődésnek hosszú történelmi előzményei vannak. Amióta a filozófia irodalmi formában létezik – tehát a pitagoreusoktól, Platóntól és Arisztotelésztől kezdve – felvetődik a kérdés, hogy mi a haszna, és van-e értelme. Sajátosságaihoz tartozik az is, hogy az új gondolatok megjelenésükkor végletesen paradoxnak tűnnek. Olykor megfogalmazásukhoz még a szavak is hiányoznak. Idővel kevésbé ütközünk meg rajtuk, bár még mindig egy kicsit furcsának látszanak. Végül teljes banalitásba süllyednek. Ez igaz, de annyit is jelent, hogy az egyszer felismert igazságok többé nem merülnek teljes feledésbe. Hadd adjak rá egy példát. Ha azt mondom, hogy az ember szabad, ez végtelenül banálisan hangzik. Naponta olvasható az újságban, jobb- vagy baloldali politikusok hangoztatják, mindenki ismeri és unalomig ismétli. Jó tudni azonban, hogy alig másfél évszázaddal ezelőtt a szabadság szót nem volt veszélytelen kimondani. Ha valaki azt hirdette, hogy minden ember szabad, a szabadságát, sőt az életét tehette kockára. De hadd fűzzem hozzá, hogy a szabadság fogalma első ízben Arisztotelész etikájában jelenik meg. A Magna moralia és az Ethica Eudemia néhány fejezetében az embert a szabadsága jellemzi. A szabadság szót Arisztotelész még nem használja, mivel az eleutheros, a „szabad” szó az ókori görögben a szabad embert csupán a rabszolga viszonylatában jellemezte. Az említett fejezetekben Arisztotelész néma ember módjára emberfeletti erőfeszítéseket tesz, hogy kifejezze magát. Szótárából hiányzik a megfelelő szó az új fogalom kifejezésére. Gondolatának szemléltetésére Arisztotelész – mint már említettem – meglepő módon az eldöntetlen geometriai alternatívára hivatkozik: E vagy nem-E. Arisztotelész etikáinak e fejezeteiben az emberiség első ízben veselkedik neki, hogy szabadsága tudatát kifejezze. Ez a drámai küzdelem évszázadokat, évezredeket vesz még igénybe, mielőtt napjainkra banalitásba süllyed. Egyszóval azt akarom mondani, hogy e vajúdás nélkül, anélkül, hogy az ember tudatára ébredt volna saját szabadságának, a politika, a társadalom, a művészetek és a emancipáció terén elért összes vívmány lehetetlen lett volna. És éppen ebben a diffúz, zavaros és látszatra haszontalan térben, amelyet filozófiának hívnak, zajlott le ez a hatalmas erőfeszítés: az emberi szabadság öntudatra ébredése. E nélkül ma semmink se lenne, sem a mai művészetek, sem a matematika, sem a modern fizika terén, legkevésbé pedig a társadalmi méltányosság, az igazság, az emberséges mértékre szabott politikai és társadalmi élet terén…

A filozófiának is megvan a maga tárgya. A fizikáé a természet, a csillagászaté a csillagok, az orvostudományé az emberi test. A filozófia tárgya azonban az ember mint szubjektum, az emberi szubjektum mint saját sorsának, történelmének, társadalmi létének, gyakorlatának szubjektuma. Amit filozófiának hívunk, nem tudomány ugyan, de mégsem semmi, hanem a szubjektum tudása önmagáról. Ezen azt értem, hogy a filozófiai spekuláció az a tér, melyben az ember a tudatára ébred annak, hogy kicsoda, például hogy szabad lény. Az emberiség a közeljövőben számtalan létkérdéssel fog szembesülni; de megoldásukra remény sincsen, ha a létkérdéseinket, sorsunkat, alanyiságunkat érintő reflexiókat elfojtjuk, ahogyan az utóbbi időben éppen azokban az országokban lejátszódott, amelyekben egykor a nagy spekulatív rendszerek létrejöttek…

A nemeuklideszi geometria kérdésköre és bonyadalmas recepciója mögötti valóságos mozgatórugókat a matematikán kívül kell keresnünk. No man is an island9 – a matematika sem sziget: beágyazása a szellem története. Hegelt nem a matematika érdekelte, hanem az ember mint a szabadság története. Az egész történelmet úgy tekintette, mint a szabadság tudatossá válását. És ez igaz is. Fantasztikus tény, hogy Hegellel egyidejű a szabadság tudatosodása a nemeuklideszi geometriában. Kölcsönös ihletésről itt szó sem lehet. Roppant jelentős, sőt szinte misztikus egyidejűségről van szó. Mindkettőben – mind a filozófiában, mind a matematikában – a szabadság tudata munkál. A matematika is ennek a folyamatnak része, benne is a szabadság szelleme jut napvilágra. Más szóval a matematika is része a szabadság fenomenológiájának…

  • 9„Senki sem sziget” (– Szerk.)

Valójában minden geometria egyben kozmológia is. A nemeuklideszi geometria az 1800-as évek elején jelenik meg, és teljességgel haszontalan; ezzel szemben a negatív és imaginárius számok jellegük szerint titokzatosak, de egyben hasznosak is. A nemeuklideszi geometria, ez a gondolati szörny, semmire sem jó. A negatív számokkal ellentétben nincs rá kereslet. Azután, közel száz évvel később, egyszer csak alkalmazásra talál a relativitáselméletben. Hogyan lehetséges ez? A matematikusok majd száz éven át foglalkoznak ezzel a képtelen geometriával, amelyet mindenki abszurd és haszontalan elméletnek tart, de képtelenek szabadulni tőle. Ez volt az én problémám, paradigmatikus kérdésem: kezdetben az imaginárius számok paradoxona csupán játék, ezt követik a mindennapok problémái, majd az imaginárius számok is hasznos eszközökké válnak. De a nemeuklideszi geometriából teljességgel hiányzik a remélt haszon ösztönzése. Mindenki egyetért haszontalanságában. De a végtelenségig szajkózott közhely dacára a nemeuklideszi geometria továbbra is „létezik”. Azután a relativitáselméletben egyfajta nemeuklideszi geometria egyszer csak alkalmazást nyer. Fontos kérdés: mennyiben volt érdekes ez a haszontalan, abszurd, semmire sem jó elméleti szörny? Miért képtelen a matematika megszabadulni ettől a kényszerképzettől? Felfogásom szerint tehát a nemeuklideszi geometria történelmi mozgatórugója, gravitációs tere a szellem története, melyben a transzcendentális szubjektum saját szabadságának tudatára ébred. A matematika története sem véletlenszerű tragikus epizódok halmaza, éppoly kevéssé, mint (Arisztotelésszel szólva) a természet: egyikük sem sivár drámaíró, hanem az abszolút Szellem műve.

Várdy Péter fordítása

Jegyzet

Az interjú az Iride – Filosofia e discussione pubblica című folyóiratban jelent meg (43. sz., 2004. szeptember–december, 491–544. p.). Az interjút Gaspare Polizzi készítette az alábbi címmel: Imre Toth: „Deus fons veritatis”, Il soggetto e la sua libertà, Il fondamento ontico della verità matematica („Deus fons veritatis”.1 A szubjektum és szabadsága, A matematikai igazság ontikus alapja). A fordítás az eredeti beszélgetés rövidített, továbbszerkesztett változata.

  • 1Isten az igazság forrása.
Életrajz

Tóth Imre 1921-ben Szatmáron született. Filozófus és matematikatörténész. 1969-es emigrációjáig a Bukaresti Egyetemen tanít, majd a Regensburgi Egyetemen a Tudománytörténeti Tanszék vezetője. 1991 óta Párizsban él. Úttörő felfedezése, hogy a nemeuklideszi geometriát már Platón Akadémiájában vitatták. Életműve a filozófiai, tudománytörténeti és etikai alapkérdések egysége. Metafizikai kollázsait is ez az egység hordozza. (Művészi munkáihoz lásd többek közt a Palimpszeszt alábbi magyar kiadását.) Válogatás munkáiból: Das Parallelenproblem im Corpus aristotelicum (A párhuzamosok problémája a Corpus Aristotelicumban, Berlin–New York, Archive for History of Exact Science, 1967); Ahile, Paradoxele eleate in fenomenologia spiritului (Akhilleusz, Az eleai paradoxonok a Szellem fenomenológiájában, Bucuresti, 1969); Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes, Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik (A nemeuklideszi geometria a Szellem fenomenológiájában, Frankfurt a.M., 1972); Andreas Osiander: Copernikanische Lehre und Menschenrechte (Andreas Osiander: A kopernikuszi tan és az emberi jogok, Regensburg, 1981); I paradossi di Zenone nel „Parmenide” di Platone (Zenón paradoxonjai Platón „Parmenidész”-ében, Napoli 1994); Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria (Arisztotelész és a geometria axiomatikus alapjai, Milano, 1997); Lo schiavo di Menone, Commentario a Platone, „Menone 82 B-86 C” (Menón rabszolgája, Kommentár Platón: „Menón 82 B–86 C”-hez, Milano, 1998); Frammenti e tracce di geometria non-euclidea in Aristotele (Egy nemeuklideszi geometria töredékei és nyomai Arisztotelésznél, Milano, megjelenés előtt). Újabban magyarul is megjelent munkái: Isten és geometria (Budapest, Osiris, 2000); Zsidónak lenni Auschwitz után (Budapest, Pont Kiadó, 2001); Palimpszeszt. Szavak egy háromszög előtt (Budapest, Typotex Kiadó, 2001, fordította Moldovay Tamás); Bécstől Temesvárig, Bolyai János útja a nemeuklideszi forradalom felé (Budapest, TypoTex Kiadó, 2002); Várdy Péter: Az életben van, amit az ember nem tesz… és tesz – Beszélgetések Tóth Imrével (Budapest, Pont Kiadó, 2004). Tóth Imre életéhez és munkásságához lásd a kötet utószavát: 147–168. p.