Jákob és Lábán paradoxona

Székely J. Gábor
matematika, valószínűségszámítás, paradoxon

A Biblia ismert története „Jákobnak csudálatos szerződése Lábánnal”, amely szerint Jákob a szolgálat fejében megkapta Lábán tarka juhait, amelyek részaránya sokkal kisebb volt, mint a Lábánnál maradó részarány. A történet szerint azonban idővel mégis Jákob lett a gazdagabb. Erre a paradoxonra több misztikus magyarázat született (már a Biblia maga is tartalmaz egy ilyet, és Thomas Mann is foglalkozik e rejtéllyel), de — amint Rényi Alfréd egy alkalommal felhívta rá a figyelmet — ez a paradoxon minden misztikum nélkül, egyszerű matematikai következtetéssel is megérthető, mégpedig arra építve, hogy Jákob sohasem adott vissza juhokat Lábánnak, Lábán viszont mindig odaadta juhainak egy — igaz kisebbik — részét Jákobnak.

Jelölje $J_{n}$ Jákob, $L_{n}$ pedig Lábán juhainak átlagos számát az $n$-edik évben (a kezdeti 0-adik évben $J_{0} = 0$, $L_{0}$ pedig valamilyen pozitív szám). Tételezzük fel, hogy minden juhnak minden évben átlagosan $U$ darab utóda lesz. Ezek átlagosan $p$-edrésze Lábánnál marad, $q(=1–p)$-edrészét pedig megkapja Jákob. Ekkor $L_{n+1}-L_{n} = U_{p}L_{n}$ és $J_{n+1}-J_{n} = UJ_{n}+U_{q}L_{n}$, ahonnan $L_{n} = L_{0}(1+U_{p})^{n}$ és $J_{n} = L_{0}(1+U)_{n}-L_{0}(1+U_{p})^{n}$, vagyis

\[ \frac{{J}_{n}}{{L}_{n}}={\left(\frac{1+U}{1+{U}_{p}}\right)}^{n}-1, \]

ami valóban végtelenhez tart az $n$ növekedésével, vagyis idővel Jákob valóban összehasonlíthatatlanul gazdagabb lesz Lábánnál. Ha például $q$ mindössze 10% és $U = 2$, akkor 20 év multával (azaz ha $n = 20$), $J_{n}/L_{n}$ már körülbelül 3.

További irodalom

Jákobnak csudálatos szerződése Lábánnal

És monda néki Lábán: Vajha kedvet találtam volna szemeid előtt! Úgy sejtem, hogy te éretted áldott meg engem az Úr.

És monda: Szabj bért magadnak és én megadom.

Ez pedig monda: Te tudod mimódon szolgáltalak téged, és hogy mivé lett nálam a te jószágod.

Mert a mi kevesed vala én előttem, sokra szaporodott, és megáldott az Úr téged az én lábam nyomán. Immár mikor tehetek valamit a magam házáért is?

És monda Lábán: Mit adjak néked? Felele Jákób: Ne adj nékem semmit; juhaidat ismét legeltetem és őrizem, ha nekem ezt a dolgot megteszed:

Nyájaidat ma mind végig járom, minden pettyegetett és tarka bárányt kiszaggatok közűlök, és minden fekete bárányt a juhok közűl, s a tarkát és pettyegetettet a kecskék közűl, s legyen ez az én bérem.

S a mikor majd bérem iránt eljövéndesz, mi előtted lesz, becsületességemről ez felel: a mi nem pettyegetett vagy tarka a kecskék, s nem fekete a juhok közt, az mind lopott jószág nálam.

És monda Lábán: Ám legyen: Vajha a te beszéded szerint lenne.

Külön választá azért azon a napon a pettyegetett és tarka kosokat, és minden csíkos lábú és tarka kecskét, mind a melyikben valami fehérség vala, és minden feketét a juhok közűl, és adá az ő fiainak keze alá.

És három napi járó földet vete maga közé és Jákób közé; Jákób pedig legelteti vala Lábán egyéb juhait.

És vőn Jákób zöld nyár-, mogyoró- és gesztenye-vesszőket, és meghántá azokat fehéresen csíkosra, hogy látható legyen a vesszők fehére.

És a vesszőket, melyeket meghántott vala, felállítá a csatornákba, az itató válúkba, melyekre a juhok inni járnak vala, szembe a juhokkal, hogy foganjanak, mikor inni jönnek.

És a juhok a vesszők előtt foganának és ellenek vala csíkos lábúakat, pettyegetetteket és tarkákat.

Azután külön szakasztá Jákób ezeket a bárányokat, és a Lábán nyáját arczczal fordítja vala a csíkos lábú és fekete bárányokra; így szerze magának külön falkákat, melyeket nem ereszte a Lábán juhai közé.

És lőn, hogy mikor a nyáj java részének vala párzási ideje, akkor Jákób a vesszőket oda raká a válúkba a juhok eleibe, hogy a vesszőket látva foganjanak.

De mikor satnya vala a nyáj, nem rakja vala oda s ily módon Lábánéi lőnek a satnyák, a java pedig Jákóbé.

És felette igen meggazdagodék a férfiú; és vala néki sok juha, szolgálója, szolgája, tevéje és szamara.

(Károli Gáspár fordítása)

„A tarka juhok híres története volt ez…”

A tarka juhok híres története volt ez, amelyet ezerszer is elmondtak újra és újra kutak és pásztortüzek mellett, ezerszer eldúdoltak és elfelelgettek Szép Beszélgetésekben. Jákob tiszteletére s mint furfangos pásztorfortély mesteri példáját — az a történet, melyre Jákob még késő vénségében is, amikor eltűnődött a múltakon, nem tudott anélkül gondolni, hogy finom ajka mosolyra ne csigázott volna szakállában … Egyszóval Jákob a kétszínű juhokat és kecskéket kívánta, a fekete-fehér pettyeseket — nem a már meglevőket — jól értsük meg! — hanem ami tarkát a jövőben ellenek majd Lábán nyájai, az legyen jutalma, s az csatoltassék tulajdonához, melyet a bácsi szolgálatában idők folyamán szerzett. A mostantól fogva tenyésztendő állatok megosztásáról volt szó a nagybátya és szolgája közt, bárha nem egyenlő részekre; mert a juhok nagy tömege fehér volt és csak egy kisebb rész tarka, és Jákob úgy is beszélt, mintha holmi selejtezésről volna szó. De mindketten pontosan tudták, miközben tárgyaltak, hogy a tarkák tüzesebbek és termékenyebbek a fehéreknél, és Lábán borzalommal és nagyrabecsüléssel ki is jelentett ezt, megtörve öccse művészete által a szemtelen követelésben.

— Mi minden nem jut az eszedbe! — mondotta. — Szeme-szája nyitva marad az embernek, ha a te feltételeidet hallja! A tarkákat kívánod tehát, a kiváltképp tüzeseket? Nem rossz. Nem mintha nemet mondanék, félre ne érts! Szabad választást engedtem neked, és állom a szavam. Ha ez a feltétel, amelyhez kötöd magad, s különben elvonulnál s elszakasztanád szívemtől leányaimat, Leát és Rákhelt, asszonyaidat, hogy én, öregember, sohase láthassam többet őket, akkor hát legyen kívánságod szerint. De őszintén szólva, ez már elevenembe vág.

S Lábán mintegy bénultan csüccsent le.

— Figyelj! — szólt Jákob. — Látom, fáj neked a kívánságom, és nincs igen ínyedre. Mivelhogy tehát anyámnak édestestvére vagy, és te nemzetted az én Rákhelemt, a csillagszüzet, az igazit és legkedvesebbet, föltételhez kötöm föltételemet, hogy kevésbé rémítselek meg. Járjuk meg hát nyájaidat és válogassuk ki a szeplős és tarka juhokat s a feketéket is, és szakasszuk el a fehérektől, hogy egyik se tudjon a másikról. Ami ezután kétszínű lesz, az legyen az én jutalmam. Meg vagy így elégedve?

Lábán ránézett és hunyorgott.

— Három napi járóra! — kiáltott föl egyszerre. — Három napi járóföld legyen a fehérek és a feketék és tarkák közt, s külön tenyésztés és gazdálkodás legyen közöttük, úgyhogy egyik se tudjon a másikról, így kívánom. És így pecsételjük meg Háránban a bíró előtt, és még aznap helyezzük el a szerződést a teráfimnál, ez visszavonhatatlan ellenföltételem.

— Kemény föltétel! — mondta Jákob. — Igen, nagyon, nagyon kemény és csüggesztő. De kezdettől fogva megszoktam, hogy bácsikám szigorúan és szárazon gondolkodik üzleti dolgokban és nincs tekintettel rokoni kapcsolatokra. Így tehát elfogadom föltételedet.

— Nagyon jól teszed — felelte Lábán —, mert amúgy sem engednék ebből sohasem. Hadd halljam egyébként és mondd: mely nyájakat akarsz magad legeltetni és személyesen őrizni, a tarkákat vagy a fehéreket?

— Úgy helyes és természetes — mondotta Jákob — hogy ki-ki a magáét őrizze, amely neki tenyészik, én tehát a tarkákat.

— Nem úgy! — kiáltotta Lábán. Ez aztán éppen nem! Te már követeltél, mégpedig roppant sokat. Most én vagyok soron és csak annyit kérek viszont, ami szerintem a legkevesebb és legméltányosabb, hogy megőrizzem a gazdaság becsületét. Ezzel a szerződéssel te ismét elkötelezed magad. De ha szolgám vagy, akkor a józan gazdálkodás úgy kívánja, hogy azt a barmot őrizzed, amely nekem hajt hasznot, a fehéret, nem pedig azt, amely neked ellik, a tarkát. Ezeket Behor, Alub és Murasz, fiaim őrizzék, akiket Hadina ajándékozott nekem nagy erejében öregedő napjaira.

— Hm — mondta Jákob — nem bánom ezt se, nem akarok ellenkezni-civakodni, ismered szelíd lelkemet.

Így hát megegyeztek, és Lábán nem tudta, micsoda szerepet játszott, s hogy szőröstül-bőröstül maga volt a megcsalt ördög. Ügyetlenül számító öreg! A Jichok-áldást akarta hasznosítani a maga számára, mindenekelőtt ezt, s úgy számított, hogy ez erősebb lesz majd, mind a tarkák természetes szaporasága. Tudata. hogy Jákob keze alatt a fehér nyáj is, amelytől a tarkák és a feketék elválasztása után nem lehetett pettyegetett bárányokat várni, kiadósabban tenyészik, mint a kétszínű, fiainak becsületes, de tehetségtelen őrizete alatt. Az agyagtuskó. Jóllehet nagy bölcsen számba vette az áldást, de mégsem eléggé, hogy helyes képet alkosson Jákob ötletességéről és leleményességéről, s hogy akár csak álmodjon is a tervről, mely vejének követelése s nem kevésbé engedékenysége mögött lappangott: a mélyértelmű és alapos előzetes kísérletek útján kiforrt gondolatról, melyre az egész épült.

Mert nem szabad azt hinni, hogy Jákob mélyreható fortélyára, miként lehet pettyes birkát tenyészteni akkor is, ha fehér csupán fehérrel párosul, csak a szerződés megkötése után jött volna rá, hogy ezt alaposan kiaknázhassa. Az ötletnek eredetileg semmi célja sem volt, szellemi játék volt, tisztára tudományos kísérlet, s a Lábánnal kötött megállapodás már csak ennek bölcs üzleti alkalmazása. Az elgondolás még Jákob házassága előbbi időből származott, amikor maga várakozó szerelmes volt, és tenyésztő-tehetsége fénye s melege tetőpontján állt — a rokonszenvező sugallat és bensőséges intuíció tartós állapotából fakadt. Valóban, nem lehet eléggé méltányolni az átérzést és megsejtést, amivel a természet legcsodálatosabb titkai egyikének megvallására késztette, és amit ezen az alapon kísérletileg is megerősített. Az anyai rácsodálkozás jelenségét fedezte föl. Kipróbálta, hogy pettyes tárgy megpillantása az üzekedő állatoknál hatással van a magzatra, amelyet ilyenkor foggannak, s amely aztán pettyes tarkán jön világra.

Kíváncsisága, hangsúlyozzuk, pusztán elméleti volt, s tisztán elmés élvezettel jegyezgette kísérletezései folyamán az igazoló siker számos esetét. Ösztöne azt mondotta, hogy bepillantását a vonzások csodájába mindenki előtt, Lábán előtt is titokban tartsa; s noha az a gondolat, hogy rejtett tudását döntőn-nagy meggyarapodásának forrásává tegye, csakhamar jelentkezett, mégis másodrendű maradt, s csak akkor öltött határozottabb alakot, amikor elközelgett az új szerződéskötés ideje apósával.

A pásztorok számára a Szép Beszélgetések alkalmával persze a csalafintaság volt fontos, az agyafúrt haszonszerzés csínja-bínja. Miként hányt fittyet Jákob Lábán rendelkezéseinek s miként terjesztette el módszeresen a rovására; miként szedett nyárfa- és mogyoróvesszőket, melyeken fehér csíkokat hámozott s aztán az itatóvályúkba helyezte a juhok elébe, amikor inni jöttek, miközben párosodni is szoktak; miként fogantak azok a vesszők felett s miként ellettek aztán pettyes bárányokat és gödölyéket, holott maguk egyszínűek voltak; és miként csinálta ezt Jákob különösképp a tavaszi nyáj üzekedésekor, míg a későbbieket, tehát a kevésbé értékes árut, Lábánnak hagyta: ezt dúdolták s mesélték egymásnak lantkísérettel s oldalukat fogták nevettükben a remek csalás felett. Mert bennük nem volt meg Jákob jámborsága és vallási műveltsége, s nem ismerték a komolyságot, amellyel az egészet végbevitte: egyrészt, hogy kötelességszerűen segítségére legyen Istennek, a királynak, hogy az teljesíthesse a gazdaság ígéretét, másrészt, mert Lábánt, az ördögöt meg kellett csalni, mivel az is megcsalta őt a sötétben a jótermetű, de kutyafejű Leával, s mert hűnek kell lenni a rendeléshez, mely szerint az alvilágot csak kincsekkel megrakodva szabad elhagyni, ami ott oly bőven hever a sár mellett.

Így történt tehát: három nyáj legelészett — a fehér, amelyet Jákob őrzött, a tarka és a fekete, amelynek Lábán fiai voltak a pásztorai, és Jákob külön tulajdona, melyet évek folyamán szerzett csereberével, s bojtárai és szolgái őriztek, és amelyhez mindig hozzácsapták, ami tarkát ellettek a pettyesek és a megbabonázott fehérek. És a férfiú ezen a módon olyannyira dús lett, hogy az egész vidéken elterjedt híre és becsülete, mennyi juhot, szolgát és szolgálót, tevét és szamarat nevezhet magáénak. Végül is már sokkal gazdagabb volt, mint Lábán, az agyagtuskó, és mindazok a gazdálkodók, akiket ez egykor lakodalomba hívott.

(Sárközi György fordítása)

Misztótfalusi Kis Miklós Aranyas Bibliája gerincének részlete