„Javított kiadás”

A logicizmus, mint melléklet Az aritmetika alaptörvényei-hez
Visontay György
matematika, logika, halmazelmélet, antinómiák, Georg Cantor, Gottlob Frege, Bertrand Russell
szóelválasztás

Május 16-án rendhagyó képet mutatott a folyóirat látogatottsági statisztikája: sorban érkeztek a látogatók – ugyanarról az oldalról. Először hackerekre gyanakodtam, de kiderült, hogy „Wittgenstein, Wittgenstein, miért hagytál el engem?” című Esterházy-összeállításom a ludas. Nem értettem. Kétségtelenül érdekes téma az író viszonya a matematikához, de ennyire? Másnap világossá vált a megnövekedett érdeklődés oka:

Esterházy Péter 2000 januárjában fejezte be előző, életrajzi ihletésű, az apafigurát fölmagasztaló esszéregényét, a Harmonia Caelestist. Amely mellesleg csaknem 64 ezer példányban fogyott el eddig. Az író kitüntetéseket kapott érte, a művet ünnepelték itthon, sikere van Németországban és francia földön, további hét nyelvre fordítják. Most jön a csakhogy: Esterházy a könyv írásához korábban kérte a Történeti Hivatal segítségét, aztán erről el is feledkezett. De a kézirat elkészülte után jelentkezett a hivatal néhány dossziéval. Innentől kezdődik az új, izgalomtól lüktető naplókönyv, a Javított kiadás című (alcím: Melléklet a Harmonia Caelestishez). …kinyitottam a dossziét. Azonnal tudtam, miről van szó… azonnal fölismertem édesapám kézírását. És következik 280 nyomtatott oldal, sok helyen színesen szedett részekkel, amelyek ügynöki jelentésekből valók. Majd a legvégén: Édesapám: tényleg lefordíthatatlan szójáték. Hányszor leírtam ezt a szép szót a majdnem tíz év alatt!… az én összefüggésemben most írtam le (valószínűleg) utoljára életemben.

Esterházy Mátyás, az író apja 1957 és 1980 között III/III-as ügynök, besúgó volt.

Az eseményt követő napokban sokféle véleményt ismertem meg az üggyel kapcsolatban, miközben egyre jobban eluralkodott rajtam a déjà vu érzése. Ismerős történet, valami hasonlót olvastam vagy hallottam már valahol. Hát persze! Megvan! Igaz, ebben a történetben más a szereposztás: Gottlob Frege (Esterházy Péter), Georg Cantor halmazelmélete (Esterházy Mátyás), Frege Grundgesetze der Arithmetik (Az aritmetika alaptörvényei) című két kötetes műve (Harmonia Caelestis), Bertrand Russell (Történeti Hivatal) és az ún. tartalmazkodó halmazok paradoxona (Esterházy Mátyás dossziéja). Végül megjelenik a „Javított kiadás” is, a logicista iskola képében. Íme a történet, A matematika élménye című kötet segítségével (349–352. p.).

A halmazelméletet Cantor fejlesztette ki, mint a matematika új, önálló és alapvető ágát. Úgy tűnt, hogy a halmaz fogalma – különböző objektumok tetszőleges összessége – olyan egyszerű és alapvető, hogy ez lehet az az építőkocka, amelyből az egész matematika felépíthető. Még az aritmetikát is visszaminősítették (vagy felemelték) egy fundamentális struktúrából egy másodlagos struktúrává, minthogy Frege megmutatta, hogyan lehet a természetes számokat felépíteni a semmiből – vagyis az üres halmazból – a halmazelmélet műveleteinek segítségével.

Kezdetben a halmazelmélet csaknem azonosnak tűnt a logikával. A halmazelméleti tartalmazás relációja, az, hogy A részhalmaza a B-nek, mindig az implikáció logikai relációjaként írható újra: „ha A, akkor B”. Tehát úgy látszott, hogy a halmazelmélet–logika az egész matematika alapjául szolgálhat. A „logika”, ahogyan ebben az összefüggésben értjük, az érvelés alapvető törvényeit jelenti, az univerzum alapját. Az ellentmondás törvényét és a következtetés szabályait objektívnek és kétségbevonhatatlannak tartották. Annak megmutatása, hogy az egész matematika csak a logika törvényeinek alkalmazása, a platonizmust igazolta volna, minthogy a matematika többi részét magára a logikára vezette volna vissza. Ez volt a „logicista program”, amelyre Russell és Whitehead törekedett a Principia Mathematicában.

Minthogy az egész matematika visszavezethető a halmazelméletre, csak a halmazelmélet alapjainak vizsgálatára volt szükség. Azonban maga Russell fedezte fel, hogy a halmaz látszólag nyilvánvaló fogalma váratlan csapdákat rejt.

A XIX. század utolsó és a XX. század első éveiben a viták azért törtek ki, mert ellentmondásokat fedeztek fel a halmazelméletben. Egy speciális szót – „antinómiák” – használtak eufémizmusként az ellentmondások ilyen típusának megjelölésére.

A paradoxonok abból a hitből származtak, hogy minden ésszerű predikátum – minden értelmesnek látszó szóbeli leírás – alkalmas arra, hogy egy halmazt definiáljon, dolgoknak olyan halmazát, amely rendelkezik az állított tulajdonsággal.

A leghíresebb példát ilyen halmazra maga Russell fedezte fel. A Russell-paradoxon megfogalmazásához definiáljuk az „R-halmazokat”. Ezek olyan „halmazok, amelyek tartalmazzák önmagukat”. (Példa erre „az összes olyan dolog halmaza, amely leírható pontosan tizenegy magyar szóval”.) Vegyünk most egy másik M halmazt: azt a halmazt, amelynek az összes lehetséges halmaz eleme, kivéve éppen az R-halmazokat. Igaz-e, hogy M is R-halmaz? Nem. Igaz-e, hogy M nem R-halmaz? Ez sem igaz.1 Tanulság: az M definíciója, amely – bár kissé trükkös volt – ártalmatlannak tűnt, valójában önmagának ellentmondó.

  • 1Kissé részletezve: Az M halmaz definíciója szerint, tetszőleges X halmaz akkor és csak akkor eleme M-nek, ha X nem R-halmaz, azaz ha X nem eleme önmagának. Így, X helyébe M-et téve: M akkor és csak akkor eleme M-nek, ha M nem eleme önmagának. Ettől az ellentmondástól csak úgy szabadulhatunk, ha M-et nem ismerjük el halmaznak, legföljebb olyan összességnek tekintjük, amely már nem lehet eleme semmiféle összességnek. (A lektor)

Russell egy levélben elküldte e példáját Gottlob Frege-nek. Frege éppen egy monumentális munka befejezése előtt állt, amelyben az aritmetikát újraépítette a szemléletes halmazelmélet2 alapján. Frege egy utóiratot fűzött művéhez:

Tudományos szerzővel aligha történhet kellemetlenebb dolog, mint az, hogy éppen befejezett munkája egyik alapját megrendítik.

Ebbe a helyzetbe hozott engem Bertrand Russell úr egyik levele, amikor már a jelen kötet nyomtatása a végéhez közeledett. (V) alaptörvényemről van szó. Sosem titkoltam magam előtt, hogy ez nem olyan magától értetődő, mint a többi, és mint ahogy az egy logikai törvénytől megkövetelendő. Ezért is utaltam erre a gyöngeségre az első kötet előszavában, a VII. oldalon. Szívesen lemondtam volna erről az alaptörvényről, ha tudtam volna pótolni valamivel. Még most sem látom be, miként alapozható meg az aritmetika tudományosan, miképp lehet a számokat logikai tárgyakként felfogni és a vizsgálódásba bevezetni, ha nincs – legalábbis feltételesen – megengedve az áttérés egy fogalomról annak terjedelmére. Beszélhetünk-e mindig egy fogalom terjedelméről, egy osztályról? És ha nem, hogyan ismerhetők föl a kivételek? Abból, hogy egy fogalom terjedelme egybeesik egy másikéval, lehet-e mindig arra következtetni, hogy az első fogalom alá eső valamennyi tárgy a második alá is esik? Ezek a kérdések Russell úr közlése nyomán vetődnek föl.

Solatium miseris, socios habuisse malorum. [A szerencsétlen vigasza, ha társai vannak a bajban. – ’Solatium’ helyett ’solacium’ a helyes.] Ebben a vigaszban, ha ugyan vigasznak mondható, én is részesülök; mivel mindenki, aki bizonyításaiban fogalomterjedelmeket, osztályokat használ, ugyanebben a helyzetben van. Itt nem sajátlag az én megalapozási módomról van szó, hanem egyáltalán az aritmetika logikai megalapozásának lehetőségéről.

De térjünk a tárgyra! Russell úr egy ellentmondást lelt föl, melyet most ki fogunk fejteni.

Az emberek osztályáról senki sem állítaná, hogy ember. Ez esetben olyan osztállyal van dolgunk, amely nem tartozik saját magához. Ugyanis akkor mondom valamiről, hogy egy osztályhoz tartozik, ha azon fogalom alá esik, melynek terjedelme éppen az illető osztály. Vegyük szemügyre most ezt a fogalmat: olyan osztály, mely saját magához nem tartozik. Ezen fogalom terjedelme, ha egyáltalán szabad róla beszélnünk, az önmagukhoz nem tartozó osztályok osztálya. Nevezzük ezt röviden a K osztálynak. Vessük fel most a kérdést, hogy K saját magához tartozik-e! Tegyük föl először, hogy igen. Ha valami egy osztályhoz tartozik, akkor azon fogalom alá esik, melynek terjedelme az illető osztály. Ha tehát osztályunk saját magához tartozik, úgy olyan osztály, mely nem tartozik saját magához. Tehát első feltevésünk ellentmondásra vezetett. Tegyük föl másodjára, hogy K osztályunk nem tartozik saját magához; akkor viszont azon fogalom alá esik, melynek terjedelme saját maga, tehát saját magához tartozik. Itt is újra ellentmondást találtunk!

  • 2A „szemléletes halmazelmélet” kitétel itt a Cantor-féle halmazelméletre akar utalni, ám a „szemléletes” jelző némileg megtévesztő. A köznapi gondolkodás számára a halmazfogalom addig szemléletes, amíg az elismert individuális objektumok jól elkülönítettek a halmazoktól, amelyek elemei ezek az elismert individuumok lehetnek. A cantori elmélet azonban a halmazokat is individuumoknak tekinti, amelyek maguk is elemei lehetnek további halmazoknak. Az így értelmezett halmazfogalom tehát permanens módon új és új individuumokat teremt, mértéktelenül és ellenőrizhetetlenül kitágítva és túlnépesítve kiinduló tárgyalási univerzumunkat. (Nem is csoda, hogy ellentmondásokhoz vezetett.) Csak a „szemléletes” szó valamely túlfeszített értelmében lehet ezt az elméletet szemléletesnek nevezni. Ha viszont a „szemléletes” jelző arra óhajt utalni, hogy Cantor nem vezetett be axiómákat, akkor sem találó, mert Frege éppen egy axiomatizált logikai rendszert épített föl, amelyben ugyancsak fölléptek a cantori elmélet egyes ellentmondásai. Ez azért történt így, mert Frege logikai axiómái magukban foglalnak egy olyan cantori föltevést, amelyet maga Cantor nem fogalmazott meg axióma formájában (bár megtehette volna). A paradoxonokért tehát nem a „szemléletes halmazelmélet” a felelős, hanem a fölhasznált eszmék, föltevések összessége, legyenek ezek akár implicitek, ki nem mondottak (mint Cantornál), akár explicitek, axiómák formájában megfogalmazottak (mint Frege-nél). (A lektor)

A Russell-paradoxon és más antinómiák arra mutattak rá, hogy az intuitív logika semmivel sem biztonságosabb, mint a klasszikus matematika3, valójában még kockázatosabb, minthogy ellentmondásokhoz vezethet, ami pedig sosem történt meg az aritmetikában vagy a geometriában.

  • 3Mint az előző lábjegyzetben, itt is jeleznünk kell, hogy semmiféle „intuitív” logikának nem volt itt szerepe. Frege igen szabatos axiomatizált logikai rendszerben dolgozott, ám bevezetett egy olyan föltevést (axiómát), amelyről eleve elismerte, hogy kétségbe vonható – és ezzel ténylegesen átlépte a tiszta logika kereteit. Ez a föltevés gyakorlatilag a Cantor-féle korlátozatlan halmazfogalom elismerését jelentette, s ezért vezetett ellentmondásra. Mellesleg: az infinitezimálisok korábbi elméletében is lehetett ellentmondásokat produkálni, s így betű szerint nem áll az, hogy a korábbi matematikában soha nem jutottak logikai ellentmondásokra. (A lektor)

Ez volt az „alapok válsága”, a központi probléma e század első felének nevezetes vitáiban. Három fő ellenszert javasoltak.

A „logicizmus” programja, Frege és Russell iskolája4 a halmazelmélet olyan átfogalmazására törekedett, amely el tudja kerülni a Rusell-paradoxont, és ily módon meg tudja menteni azt a tervet, amely a matematikát a logikára mint alapra kívánja építeni.

  • 4Frege csak az aritmetikát tartotta a logika részének; a geometriát – Kanttal egyetértésben-szintetikus apriori tudománynak minősítette. Russell a geometriát azzal intézte el, hogy elegendő a geometria aritmetikai modelljével foglalkozni (ezt a megoldást a koordinátageometria teszi lehetővé). (A lektor)

E program megvalósítására irányuló munka nagy szerepet játszott a logika fejlődésében. Az eredeti szándék megvalósítása azonban nem sikerült. Mire a halmazelméletet összefoltozták, hogy elkerüljék a paradoxonokat, addigra olyan bonyolult struktúra lett belőle, amelyet aligha lehetett azonosítani a filozófiai értelemben vett logikával, amely „a helyes érvelés szabályai”-t jelentette. Ily módon tarthatatlanná vált ahhoz ragaszkodni, hogy a matematika nem más, mint logika, hogy a matematika egy óriási nagy tautológia. Russell így ír:

Úgy vágytam a bizonyosságra, ahogyan az emberek vágynak a vallásos hitre. Úgy gondoltam, hogy a bizonyosság sokkal inkább fellelhető a matematikában, mint bárhol másutt, azonban rájöttem, hogy sok matematikai bizonyítás, amelyek elfogadását a tanárok elvárták tőlem, tele volt tévkövetkeztetésekkel. Rájöttem, hogy ha a bizonyosság valóban felfedezhető a matematikában, akkor ez csak a matematika egy új területén lehetséges, amelynek szilárdabbak az alapjai, mint azoknak, amelyeket mind ez idáig szilárdnak hittek. De ahogyan a munka előrehaladt, állandóan az elefánt és a teknős tanmeséje jutott eszembe. Amint megalkottam az elefántot, amelyre a matematika világa támaszkodhat, az elefánt támolyogni kezdett, és egy teknőst kellett teremteni, hogy megtartsa az elefántot, nehogy összerogyjon. Azonban a teknős sem állt szilárdabb lábakon, mint az elefánt, és így húsz évi fáradságos, kemény munka után arra a végkövetkeztetésre jutottam, hogy már semmit sem tehetek annak érdekében, hogy a matematikai tudás kétségbevonhatatlanná váljon.

Bertrand Russell: Portraits from Memory

Egyes vélekedések szerint Esterházy új kötete: fikció, azonban egyet bizton állíthatok: a logicizmus nem az.

Georg Cantor (1845–1918)
Gottlob Frege (1848–1925)
Bertrand Russell (1872–1970)
Források
  • Gottlob Frege: Logika, szemantika, matematika. Válogatott tanulmányok. Szerkesztette, a kommentárokat, a bevezetést és az utóhangot írta Ruzsa Imre. Fordította Máté András. Lektorálta Madarászné Zsigmond Anna. Budapest: Gondolat Könyvkiadó, 1980. 227–229, 242. p. (Válogatott tanulmányok.)
  • P. J. Davis–R. Hersh: A matematika élménye. A bevezetést írta Gian-Carlo Rota. Fordította Székely J. Gábor, lektorálta Ruzsa Imre. Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1984. 349–352. p. [The Mathematical Experience. Boston: Birkhäuser, 1981.]