Transzcendentális filozófia és matematika Kant gondolkodásában

Komorjai László
matematika, Immanuel Kant
szóelválasztás

I. Kant matematikafilozófiájának újraértékelése

A matematika tételeinek megingathatatlan, a priori bizonyossága az újkorban mindig is kihívást jelentett a filozófia számára. Valóban megkérdőjelezhetetlen ez a bizonyosság? Mi kölcsönöz ennek a tudománynak ilyen kiemelt helyet a többi tudományok között? Hol találhatók a matematikai bizonyosság gyökerei?

Másrészt ezek a tételek nem csupán megingathatatlanul bizonyosak, hanem egyszersmind tartalmas felismerések is. Hogyan képes az elme a tapasztalat közvetlen segítségül hívása nélkül, mintegy a saját anyagából, valami gyökeresen újat „teremteni”? Hogyan vagyunk képesek tiszta felismerésekhez jutni; hogyan működik a tiszta invenció? Kant egyetlen kérdésbe sűríti ezeket a problémákat: hogyan lehetségesek a priori szintetikus matematikai tételek? Egyáltalában mely tudomány hivatott ezeket a kérdéseket megválaszolni? Maga a matematika? Esetleg a logika vagy netán a filozófia?

A XX. század elején hasonló kérdéseket vizsgált több, egymástól természetesen nem teljesen független matematikai iskola vagy felfogás. Azok a gondolkodók azonban, akik meghatározták ezt a folyamatot – Frege, Russell, Hilbert, Brouwer – részben vagy egészében negatívan viszonyultak Kantnak a matematika alapjait érintő gondolataihoz. Az általában Frege és Russell nevével fémjelzett logicizmus elvetette Kantnak az aritmetikáról és logikáról szóló elméletét és a tiszta szemlélet kanti fogalmát; de még Brouwer is, aki alapelvként használja, hogy az idő a priori szemlélet, kritikailag viszonyul a tér kanti elméletéhez. Némely pozitivista irányzat pedig egyenesen Kanttal szembeállítva határozta meg programját.1 Ezen törekvések révén Kant matematikafilozófiáját századunkban gyakran a kritikai elmélet leggyöngébb pontjai közé sorolták.

Éppen ezért meglepő, hogy a helyzet az 1960-as évek közepétől gyökeresen megváltozott, s Kant gondolatai ismét heves, elsősorban filozófiai jellegű viták középpontjába kerültek. Ennek csak részben oka a logicista program kifulladása, amely a matematika törvényeit – Kanttal ellentétben – megpróbálta teljes mértékben logikai törvényekre visszavezetni. A program egészével kapcsolatos problémák ugyanis már jóval korábban nyilvánvalóvá váltak, míg egy szűkebb értelemben vett logicizmus fönntartása ma sem lehetetlen.2

  • 1Lásd ehhez C. J. Posy bevezetését és előszavát a Kant’s Philosophy of Mathematics című kötethez. A pozitivista álláspont ismertetéséhez lásd még J. Hintikka: Kant and the tradition of analisis. Logic, Language-Games and Information, Ch. IX.
  • 2Ehhez irodalmat és a logicizmus történtét lásd F. A. Rodriguez-Consuegre: Mathematical Logic and Logicism from Peano to Quine. Az aritmetikát illetően napjainkban egyfajta neologicizmust képvisel C. Wright, bár nézeteit sokan – így például G. Boolos – hevesen kritizálják.

Russell nyomán a Kanttal kapcsolatos ellenvetések jellegzetes alakot öltöttek és talán sokkal inkább az vezetett az érdeklődés fölélénküléséhez, hogy maga a Kantról ily módon kialakult kép bizonyult elégtelennek. Russell megfogalmazásában

Kant, megfigyelve, hogy korának geométerei nem képesek tételeiket alakzatok segítségül hívása nélkül bizonyítani, a matematikai érvelésnek egy olyan elméletét fejlesztette ki, amely szerint a levezetés sohasem szigorúan logikai, hanem mindig valami olyasmire támaszkodik, amit ősszemléletnek hívnak.

Russell 145. p.

Russell azt veti Kant szemére, hogy a szintetikus, szemléletre alapozott elemek bevonása a geometriai érvelésbe egy geometriai „képzelőerőre” való hivatkozást jelentene, ami azonban nem vehető föl a szigorúan axiomatikus és deduktív tudományok által alkalmazott eszközök közé. Valójában azonban a kanti szemlélet jelentése nem esik egybe a hétköznapi „szemléletes” vagy „intuitív” szavak jelentésével. A viták egyik fő pontja tehát szükségszerűen éppen a szemlélet értelmezése volt. Hintikka ezt a fogalmat egy individuum, vagyis egy egyedi objektum reprezentánsaként próbálja értelmezni, amelyet a logikában szinguláris terminusok fejeznek ki.3

  • 3Hintikka a szemléletnek Kantnál megtalálható többi kritériumát visszavezethetőnek véli a szingularitás kritériumára. Így a vita egyik fő kérdése, hogy vajon a kanti szemlélet fogalmának megragadásához elégséges kritérium-e, hogy a szemlélet egy individuális tárgy megjelenítője, vagy pedig szükséges még legalább az a kritérium is, hogy tárgyát közvetlenül jelenítse meg. A vitában Charles Parsons többek között az utóbbi véleményt szögezi szembe Hintikka elméletével. Manley Thompson szerint ebben a kérdésben Hintikka álláspontja tartható, ha feladjuk elméletének azt a további pontját, mely szerint a szemlélet kanti fogalma eredetileg független az érzékiségtől, és szinguláris terminusok tisztán nyelvileg reprezentálják. (Parsons: Kant’s Philosophy…; Thompson: Singular Terms…; Hintikka Kant’s transcendental method…)

Hintikka értelmezése révén azonban, azt hiszem, egy másik ponton is módosíthatóvá válik a kanti elméletről a logicizmus révén kialakított kép. Hogy közelebb juthassunk ennek megértéséhez, egy újabb megkülönböztetést kell tennünk a Russell nyomán megfogalmazott ellenvetésen belül.

Ehhez az eddig figyelembe vett ellenvetést két részre kell bontanunk.

1. Kant szerint a matematika bizonyos tételeinek belátásához szükséges a szemléletre támaszkodnunk, ez a nézet azonban teljesen idegen a matematika természetétől.

Láttuk, hogyan érti félre Kant szemléletfogalmát ez az értelmezés, s a Hintikka által javasolt interpretáció nyomán még a logika bizonyos részei is szintetikusnak bizonyulnak.

2. Még ha jogosult lenne is Kantnak az 1. pontban megfogalmazott gondolata, ez a matematika tételeire nézve akkor sem jelentene semmit, mert arról szól, amire a bizonyítás során vagyunk kénytelenek támaszkodni. Márpedig teljesen más kérdés, hogy egy tételt hogyan bizonyítunk, illetve hogy a tétel igazsága miben áll. Ugyanaz a tétel bizonyítható több különféle módon, a bizonyítás lehet akár rossz is, ez sem változtat a tétel igazságán, a tétel igaz azelőtt is, hogy bebizonyították volna, vagy akár csak gondoltak volna rá.

Egyszóval, a matematika tételei e nézet szerint egyszerűen leválaszthatók a bizonyításokról, és azokkal szemben tértől, időtől és minden ehhez kapcsolódó „szemlélettől” teljesen független igazsággal bírnak. Innen ered a logikai platonizmus elnevezés, melyet gyakran társítanak a logicizmus képviselőinek nevéhez.

Ezzel az ellenvetéssel kapcsolatban az nem vonható kétségbe, hogy Kant számára a szintetikus lépés a bizonyítás, a geometriai konstrukciók, illetve például egy szám szintézise során adódik. Parsons a vita során némileg a logicista eredmények szellemében próbál közelíteni Kant álláspontjához. Nézete szerint például a szám időtől függetlenül megadható halmazelméleti konstrukció, így az időben lezajló szukcesszió, amelyet Kant ebben az esetben hangsúlyoz, nem annyiban érdekes, amennyiben az valamilyen értelemben is szükséges lenne a szám fogalmához, hanem amennyiben egy szukcesszív struktúra – mondjuk pontok egymásutánja – elégséges, vagyis izomorf modellként szolgálhat a fönti fogalomhoz. Az időtől független absztrakt fogalmiság, illetve ezzel szemben a szemlélet szerepének a konstrukció folyamatában való hangsúlyozása során kialakult kettősség, ahogy Parsons maga is megfogalmazza, jól megmutatkozik egyrészt a logicizmus, illetve egyfajta halmazelméleti realizmus, másrészt a különböző konstruktivista iskolák törekvéseinek kettősségében.4 (Arithmetica and the Categories 152–153) Hintikka elmélete Kanttal összhangban egyértelműen a bizonyítás bizonyos lépéseiben próbálja a szintetikus jelleget fölmutatni. Ez összhangban van annak a matematikai irányzatnak a törekvéseivel is, amely intuicionizmus néven került be a köztudatba, s amelyhez Hintikka a vita során közvetett módon maga is kapcsolódik. Mielőtt megpróbálnánk az intuicionizmus és az ún. formalista iskola idevágó elképzeléseit vázolni, foglaljuk össze és röviden előlegezzük a második ellenvetéssel kapcsolatos gondolatokat.

  • 4Ha jól értem, rokonítható ezzel az a megkülönböztetés, amelyet H. Putnam igyekszik megvonni a Mathematics without foundation című tanulmányában. A „matematika mint halmazelmélet” fölfogás szerint a matematika sajátos objektumokkal foglalkozik, míg a „matematika mint modális logika” fölfogás szerint a matematikai állításokban axiómák és tételek közti szükségszerű összefüggés fejeződik ki. A megkülönböztetés a dolgozat folyamán később is fontos lesz.

Kant tehát valóban elsősorban bizonyításokkal, konstruktív módszerekkel foglalkozik, és nem a tételekkel vagy a számokkal „magukkal”. A kérdés tehát ezzel kapcsolatban sokkal inkább az, hogy mennyire választhatók el a tételek a bizonyításoktól, illetve a matematikai konstrukciók azoktól a konstrukciós módszerektől, amelyekkel eljutunk hozzájuk. Tekinthetők-e tehát mindezek „ideális” objektumoknak?

Az intuicionizmus egyik kiinduló gondolata éppen az, hogy minden ilyen lépést „metafizikának” kell minősíteni, és szigorúan ki kell tiltani a matematika területéről. A Hilbert neve által fémjelzett ún. formalista irányzat is köthető bizonyos értelemben ezekhez a gondolatokhoz, bár – mint majd látni fogjuk – sok lényeges ponton el is tér az intuicionizmus törekvéseitől, de egy tágabb terminussal élve a föntiek miatt mindkét irányzat a konstruktivizmus fogalma alá rendelhető.5 Ezen irányzatok (beleértve akár a logicizmust is) eredményeképpen alakultak ki a matematikának olyan ágai és problémái, mint például a bizonyításelmélet, az ún. kiszámíthatóság vagy az eldönthetőség problémái, amelyek éppen a bizonyítás, illetve az annak keretéül szolgáló axiómarendszerek tulajdonságait vizsgálják. Hintikkának az a priori szintetikus tételekről szóló elmélete – az eddig elmondottakkal összhangban – éppen az eldönthetőség problémájával kapcsolatos egyik alapvető tételre, Church tételére épül. Úgy tűnik tehát, a bizonyítás és a matematikai tétel fogalmának éles elválasztása elhamarkodott volna.

  • 5Egy ilyen értelemben vett összefoglalást illetve egybevetést tesz Michael Detlefsen a Constructivism című írásában.

A legszorosabb kapcsolatot egy matematikai konstruktum és az ahhoz vezető konstrukciós lépések között az intuicionizmus elképzelései mutatják. Brouwer szerint a matematikus számára egyedül a mód számít, ahogyan egy vizsgálódás tárgya adódik, és minden, ami ezen túl van, egyenesen száműzendő a matematika köréből. Ez a mód egyrészt a bizonyítás konstruktív lépéseit jelenti, ez azonban Brouwer számára csak kifejezője a matematikai gondolkodás elmebeli tevékenységének. Ennek megfelelően a matematika tárgya éppen ez az elmebeli tevékenység, s így nézetei élesen szembeállíthatók a logicista elképzelésekkel. A megelőző időszakot jellemezve ezt írja:

Az a meggyőződés uralkodott, hogy egy állítás vagy igaz, vagy hamis, függetlenül attól, hogy ezt tudjuk-e vagy sem… Csak miután az intuicionizmus a matematikát egy autonóm, benső, konstruktív mentális aktivitásként ismerte föl, amely bár hasznos nyelvi kifejeződést nyerhet és alkalmazható egy külső világra, mindazonáltal sem eredetében, sem módszerének lényegében semmi dolga sem a nyelvvel, sem egy külső világgal. […] Ezután tehát egy matematikai állítás igazának vagy hamisságának a kritériuma a matematikai aktivitáshoz magához kötődött, mind a logikára, mind egy föltételezett mindentudó lényre való hivatkozást elkerülve.

The Effect… 65. p.

Szerinte a logika törvényei legföljebb a matematikai gondolkodás nyelvi reprezentációjának szabályszerűségeit fejezhetik ki, nem pedig a matematikában szerepet játszó mentális aktusok törvényszerűségeit. A matematikai gondolkodás ezért nem követhet logikai törvényeket, hanem saját törvényekkel bíró autonóm funkció. Amennyiben logikai törvényekben fejeződik ki, sohasem lehet teljesen kimerített. Brouwer tehát sokkal messzebb megy, mint más intuicionista gondolkodók, s bizonyos értelemben az egész logikával szemben támaszt ellenvetéseket.6 Ami a matematikai gondolkodást illeti, itt a számára lényeges kiindulópont egy alapintuíció, amely nem más, mint a kanti időbeli szukcesszió tudata. Ahogy szerinte a kanti tanítás a tér a priori voltáról a nemeuklideszi geometriák létrejöttével végleg megrendült, az idő a priori jellege éppen annyira vált az intuicionizmus kibontakozása révén alapvető jelentőségűvé.

Ez a neo-intuicionizmus azt a tényt, hogy az élet kvalitatívan különböző momentumokra széthulló darabjai csak oly módon egyesíthetők újra, ha időben elválasztottak maradnak, az emberi élet alapjelenségeként kezeli, s ebből – emocionális tartalmaitól elvonatkoztatva – a matematikai gondolkodás alapjelenségéhez […] jut el.

Intuitionism and Formalism, 69. p.
  • 6Ennek megfelelően az ún. intuicionista ítéletkalkulust Brouwer egyik követője, A. Heyting dolgozta csak ki, megpróbálva formalizált elméletben kifejteni a Brouwer által megfogalmazott törvényeket. Így a formalizmus későbbi térhódításával az intuicionista módszer egy olyan formális–axiomatikus fölépítést alkalmazó rendszerré válhatott, amely az intuicionista ítéletkalkulust használja a klasszikus helyett. Lásd Ruzsa Imre: Matematika a II, 341. p. és P. Benacerraf–H. Putnam (eds.): Philosophy of Mathematics. Introduction. 7. p.

Brouwer ebből az alapintuícióból származtatja a természetes számok megszámlálhatóan végtelen sokaságát. Ennek a kiindulópontnak köszönhető az a különbség, amelyet az intuicionizmus az aktuális és a potenciális végtelen matematikában való elfogadhatósága között von meg. E nézet szerint itt csak az ún. potenciálisan végtelen halmazok megengedettek. Ez azt jelenti, hogy pl. a természetes számok halmaza nem mint lezárt kész egység, hanem az alapintuíciónak megfelelően csak mint szukcesszíve „keletkezőben levő” potencialitás jöhet számításba. Ez azért lényeges, mert ez a „keletkezésben-levés” egyben egy lépésenként megadható konstrukciós eljárást is jelent, amely által a halmaz bármely eleme megadható. A végtelen halmazok esetén tehát egyetlen elv, definíció vagy állítás sem lesz korlátlanul érvényes, ha nincs tekintettel arra, hogy van-e módszerünk a benne fölhasznált elemek megkonstruálására. (Példaként definiáljuk a k számot a következőképpen: legyen k a legnagyobb olyan prímszám, amelyre k–2 is prímszám – ha létezik ilyen –; ellenkező esetben pedig legyen k = 1. Mivel k meghatározására nincs eljárás, mert nem tudjuk, hogy az ún. ikerprímek halmaza véges vagy végtelen, ezért az intuicionista visszautasítja k definícióját.7 Ebből az is látható, hogy pl. a kizárt harmadik elve sem érvényesül korlátlanul, hiszen ezt alkalmazva vagy létezik legnagyobb ikerprím, vagy nem, és k mindkét esetben definiált. Ha tehát elutasítjuk a definíciót, akkor elutasítjuk a kizárt harmadik elvének érvényesülését is ebben az esetben. A problémát az intuicionizmus számára az okozza, hogy a definíció során a természetes számok vagy az ikerprímek halmazára mint aktuálisan kész, zárt egészre tekintettünk.) Tehát végtelenről is csak mint az időbeli szukcesszió alapintuíciójának alávetett jelenségről lehet szó.

  • 7A példát lásd A. Heyting: Intuitionism, 2. p.

A végtelen kiküszöbölésének célkitűzését osztja a Hilbert által megfogalmazott formalista program is, de a két tábornak ezzel mások a szándékai a matematikát illetően. A formalizmus szerint pl. sokkal inkább a végtelen struktúrákat leíró kijelentéshalmazok konzisztenciája, s nem annyira a struktúrák jól meghatározott volta az, ami kétséges lehet, és amit vizsgálat alá kell vonni. Ezt a föladatot a matematikának egy, csak finit (véges) eljárásokat alkalmazó „magja” látná el. Ahhoz, hogy ez megtörténhessen, természetesen a matematika minden részét szigorúan formalizált, axiomatikus alakra kell hozni. A formalizmus tehát nem kívánja eleve eltávolítani a klasszikus matematika aktuális végtelenre hivatkozó részeit, de szigorú és finit módszereket használó ellenőrzésnek akarja alávetni őket. Hilbert programja nemcsak az axiómarendszerek konzisztenciájának, hanem pl. azok teljességének vagy függetlenségének vizsgálatát is célul tűzte ki, és fölvetett olyan kérdéseket is, amelyek matematikai problémák algoritmussal való eldönthetőségével, s így kiszámíthatósági problémákkal is kapcsolatba hozhatók.8

  • 8Lásd ehhez Stewart Shapiro: Metamathematics and computability. A jobb érthetőség kedvéért: egy természetes számokon értelmezett f függvény kiszámítható, ha van olyan algoritmus, amely az f értelmezési tartományába eső tetszőleges m számhoz mint inputhoz outputként előállítja f(m)-et. A természetes számok strukturálisan megfeleltethetők karakterláncoknak. Ennek megfelelően egy (A abc fölötti) karakterláncokból álló K halmazt akkor nevezünk eldönthetőnek, ha van olyan algoritmus, amely tetszőleges (A elemeiből alkotott) karakterláncról eldönti, hogy eleme-e K-nak, vagy nem („igen”-t vagy „nem”-et adva outputként).

Ha az intuicionizmus – alapeszméi nyomán – közvetlenül épített Kant elgondolásaira, akkor a formalizmus esetében azt kell mondanunk, hogy sokkal inkább a program kibontakozás nyomán, utólag kapcsolható témánkhoz. Ez elsősorban olyan tételek kapcsán tehető meg, amelyek értelmezhetők úgy, hogy bizonyos határokat vonnak meg a kutatás számára. Az egyik ilyen tétel Gödel 1931-es eredménye, amely azt mutatja ki, hogy a Principia Mathematicában kifejtett axiómarendszert és annak tetszőleges konzisztens bővítése nem teljesíti Hilbert teljességre vonatkozó kritériumát, a kérdéses nyelvben ugyanis mindig megfogalmazható egy olyan állítás, amely az adott rendszerben nem bizonyítható és nem is cáfolható. Továbbá a tételnek azt a következményét, hogy a rendszer konzisztenciája nem bizonyítható a rendszeren belül, gyakran értelmezik úgy, mint ami a Hilbert-program kivitelezhetetlenségét mutatja.9 Egy másik fontos eredmény Church már idézett tétele, amelynek értelmében pl. nem létezik algoritmus az ún. elsőrendű kalkulusban, sem a következményreláció, sem az érvényes állítások halmazának eldöntésére. Mint már utaltam rá, Hintikka éppen az utóbbi tételre építi Kant-interpretációját.

  • 9Lásd S. Shapiro, i. m. 648–649. p.

Azon tényezők föltérképezéséhez, amelyek az utóbbi eredmények révén járultak hozzá Kant matematikafilozófiája iránti érdeklődés fölélénküléséhez, érdemes röviden kitérni arra, hogy ezek a tételek milyen értelemben jelentenek „határvonalat” a matematika alapjaira irányuló kutatás számára. Először is azt kell észrevennünk, hogy erről a korlátozásról csak igen megszorított vagy relatív értelemben beszélhetünk egyáltalán. Hogy egy tétel és a tagadása egy adott rendszertől független, természetesen nem jelenti azt, hogy pl. a rendszeren kívüli eszközökkel sem bizonyítható. Ebből legföljebb annyit láthatunk, hogy nincs „totális” axiómarendszer, amely teljes lenne az aritmetikára nézve is. (A szóban forgó rendszerek nem is bővíthetők teljessé.) Church tétele pedig az algoritmus fogalmára nézve relatív; csupán azt mondja ki, hogy a fönti tételek az algoritmus bizonyos (bár meglehetősen tág10 fogalma mellett eldönthetetlenek. (Emellett természetesen lehetséges, hogy minden problémához van algoritmus, amely eldönti, legföljebb maga a megfelelő algoritmus kiválasztása nem történhet mechanikusan, s ez a probléma ugyanígy tovább iterálható.) Egyik esetben sincs szó tehát a racionalitás, a megismerés, az axiomatizálhatóság vagy formális kutatás „abszolút” értelemben vett lehatárolásáról. Ezeket az eredményeket illetően sokkal inkább arról lehet szó, hogy az „abszolút totális rendszer” fogalma – ha egyáltalán értelmezhető – ellentmondásos, Church tételével kapcsolatban pedig, hogy a matematika tételeire vonatkozóan nem lehetséges egyetlen, mindent eldöntő mechanikus döntési eljárás, amely meghatározná a tételek igazságértékét. A Kant körül kialakult újabb viták során a matematika egyes tételeinek szintetikus jellege az egyik értelmezés szerint éppen ezzel az utóbb említett ténnyel hozható összefüggésbe.

  • 10A Church-tételnek az ún. Markov-algoritmusok fogalmára épített paralogonját lásd Ruzsa Imre Logikai szintaxis és szemantika. I. 131. A kiszámíthatóság fogalmát az algoritmus fogalmának eltérő definíciója révén különféleképpen lehet meghatározni, de ezek utólag egymással ekvivalensnek bizonyultak.

Végső konklúzióként azt mondhatjuk, hogy, Kant matematikafilozófiai elképzeléseinek nyomon követésén túl, ily módon talán egy újabb perspektívából láthatjuk azt a kapcsolatot is, amely a kanti kritikai rendszerben az a priori szintetikus tételek és a totalitás-fogalmak ellentmondásos volta között húzódik.

II. Kant és az a priori szintetikus tételek problémája

Mint a fönti, jórészt történeti vizsgálódások alapján láttuk, Kant matematikafölfogásának leginkább vitatható pontja, hogy vajon a szemlélet milyen szerepet játszik a matematikai tételek bizonyításában. Amint láthattuk, Kant számára éppen a szemléletnek a bizonyításokban betöltött szerepe biztosította annak lehetőségét, hogy szintetikusnak fogja föl ezeket a tételeket, s hogy ez a fölfogás számos modern törekvéssel összhangban áll. Ez tehát indokolttá teszi, hogy most már megvizsgáljuk a kérdést: mit is ért Kant azon, hogy a matematika tételei a priori szintetikus tételek.

Talán már első pillantásra nyilvánvaló, hogy a címben szereplő két fogalmat is elsősorban az a priori szintetikus tételek köré csoportosuló problémák kapcsolják össze Kant filozófiájában. Nem szükséges hosszasan fejtegetni, hogy az a priori szintetikus tételek létének gondolata mennyire fontos szerepet játszott a transzcendentális fordulathoz vezető út fölfedezésében. Elég pusztán utalni a kritika egyik alapkérdésére, amely éppen az ilyen ítéletek lehetőségére irányul: hogyan lehetségesek a priori szintetikus ítéletek?11

Talán azt sem kell részletesebben bizonygatni, hogy az a terület, ahol Kant először került szembe ilyen ítéletekkel, a matematika volt. Az út, amelyen Kant ehhez a kapcsolathoz eljutott, röviden már A tiszta ész kritikájának néhány passzusából is rekonstruálható. Itt ugyanis megvilágítja, hogy mivel ébresztette föl őt Hume a „dogmatikus szendergéseiből”. Megtudhatjuk, hogy Hume, bár elméletének kidolgozása során „igen következetesen járt el”, mégsem vetett számot gondolatainak azzal a következményével, miszerint a matematika analitikus tudomány lenne. Márpedig – ahogyan Kant fogalmaz – ebben a tudományban „bizonyára foglaltatnak a priori szintetikus tételek”.12 (38–39, 100–101, B20, A94/B127)

Ebből egyelőre csak egy formális kapcsolat adódik a címben szereplő két fogalom között, s ezt a kapcsolatot az a priori szintetikus tételek teremtik meg.

A dolgozat további részeiben szeretném az a priori szintetikus ítéletek matematikára vonatkoztatott problémáját részletesebben megvizsgálni, s röviden megmutatni, hogy Kant matematikáról alkotott képe alapvetően meghatározza azt a módot, ahogyan a transzcendentális filozófia egésze kiépül. Eközben különösen A tiszta ész kritikájának első részére, az Esztétikára és a Logikára, valamint a Módszertan idevonatkozó részeire szeretnék támaszkodni.

  • 11 H. E. Allison a Kant’s Transcendental Idealism című könyvében utal arra, hogy már a Marcus Herzhez 1772-ben írott levél által fölvetett problémák is kapcsolatban állnak az a priori szintetikus tételek kérdésével. Lásd 78. p. és a hozzá kapcsolódó jegyzet, valamint Kant 1772. február 21-én írt levele Marcus Herzhez, lásd Tengelyi László: Kant, 240–247. p.
  • 12A magyar kiadás oldalszámai után az első illetve a második kiadás oldalszámait a szokásos módon A-val és B-vel jelölve adom meg.

Az általánosan elfogadott nézet szerint Kantnál a szintetikus tulajdonság azért állítható például a geometria tételeiről, mert az általuk nyújtott ismeret fogalmak szerkesztéséből való. A filozófiai ismer et ezzel szemben pusztán fogalmakból származik. Egy fogalom szerkesztéséhez viszont megkívántatik egy nem-empirikus szemlélet (445. p., A713/741), és éppen ez teszi lehetővé, hogy Kant szintetikusnak vegye ezeket az ismereteket. Ezzel a vizsgálat középpontjába a konstrukció (szerkesztés) került. Amennyiben ugyanis fogalmi konstrukcióról van szó, éppen ez teszi lehetővé a szóban forgó tétel általános érvényűségét, s ez az a priori vonás jele, amennyiben azonban szemlélet szükséges hozzá, a szintetikus jelleget is ez biztosítja. Mivel az elemzések általában azokhoz a részekhez kapcsolódtak, ahol Kant az előbb említett fogalmi konstrukciót tárgyalja, ezért egyszerre vettek figyelembe olyan vonásokat, amelyek a tételek a priori, illetve szintetikus jellegére vonatkoznak. Ennek ellenére a figyelem sokkal inkább az utóbbi kérdés felé irányult, valószínűleg azért, mert a tételek a priori tulajdonsága egyáltalán nem látszik kérdésesnek, a szintetikus jelleg viszont annál inkább. Bár a tételek a priori jellege valóban nem kérdéses, annál inkább megvizsgálandó azonban, hogy min múlik ez a tulajdonság. (Vagy, Kanttal szólva: mi teszi azt lehetővé?) Ha ezt nem tesszük meg, akkor bizonyos problémák föl sem merülhetnek. Ilyen például az a kérdés, hogy egy a priori szintetikus tétel ugyanazon okok miatt vagy ugyanolyan módon általános érvényű és szükségszerű-e, mint egy analitikus tétel.

Ezért a következőkben szeretném e két vonást elkülönítve megvizsgálni, szem előtt tartva azt is, hogy mennyire jogosult ez a bánásmód. Először tehát Kant matematikafilozófiájának néhány kérdésével foglalkozom, és ezután röviden rátérek a probléma transzcendentális filozófiai vonatkozásainak egy lehetséges aspektusára.

A. Az a priori fogalma

Nézzük meg röviden, mit ért Kant az a priori a posteriori közismert megkülönböztetések alatt.

Először azt a meghatározást adja, hogy az a priori tételek alatt

a következőkben nem azokat az ismereteket fogjuk érteni, amelyek ettől vagy attól a tapasztalattól, hanem amelyek egyáltalán minden tapasztalattól függetlenek.

Majd röviden ezután két „ismertetőjelet” vezet be, amelyekről belátja, hogy külön-külön legalábbis elégséges föltételei egy ítélet a priori voltának. Ez a két jel nem más, mint a szükségszerűség és a szigorú általános érvényűség. Megjegyzi, hogy bár e két ismertetőjel „válhatatlanul egymáshoz tartozik”, mégis néha az egyiket, néha a másikat tudjuk egy tétel esetében belátni, így tanácsos a két kritériummal elkülönítve élni (29–30. p., B3–4.). Úgy tűnik, a két tulajdonság között legalábbis intenzionális különbség van. Ha ugyanaz a sajátosság felelős is mindkét ismertetőjegyért, s ha ezért azok válhatatlanul összetartoznak is, mégis talán más módon vesszük tekintetbe ezt a sajátosságot az egyik, illetve a másik tulajdonság állításakor. Ez számunkra is lehetővé teszi, hogy a matematikai ítéletek esetében elkülönítve tárgyaljuk azokat a jellemvonásokat, amelyek ezekért a tulajdonságokért felelősek. Kezdjük elsőként az általános érvényűség vizsgálatával.

1. Az általános érvényűség problémája

Idetartozó fejtegetéseit Kant nagyrészt a Módszertan első nagy egységében, a Tiszta ész diszciplínája dogmatikus használatában című részben végzi. Az egyik sarkalatos hely, amely kiindulópontként szolgálhat vizsgálódásainkhoz, így hangzik:

A filozófiai ismeret észbeli ismeret, fogalmakból, a matematikai a fogalmak szerkesztéséből. Fogalmat pedig szerkeszteni annyit tesz, mint neki megfelelő szemléletet a priori feltüntetni. Egy fogalom szerkesztéséhez tehát megkívántatik egy nem-empirikus szemlélet, mely eszerint mint szemlélet mindig egyes tárgy, mindazáltal azonban mint egy fogalom (általános képzet) szerkesztése minden lehetséges szemlélet számára, mely ugyanazon fogalom alá tartozik, egyetemes érvényt kell hogy a képzetben kifejezzen.

453–454. p., A713/B741

Hogy megértsük, miről lehet szó, amikor Kant a fogalmak szerkesztését hangsúlyozza, az idézett részt követő szakasszal látszólag összhangban a következő képet kell szem előtt tartanunk: amikor egy geometriai bizonyítást végzünk – például egy háromszög esetében –, akkor az előttünk lévő papíron egyetlen konkrét háromszög segítségével, ezen az egyedi eseten végrehajtott bizonyítási lépések révén, bizonyítjuk a tételünket. Ez az egyedi alak és az egyszeri lépések szolgáltatnák tehát az „egyes tárgyat”, amelyről a fönti idézetben Kant beszél. Hogyan lehet azonban az ezen az egyedi eseten elvégzett bizonyítás általános érvényűen igaz minden háromszögre? Hogyan lesz tehát a tételünk általános érvényű, s így – mint láttuk – a priori? Erre a kérdésre ad választ a fönti idézet másik fele, s a válasz látszólag így hangzik: bár a bizonyítás valóban egy konkrét, egyedi sajátosságokkal bíró háromszög segítségével folyik, azonban minden lépésben csak annyit veszünk ebből figyelembe, amennyi a háromszög fogalmában foglaltatik, s így eltekintünk minden egyedi vonástól.13 A fogalom pedig Kantnál – mint a fönti idézetben szó is esik róla – mindig általános képzet. Ha tehát egy háromszögekre vonatkozó tételt bizonyítunk, akkor csak olyasmit használunk ki, ami minden háromszögre igaz, ha pedig – például – a derékszögű háromszögekről szeretnénk bizonyítani valamit, akkor a bizonyítás során még ezt a további tulajdonságot is fölhasználhatjuk, s tételünk így minden derékszögű háromszögre lesz igaz.

  • 13Egy ilyen értelmezésre példa Ujvári Márta Kanti témák a mai angolszász analitikus filozófiában című írása, ahol a szerző egy helyen pl. ezt írja a szemlélet szerepéről a matematikában: [a szerkesztés folyamán] „nem az önkényes fantázia, hanem a „tárgy fogalma” vezérli a mentális aktust, amelyben a tárgyat megjelenítjük”. 49. p.

Ilyen értelmezés mellett azonban a következő nehézséggel kell szembenéznünk. Elhatározásunknak megfelelően a szigorú általános érvényűséget és az ezért felelős vonásokat külön próbáljuk vizsgálni, eközben azonban figyelnünk kell arra is, hogy ezt csak annyiban tesszük, amennyiben az általános érvényűség az egész a priori szintetikus sajátosság egy része, hiszen Kant végső soron ezt egészében állítja a matematikai tételekről. Tehát már most el kell kerülnünk minden olyan következtetést, amely akár a szükségszerűség, akár a szintetikus jelleg állíthatóságát a későbbiekben lehetetlenné tenné. A föntebbi magyarázat kapcsán azonban éppilyen jellegű probléma adódik.14 Ha ugyanis a szerkesztés illetve a bizonyítás során pusztán arra vagyunk tekintettel, ami a háromszög fogalmában foglaltatik, s a tétel bizonyításakor pusztán a fogalomban foglaltakat használjuk ki, akkor, bár használunk egy „egyedi tárgyat” a bizonyítás során, s bár a szerkesztés eredménye maga is „egyedi szemlélet”, az ebben teljesen nélkülözhető lenne, s így tételünk nyilvánvaló példája lesz annak, amit – mint majd a következő részben látni fogjuk – Kant analitikus állításnak hívna. Úgy tűnik tehát, hogy ily módon nem tudnak számot adni az a priori szintetikus tételek általános érvényűségéről.

  • 14A problémát J. M. Young fogalmazza meg más kontextusban, Kant on the construction of arithmetical concepts.

Hogyan kerülhetnénk el ezeket, a föntebbi idézetből szükségszerűen adódó nehézségeket? Próbáljuk meg a kulcsmondatot másként értelmezni. Ekkor ebben nem arról lenne szó, hogy a szerkesztésünk mint egy fogalom (általános képzet) szerkesztése fejez ki egyetemes érvényt a képzetben, hanem arról, hogy az egy fogalom szerkesztéseként hordozna általános érvényűséget. Ha így hangsúlyozzuk Kant mondatát, akkor a következő, egyébként meglehetősen homályosnak tűnő állítások is könnyebben nyernek értelmet. A már említett részben Kant így ír:

az egyes odarajzolt idom empirikus, és mégis ara szolgál, hogy a fogalmat egyetemességének kára nélkül kifejezze, mert ennél az empirikus szemléletnél mindig csak a fogalom szerkesztésének cselekedetére vagyok tekintettel, amelynél sok meghatározás, pl. a nagyságé, az oldalaké és szögeké egészen közömbös.

454. p., A713–714/B741–742.15
  • 15A magyar fordítás szórendjén kicsit változtattam.

Láthatjuk, hogy itt Kant – az előző értelmezéssel összhangban – már a fogalom szerkesztésének cselekedetéről beszél, amikor arról akar számot adni, ami az általános érvényt a tételnek biztosítja. Ennek megfelelően az Előszó egyik helyén – az első idézettől némileg eltérően – a matematikai ismeretről úgy ad számot, hogy az „fogalmak szemléletére való alkalmazásából” származik (12. p., BXIV). Az persze ezzel még egyáltalán nem világos, hogyan szolgálja ez az új jelölt a régi célt. Azonban már ebből is látszik, hogy az a gondolat, amelynek révén az a priori vonást pusztán a fogalmi konstrukció fogalmi oldalához, a szintetikus vonást pedig a konstrukció oldalához kapcsoltuk, s azokat így választottuk el egymástól, talán elsietett volt, s hogy így az a priori és a szintetikus jelleg közötti különbséget egy sokkal szűkebb területen kell majd megvonnunk, nevezetesen a konstrukció értelmezésén belül.

Kant itt és más hasonló helyeken ezzel a szóhasználattal valójában arra céloz, hogy a konstrukciónak azok a lépései vagyis azok a „cselekedetek”, amelyeket a geometria esetében a szerkesztés hátteréül szolgáló tér egyetemes vonásai határoznak meg, tehát maguk ezek a műveletek biztosítanak általános érvényt a tételnek. Ahogy Kant néhány sorral lejjebb írja: a matematika azáltal képes az „egyetemest a különösben, sőt az egyesben tekinteni”, hogy ezt az egyest „a szerkesztés bizonyos egyetemes feltételei alatt” határozza meg. (454, A714/B742) Azok a bizonyos egyetemes föltételek viszont nem mások, mint magának a szerkesztés hátteréül szolgáló térnek a sajátos struktúrái. Azok a struktúrák, amelyek pl. a geometria axiómáiban fejeződnek ki.16 Ugyanúgy történik ez, ahogy például a kijelentés logika axiómarendszerének bizonyos axiómái meghatározzák a logikai konstansok (és, negáció) sajátosságait, s ezáltal azt is, hogy a bizonyítás során ezekkel milyen műveleteket („cselekedeteket”) hajthatunk végre. Ugyanígy határozza meg a geometriai szerkesztés mozzanatait a geometria tere. Konkrétabban megfogalmazva: amikor például annak bizonyításakor, hogy egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, a háromszög egyik csúcsán át párhuzamost húzok a szemben levő oldallal, s eközben – Kant furcsa szóhasználatával élve – pusztán ezt az aktust veszem figyelembe, akkor ez azt jelenti, hogy pusztán arra vagyok tekintettel, hogy az adott, axiómáim által meghatározott térben egy ponton át tudok egy egyenessel párhuzamost húzni, s így ezt ugyanebben a térben, definíciója folytán, minden háromszög esetében meg tudom tenni. Azt is mondhatjuk, hogy a szerkesztés megengedett lépéseiben így egy tér „fejeződik ki”.17 Kérdés ezután, hogy mennyiben segít ez az első megoldás kapcsán fölmerült problémán, hiszen így azt mondhatnánk, hogy végső soron ismét csak egy fogalomra vagyunk tekintettel, nevezetesen a térnek valamilyen axiómák által meghatározott fogalmára. Azonban – mint tudjuk – a tér Kant számára a priori szemlélet. Így megérthetjük Kant azon szóhasználatát is, hogy a háromszög fogalmát a szemléletben ábrázoljuk a priori.

  • 16Természetesen szem előtt kell tartanunk, hogy egy axiómarendszert elvileg nem csak egyetlen struktúra („tér”) elégíthet ki. Ezért célszerűbbnek tűnhet azt a formuláknak azzal az osztályával jellemezni, amely belőle levezethető. Itt azonban ennek megfelelően csak annyit fogunk kihasználni, hogy van ilyen struktúra, s azt már nem, hogy csak egy van.
  • 17Ahogyan a tér meghatározza azokat a szerkesztési vagy bizonyítási lépéseket, amelyek benne elvégezhetők, ez fordítva is elmondható: a bizonyítás megengedett lépéseiben „kifejeződnek” az adott tér bizonyos sajátosságai, amelyeket esetleg utólag axiomatizálhatunk. Lényegében hasonló módon próbál számot adni Kant matematika-felfogásáról Philip Kitcher a Kant and the foundation of mathematics című írásában. Azonban egyrészt a szintetikusság értelmezését szándékozik ezzel megadni, másrészt magát az elméletet cirkulárisnak tartja (lásd 123–126. p.). Kitcher a föntieknek megfelelően megkülönböztet pl. háromszögek esetében háromféle tulajdonságot: 1. Azokat a tulajdonságokat, amelyek a háromszögről pusztán a fogalma révén állíthatók (f-tulajdonság; ilyen pl. az a tulajdonság, hogy egy háromszögnek három oldala van). 2. Azokat, amelyeket a háromszög fogalma és a szerkesztés hátteréül szolgáló tér együtt határoz meg (t-tulajdonság; pl. a szögösszegre vonatkozó sajátosság). 3. Tőlünk függő, véletlenszerű, nem általános jellegzetességek (v-tulajdonság; pl. hegyes- vagy tompaszögű-e a háromszög). Mármost azt, hogy melyek a t- és melyek a v-tulajdonságok, melyek tehát azok, amelyeket mint általánosakat kihasználhatunk a szerkesztés során, és melyeket nem, éppen az határozza meg, hogy milyen tér szolgál a szerkesztés alapjául, hiszen különböző, logikailag lehetséges terek mellett egyes t-tulajdonságok v-tulajdonsággá válhatnak, és fordítva. Magát a teret viszont éppen az határozza meg, hogy mely sajátosságokat tekintünk t-tulajdonságoknak, így tehát körforgáshoz jutunk. Az ellenvetés abból a szempontból megvilágító erejű, hogy elvezet ahhoz a kérdéshez, amely Kantot is foglalkoztatta: hogyan lehetséges matematika egyáltalán? Átfogalmazva a kérdést a jelen kontextusnak megfelelően: hogyan tudjuk a szerkesztés közben eldönteni, hogy mely tulajdonságokat használhatunk ki, és melyeket nem? Ha a válasz folyamán elutasítjuk a második lépést, amely szerint a teret a két tulajdonság közti határvonal határozza meg, akkor úgy tűnik, nem marad más választásunk, mint a tér intuíciójára való minden további elemzést kizáró közvetlen hivatkozás. Ha mégis további elemzést akarnánk végezni, akkor pedig a cirkulus. Azt hiszem, mégis találhatunk kiutat ebből a dilemmából Kantnál. Természetesen annak, hogy meg tudjuk különböztetni a t-tulajdonságokat, s hogy így a szerkesztés lépéseit el tudjuk végezni, föltétele a háttérként szolgáló tér szemlélete. A szerkesztés folyamán implicit módon a tér sajátosságait használjuk ki. Ezek az implicit sajátosságok azonban csak a szerkesztés lépésein át válnak explicitté. A tér szemlélete lehetőségi föltétele a szerkesztésnek, az utóbbi azonban csak a tér megismerésének vagy explikálásának föltétele. A szerkesztés folytán a tér egyre több sajátosságát tudjuk explicitté tenni, ami révén viszont a módszereink is egyre gazdagabbak lesznek. Ha a gondolatmenet cirkularitása ebben a kölcsönviszonyban nem is válik mindjárt lineárissá, de a viszony aszimmetriája miatt nem zárul körré sem, s így a cirkulus talán elkerülhető. A kölcsönviszonynak ezt az aszimmetriáját lehet oly módon kifejezni, hogy a tér meghatározza a szerkesztés lépéseit, a szerkesztés lépéseiben viszont kifejeződik a tér. Azt hiszem, Kant ily módon mégis megragad valamit abból, ami a szerkesztés lépéseit, illetve a matematikát magát lehetővé teszi.

Itt először arra kell fölfigyelnünk, hogy a szemlélet alatt most még elég azt a struktúrát értenünk, amelyet a tér axiómái határoznak meg, s amely lehet akár az euklideszitől teljesen eltérő is. Nem kell tehát érzéki szemléletként (az érzékiség formájaként) vennünk azt. A szintetikus jelleg biztosíthatóságához, vagyis hogy az értelmezés ne zárja ki ennek lehetőségét, most elég arra utalni, hogy a teret ilyen szemléletként való értelmezés mellett sem foglalja magába a háromszög fogalma. A bizonyítás során tehát „túlmegyünk” azon.

Másrészt azt kell megjegyeznünk, hogy most a „szemléletben” kifejezést kétféle értelemben kell vennünk, s a kétféle értelmet egyszerre kell szem előtt tartanunk. Egyrészt jelenti a konkrét ábrát, amelyet a papírra magunk elé rajzoltunk, s amelyben a fogalom konkretizálódik, másrészt azt a teret, melyben az előbbi ábra megrajzolása maga egyáltalán lehetségessé válik. (Ez a megkülönböztetés megfelel a kanti empirikus illetve a priori, szemlélet különbségének.) A szerkesztés folyamán tehát valóban eltekintünk az ábra minden esetleges vonásától, azonban ebben a „szemléletváltással” együtt járó szerkesztési folyamatban a háromszög definícióját és a teret együtt vesszük figyelembe. Amikor tehát a háromszög fogalmának „megfelelő szemléletet a priori feltüntetjük” (454. p., A713/B741), a szemlélet fogalmát akkor is ebben a kettős értelemben kell vennünk. Föltüntetünk egyrészt egy konkrét alakzatot a papíron, másrészt azokon a fogásokon keresztül, amelyeket eközben alkalmazunk, „feltüntetjük” a teret magát, amelyben a szerkesztés folyik. Ahogyan Kant később is erre a kettős értelmezésre legalábbis lehetőséget adó módon fogalmaz: a matematika

puszta fogalmakkal nem tud semmire sem menni, hanem mindjárt a szemlélethez siet, […] amelyet a priori tüntet fel, s amelyben a fogalmat in concreto tekinti

455. p., A715/B74318
  • 18A fordításon kicsit módosítottam, de ismét csak formailag.

Mielőtt áttérnénk a szükségszerűség vizsgálatára, térjünk vissza néhány, korábban fölmerült problémára.

Először is szót kell ejtenünk azokról a megszorításokról, amelyekkel az egész értelmezés során éltem. A példákat elsősorban a geometriából vettem, annak megfelelően, hogy Kant maga is elsősorban a geometriát tartja szem előtt idevonatkozó idézett elemzéseiben. Tudnunk kell azonban, hogy az értelmezés kiterjeszthető az aritmetikára vagy az algebrára is, amit Kant egy későbbi paragrafusban maga is megtesz. A szerkesztés lépései helyett csak a kalkuláció vagy a levezetés fogásait kell venni,19 és a geometria tere helyett – mint föntebb utaltam rá – egy logikai vagy más értelemben vett „teret” kell gondolnunk, amely a korábban vázolt, a használt műveletek révén „kirajzolódó” tágabb struktúrát jelenti. Röviden mégis utalnék Kant sokat idézett példájára a „7 + 5 = 12” esetére. Hogy egyáltalán értelmezni tudjuk a bal oldalon álló összeget, a benne előforduló két számot úgy kell fölfognunk, mint amelyek egy tágabb struktúra, esetünkben a Peano-axiómák által meghatározott „tér” reprezentánsai. Ha enélkül az általánosabb háttér nélkül, zárt egységnek vesszük a két számot, akkor nem tudjuk értelmezni a közöttük lévő műveleti jelet, amely Kant értelmezésében egy olyan szukcesszióra szólít föl, amelynek során túl kell lépnünk a számokban megjelenő szintetikus egységen, s ezt csak akkor tudjuk megtenni, ha a számokat egyben ez előtt az általánosabb háttér előtt is szemléljük. Itt is a föntebb bevezetett kettős értelemben kell a szemlélet fogalmát figyelembe vennünk. Az adott konkrét számok fogalmát is ki kell használnunk, különben nem tudnánk, mikor fejeződjön be a szintézis.

Végül azt kell még újra fölidézni, hogy a fönti értelmezés az általános érvényűség vizsgálatára irányult, míg Kant nem különíti el ezt a föladatot, s elsősorban a szintetikus jelleget próbálja alátámasztani. Tehát nem föltétlenül jelent problémát, ha egyelőre nem minden részlet vált világossá az idevonatkozó elemzésekből. Például annak hangsúlyozása, hogy a konstrukció folyamán konkrét jeleket használunk illetve vezetünk be, kitüntetett fontosságúnak tűnik, különösen az algebrára) „betűszámolás”) vonatkozó részekben. Ezzel szemben mi ezeket csak mint a tér vonásait kifejező jeleket vettük figyelembe. Ennek oka természetesen az, hogy az előbbi vonás majd a szintetikus jelleg vizsgálatánál kap szerepet.

  • 19Ennek részleteit pl. az aritmetikára M. Young dolgozza ki Kant on the construction

2. A szükségszerűség fogalma

Ha most azt akarjuk megvizsgálni, hogy milyen jellegzetesség felel ezen tételek szükségszerűségéért, akkor szintén a legkézenfekvőbb értelmezést kell elsőként fontolóra vennünk. Ennek értelmében a matematika igazságainak szükségszerűsége logikai szükségszerűség. Természetesen itt is azonnal fölmerül a kérdés, hogy ezáltal nem lesznek-e egyben analitikusak is ezek a tételek.

Kant, annak magyarázata során, hogy miért kerülte el eddig a gondolkodók figyelmét az a tény, miszerint a matematika ítéletei szintetikusak, a következőket írja:

Minthogy ugyanis azt látták, hogy a matematikusok következtetései mind az ellentmondás tétele fonalán haladnak (amint ezt minden apodiktikus bizonyosság természete megköveteli), elhitették magukkal, hogy az alaptételeket az ellentmondás tételéből lehet megismerni, amiben nagyon csalódtak; mert szintetikus tétel megismerhető ugyan az ellentmondás tétele alapján, de csak ha más szintetikus tétel előzi meg, melyből következtethető, nem pedig magában.

35. p., B14

Első pillantásra az idézet azt állítja, hogy a matematika tételei azért szintetikusak, mert maguk az alaptételek, amelyekből levezetjük őket, szintetikusak. Maga a bizonyítások során használt következtetés (s ezzel együtt a tételek szükségszerűsége is) azonban tisztán analitikus volna. Ez éles ellentétben állna azzal, hogy Kant a szintetikus jelleget hangsúlyozottan a geometriai szerkesztések illetve a bizonyítás során használt konstrukciós lépések során vélte fölmutatni. Egy helyen ezt közvetlenül ki is mondja, amikor azokról a segédkonstrukciókról beszél, amelyeket egy geometriai tétel bizonyításakor a matematikusnak el kell végeznie:

Ily módon a következtetések láncolatán keresztül, mindig a szemlélet által vezérelve, a kérdésnek teljesen kézzelfogható és egyúttal általános föloldásához jut.

456. p., A716–717/B744–745, kiemelés nem az eredetiben

Hol jut szerephez tehát a szemlélet: a következtetések sorában, vagy az alaptételekben?20 Az utóbbi esetben a tételek szükségszerűsége tisztán logikai (analitikus) szükségszerűség lenne. (Az axiómák és a tétel kapcsolata logikailag lenne szükségszerű.)

Több módon is megpróbálhatjuk a fönti ellentmondást kiküszöbölni. Először is, az első idézetben Kant nyilvánvalóan már abból a föltevésből indul ki, hogy a matematika tételei a priori szintetikus tételek. Ezután csak annyit állít, hogy ha a levezetés módját pusztán az ellentmondás tételére alapozzuk, akkor fel kell tételeznünk valami szintetikus előzményt, ekkor ugyanis másképpen nem tudnánk számot adni a kiindulópontként feltett tényről. Nincs azonban szó arról, hogy egy matematikai tétel bizonyítása ténylegesen pusztán analitikus lépéseket tartalmazna. Az idézett rész csak hipotetikusan tartalmazza ezt az állítást.

  • 20Parsons „kvázi-logicista” álláspontjának megfelelően az utóbbi állásponton van, és amellett próbál érvelni, hogy Kantnál a szinteticitást a posztulátumok egzisztenciális importja eredményezi. Hintikka – összetettebb elmélete keretében – a konstruktivista szándékokkal összhangban a bizonyítás sajátos lépéseit tekinti szintetikusnak. Az ő nézeteire a maga helyén még visszatérünk. Parsons-hoz lásd Kant’s philosophy of arithmetic, 581–582. p.

Másrészt – ennek következtében – Kant talán nem az ellen a nézet ellen lép fel az idézett helyen, amely szerint abból a megfigyelésből, hogy a matematikusok következtetési az „ellentmondás tétele fonalán haladnak”, magukra az alaptételekre vonható le valami következtetés. Talán sokkal inkább azt kérdőjelezi meg, hogy rájuk vonatkozóan azt a következtetést vonjuk le, miszerint az ellentmondás tételéből lehetne őket megismerni. Álláspontja ekkor az lenne, hogy bár szintetikus tételek megismerhetők az ellentmondás tétele alapján („az ellentmondás tétele fonalán haladva”), de ez nem jelenti az, hogy a levezetés során pusztán az ellentmondás tételére támaszkodnánk. Ekkor a két idézett rész egyáltalán nem állna ellentmondásban egymással. Az ugyanis, hogy a „következtetések az ellentmondás tétele fonalán haladnak (amint azt minden apodiktikus bizonyosság természete megköveteli)” talán nem jelenti azt, hogy a tétel pusztán az ellentmondás tételéből ismerhető meg. Az ellentmondás tételére támaszkodni a bizonyítás során természetesen szükséges (apodiktikus tudományról lévén szó), de – mint majd látni fogjuk – egyáltalán nem elégséges. Matematikusunk – Kant szóhasználatával élve – „haladhat az ellentmondás tétele fonalán” azzal együtt, hogy eközben a „szemlélet vezérli”, s ily módon, bár a tételt az „ellentmondás tétele alapján” ismeri meg, mégsem pusztán az „ellentmondás tételéből”.

Egy későbbi passzusban Kant már azt is nyilvánvalóan megfogalmazza, hogy az ítélet bizonyossága vagy szükségszerűsége nem logikai, tehát nem pusztán analitikus szükségszerűség.

Csak a kifejezés kétértelműsége hiteti el közönségesen velünk, mintha ily apodiktikus ítéletek állítmánya már benn fejlenék a fogalmunkban, az ítélet tehát analitikus volna. Egy adott fogalomhoz tartozunk ugyanis hozzágondolni egy bizonyos állítmányt, s e szükségesség már vele jár a fogalommal. De nem az a kérdés, hogy mit tartozunk hozzágondolni az adott fogalomhoz, hanem hogy tényleg mit gondolunk benne, habár csak homályosa, s akkor kitűnik, hogy az állítmány szükségképp ugyan, de nem mint magában a fogalomban bennfoglalt, hanem szemlélet útján, melynek a fogalomhoz hozzá kell járulnia, tartozik ama fogalomhoz.

37. p., B17

Mint látjuk, az analitikus szükségesség annak állításában rejlik, ami akár homályosan is, de benne rejlik az adott fogalomban, a matematikai szükségszerűség azonban valami olyasmi állításában, ami szintén „vele jár a fogalommal”, s az adott fogalomhoz itt is „tartozunk hozzágondolni az adott állítmányt”, de itt csak „szemlélet útján”, s nem pusztán a fogalom és az ellentmondás tétele alapján. Hogy akkor mégis milyen módon és milyen értelemben szükségszerűen, ebben úgy tűnik, magunkra maradunk.

A szövegben csak egy szemléletre való utalást találunk. Azonban érdemes ismét fölfigyelni arra a tényre, hogy a szükségszerűségre vonatkozó megfigyeléseket az általános érvényűségre vonatkozókhoz hasonlóan, ismét csak nehezen lehetett elkülöníteni a szintetikus mivoltra irányuló vizsgálódásoktól, s ez mintha megint csak szorosabbra vonná az a priori és a szintetikus jelleg kapcsolatát.

További vizsgálatokat igényel, hogy Kant szerint mi biztosítja egy matematikai állítás szükségszerűségét. Ehhez igénybe veszem Jaakko Hintikka elemzését a matematikai illetve geometriai bizonyításokról alkotott, korabeli, nagyrészt euklideszi alapokon álló elképzelésekről, melyek nélkül Hintikka szerint nem lehet teljességgel megérteni Kant analitikus/szintetikus megkülönböztetésének alapját. Mint majd látni fogjuk, ugyanez áll a szükségszerűség vonatkozásában is.21

Egy geometriai bizonyítás tehát hagyományosan öt lépésből állt. Ebből számunkra a középső három lépés az igazán lényeges, ezeket csak a tétel kimondása előzte meg és a konklúzió levonása követte (az ún. protasis és a symperasma). Az első lényeges lépés a bizonyítás alapjaként szolgáló alakzat, például egy háromszög fölvázolása olt. (Az ún. ekthesis.) Ezt követte a bizonyítás során fölhasznált további jelek föltüntetése az ábrán, például a használandó szögek megjelölése, s azoknak az újabb „individuumoknak”, pl. egyeneseknek a behúzása az ábrába, amelyeket a bizonyítás során még föl kell használnunk. (Az ún. kataskeué lépése.) Ekkor következett csak a tulajdonképpeni bizonyítás. (Az ún. apodeixis.) Hintikka a szintetikus jelleg bizonyításához használja föl, hogy a három lépés közül tulajdonképpen csak az utolsó, az apodeixis az, amely az analitikus lépéseket tartalmazza, s az első kettőben mutatkozik meg a bizonyítás szintetikus jellege. Számunkra azonban a vizsgálódás jelen szakaszában ez az észrevétel pusztán azt jelenti, hogy a bizonyításnak csak ez az utolsó szakasza jár analitikus szükségszerűséggel. Miféle szükségszerűséggel jár tehát az első két fázis? Miért kell bizonyos esetekben új vonalakat és egyéb alakzatokat fölvenni az ábránkba, vagy – hogy ne ragaszkodjunk a geometriához – új mennyiségeket jelző jeleket vagy változókat bevezetnünk az algebrában vagy a logikában a bizonyítás során? Vagy miért kell a bizonyítás elején az alapul szolgáló háromszöget vagy kört éppen a megszokott módon fölvázolnunk? Hiszen ha pl. egy nemeuklideszi távolságfogalmat használunk, akkor húzhatnánk a kört – definíciója megtartása mellett – akár vonalzóval is, s ekkor az teljesen úgy festene, mint az euklideszi távolságfogalom mellett egy négyzet.22 A háromszög vagy kör puszta fogalma tehát egyáltalán nem teszi szükségszerűvé, hogy akár az ekthesis folyamán éppen úgy járjunk el, ahogyan eljárunk. Ebben az esetben a szükségszerűséget az alapul szolgáló tér egy sajátossága biztosítja. Az általános érvényűség esetében ugyanez a sajátosság volt az, ami a szigorúan általános érvényt biztosította. Csak a tér euklideszi fogalma mellett szükségszerű bármelyik, ebben a geometriában megfogalmazott tételünk. Talán nem kell részletesen kitérni rá, hogy a nemeuklideszi geometriákban a háromszög szokásos fogalma mellett sem érvényesül pl. a szögösszegre vonatkozó euklideszi tétel. Ilyen értelemben az előbbi tétel nem szükségszerű. Abban az értelemben azonban igen, hogy a tétel igazságán semmit nem változtatott a nemeuklideszi geometriák létrejötte, s ezért éppen a tétel szükségszerűségére mutat rá az előbbi tény. Ezeket a tételeket ma ugyanúgy tanuljuk az iskolákban, mint egykor, és nemcsak a történelemkönyv lapjairól tudunk róluk. Éppen azért lehetséges ez a szükségszerűség, mert a tétel nem a háromszög fogalmáról mond ki valamit, és nem az euklideszi axiómákról vagy az általuk meghatározott térről állít valamit, hanem a kettő kapcsolatáról, ami természetesen akkor is megmarad, ha fölfedezzük, hogy ugyanez a fogalom más struktúrákkal más kapcsolatban áll. Az adott térnek a bizonyítás szempontjából jelentős vonásai jelennek meg az ekthesis és a kataskeué konstrukciós lépései során. A kapcsolatot tehát egyrészről magának az alapul szolgáló térnek a struktúrái, másrészről viszont az apodeixis során megjelenő logikai és az ellentmondás tételén alapuló lépések szolgáltatják.

  • 21 Jaakko Hintikka: Kant and the tradition of analysis, lásd a Logic Language-Games and Information című kötet IX. fej. Hintikka a megfigyeléseit a szintetikusság vizsgálatára használja.
  • 22Ilyen „négyszögletes kört” kapunk, ha pl. egy pont origótól való távolságát mondjuk a koordinátái közül a nagyobb abszolút értékűvel azonosítjuk, és nem a szokásos euklideszi távolsággal (koordinátái négyzetösszegének a gyökével).

Most már abba a helyzetbe kerültünk, hogy több mindent megérthetünk korábbi idézeteinkből.

Először: megérthetjük, hogy bár a bizonyítás – az elsőként hozott idézetnek megfelelően – az ellentmondás tétele fonalán halad, ez ilyen tisztán a bizonyítás három lényeges lépése közül csak az utolsóra áll. Az első két lépés folyamán nem pusztán logikailag szükségszerű lépések szerepelhetnek. Talán a korábban tárgyalt idézet utolsó mondatában éppen a bizonyítás első két lépését érti Kant azokon a „tételeken”, amelyek a szintetikus állításokat bizonyításuk folyamán az ellentmondás tételén kívül megelőzik. (35. p., B14)

Másodszor: minden további magyarázat nélkül világossá válik az is, hogy mit értsünk azon az állításon, miszerint a matematikai ítéletek állítmányát szükségképp ugyan, de nem mint a fogalomban benne gondoltat kell tekintetbe vennünk, hanem csak mint olyat, amely személet útján tartozik a fogalomhoz. Vagyis, az eddigiek alapján átfogalmazva az állítást, az állítmány csak annak a kapcsolatnak az alapján állítható, ami a fogalom és a tér szemlélete között fennáll.

Harmadszor: ismét fölfigyelhetünk arra, hogy Kant itt arról a szükségszerűségről beszél, amely az a priori szintetikus tételek szükségszerűségét megkülönbözteti az analitikus állítások szükségszerűségétől. Itt tehát pontot tehetünk annak az állításunknak a végére, amely – eddig csak sejtésként – azt fogalmazta meg, hogy az analitikus állítások egészen más módon a prioriak, mint a szintetikus állítások. Foglaljuk össze röviden a különbségeket.

Az előbbiek először is azért általános érvényűek, mert az alanyra bennük annyiban vonatkozik az állítmány, amennyiben az alany minden különös vonásától elvonatkoztatunk, s csak a fogalmára vagyunk tekintettel, amennyiben ez a fogalom magában foglalja magának az állítmánynak a fogalmát. Így az állításunk minden olyan alany esetében érvényes lesz, amelyek csak különös vonásaikban különböznek, hiszen ezektől az állításban elvonatkoztattunk. A szintetikus esetben is egyrészt az alany fogalmára vagyunk tekintettel, emellett azonban a tér szemléletét is figyelembe vesszük, amelyben a bizonyítás folyik. Ez lehetőséget teremt arra, hogy az állításban az alany fogalmán „túllépjünk”, ami a következő rész szempontjából lényeges. Másrészt az analitikus szükségszerűség pusztán az ellentmondás elvén alapul, hiszen az állítmány tagadása azért vezet ellentmondáshoz, mert azt már az alany fogalma magában foglalja. A szintetikus szükségszerűség ezzel szemben az alany fogalmán kívül egy „térre” való utalást is tartalmaz, és az állítmány tagadása csak az ezzel való kapcsolatnak mond ellent, nem pusztán az alany fogalmának.

Negyedszer: az is értelmezhetővé válik, amit Kant a Bevezetésben úgy fogalmazott meg, hogy bár a fönti két tulajdonság válhatatlanul egymáshoz tartozik, mégis tanácsos velük elkülönítve élni. Értelmezhetjük tehát azt az állításunkat, hogy miért van közöttük csupán intenzionális különbség. Ugyanaz a tér biztosította ugyanis az általános érvényűséget, amely a szükségszerűséget, csak amíg az előbbi esetben annyiban vettük figyelembe, amennyiben a szerkesztés korrelátumaként egyáltalán megjelent, tehát amennyiben benne folyt a szerkesztés, addig az utóbbi esetben annyiban használtuk ki, amennyiben a fogalomnak a hozzá való konkrét kapcsolatát vettük szemügyre.

Ebből, ötödször, adódik, hogy mindkét esetben egy relativitás fog megjelenni. Az első esetben csak az adott térhez viszonyított általános érvényűségről, míg a másik esetben csak ehhez a térhez viszonyított szükségszerűségről beszélhetünk. Kant már egy fiatalkori művében eljut arra a gondolatra, hogy a tér euklideszi tulajdonságai nem abszolút szükségszerűek, s így csak relatív szükségszerűség illeti meg a bennük megfogalmazott állításokat.23 Ezen A tiszta ész kritikájában sem változtat, csupán, a szükségszerűséget kiterjesztve, szűkebben vonja meg a relativizmus határait.

  • 23Lásd erről Tengelyi László: Kant. 17. p. és a hozzá kapcsolódó jegyzetek.

Itt ugyanis már szoros kapcsolat van az euklideszi geometria tere és a tapasztalataink tere között. Kant a kritika egyik legalapvetőbb vállalkozásának keretében, annak lehetőségéről akar számot adni, hogy rendelkezünk szükségszerű ismeretekkel, legyen az ismerettel járó szükségszerűség akár tapasztalati, akár a priori. Ezért az alaptételek analitikájában szükségképp helyet kap egy a matematikai tételekre vonatkozó rész is, amely azok szükségszerűségének lehetőségéről ad számot, amennyiben ez a lehetőség a kategóriákon múlik. Mint láttuk, ez a szükségszerűség részben az ellentmondás tételén nyugszik, az alaptételek analitikájában pusztán ennyiben esik róluk szó. Kant azonban a matematikai tételek szükségszerűségének lehetőségéről annyiban is számot ad, amennyiben az nem analitikus szükségszerűség. Ez a második kiadáshoz írt előszóban történik, ahol rekonstruálja azt a folyamatot, amelynek során Thalész nagy megvilágosodása a matematika bizonyosságára vonatkozóan bekövetkezett. Mint megtudjuk, a görög bölcs ekkor arra a fölismerésre jutott,

hogy ha valamit biztosan a priori akar tudni, nem szabad semmi egyebet a dolognak tulajdonítania, mint ami abból, amit fogalma alapján maga helyezett beléje, szükségképp folyik

11. p., BXII.

Itt talán nem arról a karteziánus jellegű meggyőződésről van szó, hogy ami „belőlem származik”, azzal bizonyosságot nyújtó kapcsolatban vagyok, ami pedig kívülről, idegenként adódik, azzal nem. Ami a szerkesztés folyamán a mi hozadékunk, nem más, mint a tér, illetve annak explicitté tett struktúrái. Ez azonban annyiban is bizonyossá teszi a tételt, amennyiben az esztétikában róla megtudjuk, hogy szükségszerűen minden individuális tárgyra irányuló külső szemlélet formája, s ezért minden ilyen szemléletünk szükségképpen térbeli. A bizonyosság tehát itt is egyedi tárgy és tér (empirikus és a priori szemlélet) kapcsolatát illeti. (Tehát nem föltétlenül a „belsőre” való hivatkozás alapozza meg.) A térnek az érzékiséghez kapcsolása azonban csak egy további lépésként adódik. (Ekkor a tér az érzéki szemlélet szubjektív formája.) Emögött Kantnak az a meggyőződése áll, hogy számunkra minden individuum szükségképpen az érzékiség révén adatik, így az a „tér” is, amelyben ezek szükségképpen megjelennek, az érzékiség adaléka.24

Kant azonban az első kritikában a teret mint az érzéki szemlélet egyik formáját sem tartja abszolút szükségszerűnek. Az analitikából a dialektikába átvezető szakaszban azonban arról olvashatunk, hogy milyen szerepe lehet a kategóriáknak az érzékiség feltételei nélkül.

A noumenon fogalma, azaz egy dologé, mely nem is az érzékek tárgya, hanem mint magánvaló csupán csak tiszta értelemmel gondolható, legkevésbé sem ellentmondó; mert hiszen azt csak nem állíthatni az érzékiségről, hogy a szemlélet egyetlen lehető módja.

201. p., B310
  • 24Ezt a nézetet kritizálja Hintikka a Kant’s transcendental method and his theory of mathematics. című írásában.

Mint látjuk, a szükségszerűség relativitása nem szánt meg a kritikában sem, csak szélesebb talajra helyeződött át. Itt már nem egy bizonyos axiómarendszerhez kötődik, hanem az érzékiség formájához, s így minden külső szemléletben számunkra adódó tárgy lesz szükségképpen térbeli.

Végül pedig, azzal a lépéssel, amellyel megkülönböztettük a bizonyítás két fázisát, s amellyel elsősorban az első fázis megfigyelésére szorítkoztunk, Kant vizsgálódásainak egy alapvető jellegére tudunk rávilágítani, és megpillanthatjuk azt a tényezőt, ami elsősorban fölkelthette Kant matematika iránti érdeklődését. Sok esetben ugyanis ebben a fázisban zajlik a bizonyításnak az igazán nehézséget jelentő része. Gyakran a megfelelő segédkonstrukciók, vonalak, körök, szögek stb. megtalálása már szinte el is vezet a tulajdonképpeni megoldáshoz. Igazán ezekhez a konstrukciókhoz kellenek a valódi ötletek, s a hátralevő analitikus rész nemegyszer csak technikai jellegű. Valójában itt fejeződik ki az elme találékonysága, amelyet nem lehet szabályok elsajátításával megtanulni, s ahol az elme – hogy Hintikka kifejezését alkalmazzuk – a keresés vagy fölkutatás „játékán”25 át túllép az ekthesis folyamán maga elé vázolt formán, s új elemeket visz a bizonyítás menetébe. Valójában a föl- vagy megtalálás fázisa ez, elkülönítve a tulajdonképpeni bizonyítástól, s ezzel elérkeztünk a szintetikus vonás vizsgálatához.

B. A „szinteticitás” fogalma

Első pillantásra nehezen fedezhető föl, hogy milyen lehetőség marad a fönti vizsgálódások után a szintetikus jelleg értelmezésére. Valóban: ha arra gondolunk, hogy a szintetikus sajátosság szemléletre-utaltságot jelent, akkor úgy tűnik, szinte semmi tennivalónk nem akad, hiszen már az a priori vonás mindkét nélkülözhetetlen jelét az előzőek folyamán kénytelen voltunk a térnek egy sajátos értelemben vett szemléletére alapozni.

Túl könnyedén járnánk el azonban, ha ennyivel megelégednénk a kérdést illetően. A szemlélet kétségkívül nélkülözhetetlen eleme annak, hogy egy ítélet szintetikus legyen, de – az előző vizsgálatokban megszokott fordulattal szólva – egyáltalán nem mindegy, milyen módon van az adott szemlélet jelen. Valójában az a mód, ahogyan eddig a térre mint „szemléletre” építettünk, furcsa módon nem lesz alkalmas arra, hogy számot adjunk Kantnak a matematikai ítéletek szintetikus jellegére vonatkozó állításáról. Ez nem azért nem lesz alkalmas, mert eddig a teret csak abban a „sajátos” értelemben vettük szemléletnek, amely szerint az egy elvont „struktúra” (sok esetben egy axiómák által meghatározott struktúra), és nem az érzékeink által nyújtott tér. A mostani vizsgálódásokhoz is csak mint éppen ilyet fogjuk fölhasználni. Sőt, már eddig is annyiban támaszkodtunk arra a „sajátos” értelemben vett szemléletre, amennyiben az állítás során ennek segítségével túlléptünk az alany fogalmán. Tehát erre a „túllépésre” már akkor szükségünk volt, amikor az állítás a priori voltát értelmeztük. A szintetikus tulajdonság kétségtelenül az alany fogalmán való túllépést jelent, de erre mégsem építhetünk az eddigi módon. Igen szűk térben mozoghat tehát az értelmezésünk, és ennek megfelelően finom megkülönböztetéseket kell tennünk. A lehetőségeket egyfelől behatárolja mindaz, amit már eddig fölhasználtunk a „térről”, hiszen valamit hozzá szeretnénk tenni az előzőkhöz. Másfelől pedig a szintetikus jelleget nemcsak hogy a posteriori elvekre nem fogjuk építeni, de – mint mondtuk – a térre mint az érzékiség tiszta formájára sem fogunk hivatkozni. Az elemzések folyamán sok esetben fogok Jaakko Hintikka értelmezésére támaszkodni.26

Elsőként most is nézzük meg röviden, hogyan határozza meg Kant az állítások szintetikus sajátosságát.

  • 25A keresés és találás nyelvjátékának a kvantorokkal és Kanttal kapcsolatos problémáihoz kapcsolódnak különösen a „Language-Games for Quantifiers” és a „Quantifiers, Language-Games, and Transcendental Arguments” című fejezetek, Hintikka: Logic Language-Games and Information című kötetében (III., V. fej.).
  • 26A szintetikus jelleg alapértelmezésének lényegi részeiben egy az egyben az ő interpretációját próbálom megadni. Hintikka ehhez kapcsolódóan számos technikai részletet kifejt. Ezekre csak utalok. A legfontosabb elemeket ehhez lásd Jaakko Hintikka: Logic Language-Games and Information, különösen az V–VIII. fejezetekben található tanulmányok.

A tiszta ész kritikájában kétféle meghatározást találunk, bár ezek olyannyira szorosan követik egymást, hogy nem könnyű elkülöníteni őket. Kant elsőként így jellemzi az alany és állítmány viszonyát az ítéletekben:

Az állítmány B vagy hozzátartozik az alanyhoz A-hoz, mint olyan valami, ami az A fogalomban (rejtett módon) már benne foglaltatik, vagy B egészen kívül van az A fogalmon, habár kapcsolatban áll vele.

33. p., A6/B10

Az első típusú állítások analitikus állítások, melyekben „az állítmánynak az alannyal való kapcsolatát az azonosság alapján gondolom”; míg az utóbbi típusba a szintetikus állítások tartoznak, melyekben „a kapcsolatot nem az azonosság alapján gondolom” – teszi hozzá ugyanitt Kant. Rögtön ezután a következő meghatározást adja az analitikus, illetve szintetikus ítéletekről:

Amazok az állítmánnyal nem tesznek semmit sem hozzá az alany fogalmához, csak taglalás útján részfogalmaira bontják, melyeket (habár zavarosan) már gondoltunk benne; míg az utóbbiak az alany fogalmához oly állítmányt tesznek, melyet semmiképp nem gondoltunk benne, s melyet semmiféle taglalással ki nem vonhattunk volna belőle.

33. p., A7/B11

Itt is megjegyzi, hogy az előbbiek csupán magyarázó, míg az utóbbiak bővítő jellegűek.

Ahogy Allison megjegyzi, a meghatározásnak ez a kettőssége a fő oka annak, hogy az analitikus/szintetikus megkülönböztetést olyan sokszor félreértették, és hogy ez a félreértés annyiszor adott okot indokolatlan kritikára. (73) A két megfogalmazás között adódó különbség abban áll, hogy az első a szintetikus ítéleteknek pusztán leíró meghatározását adja, a második ezzel szemben konstruktív definíciót nyújt. Az utóbbiban nemcsak arról van szó, ahogy a szintetikus állításokban az állítmány fogalma egyszerűen „bővebb” az alanyénál, hanem egyszersmind arról is, hogy ezt a többletet az állítás folyamán hozzátesszük az alany fogalmához. Arra a konstruktív eljárásra kerül tehát a hangsúly, amely elvezet a szintetikus jelleghez egy állítás során. E megfogalmazás révén rákérdezhetünk a szinteticitás lehetőségének föltételeire, így az jobban tükrözi a probléma sajátosan transzcendentálfilozófiai jellegét.

Allison szerint az első fajta leírás egy állítás szubjektumának és predikátumának pusztán logikai viszonyáról szól, vagyis logikai distinkció, míg a második definíció egy episztemikus különbséget von meg, annak megfelelően, hogy itt az ismereteink kiterjesztéséről van szó. Az utóbbi különbségtétel (logikai/episztemikus) számunkra legföljebb megszorításokkal fogadható el. Egyrészt, mivel – Hintikkát követve – az analitikus/szintetikus megkülönböztetés határát a mai értelemben vett logikán belül fogjuk meghúzni, ezért a két definíció közti különbséget úgy kell bemutatnunk, hogy az a logikán belül is értelmezhető lehessen. Akkor azonban elfogadhatjuk a megkülönböztetést, ha a logikait sokkal szűkebb értelemben vesszük, és ara korlátozzuk, amit Kant érthetett logikai alatt.27 Másrészt, amikor Kant a szintetikus ítéletekről mint ismeretbővítő ítéletekről beszél, nem elsősorban arra helyezi a hangsúlyt, hogy ezek az ítéletek az ismereteket bővítik, hanem egyszerűen azok bővítő jellegére. Ennek megfelelően a Tiszta ész kritikájából idézett passzusban nem szerepel, hogy ezek az ítéletek ismereteinket bővítik, csak egyszerűen bővítők,28 ezért számunkra alkalmasabb, ha nem a logikai/episztemikus megkülönböztetést tartjuk szem előtt, hanem a leíró/konstruktív megkülönböztetést.

A szintetikus ítéletekben tehát az a lényeges, hogy általuk valamilyen rejtélyes módon a priori bővítjük ismereteinket. Hintikka is nagyjából ennek megfelelően határolja el az analitikus/szintetikus megkülönböztetés „bővítő” értelmezéseit más lehetséges, a fönt említett „logikai” értelmezéshez hasonló interpretációktól.29 Hogyan lehetséges a priori bővíteni ismereteinket, kérdezi Kant, hiszen az értelem csak rendezni képes a számára máshonnan adódó anyagot. Az érzékiség ugyan szolgáltathat ilyen anyagot az értelem számára, de ez, amennyiben a tapasztalatból származik, mindig egyedi és esetlegesen adott, így nem lehet rá a priori ismereteket építeni.

Hintikka röviden összefoglalva megmutatja, hogy egy elsőrendű logika keretein belül zajló bizonyítás30 egyes lépéseiben a priori új individuumokat kell bevezetnünk. Ez az úgynevezett egzisztenciális megjelenítés vagy instanciáció alkalmazása esetén történik, amelynek során egy egzisztenciálisan kvantifikált formula helyett a formulának egy olyan variánsát vesszük, amelyben a kvantor változóját egy, a bizonyítás során eddig nem szereplő új individuumra utaló individuumnévvel helyettesítjük.31 Az egzisztenciális instanciáció azonban csupán annyiban szolgál példaként a szinteticitás „bővítő” értelmezésére, amennyiben egy ilyen lépés során nőhet a bizonyításban szereplő kifejezések úgynevezett foka. Ez Hintikka értelmezésében azt jelenti, hogy a konklúzióban több individuumot veszünk figyelembe egyszerre, mint bármely premisszában.32 Azért nem engedhetjük ezt a különbséget elsikkadni, mert az utóbbi lehetőség csak olyan kontextusokban merülhet föl, amelyekben szerepelnek legalább kétargumentumú predikátumok, és amelyekben éppen ezek argumentumhelyein lévő változók fölött kvantifikálunk. Csak olyan elméletben tehát, ahol lehetőségünk van individuumok kapcsolatát modellálni, és számunkra most éppen ez a lényeges. Hintikka kimutatja, hogy a logikának azon a területén, ahol a modellált kapcsolatok megfelelően bonyolultak vagy megfelelő struktúrát mutatnak, pusztán erre a struktúrára támaszkodva a premisszáinkban szereplő új individuumokat lehet és kell behoznunk bizonyos tételek bizonyításához. Ennek megfelelően itt lehetségesek szintetikus a priori tételek. Nem áll azonban ez az egész logikára. Nem igaz például a kijelentés logikában és az azonosságot nem alkalmazó legfeljebb egyargumentumú predikátumokat tartalmazó kvantifikáció elméletben sem, bár az egzisztenciális megjelenítés az utóbbiban is alkalmazható.

  • 27Mint Hintikka is utal rá, azokat a vizsgálódásokat, amelyeket ő a kétargumentumúnál nagyobb argumentumszámú predikátumokat tartalmazó kvantifikáció-elmélet terén végez, Kant valószínűleg a matematika körébe sorolta volna. (Logic, Language-Games… 114) A Kant-korabeli logika és a napjainkban elfogadott logika közötti különbségekre Parsons is épít (Kant’s Philosophy… 573–577).
  • 28Igaz, a Prolegomenában, ahol Kant a föntieknek megfelelően a szintetikus ismereteknek csak a másodiknak idézett meghatározását adja meg, ehhez hozzáfűzi, hogy azok annyiban bővítőek, amennyiben az ismeret tartalmát növelik. (2 §).
  • 29Lásd An Analysis of Analicity, 123–149. p. Valójában a szintetikus/analitikus különbség jelentésének tizenegy különféle megfogalmazását adja meg, amelyeket négy nagy csoportra oszt. Az utolsó két csoport az, amelyben a „bővítő” jellegű megfogalmazások találhatók, és Hintikka ezekkel foglalkozik részletesen. A harmadik értelmezésben az érvelésnek az és csak az a lépése analitikus, amely során nem kell új individuumot bevezetnünk, tehát ahol a figyelembe vett individuumok száma nem bővül, míg a negyedik szerint az, amely során a premisszák által hordott információ nem nő. A két jelenség között – mint a könyv egészéből megtudjuk – szoros összefüggés van. (Az információ jelentését természetesen Hintikka részletesen meghatározza, hiszen ez a könyv egyik fő témája.)
  • 30A szintetikus/analitikus vonás meghatározásait nem ítéletekre vagy állításokra, hanem bizonyításokra vagy argumentumokra adja meg, a különbség azonban itt nem lényeges, mert át tudunk térni egyikről a másikra.
  • 31Itt tehát nem arról van szó, hogy „Az egzisztenciális megjelenítés […] azáltal ad szintetikus eredményt, hogy általános érvényűvé terjeszti ki a szinguláris objektumokról nyert tudást” – ahogyan például Újvári Márta fogalmaz (11), hanem – ha azt, amit az egzisztenciálisan kvantifikált állítás képvisel „általános érvényű tudás”-nak nevezzük – éppen arról, hogy az általános érvényű tudásunk alapján a priori vezetünk be egy különös, szinguláris objektumot. Éppen ebben áll a szintetikus tulajdonság „rejtélye”. Nemcsak hogy élesen el kell különíteni ezt a problémát attól, amit a könyv Locke–Berkeley problémának nevez (i. m. 55–56. p.), hanem egyenesen szembe kell azzal állítani. Míg az utóbbiban az a kérdés, hogy az individuális szemléleteink alapján hogyan jutunk egy általános képzethez, addig a szinteticitás problémája az itt megfogalmazott jelentésében éppen az, hogy az általános fogalmak alapján hogyan vezetünk be különös individuumokat a priori.
  • 32Valójában pusztán az egzisztenciális megjelenítés révén még nem lesz egy bizonyítás szintetikus Hintikkánál. A dolog azon múlik, hogy egy ilyen lépéstől még nem nő a kifejezés foka, amelyen Hintikka részletesebben azoknak az individuumoknak a számát érti, amelyeket együttesen figyelembe veszünk egy állításban. Ez röviden összefoglalva két szám összegeként adódik. Az egyik a kifejezésben szereplő szabad terminusok (pl. individuumnevek) száma, a másik a kvanfitikált változók száma, amennyiben az utóbbit a lehető legjobban leredukáltuk. (Logic Language-Games… 141–44, 161. p.).

Távolodjunk el kissé Hintikka konkrét értelmezésétől és illesszük be mindezt az eddigi gondolatmenetbe. Elsőként próbáljuk meg visszafordítani az értelmezést a logika területéről a geometriára, ahol értelmezésünket eddig végeztük. Hogy Hintikka miért utal olyan kevéssé erre a területre, amely pedig Kant példáinak is fő forrása, annak csak egyik oka, hogy ő elsősorban a kvantifikáció-elmélet problémáival foglalkozik. Másrészt viszont ez azt a törekvését szolgálja, hogy leválassza az a priori szintetikus ítéletekről alkotott kanti elméletet a teret az érzékiség formájaként megragadó nézetről, és ezért egy tisztán logikai térben folytatja a vizsgálódásait.33

  • 33Hintikka az alább kifejtendő geometriai értelmezést egyedül a második részben is használt és idézett, jórészt történti vizsgálódásokat tartalmazó fejezetben fejti ki.

Maga a „fordítás” végül is automatikusan adódik, hiszen már az előző részben is többször hivatkoztunk arra, hogy például egy háromszögről szóló tétel bizonyítása folyamán, az ábránkba új alakzatokat is föl kell vennünk. Ezek lesznek tehát az új individuumok, amelyek fölvétele a szintetikusságot eredményezi a tétel esetében.

Ugyanakkor még megválaszolásra vár az a kérdés is, hogy mi teszi lehetővé ezeknek az individuumoknak az a priori bevezetését. Kant nyelvén megfogalmazva: Hogyan lehetségesek szintetikus ítéletek a priori? Mint láttuk, vannak ilyenek, mi több, még a logika területén is. (Bár azt is láttuk, hogy Kant ezeket valószínűleg a matematika területére sorolta volna.) Maga Kant szinte készpénznek veszi, hogy a matematika bizonyos ítéletei ilyenek. Csak néhány rövid példát sorol föl, és kevés magyarázatot ad arra, miért tartja ezeket szintetikusnak, jókora problémát hagyva ezzel az utókorra. Elsősorban ugyanis az a kérdés foglalkoztatta: vajon mi teszi lehetségessé ezeket a tételeket?

Ennek megválaszolásához először különbséget szeretnék tenni egy Kant által ebben a kontextusban használt és sokat vitatott kifejezés két jelentése között. Ilyen megkülönböztetést Kant sok más kifejezés esetén használt, és ez egy olyan kettősséghez vezetett, amely – mint Allison kimutatja – a legtöbb esetben igen gyakori értelmezési nehézségeket okozott. A megkülönböztetés lényege az, hogy sok esetben ugyanaz a kifejezés jelenthet egy aktivitást, ugyanakkor jelentheti azt a dolgot is, amelyre ez az aktivitás irányul, vagy esetleg, amely általa létrejön. Így nyer két (vagy néhol több) értelmet Kantnál az ítélet, a képzet, a szemlélet, de még a jelenség is. (68) A kifejezés, amelyre ezt a megkülönböztetést szeretném alkalmazni: a „konstrukció”.

Mint láttuk, Kant úgy jellemzi a matematikát, hogy az nem más, mint fogalmak konstrukciójából szerzett ismeret. A konstrukciót itt vehetjük „konstruktív” értelemben, ahogyan a fogalmat a dolgozat elején is használtam, és ekkor az állítás azt jelenti, hogy a matematikai ismeret a szerkesztés konkrét konstrukciós lépései folyamán születik meg. Másrészt viszont vehetjük a kifejezést „tárgyi” értelemben is, és ekkor az magára a konstruktív lépések során megszerkesztett „tárgyra” utal, amennyiben az egy kész, tovább már nem alakuló, de nem is homogén egész, hanem részek kapcsolata, vagyis egy konstrukció (konstruktum). Ebben az értelemben használjuk a konstrukció szót, amikor például egy gépről azt állítjuk, hogy jó vagy rossz konstrukció. Ilyen viszont csak annyiban lehet, amennyiben maga is egy konstruáló tevékenység eredménye. Természeti tárgyakra, pl. a fákra nem használnánk a kifejezést ebben az értelemben.34 Most a konstrukció e kettős jelentésére vonatkozóan ismét igénybe kell vennünk egy pillanatra azt a képességünket, amelynek segítségével egyszerre tudjuk több jelentésre irányítani a figyelmünket. A háromszög egyrészt maga is egy konstruktum, tehát részek szabályszerű kapcsolata. Másrészt egy konstrukció – nevezetesen a szerkesztés – terméke. Most föl kell idéznünk, amit erről a szerkesztési folyamatról az általános érvényűség vizsgálata folyamán láttunk, vagyis hogy ezen aktusok révén nemcsak egy háromszöget húzunk meg magunk előtt a papíron, hanem ugyanezekkel a szerkesztési fogásokkal egyben megjelenítünk egy teret is, amelyben ezek a konstrukciós fogások érvényesek. Most egy harmadik tényezőként ezt a teret is figyelemmel kell kísérnünk a gondolatmenet során. Negyedik lépésként föl kell idéznünk, mit vezet be Kant a térrel kapcsolatban a Transzcendentális dedukció című fejezet egyik sarkalatos pontján:

  • 34Természetesen ha mint „teremtményeket” tekintjük őket, akkor talán esetükben is jogosult az alkalmazás. De a példa csak azt mutatja, hogy legalábbis képesek vagyunk más módon is tekinteni rájuk. Természetesen az emberi tevékenység késztermékeit is képesek vagyunk egy nézőpontváltással puszta adottságokként és nem konstruktumokként szemlélni, de természeti tárgyak esetében ez talán nyilvánvalóbb.

De valamely különféle kapcsolata általában soha az érzékek útján nem kerülhet belénk, tehát nem is foglaltatik egyúttal az érzéki szemlélet tiszta formájában; mert a képzelőerő spontaneitásának aktusa, s minthogy ez utóbbit az érzékiségtől való megkülönböztetése végett értelemnek kell neveznünk, ennélfogva minden kapcsolat, […] akár az érzéki, akár a nem-érzéki szemlélet kapcsolata, értelmi cselekedet, melyet általánosan szintézisnek fogunk nevezni, ezzel kifejezve, hogy semmit sem gondolhatunk a tárgyban egybekapcsoltnak, amit magunk nem kapcsoltunk előbb egybe. (102. p., B130. kiemelés nem az eredetiben.)

Ebből először is – Kant által is alátámasztva – láthatjuk azt a kapcsolatot, amelyet az előbb a konstrukció két fogalma között teremtettünk, másodszor viszont ebből megtudjuk, hogy ez a tér maga is egy konstrukció vagy – Kant terminológiájával élve – egy szintézis, vagyis az értelem egy képességének (a képzelőerőnek) a terméke. Most teljesen lényegtelen, hogy a fönti idézetben Kant a transzcendentális esztétika eredményeire támaszkodva ezt a terméket az érzékiség tiszta formájaként értelmezi. Természetesen már ez is föltételezi, hogy maga a tér egy konstrukció, és nekünk pusztán ennyi a fontos. Attól akár el is tekinthetünk, hogy miféle szintézis eredménye ez a sajátosság.

Ezzel összeállt minden ahhoz, hogy számot adhassunk a szintetikus ítéletek lehetőségéről. Első lépésben azt használtuk ki, hogy egy háromszöget nemcsak egy adott homogén egységként tudunk megragadni, hanem konstruktumként is. Itt él Kant azzal a tézissel, hogy – mint A tiszta ész diszciplínájában írja – a matematikai definíciók a fogalmat „maguk hozzák létre”, és nem pusztán „magyarázzák”, mint a filozófiában adható meghatározások. Ez lehetővé teszi, hogy a háromszöget konstruktumként fogjuk föl, és egyben szükségessé teszi, hogy egy konstrukciós folyamat termékeként is értelmezzük. Ebben a konstrukciós folyamatban (a szerkesztésben) viszont, mint az első részben láttuk, egy olyan általánosabb értelemben vett tér fejeződik ki, amely Kant szerint maga is egy strukturált konstruktum, vagyis szintetikus egység. Éppen ez az utóbbi észrevétel teszi lehetővé, hogy pl. a háromszögben is jelenlévő struktúrára támaszkodva lépjünk túl a háromszög fogalmán. Már az ekthesis során, amikor még csak a háromszöget magát konstruáljuk meg, megjelenítjük a teret is, amely lehetővé teszi, hogy a szerkesztés következő lépésében az újabb vonalakat és segédalakzatokat ugyanennek a térnek a sajátosságait kihasználva vezessük be. Magára arra az általánosabb struktúrára támaszkodva lépünk túl a háromszögben már benne foglalt kapcsolatokon, amelyre éppen ennek a háromszögnek éppen ezek a sajátosságai világítanak rá. Mindez tehát azért lehetséges, mert a háromszög maga is a kapcsolatoknak egy olyan rendszere, amely kapcsolatok egy általánosabb struktúra részei. Az új individuumok bevezetését tehát az teszi lehetővé, amit már az általános érvényűség vizsgálatakor bevezettünk. Hintikka megoldásának éppen az a legfontosabb és egyben legmeglepőbb jellemzője, hogy a szintetikusság a kapcsolatok modellálásának lehetőségével együtt jelenik meg. Ezért félrevezető az elméletet pusztán az egzisztenciális megjelenítés fogalmára leszűkíteni.

Röviden meg kell még vizsgálni, hogy, Hintikka szinteticitásról szóló elméletének ilyen értelmezése mellett, azon szűk keretek között maradtunk-e, amelyeket a vizsgálódás elején magunknak megszabtunk. Hogy nem kellett ennek során a teret mint az érzéki szemlélet formáját figyelembe vennünk, az világos; azt végig mint fogalmi konstrukciót kezeltük. Kérdés, hogy túlléptünk-e mindazon, amit már az a priori jelleg vizsgálatánál fölhasználtunk, vagyis hogy továbblépést jelentettek-e ennek a szakasznak a vizsgálódásai.

Az általános érvényűség megvilágításakor a teret annyiban vettük figyelembe, amennyiben az a szerkesztés mozzanatai által pusztán megjelent, ezzel egy általánosabb „keretet” biztosítva a szerkesztés folyamatának. (Itt az új individuumok csak mint általános tér által meghatározott szabályoknak alávetett objektumok jöttek számításba, tehát mint olyanok, amelyek bármely más esetben is ugyanígy használhatók.) A szükségszerűség esetében ugyanezt a teret annyiban vettük figyelembe, amennyiben a matematikai ítélet nem erről a térről magáról szólt, nem is a benne megjelenő háromszögről, hanem a kettő kapcsolatáról. Míg végül a szintetikus jellegre vonatkozó értelmezésben a tér maga is konstrukcióként jelent meg, így adva lehetőséget új individuumok bevezetésére.

Nem elég tehát, hogy a háromszögben meghatározott szerkezeteken „túlnyúló”, és így átfogóbb vagy általánosabb jellegű konstrukcióként vegyük tekintetbe a háttérként szolgáló teret, hanem úgy kell tekintenünk, mint amely új individuumok bevezetését teszi lehetővé. Az előbbi esetben a szintetikus jellegnek csak a „leíró” meghatározását tartanánk szem előtt, és éppen ez az, amit már az általános érvényűség vizsgálatakor is megfigyeltünk. A szintetikusság értelmezésekor azonban kizárólag a „konstruktív” értelmezésre szabad építenünk. Így érthető, hogy Kant miért szakít a definíción a Prolegomenában.

Hogy itt valami többről van szó, mint amiről már az a priori jelleg vizsgálatakor is számot adtunk, abból is világos, hogy az analitikus/szintetikus határvonal a mai értelemben vett logikán belül húzódik. Most tehát egy olyan részt különítettünk el, amely a korábbi vizsgálódások révén még nem volt elkülöníthető. Az a fajta „háttér”, amelyet az általános érvényűség esetében kimutattunk, tulajdonképpen a logika egészének, így a kijelentés logika esetében is adódik. Korábban azt mondtuk, hogy a következtetések már itt is egy általánosabb „logikai térben” zajlanak, amelyet axiómák határoznak meg, és amely „túlnyúlik” a premisszákban szereplő jelek puszta jelentésére.35 A szintetikus jelleg tehát több ennek a háttérnek a jelenlétére való utalásnál. Ez Kantnál is megjelenik az ítéletekre vonatkozó további megkülönböztetésekben. Mint Allison megállapítja, Kant a Logikai előadásokban és az Eberharddal folytatott levelezésében bevezet két további disztinkciót: az egyiket olyan ítéletek közt vonja meg, amelyek formálisan, illetve amelyek materiálisan terjesztik ki az ismereteinket, a másikat pedig a közvetlen, illetve a közvetett módon analitikus állítások elválasztásával teszi meg.36 Az első megkülönböztetés bizonyos analitikus ítéletek és a szintetikusok között von határvonalat, és ara enged következtetni, hogy azért van rá szükség az analitikus/szintetikus különbségen túl, mert vannak olyan analitikus ítéletek is, amelyek még formálisan sem terjesztik ki az ismereteinket. Ez utóbbiak lennének a tautológiák (közvetlenül analitikus állítások), amelyeket Kant így megkülönböztetni látszik az analitikus ítéletek egy másik osztályától. (A közvetett módon analitikus állításoktól).37 Ezek szerint van hely olyan analitikus ítéletek számára Kant elméletében, amelyek bizonyos értelemben kiterjesztik az ismereteinket, és amelyek nem „közvetlen” módon analitikusak. Ez azt jelenti, hogy ezek állítmányát nem pusztán az „azonosság alapján” gondoljuk, hanem az állítás folyamán támaszkodunk valamire, ami az alany fogalmánál általánosabb. (Ezt Kant példája is jól mutatja.38 Ennek megfelelően a szintetikus jelleg nem pusztán azt jelenti, hogy az alany fogalmán kívül az állítás során még valami másra is támaszkodunk, hanem annyiban kell másra támaszkodnunk, amennyiben azon keresztül valamit hozzákapcsoltunk az alany fogalmához.

  • 35Még ha úgy fognánk is föl a dolgot, hogy azt a teret, amelyben a következtetés zajlik, éppen azoknak a logikai jeleknek a jelentése határozza meg, amelyek a premisszákban szerepelnek (és így az előbbi semmilyen értelemben sem „nyúlna” túl az utóbbiak jelentésén), akkor is például egy következtetés esetén (még a legegyszerűbb esetben is, mondjuk a { ha a, akkor b, a} = > b következtetésnél) rá lennénk utalva még következtetési szabályokra is, amelyek nem foglaltatnak benne a premisszában szereplő logikai jelek jelentésében. Ennek a ténynek egy szellemes megfogalmazását adja Lewis Carrol: What the Tortoise Said to Achiles című írásában.
  • 36Lásd Kant’s Transcendental Idealism, 75. p. és a hozzákapcsolódó jegyzetek.
  • 37Hogy tisztábban megértsük ezeket a megkülönböztetéseket, néhány szót kell ejtenünk Kant ítéletekről alkotott elméletéről (lásd Allison, i. m. ch. 4). Mint Allison megfogalmazza, ez az elmélet igen erősen „intencionális” jellegű, vagyis támaszkodik arra, amit a benne szereplő fogalmak (szubjektum, predikátum) „intenciójának” nevezhetnénk Kantnál. Egy fogalom intenciója, tehát ún. „jegyek” egy aggregátuma, amelyek a fogalom definícióját alkotnák, ha meg tudnánk adni őket. A test fogalmának intenziójában pl. olyasmik szerepelnek, mint kiterjedés, áthatolhatatlanság stb. Amennyiben csak így tekintjük a fogalmat, annyiban Kant arra az analitikus egység kifejezést alkalmazza. Ezenfelül természetesen minden fogalom rendelkezik egy szokásos értelemben vett extenzióval is. Az ítéletben a fogalom az előbb említett analitikus egység mellett az értelem illetve a képzelőerő közjátéka révén egy szintetikus egységgel ruháztatik föl. Ez az, aminek révén a fogalom az ítéletben objektív érvényességet, vagyis tárgyi vonatkozást kap. E fölépítés révén oszthatók az ítéletek a föntebbi három osztályba. Először is amennyiben a predikátum olyasmit állít a szubjektumról, ami abban pusztán mint analitikus egységben szerepel (tehát az intenziójának eleme), akkor az ítélet közvetlenül analitikus lesz, és pusztán az „azonosság alapján” állítható. Másodszor: amennyiben nem eleme az intenziónak, hanem csak egy abban szereplő másik fogalom intenziójának (ez természetesen tovább iterálható), akkor az ítélet „közvetett módon” lesz analitikus, mert még valami további elemzésre is szükség van ahhoz, hogy a predikátumot a szubjektum fogalmában megtaláljuk (így, bár csak formálisan, mégis kiterjeszti az ismereteket). Harmadrészt, egy szintetikus állítás predikátuma úgy is vonatkozhat alanyra, hogy annak a tárgyra való vonatkozását bővíti további meghatározásokkal. Ebben a kapcsolatban a fogalmak tehát már nem pusztán mint analitikus egységek szerepelnek, hanem tárgyi vonatkozásuk is szerepet játszik. Nem hiszem, hogy Kant szintetikus állításokra vonatkozó elmélete ennél kisebb apparátussal rekonstruálható lenne, ahogyan azt pl. az egzisztenciális állításokra és az ontológiai istenérvre vonatkozóan Altrichter Ferenc próbálja részletesen kidolgozni (Fogalom és Lét: logikai út Istenhez, különösen V. rész).
  • 38Allison az Eberhard-levelezésből hozza a példát. Eszerint a „minden test kiterjedt” közvetlenül analitikus, mert a kiterjedés magának a tárgynak a „jegye”, míg a „minden test osztható” csak közvetve, mert az oszthatóság csak a kiterjedés fogalmának közvetítésével „jegye” a testnek, így itt az azonosságon kívül valamiféle tranzitivitásra is támaszkodunk az állítás során (75.)

Most már lezárhatjuk azt a gondolatsort, amely az a priori szintetikus ítéletek a priori és szintetikus oldala közti kapcsolatot vizsgálja. Ezzel összefüggésben most már azt is megállapíthatjuk, hogy az a priori jelleg a szintetikus állítások esetében elválaszthatatlannak bizonyul a szintetikus tulajdonságtól. Azért kaptuk ezt az eredményt, mert – mint igyekeztem kimutatni – az a priori sajátosság két elválaszthatatlan jele és a szintetikus tulajdonság között is csak egyfajta „intenzionális” különbség mutatható ki.

III. Transzcendentális filozófia és matematika

Befejezésül Kant filozófiájának egy olyan vonását vegyük szemügyre, amelyben talán a matematikai ítéleteknek az előzőekben fölvázolt fölfogása tükröződik.

Ehhez először arra a furcsa tényre szeretnék kitérni, hogy vizsgálódásaink egyik fázisában sem kellett föltétlenül a térre mint az érzéki szemléletünk formájára hivatkozni. Hintikka értelmezése nyomán ezt még a szintetikus jellegre vonatkozó vizsgálatok folyamán sem kellett megtenni. Valójában éppen azért szűkítette le a szemlélet fogalmát egy individuum reprezentációjára, hogy ezt el tudja kerülni.39

Másrészt viszont Allison kimutatja, hogy félreértés Kantnak a térre és az időre mint érzékiségünk a priori szemléleti formájára vonatkozó érveit úgy kezelni, mint amelyek Kant geometriáról alkotott nézetein alapulnak.40 A Transzcendentális esztétika azon érvei, amelyek az a priori szemléletek transzcendentális idealitására vonatkoznak, tehát függetleníthetők a geometriai állítások a priori szintetikus voltától.

A két rész – úgy tűnik – egymástól függetlenül megalapozható. Mi volt akkor Kant indítéka ara, hogy a kettőt mégis összekapcsolja? Egyrészt mondhatnánk azt, hogy ha az euklideszi geometria nem is abszolút, a hétköznapjainkban használatos nagyságrendek keretein belül azonban mégis ehhez vagyunk kénytelenek igazodni. Nem hiszem azonban, hogy Kant empirikus hivatkozással alapozta volna meg rendszerének egyik pillérét. Mint láttuk, az érzékiséget és értelmet Kant úgy választotta el egymástól, hogy az előbbi egy passzív jellegű képesség volt, míg az utóbbi aktív rendezőelv, amely az előbbitől kapja az elrendezésre való „anyagot”. Kant amiatt, hogy ehhez a sémához tartotta magát, minden olyan fakultást, amelyen keresztül adatik valami az értelem számára, az érzékiséghez volt kénytelen sorolni. Így azzal a fakultással is hasonlóan kellett eljárnia, amelyen keresztül a priori adatnak számunkra új individuumok. Nem maradt számára nyitva egy olyan út, hogy a szemléletet ne érzéki módon értelmezze. (Mint pl. Hintikka.41 Még abban az esetben sem, ha az a szemlélet történetesen éppen formális szemlélet, mint például a tér vagy az idő. Ugyancsak erre a sémára támaszkodva különítette el az emberi értelmet egy tisztán szemlélő vagy gondolkodó értelemtől, és rombolta le a „hagyományos metafizika tornyait”. De mi késztette Kantot arra, hogy gondolkodásának alappillérévé éppen ezt az elkülönítést tegye meg?

  • 39Hogy milyen vonások különíthetők el még a szemlélet kanti fogalmában, arra vonatkozóan lásd Altrichter Ferenc Fogalom és szemlélet című írását.
  • 40Ilyen nézetet fejt ki pl. P. F. Strawson, a The Bounds of Sense című könyvében. Allison idézett ide vágó megjegyzését lásd Kant’s Transcendental Idealism. 81. p.
  • 41Egy későbbi cikkében Hintikka arisztotelészi eredetű koncepcióként írja le Kantnak azt a föltevését, amely nyomán arra a meggyőződésre jutott, hogy azt a módot, ahogyan az individuumokkal konfrontálódunk, pusztán az érzékiség adná. Hintikka szerint már ez a „találkozás” sem pusztán passzív folyamat, hanem a keresés és fölkutatás aktív játékát és különböző módozatainak leírását igényli, lásd Kant’s transcendental method and his theory of mathematics.

Hogy erről megkockáztathassunk egy föltevést, vissza kell emlékeznünk arra, amit a matematikai tételek szükségszerűségéről mondtunk. Láttuk, hogy azt a sajátos szükségszerűséget, amellyel ezek az állítások bírnak, az teszi lehetővé, hogy nem annyira a „dolgokról magukról” (háromszögekről vagy a térről), hanem sokkal inkább azok kapcsolatáról szólnak. Ha most emellett még fölidézzük azt a megfogalmazást is, amellyel Kant a transzcendentális filozófiát alapvetően meghatározza, akkor a kettőnek egy érdekes formális megfelelését figyelhetjük meg. Kant a jól ismert mondatban azt fogalmazza meg, hogy egy ismeretet annyiban nevezi transzcendentálisnak, amennyiben az nem annyira a tárgyakkal magukkal, hanem azok a priori megismerésének módjával foglalkozik. Mármost, mint láttuk, Kant föltevése szerint bármilyen ismeret illetve megismerés csak az által a kapcsolat által lehetséges, amely az értelem az érzékileg adott anyaga között fönnáll. Ehhez még hozzátehetjük Kant filozófiájának azt az alapvető jellegzetességét, amely – mint Allison egy helyen rámutat – „az egész kritika mögött implicit módon ott van”, és amely azt fogalmazza meg, hogy mindenfajta objektív szükségszerűségnek valamiképpen az elme megismerő sajátosságát kell tükröznie. (27) Ekkor lehetőség adódik arra, hogy a matematikai szükségszerűségnek az előbb említett sajátos jellegét úgy tekintsük, mint ami modellként szolgálhatott Kant számára a megismerés fönt említett alapvető sémájához a transzcendentális gondolkodásmód megalkotásakor. Éppen úgy, ahogyan egy matematikai vagy geometriai tétel csak egy általánosabb struktúrához vagy térhez viszonyítva szükségszerű, ismereteink objektív szükségszerűsége is csak az értelem által nyújtott általános struktúrák révén nyert háttér előtt adódik. Ekkor az sem lenne véletlen, hogy éppen az a priori szükségszerűség vizsgálatakor kerültünk leginkább annak közelébe, hogy a geometria terét egyben a szemlélet formájaként értelmezzük. Így talán megragadhatunk valamit, transzcendentál-filozófia és matematika kapcsolatából is.

Irodalom

  1. Allison, H. E.: Kant’s Transcendental Idealism. Yale University Press, New Haven 1983.
  2. Altrichter Ferenc: Fogalom és szemlélet. Lehetséges-e egyáltalán? Atlantisz, Budapest 1993.
  3. __ __ : Fogalom és Lét: logikai út Istenhez. Észérvek. Atlantisz, Budapest 1993, 27–48. p.
  4. Brouwer, L. E. J.: The effect of intuitionism on classical algebra of logic. (1955) Brouwer 1975.
  5. __ __ : Collected Works. Vol. 1 (ed. A. Heyting). North-Holland, Amsterdam 1975.
  6. Detlefsen, M.: Constrictivism. Guinnes 1994.
  7. Guinnes, I. G. (ed.): Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences. Routledge, London–New York 1994.
  8. Carrol, Lewis: What the Tortoise said to Achiles. Mind 4 (1985), 278–280. p.
  9. Heyting, A.: Intuitionism. An Introduction. North-Holland, Amsterdam 1956.
  10. Hintikka, J.: Logic, Language-Games and Information. Clarendon Press, Oxford 1973.
  11. __ __ : Kant on the mathematical method. Posy 1992, 21–43. p.
  12. __ __ : Kant’s transcendental method and his theory of mathematics. Posy 1992, 341–361. p.
  13. Kant, Immanuel: A tiszta ész kritikája. (Fordította Alexander Bernát.) Akadémiai Kiadó, Budapest 1981. (A tanulmány megírása után jelent meg Kis János új fordítása.)
  14. __ __ : Prolegomenája minden leendő metafizikához. Franklin Társulat, Budapest 1909.
  15. __ __ : Levelek Marcus Herzhez a kritikai eszme érlelődéséről. Tengelyi 1988, 237–260. p.
  16. Kitcher, P.: Kant and the foundation of mathematics. Posy 1992.
  17. Parsons, C.: Kant’s Philosophy of Arithmetic. Philosophy, Science, and Method. ed. by S. Morgenbesser, P. Suppes, and M. White, St. Martin Press, New York 1969, 568–594. p.
  18. __ __ : Arithmetic and the Categories. Posy 1992, 135–159. p.
  19. Posy, C. J. (ed.): Kant’s Philosophy of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London 1992.
  20. Putnam, H.: Mathematics without foundation. The Journal of Philosophy 64 1967, 5–22. p.
  21. __ __ –P. Benacerraf (eds.): Philosophy of Mathematics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1964.
  22. Rodriguez-Consuegra, F. A.: Mathematical Logic and Loicism from Peano to Quine. Buinnes 1994.
  23. Russell, B.: Introduction to Mathematical Philosophy. George Allen and Unwin Ltd., London 1970.
  24. Ruzsa Imre: Matematika II. Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
  25. __ __ : Logikai szintaxis és szemantika I. Akadémiai Kiadó, Budapest 1988.
  26. Shapiro, S.: Metamathematics and computability. Guinnes 1994.
  27. Strawson, P. F.: The Bounds of Sense. Methuen, London 1966.
  28. Tengelyi László: Kant. Kossuth, Budapest 1966.
  29. Thompson, M.: Singular Terms and Intuitions in Kant’s Epistemology. Posy 1992.
  30. Újvári Márta: Kanti témák a mai angolszász analitikus filozófiában. Akadémiai Kiadó, Budapest 1966.
  31. Young, M.: Kant on the construction of arithmetical concepts. Kant-Studien 73 (1982), 17–46. p.
  32. __ __ : Construction, scematism and imagination. Posy 1992, 159–177. p.
A megújult Magyar Filozófiai Szemle címlapja
Zusammenfassung

Transzendentalphilosophie und Mathematik im Denken Kants

Der Verfasser versucht die mathematisch-philosophischen Ansichten Kants zu überblicken und ins Ganze der kantischen Transzendentalphilosophie einzuordnen.

Zunächst werden die Faktoren betractet, die auf Grund der mathematischen und logischen Forschungen der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts dazu beigetragen haben, die kantische Begründung der Mathematik neu zu deuten. In der Debatte, die sich seit der Mitte des Jahrhunderts entfaltet hat, spielte der Grundsatz von Church (1936) eine wichtige Rolle (so etwa in den Gednken Jaakko Hintikkas).

Im zweiten Teil wird versucht, die Ansichten Kants über die a priori synthetischen Grundsätze der Mathematik zu interpretieren. Das a priori wird – den Analysen Kants folgend – in zwei Teilen untersucht. Das bedeutet die Analyse (1) der Allgemeingültigkeit und (2) der Notwendigkeit der obigen Grundsätzen. Im Gegensatz zu traditionellen Ansichten wird gezeigt, daß schon bei der Untersuchung dieser beiden Merkmale des apriorischen Aspekts notwendig ist, sich auf eine gewisse Anschauung des „Raumes” zu berufen. Das bedeutet einerseits, daß Allgemeingültigkeit und Notwendigkeit – im Fall von synthetischen Grundsätzen – sich nur durch die verschiedenen Interpretationen desselben Faktors (desselben „Raumes”) unterscheiden. Der Unterschied zwischen den beiden Merkmalen ist also nur intensional. Es zeigt aber andererseits auch, daß der Begriff des a priori im Fall von synthetischen bzw. analytischen Sätzen in völlig verschiedenen Sinne anwendbar ist.

Im letzten Teile werden die synthetischen Eigenschaften der mathematischen Grundsätze interpretiert. Der Artikel versucht nachzuweisen, daß derselbe „Raum”, der sich bereits im zweiten Teil als grundlegend erwiesen hat, auch in diesem Fall eine bestimmende Rolle spielt. Wir können zusammenfassend feststellen, daß die Apriorität genau so sehr wie die Syntheticität eines geometrischen oder aritmetischen Grundsatzes, die Notwendigkeit einer Berufung auf die im Hintergrund eine wichtige Rolle spielende „reine” Anschauung des Raumes nach sich ziehen.

Zum Schluss wird aufgrund der vorgelegten Analyse skizziert, wie weit diese Mathematik Auffassung Kants die Herausbildung der Transzendentalphilosophie in ihrem Ganzen bestimmt haben mag.

Forrás