A matematikai élményekről és az esztétikumról

Kupás Péter
Szakdolgozat

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Matematika tanári szak

Témavezető
Ropolyi László
Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék
matematika

Tartalom

Bevezető
A matematika néhány lehetséges értelmezése
Alapvonások
Objektivitás
A rend
Megértés
A meglepetés
Módszerek
Vizualitás, képalkotás
Egyéni tulajdonságok
A matematikai és az esztétikai élmény
Irodalom

szóelválasztás

Bevezető

A matematikáról nagyon eltérő élménybeszámolókat hallhatunk. Örülni szoktunk annak, ha megoldottunk valamit, belső biztonságot ad, hogy képesek vagyunk rá, az ilyen irányú képességeinket környezetünk is értékeli. Találhatunk benne meglepő, meghökkentő tényeket, nehezen elképzelhető dolgokról mondhatunk nagyon pontos, világos állításokat. Első ránézésre zűrzavaros jelenségek szinte a szemünk láttára tisztulnak ki. Valamiféle ki nem mondott bizonyosság, fennkölt rend szűrődik át szavainkon, rajzainkon, gondolatmeneteinken. Egy halvány sejtés, hogy a világ mégiscsak egyszerű, érthető. Aztán néha úgy látjuk, képtelenek vagyunk bizonyos teljesítményekre, számunkra megoldhatatlan feladatokkal szembesülünk. Van, amikor idegennek, jelentéktelennek, gondoljuk ezt a fajta kérdésfeltevést. Egyaránt érdemes foglalkozni azzal, hogy mi az, ami vonz, s mi az, ami taszít itt bennünket.

Ennek megfogalmazása közben néhány gondolatcsoportot elkülöníthetünk, nem felejtkezve meg persze az ezeket összefonó szálakról sem. A matematika jellegzetességei leginkább az általa nyújtott élmény szempontjából kerülnek itt megvilágításba, a lehetséges esztétikai vonatkozásokat szem előtt tartva. Az „Alapvonások” című rész címszavai olyan alapmotívumaira utalnak, amelyek leginkább befolyásolhatják hozzá fűződő viszonyunkat.

Lássunk néhány közvetlenül adódó kérdést, amely az esztétikummal kapcsolatban felmerülhet: Meg lehet-e fogalmazni a lényegét, lehet-e rá általánosan igaz megállapításokat tenni? Van-e közös alapja a természeti, és az emberi alkotásban fellelhető szépségnek? Igaz-e, hogy ahány jelenség, annyiféle esztétikum van, például egy zenemű és egy festmény, vagy akár két zenemű is összehasonlíthatatlan? Mennyire függ kulturális tényezőktől? Mi a szerepe életünkben? Ezekre sokféle válasz elképzelhető, a legutolsóval kapcsolatban például az is elgondolkodtató lehetőség, hogy a legfontosabb, a legmeghatározóbb erejű emberi tényező, s ha megfelelően széles körben értelmezzük, akkor minden tevékenységünkben ott van, annak célja, értelme, mértéke. A kérdések pontosítását, tisztázását, a válaszadás lehetőségét, a lehetséges válaszokat természetesen itt nem követjük végig, a megközelítési módok sokfélesége miatt teljes részletességgel a matematikával összefüggésben sem. Nem helyezünk előtérbe egy közismert rendszert sem, a témára vonatkozó meglátásainkat legvégül foglaljuk össze.

Az esztétikum és a matematika közötti kapcsolat kérdése felvetődik például azért, mert néha céltudatosan, néha rejtetten, de mindig szeretjük közös képbe foglalni, sőt közös tőről gyökereztetni tapasztalatainkat, tevékenységeinket. Érthető törekvés ez, mert lehetőségünk van általa környezetünket is és önmagunkat is jobban megismerni. Korunk világképében meghatározó szerep jut a tudományoknak, amelyekre módszerüket tekintve jellemző, hogy a részletek vizsgálatából vonnak le következtetéseket az egészre vonatkozóan, így lehetséges annak az állapotnak a létrejötte, amikor szinte mindegyik tudományterület megtalálni vél lényeges alapokat az emberre és a rajta kívül eső világra nézve, de ezek összeegyeztetése reménytelen feladatnak tűnik, ezek inkább komplementer elképzeléseknek látszanak, mint egymással összefüggőknek. Más kérdéseket tesznek fel, ezek megválaszolására eltérő fogalomrendszereik vannak, s egymás számára keveset tudnak mondani, mintha más nyelven beszélnének. Hallhatunk például genetikai meghatározottságunkról, kollektív és egyéni tudatalattinkról, ösztönrendszerünkről, túlélésért folytatott evolúciós harcunkról, önzésünkről, szeretetre való képességünkről, társadalmiságunk erejéről, fizikai determináltságunkról, az entrópia-katasztrófáról, információgyűjtő és hordozó létünkről, aztán a kételkedésre való képességünkről, tökéletes szellemiségünk megvalósításáról, a nirvánáról stb. A hozzáállás kultúránként változik, a nyugati társadalmak redukcionista gondolkodásmódjával szemben a keletre a holisztikus látásmód a jellemző, itt a világ magyarázata, birtoklása, ott annak szemlélése, a vele való együttélés áll előtérben. Megszokjuk, egy idő után természetesnek tűnik, tanulmányaink során is belénk ivódik és szinte megtanuljuk, hogy a lényeg a részletekben van, különböző magyarázatok, gondolatrendszerek kavaroghatnak bennünk, de mesterien tudjuk váltogatni ezeket, mindig azt előhúzni, amelyiket éppen kell. Elgondolkodtató tendencia, hogy sok helyen már az óvodában is tantárgyszerű, előre strukturált „képességfejlesztés” folyik, figyelmen kívül hagyva azt, hogy ha egy utat direkt módon megtanítunk, akkor azzal rögtön ezer más utat zárunk ki. Ha valamire azt mondjuk, hogy fontos, akkor azzal azt is mondjuk, egyebek nem fontosak. Akik hivatásszerűen foglalkoznak tudományokkal, azok közül is sokan nagy energiákat fordítanak arra, hogy összekötő szálakat találjanak kutatási területük és más megközelítések között. A szakembereket leginkább a többé-kevésbé körülhatárolható és világszemléleti módnak is nevezhető tudományos módszer köti össze, mégis egymás meg nem értése a jellemző különböző diszciplínák képviselőinek találkozásakor, még akkor is, ha megvan a hajlam egymás végighallgatására. Józan eszünkkel feltételezzük, hogy kell legyen lehetőség erre. Természetesen mondhatjuk, nincs semmi biztosíték arra, hogy a világban van valamilyen egység, hiszen elvileg fennáll az egymástól teljes mértékben elkülönülő független események halmazának lehetősége is, és a meglátott különböző összefüggéseink valósak csak éppen egy bizonyos szinten túl nincs közük egymáshoz. Kétséges, hogy ezt valaha is sikerül egyértelműen kideríteni, de megmarad a vizsgálódás öröme. Az igény viszont mindenkiben megvan a minél egységesebb világkép megteremtésére. Korlátaink megélésével, lehet túllépni rajtuk.

A matematikáról alkotott véleményünk természetesen nagyon sok mindentől függ. Az, hogy mit hozunk magunkkal születésünkkor és mit kapunk életünk folyamán nyílt kérdés, ezzel kapcsolatban lehetnek azonban észrevételeink. A viszony legtöbbször elég korán eldől, s lényegi változáson ritkán megy át. A kezdeti sikerek, vagy sikertelenségek meghatározhatják, hogyan viszonyulunk pl. a logikai fejtörőkhöz, az iskolai oktatás szellemisége lelkesíthet, vagy elkedvetleníthet, lényegében függetlenül attól, hogy mit tanítanak. A családi légkör és a különböző közösségek, amelyeknek tagjai vagyunk alakíthatják hozzáállásunkat. Nagyon különbözőek lehetőségeink is tanulmányok folytatására, az anyagi háttér és a viszonylag nyugodt környezet nem mindenkinek adott egyformán.

Szinte senki nem viszonyul semleges módon matematikához, mindenki foglalkozik vele bizonyos ideig, mert iskolarendszerünkben az egyik hangsúlyos tárgy. Később, tanulmányaink befejeztével is sokszor kerülünk kapcsolatba vele áttételesen a technikai segédeszközöktől kezdve a korszellem néha csak finoman érzékelhető, néha szembeötlő árnyalataiig. Így aztán nem is nagyon maradhat senki semleges. A tárgyhoz való viszonyban pedig minden elképzelhető szélsőséget megtalálunk. Sokak számára idegen a szemléletmódja, érdektelenek a problémái, mások érdekesnek és lényegesnek látják. Vannak, akik nyomban elfordulnak addig kedvelt tevékenységüktől, ha kiderül, hogy a matematika témakörébe tartozik, egyesek mindenben azt keresik. Ennek megfelelően a matematika és az esztétikum kapcsolata is igen vitatott téma. Az elkövetkezőkben elsősorban arra keresünk választ, hogy a matematikai élmények nevezhetőek-e esztétikai élményeknek, milyen vonatkozásban igen, milyenben nem. Mindezt természetesen nehéz úgy megtenni, ha az esztétikum maga is meghatározatlan, vagyis ha nem ragaszkodunk egy körvonalazható elképzeléshez rá vonatkozólag. Lévén, hogy nagyon sok különböző megközelítés létezik, ezek idevágó megállapításainak áttekintése korlátozott mértékben sem lehetséges az adott keretek között. A problémát úgy hidaljuk át, hogy szubjektív módon választjuk ki az esztétikum néhány lényegesnek gondolt jellegzetességét.

A dolgozat felépítése a következő: Az első rész a matematikáról alkotott véleményekből foglal össze néhányat, ez a legobjektívebb rész, mert ezek történelmileg kialakult, elterjedt nézetek, úgy gondolom, mindenképpen fontosak a témával kapcsolatban. A második részben a matematikának azon vonásait emelem ki, amelyek szerintem leginkább befolyásolják vele kapcsolatos élményeinket. Konkrét példák, rajzok, képek szolgálnak illusztrálásul ehhez, hogy kiegészítsék, árnyaltabbá tegyék a szöveget és ahol lényeges, ott utalunk a matematika előzőekben felvázolt értelmezéseire. Az összes álláspont viszonyát a felvetődő fogalmakhoz nem követjük végig, például nem térünk ki arra, mit jelenthet a rend fogalma az egyes elképzelésekben, mivel itt az egyéni élmények állnak a középpontban és általában nem úgy éljük meg ezeket, hogy elkülöníthető elképzelésrendszereket váltogatunk magunkban és a határokhoz mereven ragaszkodunk. A feldolgozási forma így illeszkedik a témához. A harmadik részben kerül sor a matematikára vonatkozó eddigi észrevételek esztétikai szempontú vizsgálatára. Itt minden olyan tulajdonság szóba kerül, ami az előző részben hangsúlyosan szerepelt.

Vizsgálódásunkra egyfajta statikus szemlélődés jellemző, mert nem helyezzük előtérbe a matematika fejlődését, a róla kialakult vélemények időbeli változását sem.

Ha távolról akarunk közelíteni a matematikához, akkor tehetjük ezt úgy, mint agytornához, jóleső szellemi erőfeszítéshez, játékhoz, ahol kipróbálhatjuk találékonyságunkat, lemérhetjük képességeinket, s amire mindenki szívesen vállalkozik, mert szeretünk így játszani. A játéknak magának van egy sajátos bűvköre, ahol el tudjuk felejteni korlátainkat, élvezzük, hogy más szabályok uralkodnak, mint amelyek kényszerítő erővel vannak jelen mindenütt, ezek a szabályok emberi mértékűek, ránk szabottak, ezeket szeretjük, mert át tudjuk fogni, teljes mértékben kezelni tudjuk őket. Itt tudunk igazán szabadon mozogni, tőlünk függenek a határok és akármikor kiléphetünk, nincs kockázat, felelősség. A matematika különös terepe a játéknak, hiszen nagyfokú szabadsággal rendelkezünk itt is (szabadon tehetünk fel újabb és újabb kérdéseket, félretehetjük, akármikor elővehetjük, sajátos stratégiákat alkalmazhatunk, véleményezhetjük, hogy valami tetszik-e számunkra vagy sem), de gyakran érezhetjük, hogy amivel játszunk, az nem csak tőlünk függ, hanem hordozza annak a világnak a vonásait, amit éppen elfelejteni szeretnénk. Egy feladvány megoldása addig játék, addig érdekel bennünket a mindenki által megérthető, s így „objektív” válasz, ameddig kényszerítő erők nem lépnek fel. Ha komolyabbra fordul az ügy, valamiért erőlködnünk kell, vagy ha megsejtjük, hogy bármi más módon köze van a valósághoz, akkor az már más, sokan ki is szállnak a játékból, ha nem feltétlenül szükséges, akkor nem akarnak vele különösképpen foglalkozni. Gyakran tagadják, hogy értelmes dolog lenne matematikai lényeget látni a világban, s különösnek, érthetetlennek, erőltetettnek érzik ezt a nézetet. A matematika való világhoz fűződő kapcsolata határvonalat jelent azok között, akik számára továbbra is vonzó marad vele foglalkozni – sokak számára éppen ez a legfőbb érdekessége –, és azok között, akik más, nekik jobban tetsző elfoglaltságok után néznek, s a komolyan matematizálókra furcsán tekintenek. A köznapi valósággal való kapcsolata pedig további viták tárgya, általában senkit nem hagy hidegen, de a vélemények megmaradnak a kellő távolságban egymástól. A kérdés messze vezet, bizonyos szempontból annak is szerepe van itt, hogy mit gondolunk a „külvilág” eleve adottságáról, meghatározottságáról, tőlünk független létéről, van-e ilyen egyáltalán, s amit létezőnek elfogadunk, ahhoz hogyan viszonyulunk.

A témával kapcsolatos észrevételeket előfordul, hogy nem ágyazzuk be egyértelműen egy értelmezésbe, ezek mérlegelését mindenki elvégezheti saját tetszése szerint, egymás melletti bemutatásuk nem véletlen, remélhetően nem haszontalan.

A matematika néhány lehetséges értelmezése

A matematika igazolt állításai mindenki számára egyértelműek olyan szempontból, hogy bizonyíthatóak, gondolatmeneteit végigkövethetjük egészen addig, amíg minden nyilvánvalóvá nem válik, az egész jelenség értelmezésekor viszont nem csak a matematikán belüli kritériumok (pl. a fogalmak egyértelműsége, a szigorú logikai következetesség) számítanak szempontnak, itt több dolog is vitára adhat okot: Micsodák az itt használatos fogalmak? Mire vonatkoznak ezek? Hogyan lehetséges, hogy egyes tisztán matematikai elméletek, amelyek keletkezésükkor kizárólag matematikai objektumokra vonatkoztak, valamint megalkotásukkor csak a logika és rendszerező hajlamunk játszott szerepet, később alkalmazhatóak lettek konkrét gyakorlati problémák megoldásában? Hogyan értékeljük a matematikának a világ leírásában betöltött szerepét, milyen viszonyban van az általunk tapasztalt, egyéb jelenségekhez?

I.

A matematika fogalmai, összefüggései tudatunktól függetlenül léteznek, a külvilágban benne van a matematika. Nem fizikai, materiális, nem térhez, vagy időhöz kötött, hanem szubsztanciális, időtlen és változatlan létezők. Mi, akik szintén részei vagyunk ennek a világnak tudást szerezhetünk róla, s ez nagyon fontos, mert itt valóban alapvető tulajdonságokat ismerhetünk meg. Jellemző ezekre az ismeretekre, hogy a legbiztosabbaknak mondhatjuk, minden ember el tudja fogadni. Olyannyira alapvető részét jelentik ezek világunknak, hogy például ez lehet az egyetlen nyelv, amellyel kommunikálhatnánk egy idegen civilizációbeli lénnyel, minden más specifikus jelensége saját kultúránknak. Ha matematikával foglalkozunk, akkor értelemszerűen nem megalkotjuk, feltaláljuk fogalmainkat, összefüggéseinket, hanem felfedezzük őket, hiszen univerzumunkkal egyidősek, léteznek, függetlenül attól, hogy egy matematikus rájuk talál-e vagy sem.

Platonizmusnak szokták hívni ezt az álláspontot, utalva Platón elképzelésére az ideákról, rendszerében a matematikai objektumok, a pont, a háromszögek, a számok egy külön világban léteznek anyagtalanok, változhatatlanok, s mi időnként fel tudunk fogni valamit ezen tökéletes formákból.

Vannak akik úgy gondolják, a matematikával nemcsak alapvető tulajdonságait ismerhetjük meg világunknak, hanem éppenséggel a legalapvetőbbeket, vagyis a lényeget itt tudjuk leginkább megközelíteni. Nem meglepő tehát az, hogy a természeti jelenségek leírásánál ennyire hasznos ilyen irányú tudásunk. A matematikus számára felemelő élmény új összefüggéseket találni, a bizonyosságot átélni, elsőnek találkozni valamivel, amit birtokba vehet ő, s rajta keresztül minden ember, meghódítani a valóságnak egy újabb szilárd pontját, ezáltal kerülve kapcsolatba a renddel, a mindent átfogó szellemi szervezőerővel, amelynek látására, megérzésére oly nagyon vágyunk.

Bár távol esik az érzéki tapasztalattól, igenis létezik valami, ami érzékeli a halmazelmélet objektumait is. Ez abból a tényből is látható, ahogyan az axiómák ránk kényszerítik magukat, mint igazságokat. Semmi okot nem látok, amiért az ilyen érzékelést, vagyis a matematikai intuíciót kevésbe megbízhatónak kellene tartanunk, mint az érzékszervi tapasztalatot. … Ezek is az objektív realitás egy jellegzetességét reprezentálják.

Kurt Gödel

II.

A világot csak saját nézőpontunkból, emberi szemmel láthatjuk. Önmagunk számára tudatunk adott, arról, hogy a világ milyen, csak úgy alkothatunk véleményt ahogyan gondolkodási rendszerünk közvetíti ezt nekünk. Egy szűrőn keresztül látjuk a világot, belőle csak azt tudjuk felfogni, amit képességeink lehetővé tesznek. Képességünk van bizonyos struktúrák, szimmetriák, összefüggések észlelésére, de hogy mindezek lényegét alkotnák a világnak, azt semmilyen jogon nem mondhatjuk. Tudatunk öntőformáiba kényszerítünk bele mindent, akár beleillik, akár nem. Nem tudjuk, hogy önmagukban hogyan néznek ki a dolgok, ha van egyáltalán értelme ilyenről beszélni. Matematikánkkal tudunk mondani valamit a világgal kapcsolatban, de ezt a lehetőségünket, ezt a képességünket nem szabad túlértékelni és ezt a speciális vonatkozást olyan dolgokra is általánosítani, amelyek lehetnek teljesen más alapokon nyugvók.

Kulturális tényezőktől is függ, hogy milyen matematikát alkotunk meg. Még az egyes nemzetek között is vannak stílusbeli különbségek, más eljárási elveket részesítenek előnyben a franciák, mint az angolok, tehát nem arról van szó, hogy a világ alapvető, tőlünk független működési törvényét boncolgatjuk, fedezzük fel, hanem a sok különböző benyomás, ami ér bennünket így összegződik számunkra. Néhány afrikai népnek a mienktől jelentős mértékben eltérő számfogalma van, világképük mégis lehet kerek egész.

Ha egy jelenséget matematikai módszerekkel jellemezni tudunk, akkor a régebben gyakran használt matematikai elmélet kifejezés helyett helyesebb ennek matematikai modelljét emlegetni. A kozmológiában és a részecskefizikában fellépő értelmezési nehézségek is arra mutatnak rá, hogy nincs a világnak abszolút matematikai lényege, legalábbis nem olyan, mint a mi matematikánk.

Konceptualizmus címszóval foglalhatjuk össze ezeket a nézeteket, amelyek jól összecsengenek gondolkodásunk kanti belső kategóriáival, ahol tudatunk elsődleges alapformái rendszerezik tapasztalatainkat.

A dolgozat szelleme az itt felvázolásra kerülő négy szemléletmód közül ehhez áll a legközelebb. A legmeghatározóbb élmény ezzel kapcsolatban a csodálkozás, hogy létezik, hogy egyáltalán megvalósulhat, hogy felfogható számunkra ez a rend, amelyet értékelni, amelyhez vonzódni tudunk.

A fizika nem azért matematikai természetű, mert olyan sokat tudunk a fizikai világról, hanem azért, mert olyan keveset: csak matematikai sajátságait fedezhetjük fel.

Bertrand Russel

Egy barkochba játék leírása:

…mindenki mosolyog. Ártatlanul kérdezni kezdünk. A válaszok eleinte gyorsan érkeznek. Azután egyre több időbe telik a válaszadás – különös, amikor csak egyszerű »igen«-nel vagy »nem«-mel kell válaszolni. Végül, jó nyomon érezve magunkat, rákérdezünk: »Felhő«? »Igen« – hangzik a válasz, és mindenkiből kitör a nevetés. Amikor kimentünk a szobából – magyarázzák –, abban egyeztek meg, hogy nem egyeznek meg semmilyen szóban. Mindenki saját tetszése szerint válaszolt »igen«-nel vagy »nem«-mel bármilyen kérdést tettünk is fel. Ám bárhogyan is válaszolt, olyan szóra kellett gondolnia, amely saját válaszával – és az összes megelőző válasszal – összhangban volt.

John Wheeler

(Úgy is lehet játszani, hogy ha a kérdés magánhangzóra végződik, akkor igen, ha mássalhangzóra, akkor nem a válasz, a kérdező általában akkor is „kitalálja”, mire gondoltunk, pedig itt általában nincsenek is összhangban az információk.) Érzékletes módon nyújt analógiát ez a történet azzal kapcsolatban, hogy végkövetkeztetésünk mennyire függ attól, milyen törvényeket veszünk természetesnek, fogadunk el kritikátlanul, s milyen könnyen előfordulhat, hogy szabályt találunk ott is, ahol nincs, esetleg találunk egy, a ténylegestől merőben különböző szabályt – vagyis hogy általában mennyire függ a kérdezőtől a válasz.

M. C. Escher: Rajzoló kezek

M. C. Escher: Rajzoló kezek című képéhez – világunk zárt, nincs rajtunk kívül eső kezdet, sem vég, a körből kilépni nem lehet, mert számunkra rajta kívül nincs semmi, a valóságot saját tetteink jelentik.

Ezen a rajzon a középső objektumot beazonosíthatjuk 13-as számnak is és B betűnek is, attól függően, hogy függőlegesen, vagy vízszintesen vesszük figyelembe a környezetét – bárminek az értelmezése függ előzetes viszonyítási szempontjainktól és már meglévő tudásunktól, fogalomrendszerünktől.

A végtelen halmazok tulajdonságainak vizsgálata közben több meglepő jellegzetességre derült fény, amelyek fontosak a matematikáról alkotott véleményünk szempontjából. Ilyen például a következő (előbb egy közismert fogalmakat használó, majd egy matematikában szokásos megfogalmazásban): Egy könyvtárban van két katalógusszerű könyv, az egyik a könyvtár azon könyveit sorolja fel, amelyek hivatkoznak saját magukra valahol, a másik azokat, amelyek nem. Kérdés, hogy melyik katalógusban kell felsorolni a második katalógust, mint könyvet? A másik megfogalmazásban: Legyen R az olyan halmazok halmaza, amelyek önmagukat nem tartalmazzák elemként. Kérdés, hogy R eleme-e saját magának? Mindkét lehetséges válasz esetén logikai ellentmondáshoz jutunk, ezért mondják ezt a jelenséget paradoxonnak, megalkotójáról elnevezve Russel-paradoxonnak.

A matematikában alapkövetelmény a helyes következtetésekre, a helytálló megállapításokra, a bizonyosság megszerzésére való törekvés, s ez a tér, a pusztán absztrakt létezők tere, a számok, geometriai formák, elvont struktúrák világa különösen alkalmasnak látszik arra, hogy értelmünk számára a lehető legpontosabban tisztázzuk, igaz-e egy állításunk, vagy nem. Ha alaposan körvonalazzuk, miről beszélünk, milyen szimbólumokat használunk, valamint mely logikai szabályokat alkalmazzuk, akkor eme rendszerben megfogalmazott állításról mondhatjuk, hogy igaz, ha a már elfogadott alapokból logikailag következik. Az előző furcsaság a halmazokkal nem illik bele a képbe, mert ha a matematika nyelvén értelmesnek fogadjuk el a benne szereplő objektumokat és következtetéseket, akkor nem teljesülhet, hogy egy állítás vagy igaz, vagy a tagadása igaz, vagyis alapvető logikai szabályunk kérdőjeleződik meg.

Ez, és néhány ehhez hasonló furcsaság a halmazelméletben fontos tényező a matematikáról alkotott képünkben, a most következő elképzelésekre ezek nagy hatással voltak.

III.

A matematika lényegét tekintve egy összefüggésrendszer, logikai háló, a tételek nem létező dolgokról szólnak, csak levezethetőek az axiómákból, s az axiómákat is kedvünk szerint választhatjuk. Ami érdekes, az nem más, mint az objektumok közötti kapcsolatok, s nem az, hogy mit jelentenek ezek az objektumok. Tevékenységünk így egyfajta játék, ahol a logika szabályai a játékszabályok, azt hogy mivel játszunk azt már mi határozzuk meg. Kezdetben konkrét megfelelői voltak fogalmainknak (a geometria állításait például rajzokon lehetett követni), később az vált fontosabbá amit az ember logikailag felépített. A matematika levált a való világ tárgyairól. Egy axiómarendszer modelljei olyan rendszerek, amelyek kielégítik az adott axiómákat. Az nem követelmény, hogy egy axiómacsoport szemléltethető legyen, valaminek a megfelelője legyen. A fő kritérium a logikai ellentmondás-mentesség, egy-egy matematikai állításnak nem kell igaznak lennie, csak igazolhatónak, formálisan levezethetőnek a rendszeren belül.

A matematika alkalmazhatósága a természet leírásában csupán érdekesség, nem tartozik a lényegéhez, egy-egy matematikai fogalomnak csak a fizikai realitással való összekapcsolás útján van konkrét értelme, önállóan nincs. Állításai nem a természetre vonatkoznak, igazából nem vonatkoznak semmire

Fontos, hogy mi alakítjuk, mi hozzuk létre ezt az absztrakt világot, nincsenek kötelező érvényű jelzőoszlopok, amelyek mutatnák az utat e világ „felfedezésében.”

A formalizmus néven ismert mozgalom megkísérelte a matematika teljes ágainak olyan axiomatikus alapnyelvezetben való megfogalmazását, amelyből aztán minden értelmes állítás igazsága, vagy hamissága formálisan következik. A végtelen halmazoknál fellépő furcsaságokon elgondolkozva valóban egy lehetséges válasz: igazából az összefüggések számítanak, nem szükséges azzal foglalkoznunk, hogy mit jelentenek, vagy jelentenek-e egyáltalán valamit az általunk használt szimbólumok. Ahhoz a kérdéshez tehát, hogy mi a matematika, így is lehet közelíteni. A formalisták története továbbra is érdekes olyan szempontból, hogy vajon rá, mint kizárólag gondolati építményre milyen megállapításokat tudunk tenni? Meglepő módon matematikai eszközökkel is tudunk róla mondani valamit, ezt mutatja például a Gödel-tétel, amely tulajdonképpen a teljes formalista program megvalósíthatatlanságát bizonyítja.

Saját képzeletünk határtalansága és önmaga rendszerbe foglalása nyújt itt örömet, s a gondolkodásunk szerkezetével, tulajdonságaival való ismerkedés.

A matematikusok olyanok, mint a franciák: bármit mondanak nekik, nyomban lefordítják a saját nyelvükre és voilá! az már teljesen más.

J. W. Goethe

IV.

A matematika egy építmény, az ember azon tulajdonságának szép példája, hogy alapelemekből össze tud állítani valamit, ami eddig nem létezett. Ennél az építkezésnél óvatosnak kell lennünk és annak érdekében, hogy tudásunk minél biztosabb legyen csak a legelemibb intuitív fogalmakat és lépéseket alkalmazzuk. Kiindulási alapként a természetes számokat vesszük és az ezekből véges számú logikai alaplépésben elérhető, megkonstruált objektumról állíthatjuk, hogy tudunk róluk mondani valamit. Csak ha receptet tudunk mondani előállítására akkor tekinthetjük létezőnek a matematika világában. Egy végtelen halmazt például nem tekintünk önmagában értelmes fogalomnak, csak olyan értelemben végtelen, hogy egymás után megkonstruálhatjuk az elemeit és ez vég nélkül folytatható, de egy végtelen halmazzal nem dolgozhatunk, mint lezárt, a többivel azonos szinten lévő fogalommal, nem végezhetünk műveleteket vele, nem mondhatunk ki rá állításokat (potenciális végtelen van, míg aktuális nincs). Az indirekt bizonyítási eljárás sem elfogadható, mert egy állítás tagadásának a lehetetlensége nem bizonyítja magát az állítást, bizonyítva akkor lesz, ha konstruktív eljárásokat alkalmazunk.

Intuicionizmusként (vagy konstruktivizmusként) emlegetik ezt a felfogást, képviselői szerint, ami e szoros határon kívül esik, az már nem matematika, hanem értelmetlenség.

A fizikai világról alkotott képünk is akkor lesz megbízható, ha alapelemekből rakjuk össze konstruktív eljárásokkal, s csak a hasonlóan előállított matematika nyújthat segítséget a leíráshoz.

Világunkat folyamatosan megalkotjuk, kételkedéssel, redukcióval vissza tudunk nyúlni az egyre biztosabb alapokig, ezekre való képességünk felfedezése meghatározó szerephez jut itt.

Alapvonások

Objektivitás

Kétfajta objektivitásról is beszélhetünk a matematikával kapcsolatban. Az egyik a matematika egész rendszerének, állításai igazának abszolút volta, ami minden ember számára nyilvánvaló, nemcsak elfogadható, hanem kényszerítő erejű, sőt lehetséges, hogy az emberi világtól függetlenül is léteznek ezek az igazságok, ahogyan azt a platonisták gondolják. Nem tudjuk máshogyan elképzelni, nem igaznak gondolni bizonyított állításait, mert gondolkodásunk szövedékét teljesen átitatják az itt alkalmazott eljárások. Nem mindenki egyformán érzékeny az ilyen fajta bizonyosságra, de meggyőző erejüket valamilyen szinten mindenki tapasztalhatja. Ezen alapvonás megléte lehetséges lenne önmagában is, de ehhez hozzájárul még egy másik típusú objektivitás is, az ún. külvilágra, az emberi világon kívüli valóságra, a természetre való eredményes vonatkoztathatóság, annak leírásában betöltött szerepe. A természettudományokban a megértés fogalmához szorosan kapcsolódik a matematikai formákkal való leírhatóság.

Amikor egyre több és több mindenről kiderül, hogy nem valósítja meg az abszolút igazságról alkotott elképzelésünket, amikor biztosnak gondolt alapok relativizálódnak, akkor a matematikai igazságok platonista abszolútságáról szóló idea jogos ellenérvként szolgál a teljes káoszról és értelmetlenségről szóló végkövetkeztetésünkkel szemben. Valóban, egy helyes matematikai bizonyítás sajátos időtlenségben létezik, más jelöléseket használunk mint régen és az egész nyelvezet már egész más, de a logikai következtetések ugyanúgy zajlanak. Egy természetes logika hozzánk tartozik. Úgy érezhetjük, különösen biztos tudáshoz jutunk általa. Bármiről való tudásunkat megkérdőjelezhetjük, de talán itt kell a legkevesebb bizonytalan előfeltevésre hagyatkoznunk. (Érdekes különbség van a matematika és már a természettudományok között is: egy bizonyítás, ha jó, akkor az örökre jó, míg kilépve a tiszta szellemi síkból a fizikában pl. valós kérdés, hogy ha egy atom százezer tapasztalt esetben ugyanúgy bomlott el, akkor legközelebb is úgy fog-e, vagyis itt a törvények időbelisége jogosan vethető fel.) A matematika lényegéhez tartozik, hogy a fogalmakat, módszereket pontosan határozzuk meg. Gondolatmeneteit elvileg bárki végigkövetheti, s így mindenki előtt ott van a lehetőség, hogy megértse miről is van szó. Valóban úgy érezhetjük, itt alappillérre bukkantunk.

Az objektivitás megnyilvánul olyan módon is, hogy szellemi életünkben itt juthatunk el az embertől legfüggetlenebb világba, az itteni létezők hordoznak legkevesebbet az emberi sajátságokból, ez tudatos törekvés eredménye, érdekességét jelentős mértekben ez adja.

A matematika sajátos fogalomrendszerében és eljárásaiban megnyilvánuló kétségbevonhatatlansággal kapcsolatban felmerül a kérdés, csak azért tűnik-e számunkra abszolútnak, mert emberi alkotás és a saját értelmi horizontunkon mozog, ezért érezzük abszolútnak, ezért jelenti ezt nekünk, vagy itt valóban mindenre érvényes általános elvekről beszélhetünk. Például logikusan működik-e a világ, vagyis érvényes-e rá a mi logikánk, valóban törvényszerű-e mindenhol az, amit mi magától értetődőnek találunk? Enyhe kételyt ébresztenek ez iránt a kvantummechanika „paradoxonjai”, amikor is észlelünk bizonyos rendet, mert fogalmainkkal megragadható jelenségekkel találkozunk, csak éppen ezek nem logikusak, annak a leginkább használatos értelmében. A lehetőség fennáll arra, hogy később, amikor már több mindent tudunk, megértsük, tehát értelmesnek, sőt logikusnak mondjuk ezeket, ahogy megtörtént ez már nagyon sokszor: felfedezésükkor érthetetlen dolgokon ma már nem is csodálkozunk. Ha viszont elfogadjuk ezt a lehetőséget, akkor lényegében semmire nem mondhatjuk, hogy nem logikus, hiszen lehet, hogy csak azért gondoljuk ezt, mert nem tudunk eleget. Így a világ logikussága egy képlékeny valami lesz, ami önmagában nem jelent semmit. Nem kell viszont a tudománynál maradnunk, számtalanszor szembesülhetünk azzal, hogy egymásnak ellentmondó meglátásaink vannak, s ezeknek utánajárva egyre inkább az lehet az érzésünk, hogy a világ nem a matematikában megszokott vagy igen, vagy nem szerint működik.

A matematika fogalmai gyakran logikai konstrukciók, amelyeket aztán logikával kötünk össze más hasonló objektumokkal. A világnak ez a fajta megközelítése, vagyis annak tisztán logikai vizsgálata lehetetlen, erre – különös módon – azt mondhatjuk, hogy saját (de nem tisztán matematikai) logikánkkal jöhetünk rá. Egy logikai hálót valóban felépíthetünk, ennek tartalma azonban önmagában nincs, további kérdéseket tehetünk fel azzal kapcsolatban, amire vonatkoztatjuk ezt a rendszert. Mondhatjuk azt is, hogy ez sem fontos, a lényeg az összefüggésekben van (a formalistákra utalhatunk itt), de ez a kijelentés megkerül néhány nagyon is lényeges, értelmesnek mondható kérdést. Biztos alapunk nincs tehát a logikán belül, ezeket máshonnan kell szereznünk. Vannak dolgok, amiket nem tudunk kizárólag logikával vizsgálni. Az emberi lét kérdései csodálatosak, de a logika számára egyszerűen paradoxak.

Az ész nem annyira teremtő erő, mint inkább összehangoló és ellenőrző. Még a legtisztább logikai szférában is az intuíció az, ami először érkezik el az újhoz.

Bertrand Russel

Nem esünk kétségbe azon „logikai paradoxonon”, hogy a következő képen a négyzetek között, a sarkoknál sötét foltokat látunk, holott tudjuk, nincs ott ilyesmi, bizonyos szempontból tehát – látásunk szerint – van ott valami, értelmünk szerint viszont nincsen:

M. C. Escher: Körhatár IV. című képéről ismeretes, hogy szerkezetének a matematikában pontos megfelelője van és az összefüggés több részlétet csak azután lehetett teljes mértékben tisztázni, amikor az később megszületett a matematikában. Ez lehet érv amellett, hogy sajátos látásmódunk mindenütt megnyilvánul, tehát egy kép megszerkesztésénél működő érzékünk tevékenykedik a matematika megalkotásánál is, így a matematika terén is csak azt tudjuk meglátni ami sajátos szemszögünkből látható, de amellett is érvelhet, hogy a világban objektíven benne lévő formára bukkantunk, így nem véletlen, hogy a matematikában is és a művészi tevékenységünkben is felbukkan.

M. C. Escher: Körhatár IV.

A matematika abszolút voltához hozzátartozik, hogy annak megítélése, mi az, ami megüti a magasra tett mércét, úgy tűnik nem egyértelmű, nehéz általános kritériumokat találni.

A halmazelméletben olyan gyönyörű teorémák vannak, mint Cantoré a kontinuum ,megszámlálhatatlanságáról’, amelyeket elég könnyű bizonyítani, ha kezelni tudjuk a nyelvet, de rengeteg magyarázatra van szükség, hogy megvilágosodjék a teoréma jelentése.

G. H. Hardy

Ezt az elméletet megszületésekor akkor is és azóta is elismert, jelentős matematikusok közül többen bizarrnak, értelmetlennek tartották. Hasonló sorsa volt a Bolyai–Lobacsevszkij féle nemeuklidészi geometriának is. Úgy tűnik ezen abszolút igazságok nem hatottak mindjárt a tőlük elvárható meggyőző erővel. A következő szöveg Lebesgues és Hadamard vitáját idézi a cantori halmazelméletről:

Nem térhettünk ki az elől a következtetés elől, hogy annak ami evidens – vagyis ami a bizonyosság kiindulópontja a gondolkodás minden területén – nem ugyanaz a jelentése az ő számára és az én számomra.

Jacques Hadamard

Az tudományos igazság keresése közben az objektivitásra való törekvés többek szerint korántsem az egyetlen meghatározó tényező, például:

Azt hiszem, mostanra három dolgot sikerült minden ésszerű kétséget kizáróan megállapítani: azt, hogy az intellektuális szépség ereje igazságot fed fel a természetről, azt, hogy életbevágóan fontos megkülönböztetnünk ezt a szépséget a pusztán formális attraktivitástól, és hogy a kettő közti finom különbséget ellenőrizni oly nehéz, hogy az a legélesebb tudományos elméket is zavarba hozhatja.

Vagy:

A matematikában a lényeges, a fogalmi reformokat magába foglaló haladást a szépség keresése irányítja. A helyzet lényegében ugyanaz, mint a matematikai fizikában: az intellektuális szépséget egy rejtett realitás jeleként ismerik el. De míg a természettudományokban a valósággal való kapcsolatteremtés érzése egy küszöbönálló felfedezés nem is álmodott jövőbeli empirikus igazolásainak előjele, addig a matematikában a matematikán belüli jövőbeli új elágazások meghatározatlan sokaságára utal.

Polányi Mihály

A szigorú bizonyítás rendszerint az utolsó lépés! Előtte sok sejtést kell tenni, és ezeknél az esztétikai meggyőződés rendkívül fontos.

Roger Penrose

A matematikához fűződő kapcsolatunkat az is meghatározza, hogy egyáltalán hogyan viszonyulunk a tőlünk független, kényszerítő erejű „igazságokhoz”, szükségünk van-e ténylegesen valamiféle biztos tudásra, avagy nagyon jól megvagyunk nélküle is. Elképzeléseink világa néha határozottan jobb számunkra, mint az, ami egy másik nézőpontból a valóságnak látszik. Egy matematikai problémával való foglalkozás megmérettetés is valami objektívhez, s ezt nem mindenki szereti, a matematikát pedig leggyakrabban platonista felfogásban tanítják, örök igazságok gyűjteményeként. Mások számára kihívást jelent egy-egy logikai feladvány, leküzdendő akadályt, ami becsületbeli ügy, amit nem lehet megkerülni. Sokan azért is kedvelik, mert az egyén teljesítményének mérése is kevesebb szubjektív elemtől függ, megítéltetésénél kevesebb esetlegességet kell elviselnie a társadalomtól. Az élvezet mellett fontos lehet ezek megoldása azért is, mert sikereket tudunk vele elérni gyerekkorban éppúgy, mint később, s ez mindenkinek sokat jelent. Hírneves matematikusok egész sora szenvedett attól, hogy életükben nem értékelték kellőképpen munkájukat, s egyáltalán nem elégedtek meg a saját alkotásukban való gyönyörködéssel. Igen nehéz és fáradságos munkára van szükség a sikerhez, de ha megvan, a jutalom sem akármilyen.

A matematika objektivitása fontos, érdekes tapasztalat az egyén számára, de szellemiségének ez a vonása azonban nem vihető át korlátlanul életünk egyéb területeire, életterünket sok szempontból nem jelentheti, nem abszolút minden vonatkozásban.

A rend

A rend fogalma igen átfogó és távolról sem lehet azonosítani a matematikai renddel, még a logikaival sem. Nagyon jól érzékeljük a rendet ott is, ahol nincs szó matematikai fogalmakkal leírható, vagy egyáltalán logikusan vizsgálható dolgokról. Ez egy sajátos rend, amin csodálkozni valóban lehet, alapvető elvként elfogadni és ebből a meghatározott szemszögből látni mindent azonban merész vállalkozás. A matematikusok gyakran azzal érvelnek, hogy egyre több olyan tárgyat tudunk matematikával vizsgálni, ezek számára matematikai alapokat találni, amelyekről régebben ezt el sem lehetett képzelni. Kérdés, hogy meddig lehet eljutni ezen a téren, a vélemények igen eltérőek vele kapcsolatban.

Az évszázadok során a matematikusok kollektív tudata megalkotta saját univerzumát. Hogy ez hol van, nem tudom – s gondolom, a ’hol’ szó itt értelmét is veszti –, de biztosíthatom az olvasót: ez a matematikai univerzum nagyon is reális annak a számára, aki benne él. Az emberiség éppen a matematika révén hatolt be legmélyebben környező világa rejtelmeibe.

Ian Stewart

Fontos itt is megemlíteni a matematika elvont, absztrakt voltát, mert ez a fajta, bizonyos szempontból tökéletes rend nagymértékben ezért lehetséges egyáltalán, a csupán szellemi létezőket tudja szellemünk elrendezni igazán.

A rend – mégpedig az intellektuális rend – megteremtése a legnagyobb emberi adottságok egyike, és elfogadott ténynek számít, hogy a matematika a teljes intellektuális rend tudománya.

Philip J. Davis – Reuben Hersh

A matematikai tudományok különösen a rendet, a szimmetriát és a határt mutatják meg: és ezek a szépség legkiemelkedőbb formái.

Arisztotelész

A rendet szoktuk akkor is értékelni, amikor már meglévő ismereteink kerülnek új, átláthatóbb megvilágításba, s akkor is amikor szinte reménytelen összevisszaságból tudunk értékelhető szabályosságot felszínre hozni. Az utóbbira példa a következő:

Az természetes számok tulajdonságait vizsgálva újra és újra felbukkannak a prímszámok. Ezek bizonyos szempontból alapstruktúráját alkotják a természetes számoknak, mert kettőtől fölfelé minden számot felírhatunk prímek szorzataként. A prímek látszólag mégis mindenféle szabály nélkül helyezkednek el ebben a számsorban, ez vizuálisan is szembetűnő, ha a sorban leírt természetes számok között külön jelöljük a prímeket. Alapvető fontosságuk miatt sokan szerettek volna mondani valamit a prímek elhelyezkedésével kapcsolatban, sokáig kerestek például abban irányban, hogy minden $n$ természetes számra megmondják, hogy $n$-ig hány prím van. Ilyen $\pi(n)$ képletet senkinek sem sikerült találnia máig sem, viszont Gauss megsejtette, majd később be is bizonyították, hogy $\pi(n)$ asszimptotikusan egyenlő $\frac{n}{\log n}$-el, vagyis a hányadosuk 1-hez közelít, ha $n$-et egyre nagyobbra választjuk. Másként felírva:

$$\lim_{n \to \infty } \frac {\pi(n)}{\frac{n}{\log n}} = 1$$

Szabályosságot tehát ilyen formában sikerült felfedezni. További érdekessége e képletnek, hogy vajon miért éppen a logaritmus szerepel benne, van-e ennek mélyebb oka is?

Egy tetszőleges sokszögből kiindulva képezzünk újabb és újabb sokszögeket úgy, hogy az eredeti sokszög oldalfelező pontjai legyenek az új sokszög csúcspontjai. Így majdnem minden esetben a kiindulási zűrzavarból egy ellipszisszerű alakzatot kapunk:

A rend fogalma a matematikán belül is változik, kibővül, az utóbbi időkben például néhány olyan fizikai jelenséget sikerült matematikával megragadni, amelyeknél erre régebben kevés esély volt, igaz a matematikai leírás fogalmát is ki kellett kitágítani hozzá. Ilyenek például az időjárás, egy falevél mozgása a szélben, az ún. kaotikus jelenségek.

Mindennapjainkban nem a matematikában szokásos szigorú rend szerint viselkedünk, ez teljesen nyilvánvaló. Senkit sem zavar, ha nem definiálunk pontosan mindent, amiről beszélünk. A matematikai szigor megtartása mellett kétséges, hogy tudunk e mondani valami lényegeset a világról, avagy elveszünk a részletek tisztázásában. A fizikusok közül sokan mondják, hogy milyen nehéz szavakba önteni, megvilágítani azokat az összefüggéseket, amelyeket megsejtenek, még akkor is ha matematikailag le tudják írni.

Ez a mosogatás is olyan, mint a nyelv. Piszkos a vizünk, piszkos a törlőruhánk, valahogy mégis megtisztítjuk az edényt meg a poharakat. Így állunk a nyelvvel is: tisztázatlan fogalmakkal dolgozunk, és olyan logikát használunk, amelynek nem ismerjük a pontos érvényességi körét; ennek ellenére reménykedünk, hogy mégiscsak tisztaságot teremtünk a természet megértésében.

Niels Bohr

Egyre nyilvánvalóbbá vált azonban, hogy a természet másképpen működik. Alapvető törvényei nem úgy szabályozzák működését, ahogyan az a mi képzeteinkben közvetlenül megjelenik, ehelyett egy, a jelenségek mögött rejlő valamit irányítanak, amelyről nem tudunk képet alkotni oda nem tartozó dolgok bevezetése nélkül.

Paul Dirac

Nagyon sok automatikus elem működik tevékenységeinkben, a világról alkotott képünk is számos olyan elemből épül fel, amelyeket nem ellenőrzünk le állandóan, nem kötjük magunkat abszolútnak gondolt szabályokhoz, lehetőségünk sem lenne bizonyos dolgokat véghezvinni, ha egy, a matematikában használatos határozottan körvonalazott szabályrendszerhez igazodnánk. A rendet megszokásból rendszerint ott is feltételezzük, szemünk egyből megtalálja ott is, ahol később, hosszasabb szemlélődés után kiderül, hogy egyáltalán nem az van, amit először feltételeztünk, ilyen a következő rajz is:

A szívnek megvannak a maga indokai, amelyeket az indokló értelem nem ismer.

Blaise Pascal

Megemlítésre érdemes, hogy nemcsak ez ember alkotja meg a matematikát, hanem a tapasztalatok szerint az is visszahat az emberre. Ha sokat foglalkozunk vele elvont rendje, légköre, szemlélet- és gondolkodásmódja hat ránk. Egyesek szinte teljes mértékben matematikus szemmel látnak minden jelenséget, másoknál csak időnként bukkan ez nyíltan a felszínre, s van, aki éppen ennek a negatívját tarja üdvözítőnek, módszeresen elhárítva minden gyanút arra vonatkozóan, hogy bármi köze lenne az egészhez. Nem születünk eleve ilyennek vagy olyannak, személyiségünkben nagyon sok a tanult, felvett elem, így az is meghatározó, hogy mivel foglalkozunk intenzíven. Egy szemléletmód részünkké válhat, vagy elhatárolódásként negatív részünkké. A matematika látásmódja elég szuggesztív ahhoz, hogy bizonyos szempontból rajta keresztül lássuk a világot. A hangsúlyok nagymértékben különbözhetnek, egy igazi matematikus máshogy lát mindent, mint egy igazi színész. A végletességtől azonban ezzel kapcsolatban ugyanúgy óvakodni érdemes, mint bármilyen más véglettől.

Megértés

A megértés azért fontos tényező a matematika megítélésében, mert bizonyos szempontból itt vagyunk képesek elérni a lehető legteljesebb mértékben. Ha valamit megértünk, ez gyakran felemelő élményt jelent számunkra. Akik szeretnek matematikával foglalkozni, azok közül mindenki átélte a megértés örömét. Furcsa érzés ez, mert ilyen élményünk máshol nemigen lehet, nem maradnak kételyek bennünk, érvényességi köre nem korlátozott, mondhatjuk, hogy teljesen megértettünk valamit. Magyarázható ez azzal, hogy az itteni fogalmakat szellemünk teljes mértékben körül tudja járni, az itteni létezőknek nincsen zavaró fizikai megjelenése, minden elvont, egynemű, csupán szellemi. Kiegészítve ezt még azzal a feltevéssel, hogy a matematika saját alkotásunk, még érthetőbbé válik, hogy jobban értjük, hisz tekinthető ez a világ szellemünk rendező, egyértelműségre, logikai tisztaságra törekvő hajlamának megnyilatkozásaként, létrehozásakor tapasztalatunkat addig csupaszítjuk, az egyértelmű elemeket addig emeljük ki, s hagyjuk el a viszonylagosakat, az új területeket addig elemezzük, míg minden világossá nem válik számunkra. Itt nem függ semmi ellenőrizhetetlen, rajtunk kívül álló tényezőktől, ahogyan ezzel legtöbbször szembesülnünk kell. A valós viszonyokat jobban jellemzi az M. C. Escher képe által sugárzott összefonódás, egymásba nyúlás, a döbbenetes és szoros összetartozás, egymás determinálása, s ugyanakkor a kibogozhatatlan kapcsolatok, a fogalmak, képek ellenőrizhetetlen gomolygása, a tisztánlátás hiánya.

M. C. Escher: Mozaik II.

A legtöbb esetben, amikor valaminek a megértéséről beszélünk, akkor azt inkább felfogjuk, mint önmagunkon kívüli létezőt, amit máshogyan is el tudnánk képzelni, a matematikán belül megértett viszont annyira a sajátunk, hogy annak más formában történő megvalósulása nagyon különös lenne számunkra.

Nem mindenki számára jelent sokat, nem mindenki fogékony a matematika által nyújtott megértésre, többek szerint igazából csak az érzelmi, az átélt megértés számít szemben a pusztán szellemivel. Egyik meghatározó eleme ez annak, hogyan is viszonyulunk a matematikához. A matematikusok általában érzelmileg is kötődnek ehhez a fajta megértéshez, amelyet mások értetlenül szemlélnek.

Már volt róla szó, de ide itt is meg kell említeni, hogy a természettudományokban a megértéshez szorosan hozzátartozik a matematikával való leírhatóság. Érdekes különbség van a matematikusok és egyéb természettudósok hozzáállása között ezen a téren, például a fizikusok sokkal szabadabban kezelik, eszköznek, néha szinte formálható anyagnak, tekintik a matematikát, amit felhasználnak a magyarázat érdekében, míg a matematikusok minden téren ragaszkodnak a precízséghez, mindenféle bizonytalanság elkerüléséhez.

A meglepetés

Magunkban mindenről kialakítunk egy belső képet, tudatosan, vagy ösztönösen az új információkat állandóan összevetjük a már meglévő elképzeléseinkkel, értelmezzük azokat, s ha valami nem illik bele a már meglévő rendszerünkbe, akkor az lehet érdekes, vagy megrázó élmény, attól függően milyen mélyen érint bennünket. A matematikában is érhetnek meglepetések, de itt kizárólag szellemi szinten. Hétköznapi szemléletünk számára és speciálisan a matematikai létezők rendszeréről kialakított mentális képünk számára is akadnak különösnek tűnő megállapítások. Matematikával foglalkozás közben ugyanis az itteni sajátos objektumokat és ezek egymáshoz való viszonyát is elképzeljük valahogyan, s elmondható, hogy ez a rendszer sokban különbözik egyéb rendszereinktől. Érdekességének jelentős eleme, hogy ezen a tiszta szellemi szinten is tud meglepetéssel, váratlan fordulatokkal szolgálni, olyan eredményekkel, amelyek valamiért nem illenek a tárgy eddig elképzelt belső struktúrájába. Ezek gyakran új, felderítésre váró irányokba mutatnak.

Különös, hogy egyszerűen megfogalmazható kérdéseink közül, amelyek között első ránézésre nem látszik nehézségbeli különbség, egyesek valóban könnyen megválaszolhatóak, másokra pedig több mint száz éve történt felvetésük óta senkinek sem sikerült választ adnia. Ezt talán csak a matematika világában tűnik meglepőnek, hiszen nem csodálkozunk különösebben azon, hogy a „Miért öltözünk fel télen jobban, mint nyáron?” és a „Miért van egyáltalán valami, ahelyett, hogy ne lenne semmi?” kérdések közül, amelyeket nyelvtanilag körülbelül egyforma nehézséggel tudunk megfogalmazni, az egyikre természetesnek tűnő választ tudunk adni, a másik azonban zavarba ejtő, nem igen tudjuk, hogyan adhatnánk választ rá, esetleg nem is tudjuk pontosan, mire vonatkozik a kérdés. Egy tetszőleges, egynél nagyobb egész szám és kétszerese közötti egészeket vizsgálva mindig találunk prímszámot, ezt sikerült bebizonyítani és ez a bizonyítás nem is olyan nagyon nehéz, míg az eddig megfigyelt esetek mindegyikében egy pozitív szám négyzete és a tőle eggyel nagyobb szám négyzete között, tehát két szomszédos négyzetszám között is mindig volt prímszám, de senkinek sem sikerült ezt belátnia általánosan, tehát hogy ez mindig szükségszerűen így van.

Nem tudjuk biztosan azt sem, hogy végtelen sok ikerprím van-e, vagyis, hogy végtelen sok olyan két szomszédos páratlan szám van-e, ahol mindkettő prím?

Szokatlan, amikor világosan, egyértelműen, matematikai precizitással megmutatkozik konkrét jelenségek adott szempontú rangsorolásának lehetetlensége. Például nézzük a következő módon elkészített dobókockákat:

Az első: négy lapján 2-2 pont, a fennmaradó kettőn 5-5 pont van.
A második: minden lapján 3-3 pont van.
A harmadik: két lapján 1-1 pont, a többi négyen 4-4 pont van.

Próbáljunk meg sorrendet felállítani a nyerési esély szerint, ha két kockával dobunk és az nyer, amelyiknél több pont van legfelül. Kipróbálható, de ki is számolható, hogy a kockák a következő viszonyban vannak egymással:

$$\frac {\text{első nyer}} {\text{második nyer}} = \frac {3}{2}$$

$$\frac {\text{második nyer}} {\text{harmadik nyer}} = \frac {3}{2}$$

$$\frac {\text{harmadik nyer}} {\text{első nyer}} = \frac {9}{5}$$

Vagyis az első kocka jobb, mint a második, a második jobb, mint a harmadik és a harmadik jobb, mint az első. Elindulunk egy irányban, s mindig felfelé haladva egyszer visszajutunk a kiindulóponthoz, ahogyan M. C. Escher képén a katonák is teszik.

M. C. Escher: Emelkedés és ereszkedés

Van olyan irracionális $a$ szám, amelynél a $\left[ a^{3n}\right]$ kifejezés – ahol $a$-t a $3n$-edik hatványra emeljük, majd az így kapott szám egész részét vesszük – minden $n$ természetes szám esetében prímszámot ad eredményül, viszont nincs olyan egész együtthatós polinom, amely minden egész számra ugyanezt tenné. Az $n^{2}-79n+1601$ másodfokú polinom értéke például $n=1$-től 79-ig prím, de 80-nál már nem.

Hétköznapi szemléletünknek meglepő tény tárul fel a következő feladat kapcsán: Egy koordinátarendszer kezdőpontjából elindul valaki és minden másodpercben egy olyan vektorral lép arrébb, amelynek mindkét koordinátája racionális szám, de ezt a vektort mi nem ismerjük. Ennek ellenére, ha minden másodpercben valahová ledobhatunk egy bombát, akkor tudunk-e olyan stratégiát mondani, amellyel előbb-utóbb biztosan eltaláljuk? A válasz igen, sőt akkor is, ha nem tudjuk azt sem, hogy honnan indult el.

Módszerek

Minden területre igaz, hogy felvetődő problémáinkat többféleképpen oldhatjuk meg, a kihívásokra eltérő módokon válaszolhatunk, s emellé az párosul, hogy értékeljük is a megoldásokat hasznosság, előrelátás, gyorsaság stb. szempontok szerint. Gyakran előfordul, hogy nem tudjuk pontosan megfogalmazni, körülhatárolt szempontok szerint megmondani, miért gondolunk „jobbnak” valamit egy másiknál, szebbnek érezzük, így tudjuk leginkább kifejezni. A matematikában önmagában is, tehát bármi mással való összefüggéstől eltekintve is nagy számban találhatunk erre példát, egyes eljárások elegánsabbak, egyes megközelítések heurisztikus meglátásokra adnak alkalmat, egyes bizonyítások többet mutatnak, mint mások. A mechanikus vizsgálatoknál többet ér, ha ésszel, ötlettel oldunk meg valamit. A logikai tisztaságon kívül mindenki egyszerűségre is törekszik, mert sokak véleménye szerint ez tartalmi többletet, azon túl szépséget is hordoz. Az egyszerűség fontos a matematikának a fizikai világ leírásával való összekapcsolásakor is:

Hiszem…, hogy a természeti törvények egyszerűsége szigorúan objektív tulajdonság, és nemcsak a gondolati ökonómia következménye. És ha a természet csodálatosan egyszerű és szép matematikai formákra vezet rá – ’formán’ a hipotézisek, axiómák stb. összefüggő rendszerét értem –, olyan formákra, amelyekkel senki azelőtt nem találkozott, akkor kénytelenek vagyunk ’igaznak’ hinni őket, bízhatunk benne, hogy a természet valódi arculatát tárják fel.

Werner Heisenberg

Egy másik oldalról közelítve a matematika kikristályosított, hosszú folyamatban kicsiszolt eljárásai olyan erőt, tudást hordoznak, amely joggal kivívhatja tiszteletünket, pozitív értékítéletünket, például azért, mert világossá, megfoghatóvá tudnak tenni egyébként nehezen megközelíthető problémákat. Ilyen többek között, csak néhány egyszerűbbet említve a skatulya elv, a gráfok használata, a teljes indukciós bizonyítás, vagy az olyan nagyon egyszerű módszerek, mint amelyet pl. az $n$ tagú társaság kézfogásai számának meghatározásakor alkalmazhatunk, ha mindenki mindenkivel kezet fog, ugyanis itt az egyes emberek szemszögéből nézve mindenki $n-1$-szer fogott kezet, ez $n(n-1)$ db. kézfogás, itt azonban mindegyiket kétszer számoltuk, így a tényleges szám $\frac {n(n-1)}{2}$. Előfordul, hogy egy első ránézésre reménytelenül bonyolult problémára tudunk meglepően egyszerű, frappáns megoldást találni, leginkább akkor, ha meglátjuk a jelenség hátterét, lényegét. Ezek az esetek néha módszereket adnak kezünkbe, mert gyakori, hogy a már megértett probléma rokon másokkal és nem kell újra végiggondolni mindent, hanem egyszerre meglátjuk azt, ami fontos. Tényleges segítséget jelentenek a matematikában használatos módszerek sok gyakorlati kérdés megoldásában, pl. a gazdasági élet megszervezésében. Ilyen eset, amikor adottak a nyersanyag-kitermelő helyek és a feldolgozóhelyek, ezek kapacitásai, s a szállítást a lehető leggazdaságosabban kell megoldani.

Aki járatos a matematikában az általában körültekintőbben, óvatosabban közelít a problémákhoz. A helyes válasz megtalálásában segíti, hogy nem elégszik meg a látszólagos megoldásokkal, tudja, hogy érhetik meglepetések, szemléletünk becsaphat, így rendszerint alaposabban utánajár mindennek. A prímszámok 4-gyel osztva a 2 kivételével vagy 1-et, vagy 3-at adnak maradékul, és észrevették, hogy egy felső határig tekintve e két csoport közül mindig több van a másodikban, mint az elsőben – a vizsgálattal egészen egybillióig elmentek. Bebizonyították aztán, hogy ez az arány mégsem tart ki végig, megfordul egy, az egybillióhoz képest is nagyon nagy számnál. Szemléletünk szerint, ha egy két km hosszú kötelet kifeszítünk és két végét a földhöz rögzítjük, akkor egy méter hozzátoldása után középen csak néhány méter magasságig emelhetnénk fel. Valójában körülbelül 32 méter magasságig emelhetjük. A matematikával intenzíven foglalkozó személy a lehetséges esetek végiggondolásában már érzékelhető rutinnal rendelkezik, szinte kifejlődik egy külön érzéke erre vonatkozóan, olyan sokszor van szükség rá feladatmegoldáskor. A problémamegoldásban való jártasság ezért számos esetben előnyt jelent. Ismeretes ezen túl egy ún. tipikusan „matematikus” látásmód is.

Meggondolásra érdemes azonban, hogy minden esetben érvényesül-e a matematikai tapasztalat által nyújtott hasznos többlet, s hogy valóban mindig hasznos-e? Elmondható, hogy igazán nagy előnyt akkor jelent, amikor a lehetőségeket logikailag jól végig lehet gondolni és nem lépnek fel nehezen objektiválható tartalmi, értékítéleti, egyénektől függő elemek. Legtöbbször azonban életünk során olyan döntéseket kell hoznunk, amelyekben értékelnünk is kell egyben. A kapott módszerek tehát valóban segítenek bizonyos esetekben a matematikán kívül is, leginkább azokban, amikor hozzá hasonlóan jól körülhatárolható problémáról van szó és viszonylag pontos fogalmakkal lehet dolgozni, mindenre kiterjedő megoldási eljárásokat azonban nem ad. Néha, amikor gyorsan kell döntenünk, vagy nagyon átfogó kérdéssel kerülünk szembe éppen gátat jelent pl. a túlzott óvatosság, vagy a szisztematikus vizsgálódás. Általános tapasztalat, hogy ha valaki csodálatra méltó módon mester egy területen, az még nem jelenti azt, hogy egyéb vonatkozásokban is kiemelkedőt nyújt.

Ezen a képen nem találunk kivehető alakot, ha szokványos távolságról nézzük, akármilyen tüzetesen vizsgáljuk is:

Távolítsuk el azonban a képet, vagy kicsinyítsük le (azaz változtassunk módszert), s máris értelmet találunk az eddigi tanácstalanság helyett!

Vizualitás, képalkotás

A vizualitás azért érdekes a matematikában, mert bár tevékenységünk nagyrészt elméleti, rendszerezünk, kérdezünk, bizonyítunk, munkánk bemutatására választott jeleink és jelrendszereink azonban irányíthatják későbbi kérdésfeltevéseinket, megszabhatják mit tartunk meglepőnek, izgalmasnak, szépnek. A bevezetett ábrázolási mód hat a gondolkodásunkra és egyéb módon történő ítéletalkotásunkra, hasonlatosan a nyelvhez, ahol annak egész rendszere annyira összefonódott logikánkkal, gondolatláncainkkal hogy a kettő szigorúan vett különválasztása lehetetlen. Egy másik oldalról megközelítve, általánosabban, nemcsak vizuálisan a különféle dolgokról való képalkotás, bizonyos szemszögből való látás nagyban elősegítheti, de nagyban hátráltathatja is ezek megértését, a felmerülő problémák érdemi megoldását. Elmondható, hogy mindenről egyfajta belső mentális képet alkotunk öntudatlanul is, a legtöbbször azonban nem figyelünk fel ezekre, nem hangsúlyos ez számunkra, mert sokszor megtesszük ugyanezt, teljesen természetes módon zajlik le bennünk. A matematikában viszont csak olyan létezőkkel találkozunk, amelyekkel kapcsolatban csak a képzeletünkre hagyatkozhatunk, semmiféle fizikai megjelenési formájuk nincsen, vagyis meg kell alkotni a képünket róla. Ezért itt szembetűnőbb ez a folyamat, sokan szinte látják, érzik vizsgálatuk tárgyát, az egész probléma lényegét, míg mások úgy érzik nincsen ehhez meg az adottságuk, vagy egyszerűen nem foglalkoztak vele eleget ahhoz, hogy nyíltan megmutatkozzanak a sajátságok.

A hagyományos módszerek helyett én más úton közelítettem a matematikai problémákhoz. Egy analitikus geometriai vagy algebrai problémát úgy oldottam meg, hogy a szokásos metódus helyett egyfajta sajátos, mentális képet alakítottam ki a fejemben a feladatról. Gyakran előfordult, hogy ez a belső kép, amivé a problémát áttranszformáltam, meglehetősen fura volt, aszimmetrikus, szépnek nemigen nevezhető. S akkor föltettem magamnak a kérdést: miként lehet ezt a képet szebbé, kiegyensúlyozottabbá, harmonikusabbá tenni. Nemegyszer előfordult, hogy e kérdés megválaszolása jelentette a probléma megoldását. Ily módon a szabályok ellen, mintegy azok megkerülésével dolgoztam, ez volt a módszerem.

Benoît B. Mandelbrot

Általánosan használt jelölési rendszerünkben igen érdekesek, megjelenésükben a tartalmi mondanivaló mellett sok formai pluszt is hordoznak a következő kifejezések:

$$\begin{equation} \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1} {2 + \small\cfrac{1} {2 + \cfrac{1} {2 + \cfrac{1} {M } } } } \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac {(\sqrt{5} + 1)}{2} = 1 + \cfrac{1} {1 + \small\cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {M } } } } \end{equation}$$ $$\begin{equation} e = 2 + \cfrac{1} {1 + \small\cfrac{1} {2 + \cfrac{2} {3 + \cfrac{3} {M } } } } \end{equation}$$

Ha viszont szóban szeretnénk megfogalmazni, mit jelentenek, azt ezen jelek egyszerűségéhez képest csak hosszadalmasan, körülményesen tehetnénk meg, szinte azt sugalmazzák, hogy a bevezetett jelrendszer irányította figyelmünket rájuk.

Hangsúlyeltolódás figyelhető meg a matematikán belül a közvetlenül szemléltethető eredményektől a lényégében csak gondolati konstrukciók felé. Az idő előrehaladtával a munka egyre inkább csak a háttérben zajlik, ilyen irányba mutat például az algebrán belüli, egyre szélesebb területeket átfogó absztrakciók vagy a matematika axiomatizálására való törekvés. Olyan újabb területek is léteznek azonban, amelyek vizuális megjelenésükben megragadóak, s bemutatásukban gyakran nagy segítséget jelentenek a számítógépek.

A fraktálok például olyan belső struktúrával rendelkező rendszerek, amelyek az apró részletektől a legnagyobb kiterjedésükig ugyanúgy épülnek fel, közelről vizsgálva ugyanazt a szerkezetet látjuk, mint távolról. Benoît B. Mandelbrot szavaival, aki először kezdte el átfogóan vizsgálni az ilyen tulajdonságú jelenségeket:

Röviden, a fraktálok legfontosabb tulajdonsága az önmagukhoz való hasonlóságuk. Ezt a legjobban a fa példáján illusztrálhatom. A fa, ha messziről nézzük, nem más, mint a törzse: egy henger. Közelebb menye látjuk, a törzsből minden irányban ágak sugaraznak. Menjünk még közelebb, válasszunk ki egy ágat, nagyítsuk fel, forgassuk el, hogy függőlegesen álljon, megint csak egy fa áll előttünk. Az ág hasonlóvá vált az egész fához. Másik példa a tájkép. Ha a repülőgépünkről letekintve csak hegyeket és szántóföldeket látunk, akkor nem tudjuk eldönteni, milyen magasan vagyunk. Nagy magasságból és valamivel közelebbről egy hegy ugyanúgy néz ki. Ezt neveztem én önhasonlóságnak. … ezekben a struktúrákban tehát minden skálán hasonlóság figyelhető meg.

Azt, hogy a matematika eredményesen alkalmazható a természet leírásában, ő is elgondolkoztatónak tartja, ezen túlmenően:

De nem csak a matematika effektivitása meglepő a természettudományokban, hanem legalább annyira döbbenetes érzékszerveinkre gyakorolt hatása. A matematika képes olyan alakzatokat alkotni, melyeket szemünk közvetítésével agyunk gyönyörűnek talál. Számomra ez is érthetetlen. Beszéltünk már arról, hogy igen sok és sokféle fraktálalakzat fordul elő, a fák, a partvonalak, a felhők, a villámlás stb. S az igazi kérdés nem az, hogy minden fraktál-e, én inkább azt kérdezném, miért örülünk annak, hogy fraktálokkal vagyunk körülvéve? Az euklideszi környezet nem tölti el az embert olyan jó érzéssel, elég csak New York városára gondolnunk, amely nyilvánvalóan egy euklideszi geometriának eleget tevő környezet.

Magunk is képesek vagyunk ilyen rendszerek megalkotására de, úgy tűnik, a figyelmet leginkább a közvetlen környezetünkben is megtapasztalható néhány jelenség keltette fel a matematikusokban. Saját rendszereink számítógépes megjelenítésekor igen sok élményt nyújtó ábra keletkezik. Az önmagát egyre kisebb (avagy egyre nagyobb) méretekben újra és újra ismétlő szerkezet képe érdekes lehet abból a szempontból, hogy vajon honnan van bennünk ez a fogalom? Eleve rendelkeztünk-e már vele és ezt ismertük fel a világban, vagy a környezetünkből szerzett elemi tapasztalatainkból magunkban megkonstruáltuk, s az így már kész konstrukció segített a felismerésben, esetleg nincs is benne a természetben, csak ha már megvan bennünk a felépített kép, nem is tudunk máshogy látni, avagy intuitíve, egyszerre éreztünk rá az egészre, érzékelve létét a világban. Azzal kapcsolatos ez a kérdés, hogy mit is gondolunk a megismerésről, a tudásról, s ezen belül persze a matematikáról.

Megértésünk erősen kötődik a logikai értésen kívül egyéb képalkotási képességeinkhez. A következő összefüggés merész, meglepő állításnak tűnhet azoknak, akik nem járatosak a matematika világában, vagyis nem tudják milyen értelmet tulajdonítanak általánosan elfogadottan egy végtelenül hosszú összeadásnak:

$$ \frac {1}{4} + \frac {1}{\small 4^{2}} + \frac {1}{\small 4^{3}} + \frac {1}{\small 4^{4}} + K = \frac {1}{3} $$

Ha megnézzük viszont ezt a rajzot, határozottabban közelebb kerül hozzánk az egész probléma:

Sokak véleményét összegzi a következő idézet:

A matematikus akárcsak a festő vagy a költő a forma mestere. … A matematikai formáknak akárcsak a festő vagy a költő formáinak szépeknek kell lennie…

G. H. Hardy

Azokban a műalkotásokban, épületekben amelyek megragadnak, lenyűgöznek, gyakran találhatunk olyan belső szerkezetet, ami megindítja képzeletünket, ez néha alapot képez és szembetűnő, máskor inkább csak érezzük és nem tudjuk pontosan megfogalmazni. Van olyan is persze, amikor szinte csak a szépség tart fogva, csak szemlélődünk, nem értelmezünk. Escher képeinek szemlélése közben központi szerephez jut a szerkezet, amelynek fontos eleme az elemző és intuitív, egészben látó látásmódunk közötti feszültség, itt a rész–egész viszonnyal, az ellentétekkel, a komplementer elemekkel való játék fáradtság nélkül kényszerít „gondolkodásra”.

M. C. Escher: Nyolc fej

Egyéni tulajdonságok

A matematikával kapcsolatos élményeinket néha viszonylag egyértelmű módon tudjuk kötni más tevékenységeinkhez, be tudjuk ágyazni létünk egyéb megnyilvánulásainak rendszerébe. Az előző fejezetek főtémáira vonatkozóan volt szó ilyen lehetőségekről. Ezek a matematikát jellemző jelenségek, a rend, a megértés, a meglepetés stb., legtöbbször egyszerre jelentkeznek eltérő intenzitással, egymással elválaszthatatlanul összekeveredve és kiegészülve sok, itt nem említett, de felfedezhető tényezővel. A külön-külön valahová köthető összetevők összhatása viszont számos esetben olyan tapasztalat, amely már speciálisan csak tárgyunkra jellemző. Ebben a részben csak utalni szeretnénk arra, hogy milyen sok olyan vonása van a matematikának, amely inkább megkülönbözteti, mint sem összeköti más jelenségekkel. Erről részletesebben az utolsó főcím alatt lesz szó, az esztétikumhoz fűződő viszonnyal kapcsolatban.

A matematika viszonylagos egyértelműségét, fogalmi tisztaságát úgy éri el, hogy minden olyat elhagy, ami a logikai analízis szempontjából felesleges, csak azt ragadja ki, amivel értelmünk bánni tud a maga megszabta szigorú szabályok szerint is. Az első kép inkább hasonlít a valós helyzetekhez, a második pedig megmutatja, hogyan lehet nyilvánvalóvá tenni valamit – tegyük egyneművé a hátteret, a lényegtelen elemeket és íme:

Ez az elvonatkoztatott, bizonyos értelemben leszűkített világ azonban nagyon gazdag, mélységeket és finomságokat tartalmaz. Sajátos rendszere, fogalmai újabb és újabb kérdések felvetésére adnak lehetőséget, ellenkező irányba tekintve pedig egészen apró részletekig szemlélődhetünk. Már középiskolai szinten, de korábban is egyértelműen tapasztalhatjuk, hogy milyen sok árnyalatbeli különbség lehet például két bizonyítás között, habár ugyanazt sikerül velük elérni.

A számítógépek megváltoztatták a matematika stílusát. A négyszín-sejtést például komputerek segítségével bizonyították be. A sejtés lényege, hogy négy szín alkalmazásával minden térképet ki lehet színezni. A bizonyítás azonban nem vonzó. A komputer végigvizsgálta a nagy halom különböző esetet, és mindegyikre igazolta a sejtést. Ez semmiképpen sem olyan eredmény, amely új utakat nyitna a kutatásban. Sőt, bizonyos értelemben lezár egy területet. … Semmi kétség nem fér hozzá, hogy a bizonyítás korrekt, helyes. … A matematika nemcsak gyakorlati szempontú tudomány, esztétikai vonásai is vannak. Ezt a bizonyítást nyílván senki nem érzi szépnek, elegánsnak. Innen nézve nem kielégítő, hiszen senki nem tudná a gép után csinálni. Egy bizonyításnak gyönyörűnek kell lennie, nemcsak az a lényeg, hogy igaz legyen. Hangsúlyozom: kétkedésre az serkent, hogy ez a számítógépes bizonyítás nem ad betekintést a dolog lényegébe.

Benoît B. Mandelbrot

Az $e^{i\pi} = 1$ összefüggés értelme, értéke oly mértékben kötődik a matematika fogalmi rendszeréhez, hogy nehéz párhuzamba állítani egyéb tapasztalatainkkal.

A matematika jórészt prímszámokkal, parciális differenciálegyenletekkel, különböző függvényterekkel, azaz belső világunktól távol eső, bennünket csak igen közvetetten érintő személytelen dolgokkal foglalkozik. Mindezekkel kapcsolatban ami sajátunk, ami hozzánk tartozik az, hogy élvezni tudjuk ezek vizsgálatát, gondolataink útjait, ellentétek felállítását, megszüntetését, az egész folyamatot, egyes gondolatrendszereket szépnek találunk.

Engem a matematika önmagáért érdekel. A legtöbb embert ez kevésbé izgatja. Érthető okokból jobban foglalkoztatja őket a matematika alkalmazása. A külvilág szempontjából a matematika alkalmazásai a döntőek. Egy igazi kutatónak jó képességűnek kell lennie és érdeklődőnek. A jó matematikusnak ambíciója van. A matematika műveléséhez nemcsak koponya, kitartás is szükséges.

A matematikusnak nem kell okvetlenül szisztematikusnak lenni, mert a matematika maga szisztematikus. … ha hibázott az ember, hát hibázott – ki lehet javítani. Azt szoktam mondani, a matematika olyan játszma, ellentétben a sakkal, ahol visszavehetünk egy lépést. Csak az utolsó lépés számít.

Erdős Pál

Ebben az idézetben több olyan tényezőről esik szó hirtelen, amelyek az előző fejezetekben már felbukkantak. Ilyen a matematika szisztematikussága, alkalmazhatósága, játékhoz való hasonlítása, ahol nincs kockázatunk, az eredményes műveléséhez szükséges lélektani hozzáállás, a kitartás, a munka szerepének hangsúlyozása. Ezeken túl fontos megállapítás, hogy a matematika lehet önmagáért érdekes, amelyben mozgásterünk van, amely meglepetéseket okozhat, amely izgalmas lehet számunkra.

Még néhány vallomás a matematikáról:

Távol az emberi szenvedélyektől, sőt távol a természet szánalmas tényeitől is nemzedékek fokozatosan megteremtettek egy elrendezett kozmoszt, ahol a tiszta gondolat úgy lakozhat, mint saját természetes otthonában; és ahová nemesebb impulzusainknak legalábbis egyike elmenekülhet a tényleges világba való sivár számkivetettségből.

Bertrand Russel

Talán éppen ez a döntő matematikus-tulajdonság: az út keserves voltának vállalása. A matematikához nem vezet királyi út – mondta Euklidész az érdeklődő uralkodónak – ezt a királyok számára sem lehet kényelmessé tenni. Felületesen nem lehet matematikát olvasni, a kényszerű absztrakció mindig bizonyos önkínzással jár és a matematikus az, akinek ez az önkínzás örömet okoz.

Péter Rózsa

…a matematikát nem lehet definiálni, ha nem ismerjük el legnyilvánvalóbb jellegzetességét, azt tudniillik, hogy érdekes. Az intellektuális szépség különböző fokozatait és minőségeit sehol sem lehet olyan mélyen átérezni és olyan pontosan felismerni, mint a matematikában, és azt, hogy mi a matematika, csak a matematikai érték informális méltánylása alapján lehet kiválasztani a formálisan nyilvánvaló, mégis teljesen triviális állítások és műveletek zűrzavarából. Látni fogjuk azt is, hogy a matematikának ez az érzelmi színezete igazolja, hogy igaznak fogadjuk el. A matematika azzal villanyozza fel a matematikust, hogy kielégíti intellektuális szenvedélyeit, és ezzel készteti arra, hogy foglalkozzék vele és elfogadja.

Polányi Mihály

Végül pedig egy sajátos szellemiség sugárzik a matematikából, a rendre, mindennek a megfelelő, a lehető legpontosabb elhelyezésére való törekvés, és az, hogy eme célnak van értelme, hogy így tudjuk érthetőbbé, megfoghatóbbá, olyan közeggé tenni a világot, amelyben biztonságosabban mozgunk (másrészről így tudjuk kezelhetővé tenni, így tudunk uralkodni felette). Biztonságot jelent, amelyre hivatkozhatunk, ahol valóban alapjaiban ragadtunk meg valamit, általános és mindenre kiterjedő viszonylagosságunk közepette.

A matematikai és az esztétikai élmény

Sokan hangsúlyozzák mennyire fontosak az esztétikai tényezők a matematikában, mind megalkotásában, mind magában a kész tárgyban, mind befogadásában, gyakran közös tőről gyökereztetik például a matematikai és művészeti intuíciót. Az idézetekben találhatunk utalást ezekre az elképzelésekre. E dolgozat szándéka szerint arra mutat rá, hogy a meglévő kapcsolatok és párhuzamok mellett nem szabad elfelejtkeznünk a lényeges különbségekről és eltérésekről sem, mert különben az itt szereplő fogalmaink kritikátlan összemosásáról beszélhetünk csak.

Az esztétikumhoz számos irányból lehet közelíteni, itt most jelen pillanatban az élmény fogalma áll a középpontban, nem térünk ki például a matematikában, mint az alkotóról levált, befejezett, tárgyszerű valamiben fellelhető esztétikumra (külsődleges formai jegyek, belső szerkezet stb.).

A matematikához ilyen oldalról közelítve előtérbe kerül annak néhány speciális tulajdonsága, amelyek sehol máshol nincsenek ilyen intenzitással jelen. Ezekre mindenképpen tekintettel kell lennünk.

A legszembetűnőbb sajátos vonás, hogy gondolkodásunknak, az ún. racionális gondolkodásunknak kitüntetett szerepe van mind a létrehozásban, mind a befogadásban, szellemi életünk eme elkülöníthető részének működése alapfeltétele a komoly, de a kedvtelésből űzött matematizálásnak is. Minden szellemi szinten történik, a korlátokat, a határvonalakat saját mentális tulajdonságaink jelentik.

Egy másik fontos jellemző, hogy külön világról szól, több szempontból is. Ez az a hely, ahonnan leginkább kivonult az ember, nincs jelen sem fizikai, sem egyéb vonatkozásban, az itteni létezők, objektumok tőle a lehető legteljesebb mértékben függetlenek. Úgy gondolunk rájuk, mint rajtunk kívül eső, leginkább objektív igazságokra és leginkább tárgyszerű valamikre (– annak ellenére „tárgyszerűek”, hogy tisztán szellemiek, a rajtunk kívüliségük itt a fontos). Külön világ azért is, mert itt olyan törvények uralkodnak, amelyek eltérnek a megszokott világunkéitól. A logika, a tiszta racionalitás adja a szigorú rendet teremtő meghatározó alapot, és ez nagymértékű különbséget jelent.

Objektivitásról a művészetekkel kapcsolatban is beszélhetünk, de más értelemben, mint a matematikában. Láttuk, hogy a matematikában az igazság fogalma hordozza leginkább ezt a jelleget. Lehetséges objektív vonásnak venni azokat az „igazságokat”, amelyekre ráeszmélünk egy-egy műalkotás élvezete közben, ezek az igazságok azonban nem egyértelműek, nehezen reprodukálhatók, s egy nagyon jellegzetes tulajdonságuk, hogy több szempontból is lehetnek egymásnak ellentmondók. Azontúl összemérhetetlenek, nincs olyan jellegű szövet, amely összefogná, amelybe bele tudnánk ágyazni őket, mint ami megvan matematikánál, itt nincs viszonyítási alap.

Ezen tulajdonságokból adódóan nem olyan módon alkalmazhatók a világ leírására, előrejelzésre, mint a matematika esetében, ezen igazságok akkor is azok maradnak, ha minden egyes perc ellenpéldával szolgál.

A matematika világára jellemző emberi esetlegességektől való mentesség pedig a művészetekben úgy fordul ellentétévé, hogy teljes mértékben magába foglalja azokat.

Említettük már, hogy a rend fogalma milyen általános, a matematikára jellemző pedig ennek csak egy speciális esete. Egy irodalmi mű rendjét lehet vizsgálni külső jegyek alapján, idősíkok, terek váltakozása, belső történés, reális-irreális szerkezet alapján stb., s a matematikai rend is többszintű, viszont kevesebb ennyire eltérő szempont jöhet számításba vele kapcsolatban. Az időfaktor például teljes egészében ki van kapcsolva.

A matematikában tehetünk néhány lépést mechanikusan, de megértés nélkül semmilyen lényeges pontra nem juthatunk el. A megértés érzése belső gazdagsággal bíró, színes élmény, de természetesen itt is lehet utalni arra, hogy ezt a fajta megértést nem azonosíthatjuk az általános fogalommal. Az esztétikum által gyakran megértünk valamit – ha nem is tudjuk pontosan kifejezni, mit –, de nem biztos, hogy elválaszthatatlanul mellé lehet rendelni, mert elképzelhető a megértés nélküli, az értelmezési funkció kikapcsolásával történő, ilyen szempontból passzív csodálata is a szépségnek.

Ha a matematika hétköznapi szemléletünk számára nyújt meglepőt, akkor a tényt elhisszük, sőt meg is értjük bizonyos szempontból, szemléletünk azonban nem változik lényegesen. Az esztétikumban feltáruló különösségnek közvetlen formáló hatása van. A matematika belső szerkezetéhez képest meglepő jelenségekről tudjuk, hogy csak itt érvényes különcségük, csak ebben a meghatározott körben meglepőek, egy mű furcsasága egész világszemléletünket kérdőjelezheti meg.

A matematika tud módszereket adni a jelenségek kezeléséhez, ehhez hasonlóan a művészet is tud különböző látási módokat nyújtani. Míg azonban az első esetben ezek csak a jelenségek egy csoportjára, helyesebben mondva a jelenségeknek csak egy speciális vonatkozására alkalmazhatók, addig a másodikban mindenre, minden vonatkozásra érvényes nézőpontokat kapunk.

A kialakult jelölésrendszer fontosságánál még jelentősebb szerepe van a kifejezési eszközöknek, a választott jelrendszernek a művészetekben. Sokkal jobban beágyazott jelek ezek mindennapi életünkbe, egész kultúránkba, így természetszerűen többértelműek, nincs pontos jelentésük. Az lehetséges irányító szerepe mellett a matematikában a jelölésekre elsősorban csak eszközként tekintenek, a gondolati tartalom közvetítőjére, egy irodalmi szövegnek viszont lehetnek olyan dimenziói, amelyek a tartalomhoz nagyon különös módon viszonyulnak: nem valamiféle már létező tartalmat fejeznek ki, hanem a stílus, a jelrendszer maga teremti meg, maga jelenti azt.

Bármivel foglalkozunk, egész lényünkkel jelen vagyunk, összes tulajdonságunk egyszerre határozza meg tetteinket, a konkrét megvalósulásunkkor azonban mindig csak egy részünk tud úgy megnyilatkozni, hogy az észlelhető legyen saját magunk, vagy más emberek számára. Hasonlóképpen bármivel kerülünk kapcsolatba, annak mindig csak egy részét fogjuk fel, semmit nem tudunk önmaga teljességében látni. Az esztétikumot úgy is fel lehet fogni, mint amin keresztül feltárulnak a rejtett mélységek, ami bizonyos szempontból, utalás szintjén az egészet hordozza, ami több mint a megszokott részlet-megnyilvánulás. Ilyenkor annál nagyobb jelentőséget tulajdonítunk valaminek, minél tágabb belső tartalommal rendelkezik, minél többet hordoz az általunk egyáltalán elérhető világ alapvonásai közül. Általános vélemény, hogy mind az alkotó matematikus, mind a matematikával ismerkedő befogadó élményeinek jelentős eleme, hogy átfogó összefüggéseket sejt meg, jobban megérti a felszín alatt húzódó lényeget. A kérdés az, mondható-e, hogy ezek az összefüggések esztétikumot hordoznak az előbbi értelemben? A matematika azon sajátsága, hogy működési köre igen speciális, állításai egy absztrakt világra vonatkoznak, amelynek jól látható körvonalai vannak lényeges szerephez jut itt. Vizsgálatának tárgyai csak annyiban a valós jelenségek, amennyiben azoknak egyes aspektusai lefordíthatóak a matematika nyelvére, megragadhatóak matematikai fogalmakkal. A külvilágról csak bizonyos, eleve adott szempontok szerint tud mondani valamit, egy előzetes feltételrendszer teljesülése után lép csak kapcsolatba tágabb körökkel. A lehetőségek szerinti minél kevesebb előzetes feltevés, kitüntetett álláspont jellemzi a lényeget közvetítő jelenségeket, így ilyen szempontból a matematika nem tekinthető mély esztétikumot hordozó közegnek, vagyis összefüggései nem a legáltalánosabb alapokon nyugszanak, nem az egészre utalnak, hanem a rész egyre több részletére.

Ennek az elvont világnak a megközelítése határok átlépését igényli, ehhez energiára van szükség, a szabad képzelőerő, a fantázia, csak akkor tűnhet fel, ha a „kényszerű absztrakció”-t jelentő nehézségeken sikeresen túljutottunk. Le kell győztük bizonyos akadályokat, ahhoz, hogy megérezzük, megszokjuk a matematika világát, s csak azután tudjuk biztonsággal kezelni szabályait, fogalmait. A nehézségek leküzdése után van csak lehetőségünk igazán jelentős élményszerzésre, akkor is egy meghatározott részünk számára, mert az átélt intellektuális kaland is sajátos. Szellemi életünk egy jól körülhatárolható, karakterisztikus oldalának működéséről van itt nagyrészt szó, amelyet önmagában távolról sem lehet azonosítani a teljes szellemi létünkkel. Míg egy-egy műalkotásba alkotója szabadon vihet bármiféle tartalmat, életünk bármely színteréről, az alkotásban egész lényével részt vesz, addig itt legtöbb esetben világosan el lehet dönteni, hogy valami a matematika keretein belül érvényes-e, vagy sem.

Jelentős eredményt nem lehet elérni bizonyos jártasság, ismeretek nélkül, senki sem eszmél, talál rá nagy mélységű, fontos tételekre munka nélkül. Csak erőfeszítés árán juthatunk kincsekhez, és ez nem csak a kezdetekre vonatkozik, hanem általánosan mondható, később, több tudás birtokában sem tudunk könnyedén, rutinból eredményesek lenni, alapfeltétel a kitartás, a folyamatos munka. A matematikához valóban „nincs királyi út”, azaz nincs könnyebb út, míg az élet egyéb területein előfordulhat, hogy a képességek megléte után a nehézséget elsősorban nem a tartalommal való megtöltés, hanem kifejezőeszközök megtalálása jelenti. A művészetek világában is előfordul, hogy egy alkotás nem mond nekünk semmit, mert nem tudunk eleget arról a kulturális közegről, amelyben megszületett, hogy dolgozni kell a befogadásához, a mértékbeli különbség azonban nagy, az alapvető vonás ebben az esetben sokkal inkább életünk egy részére való ráismerés, a vele való összefüggés megérzése hosszú tudatos munka nélkül. Több hírneves matematikus számolt be olyan intuitív, megvilágosodásszerű pillanatokról, amikor esetleg teljesen más jellegű tevékenységet folytattak az, de egyszerre összeállt bennük egy megoldási kép, hirtelen megértettek valamit, viszont ezeket a pillanatokat rendszerint az adott kérdés minden oldalról való tudatos körüljárása előzte meg.

Egy műalkotás világa külön világ, nem azonos mindennapjainkkal, ennyiben hasonlatos a matematika külön világához. Igaz, hogy mindig csak speciális szituációt tud mutatni és sokban meghatározza a konkrét hordozó forma (építőelemeit a közeli valóságból veszi, hangok, színek, beszéd, mozgás stb.), adott megvalósulási formájában azonban mindennek egyéni jelentése lehet és rajta keresztül mégis az egészre találunk utalást. A matematika alapanyagát viszont kizárólag idealizált testek, fogalmak, pontos alapelvek, ezekből felépült saját szellemi termékeink alkotják, amelyekre legtöbbször semmiféle fizikai értelmezési lehetőség nincs, vagyis teljesen más jellegűek. Egy szobor anyagának megválasztása önmagában jelentést hordoz, közvetlenül utalhat sok minőségében is más dologra, a matematikában viszont nem léphetünk ki a szellemi síkból, mert pontosan az a lényegük az itteni fogalmaknak, csak akkor van értelmük, ha egyértelműek. Az idealizált fogalmakon, a rájuk vonatkozó állításokon keresztül is találhatunk utalást az egészre, az áttétel viszont lényegesen sokoldalúbb az alapanyag sajátos volta miatt.

A természeti szépséggel szemben nyilvánvaló különbséget jelent, hogy ott érzékszerveinknek jóval fontosabb szerepük van, mint itt, a teljes szellemiség birodalmában. Egy műalkotáshoz is elválaszthatatlanul hozzátartozik annak a közegnek az érzékelése, amiben megvalósul.

A matematikával kapcsolatos élményeink egyik fontos eleme, hogy segítségével átkerülünk ebbe a különös világba. Meghatározó szerepe van annak a felfedezésnek, hogy egyáltalán lehetséges egy másfajta, a mi kaotikus létünktől különböző, rendezettebb univerzum. A műalkotás is kiemel a való világból, új nézőpontot jelent, máshogyan látunk rajta keresztül mindent, olyan tartalmainkat hozza elő, amelyek általában háttérben maradnak, amelyek nem tudatosak. Általa valami új lép életünkbe úgy, hogy teljesebbé, bizonyos szempontból teljessé teszi eddigi képünket, az új képünk pedig magába foglalja a régit. Az a világ viszont ahová a matematika vezet bennünket nem kiteljesedéssel, hanem szűküléssel keletkezik, éppen azért lehetséges benne rend, mert azt ragadjuk csak ki, ami egyértelmű, s a vonzereje abban rejlik, hogy így is meglepően kerek világra nyithatjuk szemünket. Érdekességét ezen kívül az is hordozza még számunkra, hogy meghódíthatjuk, egyáltalán kezelhetjük elemeit, megszokott világunktól eltérő helyen is érvényesek bizonyos tevékenységeink amellett, hogy igazodnunk kell az itteni rendhez, furcsán, izgalmasan keveredik itt az, amit szabad és az, amit nem. Új szemszögből nézhetünk mindent, a legfontosabb annak megélése, hogy lehetséges ez a nézőpont is. Az itteni viszonyok lényegesen különböznek a megszokottól, s élményt jelent, ha kapcsolatokat fedezünk fel vele, mint ahogyan szeretünk idegen kultúrájú országban tartózkodni, számunkra ez idáig ismeretlen szemléletmódokkal találkozni, de mindig örülünk, ha igazi hazánkra utaló jelenséggel találkozunk. A külön világ szempontjából legmeghatározóbb különbség, hogy míg egy mű kiteljesíti, egyben otthonunkká, élhető lehetőséggé is teszi az újat, addig a matematika világába csak szellemi kalandokat tehetünk, otthonunk, életterünk soha nem lehet, nem teszi lényegesen érthetőbbé, kerekebbé egész világképünket, csak részleteiben, sokféleségében érdekesebbé, nem az egészre, hanem a részletekre irányul, nem mindent magába foglaló új képet, hanem komplementer lehetőséget kínál. Ebbe a világba át kell mennünk és onnan vissza kell jönnünk. A matematika inkább érdekes számunkra, míg a művészetet át is éljük.

Mindkét világot tekinthetjük teljesnek, a matematika az egyesre, azzal kapcsolatban a minél kevesebbre, egy körülhatárolható valamire irányítja figyelmét és ezen keresztül teremti meg az egészet, míg a művészet a legáltalánosabbat ragadja meg, mindent magába foglalóan hozza létre, alkotja meg az emberi világot.

Érdekes ezt a fajta két végletet abból a szempontból egymás mellett látni, hogy minél több dologra teszünk kijelentést, annál bizonytalanabbak lesznek állításaink, ha meg annyira leszűkítjük körünket, hogy biztosak legyünk valamiben, akkor meg nem mondhatunk semmi lényegeset semmiről.

A matematika által nyújtott élményre bizonyos nézőpontból sokkal inkább jellemző, hogy bennünk zajlik, mint egy műalkotáséra. A megértés pl. leginkább mély lelki élmény, kevéssé kötődik ahhoz, amiről tulajdonképpen szó van, mintha az csak eszköz lenne arra, hogy általa belső világunk gazdagságát felderíthessük. Itt a legfontosabb belső kiteljesedésünk. Egy műalkotásban viszont fel tudunk oldódni, fontos a rajtunk kívül eső világ, az élményt éppen az jelenti, hogy úgy tudunk magunkra találni, hogy magunkat bele tudjuk helyezni a lehető legszélesebb keretbe, közösséget tudunk vállalni, és közösségben érezhetjük magunkat.

Egy műalkotást szoktak annyiban létezőnek tekinteni, amennyiben az jelen van a befogadókban, tehát jelentését, meghatározó tulajdonságait is a közönségtől kapja, sőt annyiféle léte van egyazon műnek, ahányan kapcsolatba kerülnek vele, mivel mindenki számára mást mond, mást lát benne. Ilyen szempontból nyilvánvaló a különbség egy matematikai elmélet és egy zenemű között, hiszen bár a különböző teóriák értelmezése körül előfordulhatnak jogos viták, a lehetséges jelentések köre itt sokkal szűkebb, a matematikának szinte öncélú törekvése, hogy minél élesebben körülhatárolja állításait. A legtöbb matematikus nem lelkesedik túlzottan, ha messzemenő összefüggésekbe ágyazzák eredményeiket, számukra mibenlétének meghatározásához hasonlóan például a neki tulajdonítható szépség is kézzelfogható, nem igényelnek különösebb magyarázatot. Legtöbben szkeptikusan viszonyulnak a nagyon átfogó elméletekhez, szerepe lehet ebben annak, hogy a matematika világában hozzászokhattak az átláthatósághoz, a kijelentéseiket egészen a gyökerekig ki tudják elemezni, míg ez a feltétel távolról sem teljesül más területeken. A fogalmak tisztázatlanok és ellenőrizhetetlen elemek tűnnek fel lépten nyomon. Vannak, akik szélesebb körű kérdésekkel kapcsolatban nagyon óvatosan fogalmaznak megtartva igényességüket, s látva, hogy mennyire labilis általában a tudásunk az átfogó problémáknál erősen vonzódnak azokhoz a magyarázatokhoz, amelyeknél nem kell racionálisan megfogható alapvetéseinkhez ragaszkodni, hanem egyszerűen elfogadnak egy értelem feletti síkot. Mások inkább a következetességet tartják fontosnak és felismerve néhány számukra elfogadható elvet ezekhez ragaszkodnak, s ezekhez igazítják a legtöbb dolgot.

Ha valamilyen élményről van szó, akkor az egyén oldaláról nézve mindenképpen felvetődik a személyes lét egy olyan dimenziója, ahol társadalmi létéhez kapcsolódó körülmények másodlagosak lesznek, mert azok változhatnak, megszűnhetnek, marad az, ami állandó, ami leginkább önmaga, az önazonosság. Természetesen nem lehet egyszerűsítések nélkül elkülöníteni az embert környezetétől, de egyfajta állandóságot mindenki hordoz. A művészetet felfoghatjuk úgy is, ahol az ember ennek az állandóságnak a helyét keresi a világban, ahol próbálja újra és újra beilleszteni magát a legtágabb összefüggésekbe. A matematika is ad erre lehetőséget, csak nagyon egyedi, szűk körben. Az esztétikumba akkor is kapaszkodhatunk, amikor mindenféle racionalitást fel kell adnunk.

Ha felelnünk kell arra a kérdésre, hogy esztétikai élmények-e a matematikai élmények, akkor azt válaszolhatjuk, hogy szigorúan véve nem, mert itt az esztétikumhoz tartozó több alapvető elem is hiányzik, de csak a matematikában kell igen és nem között választani. Összefoglalva elmondhatjuk, hogy az emberre egységes egészként kell tekintenünk, tehát a matematikában megnyilvánuló tevékenysége is szerves része egész lényének, az összekapcsoláskor azonban egyik rész sajátos szempontjait sem szabad előnyben részesíteni. A matematikai élmények egyik nézőpontból tökéletesek, másokból elenyésző jelentőségűek.

Irodalom

  • Barrow, John D.: A fizika világképe. Akadémia Kiadó, Budapest, 1994.
  • Courant, Richard–Robbins, Herbert: Mi a matematika? Gondolat, Budapest, 1966.
  • Davies, Paul: Isten gondolatai. Kulturtrade Kiadó, Budapest, 1995.
  • Davis, Philip J.–Hersh, Reuben: A matematika élménye. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984.
  • Heisenberg, Werner: A rész és az egész. Gondolat, Budapest, 1975.
  • Heisenberg, Werner: Válogatott tanulmányok. Gondolat, Budapest, 1967.
  • Mérő László: Észjárások. Akadémiai Kiadó, Optimum Kiadó, Budapest, 1989.
  • Nagy pillanatok a matematika történetében. Szerk. Freud Róbert, Gondolat, Budapest, 1981
  • Penrose, Roger: A császár új elméje. Akadémia Kiadó, Budapest, 1993.
  • Péter Rózsa: Játék a végtelennel. Tankönyvkiadó, 1969.
  • Pólya György: A matematikai gondolkodás művészete – I. Indukció és analógia, II. A plauzibilis következtetés, Gondolat, Budapest, 1988.
  • Polányi Mihály: Személyes tudás I–II. Atlantisz Könyvkiadó, Budapest, 1994.
  • Rényi Alfréd: Ars Mathematica. Magvető, Budapest, 1973.
  • Russel, Bertrand: Miszticizmus és logika. Helikon, Budapest, 1976.
  • Ruzsa Imre: A matematika és a filozófia határán. Gondolat, Budapest, 1968.
  • Ruzsa Imre: A matematika néhány filozófiai problémájáról. Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
  • Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat, Budapest, 1986.
  • Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. Gondolat, Budapest, 1986.
  • Staar Gyula: A megélt matematika. Gondolat, Budapest, 1990.
  • Stewart, Ian: A természet számai. Kulturtrade Kiadó, Budapest, 1995.
  • Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása. Magvető, Budapest, 1978.
  • Zoltai Dénes: Az esztétika rövid története. Kossuth Kiadó, Budapest, 1987.

A képek, rajzok forrásai:

  • M. C. Escher: The graphic work. Benedikt Taschen, Köln, 1992.
  • R. L. Gregory–E. H. Gombrich: Illúzió a természetben és a művészetben. Gondolat, Budapest, 1982.
Forrás

ontologia.hu Egy korábbi időpontban a dolgozat a MEK része volt.)