A tudomány, mint a művészet egyik formája

Lánczos Kornél
matematika, irracionális számok, halmazelmélet, Georg Cantor, kontinuum, megszámlálhatóság, fizika, térelmélet, Boltzmann, Albert Einstein, Faraday, tudományfilozófia, Mach, Lánczos Kornél
szóelválasztás

Azért választottam A tudomány, mint a művészet egyik formája címet, mert írásom tárgya azoknak a lehetséges kapcsolatoknak a vizsgálata, amelyek esetleg a tudomány és a művészet között fennállnak; speciálisan néhány olyan példát fogok felhozni, melyekben a tudományos gondolkodás határozottan művészi vonásokat mutat.

Rögtön az elején szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy ami engem illet, én teljesen őszinte és jóhiszemű vagyok, mindenféle csűrést-csavarást mellőzök, mivel megfelelő mennyiségű csűréssel-csavarással majdnem minden bizonyíthatóvá válik. Gondoljanak pl. a modern zenére, ahol gyakorlatilag minden megengedett. Nincs sok különbség az absztrakt művészet esetében sem. Vagy vegyük például az úgynevezett „abszurd színházat”, melyben a legellentmondásosabb kijelentéseket a legjobb lelkiismerettel nyelik le. Nem jár haszonnal az ilyen, a saját szövegösszefüggéseikből ügyes manipulációval kicsavart dolgok követése, ha az a célunk, hogy érvényes következtetésekre jussunk, s nem pedig az, hogy könnyű esti szórakozást keressünk. A téma érdemes a figyelemre, mivel általában az az emberek véleménye, hogy kevés közös vonása van a tudománynak és a művészetnek, hogy valójában kölcsönösen kizárják egymást, s eljutunk a „két kultúra” elmélethez. Én éppen a nagy tudományos felfedezések és a nagy művészi alkotások között található néhány figyelemreméltó párhuzamosságra szeretnék rámutatni.

Kétségtelenül, a felszínen vizsgálódva a tudomány és művészet két teljesen különálló kategóriához tartozik; teljesen különböző jellemzőiket talán négy pontban lehetne összefoglalni.

  1. A tudomány olyan tényekkel foglalkozik, amelyeket figyelmesen végrehajtott kísérletek alapján állapítottak meg. A tudomány célja e tények és az azokat ellenőrző alapvető törvények megragadása. A művészet számára ugyanakkor a tények nem érdekesek. A művészi fantázia ki tud találni olyan világot, amely nem veti alá magát a fizikai világmindenség megváltoztathatatlan törvényeinek.
  2. A tudomány módszere a logika. Néhány univerzális állításból kiindulva, logikus érveléssel új eredményeket vezetünk le. A művészetnek nem kell logikusnak lennie. Senki sem próbálná Hamlet, Machbet vagy Lear király jellemét egzakt, logikus gondolkodás alapján megérteni. A művészetben a tiszta ész logikáját a megértés érzelmi és intuitív típusa helyettesíti.
  3. A tudományban az ego nem játszik elsőrendű szerepet. Az ember a fizikai univerzum része, és abban az ember létezésének nincs semmilyen kitüntetett szerepe. A fizikai világ meghatározott, és a vizsgáló személyes nézeteinek nincs különösebb jelentősége. Bármik legyenek is az univerzum törvényei, azokat semmilyen személyes szimpátia vagy antipátia nem változtatja meg, és így a tudós csupán a fizikai események rögzítőjének szerepét játssza, de személye a háttérben marad. A művészet világában viszont elsősorban az emberi érzelmek és bizonyos, az életben adódó helyzetekkel szemben tanúsított emberi reagálások az érdekesek, és nem kell az egyes embert állandóan a fizikai univerzumhoz való viszonyában vizsgálni.
  4. A tudományban a tények világát előítéletek, előre kigondolt elképzelések nélkül vizsgálják, „sine ira et studio” („harag és részrehajlás nélkül”), ahogy a latin mondja. A tudományban nincsenek értékítéletek. Nem mondhatjuk, hogy ez a törvény jó, a másik meg rossz. Tudjuk, hogy az Einstein-féle alapegyenlet, $E=mc^{2}$ volt az atombomba alapja. De a tudomány nem vonható felelősségre azokért a jó vagy rossz dolgokért, amelyekre felhasználják.

Jó és rossz, szép és csúnya, hasznos és haszontalan, ezek olyan fogalmak, amelyeknek nincs helyük a tudományban. A tudomány tényekkel és nem értékekkel foglalkozik. Ugyanakkor az alkotó művészetek nem létezhetnek értékítéletek nélkül. Valóban, a szépség kategóriája majdnem elkerülhetetlenül jelen van a művészi alkotásokban.

Úgy tűnik, hogy ez az a négy legszembetűnőbben ellentmondó szempont, amely a tudományokat és a művészeteket két teljesen elkülönített és ellentétes táborba sorolja. Talán nem érdektelen sorra venni ezeket a pontokat és figyelmesen megvizsgálni a tartalmukat. A kettéválás valóban annyira abszolút, mint ahogy azt előző állításaink mutatják?

Lánczos Kornél
(1893–1974)
magyar származású angol fizikus és matematikus

Az első pont szerint a tudomány tényekkel foglalkozik, ugyanakkor a művészetben a képzelet szabadon csaponghat. Egyszóval azt mondhatjuk: a tudomány tényszerű, a művészet látnoki. Emlékszem, hogy sok évvel ezelőtt, amikor az Egyesült Államokban a purdue-i egyetem fakultásán dolgoztam, volt a fakultáson egy vitaklub, melyben a tudomány legkülönbözőbb ágaival foglalkozó kollegák vehettek részt. Egyik alkalommal, miközben a „tények”-ről beszéltünk, valaki megkérdezte: „Mi az, hogy tény?”. Mindegyikünk nagyon igyekezett kielégítő definíciót adni, de kiderült, hogy az egyáltalán nem olyan könnyű, mint ahogy gondolnánk. Ezért elhatároztuk, hogy utánanézünk különböző tankönyvekben, szótárakban és enciklopédiákban, és a legközelebbi találkozón összehasonlítjuk a jegyzeteinket. Kiderült, hogy az egyes meghatározások néha még ellentmondásban is voltak egymással és ténylegesen kielégítő választ nem sikerült találni. Arkhimédész megtalálta az úszó testek merülési törvényét és ezzel tényt állapított meg; Galilei azt a tényt demonstrálta, hogy a nehéz és a könnyű testek egyenlő gyorsasággal zuhannak a Föld felé. Aztán, századunk kezdetén, olyasmi történt, ami kizökkentette a dolgokat a maguk megszokott rendjéből. Felfedezték az atomos szerkezetet. Ma már persze az „atom” mindennapi szó. Mindenki hallott már az atomokról, sőt még az atommagokról is, amelyek hatalmas mennyiségű energia forrásai. Ma már alig hihető, hogy a múlt század végén egy kiváló osztrák fizikust, Ludwig Boltzmannt, ténylegesen a halálba kergettek, mivel erősen hitt az atomok létezésében. Abban az időben nem állt rendelkezésre semmiféle közvetlen bizonyíték az atomok létezésére, Boltzmann pedig a létezésüket nem tapasztalati, hanem látnoki módon állapította meg. A hőjelenségeket abban az időben már alaposan ismerték. Biztosan tudták, hogy minden esetben, ha súrlódás lép fel, hő keletkezik, valamely mechanikai, kémiai vagy elektromos energia árán. Így a hőt az energia bizonyos formájának tekintették, amelynek megvolt az a speciális tulajdonsága, hogy az energia egyéb formáivá csak 100%-nál lényegesen kisebb hatásfokkal lehetett átalakítani. Boltzmann sokat töprengett ezen a különös tényen, és egy rendkívül nyilvánvaló magyarázatot talált, amelyet csak látnokinak nevezhetünk. Úgy képzelte, hogy ha a folyékony vagy szilárd testek nagyon nagy számú atomoknak vagy molekuláknak nevezett kicsi részecskékből állnának – annál kisebbekből, mint amit a leghatékonyabb mikroszkóppal még látni lehet – akkor könnyen megérthetjük, mi történik a hőjelenségek folyamán. Tételezzük fel, hogy szöget verünk egy kicsi fadarabba. Látszólag a kalapács kinetikus energiája elvész, de valójában átalakul a keltett hővé. Miért? Mert a kalapács kinetikus energiája átalakul a molekuláknak az egyensúlyi állapot körüli rendezetlen rezgéseivé. Egy rendezett mozgást könnyű a molekulák billióinak rendezetlen mozgásává átalakítani, ugyanakkor semmiféle esélyünk nincs arra, hogy ezt a rendezetlen mozgást teljesen visszaállítsuk egy rendezett látható mozgássá. Zseniális intuíciója révén Boltzmann számára hirtelen világossá vált, hogy miért alakítható át az energia minden formája hővé, ugyanakkor ez a hő miért nem alakítható vissza – csak részben, nem pedig teljesen – használható energiává. Előzőleg azt állítottuk, hogy a tudomány tényszerű, a művészet pedig látnoki. Ugyanakkor Boltzmannak az atomok és molekulák létezéséről alkotott elképzelése teljesen látnoki volt. Ezzel ésszerűen megmagyarázott valamit, amit nem lehetett megmagyarázni csupán az ismert tények alapján. Ezek a láthatatlanul kicsi részecskék nem jelentettek többet egyfajta konstrukciónál. Boltzmannt éppen azzal támadták kollegái, hogy olyan fogalmakat használ, amik fizikailag nem megfigyelhetők. Ma már mindenki elhiszi, hogy az atomok ténylegesen megfigyelhető dolgok. De az atomok és molekulák létezése még ma is épp annyira csak közvetetten bizonyítható, mint Boltzmann idejében volt. Mind a mai napig megmaradtak konstrukcióknak, de ebben az esetben egy olyan konstrukcióról van szó, amely hasznosságát olyan sokféleképpen igazolta, hogy senki sem meri visszautasítani. Mégis az 1906 körüli években Boltzmann idegrendszerét teljesen felőrölték az őt ért keserű támadások, és öngyilkosságba menekült. [Tudomásom szerint nem bizonyított, hogy a fizikus kizárólag az említett támadássorozat miatt lett öngyilkos – A szerk.]

Ezzel a példával meg akartam önöknek mutatni, hogy az az éles elkülönítés, hogy a tudomány tényszerű, a művészet pedig látnoki, nem tartható fenn minden esetben. Aligha tévedünk nagyot, ha azt állítjuk, hogy a tudomány majdnem mindegyik nagy felfedezését inkább nevezhetjük egy zseniális és ihletett agy látnoki eredményének, mint csupán tényszerű következtetésnek.

Boltzmann

Térjünk most át a második pont vizsgálatára: a tudomány a hideg logikát használja, ugyanakkor a művészet az érzelmi és intuitív megértésen alapul. Az igaz, hogy a tudományos eredményeket rideg logikai alapon tanuljuk, de a logikus levezetés szerepét a tudományos felfedezésekben könnyű túlbecsülni. Egyszer a nagy matematikus Gauss egyik kéziratán dolgozott, amivel már eléggé megkésett. Barátai, akik tudták, hogy valami nagyon fontos dologgal foglalkozik, megkérdezték, hogy hogyan halad. Gauss jellemző választ adott:

Már tudom az összes eredményt, de még nem tudom, hogy hogyan kapom majd meg őket.

Tény, hogy még soha nem jutottak tudományos felfedezésre tisztán logikai alapon. A tudományos inspiráció fantáziadús, nem pedig logikus gondolkodáson alapul. Szükség van logikára a tudományos eredmények megállapításához és azok érvényességének bebizonyításához, de nem a logika a legfontosabb a tudomány birodalmába való behatoláskor. Egy gépet meg lehet tanítani arra, hogy logikus műveleteket végezzen, de semmiféle gép nem lesz soha képes a legkisebb tudományos felfedezésre. Számomra nem látszik szerencsésnek, hogy tudományos képzésünkben oly sok időt szentelünk a logikus levezetéseknek, ahelyett, hogy megmutatnánk a diákoknak a tudomány alapvető motivációit és képzelőerőt igénylő nézőpontjait. Korábban azt állítottuk, hogy a művészetben a hangsúly az érzelmi és intuitív megértésen van, most pedig azt látjuk, hogy a tudományos képzelőerőt és inspirációt igénylő nézőpontok figyelembevételével a tudomány és művészet közötti szakadék nem oly nagy és valójában e szakadék gyakran egyáltalán nem is létezik.

Carl Friedrich Gauss
Siegfried Detlev Bendixen · 1828 · litográfia
Publikálva: Astronomische Nachrichten, 1828

Elérkeztünk a tudomány és művészet közötti harmadik alapvető különbséghez. A tudomány az objektív világ rendjét kutatja és ebben az egyén semmilyen szerepet nem játszik. A művészetben ugyanakkor az egyén szerepe meghatározó. Tudni akarjuk, hogy ki festett egy bizonyos képet, ki komponált egy bizonyos zeneművet, vagy ki írt egy bizonyos verset, minthogy az az ő látomása a szépről, és az a döntően érdekes, ahogyan ő saját magát kifejezi. A tudományban elvész az egyéniség szerepe, mivel a tudomány az általánost kutatja, és eredményei függetlenek attól, hogy ki fedezte fel őket. A valóságban egészen más a helyzet. A tudósoknak rendszerint igen erős egyéniségük van és nagyon érzékenyek arra, hogy megfelelő elismerést kapjanak törekvéseikért. Még olyan nagy gondolkodó is, mint Newton, alapvető szerénysége ellenére egy kellemetlen prioritási harcba keveredett az infinitezimális számítás felfedezésével kapcsolatban. Leibnizet, a kiváló matematikust és természet-filozófust azzal vádolták, hogy Newton titkát ellopta és saját felfedezéseként publikálta. A vád teljesen alaptalan volt, mindkét tudós egymástól függetlenül fedezte fel ugyanazt a dolgot, jóllehet teljesen különböző technikával dolgoztak és más oldalról közelítették meg a kérdést is. A példákat tovább sorolhatnánk. Az imént már említettem, hogy mennyire elkeserítette Boltzmannt, hogy nemcsak nem hittek csodálatos felfedezésében, de még személyes sértegetések is érték miatta. Ez kergette végül öngyilkosságba. Sok más tudós életét is megkeserítette az, hogy kortársaik nem ismerték el eredményeiket. Valójában aligha kételkedhetünk abban, hogy az alkotó művész és az alkotó tudós érzelmi síkon igen hasonlóak. Mindkettő a saját elvont világában él, amelyből ki vannak törölve a mindennapi lét jelentéktelen dolgai. Mindnyájan ismerjük a „szórakozott professzor”-ról szóló történeteket. Például azt a pompás történetet a nagy fizikus Newtonról, aki tojást akarván főzni, elővett egy tojást és az óráját, ami abban az időben igen értékes tárgy volt. Newton arra ébredt álmaiból, hogy a tojást tartja a kezében és órája a vízben fő.

Newton
Leibniz

Egyébként egy hasonló történetet mesélnek a kiváló matematikus és fizikus D’Alembert-ről is, aki Párizsban, miközben a Francia Akadémia egy ülésére tartott, átkelt a Szajna egyik hídján. Útközben fölszedett egy furcsa szerkezetű követ, ami aztán teljesen lekötötte figyelmét. Hirtelen eszébe jutott az Akadémia ülése, és óráját előhúzva, rémülten vette észre, hogy már elég késő van. Be akarta dobni a kavicsot a Szajnába, de valójában az óráját dobta a vízbe, a kavicsot pedig zsebre tette.

Ilyen történeteket azonban éppúgy mesélnek az alkotó művészekről is. Beethoven betért egy bécsi vendéglőbe és türelmesen várt a pincérre, aki ügyet sem vetett a viseltes ruhájú vendégre. Beethoven hiába várt és láthatólag teljesen zenei gondolataiba merült. Egy idő után a számlát kérte, mert azt hitte, hogy már megebédelt, pedig még semmihez sem nyúlt.

A múlt század második felében élt egy jómódú amerikai, aki nagyon szerette Brahms muzsikáját. Mivel utazhatott, úgy döntött, hogy egy évet Bécsben, a nagy zeneszerző városában tölt. Korán kelt, és szívesen sétált a bécsi erdőben. Egyik reggel meglepetten fedezte föl, hogy Brahms a fák között egy kis tisztáson sétál. Már messziről üdvözölte: Jó reggelt, Mester! Brahms nem válaszolt. Ahogy közelebb ért, észrevette, hogy Brahms, ceruzával zenei ötleteket firkálva jegyzetfüzetébe, teljesen elfeledkezett környezetéről. Arcán izzadság csorgott, mereven maga elé nézett – nyilvánvalóan révületben volt. A való világ megszűnt számára, a hangok láthatatlan forrásokból szóltak hozzá. Nem áll-e ugyanez egy nagy tudósra is, az ihlet pillanataiban?

D’Alembert
Beethoven

És végül, igaz-e az, hogy a tudománytól távol állnak az értékítéletek, míg a művészet elválaszthatatlan az olyan értéket jelző fogalmaktól, mint csodálatos, visszataszító, jó és rossz, harmonikus és diszharmonikus stb. Ha a felszínen maradunk, ez igaz. Úgy tűnik, a tudomány teljesen hidegen és közömbösen vizsgálja a tényeket, míg a művész érzelmileg kötődik. A felszín alatt itt is egy mélyebb igazság rejtőzik. A fenti állítás igaz lehetett századunk elejéig, de azóta bizonyosan megdőlt, főként egy nagy egyéniség – Albert Einstein – felfedezéseinek tükrében. Századunk elejéig a tudomány vezető filozófiai irányzata az úgynevezett „pozitivista” filozófia volt, amelynek utolsó képviselője az osztrák fizikus és filozófus, Ernst Mach volt. Ennek a filozófiának az volt az alaptétele, hogy minden, ami metafizika, ami transzcendens, aminek hit látszata van, a tudomány világán kívül kell maradjon. E filozófia a tudomány világát dogmatikusan egy keskeny területre korlátozta. A tudományos berendezések segítségével megfigyeléseket végzünk, amelyek a technika fejlődésével egyre pontosabbak lesznek. Méréseinket grafikonokba foglaljuk és olyan matematikai kifejezéseket keresünk, amelyek a megfigyelt értékekhez kielégítő pontossággal illeszkednek. Ha ezt a feladatot sikerrel végeztük, a mi munkánk, mint tudósoké, befejeződött. Tovább menni, és a kifejezés mélyebb értelme után érdeklődni, egységes világképre törekedni, a jelenségek mögött a végső igazságot keresni, ez merő metafizikai képtelenség és távol kell álljon az igazi tudós tevékenységétől.

Érdemes megfigyelni, hogy pályája kezdetén maga Einstein is szilárd híve volt a Mach-i filozófiának. 1905-ben megjelent híres dolgozatában, amelyben a speciális relativitás alapelveit mondta ki, azzal érvel, hogy kísérleti bizonyítékok kényszerítenek minket két általános elv érvényességének elfogadására. Lássuk, milyen következményei vannak ennek a két elvnek! Hogy ez a két elv miért érvényes, ennek nincs jelentősége, a tapasztalat alapján fogadjuk el őket. Einstein itt igazi empiristának mutatkozik. Akkoriban mondta, hogy egyetlen, következtetéseinek ellentmondó kísérlet elég lenne az egész elmélet összeomlásához. Tíz évvel később egy sokkal átfogóbb elmélethez jutott el, az általános relativitás elméletéhez, amely egy nagyon általános keretet jelölt ki minden fizikai létező számára, olyan meggondolások alapján, amelyek merészségükben egyedülállóak a tudomány egész történetében. Felfedezte, hogy a természetnek csodálatos szerkezete van, hogy a természetet egységes képbe foglalhatjuk, amely nemcsak a teret és az időt, hanem a teret, az időt és az anyagot egyesíti egyetlen egésszé, úgy, hogy végső soron a geometria lesz az, ami mindent magába foglal. A húszas évek vége felé meglátogatta egy barátja az Egyesült Államokból, jó híreket hozott neki arról a csillagászati expedícióról, amelyik igazolta elméletének egyik következményét. Meglepetésére, Einstein furcsamód érzéketlen maradt és ezt mondta:

Az elmélet igazsága nem szemünkben, hanem elménkben van.

Arra gondolt, hogy ha ez az egyedi kísérlet valamilyen véletlen zavar hatására mást eredményezett volna is, az elmélet alapgondolata olyan nagyszerű vonásokkal rendelkezik, hogy mégsem kételkedett volna helyességében. Az elmélet bizonyítékát nem ez vagy az a kísérlet jelenti, hanem belső szükségszerűsége, az a páratlanul szép matematikai elmélet, amely logikai ereje folytán szükségszerűnek tűnt az egyetemes világrend megalapozásához. Ezek a fogalmak, mint egyetemes világrend, páratlan matematikai szépség, harmónia, belső szükségszerűség, olyan kifejezések, amelyek a tudomány világában korábban sosem jelentek meg. Einstein után aligha lesz az lehetséges, hogy a tudományt ismét egy különálló megfigyelő gépezet prózai szerepébe szorítsák azzal a további feladattal, hogy a kísérleti eredményekre vakul illeszkedő matematikai kifejezéseket találjon. A fizikai világ esztétikai és filozófiai jellegét többé nem lehet kétségbe vonni, és a legkiválóbb alkotó tudósok a legkiválóbb alkotó művészek társaivá válnak. Ez nem jelenti azt, hogy nem marad helye a prózai szintű tudománynak, a specialistának, aki kemény munkával izzadja ki a megoldást és akiből hiányzik minden művészi törekvés. Ami megvalósult, az az, hogy a tudományt erről a magasabb szintről többé nem lehet visszautasítani abba a rideg és prózai szerepbe, amelyre az úgynevezett „pozitivista filozófia” akarta kárhoztatni.

Érdemes közelebbről megvizsgálni egy-két határozottan művészi élményt nyújtó tudományos eredményt. Első példámat a matematika területéről veszem. Korábban már említettem a kiváló matematikus Gausst, aki technikai közleményeiben gondosan kerülte személyes véleményének nyilvánítását, azonban levelezésében igen nyílt volt, s némely megjegyzése nagy figyelmet érdemel. Schumacher barátjához írt egyik levelében híressé vált kijelentést találunk a végtelen matematikai szerepéről. Azt mondja:

Tiltakozom az ellen, hogy a végtelen nagyságot, mint teljességet használják, ez a matematikában sosem engedhető meg. A végtelen csak egy szólás, igazi értelme a határnak van, amelyet bizonyos arányok tetszőlegesen megközelítenek, miközben mások korlátozás nélkül növekedhetnek.

Gauss óvatos viselkedése tökéletesen indokolt volt abban az időben, amikor a matematikában még nem értették a végtelen eljárások valódi természetét. Például, ha $\frac 1 3$-ot, ezt az egyszerű törtet tizedes törtté alakítjuk, a következő eredményre jutunk:

\[ \frac 1 3 = 0,33333333333\dots \]

Ez az egyenlet szó szerint azt mondja, hogy az $\frac 1 3$-ot a

\[ \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{10000} +\dots \]

végtelen sor fölösszegezésével kapjuk meg. Azonban senki sem tud végtelen sok számot összeadni és ilyen formán az egyenlet értelmetlen. Valami egészen másról van szó. Bizonyos értelemben rosszul használjuk az egyenlőség jelét, mert akárhány tagot adunk is össze a jobb oldalon, sosem kapunk pontosan $\frac 1 3$-ot, egyszerűen, mivel az $\frac 1 3$ nem váltható át tizedes törtté. Mindamellett jogos az egyenlőség jele – ebben és a felsőbb matematika számtalan más egyenletében – ha helyesen értjük, hogy miről van szó. Az egyenlőség helyes értelmezése az, hogy bár sosem tudjuk megszüntetni az egyenlet két oldala között levő rést, elérhetjük, hogy a két oldal különbsége, ha nem is pontosan nulla, de tetszőlegesen kicsi legyen. Gauss értelmezése szerint a végtelen nem valami ténylegesen elérhető dolog, csupán egy véget nem érő eljárás, melynek révén egy mennyiséget egyre pontosabban megközelítünk anélkül, hogy valaha is ténylegesen elérnénk.

Brahms
Mach
Einstein

Körülbelül 50 évvel Gauss után egy másik kiváló matematikus, Georg Cantor, bár helyeselte azt az óvatosságot, amellyel Gauss mennyiségi vonatkozásokban a végtelent kezelte, megmutatta, hogy bizonyos körülmények között a tényleges végtelen fogalmát nem lehet kirekeszteni a matematika világából. Példának hozta föl a két pont, $A$ és $B$ közé húzott egyenes szakaszt. Ez a szakasz

létező dolog. Az is igaz, hogy pontokból áll. Mégis, akárhány pontot rakunk is össze, sosem kapunk egy szakaszt. Az $AB$ szakasz ténylegesen végtelen sok pontot tartalmaz.

Most, hogy ezt tudjuk, mire megyünk vele? Cantor megmutatta, hogy milyen sokra. A varázsfogalom, amit bevezetett és ami minden eredményének kulcsa lett, nagyon egyszerű, nevezetesen a párosítás. A matematikában a legfontosabb összefüggés az egyenlőség. Megmérünk egy bizonyos hosszúságot és 36 centiméternek találjuk. Aztán megmérünk egy másikat, és ez ugyanúgy 36 centiméter. Azt mondjuk, ez a két hosszúság egyenlő. Cantor megmutatta – és ez az ő nagy fölfedezése –, hogy a két hosszúság egyenlőségét valójában mérés nélkül is megállapíthattuk volna. Centiméterek helyett gondoljunk valami egyszerűbbre, például egy csomó labdára. Vegyünk egy csomó fekete labdát és egy csomó fehéret. Megszámoljuk a fekete labdákat és 36-ot találunk. Megszámoljuk a fehér labdákat és 36-ot találunk. Azt mondjuk, ugyanannyi fekete és fehér labdánk van. Azonban Cantor szerint teljesen felesleges volt a labdákat ténylegesen megszámolni. Képzeljük el, hogy egyszerűen összepárosítjuk őket. Ha minden fekete labda egy és csak egy párt talált a fehérek között, és minden labdát párba állítottunk, akkor máris tudjuk, hogy a labdák két halmaza szám szerint egyenlő, anélkül, hogy megállapítottuk volna, hogy melyik ez a szám.

A párosításra vonatkozó szakkifejezés az „egy-egyértelmű megfeleltetés”, mivel a két halmazt úgy rendeztük el, hogy az egyik halmaz egy eleméhez hozzárendeltük a másik halmaz egy elemét és fordítva. Amikor az egyszerűbb „párosítás” szót használjuk, pontosan erre gondolunk.

Mármost az érdekes az, hogy amíg a számlálás csak a dolgok egy véges halmazára alkalmazható, a párosítás jól működik végtelen sok elem esetén is. Például írjuk föl rendezett formában az összes létező törtet. Úgy csináljuk, hogy egy sorba leírjuk az összes törtet, aminek a nevezője 2, aztán mindazokat, amiknek a nevezője 3 és így tovább mindig kihagyva azokat a számokat, amelyeket egyszer már leírtunk. Például kihagyjuk a $\frac 4 2 = 2$ törtet, hiszen ez az előző sorban már szerepelt. A következő rendszert kapjuk:

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots \\ \frac 1 2 & \frac 3 2 & \frac 5 2 & \frac 7 2 & \frac 9 2 & \ldots \\ \frac 1 3 & \frac 2 3 & \frac 4 3 & \frac 5 3 & \frac 7 3 & \ldots \\ \frac 1 4 & \frac 3 4 & \frac 5 4 & \frac 7 4 & \frac 9 4 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}$$

Az első sorban van az összes természetes szám: $1, 2, 3\dots$ a végtelenségig. Aztán jön a második, harmadik, negyedik sor, meg a többi, és mindegyik végtelenig megy. Azt gondolhatnánk, hogy végtelenszer több tört van, mint ahány természetes szám. Cantor azonban megmutatja, hogy az összes törtet összepárosíthatjuk a természetes számokkal úgy, hogy semmi sem marad ki: egy tört, egy természetes szám, véges végig. E célból nevezetes „átlós elrendezését” használja,

amelyből világosan látszik, hogy minden törtet egyszer és csak egyszer számolunk. Így az összes tört számossága nem haladja meg a természetes számok számosságát. Cantor megszámlálható halmaznak nevezi azt a halmazt, amely a természetes számokkal párosítható. Átlós elrendezése megmutatja, hogy a törtek összessége megszámlálható halmaz és így nem számosabb mint a természetes számok összessége.

A törtek azonban a számok egy nagyon speciális halmazát alkotják. Itt van például a $\sqrt 2$, amit nem lehet két egész szám hányadosaként fölírni, és ezért irracionális számnak nevezik. Ez csupán a számoknak egy igen széles osztályából vett nagyon speciális példa volt. Ezt az osztályt a következőképpen jellemezhetjük: egy közönséges törtet definiálhatunk úgy, mint az

\[ ax+b=0 \]

egyszerű egyenlet megoldását, ahol $a$ és $b$ adott egész számok. Ugyanúgy tekinthetjük az

\[ax^{2}+bx+c=0 \]

másodfokú egyenlet által meghatározott $x$ számokat is, ahol $a$, $b$, $c$ egészek. Így olyan számokat kapunk, mint például négyzetgyök 2. Ezt folytatva az $x$ számot az

\[ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \]

harmadfokú egyenlet megoldásaként definiáljuk, ahol $a$, $b$, $c$, $d$ adott egészek. Ezt az eljárást folytatva tetszőlegesen magas fokú egyenletekig eljutunk. Az így definiált számok roppant sokaságát „algebrai számok” osztályának nevezzük.

Milyen sokan vannak ezek? Számosabbak-e mint a természetes számok? Mint Cantor megmutatta, nem – ugyanis ismét meg tudjuk mutatni, hogy az ilyen számok megszámlálhatók, azaz egy-egy értelműen hozzájuk lehet rendelni az $1, 2, 3, 4, 5\dots$ természetes számokat.

Rendben van, tehát bizonyára az összes lehetséges szám – vagyis, hogy egy egyenes minden pontja – megszámlálható? Tudjuk azonban, hogy vannak olyan számok, amelyek semmilyen egész együtthatós algebrai egyenletnek nem megoldásai. Ilyen például a híres $\pi$ szám, amely a kör kerületében jelenik meg, vagy a felsőbb matematika $e$ száma, vagy a 2 logaritmusa és még sok más. Mit mondhatunk az ilyen számokról? Többé-kevésbé kivételek-e, valamiféle csodabogarak, vagy pedig napirenden levő dolgok? Ezeket a számokat is felírhatjuk végtelen tizedes tört alakban, például:

\begin{align} \pi &=3,1415926535\dots \\ e &=2,7182818284\dots \\ \log{2} &=0,6931471805\dots \end{align}

Cantor megmutatta, hogy ezek a számok valójában végtelenül számosabbak az algebrai számoknál, olyannyira, hogy ha egy végtelenül vékony tűvel kijelölünk egy pontot egy egyenesen, akkor annak a valószínűsége, hogy egy algebrai számot találunk el, nulla. A 0 és 1 közötti pontok kontinuuma nem megszámlálható. Nem lehet őket úgy elrendezni, hogy megszámlálhassuk: első, második, harmadik… anélkül, hogy végtelen sokat kihagynánk közülük. Az algebrai számokat berajzolva, az egyenes még teli van lyukakkal, bár ezek a lyukak láthatatlanul közel vannak egymáshoz. A transzcendens számok kitöltik a lyukakat és amit így kapunk, az a kontinuum – a rejtélyes valami, amivel az emberi elme időtlen idők óta viaskodik.

Cantor

De ezzel még nincs vége a történetnek. Cantor vizsgálatainak legérdekesebb eredménye még hátra van. Ez az a megdöbbentő következtetés, hogy a kontinuum sohasem nő. Olyan, mint Pallasz Athéné, aki teljes fegyverzetben ugrott ki Zeusz fejéből és örökké ugyanaz maradt. Cantor összehasonlított egy rövid és egy hosszú egyenes szakaszt és pontjaikat összepárosítva megmutatta, hogy a hosszú szakasznak nincs több pontja, mint a rövidnek. Továbbá egy végtelenül hosszú egyenesnek nincs több pontja, mint egy tetszőlegesen rövid szakasznak. Viszont a vonal csak egydimenziós. Egy négyzetnek bizonyára több pontja van, mint egy vonalnak? Ismét Cantor volt az, aki megmutatta, hogy ez nem így van. Egy tetszőlegesen nagy – akár végtelen – négyzet pontjait egy-egy értelműen hozzá lehet rendelni egy tetszőlegesen rövid szakasz pontjaihoz. És ugyanez igaz egy kockára vagy egy tetszőleges magasabb dimenziós testre is.

Nehezen tudunk elképzelni lelkesítőbb és ugyanakkor őrjítőbb eredményt, mint azt, hogy az egész végtelen univerzumnak nincs több pontja, mint egy tetszőlegesen rövid szakasznak, mivel e végtelen univerzum minden egyes pontját – egy-egy értelműen – egy milliomod-centiméter hosszúságú vonaldarabkára vetíthetjük.

A „halmazelmélet” vagy „ponthalmazok elméletének” megalapítója ezeket az eredményeket a lehető legegyszerűbb módon kapta meg, minden mesterkélt eszköz nélkül, igen kifinomult művészi képzelet segítségével. Ma a halmazelméletet a matematika legfontosabb eredményei közé soroljuk, amely még az elemi iskolába is behatolt. Én úgy vélem, hogy e gondolatok alapvetően művészi jellege volt ennek a sikernek az alapja. Az én személyes véleményem az, hogy a matematika oktatását így kezdeni veszélyes, mert hajlamossá tesz a számok mennyiségi jellegének elhanyagolására és a számokkal való műveletekben bizonyos mértékig a fegyelem hiányához, valamint technikai fogyatékosságokhoz vezet – ezek kiküszöbölésére alkalmasabb a hagyományos oktatási módszer. Ennek ellenére, senki sem kételkedhet Cantor művének kivételes ötletességében. És mégis, saját korában nagyon kevés figyelmet keltettek felfedezései. Cantor egy Berlintől dél-nyugatra fekvő német kisváros, Halle egyetemének docense majd professzora volt. Elszigetelve érezte magát és az volt a nagy álma, hogy meghívják a berlini egyetemre. Tartott is ott néhány előadást, de ezek nem keltettek különösebb feltűnést. Elképzeléseit vagy gyerekesnek, vagy őrültnek tartották, talán mindkettőnek. Ez emlékeztet a francia festő, Henri Rousseau sorsára, akit kigúnyoltak életében és akit ma nagyra becsülünk. A nehézség részben jelölésmódjában rejlett. Tudatában volt annak, hogy valami egészen újat kezdett. Továbbá, el akarta határolni magát a számok mennyiségi jellegétől. Ezért nem használhatta a latin vagy akár a görög ábécé betűit, mivel azok hagyományosan bizonyos mennyiségeket jelöltek. Így a héber ábécéhez fordult: a megszámlálható sokaságot a „nulla” indexű héber „alef” betűvel ($\aleph_{0}$), a kontinuumot „egy” indexű alef betűvel ($\aleph_{1}$) jelölte. Az analízissel foglalkozó ismert matematikus, Weierstrass, elmesélte barátainak, hogy elment Cantor néhány előadására, de mikor az pár ismeretlen betűt írt a táblára, elfogyott a türelme és végleg otthagyta az előadásokat. Azonkívül Kroneckernek, aki híres algebrista, a német matematikusi körök igen befolyásos alakja volt, sem nyerte el tetszését, Cantor és gondolatai elismertetését célzó minden erőfeszítést meghiúsított. Így Cantor élete hátralevő részében Halleban maradt, virtuális elszigeteltségben.

Talán túl soká időztem olyan tudósok példájánál, akik a fizikai problémákhoz művészi módon közeledtek. Erre más példák is vannak, de különösen érdekes egy tizenkilencedik századi angol fizikusé, Michael Faraday-é. Faraday, autodidakta lévén nem értett a formális matematikához, szemlélete inkább geometriai volt. Olyan ötlete támadt, amely később óriási fontosságúvá vált. Míg a newtoni fizika a részecskék közötti fizikai hatás hordozójaként magukat a részecskéket és a köztük ható erőket tekintette, Faraday a részecskék közti, üresnek tűnő teret (ezt nevezték el később éternek) tartotta a fizikai hatás valódi közvetítőjének. Szerinte az elektromosan töltött részecskék csupán az éter erővonalainak forrásai és elnyelői. Így Faraday volt a „fizikai tér” fogalmának megalkotója – azé a fogalomé, amely később egész fizikai gondolkodásunkat meghódította.

Faraday elképzeléseit később Maxwell fogalmazta meg egzakt matematikai nyelven. Az ő gondolkodásának művészi módja is jó például szolgálhat. Egyenleteiben megjelent egy sebesség dimenziójú konstans, amely a mérések tanúsága szerint megegyezett a fénysebességgel. Miért kell, hogy a fénysebesség megjelenjen az elektromosság egyenleteiben? Gondosan megvizsgálva az egyenleteket, Maxwell bizonyos aszimmetriát fedezett fel bennük. Amikor egy kis tag hozzáadásával, amely az akkori kísérleti lehetőségek miatt nem volt észlelhető, helyreállította a szimmetriát, meglepő dolog történt. Az elektromosság többé nem végtelen sebességgel, hanem a fény sebességével terjedt. Így fedezte fel Maxwell a fény elektromos természetét és jósolta meg az elektromos hullámokat, amelyek most a rádió, a radar és a televízió korában – mindannyiunk rendelkezésére állnak. Ez a felfedezés alapvetően látnoki és művészi volt.

Sok hasonló példát idézhetnénk még. Ehelyett azonban egy általános és alapvető kérdéssel szeretném befejezni ezt a fejtegetést: hogyan magyarázható az, hogy a tudomány és a művészet legmagasabb régiói között szoros rokonságot találhatunk? Mikor a „művészet” szót használom, nem az op-artra, a pop-artra vagy más „izmusra” gondolok, amelyik bizonyos idő múlva újra eltűnik. A hatalmas arányú művészetet értem alatta, mint amilyen a görög, az egyiptomi vagy a sumér művészet, a barokk muzsika vagy a múlt század nagy zsenijeinek zenéje – és még sok más példát is találhatunk. Mitől olyan csodálatos ez a művészet, hogy időtlennek tűnik? És hasonlóan, miért ismertek bizonyos látnoki hajlammal rendelkező tudósok öröklétű gondolatok szerzőiként? Úgy tűnik, mintha az alkotó művész képzeletét semmi sem korlátozná, szabadon száguldhat a végtelen téren át, a fizikai lét törvényei által nem korlátozva. De ha ez így van, akkor a művészet többé-kevésbé szeszélyes alkotásai miért nem vesztik érvényüket századok, sőt ezredévek múltán sem?

A talány megoldása az, hogy a nagy művész távolról sem szabad. A filozófus Szókratész egy belső hangról, a „démon”-ról beszél – döntő esetekben ennek a tanácsára hallgat. Ez a hang egyértelműen megmondja neki, hogy mit kell tegyen. Nem Szókratész dönt, hanem a démon.

Goethe, a nagyszerű költő és filozófus, egy esetben a következő szavakat használja: „Es denkt in mir” – Az „gondolkodik bennem”, ahelyett, hogy „Én gondolkodom”. Az „Az”-t állítja szembe az „Én”-nel. Nem Goethe az, aki gondolkodik, hanem egy „Az”, ami rajta keresztül beszél. A görög szobrászt nem az egyedi modell szépsége érdekli, bármi tökéletesnek is látszhat e szépség. Isteneket és istennőket ábrázol, akiknek emberi alakjuk van és mégis magasan az egyedi ember felett állnak. Mi emeli őket erre a piedesztálra? Ismét ama „Az”, Platón eszménye, a mintakép, amelynek az egyedi ember csak esetleges és tökéletlen megnyilvánulása. Ismét a kell az akarom helyett, szükségesség a szabadság helyett. Beethoven egy padon ül a Brunswick család parkjában, holdfény világít, körös-körül tökéletes a csend és csupa varázs a táj. Hirtelen egy dallamot hall, fantasztikusan mélyet, és megszületik a Holdfény szonáta első tétele, a soha túl nem szárnyalható szépség mintaképe. Mindegyik hangjegy olyan, amilyennek lennie kell – soha meg nem másítható. Beethoven a „Sonata quasi una Fantasia” [Szonáta fantázia módra] címet adta neki és az első tételéhez a következő megragadó szavakat fűzte: „Si deve suonare tutto questo pezzo delicatissimamente e senza sordini”. [Az egész darabot a lehető legfinomabb módon és hangfogó nélkül kell előadni.]

Newton holdfényes kertjében üldögélt, mély csendben, és ekkor valami kevésbé poétikus dolog történt: egy alma esett a földre. De Newton csodálkozni kezdett: kell létezzen egy olyan erő, amely az alma lehullását okozta. És hasonlóképpen kell legyen egy olyan erő is, amely a Holdat pályáján tartja. Egy szálló gondolat: „Lehet, hogy a két erő egy és ugyanaz?”. Fokozatosan világossá vált számára, hogy ez tényleg így kell legyen, nem egy véletlen eset, hanem a szükségszerűség folytán. Einstein a vonatkoztatási rendszerek természetén töpreng. Elképzelhető-e, hogy egy vonatkoztatási rendszer jobb bármelyik másiknál? Meg kell tudni fogalmazni a természeti törvényeket úgy, hogy bármely vonatkoztatási rendszerben igazak legyenek. „Lehetséges kell legyen” – ez volt a jelszava, bár nem tudta még, hogy miképpen hajtsa végre ezt a programot. De ez a kell volt a vezérlő csillaga azon a tekervényes úton, amelynek végén – tíz év feszült elmélkedése után – rátalált a végső válaszra.

Alighanem ez a rejtély nyitja. Két szóban összefoglalva: a belső kell. E két szót nyújtom önöknek, gondolkozzanak el ismét rajta: a belső kell. Akár az igazság, akár a szépség világában: az emberi gondolat a végső megismerés felé haladó úton a dolgokat belülről igyekszik megismerni, nem olyannak megérteni amilyenek, hanem amilyeneknek lenniük kell – ez a belső kell. Elérjük-e a célt vagy sem, elérhető-e egyáltalán avagy sem – ez lényegtelen. Elegendő az, hogy meg kell próbálnunk.

Niedermayer Ferenc fordítása

Henri Rousseau
Weierstrass
Kronecker
Faraday
Maxwell
Goethe
Einstein