Honnan nézte Poszeidón Trója ostromát?

Egy eposzi trigonometria-feladat
Lente Gábor
matematika, trigonometria
szóelválasztás

A természettudományos és a matematika tanítása színesebbé, érdekesebbé tehető, ha a megoldandó feladatok történelmi feljegyzéseken vagy irodalmi műveken alapulnak. Egy ilyen példát mutat be ez az írás, amelyet az Íliász eposz néhány sora ihletett. A feladat megoldásához középiskolai trigonometriai ismeretek, ezen belül is a koszinusztétel, a Pitagorasz-tétel és a koszinuszfüggvény inverzének ismerete szükséges.

Amint azt Homérosz eposzaiból tudjuk, a görög isteneket igencsak élénken érdekelték a halandó emberek cselekedetei, így a trójai háború is. Az Íliász XIII. énekének 10–14. sorából például megtudhatjuk, hogy maga Poszeidón is saját szemével tekintette meg a harcot (Devecseri Gábor fordítása):

Csakhogy a Földrázó sem ügyelt húnyt szemmel a harcra:
ott ült ő ugyanis, bámulva a harc viadalmát,
thrák Számosz orma fölött, erdős hegy legtetejében,
mert oda föl jól ellátszott az egész magas Ída
és Priamosznak városa és az akháj hadigályák.

Az Égei-tenger és a benne lévő szigetek vázlatos térképet mutatja be az első ábra. A térkép kicsit részletesebb tanulmányozása azt mutatja, hogy Trója városa és Számosz szigete viszonylag messze vannak egymástól. Földrajzi tanulmányok alapján jól tudjuk, hogy minél magasabban vagyunk a tengerszint felett, annál messzebbre lehet ellátni. Azonban ez a látótávolság nem korlátlanul nagy. Vajon Számosz legnagyobb hegyéről valóban látszik Trója?

1. ábra

Ennek a kérdésnek a megválaszolása alkalmat ad elég részletes trigonometriai számolások elvégzésére. Először is határozzuk meg, mennyire messzire lehet ellátni $h$ tengerszint fölötti magasságból. Ehhez segítségül vesszük a 2. ábrát:

2. ábra

A 2. ábrán a $HH’$ szakasz hossza éppen a tengerszint feletti magasság, $h$. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük hogy a Föld tökéletesen gömb alakú, sugara pedig $r$ = 6371,0 km. A látóhatár nagysága az $MH’$ körív hossza: ezt viszonylag egyszerűen ki lehet számolni a $\delta$ szög koszinuszának felhasználásával:

$$ MH’\text{ körív hossza} = r\delta = r\arccos{\frac{r}{r+h}} $$

Ne felejtsük el, hogy az arkusz koszinusz függvény eredményét és a $\delta$ szöget radiánban kell megadni az ívhossz kiszámolásához. Egy részletesebben térképen (például világatlaszban), vagy az ingyen hozzáférhető Google Earth programban könnyen utána lehet nézni, hogy Számosz szigetének legmagasabb hegyének csúcsa 1433 méter magasan van a tengerszint felett. A képlet használatával kiszámolható, hogy innen a látóhatár nagysága 135 km. Már az 1. ábra térképére tekintve is az lehet az érzésünk, hogy Trója és Számosz távolsága ennél nagyobb. Viszont ne felejtsük el, hogy a térkép a gömbfelület síkbeli vetülete, amely mindenképpen torzít. A leggyakrabban használt vetülettípusokon a két pontot a Föld felszínen összekötő legrövidebb út nem felel meg a térkép síkjában a két ponton át húzott egyenesnek! Ezért aztán további gondolatmenetre is szükségünk lesz.

A Föld felszínén lévő pontokat földrajzi koordinátákkal szokás megadni, amely matematikai szempontból egy olyan gömbi koordinátarendszernek felel meg, amelyben csak a két szöget kell megadni, az origótól való távolságot nem, hiszen az minden pont esetében ugyanannyi. Két, földrajzi koordinátákkal megadott pont ($A$ és $B$) közötti távolság kiszámolásához használjuk a 3. ábrán lévő jelöléseket. Megjegyezzük, hogy az ábra jelölései feltételezik, hogy mindkét pont az északi féltekén van, de csekély módosítással a gondolatmenet általánosabbá tehető. A $\varphi_A$ és $\varphi_B$ szögek a földrajzi szélesség megfelelői, míg a $\lambda_A$ és $\lambda_B$ szögek a földrajzi hosszúságot mutatják. Azt már előre lehet sejteni, hogy a hosszúságadatokból csak a két szög különbsége számít majd, hiszen a földön minden hosszúsági kör egyenértékű, s ezek közül a nulla kiválasztása önkényes (arról nem is beszélve, hogy a földrajzi nulla hosszúsági kör megegyezés szerinti helye az írott történelem alatt is változott). Ugyanez nem igaz a szélességi körökre, hiszen a nulla szélességi kör kitüntetett kör a földön, amely az összes szélességi kör közül a leghosszabb, a neve pedig közismert: Egyenlítő.

3. ábra

A 3. ábrán az $A$ és $B$ pontok egyenlítői síkra eső vetülete legyen $A’$ és $B’$. Ekkor az $OA’$ és $OB’$ szakaszok hossza egyszerűen megadható:

$$ OA’\text{ szakasz hossza} = r\cos{\varphi_A} $$ $$ OB’\text{ szakasz hossza} = r\cos{\varphi_B} $$

Ezután az $OA’B’$ háromszögben a koszinusztételt felírva:

$$ (AB’\text{ szakasz hossza})^2 = r^2\cos^2{\varphi_A} + \\ r^2\cos^2{\varphi_B} - 2r^2\cos{\varphi_A}\cos{\varphi_B}\cos{(\lambda_A-\lambda_B)} $$

Az $X$ pont a $B$ pont merőleges vetülete az $AA’$ szakaszon. Ezért az $AX$ szakasz hosszát a következő képlettel lehet kiszámolni:

$$ AX\text{ szakasz hossza} = AA’-BB’ = \\ r\sin{\varphi_A}-r\sin{\varphi_B} $$

Az $\omega$ szög az $OAB$ háromszög $O$ csúcsánál lévő szöge, ezt egy célszerűen felírt koszinusztétel alapján határozhatjuk meg. Ugyanakkor felhasználjuk az $AXB$ derékszögű háromszögben felírt Pitagorasz-tételt is:

$$ (AB)^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\omega = \\ (BX)^2 + (AX)^2 = (A’B’)^2 + (AX)^2 $$

Ennek az egyenletnek a második és negyedik tagját összevetve a korábban $A’B’$ és $AX$ szakaszokra korábban levezetett képletekkel a követező összefüggés adódik:

$$2r^2-2r^2\cos\omega = r^2\cos^{2}\varphi_{A} + \\ r^2\cos^{2}\varphi_{B} + 2r^2\cos\varphi_{A}\cos\varphi_{B}\cos{(\lambda_A-\lambda_B)} + \\ (r\sin\varphi_{A} + r\sin\varphi_{B})^2$$

Az első lehetséges egyszerűsítés azon alapul, hogy minden tag osztható $r^2$-tel:

$$ 2-2\cos\omega = \cos^{2}\varphi_{A} +\\ \cos^{2}\varphi_{B} + 2\cos\varphi_{A}\cos\varphi_{B}\cos{(\lambda_A-\lambda_B)} + \\ \sin^{2}\varphi_{A} + \sin^{2}\varphi_{B} + 2\sin\varphi_{A}\sin\varphi_{B} $$

További egyszerűsítés az

$$1 = \cos^{2}\varphi_{A} + \sin^{2}\varphi_{A} = \cos^{2}\varphi_{B} + \sin^{2}\varphi_{B}$$

azonosságok segítségével lehetséges:

$$ \cos\omega = \cos\varphi_{A}\cos\varphi_{B}\cos{(\lambda_A-\lambda_B)} + \\ \sin\varphi_{A}\sin\varphi_{B} $$

Így aztán ki tudjuk számolni az $\omega$ szöget, s segítségével végül is az $AB$ ívhosszt:

$$ AB\text{ körív hossza} = \\ r\arccos{[ \cos\varphi_{A}\cos\varphi_{B}\cos{(\lambda_A-\lambda_B)} + \\ \sin\varphi_{A}\sin\varphi_{B}]} $$

A Google Earth program használatával könnyen meg lehet találni Trója (északi szélesség 39°57’26” és a keleti hosszúság 26°14’19”) és Számosz legmagasabb hegyének (északi szélesség 37°43’10” és a keleti hosszúság 26°36’46”) koordinátáit. A képlet szerint a kettő közti távolság 251 km, tehát jóval nagyobb, mint a látóhatár nagysága a hegyről. Azt már ezek után említeni sem érdemes, hogy a két pont között elég jelentős hegyek is vannak, amelyek korlátoznák a kilátást.

Hogyan lehetne ezt az ellentmondást feloldani? Először is megkérdezhetjük, hogy vajon milyen magas is lehetett Poszeidón. Egy kis számolás után eljuthatnunk arra az eredményre, hogy ha Számoszról tényleg ellát Trójáig, akkor Európa minden hegyénél magasabbnak kellene lennie. Miért mászna ekkor hegyekre a távolbalátáshoz, ahelyett hogy egy fél lépéssel közelebb menne? Arról se feledkezzünk meg, hogy a görög regék szerint Poszeidón testméretei aligha haladják meg lényegesen az emberekét. Ha természetfölötti érzékelést tulajdonítunk a főistennek (pl. átlát a föld rétegein), akkor megint szembesülnünk kell a kérdéssel, hogy miért is mászna hegyet a leírtak szerint.

Térjük egy kicsit vissza az eredeti idézethez. A szöveg a „thrák Számosz orma” megjelölést használja. Lehet, hogy a thrák Számosz nem azonos Számosszal? Az eposzi jelzőkről közismert, hogy többnyire a jelzett szó azonosításához nem járulnak hozzá, hanem egyszerűen csak további információt adnak róla. Odüsszeuszról például akkor is tudjuk kicsoda, ha a szöveg nem közölné róla, hogy leleményes. Ennek ellenére egy kis további földrajzi búvárkodás azt mutatja, hogy ebben a sorban valószínűleg más a helyzet: Görögország Thrákia nevű része az Égei-tenger északi partja, vagyis Számosz szigetéről elég messze esik. Ezen a részen van viszont egy ma Szamothrákinak nevezett sziget. Nem hihetetlen, hogy ennek neve valamiképpen a Thrákiában lévő Számosz kifejezésre utal vissza. Szamothrákin is van elég magas hegy (1448 méter tengerszint felett, földrajzi koordinátái: északi szélesség 40°27’41”, keleti hosszúság 25°35’15”). Az eddig levezetet képletek használatával már könnyen kiszámolható, hogy a hegyről a látóhatár nagysága 136 km, a Trójától mért távolság pedig 63,4 km. A Google Earth programnak van olyan funkciója is, amellyel ellenőrizhető az eredmény, bár lényegesen könnyebb a Trója síkról körülnézve meglátni északnyugati irányban a tengerből kimagasodó hegyet, mint a hegy tetejétől Tróját. Így még az is ellenőrizhető, hogy a közbeeső Gökceada nevű szigeten nincs akkora magaslat, ami zavarná a kilátást.

Poszeidón szobra a koppenhágai kikötőben
2005 Hans Andersen
A szerző további írásai itt olvashatók