Hogyan vágott vissza a teknős Akhilleusznak?

Lewis Carroll
matematika, logika, következtetés
szóelválasztás

Akhilleusz megelőzte a teknőst, aztán kényelmesen elhelyezkedett ellenfele hátán.

– Szóval mégiscsak véget ért ez a mi versenyfutásunk, – szuszogta a teknős. Noha végtelen sok útszakaszt kellett megtennie eközben. Úgy tudom, hogy valami nagyokos még be is bizonyította, hogy ilyesmi nem történhet meg.

– De mennyire megtörténhet mondta Akhilleusz. – Mint ahogy meg is történt. Ezek a bizonyos útszakaszok, tudja, egyre rövidebbek és rövidebbek lettek, így aztán…

– No és ha egyre hosszabbak és hosszabbak lettek volna? – vetette közbe a teknős. Akkor mi lett volna?

– Akkor én most nem ülhetnék itt. Akhilleusz fészkelődött egy kicsit, aztán szerényen hozzáfűzte: – Ön pedig mostanra már jó néhányszor megkerülte volna a világot.

– Meg kell hajolnom súlyának érve… akarom mondani érvelésének súlya alatt – nyögte a teknős. – No, mindegy, figyeljen! Nem volna most kedve egy olyan versenyfutáshoz, amelyet a legtöbb ember két-három ugrással vél megtenni, holott az valójában végtelen sok olyan lépésből áll, amelyek mindegyike hosszabb az előzőnél?

– De még mennyire! – A görög hős felugrott, és hatalmas noteszt, valamint egy plajbászt kotort elő a sisakjából. (Azokban a zord időkben még nagyon kevés görög hősnek volt zsebe.) – Tőlem akár kezdhetjük is. De lassan, ha szabad kérnem, még nem találták fel a gyorsírást.

– Ó, Eukleidész! – suttogta átszellemülten a teknős. – Ön is rajong a munkáiért?

– Szenvedélyesen! Már amennyire ez egyáltalán lehetséges több száz év múlva elkészülő műveket illetően.

– Nos, akkor vegyük szemügyre az első tétel bizonyítását, pontosabban annak két lépését, és a levont következtetést. Jegyezze, kérem, és hogy a továbbiakban könnyen hivatkozhassunk rájuk, jelöljük őket rendre $\mathscr{A}$-val, $\mathscr{B}$-vel, $\mathscr{Z}$-vel.

  1. Ha két mennyiség mindegyike ugyanazzal a harmadikkal egyenlő, akkor ezek egymással is egyenlők.
  2. Ennek a háromszögnek a szárai külön-külön egyenlők egy adott harmadik szakasszal.
  3. Ennek a háromszögnek a szárai egyenlők egymással.

Eukleidész olvasói megesküsznek, hogy a logika szerint $\mathscr{Z}$ következik $\mathscr{A}$-ból és $\mathscr{B}$-ből, így bárki, aki $\mathscr{A}$ és $\mathscr{B}$ igazságát elismeri, $\mathscr{Z}$-t is igaznak kell tekintse.

– Feltétlenül. Ezt minden középiskolás megmondhatja – mihelyt úgy 2000 év múlva bevezetik ezt az intézményt.

– És ha valaki nem tekinti igaznak $\mathscr{A}$-t és $\mathscr{B}$-t, attól még a következményt elfogadhatja, nemde?

– Nem vitatom, talán ilyes valaki is akadhat. Valahogy így okoskodhat: Elhiszem, hogy amennyiben $\mathscr{A}$ és $\mathscr{B}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz, de szerintem $\mathscr{A}$ vagy $\mathscr{B}$ hamis. Az ilyen ember ne várjon sokat Eukleidésztől. Bölcsebben teszi, ha futballozni megy.

– Vajon nem képzelhető el olyasvalaki, aki így okoskodik: „Elfogadom ugyan $\mathscr{A}$-t és $\mathscr{B}$-t, $\mathscr{Z}$-t azonban nem.”

– Hogyne, elképzelhető. Az ilyen végképp jobban jár a futballal.

– Mindenesetre a fentiek egyike sem köteles $\mathscr{Z}$-t mint igaz állítást elfogadni – szögezte le a teknős.

– Így van – bólintott Akhilleusz.

– Akkor tegyük fel, hogy én ebbe a második csoportba tartozom. Kérem, győzzön meg a logika fegyverével, hogy $\mathscr{Z}$ igaz.

– Egy futballozó teknős… – kuncogott Akhilleusz.

– Túlzás, kétségtelen – vágott közbe a teknős. – De ne térjünk el a tárgytól, előbb legyen meg $\mathscr{Z}$, aztán jöhet a futball.

– Szóval győzzem meg, hogy $\mathscr{Z}$ igaz. – Akhilleusz eltűnődött. – Jelenlegi álláspontja eszerint a következő: elfogadja $\mathscr{A}$ és $\mathscr{B}$-t, ám elutasítja azt az állítást…

– Hívjuk $\mathscr{C}$-nek – szólt közbe a teknős.

– Szóval Ön szerint nem igaz, hogy

  1. Ha $\mathscr{A}$ és $\mathscr{B}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz.

– Így van – bólogatott a teknős. – Ez az álláspontom.

– Ez esetben azt kell kérnem, fogadja el $\mathscr{C}$-t.

– Rendben van – szólt a teknős. – Ezen ne múljék! Mindazonáltal arra kérem, írja fel a noteszába is. Nocsak, van ott már más is?

– Semmi, semmi, néhány feljegyzés csupán. – Akhilleusz zavartan lapozgatott. Tudja, csatákról, amelyekben kitüntettem magam.

– Ó, mennyi üres lap! – mosolygott kajánul a teknős. Szükség is lesz rájuk. Akhilleusz összerezzent. – No jó, írja csak, majd én diktálom:

  1. Ha két mennyiség mindegyike ugyanazzal a harmadikkal egyenlő, akkor ezek egymással is egyenlők.
  2. Ennek a háromszögnek a szárai külön-külön egyenlők egy adott harmadik szakasszal.
  3. Ha $\mathscr{A}$ és $\mathscr{B}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz.
  1. Ennek a háromszögnek a szárai egyenlők egymással.

– $\mathscr{D}$-t kellett volna írnunk, nem pedig $\mathscr{Z}$-t – dünnyögte Akhilleusz. – Ez következik. Ha elfogadja $\mathscr{A}$-t, $\mathscr{B}$-t és C-t, akkor $\mathscr{Z}$-t is el kell fogadnia.

– Már miért kéne elfogadnom?

– Miért, miért? Mert logikusan következik azokból. Ha $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ és $\mathscr{C}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz. Remélem, efelől nincsenek kétségei?

– Ha $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ és $\mathscr{C}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz. – ismételte elgondolkodva a teknős. – Hisz ez egy újabb állítás, nemde? És ha ennek az igazságáról nem győz meg valaki, akkor ugyan elfogadhatom $\mathscr{A}$-t, $\mathscr{B}$-t, meg $\mathscr{C}$-t is, de $\mathscr{Z}$-t semmiképpen nem vagyok köteles elfogadni.

– Nem köteles, – ismerte el a hős méltányosan. – Bár ekkora korlátoltság párját ritkítja. Mindazonáltal lehetséges. Így viszont arra kell kérnem, fogadjon el egy újabb állítást.

– Semmi akadálya, a legnagyobb örömmel teszem, mihelyt feljegyezte. Hívjuk ezt tehát $\mathscr{D}$-nek, azaz:

  1. Ha $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ és $\mathscr{C}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz.

– Leírta már?

– Le. – Akhilleusz elégedetten tette félre a ceruzát. – És most már tényleg itt a vége. Elismerte, hogy $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$ és $\mathscr{D}$ igaz, nem lehet tehát kétsége afelől, hogy $\mathscr{Z}$ igaz.

– Neeeem? – A teknős ártatlanul pillantott Akhilleuszra. – Ne hamarkodjuk el ezt a dolgot. Rendben van, elfogadom, $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$ és $\mathscr{D}$ igaz, no de miért volna ezek után igaz $\mathscr{Z}$?

– Miért, miért, mert addig verem, amíg belekékül. – kezdte elveszteni Akhilleusz a fejét. – No jó, nézzük, mit mond a logika. Épp most fogadta el $\mathscr{A}$-t, $\mathscr{B}$-t, $\mathscr{C}$-t és $\mathscr{D}$-t, így $\mathscr{Z}$-t is el kell fogadnia, nem tehet egyebet!

– Bármi hasznosat mond is a logika, érdemes följegyeznünk. Írja hát:

  1. Ha $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$ és $\mathscr{D}$ igaz, akkor $\mathscr{Z}$ is igaz.

Amíg ezt nem látom be, természetesen $\mathscr{Z}$ igazságáról sem lehetek meggyőződve. Erre a lépésre feltétlenül szükségünk van, lássa be.

– Belátom. – Akhilleusz csüggedten bámult maga elé.

Az elbeszélő ezen a ponton kénytelen volt magára hagyni a boldog párt, és elfoglalt ember lévén csak néhány hónap elteltével látta viszont őket. Akhilleusz még mindig a teknős hátán ücsörgött, valamit körmölt a noteszába, amely már csaknem betelt. A teknős aggódva kérdezte:

– Sikerült feljegyeznie az utolsó lépést? Ha nem vétettem el a számolást, az ezeregyediknél tartunk. De ez még semmi ahhoz képest, ami előttünk van […]

Szabó Márta fordítása

Lewis Carroll, valódi nevén Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), angol író, költő, matematikus, anglikán pap és fényképész. Matematikusként csaknem harminc évig tanított Oxfordban. Matematikusi érdeklődése kiterjedt a geometria, a lineáris és mátrixalgebra, a matematikai logika különféle területeire. A matematikai logika egyik úttörője volt. Sokat foglalkozott szórakoztató matematikával; két könyvet írt a logikai játékokról. Elsősorban az Alice Csodaországban (1865) és az Alice Tükörországban (1872) című meseregények szerzőjeként ismert.

Lewis Carroll: Önarckép. 1856 körül
Fekete Géza rajza
Forrás

KöMaLKözépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 1986. április. 150–152. p.