Matematikai modelleka és képzőművészet a XX. század elején

Angela Vierling-Claasen
matematika, geometria, térbeli alakzatok, képzőművészet, szobrászat, Naum Gabo, Antoine Pevsner, Henry Moore, Max Ernst, Man Ray
szóelválasztás

A szilárd test végül is csupán egy tömeg héjaként jelenik meg.

Barbara Hepworth

Évezredeken át a művészeket, csakúgy mint a matematikusokat, vonzották a térbeli geometriai formák. A legegyszerűbbek ezek közül a poliéderek („sokoldalú testek”). Poliédereket rajzolhatunk és festhetünk kizárólag oktatási célból, ám a művészeknek és bölcselőknek ezek a többoldalú téridomok magát a tökéletességet és az igazságot jelentették. Platón például az öt szabályos testet (vagy „Platóni testeket”, 1. ábra) a tűzzel, földdel, levegővel és a vízzel, tehát a négy őselemmel, valamint magával a világegyetemmel hozta összefüggésbe.

  • aEbben a cikkben a papírból, gipszből stb. készített ún. makettekre is a modell szót használjuk. – A szerk.

A 19. században a matematikusok elkezdtek kevésbé szabályos, ám annál meglepőbb téridomokat előállítani. Ezen alkotások szokatlan szépsége hatással volt sok művészre is, ahogyan azt majd látni fogjuk.

Felület-modellek

Az 1600-as évek közepén René Descartes és Pierre de Fermat kidolgozták a koordináta geometriát, ami lehetővé tette, hogy egy síkon a pontokat (egy geometriai fogalmat) számsorként (algebrai objektumként) fogjuk fel. A koordinátákat használatával a matematikusok egy algebrai egyenlet megoldáshalmazát geometriai objektumként értelmezhetik. Példának okáért az x2+y2=1 egyenlet megoldásai egy kört eredményeznek.

Az 1700-as évek közepén a matematikusok hasonló módon kezdték vizsgálni a téridomokat is. A háromváltozós polinomiális egyenletek megoldásai egy felületet határoznak meg a háromdimenziós térben. Például az x2+y2+z2=1 egyenlet megoldásai egy gömböt rajzolnak ki. Az ilyen téridomok közül néhány, mint pl. a gömb, viszonylag könnyen ábrázolható, és papírra is könnyű vázlatokat készíteni róluk. Más téridomok esetében azonban jóval nehézkesebb a megjelenítés és a vázlatkészítés.

A 19. század közepén egy gyümölcsöző időszak kezdődött a térbeli felületek kutatásában. Ennek keretében a matematikusok az iskolai szemléltetéshez különféle anyagokból – többek között gipszből, kartonpapírból, fémekből és húrokból – modelleket (maketteket) készítettek (példának lásd a 2. ábrát). Ezek közül sokat újraépítettek és eladtak az iskoláknak és múzeumoknak az egész világon. A századfordulón nagy számú ilyen felület-modell volt kapható, azonban az 1930-as évekre lecsökkent a modellépítés iránti érdeklődés, és a kiváló alkotások mintegy kort tévesztve az egyetemek és múzeumok eldugott polcain porosodtak.

Matematika és művészet

Kísérteties szépségük van ezeknek a geometriai formákat ábrázoló modelleknek; nem csoda tehát, hogy néhány művész egészen beléjük habarodott. Ez kevésbé meglepő, ha történelmi kontextusban vizsgáljuk a dolgot. A XIX. század elejétől a végéig tartó időszak egy örvénylően változó korszaka volt a matematikának: a régi gondolatok, mint az euklideszi geometria (amelyet általában az Egyesült Államokbeli [és a magyar – a ford.] középiskolákban tanítanak) a „fejük tetejére álltak”. A forradalmi matematikai gondolatok közül sokat megismert a nagyközönség, és ezek feltüzelték az írók és más művészek fantáziáját. Írókat, mint például H. G. Wells-t és festőket, mint Marcel Duchamp-t (1887–1968) elkápráztatta a nemeuklideszi geometria és a negyedik térbeli dimenzió gondolata. A szürrealisták úgy gondolták, hogy „a nemeuklideszi geometria a bevett szokások zsarnoksága alól való szabadulást jelenti”.1 A matematika a haladást és a lappangó káoszt fejezte ki.

  • 1 Henderson, L.: The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art. Princeton: Princeton University Press, 1983. 339. p.

Művészek találkozása a matematikai modellekkel

Két nagyon különböző művészeti mozgalom: a szürrealizmus és a konstruktivizmus a matematikai modelleket nagyjából ugyanakkor fedezte fel a maga számára. A konstruktivista Naum Gabo (1890–1977) az 1930-as évek elején a matematikai modellek hatására kezdett hasonló alakzatokat rajzolni, és minden bizonnyal az első konstruktivistaként. 1936-ban, Man Ray (1890–1976), a szürrealista fotó- és festőművész egy sorozat fényképet készített a párizsi Poincaré Intézet (Institut Henri Poincaré, Paris) matematikai modelleket bemutató tárlatáról. Nem világos azonban, hogy a két irányzat szinte egyidejű rábukkanása a matematikai alakzatokra, mint ihlet-forrásra, mennyire állíthatók kapcsolatba.

Naum Gabo és a konstruktivisták

A konstruktivizmus egy huszadik századi, oroszországi eredetű festészeti és építészeti mozgalom volt. Nagyrészt Naum Gabo-nak és testvérének Antoine Pevsner-nek (1884–1962) tulajdonítható a mozgalom Oroszországon kívüli elterjedése; főleg Párizsban és Angliában szórták el az irányzat magvait. A konstruktivisták ugyancsak nagy hatást gyakoroltak az Abstraction–Creation csoportra, a Stijl mozgalomra és a Bauhausra.

Valószínű, hogy Gabo, amikor huszadik század elején Münchenben tanult, látott kiállított matematikai alakzatokat. Gabo már kamaszkorában érdeklődött a művészet iránt, ám a Müncheni Egyetemen az orvosi szakra iratkozott be. Ugyanakkor más természettudományos előadásokat is hallgatott, főleg mérnöki és fizikai kurzusokat. Figyelemre méltó, hogy a Müncheni Műszaki Egyetem néhány kurzusát is hallgatta, ahol bizonyára matematikai alakzatokat is kiállítottak, mivel az egyetem a modellek építésének egyik központja volt. Alfred Barr az 1936-os Kubizmus és absztrakt művészet (Cubism and Abstract Art) című könyvében jelentősebbnek tartotta Gabo kapcsolatát az alakzattokkal, állítva, hogy Gabo Münchenben az egyetemen „matematikát tanult és matematikai modelleket készített”. Ez az állítás pontatlan, viszont megmutatja, hogy Gabo kapcsolata az alakzatokkal akkoriban alakult ki, amikor Barr kutatása folyt.

Gabo korai kubizmus befolyásolta alkotásai, mint a Fej II. (3. ábra) az egymást keresztező lapokból készített kartonpapír modellekre emlékeztetnek, amilyeneket az egyetemi kiállításon is bemutathattak. Képek hasonló modellekről az akkori enciklopédiákban is megjelentek.

Ez a korai hasonlóság Gabo művei és bizonyos matematikai modellek között lehet egyszerű egybeesés is, de a későbbi hatás az 1930-as Gabo-munkákra nem vonható kétségbe. Christina Lodder és Martin Hammer könyvükben, Építkező korszerűség: Naum Gabo művészete és pályafutása (Constructing Modernity: The Art and Career of Naum Gabo), megjegyzik, hogy egy 1936-ban készült rajz, a Tanulmány térbeli konstrukcióhoz: Kristály olyannak tűnik, mintha egy másolata volna a Matematikai modellek szócikk egyik ábrájának az Encyclopedia Britannica 14-ik kiadásából. Valóban, az Encyclopedia-beli rajzon is felfedezhetünk hasonlóságot a Térkonstrukció: Kristály nevű szoborral, de az azonos tulajdonságok még szembeszökőbbek, ha a rajzot Gabo Konstrukció című munkájához viszonyítjuk.

Más szobrok is arról tanúskodnak, hogy Gabo valóban találkozott matematikai modellekkel. Példának okáért, Gabo 1933-ban készített Egy kőfaragvány vázlata (5. ábra) egy olyan modellről készített vázlat, amelynek egyenessel leírható felszíne van,2 és amelyet kiállíthattak a párizsi Poincaré Intézetben. Amikor Gabo ezt a vázlatot megrajzolta, Párizsban élt.

  • 2Ehhez az egyenessel leírható felülethez hasonlít a Ruled Surface of Order 3 című fénykép, amely Fischer, G. (Ed.) könyvében található: Mathematische Modelle. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1986.

Antoine Pevsner Naum Gabo testvére volt. Pevsner alkotásain az 1930-as évek derekától a matematikai modellek lehetséges befolyásának nyomait figyelhetjük meg.

Pevsner festőként kezdte művészi karrierjét, majd az 1920-as évek alatt Gabo szobrászatra ösztönözte testvérét, és alkotói fogásokra is megtanította őt. Pevsner tagadta, hogy a matematikai modellek közvetlen hatással lennének a munkáira, ám valószínű, hogy a Síkba fejthető felület sorozatát az egyenessel leírható felületű modellek ihlették (lásd a 6. ábrát). A „síkba fejthető felület” egy matematikában használatos fogalom, amely „egyenesekkel kifeszíthető” felületekre utal – pontosan Pevsner faragványainak módszere szerint. Ha a matematika nem lett volna rá befolyással, az egybeesés igen meglepő lenne.

A brit szobrász, Barbara Hepworth (1903–1975) kapcsolatban volt Naum Gabo-val, amikor Gabo 1936 és 1946 között Angliában tartózkodott. Elképzelhető, hogy Hepworth már a Gabo-val való találkozás előtt is látott matematikai modelleket, hiszen 1935 decemberében levelet küldött férjének, Ben Nicholson-nak, amelyben azt is leírta, hogy John Summerson szobrász felhívta a figyelmét

néhány bámulatos dologra egy matematikai iskolában, Oxfordban – matematikai egyenletek szobrászati megjelenítése – egy szekrényben eldugva

és azt is, hogy hamarosan szándékában áll odautazni és megnézni azokat.3 Hepworth munkái közül néhány matematikai hatásról tanúskodik; például a Spirális gömbben (Helicoids in Sphere) című alkotás sok hasonlóságot mutat a Steiner római felülete (Steiner’s Roman Surface) című műhöz. De más szobrok is, mint a Pélagoszb (Pelagos, 1946) tükrözi a matematikai modelleket az alakjukat és a húrok használatát tekintve (7. és 8. ábra). Az 1930-as évek alatt Hepworth gipsz és húrok alkalmazásával készített szobrokat – mindkét anyag használata az akkori szobrászatban szokatlan volt, és mindkét anyag elterjedt nyersanyaga volt az akkori matematikai modelleknek, amelyeket számos egyetemen kiállítottak.

  • 3 Hammer, M.–Lodder, C.: Hepworth and Gabo: a Constructivist Dialogue. Thistlewood, D. (Ed.): Barbara Hepworth Reconsidered. Liverpool: Liverpool University Press, (1996). 109–133. p.
  • b πέλαγοςgörög tenger, nyílt víz, önálló tengerrész, nagy tömegű víz – A szerk.

Henry Moore (1898–1986) egy másik brit szobrász, akit néha a konstruktivizmussal kapcsolatban megemlítenek. Moore többször is állította, hogy műveiben – 1937-től – a húrokat a londoni Természettudományi Múzeumban (Science Museum, London) látott modellek hatására használja:

Elbűvöltek a matematikai modellek, amiket ott láttam, és amelyeket azért alkottak, hogy a négyzet és a kör közötti átmeneti alakzat különbségét ábrázolják. Az egyik modellnek négyzet volt az egyik végében, 20 lyukkal a négy oldala mentén… Ezekbe a lyukakba gyűrűt fontak, amelyek a modell másik végéig vezettek, és ahol az körben végződött ugyanannyi lyukkal. A négyzet és a kör közé egy síkot helyezve megkapjuk az alakzatot, amely a négyzet és a kör között van félúton… Ezeknek a modelleknek nem a természettudományos elmélete izgatott igazán, hanem az, hogy úgy lehetett a húrok között átnézni, mint egy madárkalitkán, és így látni lehetett az egyik formát a másikban.4

  • 4 Hedgecoe, J.–Moore, H.: Henry Spencer Moore. New York: Simon and Schuster, 1968. 105. p.

Az ilyen modellek befolyása olyan alkotásokon vehető észre, mint például a Húrozott alakzat I. (Stringed Figure № 1, 1937, 9. ábra)

Man Ray és a szürrealisták

A szürrealista festészet története (Histoire de la peinture surréaliste) című munkájában Marcel Jean azt sugalmazza, hogy Max Ernst (1891–1976) lehetett az, aki a matematikai modelleket a szürrealista tudatba bevitte.

Max Ernst eredetileg a párizsi Poincaré Intézetben találkozott ezekkel az alkotásokkal, és említést tett róluk Christian Zervos-nak, a Cahiers d’Art igazgatójának, aki azután megkérte Man Ray-t, hogy fényképezze le azokat.5

  • 5 Jean, M.: Histoire de la peinture surréaliste. Angolul: History of Surrealist Painting. New York: Grove Press, 1960. 251. p.

Ezt támasztja alá Neil Baldwin leírása Man Ray-ről szóló könyvében, amelyben azt mondja, hogy ez egy fényképsorozat

az 1880-as években készült darabokról, amelyeket fizikusok alkottak, megkísérelvén pontosan megadni az algebrai mintát. Max Ernst elvitte Man Ray-t megnézni a párizsi Poincaré Intézetben kiállított tárgyakat, és lefényképeztette őket, szándékosan impresszionista stílusban.6

  • 6 Baldwin, N.: Man Ray: American Artist. New York: Clarkson N. Potter, Inc., 1988. 199. p.

Erről az esetről Man Ray másként számol be a Man Ray életének egy napja (A Life in the Day of Man Ray) című filmben:

Beszéltek valamiféle matematikai tárgyakról a párizsi Poincaré Intézetben

– ámbár nem említi, hogy ki beszélt róluk.

Mindenesetre Man Ray bizonyosan készített egy sorozat fényképet Matematikai modellek (Mathematical Models) címmel, amely a párizsi Poincaré Intézet modelljeinek tanulmánya volt. Ezen fényképek közül néhány megjelent a Cahiers d’Art egyik számában 1936-ban, melyet Christian Zervos matematikáról és az absztrakt művészetről szóló tanulmánya kísért.

Man Ray fotográfiái, csakúgy mint a Matematikai modellek sorozaton alapuló festménysorozata jelentősen előtérbe helyezte a matematikai modelleket. A szürrealisták matematikai tárgyakat, alakzatokat állítottak ki az 1936 májusi Exposition surréaliste d’objets című kiállításukon a párizsi Galerie Charles Ratton-ban. A híres A tárgy válsága (Crise de l’objet) című művében André Breton azt írja:

A matematikai intézmények laboratóriumai szerte a világon már egymás mellett állítják ki az euklideszi és a a nemeuklideszi elvekre épülő modelleket; ezek megjelenésükben ugyanúgy megtévesztőek és titokzatosak a laikus ember számára, de mindamellett egy elbűvölő és kétes kapcsolatot tartanak fenn egymással a térben, ahogy mi azt általánosan felfogjuk.7

  • 7 Breton, A.: Le Surréalisme et la peinture. 1965. Angolul: Surrealism and Painting. New York: Harper & Row, 1972. 279. p.

Man Ray érdeklődése a matematikai tárgyak iránt szintén befolyásolhatta az 1936-os International Surrealist Exhibition kiállítást, amelyet a londoni New Burlington Galleries-ben rendeztek meg. Ezt a bemutatót Roland Penrose szervezte és finanszírozta, aki egyben Man Ray-jel és André Breton-nal is barátságban volt. Man Ray London és Párizs között ingázott, a művészeti újdonságokat hordozva a kiállítás előkészítésére.

A rendezvényen kiállították a matematikai modelleket ábrázoló fotóit, amely 1936. június 11-től július 4-ig tartott nyitva, és 1500 látogatót fogadott naponta.8 Még e kiállítás katalógusa is a matematikai modellek varázsát tárja elénk – a címlapon egy matematikai modelleket tartó és azok kíséretében álló hüllő fejű szobor kollázsa látható, Max Ernst alkotása.9 Man Ray fényképei ugyanakkor az akkori idők egy másik nagy bemutatóján is felbukkantak, az 1936 és 1937 között megrendezett Fantastic Art, Dada, and Surrealism című kiállításon a New York-i Modern Művészeti Múzeumban (Museum of Modern Art, New York).

  • 8 Baldwintól (1988) és a kiállítási prospektusból.
  • 9A borítóra rajzolt modellek, beleértve Kuen: Surface (Felület), lásd 2. ábrát

Más szürrealista alkotókat a kiállítások és a fényképeik inspirálhatták. Max Ernst, aki a londoni kiállítás katalógusának borítóját is készítette, számos kollázst és festményt készített, amelyek a matematikai modellekhez kapcsolódónak tűnnek. Többek között: Az istenek lakomája (The Feast of the Gods, 1948), Kémiai nász (Chemical Nuptials, 1948), és A nemeuklideszi légy repülésétől megzavart fiatalember (Young Man Intrigued by the Flight of a Non-Euclidean Fly, 1942–47), amik jó néhány matematikai modellekre emlékeztető alakzatot tartalmaznak, hasonlókat mint a Orsó cikloid vagy a Szarv cikloid (lásd 11., 12. ábrák).

A befolyás mértéke

A szürrealisták számára a matematikai modellek a tökéletes önellentmondást jelentették – egyszerre fantasztikusak és bizarrak voltak, mégis, a matematikából eredtek, azaz egy racionális és tudományos forrásból. AmintGeorges Hugent a New York-i Modern Művészeti Múzeumban rendezett szürrealista kiállítás (moma) katalógusában írja:

Túl a matematikai és a formába öntött objektumokon, a gyakorlati használaton, amelyen csak tűnődni lehet bizonytalanul: ugyanaz a bizonyosság uralkodik, ugyanaz a talány; racionális és irracionális találkozása.10

  • 10 Hugnet, G.–Barr, A. (Ed.): Fantastic Art, Dada, and Surrealism. New York: Arno Press, 1968. (reprint).

A szürrealista művészeket soha nem érdekelték a különös formák mögött meghúzódó matematikai gondolatok és megoldások, csak az, amint azok a valóság és a képzelet világa közti feszültséget szimbolizálták. Ahogy Man Ray is mondja a Matematikai objektumok sorozata kapcsán:

Annak ellenére elmentem megnézni őket (a modelleket), hogy nem érdekelt engem különösképpen a matematika. Nem értettem egy szót se, de a formák annyira szokatlanok voltak, annyira forradalmiak, mint bármi, amit manapság a festészetben és a szobrászatban művelnek.11

  • 11 Reinders, M.: Man Ray: A life in the Day of Man Ray. (Montparnasse Revisited 4. szám). Homevision, 1993.

Másrészről, a konstruktivisták a művészi látásuk és a formáról alkotott elképzeléseik fejlesztésénél tartózkodtak a természettudományoktól és részben a matematika bármilyen jellemző megjelenésétől. Emiatt gyakran bírálták őket, és a későbbi pályafutása során sokuk igyekezett is kivonni magát a matematika és természettudományok hatása alól. Antoine Pevsner soha nem vallotta be, hogy a Surface Développable matematikai ismeretekkel készült. Moore szintén tagadta, hogy a húros műveit a matematikai formák ihlették volna, azt állítva, hogy

Nagy örömmel dolgoztam rajtuk, de túlságosan kísérleti jelleggel, mintsem hogy kielégítők lettek volna… Amikor kitört a háború, abba is hagytam ezt a munkát, míg a többiek, mint Gabo és Barbara Hepworth, tovább folytatták. Inkább leleményességgel szolgáltak, és nem váltak alapvető tapasztalattá.12

  • 12 Lake, C.: Henry Moore’s World. Atlantic Monthly 209 (1962) 1, 39–45. p.

Így, amíg az egyes kora huszadik századi művészek a matematika segítségével kiterjesztették látásmódjukat és formai kifejezőeszközeiket, addig mások végső soron arra törekedtek, hogy minél inkább elhatárolódjanak az effajta befolyástól. Ez talán részben annak köszönhető, hogy a modellek nem rendelkeztek azzal az emberi tartalommal, amelyet csak egy művész képes belegyúrni alkotásai anyagába. Hiszen mind a szürrealisták, mind a konstruktivisták kapcsolata a modellekkel kizárólag a modellekre korlátozódott, és nem volt párbeszéd vagy egyéb kapcsolat a modelleket építő matematikusok és a modellekből ihletet merítő művészek között. A művészek szerint a matematikai modellek csak amolyan hűvös szépségű, merev formájú kristályok voltak, amelyek laboratóriumokban születtek matematikusok szigorú tekintete előtt, akik nem is ismerték fel a bennük rejlő szépséget. A modellek megalkotásának eredetére a legtöbb utalás egyszerűen azt állítja, hogy azokat csak oktatói szándékkal készítették. Ez részben igaz, ám azért is alkották meg őket, hogy ihletforrások lehessenek, hogy rendszerezzék a térbeli formák szerteágazó variációit, hogy a matematika rejtett szépségeinek kifelé irányuló megnyilvánulásai legyenek.

Iváncsics Bernát fordítása

1. ábra.
Tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder, ikozaéder
(Csak öt „konvex szabályos test” létezik – ezek az ún. „Platóni testek”)
2. ábra.
Kuen Surface (Felület) című alkotása, melyet Brill-Schilling adott közre a németországi Lipcsében. Állandó görbülettel és egyéb különleges tulajdonságokkal rendelkezik. Egy rajz is készült róla, amely az 1936-os londoni Nemzetközi Szürrealista Kiállítás (International Surrealist Exhibition) katalógusának borítóján rajta volt.
3. ábra.
Naum Gabo · Fej II. (Head № 2) · Vö.: 4. ábra
4. ábra.
Kartonpapírból készült modellek, amelynek felületét egymást keresztező lapok alkotják
5. ábra.
Gabo: Egy kőfaragvány vázlata (Sketch for a Stone Carving) · 1933
Vázlat egy modellhez, amelynek egyenessel leírható felülete van
6. ábra.
Nicolaus Pevsner · Síkba fejthető felület (Surface Développable) · 1938–1939
Pevsner (bal oldalt) a síkba fejthető felülettel
7.ábra.
Barbara Hepworth · Pelagos · 1946 · Tate Gallery, London · Vö.: 8. ábra, csavart alakzat
8. ábra.
Csavart felület modellje
Ezt a felületet egy egyenes vonallal alkották meg, amely csigavonalat rajzol ki
9. ábra.
Henry Moore · Húros alakzat I. (Stringed Figure No 1) · 1937
10. ábra.
Man Ray · Lear király (King Lear)
Brill-Shilling adta ki, és Kummer Felület 8 dupla ponttal (Kummer Surface with 8 double points) című művén alapszik
11. ábra.
Orsó cikloid (Spindle Cyclide)
A cikloidok negyedrendű felületek amelyenek „görbületi vonalai” (a képen látható alakzaton a berajzolt vonalak, melyek a felnagyított képen felismerhetők) mind egyenesek, vagy körök
12. ábra.
Szarv cikloid (Horn Cyclide)