Amiről a matekpéldák mesélnek

Különböző korokból származó iskolai matematikafeladatok társadalomképe, példákon keresztül
szóelválasztás

Számvetésre
S’ Mesterségre
Magadat ki el-szántad
Jövel ide,
Mint nap fényre
Nem kell ide vezető.
Szép módokkal,
Regulákkal
Előtted utat nyit ő.a

  • a Menyői Tolvaj Ferenc Aritmetikájának egyik ajánló költeménye. Forrás: Szénássy Barna: A magyarországi matematika története.

1

Van der Waerden az óegyiptomi »pesu-számítások«-ról ír, amelyek a sör vagy a kenyér készítéséhez szükséges gabonamennyiség kiszámítását tették lehetővé. A pesu (= sütési norma) szakkifejezés, amely az egy véka gabonából készíthető kenyerek vagy korsó sörök számát adja meg. Az ismert egyszerű összefüggések segítségével valamennyi pesu-feladat könnyen megoldható lenne, ha nem nehezítené a számítást az, hogy a különböző gabonafajták nem egyenértékűek. Emiatt figyelembe kellett venni bizonyos átszámítási tényezőket, melyeket a számolónak ismernie kellett. További bonyodalmakat okoz, hogy különböző nagyságú pesuval rendelkező kenyérmennyiségeket kell átváltani egymásra stb. Egyes feladatok a vékának más egységekre való átszámításával, takarmánymennyiségek kiszámításával, bérösszegek elosztásával és hasonlókkal foglalkoznak.

Egy tudomány ébredése, 49–50. p.

2

Szénássy Barna szerint A magyarországi matematika története. 46. p. „Más vonatkozásban is érdekes olvasmányt jelentenek az első aritmetikák. Példáikon át kirajzolódik a külső és a belső, az osztrák, török és feudális elnyomás alatt élő Magyarország képe, az uzsorától, dézsmától, számtalan adónemtől, katonai portyázásoktól sújtott nép élete.” „ONADI például könyve végén függelékként röviden ismerteti a kereskedelmi számtan elemeit. A fejezet bevezető soraiban megjegyzi, hogy »…szegény hazánkban az usora immár majd közönséges kereskedésnek módgya…«, és, hogy ez valóban így is volt, azt a feladatok is igazolják.”

30 Katona, kimenvén portázni, edgy Kapitánnyal, két Strása-Mesterrel és két Káplárral, nyertek 950 forintot; mellyet így akarnak el-osztani, hogy a Kapitány vegyen 6 annyit, mint a köz-Katona; mindenik Strása-Mester 4 annyit; mindenik Káplár 2 annyit; annakfelette három Katona, jó maga viseléséért, végyen 3 annyit, mint a többi köz-Katonák. Kérdés, mennyi jút mindeniknek?

A magyarországi matematika története. 46. p.

3

Az Antik számvetési feladványok című gimnáziumi tankönyvben, az ókor irodalmának és történelmének tanítását támogatandó, megjelennek az ókori tárgyú matematikai feladatok:

Scipio Kr. e. 205-ben 14 342 libra ezüstöt (à 30 frt.) hozott haza Spanyolországból – eltekintve a készpénztől, és Kr. e. 201-ben Karthagóból 100 000 libr. ezüstön felül, Cato Kr. e. 194-ben 25 000 libai ezüstöt, 123 000 clenariast (közt. p.) és 1 400 libra aranyat (à 4 000 sestertius), Flaminius ugyanabban az évben 18 270 libra ezüstöt, 252 000 denariust (közt. p.), 3 714 libra aranyat és 14 514 arany philippeust (à 9 frt.); Regulus és Scipio Asiaticus Kr. e. 189-ben hazahoztak Ázsiából: 138 844 libra ezüstöt, 255 700 attikai tetradranhmát (à 4 drahhma), 462 070 cistophorust (à, 3 den. közt. p.), 140 000 philippeust és 1 024 libra aranyat. Aemilius Paulusnak győzelme Perseus fölött, Kr. e. 168-ban 120 000 000 sestertiust (közt. p.) jövedelmezett. Mily nagy volt a zsákmány a mi pénzünk szerint az itt felsorolt esetek mindegyikében?

Antik számvetési feladványok. ? p.

4

Az 1913–14. iskolai évben Magyarországon polgári fiúiskolákban az alábbi számú tanuló volt:

103 állami iskolában 23.406 tanuló
60 községi iskolában 18.799 tanuló
13 felekezeti iskolában 2.424 tanuló
6 társulati iskolában 698 tanuló
19 magánjellegű iskolában 2.033 tanuló

Hány polgári fiúiskola volt összesen és hány tanuló járt ezekbe az iskolákba?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

5

Ugyanakkor polgári leányiskolákban az alábbi számú tanuló volt:

93 állami iskolában 18.440 tanuló
69 községi iskolában 19.312 tanuló
117 felekezeti iskolában 20.695 tanuló
12 társulati iskolában 830 tanuló
34 magánjellegű iskolában 2032 tanuló

Hány polgári leányiskola volt összesen és hány tanuló járt ezekbe az iskolákba?

Ezekből az adatokból számítsuk ki azt is, hány polgári iskola (fiú- és leányiskola együtt) és hány polgári iskolai tanuló volt?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

6

A Duna bal partján 11 vármegye van, a Duna jobb partján is 11, a Duna–Tisza közében 5, a Tisza jobb partján 8, a Tisza–Maros szögében 5, Erdélyben 15. Hány vármegyéje van Magyarországnak? Fiume városa és kerülete különálló törvényhatóságot alkot, de Horvát–Szlavonországban van.

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

7

Magyarországon van 25 szabad királyi és törvényhatósági joggal felruházott város, 106 rendezett tanácsú város 1854 nagyközség, 10 681 kisközség, 18 409 puszta, telep s egyéb lakóhely. Számítsuk ki, hány lakóhely van Magyarországban? Adjuk még hozzá Fiume szabad királyi várost és a kerületében levő 3 nagyközséget és 19 egyéb lakóhelyet is!

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

8

Horvát–Szlavonországban van 4 szabad királyi és törvényhatósági joggal felruházott város, 13 rendezett tanácsú város, 104 nagyközség, 6837 kisközség, 2478 puszta, telep s egyéb lakóhely. Számítsuk ki: 1. hány lakóhely van Horvát–Szlavonországban? 2. hány lakóhely van a magyar birodalomban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

9

Magyarországon az 1910-iki összeírás szerint van 3 103 166 lakóház, Fiume város és kerületében 2511, Horvát–Szlavonországban 453 463. Hány lakóház van összesen a magyar birodalomban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

10

Az 1910-iki népszámlálás adatai szerint Magyarországon van 18 214 727 lakos, Fiume város és kerületében 49 806, Horvát–Szlavonországban 2 621 954. Mennyit tesz ki a Szent István korona országaiban lakók száma együtt?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

11

Az 1910-iki összeírás szerint Magyarországon 10 585 061 lakos tud írni és olvasni, Fiume város és kerületében 36 359, Horvát–Szlavonországban 1 153 784. Hányan tudnak írni és olvasni a magyar birodalomban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

12

Az 1900. évi népszámlálás adatai szerint Budapest I. kerületében a rendes (állandó) lakosság száma 45 183, a II. kerületben 34 864, a III. kerületben 37 764, a IV. kerületben 24 010, az V. kerületben 50 138, a VI. kerületben 132 679, a VII. kerületben 158 707, a VIII. kerületben 134 906, a IX. kerületben 66 516, a X. kerületben 32 107. Mennyit tesz a főváros rendes lakóinak száma összesen? Mekkora Budapest rendes lakossága a katonasággal együtt, ha ezek száma 16 484?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

13

Ugyanakkor Budapesten a lakóházak száma volt: az I. kerületben 1 272, a II. kerületben 1 047, a III. kerületben 1 530, a budai kültelken 1 783, a IV. kerületben 505, az V. kerületben 590, a VI. kerületben 1 369, a VII. kerületben 1 466, a VIII. kerületben 1 873, a IX. kerületben 901, a X. kerületben és a pesti kültelken 2 767. Mennyi ez összesen?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

141

Az 1900. évben a Duna bal partján 743 községben foglalkoztak a lakosok szőlőműveléssel, a Duna jobb partján 2 004 községben, a Duna és Tisza közében 455, a Tisza jobb partján 406, a Tisza bal partján 621, a Tisza–Maros szögében 543, Erdélyben 1 002 községben. Hány szőlőművelő község volt anyaországunkban az 1900. évben?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

15

Az 1912. évben a Duna jobb partján 88 262 hektár, a Duna bal partján 14 540 hektár, a Duna–Tisza közében 123 194 hektár, a Tisza jobb partján 13 588 hektár, a Tisza bal partján 30 637, a Tisza–Maros szögében 36 608, Erdélyben 12 300 hektár, Fiúméban 20 hektár szőlőterület volt. Hány hektár szőlőterület volt összesen anyaországunkban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

16

Az 1912. évben a Duna jobb partján 948 165 hektoliter must termett, a Duna bal partján 88 486 hektoliter, a Duna–Tisza közében 992 432 hektoliter, a Tisza jobb partján 198 558 hektoliter, a Tisza bal partján 302 415 hektoliter, a Tisza–Maros szögében 380 759 hektoliter, Erdélyben 81 744 hektoliter. Fiumében 148 hektoliter. Hány hektoliter must termett hazánkban összesen?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

17

Ugyanazon évben a budapesti kőbányai Dréher Antal-féle sörfőzőben 647 754 hektoliter sört termeltek, a kőbányai »első részvénytársasági« sörfőzőben 579 120 hektolitert, a polgári részvénysörfőzőben 349 200 hektolitert, a budafoki Haggenmacher-féle sörfőzőben 278 870 hektolitert, az összes többi hazai sörfőzőkben pedig 1 096 693 hektolitert. Hány hektoliter sört termeltek hazánkban összesen?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

18

Magyarország legnépesebb megyéje Pest–Pilis–Solt–Kis-Kun-megye, lakosainak száma az 1910-iki népszámlálás szerint 1 978 041. Utána következik Bács–Bodrog-megye 812 385 lakossal. Hány lakossal népesebb az előbb említett megye?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

19

Magyarország legnépesebb városai: Budapest 880 371 lakossal, Szeged 118 328 lakossal, Szabadka 94 610 lakossal, Debrecen 92 729 lakossal és Hódmezővásárhely 62 445 lakossal. Számítsuk ki ez adatokból, mennyivel népesebb Budapest, 1. mint a többi 4 legnagyobb város külön-külön; 2. mint e négy város együttvéve?

Számtan a Polgári fiúiskolák I. és II. osztálya számára

20

Az 1890-iki népszámláláskor magyar birodalomban 17 463 791 lakost számláltak, 1900-ban 19 254 559 lakost, 1910-ben pedig 20 886 487 lakost számláltak meg. Mennyivel szaporodott a népesség az utóbbi tíz év alatt s mennyivel az utóbbi 20 év alatt?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

21

A magyar birodalom 20 886 487 lakosa közül a polgári népesség száma 20 744 744, a többi katonai népesség. Mekkora ez?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

22

Az 1910-iki népszámláláskor a magyar birodalomban a katonasággal együtt 10 345 333 férfi volt. Mekkora volt a nők száma, ha az összes lakosság száma 20 886 487?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

23

A magyar birodalom lakosai közül 10 888 138 római katolikus vallású, 2 025 508 görög katolikus, 2 987 103 görög keleti, 1 340 143 Ágostonrendi evangélikus, 2 621 329 református 74 296 unitárius, 932 458 izraelita és 17 452 egyéb vallású. Számítsuk ki az adatokból, hogy a római katolikus vallásúak száma mennyivel több, 1. mint a többiek külön-külön? 2. mint a többiek együttvéve?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

24

Magyarországon a magyar anyanyelvűek száma 9 944 627. A nem magyar anyanyelvűek közül német: 1 903 357, tót 1 946 357, oláh 2 948 186, rutén 464 270, horvát 194 808, szerb 461 516, egyéb 401 412. A nem magyar anyanyelvűek közül magyarul beszél 1 875 789. Hányan nem beszélnek még hazánkban magyarul? Mennyivel több a magyarul tudók száma, mint a magyarul nem tudóké?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

25

Magyarország lakosai közül olvasni és írni tudott 1910-ben 10 021 420. Hányan nem tudtak sem írni, sem olvasni, ha Magyarország összes lakosainak száma 18 264 533?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

26

Magyarország lakosainak foglalkozására nézve a következőket tudjuk: 1910-ben 11 399 122-en foglalkoztak őstermeléssel (mezőgazdaság, erdészet stb.), bányászattal foglalkozott 210 409 lakos, iparral foglalkozott 3 106 039 lakos, kereskedelemmel foglalkozott 673 647 lakos, közlekedésüggyel foglalkoztak 586 227-en, közszolgálaton és szabad foglalkozáson levők száma 630 469, a véderő 144 550 lakost foglalkoztatott, napszámos volt 453 377, házi cseléd 405 069, egyéb és ismeretlen foglalkozásúak száma 655 624. Mennyi volt a keresők száma összesen s mennyi volt az azok által eltartottak száma, ha az összes népesség 1910-ben 18 264 533 volt.

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

27

Budapesten a 0–5 éves gyermekek halandósága az 1911. és 1912. évben kor szerint a következő volt:

1911 1912
0–7 napos korban meghalt 645 632
7–30 " 510 502
1–3 hónapos korban meghalt 724 638
3–6 " 732 683
6–12 " 1029 828
1–2 éves korban meghalt 904 717
2–3 " 385 320
3–4 " 252 212
4–5 " 155 176

Mennyivel csökkent, illetőleg emelkedett a gyermekek halandósága az egyes időszakokban? Hány gyermekkel kevesebb halt meg 1912-ben, mint 1911-ben?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

28

Budapesten a fertőző betegedések száma 1911-ben és 1912-ben a következő volt:

1911 1912
Kanyaró 8181 3950
Vörheny 4568 3759
Hörghurut 548 1057
Diftéria 1492 1390
Bárányhimlő 1426 1825
Fültőmirigylob 494 867

Mely fertőző betegedések száma emelkedett 1912-ben, melyiké csökkent és mennyivel?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

29

Az 1912. évben a besztercebányai kincstári bányákban 139 kg tiszta aranyat termeltek 456 208 korona értékben. Mekkora az értéke 1 kg aranynak? A nagybányai kincstári bányákban 1 630 840 korona értékű aranyat termeltek; hány kg volt ez, ha az arany kg-ját a termelés helyén 3 277 koronában számították?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

30

A magánbányák közül a budapesti bányakapitányságban 19 945 korona, a nagybányaiban 812 832 korona, a zalatnaiban 5 727 212 korona értékű aranyat termeltek. Hány kg aranyat termeltek minden kapitányságban, ha az arany értékét a termelés helyén 3280 koronába számították?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

31

Az 1912. évben a besztercebányai kincstári bányákban 3 368 kg ezüstöt termeltek 322 337 korona értékben. Mekkora volt 1 kg ezüst értéke?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

32

A magánbányák közül: a budapesti bányakapitányságban 4 633 korona, a nagybányaiban 55 485 korona, a zalatnaiban 116 675 korona értékű ezüstöt termeltek. Hány kg-ot termeltek minden egyes bányakapitányságban? A budapesti bányakapitányságban az ezüst kg-ját 117 koronába számították, a többit lásd az előbbi feladatokban.

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

33

Budapest székesfőváros egyes kerületeinek nagysága következő:

Beltelek Kültelek
I. kerület 506.85 ha 5.21725 ha
II. kerület 18871 ha 693.74 ha
III. kerület 278.13 ha 3.01313 ha
IV. kerület 74.56 ha
V. kerület 250.98 ha 319.53 ha
VI. kerület 390.03 ha 957.72 ha
VII. kerület 390.20 ha 1.360.84 ha
VIII. kerület 325.06 ha
IX. kerület 220.69 ha 890.63 ha
X. kerület 3.604.23 ha

Számítsuk ki:

1. Mekkora mindegyik kerület összes területe külön-külön?

2. Mekkora a főváros összes beltelke?

3. Mekkora az összes kültelek és

4. Mekkora területe van fővárosunknak, ha hozzászámítjuk azt is, hogy a Dunának 77 963 ha területe tartozik Budapesthez?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

34

1912-ben az állami utak hossza: a Duna jobb partján 1 528,8 km, a Duna bal partján 1 242,5 km, a Duna–Tisza közében 879 km, a Tisza jobbpartján 1 486,2 km, Tisza bal partján 1 570,8 km, a Tisza–Maros szögében 1 063,7 km, Erdélyben 2 835,3 km, Fiume város és kerületében 3,2 km, Horvát–Szlavonországban 1 166,6 km. Mekkora az állami utak összes hossza a magyar birodalomban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

35

A törvényhatósági utak hossza a Duna jobb partján 6 940,8 km, a Duna bal partján 4 048 km, a Duna–Tisza közében 5 859,2 km, a Tisza jobb partján 3 842,1 km, a Tisza bal partján 4 068 km, a Tisza–Maros szögében 3 424,9 km, Erdélyben 4 343 km. Mekkorák ez utak együtt?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

36

1912-ben a közúti vasútvonalak hossza Magyarországon: budapesti közúti vasútvonalai 74,8 km, budapesti svábhegyi fogaskerekű vasút 3,9 km, budai hegypálya 0,1 km, margitszigeti lóvasút 1,5 km, budapesti városi villamos vasút 53,2 km, budapesti Ferenc József földalatti vasút 3,7 km, Budapest–Újpest–Rákospalota-i közúti vasút 20,5 km, aradi közúti vasút 9,1 km, szegedi közúti vasút 18,2 km, temesvári közúti vasút, 10,9 km, nagyváradi közúti vasút 29,4 km, debreceni helyi érdekű vasút 16,5 km, brassói közúti vasút 17,4 km. Mekkora volt a közúti vasútvonalak összes hossza 1912-ben?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

37

1900-ban a Magyar Királyi Államvasutak vonalainak hossza 8 138,2 km, az állami kezelés alatt álló magánvasutaké 9 933,5 km, a magánkezelés alatt álló magánvasutaké 3 384,1 km. Mekkora a magyar birodalom összes vasútjainak hossza?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

38

1900-ban a hajózható (evezős hajóval és tutajjal) vízi utak hossza:

Duna: Dévénytől Ó-Orsováig 1.293,02 km
Tisza: Nagybocskótól a Dunáig 884,00 km
Dráva: Magyarország területén 272,00 km
Száva: " 727,00 km
Maros: Szászrégentől a Tiszáig 614,62 km
Szamos: Bethlentől a Tiszáig 332,06 km
Bodrog: Zempléntől a Tiszáig 65,09 km
Körös:
266,09 km
Kulpa: Károlyvárostól a Száváig 135,19 km
Vág :
350,06 km
Nyitra : Naszvadtól a Dunáig 15,12 km
Garam:
177,07 km
Aranyos: Tordától a Marosig 21,08 km
Árva: Turdossintól 52,06 km
Kiszucza: Trencsénmakótól a Vágig 51,04 km
Turócz: a prekapai hídtól 2,00 km
Sió: egész hosszában 110,00 km
Bosut:
79,00 km
Temes: Pancsovától a torkolatáig 88,00 km
Balaton: egész hosszában 121,00 km
Ferenc-csatorna: egész hosszában 235,00 km
Béga: Temesvártól a Tiszáig 115,00 km

Mekkora a hajózható vízi utak összes hossza a magyar birodalomban?

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

39

Budapesten az 1913. évben a csecsemőhalálozás az egyes hónapokban a következő volt: január hónapban 295, február hónapban 305, március hónapban 289, április hónapban 297, május hónapban 253, június hónapban 267, július hónapban 297, augusztus hónapban 337, szeptember hónapban 346, október hónapban 296, november hónapban 251, december hónapban 255. Hányan haltak meg az évben összesen? Mely hónapban volt a legnagyobb és melyikben a legkisebb a csecsemőhalálozás? Rajzoljuk meg az 1913. évi csecsemőhalálozás grafikonját!

Számtan a Polgári fiúiskolák. I. és II. osztálya számára

40

A III–IV. osztályosok számára kiírt Rákosi Mátyás tanulmányi verseny első fordulójának 3. feladata szerint:

Egy üzemben 40 munkás sztahanovista munkamódszerre tér át. Ezáltal az üzem termelése 20%-kal emelkedik. Ha az első sztahanovistákkal együtt a munkások összesen 60%-a tér át az új munkamódszerre, akkor ezáltal az üzem termelése az eredeti termelésnek lét és félszeresére növekszik. Kérdés, hány munkás van az üzemben és hányszorosára növekedik az üzem termelése, ha valamennyi munkás megtanulja az új munkamódszert.

KÖMAL 1952. október. 33. p.

Bár a feladat matematikailag könnyen kezelhető – több mint 3000 megoldás érkezett – a valósághoz kb. ugyanannyi köze van, mint a közismert beugrató kérdésnek: Ha egy 1 m széles, ugyanilyen hosszú és mélységű gödröt két munkás 1,5 óra alatt ás ki, mennyi idő alatt ássa ki ugyanezt a gödröt 12 munkás? Ismeretes, hogy a sztahanovistákat többnyire más munkások segítették az „emberfeletti” teljesítmények elérésében. Erről egy példát láthatunk Andrzej Wajda Márványember című filmjében. Mindenesetre ez a közgazdasági és munkaszervezési szempontból abszurd feladat teljes összhangban van a kor politikai abszurditásával.

Források
  • Barten Leendert van der Waerden: Egy tudomány ébredése (Science Awakening). Egyiptomi, babiloni és görög matematika. Fordította Pollák György. Lektorálta Tarján Rezsőné, Hahn István. Budapest: Gondolat, 1977.
  • Szénássy Barna: A magyarországi matematika története a legrégebbi időktől a 20. század elejéig. Lektorálta Makkai László, Szász Gábor és Vekerdi László. Budapest: Akadémiai Kiadó, 1970.
  • R. Menge–N. Werneburg: Antik számvetési feladványok. Kiegészítő füzet minden gymnasiumi számvetési tankönyvhöz. Fordította Dr. Wohlrab Flóris. Budapest: Zilahy Sámuel, 1882.
  • Képessy Imre–Magyar László–Zettner Ede: Számtan a polgári fiúiskolák számára. I. rész Az I. és II. osztály számára. 8., az új tanterv alapján átdolgozott kiadás. Budapest: Lampel R. (Wodianer F. és Fiai), 1920.
  • Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok.