„Megkaptam, uram, frank, garas és fillérig halálos ítéletemet, amelyet önnek volt türelme megcsinálni és szívessége nekem elküldeni. Bámulom kitartását és minden zúgolódás nélkül vetem alá magam az ítéletnek. Mindenki egyforma öregen hal meg, akármilyen kort ér, mert, amikor már idáig jutott az ember, tökéletesen mindegy, húsz órát él-e vagy húszezer évszázadot. Az ágyam mellett van végső számadásom, amelyért sok köszönetet mondok önnek. Semmi sem alkalmasabb rá, hogy megvigasztaljam az élet nyomorúságai közt, mintha szüntelenül elgondolom, hogy minden csak semmi. Igen valóságos azonban munkájának pontossága és hasznossága s a köszönet, mellyel érte tartozom. […]

VOLTAIRE levele de MASSANCE úrnak, 1777

a) A paradoxon története

Az emberi halandóság, az emberi élettartam alapos matematikai vizsgálata már a korai kapitalizmus korszakában megkezdődött, mégpedig a biztosítótársaságok igényeinek megfelelően. Az angol John Graunt 1662-es, majd a holland van Hudden és Johan de Witt kezdeti eredményei után Edmond Halley (a róla elnevezett üstökös felfedezője) 1693-ban egy olyan — halandósági táblázatot is tartalmazó — tanulmányt készített, amellyel megalapozta az életbiztosítások matematikai elméletét. Bár a XVIII. században a biztosítások elmélete igen jelentős fejlődésnek indult, számos alapfogalom tisztázatlansága következtében még a század második felében is — mai szemmel nézve — rendkívül egyszerű paradoxonokon vitatkoztak. Az alábbi paradoxont például d’Alembert vetette fel.

b) A paradoxon megfogalmazása

Halley táblázatában az átlagos életkor 26 év, mégis ugyanakkora a valószínűsége annak, hogy valaki már 8 éves kora előtt meghal, mint annak, hogy túléli a 8. életévét.

c) A paradoxon magyarázata

Igaz, hogy Halley táblázata szerint ugyanolyan eséllyel lehet túlélni a 8 évet, mint korábban meghalni, de aki már túlélte a 8. életévét, még sok-sok évtizedet élhet, így semmi meglepő nincs abban, hogy az átlagos életkor sokkal nagyobb, mint 8. Ha például ezer ember közül akárcsak egyetlenegy matuzsálemi kort él meg, akkor az átlagos életkoruk jelentősen megemelkedik, de a „valószínű életkoruk” (amit éppen 50%-os eséllyel élnek túl) alig változik.

d) Megjegyzések

(i) Jelölje $F(x)$ annak a valószínűségét, hogy egy vizsgált populációban egy véletlenül kiválasztott ember élettartama $x$-nél kevesebb időegység. [$F(x)$ az élettartam eloszlásfüggvénye.] Tételezzük fel, hogy létezik az élettartam sűrűségfüggvénye is, jelölje ezt $f(x)$, ekkor az átlagos életkor (az életkor várható értéke)

\[ M=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}xf(x)dx \]

a „valószínű élettartam” pedig az az $m$ szám, amelyre

\[ f(m)=\frac{1}{2} \]

vagyis $m$ az az időtartam, amely alatt a populáció fele kihal. E két képletből világosan látszik, hogy $M$ és $m$ általában egészen különböző értékek.


(ii) Az emberi halandóság fogalma igen széleskörűen kiterjeszthető. Ha például műszaki termékek tönkremenését vagy radioaktív atomok elbomlását „elhalálozásnak” tekintjük, akkor az emberi halandóság vizsgálatából kifejlődött matematikai elmélet igen széles körű alkalmazási területet nyer. Ebben a szélesebb körben igen paradox jelenségek is fellépnek. Az ember például nem csak halandó, hanem — sajnos — örökifjúnak sem mondható. Meglepő módon azonban mind a természetben, mind a társadalomban léteznek örökifjú „lények”. Az örökifjúságot a következőképpen lehet értelmezni: egy „lény” akkor örökifjú, ha annak a valószínűsége, hogy még élni fog egy tetszőlegesen rögzített időtartamot, egyáltalán nem függ attól, hogy már mennyi ideig élt. Az ember természetesen nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, hiszen minél többet élt, annál nagyobb a valószínűsége annak, hogy egy előre megadott időtartamon belül meghal. Érdekes viszont, hogy nem minden „lény” követi az ember példáját, nevezetesen a radioaktív atomok is örökifjúak. Könnyen be lehet bizonyítani, hogy ha egy örökifjú „lény” átlagosan T ideig él, akkor

\[ {e}^{-\frac{x}{T}} \]

annak a valószínűsége, hogy legalább $x$ ideig él, ahol $x$ egy tetszőleges pozitív szám. A radioaktív részecskék örökifjúsága abból következik, hogy bomlásuk sebessége arányos a még elbomlatlan részecskék számával. Az arányossági tényező neve: bomlási állandó, jele $\lambda$. Ha a $t=0$ időpontban $N_{0}$ bomlatlan részecske volt jelen, akkor (a bomlási sebesség állandósága miatt, integrálással azt kapjuk, hogy) az $x$ időpontban

\[ {N}_{x}={N}_{0}{e}^{-\lambda t} \]

lesz a bomlatlan részecskék száma, vagyis az $x$ időpont „túlélési valószínűsége”

\[ {e}^{-\lambda x}. \]

A radioaktív részecskék tehát valóban örökinúak és átlagos élettartamuk $T=1/\lambda$, más szóval az ilyen élettartam $\lambda$, paraméterű exponenciális eloszlást követ. Az örökifjú „lények” felezési ideje (az az időtartam, amely alatt a „lények” fele kihal) nem más, mint az

\[ {e}^{-\lambda x}=\frac{1}{2} \]

egyenlet gyöke, vagyis

\[ x=\frac{\ln 2}{\lambda}. \]

(iii) Az örökifjú „lények” felezési ideje számos tudományterület alapfogalma lett. Az archeológiai kormeghatározásban például Willard Frank Libby amerikai kémikus radiokarbon-módszere mindmáig a legszélesebb körűen alkalmazott kormeghatározó eljárás (felfedezéséért 1960-ban Nobel-díjat is kapott). Libby ötletét 1950-ben M. Swadesh a nyelvtudományban is alkalmazni tudta annak feltételezésével, hogy nemcsak a radioaktív atomok, hanem a „nyelvi atomok”: a szavak is örökifjúak, és közel 2000 éves felezési idővel a nyelvek ősi alapszókincsének szavai is elhalnak. Ebből az ötletből kiindulva meghatározhatjuk például azt, hogy két rokon nyelv (például a latin és a szanszkrit) mikor vált szét; csak azt kell tudnunk, hogy napjainkban az alapszókincs hány százaléka van még meg a két összehasonlított nyelvben, és ebből máris visszaszámolható, hogy mikor lehettek együtt. A. Raunés E. Kangsmaa-Minn például a magyar és a finn nyelvet vetették össze. Azt találták, hogy a jelenlegi egyezések 21%-ot, illetve 27%-ot tesznek ki (a számításokat két különböző módszerrel végezték). Ezek alapján a finn és a magyar valamikor 4—5000 éve vált el egymástól. Swadesh harminc éve felfedezett új módszerét ma már igen gyakran használják, és „lexikostatisztikának” vagy „glottokronológiának” nevezik. (Swadesh eredeti cikke az International Journal of American Linguistics című folyóiratban jelent meg.)


(iv) Annak a valószínűsége, hogy adott $t$ idő alatt, $\lambda$ bomlási állandó esetén pontosan $k$ részecske bomlik el:

\[ \frac{{(\lambda t)}^{k}{e}^{-\lambda t}}{k!}, \]

vagyis a bomlások száma olyan véletlen mennyiség, amelynek eloszlása ugyanaz a Poisson-eloszlás, mint amelyet az „Ajándékozási paradoxon”-ban ismertünk meg. Ennek az eloszlásnak a várható értéke $\lambda t$, ez egyenesen arányosa bomlási sebességgel és a vizsgált időtartammal, ami nagyon is természetes.


(v) Talán még az örökifjúságnál is meglepőbb, hogy vannak fiatalodó „lények” is. Ilyenek például az új gépek a „bejáratás” időszakában, amikor az idő múlásával egyre nő annak valószínűsége, hogy még egy megadott ideig jól működnek. (Elképzelhető, hogy az újszülöttek is „fiatalodnak” életük első szakaszában, a „bejáratás” időszakában; erről azonban nincsenek adataim.) Könnyen belátható: matematikailag a fiatalodás azt jelenti, hogy [az (i) megjegyzés jelöléseit használva] az

\[ \frac{f(x)}{1-F(x)} \]

ún. meghibásodási ráta, egy csökkenő függvénye $x$-nek. Gépek, alkatrészek meghibásodási rátájának vizsgálata egyébként alapvetően fontos a pótalkatrészek mennyiségének meghatározásához.

e) Irodalom

  • J. K. Beljajev—B. V. Gnedenko—A. D. Szolovjev: A megbízhatóság matematikai módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.