Mire jó a fraktálfilozófia?

avagy tallózás az „új lelkesültség” nemzetközi szakirodalmában
Perneczky Géza
matematika, geometria, fraktál, káosz, Mandelbrot, Turing, Julia

Mire jó a fraktálfilozófia? Arra, hogy ez is múzeumi kinccsé váljon? Több mint tíz esztendő telt el azóta, hogy egy kis kölni nyomdában kinyomattam ezt a 90 oldalas könyvecskét, aminek a lapjait magam gépeltem, illetve más kiadványokból fénymásolt illusztrációkkal gazdagítva ragasztgattam össze. Ehhez jött még egy tucat fekete-fehér egész oldalas kép, amit egy réges-rég elfelejtett, kezdetleges fraktálprogrammal generáltam egy olyan, 60 MByte merevlemezes aprócska komputeren, aminek persze a képernyője sem haladta meg az akkor még igen jónak számító 640×480-as felbontást. A kiadványt természetesen magyar szakember nem lektorálhatta, és csak megjelenése után figyelmeztetett néhány matematikus rá, hogy itt-ott elgépelések és terminológiai tévedések vannak a szövegben.

Mindezek a részletek, de valószínűleg az egész kiadvány is, úgy ahogy van, ma már technikatörténeti kuriózumnak számíthatnak. Ami maradandónak bizonyult a vállalkozásból, az inkább a felfedezés öröme, és a hályogkovács vakmerő bátorsága, illetve ujjongása volt: a kis könyvecske a 20. század utolsó nagy természettudományos (és filozófiai) paradigmaváltásáról számolt be, a káoszdinamika és a vele kapcsolatos fraktálgeometria térhódításáról, a vizualitás új szenzációinak az öröméről, és – nem utolsó sorban – a komplex rendszerek jövőjével kapcsolatos prognózisok lehetetlen voltáról. Ez utóbbi felismerés, azzal, hogy matematikai bizonyítását adta annak, hogy az ilyen rendszerek jövőbeli alakulása „nem számítható ki”, végleg megfosztotta a messianisztikus tartalmú és „végleges” megoldásokat ígérő ideológiák és filozófiai elgondolásokat minden tudományos hitelüktől. Talán az is a kis könyv erényének számíthatott, hogy olyan valaki írta, akinek az érdeklődése és világképe alapvetően humán beállítottságú volt, és ezért a matematika birodalmában tett kirándulása is könnyebben volt követhető a nagyközönség számára. Másrészt pedig büszke vagyok rá, hogy – noha ez a munka is eléggé elkésetten érkezett – de mégis ez volt az első olyan magyar nyelvű beszámoló a fraktálgeometriáról, amit az érdeklődők néhány pesti könyvesboltban akár meg is vásárolhattak.

Azóta hazai és külföldi szerzők tollából egy sor szakavatott munka jelent meg magyarul is ezekről a kérdésekről, és jómagam is írtam egy sokkal szerényebb igényű, de matematikailag körültekintőbben megfogalmazott és egyéni kutatási eredményeket is tartalmazó könyvet, ami, sajnos, ma már nem kapható sehol (Perneczky G.: Fraktálok és eseményminták. Kijárat Kiadó, Teve Könyvek, Budapest, 1998). Néhány magam generálta fraktálformát és a vele kapcsolatos problémák összefoglalását pedig a C3 Kommunikációs Központ tett fel a honlapjára (77 Generált Grafika). Elmondható, hogy a fraktálokkal és a káoszdinamikával kapcsolatos szenzációk első nagy divatja napjainkra már véget ért. Ami nem azt jelenti, hogy a kérdés elavult volna, hanem azt, hogy visszavonhatatlanul a természettudományos és filozófiai alapkutatások részévé vált.

Perneczky Géza (2004)

szóelválasztás

Könyvem igazából apámnak tartozik adóssággal, Alan Barnsleynek, aki Gabriel Fielding álnéven novellákat és verseket írt. Tőle tanultam a precizitás gondját, a részletek szeretetét, az élet iránti lelkesedést, és mindazon dolgok végtelen csodálatát, amiket Isten teremtett.

Michael Barnsley, matematikus,
a Fractals Everywhere című monográfiájának az előszavában

Amit most a t. Olvasó a kezében tart, az dacára annak, hogy az alcíme szerint könyvkritika is lehetne, valójában rosszabb és műfajtalanabb családba tartozik – öszvér. Olyan esszé, ami a filológia és a matematika határvonalán született abból az alkalomból, hogy néhány hónapra egy világállandó nyomába szegődtem, és hogy jobban kiismerjem magam a témában, elkerülhetetlen volt, hogy bizonyos fajta könyveket kezdjek vásárolni.

A hangzatos szót, „világállandó”, nem költői vagy teológiai értelemben használom, hanem egyszerűen úgy, ahogy a fizikaórán tanultuk: vannak konstans számok, állandók, amelyek a világ rendjének az alapritmusát adják. Többnyire bonyolultabb funkciókba írt számok ezek, amelyeknek az értéke független a körülményektől, és amelyek a legkülönbözőbb alkalmakból újra és újra visszatérnek.

Ez a tulajdonságuk rögtön azt is elárulja, hogy állandósult léptékekről, kanonizált arányokról van szó. És máris finom együttrezgésbe lép a témával az úgynevezett humán műveltségünk. Az arányok tana ugyanis az Eukleidész előtti tudományok egyik kedvenc területe volt, mitikus titkok koszorújába font foglalatoskodás. Így például tudjuk, hogy a történelem hajnalkoráig vezethető vissza az aranymetszés arányának tudatos vagy ösztönös tiszteletben tartása, de lehet, hogy a görögöktől ránk örökített zenei és művészeti harmónia, amely a felhangokban (a „konszonanciákban”) kifejeződő arányok szép rendjére épült – és amely szegről-végre rokonságban állt az aranymetszés kánonjával is – talán még ősibb eredetű.

Ez a két példa persze rögtön azt is szemlélteti, hogy az arányok kapcsán eredetileg nem is annyira a fizikai világ rendjéről volt szó, hanem többről, a szellemi világba való átlépés lehetőségeiről, végső soron magáról az emberről. A klasszikus aránytanok nem is késlekedtek az aranymetszés ideális alakzatait vagy a rezgő húr felhangokra bomló méretarányait az ember testén is felfedezni. Csupán a természettudományok viharos fejlődése vezetett az újkor évszázadaiban oda, hogy a világ „igazi” szerkezetének a kutatását vagy magyarázatát nem kötöttük többé a saját „istenien tökéletes” valónkkal is kapcsolatba hozható arányokhoz, hanem teljesen átengedtük az ilyen problémákat a természettudományoknak. Lemondtunk egyúttal arról is, hogy a léptékek és a világállandók mögött a „szellem” vagy a „szépművészetek” munkálkodását lássuk, és megtanultuk, hogy például a fent említett két „szép aránytanban” sem lássunk mást, mint zseniális matematikai megsejtésekre épülő emberi projekciót. Ezért ami bennük matematikailag is igaz, annak édeskevés köze lehet az emberi test fiziológiájához, vagy az abból kiolvasott esztétikai elképzelésekhez.

A természettudományok olyan konstansokkal kezdtek dolgozni, amelyek nagyon távol estek attól, hogy az emberi szemlélődés „szépnek” találja őket, vagy akárcsak valamilyen más szenzuális vonatkozású ítéletet mondjon ki velük kapcsolatban. A közismert π = 3,14… konstanssal kapcsolatban, amely egyszerűbb megközelítésben már Eukleidész korában is ismert volt, de csak a tizenhatodik századtól kezdve vált igazán fontossá, nincsen semmilyen mitológiai vagy esztétikai természetű mondanivalónk.

Sőt, amennyiben a művészetek és a szellemtudományok mégis megpróbáltak a racionálisabb természettudományokkal konkurálni, a „szép” vagy „helyes” arányok helyett ilyenkor többnyire az érdekesebbnek és igazabbnak tűnő csúfosat, vagyis az aránytalant helyezték előtérbe, és a diszharmónia „mélyebb igazságát”, aktualitását, illetve egyetemes érvényét kezdték hirdetni. Ez a felfogás már a reneszánszot követő századokban is újra és újra felmerült, pregnáns formát kapott aztán a romantikában és még inkább a huszadik század modernista áramlataiban.

Absztrakció és redukció

Ez a modernizmus azonban az esetek nagy részében még mindig ahhoz a maximához tartotta magát, amely szerint minden dolgok léptéke az ember. A régi recept ez, legfeljebb most a csúf emberre vonatkoztatva, azaz a visszájára fordítva. Természetesen ez az új és érdekesen diszharmonikus ember csakis egy hasonlóképpen „új” és érdekesen groteszk arányokra épülő világnak lehetett a boldogtalanul szenvedő vagy hősiesen küzdő lakója. Az ember és világ közötti kölcsönös tükröződés így sértetlen maradt, és ehhez az új formájú megfeleléshez a csúf tisztelete biztosította a kulcsot.

A modern művészet jelentős része mindent meg is tett aztán, hogy ezt az összefüggést kifejezésre juttassa. Bármennyire is megrázóak azonban a modernista művekben megfogalmazódó negatív élmények (és ne szégyelljük elismerni, hogy a közelmúlt történelme is sokat tett azért, hogy ez a negatív világ csakugyan téma lehessen), mégsem térhetünk ki annak megállapítása elől, hogy kimondjuk: A modernizmusnak ez a formája is esztétikus természetű világmagyarázat volt, s legfeljebb annyiban „új” vagy „versenyképes”, amennyiben a „csúf”, illetve a „problematikus” témaköre tényleg sokáig heurisztikus hatású stimulálószernek bizonyult. A továbbiakban ezt a sajátosan torzított világ-ember tükröződést gyenge modernizmusnak fogom nevezni.

A radikálisabb változat – és a modernizmus nagy áramán belül érdemes ezt a variánst, márcsak a megkülönböztetés kedvéért is, avantgárdnak nevezni – mélyebb szinten vette föl a konkurenciaharcot a természettudományokkal. Olyan utópiákat dolgozott ki, amelyek a modern természettudományok nyelvét és formavilágát imitálták. Azaz racionális, matematikai szellemben fogant maximákat, amelyek hasonlóan matematikai szellemű formákban nyertek kifejezést. Megjelentek tehát a geometrizált képelemek és a gépi világ alakzatait és mozgását imitáló kompozíciók. Az avantgárd igazi teljesítménye azonban nem ez a külsőségekben is megmutatkozó formai adaptáció volt. A lényeg a modern természettudományok szemléleti absztrakciójának a követésében jutott kifejezésre. Az avantgárd megnyilatkozásai mögött mindig megtaláljuk azokat a kvázi-tudományos utópiákat vagy ideológiákat is, amelyek egyenesen megkövetelték a művésztől, hogy szakítson az ember-világ tükröződés bármiféle modelljével.

Ez a megfigyelés érthetővé teszi, hogy miért játszottak a programok az avantgárdon belül olyan fontos – sokszor magukat a műveket is árnyékba borító – szerepet. Egy másik megjegyzés, amit nem hallgathatok el: még az ilyen fajta művészetre is érvényes persze az, hogy soha nem az embert tagadja meg, hanem azzal, hogy tudománnyá akar válni, önmagát, a művészetet dobja a mérleg serpenyőjébe – cserébe az igazságért!

Ebben a gesztusban nagy adag heroizmust találunk, ami megintcsak visszavezet egyfajta (szinte már zavaróan penetráns) emberléptékűséghez. Mindenképpen igaz azonban az, hogy az európai kultúra történetében az avantgárd volt az első olyan pillanat, amelyet joggal tekinthetünk az anthropocentrikus világképpel való tényleges szakítás momentumának. Az avantgárd ennek folyamán nemcsak a meglévő esztétikai normákkal fordult szembe, hanem azáltal, hogy természettudományos és szociálpolitikai modelleket próbált átültetni a művészet területére, megtagadta egy lehetséges új esztétika kidolgozásában való közreműködését is. (Más lapra tartozik, hogy előbb-utóbb az ilyen magatartásból is művészeti norma és stiláris konvenció válik.) Az avantgárd radikalizmusa mindenképpen indokolttá teszi, hogy vele kapcsolatban erős modernizmusról beszéljünk.

A kétféle modernizmust egy érdekes jelenség fűzi össze: a dinamika feltétlen tisztelete és a dinamikus ábrázolás forszírozása. Általában csak az expresszionizmussal és a futurizmussal kapcsolatban szokták ezt különös erővel hangsúlyozni, de a tér- vagy időviszonylatok szinkron ábrázolása is dinamika, és ezt a fonalat követve megállapíthatjuk, hogy a látszólag statikus képeket létrehozó kubizmus is dinamikus természetű volt. Még inkább érvényes ez a konstruktivizmusra, amelynek kvázi-statikus geometrikus formái kiszakadtak a gravitáció vonzásköréből és újfajta erőviszonyoknak engedelmeskedtek. Néhány izmus – mint pl. a szürrealizmus – a pszichológiai dinamizmus útjára lépett. A lírai absztrakció közvetlen eszközökkel ábrázolta a dinamikus mozgásokat, a legmeggyőzőbben talán Jackson Pollock esetében. S még egy fontos megfigyelés: valamennyi áramlatnak fontos eleme volt a dolgok lépésről lépésre fokozódó redukciója – a lényeg kultusza.

Ez a redukcionizmus egészen nyilvánvalóan a dinamikus tömörség egyik velejárója volt, de bizonyára nem tévedünk, ha a természettudományos formulák szuggesztív hatását is felfedezzük benne. Azt a meggyőződést, hogy az „igazi” igazság olyan, mint egy jó képlet: elegánsan rövid! Az természettudományos axiómák nyelvén való fogalmazás ez.

Mi marad azonban a művészetből, ha egy-egy képletre redukáljuk a mondanivalóját? A dinamika megragadása és hangsúlyozása kétségtelenül igen hatásos eszköz volt arra, hogy a modern tudományok tartalmas elvontságával összehasonlítva a modern művészet absztrakciója ne süllyedjen le a szimpla dekoráció síkjára. A képletekre redukált művészetnek ezúton jó esélyei maradtak arra, hogy önmagán túlmutatva ígérjen valami gazdagabbat. Klee sokat idézett mondása – a művészet feladata nem az, hogy a látható dolgokat ábrázolja, hanem, hogy láthatóvá tegyen – a modernizmus egész horizontját, az absztrakciót, az axiómákra redukált fogalmazást, és az ezekkel együtt színre lépő dinamikus karaktert is fölvillantja egy percre. Vagyis nemcsak a művészet maximái fogalmazódtak meg Klee eme szavaiban, hanem egy egész korszak mentalitása – sok minden a természettudományos gondolkodás általánosan elfogadott normáiból is.

Perneczky Géza
epiteszforum.hu
Fraktális óralap
M. Barnsley rajza
A számlap körül a Julia-halmaz körvonalai láthatók
forrás: a fekete-fehér nyomású kötet
Gaston Maurice Julia
(1893–1978)
francia matematikus
Michael Barnsley
matematikus

Új természetelvűség?

Azóta azonban újra fordult egyet a kerék. Ennek a tanulmánynak a mottójában a legújabb természettudományos áramlat az élvonalából idéztem egy szerzőt. Fő művének az előszavát zárja a kiemelt két mondat, és ebben költészetről, az apák nemzedékéről, illetve a világ szépsége láttán való ellágyulásról van szó. A napjainkban mindenütt feltörő új áramlat, a posztmodern ízlés jelentkezése lenne ez?

Az a meggyőződésem, hogy a „posztmodern” jelző visszatekintő jellegű, és használata ezért csak akkor indokolt, ha a modernizmus kritikáját tartalmazó művekkel kapcsolatban élünk vele. De van valami ilyen értelemben „visszatekintő” vagy a modern világképet kritizáló dolog Michael Barnsley nagy matematikai monográfiájában? Ha valaki végiglapozza a könyvet – lehet az illető akár laikus is – azonnal látni fogja, hogy nem. A sok képlet mellett, melyek semmit sem nyilvánítanak ki például a relativitás-elmélet vagy a kvantumfizika érvényességéről, illetve esetleges túlhaladottságáról, a könyv a felületes szemlélő számára csak a világ jól ismert dolgai között tesz sétát, hiszen tele van „szép képekkel”, még virtuóz komputergrafikai technikával modellált színes kutyaábrázolás is van benne, a címlapját pedig egy egzotikusan öltözött fiatal lány arcképe díszíti.

Barnsley korszakos jelentőségű matematikakönyve első látásra tehát inkább úgy néz ki, mint egy színesen illusztrált novelláskötet, és belelapozva is csak legfeljebb annyiban módosíthatjuk az elképzelésünket, hogy itt, úgy látszik, egy matematikailag földolgozott földrajz vagy természetrajzkönyvről van szó. A szerző láthatólag mindent megtett azért, hogy olyan színben tüntesse fel a matematika éppen tárgyalásra kiválasztott fejezetét, mintha az semmiben sem különbözne egy virágoskerttől. És ha beleolvasunk a kötetbe, kis szerencsével még azt is megérhetjük, hogy tényleg a növények morfológiájáról vagy a virágszirmok geometriájáról írt sorokra bukkanunk.

Barnsley könyve azonban nem az első ilyen munka. Még sokkal fontosabb – és valószínűleg szerte a világon többet is olvasott – Benoît Mandelbrot 1982-ben publikált vaskos kötete, amely A természet fraktálgeometriája címet viseli, és amelyet maga a szerző kedves közvetlenséggel esszékötetnek titulál. A könyv illusztrációs anyaga a románkori kódexek illuminációival kezdődik, és Leonardo rajzain, illetve Hokusai fametszetein át vezet a matematikai képletek alapján generált színes komputergrafikákig, amelyek azonban mintha szoros rokonságban lennének a szépművészetek éppen felidézett történeti anyagával. Az újabb, a matematika bizonyos területeiről számot adó, illetve a komputertechnikával összeforrt tudományos kiadványokban talán kevesebb az ilyen kifejezetten múzeumi jellegű anyag, de fantasztikus tájak vagy a biológiai szakkönyvekből is ismerősnek tűnő organikus formációk nélkül ezek a kiadványok sem boldogulnak. Egyáltalán, mintha valamiféle föld körüli utazás emlékeit fölidéző színes képes albumban lapozgatnánk!

Az a benyomásunk, hogy ezek a geométerek valami olyasmit kezdenek manapság mérni, amivel az európai matematika soha nem foglalkozott. Ha a fogalom korábban nem is volt ismert, föltehetjük azért még a kérdést: kik voltak az első fraktálkutatók? Talán az arab építőművészek, a sztalaktit boltozatok kitalálói, és a mosékat díszítő csemperakók? Vagy Sába királynőjének kertészei? Esetleg az Eukleidész előtti görög ezoterikusok? Reneszánszát éli a bűvös pentagram kultusza, a belőle kiolvasható aranymetszet, és a vele rokon ornamentika. És a legnagyobb meglepetésünkre nem a vallástörténet vagy az esztétika múltjának a szakemberei foglalkoznak vele, hanem olyan Nobel-díj-gyanús matematikusok és fizikusok, mint amilyen például a kvantumgravitációval és a „fekete lyukak” fizikájával foglalkozó Roger Penrose, a Royal Society tagja. Tehát olyanok, akik szellemi dekadenciával, fáradt ízléssel és műfajtalan eklektikával, illetve széplélek-romantikával igazán nem gyanúsíthatók. Az új geometria és kapcsolt részei hamvasan csillogó gyümölcsként kerülnek az asztalra, és ahogy beléjük harapunk, harsogva ropognak. Dinamikájuk pedig túllicitál a modernizmus legmerészebb szaltóin is. Hűvösen édes almák, frissen szakítva a tudás legújabb fájáról.

Érdekes lehetőségnek látszik, hogy ezen a nyomon elindulva azt feltételezzük, hogy Barnsley és társainak újfajta érdeklődése, gondolkodás- és fogalmazásmódja mögött a természettudományok olyan jellegű „művészivé válása” rejtőzik, amire korábban tulajdonképpen sehol sem volt példa. Ez az új áramlat a modern fizika (és a vele párhuzamosan kifejlődött avantgarde művészet) absztrakt tendenciáira és tudományos ezoterizmusára adott meglepő válasz is lehetne, mintegy annak a tükörképe vagy az ellenkezője. Azaz valami olyan jelenség, ami a matematikailag elvont és az axiomatikusan tömör mellett most lényegesen nagyobb helyet ad a részletekben elmerülő érzékletesnek, és a megfogalmazás aprólékosságait értékelni tudó szépnek is, mi több, az örömtelinek. Ez a tudomány természetléptékű, akkor is, ha talán nem kifejezetten anthropocentrikus.

Az ember (a modern ember!) azonban csak akkor örül a természetnek, ha jó oka van rá. Ez esetben persze természettudományosan is megalapozottnak tűnő jó oka. – Mindenütt fraktálok! – így vezet be ebbe az új világba Barnsley említett könyvének a címe. Mintha sok-sok ezer év után újra felfedezné valaki az édenkertet, a Paradicsomot…

A szintakszis és a szemantika tartományai között

Hogy a továbbiakat érthetőbbé tegyem, igen röviden ki kell térnem itt a tudomány, a művészet és a nyelv konfliktusokkal és kibékülésekkel tarkított háromszögére. E három közül természetesen a nyelv az, amelyik a legszorosabban összeforrott emberi valónkkal, a másik kettő csak azáltal létezhet, hogy van emberi nyelv, amely a tudományos felismeréseknek, illetve a művészeti intuíció látomásainak formát ad.

Ez a forma azonban nemcsak edény, amelybe a már kész gondolatainkat öntjük, hanem egyúttal olyan eszköz vagy anyag is, amely a gondolkodás „elkezdésekor” eleve meghatározza, hogy mit és hogyan leszünk képesek majd elgondolni. A nyelv kettős funkcióját úgy is leírhatnám, hogy azt mondom: a nyelv egyrészt az ismeretek előtt áll, hiszen a megismerés egyik munkaeszköze. Másrészt azonban a „kész” ismeretek végső formáját konkretizáló eredmény is. Ez a kettős aspektus tálcán kínálja azt a feltételezést, lehet, hogy egész életünk során mindvégig a nyelv foglyai maradunk, és sem a tudomány, sem pedig a művészet nem lesz képes arra, hogy kivezessen minket abból a négy fallal körülzárt cellából, amely tulajdonképpen nem más, mint a nyelv és az általa nyújtott szerkezetek és képek világa. Lehet, hogy a tudomány és a művészet tényleg „megtörténik”, valószínű azonban, hogy színjátékuk, bármennyit is merítsen a valóságos világból, végső soron mégis a nyelv falai között létesített színpadon marad. Míg felnőtté válunk és úgynevezett kultúremberekké cseperedünk, magunk is hozzáidomulunk e négy fal között előadott darabokhoz. A nyelv olyan kincsünk, amely egyúttal fátumunk is.

Lehet, hogy csak közhelyeket ismételtem ezekkel a megállapításokkal, de mi történik akkor, ha tovább lépünk abba az irányban, amely felé az a két szó vezet, amely két kifejezés az előbb önkéntelenül csúszott ki a számon – nevezetesen, a „szerkezetek” és „képek” felé? Vegyünk egy nagy lélegzetet, és nevezzük ezt a két dolgot a nyelv algoritmikus és analogikus mozzanatainak.

Az algoritmus olyan utasításrendszer, amelyet akárhányszor ismétlünk meg, a végrehajtása szükségszerűen ugyanahhoz az eredményhez vezet. Az algoritmusok eme tulajdonsága, illetve annak felismerése, hogy mi az algoritmus, minden bizonnyal összefügg a természetben megfigyelt ciklikus jelenségekkel, illetve azzal az ősi tapasztalattal, hogy bizonyos általunk végrehajtott akciók is hasonlók e periodikus ciklusokhoz. Rendszeres végrehajtásuk általában ugyanarra az eredményre vezet. Az algoritmikus cselekvés tudatosulása és a nyelvbe, a szemléletbe való beépülése hozta magával az emberi ráció kifejlődését – a legtisztább formájában a matematika terén. A matematika annyira meztelenül hordozza az algoritmusokban megnyilatkozó utasításrendszer szerkezetét és megbízhatóságát (és ezen keresztül az ok-okozati viszonyok transzparenciáját), hogy hajlamosak vagyunk arra, hogy ne emberi leleményt lássunk benne, hanem természeti tüneményt, mintha a számok nem absztrakciók lennének, hanem a természet valóságos részei.

Igazunk van? A probléma rögtön teljes nagyságában lép elénk a következő gondolatmenet segítségével. Ha igaz az, hogy az algoritmusok a természeti valóság részei, akkor az is igaz kell hogy legyen, hogy lényegük, az utasítások is olyan realitások, mint például a hóesés vagy az eső.

Bizonyos, hogy a matematikába vetett föltétlen bizalmunk az egyik leggyümölcsözőbb civilizációs képességünk, de az is biztos, hogy az algoritmusok és a természeti valóság egymásba vetítése nem veszélytelen dolog. Az emberi kultúra nagy része – különösen a művészetek – mindig is igyekeztek távol tartani magukat az algoritmusok túl feszes láncaitól, de újabban a természettudományokban is egyre erősebb az a felismerés, hogy a matematikai formba öntött utasítássorok, és végső értelmük, az ok-oksági viszonyok, vagyis mindaz, amit (fizikai) determinációnak szoktunk nevezni, a világegyetemnek csak abban a tartományában érvényes, amelynek a lépték-rendszere ismerős a számunkra, s amelyben az emberi cselekvés mindig is otthon volt. Minél jobban távolodunk azonban az általunk lakott makro-világtól, annál kevésbé hagyatkozhatunk az oksági viszonyok általunk ismert formáinak a hatékonyságára. Hogy ehhez a felismeréshez is éppen a szigorúan determinativ szellemű matematika segített minket (és itt a kvantumfizika eredményeire gondolok), az csak tovább bonyolítja a helyzetet. Ezért nehéz megválaszolni azt a kérdést, hogy vajon az emberi fantázia esett-e a nyelv (szerkezetének) a csapdájába, amikor a matematikát feltalálta, vagy fordítva, a nyelv lett a foglya annak a tőle független tüneménynek, amit matematikának hívunk. Ez az ősrégi filozófiai probléma továbbra is eldönthetetlennek látszik. Legfeljebb abban mutatkozik (legalább is a természettudományok terén) egyetértés, hogy a matematika által leírt viszonylatok valóságosak, és az algoritmusok, illetve a matematikai és logikai formulák nem az emberi fantázia szabadon csapongó termékei, hanem valóságos dolgokat és összefüggéseket jelölő szimbólumok.

Ami most már szűkebben a nyelvet illeti, annyi mindenképpen bizonyos, hogy a nyelvnek a matematikához, illetve az algoritmusokhoz közelálló szerkezeti struktúráját jól el tudjuk különíteni a többi tartománytól, és ez a rész a grammatika világa, s abban is a nyelvi szintakszis. Valami olyasmi tehát, ami szabályokból, utasításokból áll, és ezért erősen normatív természetű dolog. Van a grammatikának azonban egy olyan vonása is, amely – úgy tűnik – még a matematikánál is absztraktabbá teszi őt. Ez pedig az, hogy míg a matematika mögött többnyire a fizikai világ viszonylatait sejtjük (a számok ilyen értelmű szimbólumok), addig a szintakszis mintha csupán az értelmes emberi cselekvés egy részének az algoritmizálása lenne (vagyis a szimbólumok szimbólumait struktúrává szervező szimbolikus dolog). A grammatika ezúton már annyira távol kerül mindenfajta fizikailag is létezőtől, s annyira nem emlékeztet az „igazi” természetre, hogy az a benyomásunk támadhat, hogy a nyelvtan mi magunk vagyunk.

Ha azonban valaki – tegyük föl, hogy csak a benne reprodukált fraktálképek fantasztikus szépsége miatt – megvesz néhány, a káoszkutatás eredményeivel foglalkozó matematikai szakmunkát, akkor előbb-utóbb el kell, hogy gondolkodjon ennek a klasszifikálásnak az érvényességén. Arra a gondolatra kell ugyanis, hogy jusson, hogy a komputer képernyőjén megjelenő bonyolultan szép ornamentika – amelyről tudjuk, hogy nem egyéb, mint a komplex számok rendszerében végzett számítások eredményeinek a grafikaszerű kijelzése – talán mégsem szimbólum, hanem valóságos dolog! Mert bár a fraktálok csak bizonyos fajta algoritmusok, vizuális megjelenítésük mégis olyan erővel vezet minket vissza a természethez, (vagyis ahhoz a tartományhoz, amely még független a matematikai leírás determinativ szellemétől), hogy hajlamosak vagyunk az „algoritmizálás előtti” nyers valóságnak tekinteni a komputeren megjelenő képüket. Egyszóval a világ egy valós részének fogadjuk el azt, ami valójában nem más, mint virtuóz műszaki eszközökkel létrehozott és ezért messzemenően manipulatív módon generált grafika.

Ez a spontán ítélet hallgatólagosan arra a belső meggyőződésünkre épül, hogy a világ – dacára a természettudomány lehengerlő sikereinek – talán mégsem olyan borzasztóan racionális szerkezetű, mint ahogy azt az iskolában tanultuk, hanem túlnyomó részében inkább a véletlenre és az esetlegesre épül. Ezért is fogalmazunk többnyire úgy, hogy például az élettelent minden különösebb vizsgálat nélkül egyszerűen amorfnak nevezzük, a természettel kapcsolatban pedig hasonló nagyvonalúsággal azt a szót használjuk, hogy organikus. Ennek a két „lágyabb” kifejezésnek a hatáskörébe utaljuk a rajtunk kívül eső világ nagy részét, legyen az indokolt vagy nem, de igen sokat abból is, ami mi magunk vagyunk. Paradox, de úgy látszik igaz: a világ számunkra értelemmel bíró és akadálytalanul megközelíthető része nem az, amelyik a dolgok strukturális szerkezetéről adhatna számot (tehát nem az, ami nyelvi viszonylatban inkább a szintakszishoz áll közel), hanem az, amelyik az asszociációk és az analógiák homályosabb és nehezebben ellenőrizhető nyelvét beszéli. Ezek az organikus benyomást keltő és amorfabb összképet kínáló tartományok azok, amelyek közt jobban eligazodunk. Ennek van szemantikus értéke a számunkra, ez az, ami tényleg jelentéshordozó.

Benoît Mandelbrot matematikus
forrás
Mozaik-dísz · 13. század · Anagni, katedrális
A világ teremtése
Bible Moralisée · kb. 1250
Österreichische Nationalbibliothek, Wien
Leonardo da Vinci · Özönvíz
A nagy hullám Kacusika Hokuszai (1760–1849) japán festő és fametsző · 1823–29 · színes fametszet · Metropolitan Museum of Art, New York · forrás

Közelebb a komputerhez

Úgy tűnik, hogy az utolsó két-három év egyik legnagyobb természettudományos könyvsikere, Roger Penrose The Emperors New Mind (a magyar kiadás címe: A császár új elméje) című munkája is éppen annak köszönheti a karrierjét, hogy gondolatmenete erre az ismeretelméleti dilemmára épül.

A háttérben a komputertechnika és a vele párhuzamosan színre lépő „mesterséges intelligencia” nagy népszerűsége áll. Penrose – aki a mai matematikai gondolkodás egyik legragyogóbb képviselője, és ahogy azt a könyv felépítése és stílusa sejteti, egyúttal az oxfordi egyetemi kampusz egyik legkitűnőbb pedagógusa is – a huszadik század két első harmadának egész matematikai és elméleti fizikai fegyverzetét felvonultatja a művi intelligenciát, vagyis az algoritmusok mindenhatóságát övező naiv mítoszok leküzdésére (innen a címbe fölvett mesefordulatra, a király új ruhájára való célzás is). Furcsa módon azonban eszébe sem jut, hogy onnan gyűjtsön érveket, ahol azok egy csapásra közelebb hoznák a kérdést a megoldáshoz, vagyis a század utolsó harmadát forradalmasító káoszkutatás eredményeiből. Talán azért kerüli az ilyen vadonatúj kalandokat, mert már túlságosan is eljegyezte magát a huszadik század derekának nagy fizikai elméleteivel?

Penrose valószínűleg az egyik utolsó képviselője annak a zseniális nemzedéknek, amely Einsteinnel együtt, vagy őt szorosan követve lépett a porondra, és amelynek az alapképzettségéhez még hozzátartozik a klasszikus műveltség és a szinte muzikalitásig fokozott kulturális érzékenység is. Nem tudunk róla, hogy Einsteinhez hasonlóan ő is hegedülne, de hogy a számokat és a fizikai törvényszerűségeket a platóni értelemben vett ideaként tiszteli, az nyilvánvaló. Hozzá kell tennem: az olvasó szerencséjére!

Mert ebből a kissé „antik” ízű beállítottságból következik, hogy Penrose valami olyasmire vállalkozott, amire a modern korban különben alig van példa, nevezetesen egy Summa Physica megírására. Azért állíthatom ezt, mert hiszen a művi intelligenciát, mint méltatlan ellenfelet elhagyva, könyve nagyobbik részét végül is inkább a relativitáselmélet és a kvantumfizika kibontakozása óta eltelt problémák igen terjedelmes és magas szintű bemutatásának szenteli. És bár úgy indul a munka, mint egy, a műveltebb közönséget felvilágosítani igyekvő népszerűsítő pamflet, csakhamar elvezet a jelenkor tudományos kutatásait jellemző matematikai és logikai apparátus dzsungelébe is. Eközben aztán annyira átfogó jellegű summázássá dagad, hogy nem túlzás, ha az ősei után kutatva akár Aquinói Szent Tamás Summa Theologiaejához [A teológia összegzése, 1266–1273] nyúlunk vissza, ahhoz a harminchat kötetre rugó összefoglaláshoz, amely évszázadok óta úgy cseng vissza a fülünkben, mint egy véget nem érő harangszó. Penrose munkája azonban csak egyetlen vaskos kötetet tesz ki, de, hogy tényleg megértse, nem árt, ha harminchatszor rágja át magát rajta az olvasó.

A könyv egyik legragyogóbb része azt az elvont régiókban zajló küzdelmet mutatja be, amit az algoritmikus természetű levezetések igazolásáért, végső verifikálásáért vívtak a század első felében a logika művelői és a matematikusok. Russell, Hilbert és Gödel neveivel találkozunk itt, illetve annak az erőfeszítésnek a történetével, hogy megtalálják azt a logikai apparátust a matematikusok, amelynek segítségével minden további matematikai és logikai tétel az adott rendszeren belül is maradéktalanul igazolható. Hogy ez a kísérlet végül is Gödel ama felfedezéséhez vezetett, hogy ilyen igazolásra a matematika elvben sem lehet képes (ez a híres Gödel-féle eldönthetetlenségi tétel), az egy csapásra véget vetett azoknak a reményeknek, hogy a természettudományok gerince, a matematikai logika, önmagában zárt bizonyítási rendszere lehet majd a tudományos gondolkodásnak. Lám, még a matematika sem lehet meg az algoritmuson túli igazságok nélkül, hangoztatja Penrose, és meglehetősen széles rést nyit – ha nem is az irracionális – de legalább is a komplexebb, az intuíciót is a határai közé engedő gondolkodásmód számára.

Roger Penrose
a kötet adatai

Gödel teorémája ma már meglehetősen közismert, kevésbé számíthat azonban közkincsnek – legalább is a mi tájékunkon – Alan M. Turing életművének az ismerete. Turing lényegében az informatika és a komputertechnika területére terjesztette ki a Russelltől Gödelig ívelő kutatásokat. Már a harmincas években kidolgozta a mai komputerek logikai működésének a modelljeit, és azt a virtuóz logikai apparátust, amelynek a még virtuózabb transzparenciája ugyanakkor azt is megengedi, hogy ne csak a szakember modellezze vele az informatika lehetőségeit, de az érzékenyebb laikus is követni tudja ezek elképzeléseit.

Turing modelljei és a számológépekkel kapcsolatban fölállított elméleti maximái máig is a komputerelmélet és a programozási logika elvi ábécéjét képezik, hiszen segítségükkel (majdnem) minden matematikai és algoritmikai feladat „mechanizálható”, ami gyakorlatilag ugyanazt jelenti, mintha azt mondanánk, hogy meg is oldható. Turing eredményei azonban nagy szerepet játszottak abban is, hogy az ötvenes-hatvanas években, amikor Neumann János bábáskodásával megszülettek az első elektronikus számológépek, és a komputer elindult a világot meghódító diadalútján, a művi intelligenciához fűzött elvárások olyan eufórikus színezetet öltöttek, hiszen úgy tűnt, hogy az emberi intelligenciát is felülmúló gondolkodó gépek csak karnyújtásnyi távolságra vannak tőlünk.

Míg Penrose nagy tisztelettel ismerteti Turing modelljeit, persze nem állhatja meg, hogy a maga maliciózus módján ezekre az eredményekre rá ne licitáljon. Abból az algoritmikus modellből kiindulva, hogy a számokkal való műveletek maguk is újabb számjegyekkel szimbolizálhatók, vagyis hogy a szám egyszerre anyaga és műveleti utasításrendszere a komputernek, Penrose elvezeti az olvasót egy olyan (saját gyártmányú?) Turing-modellhez, egy olyan gép elvi konstrukciójához, amely minden elképzelhető művelet megoldására képes, és ugyanakkor csak egyetlen egy igen sokjegyű számból épül fel, decimális rendszerben kiírva egy kb. ezerötszáz számjegyből álló matematikai dinoszauruszhoz! Ez az univerzális szám-modell benne van a könyvben, s mi több, a sokszorosan hosszabb bináris változata is, hogyha kedve van, próbálja ki otthoni komputerén a nyájas olvasó. A szörnyeteg azonban nyilván soha nem került még gyakorlati alkalmazásra, és biztos, hogy nem is fog. Ez a gigantikus szám elvi jelentőségű, és azt bizonyítja, hogy alapjában véve mennyire primitív az algoritmusok építőkockáival való játék.

Az eszményített Turing-gép
működéséhez végtelen hosszúságú mágnesszalag szükséges

μ = 72448553353393175771983950396157112379523606725565596311081
4479660650505940424109031048362363235936b6444434583822268832787
676265561446928141177150178425517075540856576897533463569424784
885970469347257399885822838277952946834605210611698359459387918
855463264409255255058205559894518907165374148960330967530204315
536250349845298323206515830476641421307088193297172341510569802
627346864299218381721573334828230734537134214750597403451843723
595930906400243210773421788514927607975976344151230795863963544
922691594796546147113457001450481673375621725734645227310544829
807849651269887889645697609066342044779890219144379328300194935
709639217039048332708825962013017737272027186259199144282754374
223513556751340842222998893744105343054710443686987640517812801
943753081387063994277282315642528923751456544389905278079324114
482614235728619311833261065612275553181020751108533763380603108
236167504563585216421486954234718742643754442879006248582709124
042207653875426445413345174856629157429990950262300973373813772
4162I7274772361020678685400289356608569682262014198248621698902
609130940298570600174300670086896759034473417412787425581201549
3663

A Penrose által megadott „Univerzális Turing-gép” száma

Maga Turing érdekes módon jutott el ahhoz a határhoz, amit Gödel eldönthetetlenségi tétele markíroz: ha logikusan sorba vesszük a rendszeréből adódó lehetőséges gépmodelleket, akkor az ilyen Turing gépek között szükségszerűen fölbukkannak majd mindig olyanok, amelyek vagy el sem indulnak, vagy képtelenek leállni. Ez történik például akkor is, ha az „üres” helyeket járja végig a gép, mert nem tudja eldönteni, hogy a „végtelen sok” üres adat után vajon jön-e egyszer majd egy konkrét utasítást is tartalmazó mező. Elvi fontossága pedig akkor van az ilyen megállíthatatlanná vált Turing-gpeknek, ha éppen az az algoritmus fut rajtuk, aminek az lenne a feladta, hogy magára a rendszer helyes működésére vonatkozó kérdésekre adjon választ. Gödel nyomán maga Turing bizonyította be, hogy ilyen algoritmusok esetén a gép képtelen számot adni a saját helyzetéről – mondhatnánk, „soha nem végezhet a számolással…”. Olyan defekt ez, ami már-már a költői szépségű metafizika tartományaiba vezet. Másrészt azonban jól tudjuk, hogy egy gyerek is képes lenne átlátni a helyzetet. A banálisan hétköznapiba fordul át ilyenkor a filozofikusan elvont. A gyakorlatban rendszerint egyszerűbb feladatok közben fordulnak elő hasonló defektek, és nem jelentenek különösebb tragédiát. Ilyenkor, ha más nem segít, megnyomjuk a reject gombot. Magyarán, kihúzzuk a konnektort.

Penrose, aki természetesen nem nyelvész, és nem is pszichológus, kénytelen mégis ezeknek a humán területeknek a terminológiáját kikölcsönözni, hogy megmagyarázhassa, miért helyes a konnektor kihúzása. A „belátás” magasabbrendűségét hangsúlyozza. Majdnem ugyanaz ez, mintha azt mondaná, hogy a csupán szintaktikus elemekre épülő formalizálások soha nem helyettesíthetik akár a legegyszerűbb értelmes akciót sem, hisz a legegyszerűbb ilyen akció is komplexebb a tisztán algoritmikus struktúráknál. A szemantika minőségileg más, mint a formalizáció. Talán ezért kutatnak a mai műszaki szakemberek olyan lehetőségek után, amelyek fizikailag is közelebb állnának az emberi agyhoz (vagyis az egyértelműen definiált kapcsolási rajz helyett a „neurális hálók” holisztikus felépítését és kvázi-statisztikus működését igyekeznek ellesni), illetve ahhoz próbálnak utat találni, hogy az algoritmusok determinativ világát az analóg gondolkodás intuitív módszereivel egészítsék ki (s e felé vezetne az alakfelismerés aktusának és a több csatornán át végzett, korrekciókra is képes osztályozásnak a mélyebb szinten történő vizsgálata, és átültetése a mikroelektronikába).

Ezeknek a kutatásoknak a hátterében azonban továbbra is ott áll a Gödel-tétel fenyegető réme: mi lesz akkor, ha kiderül, hogy az utasításrendszerek csapdájából kivezető út is csak újabb algoritmikus utasításokkal irható le, és ezért vakvágányra vezet? Mely esetben csak egy új oldaláról ismernénk meg a régi csapdát. Hol van vége hát a formális logikának, és hol kezdődik az intuíció? Elképzelhető, hogy képesek leszünk egyszer arra, hogy a komplexebb gondolkodást, aminek oly fontos eleme a formalisztikusan nem determinált tartomány, anélkül modellezzük és komputerizáljuk, hogy előbb ne formalizáljuk?

A művi intelligencia lehetőségeivel foglalkozó irodalom ezeknek a kérdéseknek az árnyékába kerülve vált szerényebbé és óvatosabbá az utolsó évtizedben (miközben a kifejezést, „artificial intelligence”, a software-ipar egyik ágazata kebelezte be, és ezen a címen az úgynevezett „szakértői rendszerek” egy részét forgalmazzák manapság, azaz olyan programokat, amelyek egy-egy szűk szakterületen segítenek a döntések meghozatalában, mert gombnyomásra kimerítő bőségben tálalják az idevonatkozó sémákat, hasonlóan ahhoz, ahogy például a játéknyitás lehetőségeit tartalmazza egy-egy jól megírt sakkszakkönyv). Nem csodálkozhatunk hát azon, hogy a legtöbbet nem is a matematikai logika vagy a komputertechnika, hanem a pszichológia, a nyelvészet, valamint a tudományfilozófia tanult ezekből az inkább negatív tartalmú tapasztalatokból és vitákból (nagyon ajánlható anyagot nyújt ehhez a kérdéskörhöz annak a szimpóziumnak a könyvként publikált anyaga, amelyet a Filozófiai Társaság rendezett 1990-ben a budapesti Goethe Intézetben).

Még jól emlékezünk a Chomsky-féle generatív grammatikára, amelynek a népszerűsége a hatvanas években kulminált. Visszatekintve lehetetlen nem észre venni, hogy milyen szoros rokonság fűzi Chomsky munkásságát a Turing-féle algoritmikus számítógép-modellek világához. Lehetséges lenne, hogy ez az egybeesés is az „erős modernizmus” hatása volna, vagyis a korszak szelleméből táplálkozó és ezért kikerülhetetlennek bizonyuló gondolkodási stílus? Mind Turing, mind pedig Chomsky a formalizálható összefüggéseket vizsgálta, illetve az ilyen összefüggések új alakzatait igyekezett mesterségesen is „generálni”.

Turing nagy fontosságú kutatásai azonban csak közvetve hoztak közelebb minket a gondolkodás és az ítéletalkotás megértéséhez, nevezetesen azáltal, hogy bebizonyították: a komputer formális működésének a modellezése még nem modellezi a gondolkodást is. Chomsky pedig a maga egyedülálló absztraháló képességével talán még ennyit sem ért el. A generatív grammatika ugyanis – úgy tetszik – csak ott mutatkozott gyümölcsözőnek, ahol merev algoritmusait nem zavarták „jelentések”, vagyis nem a nyelvészetben, hanem a természettudományok egyik-másik ágazatánál. Itt a matematikai formalizmust egyszerűbb szerkezetek – például növények szárának-levelének – a generálozására használták (erre később még bővebben visszatérek).

Turing a változó időknek megfelelő népszerűséget élvez az angol nyelvterület szakmai köreiben. A Turing-gépek elméleti világa valahogy úgy él tovább az intelligencia emlékeiben, mint ahogy az első, működésre is képes kibernetikus háztartási gépek szerepeltek az ötvenes évek sajátos bájú science-fiction filmjeiben.

Ez volt már érezhető Penrose könyvében is, s még frappánsabban jelentkezett akkor, amikor néhány napja (afféle zsákbamacska ajándékként) egy Windows-környezetbe illeszthető software-csomagot kaptam Amerikából. A miniprogramok között volt egy Termita nevű is, amely arra képes, hogy a képernyőn furcsa nyüzsgésből álló, és egyre növekvő színes kupacokat hozzon létre, afféle hangyabolyt a benne vibráló rovarélettel együtt. A kísérő dokumentációból aztán kiderült, hogy a program az algoritmusok legegyszerűbb működtetésének, nevezetesen a Turing-féle utasításolvasásnak a képi megjelenítéséből áll, vagyis az látszik a monitoron, ahogy a program raszterpontról raszterpontra haladva követi az előírásokat, megáll, fordul, olvas, töröl, átír, mocorog. A paraméterek megváltoztatásával sikerült is aztán elérnem, hogy mozgása sokkal jobban tükrözze a Turinghoz méltóbb racionális szellemet, a „matematikát”, és ne legyen annyira hangyabolyszerű. Jóllehet ezzel nagyot vétettem a software eredeti koncepciója ellen, hiszen úgy érkezett a csomag, mint „komputerjáték”. Sic transit gloria mundi…

Még egy szót Penrose-ról. Könyvében sort kerít a fraktálokra is, mint a komplex számok platóni értelemben vett valóságát szuggeráló fantasztikus élményről. Csak mellékesen említi meg, hogy a Mandelbrot-halmaz és társai a komplex dinamikus rendszerekhez tartozó objektumok, vagyis azoknak a káosz és a rend határán álló jelenségeknek a körébe vonhatók, amelyekkel a munkájuk során először az „alantasabb” alkalmazott tudományok kutatói, a biológusok, kémikusok és meteorológusok találkoztak. Ezért aztán ők voltak azok is, akik először írták le ezeket (a többnyire „disszipativ dinamikus rendszereknek” nevezett) jelenségeket – és nem a matematikusok. Penrose reakciója is jól illik ebben a képbe. Érdeklődése inkább valami olyasmire irányul, ami ugyan nagyon is méltó a Royal Society egyik világhírű tagjához, de fejcsóválásra késztetne minden kezdő fraktálkutatót. Kísérletet tesz ugyanis annak megállapítására, hogy a Mandelbrot-halmaz véges tartományban maradó (a grafikán feketén megjelenő) tagjai rekurzív rendszert alkotnak-e, azaz létezik-e olyan algoritmus, amelynek segítségével az ilyen fraktálok „teste” pontosan kiszámítható.

Mint ugyanis ismeretes, a Mandelbrot-fraktált generáló

\[ z\rightarrow z^{2}+c \]

képlet nemcsak a halmazhoz tartozó „almaemberke” fekete foltját rajzolja ki, hanem ugyanúgy „kiszámítja” a komplementer halmazt is, vagyis a foltot körülvevő fehér tartományt. Maga a képlet mindkét tartományra egyaránt érvényes, hiszen a komplex számok összességén dolgozza át magát, amíg a komputeren fut. Az a funkciója pedig, hogy eközben eldönti, hogy az egymásután kiszámított értékek közül melyik tartozik a fekete, illetve a fehér tartományhoz, tulajdonképpen csak másodlagos teljesítmény, és sem elvben, sem pedig gyakorlatban nem lehet végtelenül pontos. Penrose kérdése mármost az, hogy találhatunk-e olyan képletet, vagy képletsort, amelynek a segítségével a komplex számok tengeréből éppen eme nevezetes fekete folthoz tartozókat tudnánk definiálni. Mintha nem lenne tisztában azzal, hogy a $z\rightarrow z^{2}+c$ algoritmus a nem-lineáris természetű sorokhoz tartozik, s ezért benne a „fekete folthoz” tartozó értékek sem adhatnak ki algebrai úton definiálható kontinuumot! A megrökönyödött olvasót aztán meglehetősen kárpótolja az a virtuozitás, ahogyan a szerző ezt a hajánál fogva előráncigált kérdést a matematikai igazság (bizonyos értelemben tehát megint a Gödel-tétel és környéke) izgató kérdéseinek a megvilágítására használja fel. És még arra is jut ideje Penrose-nak, hogy – hasonlón ahhoz, ahogy a Naphoz közeledve és fényes csóvát húzva az üstökös is felizzik – az ő gondolatmenete is forduljon egyet a matematikai komplexitás-elmélet még megoldatlan problémái körül. Amitől aztán az egész fejezet (szinte már valami felfoghatatlanul fehér fényben) mégiscsak felragyog.

Kevésbé az olvasó, aki két markában igyekszik fogva tartani azt a keveset, amit megértett. Szükséges és hasznos, hogy az ilyen könyvek hamuvá égessék a hangyaszorgalommal felépített kicsinyke jártasságunkat a témában, és lerombolják a további munkához szükséges magabiztosságunkat? Tudom, hogy ha megint az „erős modernizmus” forszírozott elvontságát emlegetném Penrosé-val kapcsolatban, akkor csak annyit érnék el, hogy elárulnám, savanyú a szőlő. Mégis megemlíteném, hogy mi jutott nekem az eszembe, amikor először láttam ezeket a fraktálokat egy nagy technikai ügyességgel megvalósított televíziós műsor jóvoltából. Meg vagyok ugyanis győződve arról, hogy a képernyő előtt ülve több tízezer ember jutott ugyanerre a gondolatra, így hát feljegyzésre méltó a dolog.

A fraktálokkal való első találkozás és az ebből adódó kérdések

Mint minden idevonatkozó illusztrációs anyag (a könyvek is!), ez a műsor is azzal a hálás trükkel élt, hogy először bemutatta az „almaemberkét”, úgy, ahogy az a komplex számok síkján körülbelül ott, ahol (a valós és az imaginárius számokat jelző) $x$ és $y$ tengely találkoznak, elhelyezkedik. (Ezen a tartományon kívül a „semmi” van, mert a képlet erre a területre vonatkoztatva nem eredményez konkrét értéket, itt az algoritmusa végtelenbe fut ki.) Ezután ebből az egész kozmoszt bemutató magasságból alásüllyedve elmerült a kamera az alakzat körvonalait körülfonó végtelenül bonyolult ornamentális rendszerben, ahol a kanyargó indák között az eredeti „almaemberke”-forma vált megint felismerhetővé. Majd pedig ennek is az indái között az újabb és még kisebb „almaemberke”-alakzatokkal találkoztunk, az ezerszeres, milliószoros stb. léptékváltásnak megfelelő újabb és újabb nagyításban, mígcsak az ember meg nem értette, hogy ez az alámerülés anélkül, hogy az összkép eközben bármiben is szegényebbé vagy elnagyoltabbá válna, a végtelenségig folytatható. A számsor ugyanis lefelé, a tizedes törtek világában ugyanúgy végtelenül hosszú, mint felfelé. A kérdés most már az: a Mandelbrot-halmazra tekintve nem ugyanazt látjuk-e, mint amit egy Isten látna akkor, amikor a teremtésre néz? Más szavakkal, vajon nem arról van-e itt szó, hogy talán először a történelem folyamán e fraktál jóvoltából megfordult az emberi perspektíva? Mert nem a Földről, erről az apró porszemről fordítjuk tekintetünket a beláthatatlan világmindenség felé, hanem ellenkezőleg: az egész felől nézünk a részletek irányába. És úgy találjuk, hogy ezek a részletek ugyanúgy a végtelenbe tágulnak, mint a valóságos kozmosz. Mintha az, amit az erős nagyítás során láthatunk, csak azért követelné ezt a zoom-effektet, mert nem a nagyon kicsiny formák világához tartozik, hanem mert nagyon-nagyon távoli dolog.

Alan Turing
(1912–1954)
angol matematikus

Az élményhez természetesen hozzá tartozik a Mandelbrot-halmaz ama tulajdonsága is, hogy az örökké ismétlődő alapformát mindig más környezet, az újabb és újabb ornamentális alakzatok atmoszférája veszi körül, amelyben – ha van hozzá türelmünk – szinte az egész organikus világ formai ábécéjét föllelhetjük. Tulajdonképpen csak azért érdemes a milliószorosan kicsiny részletekben is elmerülnünk, mert az utazás nem válik unalmassá, ez a formai megújulás soha nem merül ki. Ha már most az emberi megfigyelő helyzetét jellemezve visszatérünk az előbb használt „Isten” képzetéhez, akkor azzal kell azt a hasonlatot kiegészítenünk, hogy a szóban forgó Isten úgy látszik már „elfelejtette”, hogy mit is teremtett, és most éppen azon van, hogy kíváncsian keresse – és látjuk, hiába teszi ezt! – hogy e határtalan kozmoszban valami „végső pontot”, valami szilárd fogódzkodót találjon.

A komplexitásnak ez a mélysge annak, aki előszr találkozik vele, szinte hihetetlennek tűnik, különsen ha arra gondol, hogy ezt a mindenséget eredetileg milyen egyszerű algoritmikus képletből generáltuk, nevezetesen a $z\rightarrow z^{2}+c$ formulából. Nem sokkal azután, hogy a fraktálokról szóló televíziós műsort láttam, furcsa összefüggésben találkoztam ezzel a paradox kérdéssel. A színes fraktálképek, talán éppen a valóságos világ struktúráival való hasonlóságuk révén, erős esztétikai rezonanciát képesek kiváltani a nézőkből, és ez a hatás független az emberek szakmai érdeklődésétől vagy kulturális szintjétől. Az ilyen, a társadalmi rétegződés különbségein túllépő vizuális anyag persze kitűnően alkalmazható a legszélesebb körű reklám céljaira is, nem csodálkozhatunk tehát azon, ha a nagy cégek és bankok kapva kaptak a lehetőségen, és színes műnyomású naptáraikat fantáziadús fraktálképekkel illusztrálták. Nem így a nagy tekintélyű Deutsche Bank, amely megmaradt a hagyományos stílusú „művészi” grafikáknál. Mikor ennek kapcsán a Die Zeit a Deutsche Bank által favorizált képzőművészt meginterjúvolta, az a matematika szófukarsága és az „igazi” művészet információgazdagsága közötti különbségre való hivatkozással válaszolt: – „minek az egész körülményesen előállított színes nyomat, ha tartalmát a szimpla $z\rightarrow z^{2}+c$ képlettel is kifejezésre lehet juttatni?”.

A fraktálképek lehetséges (vagy eleve kétségbe vonható) művészi értékére még visszatérek majd. Ami pillanatnyilag fontosabb, az az a kérdés, hogy igaza volt-e a grafikusművésznek, amikor a Mandelbrot-halmaz képletét azonosította a vele generált fantasztikus rajzolatú fraktálképpel? Amikor egyenlőségjelet tett a néhány betűjelből álló formula és a vele generált, és felmérhetetlen gazdagságúnak tűnő vizuális formavilág között?

Több matematikust véleményét is kikértem e tárgyban, és a válaszok inkább arra hajlottak, hogy a képlet ugyanazt az információt kell, hogy hordozza, mint a képernyőn látható ábra – ámbátor volt olyan szakember is, aki szerint ez azért nem lenne ilyen egyértelműen állítható. A kérdés – úgymond – márcsak azért is nehezen megválaszolható, mert eleve nem matematikai problémára irányul. Hogy a téma új, és hogy még hiányzik valamilyen általánosan elfogadott konvenció, az nyilvánvaló. E helyzetben kétféle nézőpontunk lehet, és ennek megfelelően kétféle válaszunk is. Az egyik megközelítés az adott képletet egy adott matematikai objektum komprimált formájának tekinti, és rögtön azt kérdezi, hogy mi lehet e tömör forma, valamint a belőle kifejthető objektum tartalma, s innen a válasz is: a kettő szükségszerűen azonos. A másik nézőpont a képletet csak afféle utasítási kódnak fogja fel. E kód csak az eljárás lépéseit írja elő, és mint ilyen, eleve más kell, hogy legyen, mint eljárás végén előálló eredmény.

A kétféle nézőpont közötti különbség annál abszurdabbá válik, minél komplexebb az az objektum, amit egy bizonyos kód generál. A Mandelbrot-halmaz esetében például a képlet – implicit! – ugyan tartalmazza már a fraktált, de ugyanúgy a komplementer halmazát is (ne feledjük, a kettő szétválasztására keresett Penrose is megfelelő számolási módot!). Hogy miként néz majd ki – explicit! – az elkészült fraktál, az erre adott grafikai válasz tehát már tisztán matematikailag is információtöbbletet kell, hogy tartalmazzon. És ehhez a matematikai többlethez járul egy további tényező, amely szintén a komplexitással függ össze, mégpedig az időfaktor. A fraktálképletek „kibontása”, iterálása – vagy más komplex objektumoknál: az infinitezimális számolás végrehajtása – nagy apparátussal végzett megközelítési módszer, amelynek mindig van egy igen hangsúlyos és dinamikus időfaktora is. Elismerem, hogy ennek a tényezőnek a számbavevésével már elhagytuk a matematika szűkebb területét, és a komplex energiaformák vizsgálata felé tettünk egy lépést. De megengedhetjük magunknak azt a luxust, hogy ne vegyünk tudomást a dolgok nyilvánvaló összefüggéséről?

Ezek közé az összefüggések közé tartozna az is, hogy észrevegyük, hogy az ilyen rendszerek nem a légüres térben állnak, magyarán: ahhoz, hogy a fraktál alapképletéből megkapjuk a nála sokkal komplexebb fraktálképet, nemcsak energiára és időre van szűkségünk, hanem megfelelő médiumra is. És ahogy az alapképlet csak egy kód volt, amelyből a fraktált generáltuk, ugyanúgy ez a fraktál is csak a kód szerepét játssza a médiummal való összmunkájában. A kiszámított fraktálhalmaz – akár kijelezzük a komputer képernyőn, akár nem – már nem puszta matematika, hanem jelentős mértékben mikroelektronika is.

Ezt talán nem könnyű azonnal belátni, de plasztikusabbá válik a kép, ha nem a komputert tekintjük a fraktálok „partnereinek”, hanem olyan „médiumokat” , amelyek már a komputer megjelenése előtt is jelen voltak a világban, és ősidők óta egyfajta szimbiózisban éltek a fraktális matematikával. Egész egyszerűen az élőlények genetikai kódjára gondolok, amelyek biokémiai „médiumok”. Az ilyen genetikai kódok szerkezetében egészen prímér, matematikai szinten, gyakran találni még elemibb kódrendszert, ami fraktális matematikai utasításokat hordoz. Ez lenne tehát a „kód a kódban” és az a „médiumban” szimbiózis egyik legelterjedtebb esete. És egyúttal kitűnő modell arra is, hogy megértsük, honnan „szívja el” eme többszörösen kódolt rendszer azt az energiát, amire szüksége van ahhoz, hogy „kibontakozzon” – magából a szóban forgó organizmusból. Az újabb kutatások nemcsak konkrét adatokkal igazolják ezt a fel a feltevést, hanem meghökkentő vizuális példákkal is szolgálnak. Így például kiderült, hogy fraktálisan kódolt a zebra csíkozása is. Vagyis ez az állat nem más, mint egy négy lábon futkosó, és fraktálképet magával hordozó komputermonitor.

Hogy a fraktálokat több szinten működő és az információs értékek különböző fokozatai között mozgó kódként kell elképzelnünk, amelyek végső formájukat csak valamilyen médium segítségével kaphatják meg, az meglehetősen érdekes fordulat. Mégis, meg kell vallanom, hogy engem tulajdonképpen a fraktálképek szemantikai vonatkozása érdekel igazán. Vagyis az a kérdés, hogy miért merülnek fel bennünk „értelmes” gondolatok, vagy legalább is a természeti valóságra vonatkozó asszociációk, amikor olyan, tisztán algoritmikus eredetű kódok munkáját látjuk, mint amilyenek a fraktálok?

Determinált káosz

Az út, amelyen előrehaladunk, egyre inkább interdiszciplináris jellegű. Egy időre búcsút kell mondanunk a komplex számok síkján generált fraktáloktól is, mert – mint látni fogjuk – az önszerveződésnek az a dinamikája, amit egy fraktálképlet grafikai megvalósulása közben figyelhetünk meg a monitoron, sokkal általánosabb érvényű, mintsem azt eredetileg feltételeztük volna. Mindenütt jelen van, ahol a megfigyelőnek az az illúziója támadhat, hogy a természet mintha nem engedelmeskedne a termodinamika második törvényének. Vagyis ahol látszólag megmagyarázhatatlan módon gyarapodik az információ.

Mandelbrot-halmaz
(zoom-effekt)
Mandelbrot-halmaz
Mandelbrot-halmaz
Mandelbrot-halmaz

Mint tudjuk, a termodinamika második törvénye alapján egy zárt rendszeren belül szükségszerűen fogy az értékesíthető energia mennyisége, ezzel a veszteséggel arányosan nő viszont az entrópia, vagyis az, ami hővé fecsérelődött el. Ez a folyamat nem megfordítható. Ritkábban hallunk viszont arról, hogy ez a kölcsönös viszony az információ és az entrópia között is fennáll.

Mivel az információ nem más, mint magas fokú rendezettség, és mert az entrópia ennek az ellentéte, vagyis rendezetlenség, az entrópia feltartóztathatatlan növekedéssel arányosan fogynia kell az információ mennyiségének is. Ez a törvény a világmindenségre vonatkoztatva mindenfajta szervezettség fokozatos leépülését jövendöli meg, és azt mondja ki, hogy a „hőhalállal” együtt az információhalál is bekövetkezik majd. Nagy vonalakban semmit sem változtathatunk ezen az információveszteségen. Mennyire merev azonban ez a törvény a hozzánk közelebb álló kisebb léptékrendszerekre vonatkoztatva?

Hogy az élőlények a külvilággal folytatott anyagcseréjük során képesek megkerülni a termodinamika eme második törvényét, mert entrópiát „exportálnak”, sőt, hogy energiaháztartásukat úgy tartják egyensúlyban, hogy eközben az entrópia-exportjukat még túl is kompenzálják, és ezúton információtöbblethez jutnak, az már jó ideje elfogadott nézet volt. De azt az feltételezést, hogy fizikai, kémiai, illetve biokémiai folyamatok is létezhessenek, amelyek hasonló viselkedésre képesek, azt akár még húsz évvel ezelőtt is a mesék birodalmába tartozó dolognak tartotta volna minden komoly tudós. Ilya Prigogine azonban éppen ezeknek az általa disszipativ rendszereknek nevezett jelenségeknek a fölfedezéséért és részletes leírásáért kapott 1977-ben Nobel-díjat. A disszipativ rendszerek az egyensúlyi állapottól távol eső makroszkopikus folyamatok, amelyeknek a dinamikája nem-lineáris szerkezetű, és amelyek időben és térben olyan összehangolt mozgásokat végeznek, hogy annak eredményeképpen bizonyos önszerveződésre is képesek. Ilyen információban gazdag és szabályos mintákat követő örvényformákat képesek felépíteni például az edényben melegített folyadékok, vagy bizonyos, bonyolult struktúrát kirajzoló, és ritmikus pulzálást követő kémiai reakciók, illetve a ciklonok stb.

Prigogine bizonyára érdekes beszélgetést tudna folytatni a fraktálokról a Deutsche Bank naptárja kapcsán megismert grafikusművészünkkel, de ettől eltekintve mindaz, amit itt elmondtam, tulajdonképpen csak az iskolai lecke felmondása volt. Izgatóbbá válik a téma, ha két további körülményt veszünk tekintetbe. Az egyik az, hogy a Prigogine-féle kutatások arra vezettek, hogy a káoszt illető újabb tudományos elképzelések sok szempontból a régi mitikus káoszképzethez hasonlítanak. Vagyis a káoszt dinamikus, kreatív erőnek tekintik, és különbséget tesznek a kaotikus turbulencia, valamint a tényleg semmi hasznosíthatóval nem szolgáló háttér teljes „rendetlensége” között. Ennek ugyanis tényleg semmi köze sincs a káoszhoz, annál több viszont az entrópiához.

A másik érdekes szempont az, hogy a káoszt uraló nem-lineáris mozgásformák lényege roppant egyszerű dologra vezethető vissza, a visszacsatolás elvére.

Tulajdonképpen minden az életünkben előforduló folyamat tartalmaz visszacsatolásos mozzanatokat, mert a dolgok nem valamilyen sterilen ideális közegben történnek, hanem saját útközben megvalósított eredményeikre építenek, és ezek a részeredmények azok, amelyeket újra és újra megváltoztatják a kiindulási pontot, új irányt adnak a „számolásnak”, amelyek tehát állandón „generálják” a káoszt. Egy növény csak úgy és ott, és csak olyan irányban képes rügyeket fejleszteni, ahogy azt az előző évben nőtt ágai megengedik, a tőzsde azokkal az értékekkel nyit, amelyekkel az előző napot zárta, a mai időjárás pedig csak annak az időnek a módosulása lehet, ami a tegnapi volt stb. Mindezek a „tegnapi” adatok pedig „tegnapelőtt” még abszolút ismeretlenek voltak. Mi több, kiszámíthatatlanok!

A visszacsatolás elvéből következő kaotikus komplexitás már a Newton-féle dinamika keretei között is jelen volt, és – például a híres „három test probléma” formájában – néha megoldhatatlan számítási feladatokra vezetett. Mivel a kutatók számára az ilyen kilátástalan problémákkal való találkozás kevés eredményt, ám annál több stresszt ígért, a visszacsatolásos sorok és fizikai jelenségek behatóbb vizsgálatát a legutóbbi időkig nagy ívben ki is kerülte a tudományos fejlődés. Ezen a helyzeten először csak a komputerek korlátlan számolási kapacitása változtatott, a számítógépekkel felszerelve már neki lehetett vágni a kaotikus sorok rengetegének. Mindazonáltal figyelemreméltó, hogy sem a relativitáselmélet, sem pedig a kvantumfizika nem járult eddig hozzá ennek a területnek a gazdagításához, és a kutatók körülbelül ott vették fel a fonalat, ahol Poincaré és néhány más matematikus csaknem száz évvel ezelőtt a kérdést elnapolták. Az utolsó két évtizedben aztán az a káoszkutatás mintha megpróbálta volna behozni a mulasztottakat. A káoszról olvasni ma egyenesen divatos.

Ha valaki azt kérdezné tőlem, hogy milyen könyvet ajánlok annak, aki szeretné megismerni a káoszkutatás elvi alapjait, akkor az illetőt arról a sokféle népszerűsítő kötetekről, amelyik e tárgykörben megjelenik manapság, csak lebeszélni tudnám. Sokkal gyümölcsözőbb, ha komoly kutatók középnehéz szinten írt munkáihoz nyúlunk. Ezek, bár nem könnyű olvasmányok, megbízhatók, arról nem is szólva, hogy mindig tükröznek valamennyit a kutatás legfrissebb állapotáról is, és mindig megtalálható bennük az igazi tudóst jellemző lényeglátó szemléletesség és kreatív izgalom.

Én a német nyelvterület két zsebkönyv karcsúságú munkájából tanultam a legtöbbet. Az egyiknek a szerzője Werner Ebeling, aki a káosz–rend–információ összefüggések fizikájáról adott összefoglaló képet. A másik kötetet Walter Seifritz írta. Erről az lehet a benyomásunk, hogy az infinitezimális matematika ismerete nélkül csak főbb vonalaiban érthető. Hogy megvigasztaljam az olvasót: Seifritz törekvése nem az, hogy számtant nyújtson, hanem, hogy szemléletet adjon, és csak ennek a szemléletnek a megalapozásaként foglalkozik részletesen azzal a matematikai technikával is, amellyel a világunkban előforduló bonyolult fizikai, biológiai és társadalmi mozgások leírhatók, illetve (a kiszámíthatatlanságuk határai között!) kiszámíthatók.

A két kötet jól egészíti ki egymást. Ebeling ugyanis „még” jellegzetesen műszaki beállítottságú tudós, akit racionalizmusa arra inspirált, hogy könyvét a jövő komputerelméletével, a heurisztikus elvű informatika körvonalazásával zárja. Seifritz viszont olyan matematikus, akit már megérintett Hlderlin szelleme is. Noha egyetlen sora sem téved a metafizika területére, kutatásai mégis az emberi tökéletlenség mechanizmusának és a történelem szeszélyes struktúrájának a megértése felé vezetik az olvasót. Könyvének egyes fejezetei olvasva az lehet az érzésünk, hogy egy új Hellász rémlik fel e képletek nyomán, amelynek az ethosza a determinált káosz megismeréséből származó „új szerénységünk” lehetne, optimizmusát pedig annak belátása alapozhatná meg, hogy a jövő, éppen a káosznak köszönhetően, elvileg is megismerhetetlen és – éppen ezért – nyitott.

Vannak a káosz-elméletnek olyan alapmotívumai, amiket egyetlen szakmunka sem kerülhet ki, legfeljebb szerzője válogatja, hogy ki mit favorizál, melyik mozzanatnak adja a főszerepet. Ebeling ragyogó módon egyesíti a termodinamikából kifejtett kérdéseket a Prigogine-féle kutatásokkal. Az eredményt kozmológiai nagyságrendben is fölvázolja, és ebben a képben új részletekkel egészül ki az entrópia egyetemes növekedésének a kérdése is, mert megszűnik egyszerű „árvíz” lenni, amelynek a szintje a beléje esőző elhasznált energia révén egyszerűen csak nő és nő. Ebeling modellje a „foton-malom”. Ennek működését egy vízeséshez hasonló rajzon érzékelteti: a csillagok sok ezer Kelvin fokos fotonsugárzása a „patak” felső medre, ahonnan az energia az univerzumban egyenletesen eloszlott „háttérsugárzás” 3 Kelvin fok hidegségű tengerébe hull alá, és eközben meghajtja azt a lapátkereket, a „malmot”, amely a világmindenség evolúciójának a motorja.

Mivel Ebeling rajza csak az energia sematikus szintkülönbségeit tünteti fel, megpróbálkoztam egy részletesebb vázlattal is, amelyen a kaszkádszerűen aláhulló energiaeső megkapná azt az örvénylően fodros szegélyvonalat, amely azáltal áll elő, hogy a természet disszipativ rendszerei entrópia-exportjuk segítségével megpróbálják a folyamatot feltartóztatni, és ezáltal információtöbblethez jutni.

Erről a rajzról leolvasható, hogy az energiaszint nem egy egyenes vonal mentén süllyed alá a háttérsugárzásba, hanem eközben fraktálszerűen ki is rojtosodik. Ezen túl azonban, ha az ábrára nézünk, még az is felmerülhet bennünk, hogy feltegyük a kérdést: az anyagnak az univerzumban megfigyelhető „csomós” eloszlása (tehát a csillagok, galaxisok és szupergalaxisok léte) vajon nem egyszerűen azzal magyarázható-e, hogy az ősrobbanás (vagy más korai stádium) fizikai kódja fraktális elemeket is tartalmazott? Ez esetben ugyanis az anyag csomósodása a fraktáloknál ismert önszerveződés útján történne, és mint ilyen, szükségszerűen következne be. Ellentétben a ma ismert paradigmákkal, amelyekből tulajdonképpen az anyagnak a világűrben való egyenletes eloszlása következik, és ami aztán arra kényszeríti kutatókat, hogy bonyolult segédelméletekkel magyarázzák, hogy a világ miért nem homogén.

Mandelbrot az említett könyvében szentel ugyan egy fejezetet a galaxisok eloszlásának fraktális dimenziójáról, de nagy önfegyelemmel tartózkodik attól, hogy az univerzum evolúciós kérdéseivel kösse össze a tisztán fraktálgeometriai elemzéseket. Úgy tetszik tehát, hogy a probléma tényleg messzemenően kidolgozatlan még. Amennyiben azonban igazolódna a fenti feltevés, akkor az elmélet mintegy ráadásként talán megajándékozhatna minket még egy szépnek ígérkező következménnyel. Nevezetesen azzal, hogy a kozmosz fraktálisan determinált szerveződése rögtön azt is világossá tenné, hogy nem a disszipativ rendszerek „kényszerítik ki” az energiaszint helyi örvényléseit (tehát az egyetemes entrópianövekedés ellen forduló lokális túlkompenzációt), hanem fordítva van ez – az egyetemes struktúra az, ami fraktális, és csupán ennek apró fodrait figyelhetjük meg kicsinyke világunk komplex rendszereiben –, ezt a végszót diktálja különben a fraktálok léptékváltását szabályozó önhasonlóság elve is. A világ kreatív!

A makroszkopikus rendszerek számunkra legfigyelemreméltóbb vonása a növekedés, és ha az ilyen rendszerek működésébe belekalkuláljuk az állandó visszacsatolás következményeit is, akkor ahhoz a belátáshoz jutunk, hogy a növekedés szeszélyes, nem-lineáris formát kell, hogy öltsön. A kaotikus fordulatok, amelyek annyira zavarba hozzák az embert, csupán ennek a nagyon is determinált mozgásformának a következményei. Nem írhatjuk őket tehát a környezet zavaró hatásainak a számlájára sem – ahogy ez addig szokás volt –, mert minden külső beavatkozás nélkül magukból a dinamikus rendszerekből születnek. Az egyetlen, amit tehetünk, az, hogy megpróbáljuk megérteni a nemlineáris növekedés törvényeit. Ezzel ugyanis közelebb juthatunk a látszólag kiismerhetetlen folyamatok lényegéhez, és az irracionalitásukat is feloldhatjuk egy bizonyos mértékig. Erre az alapgondolatra épül Walter Seifritz könyve.

A munka matematikai alapvetéséhez tartozik egy immáron százötven esztendősnek mondható képlet is, amely sokáig jelentéktelen helyet foglalt el az alkalmazott matematika peremvidékein. P. F. Verhulst, aki a biológiai populációk növekedésére keresett megfelelő egyenletet, 1845-ben két tényezőt egyesített a róla elnevezett formulában. Az egyik azon a törvényszerűségen alapult, hogy egy állatfaj egyedeinek a száma, ha semmi nem fékezi a szaporodásukat, exponenciális arányban növekszik. Vagyis ha a populáció kezdetben $x_{o}$ volt, akkor n esztendő múlva

\[ (1+W)^{nx}_{o} \]

lesz, ahol W a szaporodási ráta. Verhulst azonban azt feltételezte (és ez volt a képletének a második tényezője), hogy ez a szaporodási ráta maga is az x_{n} funkciója, vagyis értéke attól függ, hogy hányadik generációról van szó. Ennek jelölése

\[ W=w(1-x_{n}) \]

ahol w egy olyan konstans, amit növekedési paraméternek nevezhetünk. Belátható, hogy, ha $x_{n}$ értéke az 1-hez közeledik, akkor a W, a növekedési ráta is addig csökken, míg csak nulla nem lesz. Azaz túl magas populáció esetén leáll a fajta további terjedése (mert például elfogy az eleség), és egy időre annyira lefékeződik a szaporodás, hogy a populáció nagysága akár mélyen a kezdeti értékek alá is zuhanhat. Ha a két tényezőt egyetlen képletbe egyesítjük, akkor felírhatjuk a mindenkor esedékes következő nemzedék populációjának a nagyságát, az $x_{n+1}$ értéket. Veszem magamnak azt a bátorságot, hogy a levezetés egyes lépéseit átugorva itt mindjárt abban az alakban írjam fel a Verhulst-képletet (szokás egyszerűen Verhulst-dinamikának is nevezni), ahogy az ma szokásos:

\[ x_{n+1}=4\lambda x(1-x_{n}) \]

ahol $\lambda$ a korábban $w$-vel jelölt növekedési paraméter. Ez a $\lambda$ a következőkben centrális szerepet kap majd.

Bárki ellenőrizheti ugyanis zsebszámológépén, hogy ha a $\lambda$ értékét nulla és egy között variáljuk, akkor a populáció sorsára vonatkozóan olyannyira különböző karakterű eredményeket kapunk, mintha nem is ugyanabból a képletből indultunk volna ki. Ha például $x$ kezdeti értékét 0,05-nek vesszük fel, és $\lambda$-nak 0,5-öt választunk, akkor nyolc iterációs lépés után már nem változik tovább az eredmény, $x*=0,5$. A populáció tehát stabilizálódik (és ez független attól is, hogy milyen $x$ értékkel kezdtük a számítást!).

Teljesen más eredményt kapunk azonban akkor, ha változatlan $x_{o}$ mellett $\lambda=0,8$-al számolunk. Ekkor ugyanis két érték között fog az $x$ oszcillálni, mégpedig (megközelítően) 0,51 és 0,80 között (és persze, végső soron, most is mindegy, hogy milyen $x$-el kezdtünk). Ilyenkor tehát egy-egy fajta szaporodásának a természetből is jól ismert periodikus ingadozása lép fel.

Egy harmadik változat akkor alakulhat ki, ha $\lambda=1$ értékkel számolunk. Ekkor akármeddig folytathatjuk az iterációt, az eredmény soha nem fog egy bizonyos értéknél stabilizálódni, sem pedig valamilyen periodikus ritmust fölvenni. A populáció minden látható törvényszerűség nélkül kaotikusan változik az idők végezetéig.

És ezzel máris eljutottunk a determinált káoszhoz, hiszen a teljes összevisszaságnak ez az esete matematikailag szigorúan meghatározott! Bár az iterációs sor egyetlen tagjának az értékét sem tudjuk előre megsaccolni, ezek az értékek a számolás megismétlésekor mindig azonosak lesznek. A determinisztikus káosz tehát – noha megzabolázhatatlan – mégis bármikor reprodukálható.

Ha grafikailag ábrázoljuk azt a folyamatot, ahogy a λ nagyságának a változtatásával a populáció először egy értéknél stabilizálódik, majd két ágra szakad (bifurkáció), hogy aztán újabb osztódások után egyre több érték közt ingadozzon, míg csak ez a mozgás kaotikussá nem válik, akkor megtehetjük azt is, hogy törvényszerűségeket keressünk ebben a grafikában. Ezt tette 1978-ban egy amerikai matematikus, Feigenbaum is, aki nemcsak a Verhulst-dinamika bifurkácós pontjait vizsgálta meg, hanem más matematikai, fizikai és kémiai folyamatok számos olyan esetét is, amelyek csak abban voltak közösek, hogy négyzetes maximumú iterációs funkciók voltak, tehát dinamikus növekedésük előbb-utóbb kaotikus turbulenciához vezetett. Feigenbaum úgy találta, hogy ezeknél a folyamatoknál a bifurkációs pontok mindig azonos arányban követik egymást, mégpedig úgy, hogy minden következő bifurkációs pont az előzőtől

\[ \frac{1}{4,669201\dots} \]

távolságra van. Vagyis ez az arány (a Feigenbaum-szám) olyan univerzális állandó (jelölése $\delta$), amely minden, a determinisztikus káoszba torkolló jelenségre egyaránt érvényes. Fogalmazhatnánk úgy is, hogy az újabb matematikának az a $\pi$-je, amely nem a kör kiszámítására, hanem a világegyetem dinamikus fölépítésének a megértésére való.

Hogy csak egy karnyújtásnyira tőlünk, tizenegynéhány évre, még mindig ilyen alapvető matematikai felfedezést lehetett tenni, az roppant elgondolkodtató. Arra enged következtetni, hogy ilyen világállandók nagy számban vannak, de szemléleti korlátaink miatt mindig csak egy töredék részüket vagyunk képesek felfedezni (eddig csak a $\pi$-t, az „$e$”-t és a fizika néhány hasonló konstansát ismerjük). Mintha a világállandók maguk is a dinamikus káosz tartományaihoz tartozó valamelyik sor értékei lennének, és mintha e sor megismerése, „iterálása”, roppant lassú folyamat volna: az egymást követő értékeket, hogy definiálhassuk is őket, először „meg kell élnünk”. A megismerés is benne van tehát a nem-lineáris láncolatok dinamikus sodrában, és ismeretünk a világról csak egy a sok fraktál közül, végső soron.

Seifritz általában nem támaszt olyan metafizikus igényeket az anyagával szemben, hogy vizsgálataival föltétlenül ilyen sorskérdésekhez lyukadjon ki. Éppen ellenkezőleg, sokszor csak arra koncentrálja a figyelmét, hogy józan természettudóshoz méltóan nagytakarítást végezzen az emberi hiedelmek és téves reakciók lomtárában. Ezért aztán a determinált káoszt is sok helyütt csak egyszerűen olyan cirokseprűként használja, aminek a segítségével egy sor égető „háztáji” kérdést végre rendbe lehet majd hozni. Ezek közé tartozik a közgazdasági innovációkkal szemben spontánul kialakult elutasító magatartás, tehát a közvélemény „irracionális” mozgásformáinak a problémája, vagy az atomenergia akceptálásának és elutasításának a dinamikus kapcsolata és kritikus bifurkációs pontjai, illetve az emberi kontaktusok szükségszerűsége és a járványok terjedése között fennálló konfliktusok matematikai vizsgálata (különös tekintettel az AIDS-re) és így tovább. Valóban bámulatos, hogy milyen talpraesettséggel és profán realizmussal nyúlhat valaki a káoszelmélethez, ha ez az illető – legalább is azokban a fejezetekben, ahol ezt nem tagadhatja le – éppen egy svájci professzor.

Költőibb tartományokba lendül viszont ott, ahol az idő faktora és a kauzalitás kérdései merülnek fel. Seifritz szerint a disszipativ rendszerek bifurkációs pontjai ismeretelméletileg is fontos fogódzók, mert az önszerveződés kulcsfontosságú pillanatait lokalizálják. Ismeretük a rendszer viselkedésének bizonyos fokú megjövendölhetőségét teszi hát lehetővé. De ugyanezek a rendszerek többnyire rendelkeznek egy káoszba kifutó tartománnyal is, amiben már nem működnek tovább az ilyen fogódzók. Ha ezt a tényt az emberi gyakorlat szemszögéből vizsgáljuk, akkor fel kell tennünk a kérdést: Van-e egyáltalán értelme a jövőkutatásnak, hiszen a folyamatoknak a káosztartományba kifutó része – és ez az igazán sorsdöntő tartomány! – soha nem kiszámítható.

Mitchell Feigenbaum

Hasonló eredményre vezet, csakhogy teljesen más utat követve, a fraktálok és az okság elvének az összevetése. Seifritz ehhez kikölcsönzi a kauzalitás külnböző változatairl alkotott rgebbi vizuális szemléltetési módot, amely a következő. Az első változat a gyenge okság esetét ábrázolja, vagyis azt, ha azonos ok azonos hatást vált ki – jelölése egy vonal, amely két pontot köt össze. A második változat az erős okságé, itt a hasonló okok csak hasonló hatásokra vezetnek, és ennek megfelelően egy egész ködnyaláb köt össze két foltszerű tartományt a rajzon. Ez a „körülbelüli” hatás egyébként az, ahogy az okság elvét a mindennapi életben is igazolva látjuk (ezért „erős”).

Seifritz ehhez aztán egy harmadik változatot fűz még: az azonos okok egyenként azonos hatást váltanak ki, összességükben azonban még hasonlót sem, mert káoszhoz vezetnek. A rajzon ezért az egyes vonalak egyenként még jól követhetők, végpontjaik azonban teljesen beszórják a kiindulásukkal szemben fekvő hatás-síkot, összességükben tehát már értelmezhetetlenek. Ez a diagram körülbelül megfelel annak, ahogy a fraktálok iterációs mechanizmusa lepereg. Minden egyes kezdeti érték még konkrét, s iterációja is determinált (ahányszor csak megismételjük, mindig azonos értékekhez fog elvezetni). A gyenge kauzalitás elve ezzel tehát maradéktalanul érvényesül. Csupán az erős kauzalitás elve sérül meg, mert a hasonló okok most nem futnak hasonló irányban, hanem kaotikus kóctömeggé terülnek szét. Úgy tűnik, hogy bármely ponthoz kifuthat bármelyik iteráció. S ami bámulatos, a kauzalitásnak ez a fejetetejére-állítása egy numerikus számítás eredményeként jött létre. Az erős kauzalitás megsértése tehát determinált dolog!

Mondhatnánk, hogy elég nekünk a gyenge okság betartása is, arra már építhetünk. Seifritz azonban bebizonyítja, hogy a gyenge okság csak matematikai absztrakció, mert nincs esélye arra, hogy a valóságban is érvényesüljön. Ha az okság „vonalai” közül csak egyetlen egyet választunk, akkor azzal csak a semmit markoltuk meg. Ami annyira veszélyezteti az ok-okozati lánc hibátlan lepergését, az az ilyen egyetlen fonálon függő kauzalitásnak a kezdeti feltételekkel szembeni szenzibilitása. A start pillanatában közrejátszó elenyészően kicsiny pontatlanságok is néhány lépés után már igen jelentős torzuláshoz, és a kauzalitás teljes fölemésztődéséhez vezetnek.

Gyenge kauzalitás:
ok és okozat közt csak egyetlen oksági fonál feszül, azonos ok azonos hatáshoz vezet
Erős kauzalitás:
ok és okozat kapcsolata toleráns, hasonló okok hasonl hatásokkal járnak
Az erős kauzalitás megsértése:
a gyenge ok-szálak sértetlenek, de a hasonló okok kaotikus szövedékké bomlanak szét

Egy biliárdasztal mellett álló játékos testének a tömegvonzása például már annyira eltéríti az egyenes pályáról az első meglökött golyót, hogy az ebből adódó pontatlanságok a továbbiakban eltalált golyóknál egyre nagyobbak lesznek, és 12 kollízió [ütközés] után már két és fél centis különbséghez vezetnének, ha a golyók helyzete ennek következtében már sokkal korábban nem alakulna egy teljesen más konfiguráció szerint! A biliárdgolyók analógiájára ki lehet számítani azt is, hogy egy 10 milliárd fényévre lévő elektron mennyire befolyásolhatja egy oxigénatom mozgását a Földön. A jelzett elektron tömegvonzása révén ennek az atomnak a pályája már az 56-ik ütközés után teljesen kiszámíthatatlanná válna. És mivel egy oxigénatom másodpercenként több milliárd ütközésen esik át, ennek az egyetlen, az univerzum szélén lebegő elektronnak a hatása is elegendő lenne ahhoz, hogy robbanásszerűen szétterjedő káoszként zavarja össze a számításainkat. Ha pedig ez nem lenne elég, gondoljunk arra, hogy hány további elektron zavaró hatásával kellene ezt a kaotikus hatást még kombinálnunk?

Seifritz már nem tér ki rá, de talán nem botorság, hogy az eszembe jutott: ezeknek a példáknak a fényében nagyon talányos megvilágításba kerül az a körülmény, hogy ugyanezt az egyetlen fonalra leszűkített folyamatot, vagyis a gyenge kauzalitás érvényesülését, a komputer-iteráció során semmi sem zavarja meg. Még akkor sem, ha órák hosszat tart az elektronok „biliárdjátéka”, vagyis a fraktálkép raszterpontjainak a kiszámítása. A komputer tehát valami olyasmit produkál, amit egyébként csak a gondolatkísérletek képesek nyújtani: ideálisan zavartalan körülményeket, amik aztán annyira steril eredményre vezetnek, hogy az csak a matematikai absztrakciókhoz hasonlítható. No de nem az a feladata a komputernek, hogy ilyen matematikai absztrakciókat produkáljon? Vagy zavar minket az, hogy az iteráció ideálisan tiszta lepergetésével a komputeren olyan fraktálok jönnek létre, amelyek tulajdonképpen elő sem fordulhatnának a valóságban?

Séta a gyenge kauzalitás kertjében

Ez a fajta tökéletesség nagyon hasonló ahhoz, ahogy a klasszikus művészet vagy a platóni filozófia ábrázolja a világot, csakhogy a fraktáloknál fordítva áll a dolog: nem az eszményien tiszta és racionálisan harmonikus kap bennük modellt, hanem az érdekesen bizarr és a kaotikusan konfúz.

A kirajzolódó kép (és a mögötte álló struktúra) ugyan sok mindenben hasonlít a valóságra, de – mondhatnánk – éppen ez a baja. Igaz, hogy roppant átlényegítve, de gyakran mégis éppen azok a valóságos fordulatok térnek vissza benne, amelyekről azt szerettük volna hinni, hogy csak fantasztikus imaginációk. Ez az érem egyik oldala. De a másikon is következményekkel terhes ontológiai kérdésekkel találkozunk. Mert bár igaz az, hogy a komputeren előállított determinált káoszok közelebb állnak a valóság komplex folyamataihoz, mint bármilyen korábbi matematikai objektum, mégis teli vannak a valóságos tapasztalatoktól távol fekvő paradox vonásokkal: ezek a fraktálok valószínűtlenül labilisak és minden határon túl makulátlanok.

Az első kérdésünk technikai jellegű lehet: hogyan képesek a komputerek a gyenge kauzalitás hajszálvékony fonalát ennyire hibátlanul követni? Talán nem lennének érvényesek rájuk az okság és a fizika megszokott törvényei? Mindnyájan tudjuk a választ: a mai komputerek áramköreiben (még) nem egyes elektronok futnak, hanem egész elektronrajok. A pálya pedig az „igen-nem” kapcsolások sorain át vezet, ahol nehéz lenne eltévedni. Ezek a körülmények így, együttesen már garantálják, hogy a hasonló feltételek hasonló hatáshoz vezessenek, és akár a végtelenségig is követhetők maradjanak az utasítások. A komputer tehát megmarad az általunk ismert világ határai között. Az erős kauzalitás elvével dolgozik, és legfeljebb annyiban különös az, amit csinál, hogy az erős kauzalitás segítségével modellezi a gyenge okságot.

Vagyis, ha a fraktálképek ontológiájáról van szó, akkor nem feledkezhetünk meg arról, hogy azon túl, hogy már a fogantatásuk is sterilen algoritmikus volt, a kivitelezésük körülményei is abszolút optimálisak, és annyira mentesek minden szennyeződéstől, hogy az már túl van a „természetes” határokon. Ami persze nem akadályozza meg őket abban, hogy a valóságban zajló dinamikus folyamatokra hasonlítsanak. Legfeljebb azt vethetjük a szemükre, hogy olyan tökéletes korrekcióval ábrázolják a hétköznapi valóságot, mint amilyen eszményien az euklideszi geometria formái adták vissza korábban világot.

Innen a magyarázat arra is, hogy míg a komputeren előállított fraktálképek – akár egy fantasztikus kert hibrid virágai – szokatlanságuk és bizarrságuk ellenére is többnyire nagyon szépek vagy elbűvölők, addig a valóságban található fraktálok és kaotikus folyamatok – holott édes testvérei ezeknek, miért nem nyújtanak hasonló képet. Csak kivételesen esztétikus a hatásuk, és sokkal gyakoribb, hogy egyszerűen érdektelenek vagy jobb esetben a dinamikus karakterükkel tűnnek fel (ha pedig szociológiai vagy közgazdasági közegben játszódik a szcenárió, akkor az is előfordulhat, hogy az a benyomásunk, hogy patologikusak). – „Typical fractals are not pretty.” – olvashatjuk Barnsley-nél, amikor olyan fraktálalakzatokat mutat be, amelyek metallurgiai felületeket vagy szemcsés anyagcsomósodásokat modelleznek, és nem színes monitoron előadott iterációs parádék.

Új oldaláról látjuk tehát igazolva azt a korábbi megállapításunkat, hogy a fraktálok természetrajza nem maradhat tisztán matematikai kérdés, mert a fraktálképeket realizáló médium is nagy szerepet játszik abban, hogy végső hatásában miféle dolog lesz az, amit egy bizonyos algoritmus generál. Végül is évmilliárdokon keresztül nem a komputerek voltak a fraktálok favorizált médiumai, és még ma is csak elenyészően kicsiny a mikroelektronika részesedése a fraktális folyamatok realizálásában. A komputeren láthatóvá tett fraktálok a jövőben sem szolgálhatnak mást, mint a kutatást vagy demonstrációt. Hogy ennek ellenére (vagy éppen ezért) a mikroelektronika szemüvegén át nézzük a fraktálokat, amelyek valójában nem mikroelektronikai objektumok, az még fontosabbá teszi, hogy ne feledkezzünk el a médium fontosságáról. De hogyan vélekednek ugyanerről a kérdéséről a kötél másik végét húzó matematikusok?

Abban a szerencsés helyzetben vagyok, hogy könyvének a bevezető részéből magát Mandelbrotot idézhetem:

A matematika krízisének, amely az 1875 és 1925 közötti évekre esik, még egészen a kezdeténél Cantor egy Dedekindhez írt levelében németből franciába vált át, hogy felkiálthasson: – Je le vois, mais je ne le crois pas (Szabadon fordítva: Látni látom, de mégsem hiszem). És mintegy varázsszóra a matematika fölhagy azzal, hogy megkísértéseit a szörnyeket ábrázoló hatásos ábrákkal támassza alá. Micsoda ellentét van a (francia) forradalom előtti és utáni geometria rokokó zsúfoltsága és Weierstrass, Cantor vagy Peano művei között, amelyekből már szinte tökéletesen hiányoznak a szemléltetőerejű képek! A fizikában már 1800 körül megfigyelhető volt egy hasonló irányú fejlődés, amikor Laplace Égi mechanika című munkája teljesen illusztrációk nélkül jelent meg. És ezt P. A. M. Dirac az 1930-ban írt Kvantummechanikájának az előszavában még meg is erősítette: A fundamentális törvények a természetet nem olyan közvetlen módon igazgatják, ahogy az különben az elképzeléseinkben él, hanem olyan lényegeken keresztül, amelyekről képtelenek lennénk intelligens képet alkotni anélkül, hogy ne folyamodnánk banális dolgokhoz.

E Dirac idézethez Mandelbrot hozzáfűzi még:

Ennek az álláspontnak a kritikátlan elfogadása destruktívan hatott […].

Talán nem túlzok, ha úgy érzem, Mandelbrotnak is kritikus véleménye van arról a végletekig menő sterilitásról és absztrahálásról, amit itt úgy fogalmaztunk meg, hogy erős modernizmus.

Persze nemcsak a „barokk” matematikát veszi aztán a védelmébe, hanem azonnal tovább is lép:

éppen a fraktálok elméleténél érvényes az, hogy látni és hinni ugyanaz

– jelenti ki, és

Az olvasót is arra biztatom, hogy mielőtt ezt a könyvet továbbolvasná, lapozza még egyszer végig a képeket… Esszéim itt következő sorát nagyon befolyásolta az, hogy egyre jobban kifundált gépek álltak a rendelkezésemre, és hogy volt, aki uralja is őket, az egyre jobb programozók! […] Egy egyenlet csak a modell és a realitás valamelyik részaspektusára vonatkozik, a szem azonban hallatlan integrációs és döntési erővel rendelkezik […].

Vagyis Mandelbrot szerint az egyenlet csak részaspektus!

Ez a vélemény még nem fedi teljesen a „médium” fogalmát, úgy, ahogy azt itt bevezettem, de valami ahhoz hasonló komplexebb szemlélet felé tart. Szinte csak zárójelben jegyezném még meg, hogy amire maga Mandelbrot csak célzásokat tesz, (vagyis az iterációs matematika és bizonyos médiumok elválaszthatatlanságára), ezt az egymásrautaltságot Mandelbrot kapcsán kimondták a jelentősebb lapok tárcaírói. Többször is olvastam róla, hogy Mandelbrot matematikai karrierjét remek reklámösztönnel a komputer mediális hatására építette. Ez a megjegyzés egyrészt telitalálat. A kritikai élét tekintve persze olyan ostobaság, mintha Galileinek azt vetnénk a szemére, hogy csak a távcső szenzációhajhászó használatának köszönheti a kozmológiai felfedezéseit.

A komputer természetesen nem nagyítóüveg, amelyen át a fraktálokat „jobban” láthatjuk, hanem sokkal inkább nyelvi struktúra, amelynek a segítségével a fraktálokat egyáltalán szólásra bírhatjuk. A fraktálok eközben maguk is a komputer fizikájába és algoritmikus világába integrálódnak, és sok tekintetben másként is beszélnek, mint ahogy különben szólnának. A médiummal együtt olyan rendszert alkotnak, amely, akár a kagyló két héja, szorosan összezárul. A fraktálképek sikerült műfordítások. Ha az asztronómia képzetkörében maradunk, akkor azzal a metaforával kell élnem, hogy a komputer képernyőjén megjelenő fraktálok látványát olyanfajta spektákulumhoz hasonlítom, mintha az égitesteket úgy vizsgálnánk, hogy a szemünkhöz illesztett csillagokon át néznénk az éjszakai égboltot.

És itt kerülünk annak a tartománynak a közelébe, amit az algoritmikusan generált fraktálképek szemantikájának nevezhetnénk. Nevezhetjük azt, amit látunk, a determinált káosz dinamikájának, vagy egyszerűen csak káprázatnak, mindenképpen az analóg gondolkodás területére lépünk, és ettől a pillanattól kezdve menthetetlenül az asszociációk és a kombinációk világának a foglyaivá válunk. Lehetséges, hogy az ragad meg majd minket, hogy ösztönösen érezzük az iterációs technikával előállított képek karcsú muzikalitását és a kauzalitás érvényességével játszó hazárd „veszélyességét”. Vagy csodáljuk a végtelen közelébe jutott számítások filigrán mintázatát, amely mintha túl lenne minden emberi kultúra és lehetséges ornamentika határain. És noha csak áttételes formában képes a komputer a nem-lineáris káosz belső dinamikájáról adatokkal szolgálni, mégis, talán rendelkezünk a magunkkal hozott genetikus emlékanyag mélyén azzal a képességgel, hogy a turbulenciáknak erre az univerzális képére érzékenyen reagáljunk.

Persze, míg ezeket a sorokat írom, magam is tudom, hogy ha már az emberi kultúra lehetséges határairól van szó, akkor továbbra is csak azok innenső oldalán állok, és, hogy a fölsorolt feltételezések, amelyekkel a fraktálok analóg tartományait próbáltam kitapogatni, maguk is meglehetősen szabad asszociációk. Csak annyit tettem, hogy a matematika és a komputer közös idiómáját olyan struktúrának használtam, amire – mint egy rácsra – megpróbáltam fölaggatni a magam irodalmi fantáziájának a metaforáit. Szeretném azonban hangsúlyozni, hogy teljesen mindegy, hogy eközben tényleg találó képeket választottam-e, vagy esetleg csak olyanokat, amiktől az olvasóim elborzadnak, mert erőltetett képzelgésnek találják őket. A lényeges momentum az volt, hogy egy algoritmikus konstrukciót, ami a maga módján már szimbólumrendszer volt, magasabb síkon egy másik szimbólumvilág számára sajátítottam ki. Azzal az önkénnyel jártam el – vagy fogalmazzunk finomabban –: azzal a szabadsággal éltem, ami minden nyelv szemantikai tartományával szemben megengedett. A kérdés csak az, hogy sikerül-e, hogy az így megfejelt jelentésvilágot egyezményes jelként elfogadtassam a világgal.

Az euklideszi geometria is elszenvedett hasonló kulturális kisajátításokat. Médiuma először egyáltalán nem a matematika, hanem a szántások és a kertek, a megmunkált kövek és az egyszerű mechanikai eszközök voltak. A kör, a kerék vagy a tárcsa ugyanannak a geometriai formának a különböző inkarnációja. Ez a forma azonban mást jelentett Ehnaton számára, aki a Napkorongot látta benne, mint később a neoplatonista filozófusoknak. És ismét más értelmezést kapott Lissitzky szuprematista festményein. Minden kor megírta a maga Nap-himnuszát, hol vallásos, hol transzcendentálisan filozofikus, hol pedig modernista módon utópisztikus tartalommal. Miközben e korong algoritmikus képlete, az $r^{2}\pi$, legfeljebb csak a leírás technikájában és a pontosságában változott.

Hogyan szagoljunk rózsákat?

A következőkben sorra veszem azt a néhány könyvet, amik a fraktálkutatás mai állását, mediális alkalmazását, illetve gondolati-filozófiai interpretálását jellemezhetik. Kevés munkára kerülhet itt sor, de úgy válogattam, hogy az egy-két legjobb kötet mellett szó kerülhessen az egy-két legdrágábbra is.

A növények algoritmikus szépsége majdnem képes album, és már az oldalait kitöltő pazar virágoskert révén is érthető, hogy abban a kevés könyvesboltban, ahol megtalálható, a kiszolgáló kisasszonyok kedvence, szinte dugdossák a vevők elöl. Pedig azonnal matematikába ütközünk, ha a szövegbe olvasunk. A kötetet a Reginai Egyetem (Kanada) komputertudományi tanszékének a munkatársa, Przemislav Prusinkiewicz állította össze egy sor társszerző segítségével a téma tulajdonképpeni kidolgozójának, Aristid Lindenmayernek (aki egy évvel a könyv megjelenése előtt, 1989-ben halt meg) a kutatási anyagából. Lindenmayer az utrechti egyetem elméleti-biológia tanszékének volt a professzora, s ő az a tudós, akinek a nevéből vett kezdőbetű, az „L”, az úgynevezett L-rendszerek elnevezésére szolgált. Ez pedig a fraktálok ama csoportja, amely fontosságban és népszerűségben rögtön a Mandelbrotról elnevezett fraktálfamília után következik.

Lindenmayer kutatásai néhány vonatkozásban megelőzték Mandelbrot felfedezéseit is. A két felfogás közötti különbséget azzal jellemezhetném, hogy az L-rendszerek anyaga távol áll a disszipativ rendszerektől és a velük kapcsolatos dinamikus káosztól. Alkalmazhatósága is ennek megfelelően más irányú. Az L-rendszerek elsősorban a növények morfológiájára, illetve az élő organizmusok növekedésének a leírására és tanulmányozására használhatók.

A módszer a hatvanas években született meg, és a kialakulását a formális nyelvészet divatja és az első komputer-programozó nyelvek algoritmusainak az ösztönző példája is befolyásolta. Bizonyos mértékig tehát Chomsky generatív nyelvtana volt a Lindenmayer-féle szisztéma inspirálója, de ha a módszert közelebbről megismerjük, akkor rájövünk, hogy Turing roppant egyszerűen működő számítógépmodellje legalább ennyire fontos előképként szolgálhatott. Lindenmayer teknőcnek keresztelte el a maga masináját, és ennek megfelelően az egész fraktálgeneráló eljárás is mindmáig Turtle Geometry néven ismert. Lényege az, hogy az (elképzelt) teknőc elemi egyszerűségű utasítások alapján mozog előre, és míg így halad, a mozgásával és az irányváltoztatásaival mintegy követi, modellezi azt, ahogy a növények levelei és ágai, illetve rügyei és virágai kihajtanak. Ha pedig a mozgását grafikaként ábrázoljuk, akkor az útjának a végére érve előttünk áll a növény egész morfológiai váza.

Az alapvető parancs tehát a Forwards – előre! – amit többnyire $F$-el szokás jelölni, és ehhez járulnak a módosító utasítások, a jobbra vagy balra fordulást jelző

\[ - + \text{jelek} \]

vagy annak jelölése, hogy egy utasítássort például zárójelbe teszünk, mert utána vissza kell lépnünk az akciót megelőző alapállásba. A kirajzolandó „fa” lehet tényleg egy tengelyre fűzött alakzat, ekkor ezt az algoritmus elején egy

\[ F\text{-el} \]

jelöljük, de lehet „hurok” is, ekkor, egy négyzet esetében például, ezt a jelölést használhatjuk:

\[ F–F–F–F \]

ahol a mínusz jel (mint föntebb láttuk) „jobbra kanyart” jelent. Azonkívül helyettesíthetik a 90 fokos szöget más szögben tett fordulások is, például

\[ \delta=60^{\circ} \]

A módszer legfontosabb mozzanata azonban az, hogy a mozgásformát alkotó kódot úgy használjuk, hogy miután behelyettesítettük a „fa” vázát alkotó formula (a négyzet esetében az $F–F–F–F$ jelzés) minden egyes $F$ jelébe, ezután ugyanezt a behelyettesítést elvégezzük magával a kódba írt $F$-ekkel is, egyre kisebb léptékben, mégpedig annyiszor, ahányszor erre az algoritmus elején parancsot kaptunk. Például háromszor, ha $n=3$.

Hogy az eljárás tulajdonképpen mennyire egyszerű, és hogy ennek ellenére milyen komplex formákhoz vezet, azt csak akkor érthetjük meg igazán, ha magunk is kipróbáltuk, vagy legalább is néhány így készült alakzaton tanulmányoztuk. A kódolás ismételt elvégzése magán a kódon tulajdonképpen egy olyan iteráció, amelyhez nem volt szükségünk számokhoz.

Lindenmayer-automata
forrás

Aristid Lindenmayer
(1925–1989)
német biológus
forrás
természeti fraktálok
Bináris fraktál-fa
forrás

Ez a nem-numerikus iteráció természetesen tovább bővíthető azzal, hogy három dimenziós formát adunk neki, vagy hogy – bizonyos előre meghatározott korlátok között – bevezetjük a véletlen szerepét is az egyes lépések „rontására”. Téves mutánsokat, vagy még inkább, a környezet módosító hatására „kimaradt” rügyeket, leveleket és ágakat generálhatunk így, aminek a következtében az egész növény másként „nő” tovább. A modell ezáltal tényleg közel kerül az igazi növényekhez, amelyek alakja – a szigorú genetikai kód ellenére is – sztochasztikus. Valamennyi síkkitöltő görbe (mint például a Peano-vonalak) és a Koch-alakzatok családjába tartozó összes fraktál előállítható ezen az úton. De ha a fokozatosan vékonyodó formákkal vagy a színek kódolásával is törődünk egy kicsit, akkor odáig tökéletesíthető a rendszer, hogy semmi akadálya annak, hogy bizonyos, jól felismerhető fákból egész erdőket rajzoljunk fel így, vagy a színes kodak-color technikával is vetélkedő látképet generáljunk a virágzó napraforgó táblákról.

Egy ilyen, a könyvben reprodukált „veteményes tábla” kb. 6000 napraforgót ábrázol. Valamennyi ágának, levelének és szirmának a teknőc-geometrián alapuló modellálására 800 millió számításra volt szüksége annak a nagyteljesítményű komputernek, amelynek aztán további 45 órájába tellett, míg ezt az egész adathalmazt egy ray-tracer program segítségével perspektivikus távlatba állította, kiszínezte és a szükséges árnyékhatásokkal is ellátta. Nem lett volna egyszerűbb – ha süt a nap – egy fényképezőgéppel a kezünkben kimenni a mezőre, és az egészet a másodperc töredéke alatt néhány filléres nyersanyagárért lefotografálni?

A növények algoritmikus szépsége olyan könyv, amelyik azt bizonyítja, hogy megérte a fáradságot. A varázsszavak úgy hangzanak, hogy „virtuális laboratórium” és „artificiális botanika”. Hiszen amit eddig elmondtam a kötetről, az tulajdonképpen csak a bevezető fejezet anyaga volt. Ezt a bevezetést a teknőc-geometriára épülő biológiai modellezések és számítások gazdag repertoárjának a bemutatása követi, melynek során a primitívnek tetsző kezdeti számítások is egyre komplexebbekké válnak, s meg sem állnak a tekintélyt sugárzóan hosszú differenciálegyenletekig. Az újra és újra felmerülő „színes-szélesvásznú” növényábrázolások, melyek a szakma csodagyerekeinek a képességeit demonstrálják, talán csak azért kerültek a könyvbe, hogy a kiadvány fényét és esztétikai igényességét biztosítsák. De ha valaki úgy vélekedik, hogy az ilyen alkalomhoz hasonló marketing feladatokon kívül nincs is semmi más szerepük ezeknek a szupernaturalista komputergrafikáknak, akkor az illető ugyancsak tévedhet.

A „virtuális valóság” előállításának a technikáját például a televíziós műsorok, a videó-klipek és a filmipar is használja. A komputeren generált legdrágább virtuális díszlet is olcsóbb ugyanis, mint ugyanezeknek a látványelemeknek vagy tájaknak a felépítése a valóságban. Példaként felhozhatnám az Európa szerte fogható kábeltelevíziós adást, a MusicTV vizuális anyagát, amely nagy részben ilyen virtuális valóságra épül. Ez a példa annyira szemléletes, hogy rögtön annak az elemzését is fölöslegessé tesz, hogy a virtuális valóság milyen fajta valóság. Ezen felbuzdulva feltehetnénk persze a kérdést, hogy mi lehetne a virtuális valóság esztétikájának a szerepe a mi témánkban. Hoz-e valamit a konyhára?

Azt hiszem, annak tisztázására jó, hogy nyilvánvalóvá tegye: a prímér fraktálgeometria, illetve annak a komputeren generált formája, nem az esztétika, hanem az „igazi” valóság, az „igazi” matematika és az „igazi” nyelvtudomány problémája. Az L-rendszerekhez tartozó fraktál-jellegű objektumokra is ugyanez vonatkozik, illetve az, hogy ez a terület meg a természettudományok problémája (amennyiben például a biológiai kutatások egyik eszközeként kerültek alkalmazásra).

Az esztétika csak úgy lép a porondra, mint a fraktálok vagy a komputergrafikai eljárások félreértése. A képernyőn kirajzolódó fraktál nem virtuális, hanem igazi valóság (vagyis: igazi képernyő + igazi matematika, és esetleg igazi szimbólum is). Esztétikai objektummá akkor válik, ha valaki, aki nem ismeri a dolog hátterét, vagy éppen nem törődik e háttér bonyolultságával, egyszerűen szépnek találja (és ehhez joga van). Azonkívül az is esztétika, ha A növények algoritmikus szépsége című könyv munkatársai Monet Tavirózsák című képét a fraktáltechnika és komputergrafika eszközeinek a segítségével nagy gonddal reprodukálják. Az efféle imitáció giccs, és mint ilyen, az esztétikai kutatások tárgya. (A félreértések elkerülése végett: senkit sem korlátozhatunk abban, hogy ha tetszik neki, ilyen imitációk előállításával foglalkozzék.) A fraktálgrafikák esztétikailag értékes alkalmazására eddig még nem láttam példát. Az a magánvéleményem, hogy a fraktálok valószínűleg túl komplexek ahhoz, semhogy nyersanyagul szolgálhassanak a művészet számára.

Mandelbrot, bár el van ragadtatva a fraktálok szépségétől, mégis csak epizodikus szerepet ad a művészetnek a kutatásai kapcsán. Néhány tévesen programozott fraktálképet pldául csak azért közöl, hogy nagyvonalúan rögtön átengedhesse őket az esztétikai örömök kedvelőinek, miközben azonban e hibás képek kapcsán is fenyegetően azt ígéri, hogy még be fogja bizonyítani róluk, hogy fraktálok. (Nem tudom, hogy Mandelbrot dohányzik-e, de ilyenkor úgy látom őt magam előtt, mint aki kéjesen szivarfüstöt fúj az olvasó arcába. Végső soron jó dolog, hogy a matematika ennyire emberi.) Nyilvánvaló persze, hogy egy ilyen szerző esetében csak azt várhatjuk el, hogy a legszebb dolognak a matematikát találja.

Talán ezért is sugárzik valami játékos naivitás A természet fraktálgeometriája című 500 oldalas korpuszból, de ez nem válik a kárára. Mandelbrot egy egész tudományágat kívánt megalapozni e könyvvel, és ennek megfelelően két feladatot rótt maga elé a megírása közben: az ilyen alapmunkáktól elvárható manifesztáció megfogalmazását és a (lehetőleg teljességre törekvő) példatár összeállítását. Ez a kettősség hozza aztán magával, hogy a kötet nemcsak súlyos természetfilozófiai háttérrel rendelkező tudományos munka, hanem egyúttal fantasztikus bestiárium is, amelyben élvezet lapozni. Mintha Mandelbrot nemcsak Darwinnak a fajok eredetéről szóló monográfiáját tartotta volna szeme előtt, míg a kéziratát összeállította, hanem a nagy Brehmet is (a bemutatott fraktálok 350 táblát töltenek meg). Hogy ennek következtében aztán a kötet nem egészen úgy hat, mint általában a természettudományos szakmunkák, arról maga Mandelbrot büszkén emlékezik meg az előszóban. Egy manifesztumnak végül is nemcsak a szakembereket kell meggyőznie, hanem az egész világot.

A könyv előzményeihez sorolható cikkek és előadások a hetvenes évek folyamán jelentek meg, s majdnem párhuzamosan velük maga a kötet is összeállt 1977-ben. Ezt az első változatot 1982-ben egy jelentősen bővített kiadás követte. Az évszámok azért fontosak, mert egy ilyen roppant gyorsan fejlődő tudományág esetében már egyetlen esztendő is egy egész korszakkal ér fel. Mandelbrot az 1982-es kiadásban majdnem panaszkodó hangon említi meg, hogy öt év alatt annyira megváltozott a helyzet, hogy nem tekintheti magát többé a fraktálok egyedüli tulajdonosának. Mindenesetre igyekezett lépést tartani a nyomába szegődő konkurenciával. A német kiadás könyvtárnyi bibliográfiai adata között, megszámoltam, már 107-re rúg a Mandelbrottól jegyzett cikkek száma.

Hogy mi a könyv manifeszt tartalma, azt már a címe is elárulja, s ehhez legfeljebb annyit tehetnék még hozzá, hogy röviden jelzem, hogy magát a fraktál szót (tört, töredékes) is Mandelbrot vezette be a matematikába. Ami azonban töredékes, az még nem feltétlenül szabálytalan is. Hogy aztán éppen Mandelbrot volt az, aki nekilátott annak, hogy kikutassa, hogy milyen kulcsra nyílik ennek a szabályosságnak a zárja, az talán elsősorban nem is a matematikai tehetségének volt köszönhető, hanem inkább a zseniálisan friss tekintetének. Korai cikkei a nyelvészet és a szociológia kérdéseivel foglalkoztak, mert a szógyakoriságok kérdésével és az árak alakulásának a matematikájával foglalkozott. Itt tűnt fel neki először, hogy e két – egymástól igen távol eső – területen egyaránt érvényes az a megfigyelés, hogy bizonyos gyakoriságok vagy arányok egy témán belül kisebb léptékben is újra és újra előfordulnak –, vagyis hogy a természetes folyamatok belső aránya skálainvariáns: a választott léptéktől függetlenül ciklikusan önmagához hasonló. Néhány éves kutatómunka elég volt ezután Mandelbrotnak ahhoz, hogy bizonyítva lássa, hogy ez a jelenség nem tekinthető elszórtan jelentkező kivételnek, hanem ellenkezőleg, ez a természeti világ felépítésének a karakterisztikus módja (önhasonlóság elve).

A matematikai apparátus kidolgozásában a döntő mozzanat annak a felismerése volt, hogy az így strukturált dolgok nem jellemezhetők többé az euklideszi geometriából ismert dimenziófogalmakkal, hanem csakis tört dimenziókkal. (Például egy fraktális görbe annyira „sűrű”, hogy megközelítheti a síkokra jellemző kétdimenziós értéket, és ugyanez a törtekben kifejeződő dimenzió érvényes a fraktálként habzó síkokra és a szivacsossá üregelt testekre is.) Mivel a fraktális dimenziók numerikusan is igen pontosan kiszámíthatók (bővebben erről a függelékben), innen kiindulva az egész fraktálgeometriai rendszer már kidolgozható. Látjuk, Mandelbrot nem a disszipativ folyamatok vagy a káoszelmélet ösvényein jutott el a fraktálokhoz, hanem klasszikusabb, szinte görög módon, a csipkés leveleket vagy a göcsörtös kavicsokat vizsgálgatva, és azzal, hogy magyarázatot keresett rájuk, és ezért aztán ábrákat és számokat írt a homokba.

Könyvéből ennek megfelelően olyan friss szél fúj, mintha a tengerparton járnánk. A matematika egész múltját átkutatta az olyan véletlenül felfedezett, de aztán újra a feledésbe merült furcsaságok után, amelyekről remélte, hogy most bebizonyítható róluk, hogy ezek a is fraktálok (Mandelbrot, úgy látszik, különben is kitűnő filológus, e nyomozómunkája során azonban a matematikatörténet félelmetes felkészültségű búvára lett). A példatárban aztán nem takarékoskodik a közvetlen vizuális hasonlatokkal, a fraktálok „fák”, „bronhuszok”, „szőnyegek”, „pajzsok”, „pelyhek” és – miként is lehetne másként! – „sárkányok”.

Csupán a nevével összeforrott „almaemberkével” bánik mostohán, ez az alapvető fontosságú, és az egész rendszert mintegy önmagába integráló fraktálhalmaz minden részletezés nélkül kap helyett a négyzetes sorokkal operáló fraktálok között. A magyarázat: Mandelbrot csak a könyvének az első kiadása után, 1980-ban próbálta ki, és fedezte fel a komputerén, hogy a $z\rightarrow z^{2}+c$ képletet beadva tulajdonképpen mi is jön ki. Ezért aztán 1982-ben még mindig aránylag elég keveset tudott róla. Majdnem azt mondhatjuk tehát, hogy Mandelbrot fő műve a Mandelbrot-halmaz nélkül jelent meg. Mindenesetre Mandelbrot mellett szól, hogy bár az „almaemberke” és a vele kapcsolatos fantasztikus komplexitás a könyvben még alig szerepelhetett, A természet fraktálgeometriája mégis korszakos jelentőségű munkának bizonyult.

Abban az időben Mandelbrot már az IBM munkatársa volt, de nem komputertechnikával, hanem matematikai alapkutatásokkal foglalkozott. Rá volt szorulva hát a programozók és a hardware-szakértők segítségére, és ennek következtében viszonya a komputerhez, úgy látszik, soha nem is lépett túl bizonyos akadémikus feszélyezettségen és ünnepélyes stíluson. Utána azonban már az a generáció lépett a porondra, amelyik a gyerekszobában ismerkedett meg a géppel, és még fel sem nőtt, máris könyékig turkált a hardware-ban és maga írta a programjait.

Ennek a nemzedéknek az első kiemelkedő alakja Michael Barnsley. Könyvének a címe, Mindenütt fraktálok, félrevezető lehet. Ez a kötet ugyanis nem képeskönyv és még kevésbé nevezhető a hobby-komputerezőknek vagy a fraktálsznoboknak írt kiadványnak. Barnsley az atlantai Georgia Technológiai Intézet matematikai tanszékén vezetett fraktálkurzusokat – ezek az előadások voltak a világon az első ilyen egyetemi kollokviumok – s a munka ennek megfelelően tulajdonképpen tankönyv. Mivel jó kapcsolatokat tartott fenn az apák nemzedékével is (lásd e cikk mottószövegét), nem csodálkozhatunk azon, hogy Mandelbrotnak is, úgy látszik, megérte az, hogy repülőútjait néha úgy szervezze meg, hogy az atlantai reptéren két járat között pár órára elbeszélgethessen Barnsley-vel („Egyáltalán, ezek a helyek!” – sóhajt fel Mandelbrot az egyik publikációja kellős közepén, amikor Barnsley-val való tudományos kapcsolataira kerül a szó).

Barnsley tehát minden irányban remek tanár és – a tárgy természetének megfelelően – roppant vizuális beállítottságú kutató, aki például a nehéz geometriai analíziseket is vidám magyarázó rajzokkal képes megkönnyíteni. Kurzusaira négy szemeszter kalkulus után iratkozhatnak be a hallgatók, akik – később tanárként, mérnökként, kutatóként vagy alkalmazott matematikusként – nyilván úgy fognak majd visszaemlékezni a Barnsley-nél töltött időkre, mint ifjúságuk aranykorára. Barnsley egyéniségén kívül – ami csak úgy sugárzik a könyvből – szerepet játszhat ebben még egy tényező: a fraktáltudományok hamvas ifjúsága is.

A korszakalkotó matematika felfedezés ugyanis Barnsley-nél válik először önálló tudományággá. Itt a fraktálok egyszerűen a technológiai alapismeretekhez tartozó normális dolgok. Könyvének előszavában arra figyelmezteti az olvasót, hogy ha végigdolgozza magát a kurzuson, előfordulhat, hogy utána a hegyeket és felhőket is mátrixadatokra felbontva fogja majd látni, úgy, ahogy az az iterált geometriai alakzatokhoz illik. Gondolja hát meg az illető, hogy érdemes-e a fraktálok nyújtotta intellektuális örömök kedvéért föláldozni az ártatlan természetlátás képességét. Ezután az olvasó elé tesz egy négyszögletes síkot, kimondja rá, hogy ez a „R” tér, definiálja benne a pontot, a görbét és a lehetséges halmazok formáit, s máris abban a metrikus rendszerben vagyunk, amely erőltetett tempóban halad afelé, hogy kibontakozzon benne az Iterated Function System, az IFS, amely Barnsley nevét nemzetközileg ismertté tette.

A rendszer tulajdonképpen zseniális kompromisszum. Barnsley az euklideszi geometria metrikus terét használta fel arra, hogy az ilyen metrikus definíciók elől különben oly gyorsan elillanó fraktális kontúrvonalakat vagy formákat mégis megfogja, definiálja, és tetszőleges pontossággal előállítsa. Két technikai fogást alkalmaz eközben. Az egyik az a kontrakciós eljárás, amellyel a végtelenségig lehet „besűríteni” a kiinduló formát, úgy, hogy azt önnön kisebb alakzataira osztjuk. Ez az eljárás tulajdonképpen geometrikus eszközökkel elvégzett osztás, amelynek során a formák a tetszőlegesen finomított „porrá válnak”, és sok tekintetben ellentétes irányú azzal a lépéseket összegező módszerrel, ami Lindenmayer „teknőc-geometriája” volt. A másik fogás az, hogy az így nyert fraktálformákat – mintegy saját magukkal bővítve – kollázsszerűen megismételjük. Mivel az eközben használt metrikus rács nemcsak kétdimenziós lehet, hanem három- sőt több dimenziós is (tisztán matematikai terekről, az ún. fázistér változatairól van szó), az eljárás oda fejleszthető, hogy a geometriai számítások és transzformációknak azokkal az ismert eszközeivel, amelyek eddig csak az egzakt formák definiálására voltak alkalmasak, most fraktális objektumokat is meg tudunk határozni, illetve elő tudunk állítani. Magyarán: ezzel a geometriával mérhetővé válik az amorf.

Mondanom sem kell, hogy az IFS nemcsak geometriai funkció, hanem software is. Barnsley mindjárt a kurzus elejétől kezdve komputergrafikákkal traktálja a tanítványait, és a „házi feladatok” is olyanok, hogy vagy még ceruza és papír sem kell hozzájuk, mert elég az összefüggéseket meglátni, és verbálisan megválaszolni, vagy pedig olyanok, hogy komputer nélkül semmire sem jutnánk velük. Amit az IFS-ről itt elmondtam, abból talán az is sejthető, hogy a Mandelbrot-halmaz és a hozzá hasonló négyzetes pontenciájú dinamikus sorok nem állíthatók elő a segítségével. Ezeket Barnsley – hogy a saját geometriai rendszerétől elkülönítse – „Escape Time” (vagyis az idő dimenziójába kifutó) algoritmusoknak hívja. A saját rendszerét azonban mégis olyan fokra sikerült fejlesztenie (és a Mandelbrot-halmaz matematikájába integrálnia), hogy érintkezési pontokat tudott kiépíteni ezekkel a dinamikus fraktálokkal is, sőt egy sor felfedezést tett azok természetére vonatkozóan. (Innen Mandelbrot atlantai látogatásai?) A könyvben egymást követik aztán azok a táblázatok, amelyek a fraktálok ilyen úton felfedezett rokonsági láncát, formai és matematikai hasonlóságát mutatják be olyan szemléletes képszekvenciák segítségével, hogy ezek láttán még a laikus is úgy érzi, hogy már érti is, hogy miről van szó (nincs igaza…).

Barnsley könyve a fraktálprogramok íróinak és a fraktális matematika fiatalabb kutatóinak a bibliája lett. Elkerülhetetlen, hogy ha az ember, mint egyszerű fraktálfogyasztó, már sikerrel generálta a komputerén a Mandelbrot-halmazt, ne találkozzon hamarosan a Barnsley-féle IFS program valamilyen PC-re alkalmazott változatával is. Természetesen van már egy sor Barnsley-ről elnevezett fraktálalakzat is, és nemcsak az IFS-en lehet generálni őket, hanem az Escape Time algoritmusra írt programokon is. Mandelbrotnak azonban nem ezek jelenthetnek konkurenciát, hanem egy német kutatócsoport működése, a brémai egyetem matematikai és fizikai tanszékének a fiatalabb kutatói, akik – úgy látszik – elhatározták, hogy ha már fraktálokról van szó, akkor ők lesznek azok, akik kivitelezik a „szuper-Mandelbrotot”.

Helge von Koch
(1870–1924)
svéd matematikus

A brémaiak – Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, Dietmar Saupe és munkatársaik – két vaskos könyvben publikálták eddigi eredményeiket. A köteteket a Springer Verlag adta ki 1986-ban és 1988-ban. Címük: A fraktálok szépsége és A fraktálképek tudománya. Ez idő szerint ezek a kiadványok a professzionista fraktálgenerálás legszebb segédkönyvei, s egyúttal a legtanulságosabb forrásai azon ismeretek és fogások gyűjteményének is, amelyek a fraktálgeometriára alkalmazott komputergrafika virtuozitását biztosítják. A könyvek első látásra elárulják, hogy nagy felkészültségű és invenciózus matematikai megoldásokkal szolgálnak, de ez még nem minden. Az elméleti eszmefuttatásokat kísérő képanyag ugyanis egyszerűen lehengerlő. Nem csoda, hiszen láthatólag ezekért a képekért történik minden e lapokon. Itt vagyunk azoknál a 256 színárnyalatban generált fraktáloknál, amelyeknek két- és háromdimenziós változatait a nagybankok kalendáriumai is egymással versengve publikálták. Valami olyasmi árad ezekből a nyomatokból, ami nem biztos, hogy a dinamikus káoszrendszereknek is feltétlenül sajátja: siker és karrier, pontosabban a mikro-elektrotechnika fölényes győzelme mindenfajta aggályon.

És e siker titkát nem rejtik véka alá a szerzők. Elmondják, hogy Mandelbrot első kísérletei az „almaemberkével” inspirálták őket munkára. A csak nemrég alapított brémai egyetem nyitottsága, a városi tanács financiális támogatása, egy befolyásos kaliforniai pszichiáter, valamint két San-Franciscói múzeumigazgató pártfogása, és persze a CIBACHROM technika színei, valamint a Goethe Intézet által szervezett nemzetközi kiállítások nyilvánossága és a GEO című pazar kiállítású magazin oldalain publikáltak „adódtak össze” és álltak már mögöttük, amikor a Springer-kiadó ajánlatát megkapták. Ezzel a háttérrel aztán már könnyű volt elérniük, hogy maga Mandelbrot se tehessen mást, minthogy elfogadja a meghívásukat, és egy érdekes cikkel szálljon be a kötetbe. Ebben a Mandelbrot-halmaz felfedezésének a történetét meséli el, és illusztrációként az „almaemberkéről” készült első, még nagyon gyatra komputergrafikáit publikálja. A 256 tónusú szuper-VGA képek után úgy hatnak ezek a szürke nyomatok (a könyv anyagának az összeállításakor még hat évesek sem voltak!), mint a dédszüleink családi albumjaiban talált, s ezüstszürkére fakult réges-régi dagerrotípiák.

A szembesítés eszébe juttathatja az embernek azokat a sorokat, amelyeket A természet fraktálgeometriájában olvasott:

Ez az esszé – írta Mandelbrot ott a saját munkájáról – még a tiszta matematikusok legtisztábbjait is meggyőzheti arról, hogy a már ismert fogalmak megértése terén vagy az új elképzelések és feltételezések keresése közben a szép grafikák mekkora segítséget nyújthatnak. […] Mégsem lehet az a fő célunk, hogy csinos képeket mutassunk. A képek nagyon fontos segédeszközök, de nem többek, mint segédeszközök […]

Mennyire maradt érvényben ez a maxima a The Beauty of Fractals megjelenése után is?

Amikor néhány, a vizualitás terén is oly kiválót nyújtó tudós időnként azzal a gondolattal kacérkodik, hogy munkásságuk talán újra egyesíteni fogja a tudományra és művészetre kettéhasadt emberi kozmoszt, és ezért a fraktálkutatásban is valami „fausztuszi” módon szép feladatot lát, az végül is bocsánatos bűn. Nem várhatjuk el, hogy hit nélkül dolgozzanak. Komolyabb kisiklás, mondhatnám baleset viszont az, ha nemzetközi fontosságú publikációjuk összefoglalásaként egy olyan (nagyon közepes hírű) science-fiction szerzőtől közölnek eszmefuttatást, akinek a horizontján csak annyi jelenik meg ebből a „fausztuszi” kozmoszból, hogy a művészet, az bizony kifejezés. Ezért aztán a komputerképek is, amelyek, mint tudjuk, oly sokat tudnak kifejezni, bizonyára képesek lesznek arra, hogy egyesítsék azt, ami eddig külön művészet volt és külön technikai világ.

Heinz-Otto Peitgen

Azok az idők azonban, amikor büntetlenül lehetett naiv himnuszokat írni szép autókról vagy áramvonalas repülőgépekről, elmúltak akkor, amikor a futurizmus és az Art Deco divatja lejárt. A tárcarovatok kritikusai ma igen érzékenyen reagálnak az olyanfajta ódákra, amelyekben a technika mint világmegváltó filozófia, vagy mint fausztuszi mélységű művészet lép fel. S különösen éles a reakció akkor, ha – mint a fraktálképek esetében is – a művészet tényleg érintve érezheti magát, hiszen a képernyőn megjelenő komplexitás a jel, a nyelv, és a szimbólumrendszerek számos kérdését érinti. Lehet, hogy tényleg az ezekre a problémákra való egészséges ráébredés indította aztán a Springert is arra, hogy a „beauty” fogalmától, legalább is átmenetileg, visszalépjen, és a brémaiak második kötetét szerényebben és tárgyilagosabban mint „science”-t, azaz tudományt prezentálja. Ez a kötet igen sikerült antológia, amelyben főleg a háromdimenziójú fraktálgenerálás és a szférikus felületre vetített fraktálábrázolás kérdései kerülnek szóba. A képanyag minősége pedig az első kötetre talán még rá is dupláz.

Peitgenék könyvei (és könyvesboltokban is forgalmazott videokazettái!) azonban vitán felül a legtöbbet tették eddig a fraktálok (és rajtuk keresztül a matematika) népszerűsítéséért. Hatásukat legfeljebb csak azok a PC-programok múlhatják felül, amelyek a legrafináltabb matematikai és mikroelektronikai trükkök segítségével a közönséges halandót is hozzásegítik ahhoz, hogy komputerén, amit tulajdonképpen csak szövegszerkesztésre vásárolt, olyan fraktálokat generáljon, amiknek a láttán egy-két évvel ezelőtt még Mandelbrot is elsárgult volna az irigységtől (hadd említsem meg e programok koronázatlan királyát, a szubvencionált, és ezért ingyen kopírozható Fractintet, amelyet egy amerikai team ad ki féléves időközökben – a közben a szakirodalomban felmerült legfrissebb fraktálokkal bővített új és új kiadásban).

Elsősorban ezeknek a szuggesztív vizualitású publikációknak köszönhető az, hogy az értelmiség egy része úgy szegődött az utóbbi években fraktálok nyomába, mintha a betlehemi csillagról lenne szó. Aki egyszer látta ezeket a kiadványokat, az többnyire nem is nyugszik addig, amíg valahonnan olyan könyveket nem kerít magának, amikből aztán részletesebben is megismerheti a fraktálok hátterében álló új fizikai, filozófiai és ismeretelméleti szenzációkat. Jó példa erre az, ahogy én magam haraptam rá a témára. A tudományos problémák itt tényleg oly friss ízekkel és annyi kreativitással szolgálnak, hogy az már sokban pótolja a művészetet, ami manapság amúgy is hiánycikk.

A tudományos könyvkiadásnak pedig érdekes, új piacot biztosított az amatőrök táborával kibővült fraktálfogyasztás. Miután a Springer Verlag 1986-ban és 1988-ban a brémaiak könyveivel betört a bestseller listára, 1990-ben kiadta a föntebb már tárgyalt The Algorithmic Beuty of Plants című Lindenmayer-kötetet – vagyis, talán az amerikai piac igényeinek a szem előtt tartásával, mégiscsak újra bedobta a leghatásosabbnak bizonyuló csalit, a művészet fogalmát.

A ténnyel ki kell békülnünk, ilyen a világ. Mindenesetre a fraktálokhoz eddig még nem tapad bűn, még nem állítottak elő velük például atombombát. Rózsákat tartunk a kezünkben, és jól tesszük, ha sietünk a szagolgatásukkal. Ki tudja, mikor és hogy rontják el majd egyesek az illatát.

A világ újrafelosztása: – komplexitásokra

Ideje azonban, hogy pontot tegyek ennek az olvasónaplónak a végére, és megpróbáljam összefoglalni, mire jutottam a matematika és a fizika területén tett kirándulásommal.

Az első, amit előre kell bocsátanom, az, hogy tudatában vagyok annak, hogy milyen előnyökkel és veszélyekkel jár az olvasó pozíciója. Az olvasó eleve interdiszciplináris szemszögből ismerkedik az olvasmányaival, és megengedheti magának azt, hogy olyan területekre is elkalandozzon, hogy ott aztán véleményt formáljon, amik nem tartoznak a szűkebb értelemben vett foglalkozásához. Én sem tagadhatom le, hogy művészettörténész vagyok, és hogy a káoszelmélethez vagy a fraktálgeometriához is a humánus szakmák felől közeledem. Nem támaszkodhatok tehát eközben részletekbe menő természettudományos ismeretekre, de nem kötnek ortodoxiák sem. Nyilván ez a gátlástalanság magyarázza azt, hogy például a nem-lineáris matematika egyes fejezeteit oly közel hoztam a termodinamikához, vagy hogy a fraktálokat kódoló algoritmusokra is csak úgy tudok gondolni, mint csak bizonyos médiumokban megvalósulni tudó struktúrákra. Mind a termodinamika, mind pedig az anyagi világból szerveződő médiumok az idő dimenzióját hozzák a matematikába. Alig hiszem, hogy ezt egy jóérzésű matematikus valaha is meg tudná bocsátani. Hasonló nehézségeket okozhat a nyelvészeknek az, hogy a fraktális médiumokat, például a komputereket vagy a zebra csíkozását, csak azért, mert algoritmikusan vannak kódolva, olyan közel hozom a nyelvészet problémáihoz.

A táblázat, amit a magam gondolatainak tisztázására itt összeállítottam, valószínűleg még a filozófusokat fogja leginkább kielégíteni.

Szimbólumok
(determinált)
Komplexitások
(instabil)
Jelentések
(indeterminált)
számok univerzális állandók intuitív arányok
algoritmusok nem-lineáris matematika analógiák
gyenge kauzalitás
(azonos hatás elve)
determinált káosz erős kauzalitás
(hasonló hatás elve)
szintakszis nyelv szemantika
determinált (művi)
intelligencia
fraktális médiumok
gondolatkísérletek
intuitív gondolkodás
erős modernizmus
(racionális utópiák)
fundamentális
komplexitás elve
gyenge modernizmus
(irracionális utópiák)
bizonyíthatóság
(Gödel-határ)
élet
(halál)
igazság
(tapasztalati határ)

A három oszlop közül a két szélső jól ismert, csupán a középső tűnik szokatlannak, de mindazok tükrében, amit eddig elmondottam, az itt szereplő adatok is talán elfogadhatóvá válnak.

Mit szólnak azonban ehhez az egész metafizikusnak tűnő rendszerhez a természettudósok? Úgy érzem, hogy a közeg, amiben mozgunk, végső soron nem mondhat ellent a természettudományos gondolkodásmódnak sem, mert hiszen csak annyiban metafizikus, amennyiben a Gödel-tétel metafizikának számíthat. Ugyanakkor azt is látnunk kell, hogy éppen a Gödel-tétel, és általában véve is az utolsó sorba írt határkijelzések, nem tartoznak már a rendszerhez, hanem csak azokat a határokat adják meg, ameddig egyáltalán elmehetünk a táblázat használatakor. Érdekes szempontként kínálkozik, hogy vajon tudnánk-e ugyanilyen határokat kijelölni a táblázat felső szegélyén is? Úgy érzem, hogy igen, mégpedig akkor, ha beleegyezzünk abba, hogy ott fönt ugyanazok a tartományok folytatódnának, mint amiket az utolsó sor alatt is sejtünk, vagyis a teológia és a misztika tanításai. A legfelső sorba írt minőségek, nevezetesen a számok, a világállandók és az arányok már éreztetik ezek közelségét, hiszen például a számelmélet és az aránytan kifejezetten (s talán a természettudósok helybenhagyó engedélyét is élvezve) az angyalok tudománya.

A tény azonban, hogy a rendszer nem metafizikus, még nem zárja ki azt, hogy ne legyen mégis transzcendentális. Mégpedig olyan szempontból transzcendens, amiért egyáltalán megéri ilyen táblázatokat összeállítani. A rendszer két szélén álló minőségek ugyanis az európai gondolkodásmód jól bevált fogódzóinak számíthatnak. A bal oldalon a mérhető értékek és a racionalitás, a jobb oldalon pedig az intuitív tartományok és az irracionalitás. Nemde ezek azok az ellentétes sarkokban álló kályhák, ahonnan a táncolók is a keringőiket elkezdeni szokták? A tánc azonban ez esetben a középső oszlop felé sodorja a bálozókat, és itt, ebben a kaotikus tartományban élik át átváltozásukat. Nevezetesen azt, hogy olyan komplexitásokká válnak, amik képesek arra, hogy elhalványítsák a korábban dívó racionalitás-irracionalitás felosztást.

Még e középső oszlopba sorakoztatott értékek közös csokorba kötését sem tekinthetem egyéni leleménynek. Az utolsó évtizedekben egyre általánosabbá vált a felismerés, hogy a valóság legérdekesebb és legszervezettebb struktúrái az instabil rendszerek, mert ezeknek a belső mozgása olyan, hogy képes feloldani a determinált és a nem determinált tartományok közti ellentmondást. Az instabil rendszerek családja, ahová korábban csak az élők világa számított, ki is bővült közben, mégpedig egyrészt az élettelen anyag felé (a disszipativ rendszerek formájában), másrészt azonban fölfelé, a társadalmi jelenségek, a közgazdaság és bizonyos tudati funkciók, kollektív eszmemozgások irányában.

Ennek a nagy önszervező erővel rendelkező instabilitásnak a matematikai modellje a determinált káosz. Anyagi vagy történelmi realitássá pedig akkor válik ez a modell, amikor a nem-lineáris jelenségek és a fraktális struktúrák a gyenge és az erős kauzalitást egymással szemben kijátsszák, és ezen az úton messzebbre jutnak el, mint a tiszta ráció, vagy az irracionalitás. A determináltnak és a szabadságnak ez a kombinációja húsz évvel ezelőtt még elképzelhetetlen lett volna. Itt, egészen váratlanul, olyan út nyílik most meg, mint amilyent néha a barokk mennyezetfreskók kínálnak, amikor tekintetünk mintegy átlép a kupola stukkórétegén vagy téglafalazásán, és amíg a kék éggel nem találkozik, meg sem áll.

Mit látunk a kupola nyílásán át?

Az egész huszadik század filozófiája újra és újra visszatért a nyelv problémájára, mert a filozófia művelői érezték, hogy a nyelv a minket meghatározó minőségek egyik legfontosabbika. A nyelvben ugyanis szinte egyedülálló plaszticitással jut kifejezésre a világra irányuló emberi megismerés ereje és tettvágya, de ugyanakkor a határa is, vagyis az, hogy a nyelv által formába öntött ismeret nagyrészt visszamutat magára az emberre, a nyelv egyik alkotójára. Wittgenstein emlékezetesen szép kijelentését, nevezetesen, hogy a nyelv határai egyúttal a világunk határai is, mégsem szabad abszolutizálnunk, mert az ilyen gondolatok túlértékelése tautológiához és a nyelvvel való terméketlen játékhoz vezethet.

A nyelvnek ugyanis az emberen kívül van még egy másik forrása vagy formálója is, ez pedig maga a világ. A külvilág is rendelkezik jelekkel és jelkombinációkkal (emlékezzünk csak a régies fordulatra: a világ „lelkes állat”), noha igaz az, hogy ezeket a jeleket csak lassan, fokozatosan, és igen áttételesen ismerjük fel. De mégis minden egyes ilyen felismerési aktus egyúttal az emberi nyelv megújulását hozza magval. Karl Popper tanítását tehát kiterjeszteném a nyelvre is: a nyelv csak esendő jel és munkahipotézis, amelyet az ember teremt, s amelyet a világ nem verifikál, hanem falszifikál. Ha nem lenne így, minden kapcsolatunkat elvesztenénk a világgal.

A fenti táblázatban lehet, hogy csak véletlenül került a nyelv a középső helyre. Az azonban már nem volt véletlen, hogy ott találjuk a determinált káosz és a fraktális médiumok közelében. A nyelv ugyanis képes arra a komplexitásra, amit különben a természeti világban csak a determinált káosz és a vele kapcsolatos jelenségek produkálnak, hogy a makroszkopikus világban uralkodó erős kauzalitást megsértve csak a gyenge kauzalitás hajszálvékony fonalát kövesse. Ez történik mindig, valahányszor „okszerűen” gondolkodunk, pontosságra törekszünk, és háttérbe szorítjuk a tapasztalati világ „elnagyolt” igazságait. A nyelvnek ezt az eszményi pontosságot modellező képességét azóta ismerjük, mióta rendelkezünk a logika tudományával. De a logika ismerete vezetett arra a téves feltételezésre is, hogy a grammatika mesterséges generálása, törvényeinek általánosítása, és a fraktális médiumok (mint például a komputer) működése versenyre kelhet az emberi gondolkodással.

A gyenge kauzalitás vékony fonalának a követése olyan teljesítmény, mintha aranytelért követnénk egy roppant hegység testének a belsejében, az azt körülvevő kőzetek hullámzó vonulatában. Ennek a hajszálvékony érnek a futását természetesen műszeresen is ellenőrizhetjük. Az emberi gondolkodás azonban abban különbözik a műszeres követéstől, hogy menet közben soha nem tekinthet el az aranyszálat magába foglaló hegy tömegétől, mert hiszen ez a hegy maga az ember, az emberi lét biológiai és időbeli kiterjedése, illetve társadalmi tartománya. Az a tény azonban, hogy az aranyér követésére élettelen kaotikus folyamatok és algoritmikus rendszerek is képesek lehetnek, igen figyelemre méltó. Azt igazolja ugyanis, hogy a gondolatkísérletek során megnyilatkozó sterilitás (vagyis a gyenge kauzalitás előnyben részesítése) nem az emberi intelligencia kiváltsága.

De ha így áll a dolog, akkor miért nem áll a nyelv közelebb a jelentések világához, ahhoz a tartományhoz, ahol már biztosan nem éri utol az algoritmikus technika? A válasz erre csak az lehet, hogy a táblázat jobboldali oszlopa nemcsak a komplexitások intuitív (vagyis sok tekintetben a legfejlettebb) tartományát foglalja magába, hanem ez az a dimenzió is, amelynek már nincsen határa, ahol feloldódnak a formák. A szélesnek és határtalannak nevezett valóság kezdődik itt el tehát, az a világ, amelyik egyúttal a statisztikus valóság világa is. Ez az univerzumnak az a része, amelyik az entrópia növekedése felé halad, és amelyben az információcsökkenés, a „felejtés” a fő irány. A világ egyik legparadoxabb vonása azonban éppen az, hogy ezzel a fő tendenciával szembeszegülve folyamatos evolúcióról, a kreativitás állandó munkálkodásáról gondoskodik.

A nyelv, azon túl, hogy megformált rendszer (és már csak ezért sem szakítható el a determinált szimbólumok baloldali oszlopától), úgy látszik elsősorban ezt az önszervező erővel telített tartományt „veszi üldözőbe”. Ennek a (kaotikus vagy fraktális) univerzumnak a törvényeit követi a megismerésre tett erőfeszítései során. Lehetne a nyelvnek ezt a tevékenységét egyfajta szimulációnak is nevezni, hiszen a maga anyagtalan, légies eszközeivel a kozmoszt mozgásban tartó dinamikus folyamatokat és struktúrákat utánozza.

Röviden ki kell térnem még arra is, hogy milyen szerepet játszik a táblázatban a modernitás két formája. Ez a rész a táblázat kultúrtörténeti aktualitásának a színtere, tulajdonképpen olyan része a rendszernek, amelyet a fontos összefüggések károsodása nélkül nyugodtan el is hagyhatnánk. Csak azért tértem ki itt is a modernizmusra és az utópiákra, mert személyes érdeklődési köröm arra kárhoztatott, hogy a modern művészetek helyzetéből, és általánosságban véve is a modernista szemlélet kríziséből induljak el a jelen beszámoló írása során. Hogy miért került a modernizmus válságba, arra már a táblázat is megadhatja a választ, amennyiben kiolvashatjuk belőle, hogy az „erős modernizmus”, amely kétségtelenül a radikálisabb változat volt, megmaradt a racionálisan determinált (és ezért nagyon könnyen túlhaladható) utópiák területén. A „gyenge modernizmusnak” pedig az volt a problémája, hogy az általa követett irracionális utópiák eleve nem jó utópiák, hiszen az utópia program, az irracionalitás pedig nem más, mint a jól körvonalazható programok lehetőségének a tagadása. A kétféle modernizmus ilyenfajta szembeállítása tehát tulajdonképpen az utópiák strukturális gyengeségének a kritikája.

A történelem komplexitása persze korszakonként gondoskodik arról, hogy mindkét fajta utópisztikus gondolkodást megcáfolja (ami azonban nem akadályozhatja meg azt, hogy az ilyen gondolkodásmód újra és újra föl ne támadjon). A történelem eme teljessége és kontrolláló szerepe lenne az a „fundamentális komplexitás”, amely a két utópisztikus véglet között egyfajta arany középútként foglal helyet a táblázatunkban? Nem egészen.

A kifejezést Friedrich Cramer, biokémikus, a Max Plank Intézet egyik igazgatója vezette be a komplex jelenségek vizsgálata során, és általánosította aztán a természettudományok és a filozófia egész területére. Abból kiindulva, hogy az algoritmusokkal modellezett valóság a komplexitás növekedésével elérheti azt a bonyolultsági fokot, hogy a kódolására szolgáló algoritmus már ugyanolyan „hosszú”, mint maga a vizsgált valóság (vagyis, hogy vannak objektumok és folyamatok, amelyek nem „rövidíthetők” le képletekre, azaz nem axiomatizálhatók), Cramer három tartományra osztotta a jelenségeket. A matematikailag determinisztikusan leírhatókat és viszonylag egyszerűen kódolhatókat a komplexitás szempontjából szubkritikusnak nevezte. Azok a rendszerek viszont, amelyeknek a kódolása csak nehézségek árán oldható meg, és ahol a rendszer működése már csak elvben (vagy még úgy sem) tekinthető determináltnak, mert nem tudunk biztos prognózissal szolgálni a jövőjére vonatkozóan, lennének a kritikus komplexitású objektumok.

Fundamentálisan komplex pedig minden olyan rendszer, amely determinisztikus kiindulási pontja dacára indeterminisztikus vagy kaotikus tartományba fut ki. Ezeknek jövőjéről alapvető okok miatt nem tudunk semmit sem mondani. Az itt fellépő indeterminisztikus jelleg sokszor azt is lehetetlenné teszi, hogy megállapítsuk, hogy hol van a kritikus és a fundamentális komplexitás között húzódó határ.

És itt zárul a kör, illetve e ponton kapunk választ arra is, hogy miért nem térhetünk ki azoknak a dolgoknak az ismerete elől, amelyeket a determinált és az indeterminált világ közti senki földjének a felderítése hozott magával. Mint oly sokszor, most is néhány matematikai felfedezés adta kezünkbe azt a kulcsot, amivel nyitni tudjuk az új világrész felé vezető kaput. A legesszenciálisabban talán a Feigenbaum-szám, amely nem arányokat, hanem önszervező erőt, dinamikát definiál. Ez a léptékrendszereken átható, transzcendens dinamika biztosítja azt, hogy a világ ne legyen homogén sivatag, hanem, hogy benne a heterogenitás és az önhasonlóság különös módon szervezett alakzatai uralkodjanak, azaz az egymással rokonságban álló, egymásnak kezet adó formák.

Hogy mire jutunk ezzel az új világgal, az még a jövő titka, de annyi biztos, hogy a Feigenbaum-szám fölfedezése (úgy is mint jelkép, de úgy is, mint tudományos és világnézeti fordulat) pontot tett a kalkulált utópiák végére. Vele tehát lezárult a modernizmus kora, az a korszak, amelynek lényege a „tudományos jövőkutatás” volt, illetve, mint attitűd, de mint gyakorlat is, a jövőt áhító, annak elébe siető, ujjongó vagy mérnöki alapossággal programokat kovácsoló mentalitás. A dinamika talán az egyetlen olyan fontos elem a modernizmus jellegzetességei közül, amely valószínűleg – hiszen maga is ludas a változásokban – túléli majd ezt a pálfordulást. Valószínű, hogy az ezzel összefüggésbe hozható földindulás nem lesz kisebb, mint az, ami egykor a középkor végét szignalizálta. Lehet, hogy továbbra is megmarad a természettudományos világkép prioritása, csakhogy más lesz az, amit úgy nevezünk majd, hogy „tudományos hozzáállás”. A jövő bukásával ugyanis eltűnik az odavezető út fontossága is. Új reflexeink alakulnak ki majd a térre és időre vonatkozóan? Bizonyos csak az, hogy a megálmodott utak helyett most egy olyan ösvény tűnik fel előttünk, amely alapvető okok miatt nem képezheti semminemű vizsgálódás tárgyát. Amely következetesen ignorálja a kutató tekintetet, hiszen állandóan „elkanyarodik”. De amely – reméljük – mégis járható marad majd minden kanyar után.

1992. február 6.

Peter Raedschelders Escher-ihlette fraktálja
forrás
Jegyzet

Itt hívom fel a T. Olvasó figyelmét arra, hogy e kiadvány végén rövid összefoglalást találhat a fraktálok matematikai alapvonásairól – ezt a „függeléket” a Mozgó Világ 1991. decemberi számában megjelent A természet rejtett arca című cikkemből emeltem át ide. Bár e tanulmány a fraktálok matematikájának az ismerete nélkül is olvasható, igazi megértéséhez a függelékben összefoglaltak nélkülözhetetlenek. – P. G.

(Ezt a részt egy későbbi számban közlöm – A szerk.)

Forrás

Perneczky Géza: Mire jó a fraktáfilozófia? A nyelvről, a komputerről, a fraktálokról, a káoszelméletről és a modernizmus válságáról a művészettörténész szemével. Köln: A szerző kiadása, 1992. 5–61. p.