Mennyire lehet matematikus a képzőművész?

Perneczky Géza
matematika, káoszelmélet, fraktálgeometria, Benoît Mandelbrot, nyelvészet, Noah Chomsky, generatív grammatika, biológia, növénytan, Lindenmayer, L-system
szóelválasztás

Néhány évvel ezelőtt történt, hogy a ludwighafeni múzeumban nagyszabású kiállítást rendeztek a véletlen és a művészet közös határterületeit felkutató modern törekvések legfontosabb képviselőiből. A sok aleatorika, automatizmus, zen-buddhista effekt, vagy a tudatalattit faggató, illetve a szinkronba állítás módszerét alkalmazó metódus és meglepetés mellől persze nem hiányozhatott ennek a babonás fényű kelléktárnak a legfrissebben divatba jött eleme, a káosz-elmélet sem. Egy amerikai művésznő küldte el azokat a grafikai lapokat, amelyek nem voltak mások, mint a Mandelbrot- és Julia-halmazok végtelen gazdagságú részleteiből kiemelt példák – úgy, ahogy az ilyesmit a káosz-dinamikáról és a fraktálokról szóló könyvek lapjairól ismerjük, illetve, ez esetben kissé fakóbban és esetlenebbül; akképpen, ahogy egy színes tintasugaras nyomtató a művésznő otthonában azokat a komputer képernyőjéről a papírra nyomta.

Mondanom sem kell, hogy csak a félreértések sorozata, illetve a kiállítási intézményeknek és az ott dolgozó művészettörténészeknek a természettudományos kérdésekben való tájékozatlansága magyarázhatta, hogy ezek a nyomatok egy olyan tárlaton szerepelhettek, aminek a címe a Véletlen mint művészet volt. A Mandelbrot-halmaz ugyanis se nem a véletlenre, sem pedig a művészetre nem szolgálhat sikerült példaként. Egyike a determinált káosz eseteinek, amely – mint ahogy azt a neve is mutatja – olyan sorok és halmazok matematikája, amelyben a véletlennek semmi szerepe nincsen, annál érdekesebb persze, hogy a vizuális látvány, amivel az ilyen fraktálok szolgálnak, mégis a kimeríthetetlenül komplexre és a követhetetlenül bonyolultra ad szemléletes példát. És ha a determináció valamint a komplexitás eme látszólagos ellentmondása talán túl is nő a matematikai problémák megszokott keretein, akkor is legfeljebb csak a kísérletező kedvű komputer-grafikus látja hasznát, vagy pedig az elektronikus megjelenítés technika általánosabb kérdései, illetve a filozófia ismeretelméleti fejezetei azok a területek, amelyek tényleg profitálnak a dologból.

Hadd fűzzek a fenti jellegzetes esethez néhány általánosabb megfigyelést. A káoszdinamika vizuálisan is megragadható képe nem az első és egyetlen sorokra vagy szekvenciákra bontható formalizmus, amely szokatlan erejű újdonságként vonta magára a figyelmet az utolsó évtizedekben. Az ismétlés és a kvázivégtelen variálás technikája már régóta ott kopogtat az ajtón. Talán a dzsesszben és a kalligrafikus festészet nyitott kompozíciójú változataiban (Tobey, Pollock) jelentkezett először, de aztán igazán jellegzetes formát csak az ezt követő törekvésekben, és (nem véletlenül) a szigorúbb, a racionálisabb szerkezetű műfajokban alakított ki magának. A konstruktivizmusban gyökerező szeriális formavariációk képviselőire gondolok itt (korai Vasarely), és általában is a Kinetik Art és az Op Art algoritmikusan programozott mozgásformáira és formaszekvenciáira. Logikailag nagyon hasonló szerkezetű szekvenciákkal igyekezett Chomsky is modellezni a mondatok szemantikai fölépítését az általa generatív nyelvészetnek nevezett tudományág kiépítése során. Mindezek a tendenciák egyre gyorsuló tempóban érvényesültek az ötvenes évektől kezdve. Chomsky formalizmusát csakhamar Lindenmayer vette át – most már a növények morfológiájának a leírására. Az egész felerősödő hullám jó példa arra, ahogy egy heurisztikusnak ígérkező módszer egy évtized leforgása alatt mind a képzőművészetben, mind pedig a humán diszciplínákban, illetve a természettudományban teret hódíthat magának.

Egy további állomásnak számíthatott a „generatív algoritmusok” diadalútján az amerikai Minimal Music megjelenése. Mivel az egyes motívumok itt nemcsak „végtelenül sokszor” ismétlődnek, hanem közben az iterációhoz hasonló (bővülő és szűkülő) transzformációkon is átesnek, ez a kompozíciós technika tényleg sokban emlékeztet a lineáris matematikai sorok szerkezetére. Érdemes megemlíteni még, hogy a Minimal Music zenei technikája mennyire kiemeli a formák időbeli egymásutánjának a struktúráját. Az egész kompozíciós technika tulajdonképpen nem is más, mint a linearitás fonalára felfűzött időegységek egymásból generált, és ezért egymástól csak nagyon kevéssé különböző mintákkal való „megtöltése”. A mániákus ismétlésre és a tér monoton kitöltésére egyébként a képzőművészeti Minimal Art bizonyos változatai is szolgáltattak néhány jó példát (Carl Andre, Donald Judd), sőt még a monokróm festészetnek (vagy Opalka növekvő számok tengeréből festett, és meglehetős monokróm hatást kiadó konceptuális táblaképeinek) is elképzelhető egy olyan aspektusa, amely az algoritmikus komponálás szerepét hangsúlyozza. Az egész lineáris monotónia végső soron Málevics „fehér szuprematizmusára” vezethető vissza, vagyis arra a festészeti alapállásra, amely nem a háttérből kiemelt objektumokkal dolgozik, hanem magának a háttérnek a ritmizálásával, motívumokra tördelésével és kvantálásával ér el hatást (ennek legtökéletesebb változatára Málevics tanítványa, Strzeminski adott példát az „unista” képeivel).

Mindez persze még belefér a lineáris matematika adta asszociációs keretbe. Ami viszont igazán érdekes lenne, vagyis a nem-lineáris sorok dinamikája, az valami teljesen más dolog. Aki vette már magának a fáradtságot, hogy utána olvasson a szakirodalomban, az tudja, hogy a legelemibb nem-lineáris szekvenciák is mennyire hajlamosak arra, hogy az általuk leírt arányok azonnal az exponenciális léptékváltás dimenzióiba szökjenek át. Ami azt jelenti, hogy a hűséges leképezésükhöz szükséges anyag (tér, intervallum stb.) kiterjedése is már az első iterációknál az egy, tíz, száz, ezer… és-így-tovább nagyságrendek közt kell, hogy lépegessen – vajon miféle képzőművészeti technika vagy zenei hangzáskép lenne képes arra, hogy ezeket a léptékváltásokat makroszkopikus arányú képpé, egységes benyomást keltő és jól felfogható emberi élménnyé alakítsa át? Nyilvánvaló itt a számokkal való operálás abszolút fölénye, illetve az elektronikus megjelenítés pixel-technikájának a majdnem egyedülálló alkalmassága, és talán még inkább az a fogás, amivel a fraktálképekben rejtőző exponenciális léptékváltásokat a monitoron megmutatjuk: nem a fizikai dimenziók növekedésével, hanem a színek szekvenciájának a halványuló vagy mélyülő tónusaival jelezzük a dinamikus változást. Nem véletlen tehát, hogy a fraktálképek oly szorosan összenőttek a komputer-technikával, hiszen nemcsak az elvégzendő matematikai műveletek milliószoros szekvenciája, hanem a megjelenítés során szükséges léptékváltás hasonló arányú komplexitása is az elektronikus média segítsége után kiált.

Ha ennél hagyományosabb technikával foglalkozunk, és papírt s ceruzát, illetve a mindennapi gyakorlathoz közelálló makroszkopikus formákat és egyszerűbb (például fekete-fehér vonalrajzot alkalmazó) nyomdatechnikát képzelünk magunk elé, és így akarunk dolgozni, akkor legalább a káoszdinamika jellegzetesen bonyolult komponensét, a perióduskettőzést, és a vele járó látszólagos irracionalizmust, az ún. kaotikus rezsim megjelenését kell elkerülnünk. Ez persze visszalépés a nem-lineáris matematika izgalmaitól a szelídebb tájakra, de éppen a már említett Lindenmayer-féle L-system fraktálok kínálnak mégis meglehetős magas szinten ilyen kompromisszumos megoldást.

Pár szót erről a fraktálcsaládról.

A Chomskytól átvett és továbbfejlesztett formalizmus, amelyet a nemzetközi irodalom „turtle methode”-nak (teknősbéka módszernek) nevez, és amely egyszerű egyenes szakaszokból és szögekből álló kódnak (a papíron így látjuk: grafikai formának) a négyzetesen bővülő ismétléséből áll, nagyon elemi matematikával is megelégszik, mert tulajdonképpen csak egy additív módszer. És igaz ugyan, hogy éppen ezért nélkülözi a káoszdinamika sok jellegzetes vonását (nincsen benne perióduskettőzés, és hiányzik a kezdeti feltételekre való ellenőrizhetetlenül kis léptékű érzékenység is – ezt az érzékenységet nevezik egyébként pillangó-effektusnak), ezzel szemben azonban ezeknek az „attraktorrá” vagy bonyolult vonalhálóvá terebélyesedő egyszerűbb rekurzív fraktáloknak is meg van a maguk varázsos dinamikájuk és előre nem látható fantasztikus formagazdagságuk. Ha pedig a képzőművészet szerényebb igényeivel (helyesebb persze így fogalmazni: makroszkopikus dimenziókhoz szokott szemléletmódjával) közeledünk hozzájuk, akkor azt mondhatjuk el róluk, hogy határterületnek tekinthetők az euklideszi geometriából is jól ismert formák, azok transzformációi, valamint a „szabad szemmel” már nem követhető, a megszokott szemlélettől elkanyarodó bonyolultabb fraktálgeometriai jellegzetességek között. Az L-system fraktálokon ugyanis olyan transzformációk is végrehajthatók, amelyek során azok akár meg is szűnhetnek fraktáloknak lenni – noha még ilyenkor is érvényes rájuk, hogy algoritmikusan generált geometriai alakzatok.

Hadd fordítsam le ezt a megállapítást a művészettörténész (és a laikus olvasó) prózaibb nyelvére: tulajdonképpen minden fraktálalakzatot elvben a végtelenségig kellene iterálnunk, azaz a kiindulópontul szolgáló formulában rejlő műveleti utasításokat a végtelenségig kellene megismételnünk ahhoz, hogy a fraktál tényleg „elkészüljön”. Ekkor a vonal követhetetlenül finom rezgéssé, a sík végtelen filigrán szitává, a testek pedig porrá foszlóan áttört szivaccsá válnának. Ez az ideális tökéletességű elmerülés a végtelenül kicsiny arányok világában azonban csak gondolati aktus, hiszen nem valósítható meg sem a matematika gyakorlatában (ahol az idő és a technika végessége állja ennek útját), sem pedig a fizikai világban (ahol meg az atomok és a szubatomi részecskék küszöbének az elérése teszi lehetetlenné a további felaprózást). Valahányszor tehát egy-egy könyv oldalain fraktálképeket látunk, azok mindig csak megközelítések, mindig csak „elkezdett” fraktálok, és éppen az L-systemhez tartozó fraktálok esetében jellemző, hogy rendszerint csak az első négy-öt, esetleg hat-nyolc iterációig jutunk el a munkánkkal – a rendelkezésünkre álló egyszerűbb számítási eszközökkel nehéz lenne (de a szemléltetés számára fölösleges is) tovább pontosítani a fraktálkép újabb léptékváltással pontosított részleteinek a kiszámítását.

Ez a tökéletlenség teljesen érdektelen a matematikus számára, nem zavarja őt, ugyanis rég megszokta már, hogy szimbólumokkal dolgozzon (a π-t is „késznek”, valóságosnak tekinti, noha soha nem írja ki a végtelen sok tizedes tört jegyét). Más a helyzet a vizuális megismerés és a képzőművészet szakterületein. Itt is érvényes a szimbolikus ábrázolás szerepe, de más ennek a szimbolikának a motivációja. A képzőművészet sok ezer éves története folyamán ugyanis csak kivételes esetekben fordult eddig elő, hogy a művészet magával az ábrázolt tárggyal „ábrázolta”, jelölte volna a témáját. Jelölt és jelölő között mindig különbség feszül, a műalkotás csak nyelvi szimbólum, csak redukált valósg. Persze nem mindegy, hogy miként redukálunk. A művészi redukció képes kell, hogy legyen olyan többlettartalmak közvetítésére is, amelyeket az eredeti tárgy még nem birtokolt.

Ezt a minőségi különbséget is biztosító redukciót és távolságtartást nélkülözöm akkor, amikor képzőművészet címszó alatt csupán egy-az-egyben reprodukált fraktálképeket látok. És az ilyen fajta redukció lehetőségét érzem közelebb akkor, amikor a fraktálképek nyilvánvaló tökéletlensége (például az euklideszi geometriához közelebb maradó vázlatos vonalassága) eleve arra figyelmeztet: ez még nem fraktál, hanem csak modellje mindannak, amit a szó jelent, és egyúttal megidézése annak, hogy milyen nyomot hagyott maga után a kultúra területén, miféle szemléletmódot teremtett meg a mindennapok világában ez a matematikán túlemelkedő fogalom.

Már vannak ilyen képzőművészeti alkotások. Hogy magyar példánál maradjak, hadd említsem meg az „Árnyék-kötők” csoportjához tartozó Szász János nevét, aki a Kassákon át Málevicsig visszanyúló geometrikus absztrakció szellemében fest képeket – amelyek azonban minden egyszerűségük és puritán szűkszavúságuk ellenére is a káoszdinamika jegyeit viselik magukon. Iterált alakzatokra utaló olajfestmények, melyek olyan kompozíciós sémával rendelkeznek, amelyeknek a léptékváltástól független önhasonlóság a lényegük. Mások bizonyára más példákat tudnának mondani. Ha összegyűjtenénk az ilyen alkotásokat, akkor valószínűleg úgy találnánk, hogy ami a művészek személye és egyéni stílusa fölé emelkedve összeköti őket, az talán nem is annyira a matematika vagy a fraktálgeometria szeretete (jóllehet szerepet játszhat a művek megalkotásakor ez is), hanem mindenekelőtt egyfajta etikus magatartás, bizonyos fajta intellektuális teljesítmények tisztelete, és a bennük megfogalmazott ideák vállalása. Ha akarom, azt is mondhatnám, hogy egyfajta nonkonformista utópia kimunkálása.

Mit keres itt ez a szó, hogy nonkonformizmus? Nos, a szabályos fraktálok szépsége és intellektuális érdekessége nem a természet műve, hanem a természet jelenségeiből absztrahált törvények ismerete, illetve ezek kamatoztatása, magyarán: az analitikus gondolkodás terméke. Noha igaz az, hogy a természeti világ alakzatai túlnyomórészt fraktális jellegűek, a természet fraktáljai mégis teli vannak a véletlenek és a statisztikus elosztású kölcsönhatások „szennyeződéseivel”. Így érthető, hogy a világban járva-kelve miért van az, hogy sokszor csak „csúnya”, vagy legalább is jellegtelen és szabálytalan alakú fraktálokat találunk. Megint meg kell ismételnem tehát: az a képanyag, amit a fraktálgeometriai szakkönyvek elénk tárnak, idealizált, és többnyire úgy aránylik a természeti valósághoz, mint egy tökéletes arányú dór oszlop az őserdő fáihoz. Általában azonban az őserdő a divat, és így egyáltalán nem magától értetődő, ha ilyen körülmények között valaki még mindig (vagy már megint) az ideális oszlopok arányain dolgozik.

A káoszdinamika és a fraktálképek konjunktúrája és a népszerűbb publikációkból dagasztott média-dömping gyakran vetítette már elénk azt a csábító képet, amely körülbelül arról szól, hogy a komputeren generált újdonságokat meglovagolva talán valami mesebeli várba érkezünk majd el (ide tartozik a virtuális valósággal kapcsolatos marketing hadjárat is). Ez a kép biztos, hogy hamis, hiszen hozzátartozik az új technológiákat kísérő reklámfogásokhoz. Galilei helytállása vagy Leonardo intellektuális kíváncsisága helyett csak a tömegtársadalom idoljai lennének itt a szálláscsinálók (és ne tagadjuk, hogy még Mandelbrot vitathatatlan nagyságára is rávetül egy csipetnyi abból a zavaró árnyékból, ami a mai időknek jobban megfelelő tudós típusának, az Einsteinből és Walt Disneyből összegyúrt marketing-menedzser-polihisztornak felelhet meg).

A szóban forgó nonkonformizmus idealizmusa abban áll, hogy ennél szerényebb, aszkétikusabb és szolidabb eredményekre törekszik, például, hogy munkájából éppen a Walt Disney-faktort próbálja kikapcsolni. Hogy milyen esélyei vannak a sikerre, az nagyon bizonytalan. E kérdésre majd talán a jövő tudománya és művészete ad választ.

Forrás

2000 1997/4.