„Matematika és művészet – nem két ellentétes pólus”
Péter Rózsa
matematika, tanítás

Megragadóan érdekesek és megdöbbentően időhöz nem kötöttek a nagy matematikusnak, Péter Rózsának gondolatai a matematika, a művészet, a világ dolgainak összefüggéseiről. Bár Ő maga immár közel húsz éve nincs közöttünk (1977-ben hunyt el), mondanivalója modern és mához szóló. Az alábbiakban némileg rövidítve adjuk közre több mint két évtizede, képzőművész hallgatók számára tartott, ma is friss hatású előadását. Az eddig nem publikált kéziratért és a rövidítések elvégzéséért ezúton mondunk köszönetet Péter Rózsa nevelt fiának és hagyatéka gondozójának, Andrásfai Bélának, a matematikai tudomány kandidátusának, a Budapesti Műszaki Egyetem docensének. (A Magyar Tudomány szerk.)

szóelválasztás

A megtisztelő felkérés, hogy én, a matematikus, tartsak előadást a Képzőművészeti Főiskola rendezvényén, természetesen nagyon meglepett. Még meglepőbb volt megtudnom a Pedagógiai Tanszék vezetőjével folytatott beszélgetésből, hogy az ő főcélja az oktatás elembertelenedése ellen küzdeni, és ehhez éppen egy matematikus segítségét kéri. Meg kell mondanom, hogy bennem valóban emberére talált, mert nekem ugyanez fáj a matematikaoktatásban. Ő arról is beszélt, hogy a fejlődő embert sok oldalról érő nevelői ráhatások szintézisére törekszik; és szerinte a ható tényezők között a matematika és a művészet éppen ellenkező pólusokon helyezkedik el. Feltéve, hogy így van, fokozott segítséget jelenthet, ha valaki erről az ellenkező pólusról emel szót az oktatás elembertelenedése ellen.

A felkérésnek azért merek eleget tenni, mert könyvet is írtam már annak megmutatására, hogy nem vagyunk olyan messze egymástól. Ebből a könyvből, a Játék a végtelennelből kiírtakat választom mintegy „textus” gyanánt előadásomhoz – bár természetesen nem prédikálni akarok.

Először azt szeretném megvilágítani, hogy a matematikaoktatásban, ha nem is éppen ellenkező pólusról, de mindenesetre egészen sajátos nevelői ráhatásokról van szó, amelyek nem nélkülözhetők a teljes emberré nevelésben.

Mindenekelőtt a matematika minden más tárgynál inkább nevel önálló gondolkozásra. Egy nagy matematikus mondta egyszer, hogy „a matematika a magától értetődő dolgok tudománya”, és ez így is van: igen kevés tapasztalati anyagra támaszkodva, csak az eszét használva, bárki eljuthat a matematika tételeihez. Egy gyerek is juthat önálló eredményekre, szinte minden előzetes tudás nélkül. Velem gyakran megesett, hogy tanítványaim felfedezésekkel álltak elő, már 10 éves koruktól kezdve. Egy ilyen felfedezésektől izgalmas órámat, szóról-szóra úgy, ahogy lezajlott, le is írtam a Játék a végtelennelben. Ezt el is mondom (a hitelesség kedvéért a gyerekek valódi neveivel), mert minden pedagógiai mondanivalóm megmutatkozik benne.

A 10 éves Szende Zsuzsi óra előtt elém állt ezzel:

Megfigyeltem, hogy ha össze akarom adni a számokat 1-től egy páratlan számig, például 5-ig:

$$1+2+3+4+5\text{,}$$

akkor ugyanannyit kapok, mintha a 'középsőt' (itt 3 van a középen) megszoroznám az összeadandók számával (itt 5-tel): 5\cdot3 az 15, és 1+2+3+4+5 is 15. Ez mindig így van, de nem tudom, hogy miért.

Hát ez bizony számtani sor – gondoltam magamban – hogyan is magyarázzam meg ezen a fokon? Mindenesetre az osztály elé tártam: Zsuzsinak van egy érdekes problémája. Még végig sem mondtam, Bíró Évi úgy jelentkezett, hogy majd kiesett a padból. „Csacsiság lesz az, Évi” – mondtam neki – „ilyen hamar nem jöhettél rá.” De igen ő tudja. „Hát akkor mondd.” És mondta:

Zsuzsi $5\cdot3$-at mondott, ami ennyi:

$$3+3+3+3+3\text{.}$$

Ezt mondta Zsuzsi a felírt összeg helyett. Tehát 1 helyett 3-at mondott, vagyis 2-vel többet. De 5 helyett is 3-at mondott, vagyis 2-vel kevesebbet; és ezek kiegyenlítik egymást. Ugyanígy: 2 helyett 3-at mondott Zsuzsi, vagyis 1-gyel többet, de 4 helyett is 3-at mondott, vagyis 1-gyel kevesebbet, és ezek is kiegyenlítik egymást. Középen pedig itt is ott is 3 van.

Elégtételt kellett adnom Évinek: én ezt nem tudtam volna ilyen szépen elmagyarázni; ettől kezdve mindig így is tanítottam.

Még ide tartozik, hogy Remoussin-Kende Marika megjegyezte:

– Ez olyan, mint egy füzet.

– Hogy érted ezt?

– Itt az első és az utolsó összeadandó egyenlítette ki egymást, azután a második és az utolsó előtti; a füzetben is így függnek össze a lapok: ha az elsőt kitépem, kiesik az utolsó is; ha a másodikat kitépem, kiesik az utolsó előtti is.

Itt már mutatkozik annak a jele, hogy nem is vagyunk ellentétes póluson: megjelenik a kép, a vizuális kapcsolat.

Az osztály nem hagyta annyiban a dolgot; szóba jött, hogy mi van, ha páros számig megyünk, ha nem 1-gyel kezdünk, ha nem mindig 1-gyel megyünk tovább az összeadandók képzésekor – óra végéig készen volt az általános törvényszerűség a véges számtani sor összegének kiszámítására. Mindezt véletlenül idézte elő az, amit fontosnak tartok: hogy szabad kifutást engedtem a tanulók spontán alkotókedvének.

A matematika a szabatos fogalmazásnak is legjobb iskolája. Például egy szerkesztés lépéseit, a nehézkes táblai eszközökkel, rendszerint én magam végeztem a táblán, de a tanulók adta utasításokat követve; és rögtön rosszul rajzoltam, mihelyt valamit félreérthetően mondtak. Így hozzászokik a tanuló, hogy se többet, se kevesebbet ne mondjon, mint amennyit kifejezni akar; komoly jellemnevelő hatása van annak, hogy itt nem lehet „mellébeszélni”.

De talán a legfőbb nevelő érték, amelyben egyetlen tárgy sem versenyezhet a matematikával: csakis a matematika képes a maga állításait tekintélyekre való hivatkozás és egyes esetekből való általánosítás nélkül bebizonyítani.

Nem-matematikus például úgy próbálná igazolni Szende Zsuzsi megfigyelését, hogy sok esetben kipróbálná: nemcsak 5-tagú összegre, hanem mondjuk 7-, 9-, 11- és 13-tagúra is. Matematikus számára ez korántsem volna meggyőző. Hiszen hasonló módon például azt is be lehetne bizonyítani, hogy 60-ban minden nála kisebb szám megvan maradék nélkül. Mert maradék nélkül megvan benne az 1 is, a 2 is, a 3 is, a 4 is, az 5 is, a 6 is – egy fizikus talán már régen rámondta volna: „Tehát igaz az állítás”; pedig nem igaz, hiszen 7 már nincs meg maradék nélkül 60-ban. Könnyen lehet akár olyat is állítani a számokról, ami az első millió számra igaz, de a millió egyedikre már nem. Matematikán nevelődött embert nem lehet félrevezetni téves következtetésekkel, helytelen általánosításokkal.

A helyes matematikai általánosításhoz nem kell okvetlenül sokakat elriasztó betűkkel számolni. Bíró Évi az 5-tagú összegen bizonyította be Zsuzsi állítását, ez mégis általános érvényű bizonyítás volt, mert semmit sem használt fel 5 sajátos tulajdonságaiból: mindenki számára világos volt, hogy bármely más páratlan számig összegezve a számokat ugyanúgy járhattunk volna el.

A Játék a végtelennel csaknem teljesen formulamentes könyv, óvakodik a betűk használatától. Csak az itt idézett részét követő vizsgálatok végén tesz kivételt. Miután ugyanis rávilágít, hogy ugyanazzal az okoskodással, amellyel a véges számtani sort összegeztük, megállapítható a sokszögek átlóinak száma is, az is, hogy egy osztály párba állításakor hányféleképpen választható meg az első pár, és még sok más is, mindezek után felírja a mindezekhez tartozó közös formulát, ezt:

$$\small1+2+3\dots+n=\frac{(1+n)n}{2}$$

mondván:

A formula felírása az örömünk kifejezése azon, hogy mindezt egyetlen gondolat segítéségével tudjuk megoldani.

Bár az eddigiekben a matematika sajátos nevelői hatásáról volt szó, amelynek eszközei az absztrakt matematikai fogalmak: puszta számok, ezeket általánosító betűk, egyetlen szó nélkül, pusztán jelekkel felírt formulák – úgy gondolom, hogy a leírt oktatási módot nem lehet elembertelenítőnek érezni.

Annál inkább nevezhető elembertelenítőnek a ma divatos formalista irányzat, amely absztrakt algebrával akarja kezdeni a matematikatanítást.

Az absztrakt algebra a mi – sok konkrét tapasztalatból leszűrt – formulánknál sokkal messzebb menő absztrakciókkal dolgozik. Itt n akármilyen természetes számot jelölt; az ún. „algebrai szám” ezt nagy mérvben általánosító absztrakt fogalom. Itt a „+”-jel a jól ismert összeadást jelölte – az absztrakt algebrai struktúrákban sokkal általánosabb művelet-fogalom szerepel. Mindezekhez hasonló úton jutott el az algebra, mint mi az itt felírt formulához: felfedezték, hogy a matematika egymástól egészen távol eső területeinek legbelső szerkezete megegyezik, és így magát az elvont szerkezetet vizsgálva, egyszerre kapunk a legkülönbözőbb területeken érvényes eredményeket. Ez nagyon lelkesítő felfedezés, de ha úgy tanítják a matematikát, hogy nem beszélnek az idevezető útról, hanem rögtön a puszta szerkezettel foglalkoznak, akkor zörgő csontváz lesz ez a szerkezet, amiről lidércnyomásos emlékeket visznek magukkal az iskolából kikerülök.

Mindig eszembe jut erről a Karinthy Frigyestől származó párbeszéd egy apa és érdeklődő fia közt:

– Édesapám, mi a telefon?
– Képzelj el egy óriási daxlit, amelynek hátsó lábai Pesten vannak, mellső lábai Budán. Ha Pesten a farkára lépsz, a daxli Budán ugat.
– És mi a drótnélküli távíró?
– Ugyanez daxli nélkül.

A formalista matematikaoktatás rögtön „daxli” nélkül kezdi a magyarázatot.

Pedig éppen az ellenkező irányban vannak még az elmondottakon túlmenő fontos tennivalói a matematikaoktatásnak. Hiszen a matematika lényegéhez tartozik, hogy tárgyaiból a tiszta formát hámozza ki, és az élet szép fölöslegeinek és esetlegességeinek lehántása mindig magában rejti az elembertelenedés veszélyét. Most van helyén, hogy elővegyem a textusomat, amely megmutatja, hogy nemcsak más tárgyak tanításával, hanem magán a matematikán belül is védekezhetünk ez ellen, kiemelve a matematika eleven emberi kapcsolatait és művészi oldalát. Hiszen, amint megírtam, és már sokszor elmondtam, a Játék a végtelennel egy író: Benedek Marcell kívánságára jött létre, éppen azért, hogy ő képeket meríthessen belőle. Ilyen képeket gyűjtöttem össze a textusomban – persze azok számára nem újak, akik már olvasták ezt a könyvet.

A könyv a tíz ujjacskájával játszó kisgyerekkel kezdődik: lehet, hogy az „egy”, „kettő”, „három”, „négy” csak rövidítés ahelyett, hogy „ez elment nyulászni”, „ez meglátta”, „ez meglőtte”, „ez megsütötte”, és így tovább; és ez nem is tréfa: egy orvostól hallottam, hogy vannak olyan agysérültek, akik nem tudják az ujjaikat megkülönböztetni, és ezzel mindig együtt jár a számolási készség kiesése is; ez a tudat alá jutott kapcsolat tehát még a felnőttben is elszakíthatatlanul szoros. Én így képzelem: a matematika egyik forrása az ember játékos természete, és éppen ezért nemcsak tudomány a matematika, hanem művészet is.

Kezdetben nincsenek is puszta számok: nincs 2, csak 2 ujj, 2 fül, 2 alma van; nagyon sokat okosodik a kisgyerek, mire észreveszi, hogy mindezekben van valami közös: a számuk. Számláláskor a meglevőn mindig túlmegyünk még eggyel, és ebben nem akadhatunk el soha; így jutunk a végtelen első képéhez a matematikában: a természetes számok minden határon túl folytatható, végtelen sorozatához:

$$\small1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$$

Itt ezt lehetne mondani: valóban, eleven, színes dolgokon át jutottunk az elvont számfogalomhoz, de a matematika már ezzel az elszürkült fogalommal dolgozik tovább. Csakhogy amit az egyik kezével elvesz, azt a másikkal bőven visszatéríti a matematika: váratlan, új vonásokkal színezi az elszürkült képet. Kétségtelen, hogy 6 gyerek, 6 dió színesebb valami, mint a belőlük elvont hatos szám. De micsoda egyéni képet kap ez a szürke hatos, ha a valódi osztóit vizsgáljuk! 6 valódi osztói ugyanis

$$\small1, 2 \text{ és } 3,$$

mert ezek a nála kisebb számok vannak meg benne maradék nélkül. Ezeket összeadva

$$\small1 + 2 + 3 \text{ éppen } 6\text{.}$$

Tehát itt a valódi osztók összege maga a szám! Az ilyen számokat a régiek „tökéletes számok”-nak nevezték; és 6-nak Jellemző egyéni tulajdonsága, hogy ö a legkisebb tökéletes szám. Ez a felfedezés talán még élénkebben színezte a hatost, mintha megmaradtunk volna a 6 dió mellett. De végtelen távlatokat is nyitott: megindult a kutatás más tökéletes számok után. Mindeddig csak néhányat találtak – például a 28 is ilyen – ezek mind párosak: máig sem tudjuk, hogy van-e végtelen sok tökéletes szám, és hogy páratlan van-e egyáltalán.

Miről is van itt szó? Az ember megteremtette a maga céljaira a természetes számsort, ez az ő alkotása, a számlálás és a számlálásból eredő műveletek céljait szolgálja. De ha már egyszer megteremtette, többé nincs hatalma fölötte. A természetes számsor van, önálló létet kapott, többé nem lehet módosítani rajta, megvannak a saját törvényei, saját egyéni tulajdonságai, olyan tulajdonságok, amikre álmában sem gondolt az ember, amikor megalkotta. A bűvészinas káprázó szemmel áll a felidézett szellemek előtt. A matematikus „semmiből teremt új világot”, azután ez a világ a maga rejtelmes, váratlan törvényszerűségeivel megfogja őt; most már nem alkotó, hanem kutató: a maga felidézte világ összefüggéseit, titkait kutatja.

Írjuk a természetes számok sorozata alá a 10-zel oszthatók ugyancsak végtelen sorozatát:

$$\small\begin{matrix} 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & \dots \\ 10, & 20, & 30, & 40, & 50, & 60, & \dots \end{matrix}$$

Képzeljük el, hogy az egymás alá eső két-két szám egy-egy párt alkot; így a két sorozat egyikéből sem fog egyetlen tag sem pár nélkül maradni. Olyan ez, mint amikor egy tánciskolában minden fiú felkér egy-egy lányt, és ezután egyetlen lány sem marad ülve. Ebből megszámlálásuk nélkül is látható, hogy ugyanannyi lány van mint fiú. Ez az összehasonlítási mód átvihető végtelen sok részvevőre is. Láttuk, hogy a 10-zel osztható természetes számok összepárosíthatók a természetes számokkal, tehát ugyanannyian vannak mint a természetes számok. Annak ellenére, hogy csak egy részét alkotják a természetes számok sorozatának.

Ez rávilágít egy nagy fontosságú jelenségre: a végtelennel nagyon csínján kell bánni. Vannak, akik mindenre érvényes logikai elvnek tekintik, hogy a rész kisebb az egésznél. Íme, most láttunk egy ellenpéldát. Az ilyen általános logikai elveket a tapasztalatok egész sokaságából vonta el az ember, de minden tapasztalat csak a végesben játszódhatott le. Sok zavarra vezetett már, hogy a végesben tapasztaltakból leszűrt elvet rá akarták húzni a végtelenre is. A végtelen ráz egyet magán és kibújik alóla.

Hogy az ember mégis nagyon berzenkedik az ellen, hogy bárhol is egyenlővé válhasson a rész az egésszel, annak bizonyára az az oka, hogy nemcsak a tapasztalás tartja fenn a logikai elveket, hanem tudatalatti erők is. Az ember szinte az erkölcsi világrendet érzi meginogni attól, hogy a rész versenyre kelhet az egésszel. De talán éppen ezért jelenti egy kicsit a tiltott gyümölcs örömét is a kimerészkedés a szigorú törvények világából a szabadabb végtelenbe.

Mindig azokon a pontokon hat a matematika a legélénkítőbben a képzeletre, ahol a végtelen fogalmába ütközik. És ebbe lépten-nyomon beleütközik, a legkülönbözőbb formákban. Például amikor elhagyjuk a természetes számok körét, és bevezetjük a törteket.

A törtek vizsgálatában világossá válik, hogy ezek közt nemcsak legnagyobb nincs, mint a természetes számok közt, de legkisebb sem, tehát meg sem tudnók kezdeni a felsorolásukat. Ha pedig mégis meg akarnók kezdeni egy önkényesen választott kicsi törttel, például 1/100-dal, rögtön elakadnánk, mert ennek nincs közvetlen rákövetkezője: bármilyen közel van egymáshoz két tört, vannak még törtek, amelyek közéjük esnek. Itt a végtelennek egy új képével találkozunk: a határtalan sűrűséggel. A pontok, amelyekkel a törteket ábrázoljuk, határtalanul sűrűn nyüzsögnek a számegyenesen. Mégis be lehet bizonyítani, hogy ezt nem töltik ki hézagtalanul, sőt csak mazsolák gyanánt vannak elszórva a valós számok képeiként hézagtalanul elnyúló pontok között. Én itt érzek valami hasonlatosságot az éterrel, amelyről azt tették fel, hogy minden űrt hézagtalanul tölt be a föld légkörében is, és szétszórtan úsznak benne a látszólag mindenütt jelenlevő levegőmolekulák.

Vagy vegyünk egy képet a geometria köréből: a kúp egyik származtatását. Most ki kell lépnünk a síkból a térbe; de kár, hogy a térbe nem tudunk úgy rajzolni, mint egy síklapra! Képzeljünk el legalább egy festéket, amely a levegőt fogja. Ezután képzeljünk a levegőbe egy vízszintes körlapot és egy egyenest, amely ferdén hajol a középpontja fölé, úgy, hogy az egyik pontjával hozzá is ér. Még csak azt képzeljük el, hogy előzőleg valaki tetőtől talpig bemártotta ezt az egyenest a bűvös festékbe (persze nincs is „teteje”, se „talpa”: az egyenes végtelen hosszú). Most nyúljunk hozzá ehhez a képzeletbeli egyeneshez, fogjuk meg szilárdan azt a pontját, amely éppen a kör középpontja fölött helyezkedik el; a másik kezünkkel pedig ragadjuk meg ott, ahol a körhöz ér, és ezt a pontját vezessük a kör körül. Akkor a festék, amely a levegőt fogja, a szilárd pont alatt olyan felületet fest a levegőbe, amit kúppalástnak hívnak.

A levegőt megfestő egyenesről így ír Fónagy Iván nyelvész Egy kívülálló megjegyzéseiben:

Ez túltesz azokon a költőkön, akik szívekbe véstek, szántóföldre, tengerre írtak, s így bármilyen messzire távolodtak is el a köznapi gyakorlattól, mégis megmaradtak a két dimenzió korlátain belül.

De most inkább a kúp egy másik, vetítéssel történő származtatását képzeljük el. Legyen a csúcs helyén egy pici villanykörte, amely minden irányban fénysugarakat bocsát ki. A sugarak útjába állítsunk egy körlapot, amely nem engedi át a ráeső sugarakat; ekkor a körlap széle mentén elcsúszó sugarak alkotják a kúppalástot. Figyeljük a körlap árnyékát egy alatta elhelyezett síkon. Ezt a síkot forgatva nemcsak kör vagy ellipszis határolhatja az árnyékot, de bármilyen kúpszelet, végtelenbe futó parabola vagy hiperbola is. Ennyire torz lehet egy árnyék.

Mármost az ún. projektív geometria azt kutatja, hogy milyen tulajdonságok nem mennek veszendőbe vetítés okozta eltorzuláskor sem. Az ilyeneket projektív tulajdonságoknak nevezik. Ez lehetővé teszi kúpszeletek egyfajta egyöntetű, egyszerű vizsgálatát: elég a jól ismert körrel foglalkoznunk; ennek minden projektív tulajdonsága sértetlenül átmegy a belőle vetítéssel keletkezett kúpszeletekre is. Elnyúlhat az árnyék, akár a végtelenbe is: mégsem szakadhat el egészen a gazdájától.

A parabola végtelenbe futó szárait egyre meredekebbnek látjuk. De hogyan lehet egy ilyen sima görbe irányáról beszélni? Azt még tudom, hogy az egyenes irányán mit kell érteni, hiszen az emelkedését akármelyik pontjában újra meg újra ellenőrizhetem; benne meg lehet bízni: az egyszer felvett iránytól soha többet el nem tér. De azért görbe a görbe, hogy az irányát folyton változtassa. Megfogom egy pontban: „Itt mi az irányod?” De ő sima és kicsúszik a kezemből. Pedig mégis érzem, hogy van neki ebben a pontban is határozott iránya; nem volt értelem nélkül való, amikor a parabola meredekségéről beszéltem.

Ha a görbe kiválasztott pontján át fektetjük egy egyenes vonalzó egyik élét, általában lesz a görbének egy másik pontja is, ahol ez átszeli. A vonalzót a választott pont körül forgatva, hozzá egy közelebb kapunk egy-egy második metszéspontot. Lesz egy pillanat. amikor ez a másik metszéspont éppen beleesik a mi pontunkba, a vonalzó elpattan a görbétől, a szelőből érintő lesz. Úgy érezzük, hogy ebben a pillanatban fogtuk meg görbénk irányát a választott pontban. Ha egy ilyen irányú vonalzóval kívülről közelednénk a görbe felé, akkor a vonató éppen a mi pontunkban érne a görbéhez, itt egy pillanatra összesimulna vele, s ha összesimulnak, egy az irányuk. Mi pedig abban a kényelmes helyzetben vagyunk, hogy ezt az irányt nem kell az összesimulásnak parányi helyén vizsgálnunk; az egyenes a végtelenségig megőrzi ennek a pillanatnak az emlékét, mindvégig ugyanez marad az iránya.

Talán ismeretes, hogy amit itt leírtam, az a differenciálhányados lírai szemléltetése volt. Itt már benne vagyunk a matematika analízisnek nevezett ágában, amelyre jellemző, hogy egy-egy érték meghatározása végtelen sok közelítő érték segítségével történik; mégis teljes pontossággal. Ez ugrásszerű nehézséget jelent az előző matematikai vizsgálódásokhoz képest.

A matematika mégsem az az embertelenül biztos kétszer-kettő. A matematika alapjainak kutatása éppen a bizonytalanságaiból ered, és továbbra is a matematika bizonytalanságai adnak benne újabb tennivalókat. Valamit ezekről is mondani szeretnék.

A múlt század végén ellentmondások bukkantak fel a matematika egyik ágában, az ún. halmazelméletben. Ezeknek kiküszöbölésére különböző iskolák alakultak, amelyek mindmáig vitában állnak egymással.

Mindenesetre szükségessé vált az addigi „naiv” matematizálás helyébe gondosabban megalapozott vizsgálatokat állítani, és ez a követelmény előtérbe hozta az axiomatikus módszert, amit a geometriában már a régi görögök bevezettek. Ennek alapgondolatát így lehet megvilágítani.

A matematika tárgyaihoz ugyanannyi személyes teher tapad, mint minden más tárgyhoz. Például „pont” vagy „egyenes” igen különböző lehet az egyes emberek elképzelésében. Kedves Kürschák professzorunk* az első óráját azzal kezdte, hogy az egyik társnőmet ezzel a váratlan kérdéssel lepte meg:

– Kisasszony, látott már pontot?

– Nem láttam.

– Rajzolt már pontot?

– Rajzoltam, azaz – kapott észbe a társnőm – csak akartam rajzolni, de nem sikerült.

  • Kürschák József – (1864–1933) matematikus, a Magyar Tudományos Akadémia rendes, majd igazgató tagja. A magyarországi matematika, azon belül az algebra kiemelkedő jelentőségű alakja, nevéhez fűződik többek között a Waring-sejtés Hilbert-féle bizonyításának egyszerűsítése, valamint a rendezett testek értékeléselmélete. 1904 és 1933 között a budapesti műegyetem matematikai tanszékének vezetője volt.

(Azt hiszem, professzorunk ettől a választól szerette meg a mi évfolyamunkat egész életére.) Az a ceruza- vagy krétalerakódás, amit az ember rajzol, és ami nagyítóüveg alatt valóságos hegységnek látszik, természetesen nem pont. Mindenkinek van valami elképzelése a pontról, ezt próbálja rajzzal utánozni. Az egyenesről való elképzelések még személyesebbek lehetnek. Hiszen az egyenes éppen nem egyszerű vonal: kisgyerekek, primitív emberek sohasem rajzolnak egyenest, spontán vonaluk a görbeív. Egyenes húzásához már magas fokú önfegyelemre van szükség. Éppen ezért, ha a matematikus bebizonyított valamit pontokról és egyenesekről, ezt így adja tudtára a másik embernek:

Nem tudom, hogy neked milyen képed van a mértani idomokról. Az én elképzelésem olyan, hogy bármilyen két ponton át tudnék egyenest húzni. Megegyezik ez a te képeddel?

Ha a válasz igenlő, csak akkor folytatja:

Bebizonyítottam valamit, amiben a pont és az egyenes tulajdonságai közül nem használtam fel semmi mást, mint ezt az egyet, amiben már egyetértettünk. Tehát most már gondolhatsz nyugodtan a te pontjaidra és egyeneseidre, mégis meg fogsz érteni.

A matematika egy ágának axiomatizálása abban áll, hogy felsoroljuk az idetartozó alapfogalmakat és alapvető tulajdonságaikat (ezeket nevezik axiómáknak). Az ezután következő bizonyítások csak annak szólnak, akinek olyan elképzelése van az alapfogalmakról, hogy a rájuk vonatkozó axiómákat igaznak fogadja el. Ezért igen nagy gonddal kell megválasztani az axiómákat.

FORRÁS

Mármost 1931-ben egy Gödel nevű fiatal matematikusnak sikerült bebizonyítania, hogy minden valamirevaló axiómarendszernek van eldönthetetlen problémája: van olyan állítás, amely a rendszer alapfogalmaira vonatkozik, de az axiómákból kiindulva sem bizonyítani, sem megcáfolni nem lehet. Erre a tényre olyan pontos matematikai bizonyítást adott, mint amilyen például a Pythagoras tételé.

Ez a megdöbbentő eredmény első pillanatra az agnoszticizmust látszott alátámasztani. Ám egy axiómarendszer eldönthetetlen problémája eldönthetővé válik egy tágabb axiómarendszerben. Ennek tágabb axiómarendszernek más eldönthetetlen problémája lesz, ami egy még tágabb axiómarendszerben válik eldönthetővé; és ez korlátlanul folytatható. Ebben jól tükröződik, hogy a világ megismerésének folyamata sohasem fog lezárulni; eszközeinek körét tágítva a valóságnak mindig új és új vonásait fogjuk megismerni.

Az Állami-díj osztáshoz csatlakozó fogadáson jött hozzám valaki, egy többeket régen foglalkoztató irodalmi kérdéssel. A kérdés Ady Új s új lovat című versében egy ilyen sor értelmét kutatta:

„A végesség határtalanság” – igaz, hogy valójában így szól a sor: „A végesség: halhatatlanság”.

Néhány részletet fel kell olvasnom a versből, hogy az összefüggés megvilágítsa e sor értelmét.

Segítsd meg, Isten, új lovaddal
A régi, hü útra-kelőt,
Hogy sóbálvánnyá ne meredjek
Mai csodák előtt.

Ne rendeld romló nyájaidnak
Sorsa alá a sorsomat.
Az embered, ha nem ma-ember,
Kapjon új s új lovat.

A végesség: halhatatlanság
S csak a Máé a rettenet,
Az Embernek, míg csak van ember,
Megállni nem lehet.

Azt hiszem, világosan érezhető a rokonság a fejlődés imént vázolt menetével (új és új axiómarendszereken át); de ellentmondásosnak tűnik, hogy éppen a végességet nevezi halhatatlanságnak. Hiszen a végességet éppen befejezettségnek szoktuk érezni. Nos hát, én abban találtam kielégítő magyarázatot, hogy itt a „végesség” (a vers ritmusa kedvéért alkalmazott) tömörebb kifejezés a „végére járás” helyett. Az emberi dolgok végére járni: ez az, ami nem lehet sohasem befejezett.

Lehet, hogy nem mindenki fogadja el ezt a magyarázatot. De az, hogy a matematika képein keresztül lehet közeledni egy verssor értelméhez, talán már maga is rávilágít arra, hogy matematika és művészet – nem két ellentétes pólus.

Közreadta: Andrásfai Béla

Forrás

Magyar tudomány 40 (102) (1995) 10. 1236–1244. p.

Függelék

Péter Rózsa (Politzer Rózsa) (1905–1977) magyar matematikus, a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja (1973), az Eötvös Loránd Tudományegyetem egyetemi tanára. A rekurzív függvényeket kutatta, erről a témáról ő írta az első monográfiát. Oktatói munkássága is jelentős. Számos ismeretterjesztő írása is gyönyörűen megírt, gondos munka. Benedek Marcellhez írott leveleiből alakult ki Játék a végtelennel című könyve, amelynek célja az volt, hogy a matematika gondolatvilágát, nagy felfedezéseit közel hozza a bölcsész értelmiségiekhez. A könyv hatalmas sikert aratott, számos nyelvre lefordították, angol kiadása folyamatosan kapható. Stílusán látszik a nagy irodalmi kultúra (fiatalon gondolkodott a magyar szak felvételén is), az új fogalmak bevezetésével kapcsolatos óvatosság, érződik, hogy hosszas meditációk után csiszolta tökéletesre mondatait. Wikipedia