Addig formalizálj, ameddig az értelmünk ér!

matematika, logika, logicizmus, Euklidész, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, számítástechnika, ALGOL, kémia, szerves kémia, benzol, szénhidrogének, Kekulé
szóelválasztás

Nemrég újra kezembe került Whitehead és Russell Principia Mathematica (A matematika alapjai) című nagyszabású munkája (1910–1913), amelyben a szerzők megkísérlik a logicista iskolaa programjának teljes megvalósítását: az egész matematika felépítését kizárólag a logika alapelveire támaszkodva. A mintegy kétezer oldal terjedelmű dolgozat gondolati mélysége, a felhasznált szimbólumok bősége és a teljesen formalizált levezetések végtelennek tűnő sora okán, joggal nevezhetjük olvashatatlan mesterműnek.

  • alogicizmus, logicista iskola A logicizmus programja Russell megfogalmazásában: „kimutatni, hogy a tiszta matematika kizárólag olyan fogalmakkal foglalkozik, amelyek kevés számú alapvető logikai fogalommal definiálhatók, s hogy minden állítása levezethető kevés számú logikai alapelvből”, és mindezt „azzal a biztonsággal és precizitással” végezni, „amellyel a matematikai bizonyítások rendelkeznek”. Más szavakkal: a matematika a logika része. – A matematika néhány filozófiai problémájáról 204. p.
Jellegzetes oldal a Principia Mathematicaból

A két szerző a nagy előd, Gottlob Frege munkáját reprodukálta és tette teljesebbé, akinek úttörő könyve 1879-ben jelent meg Begriffsschrift (Fogalomírás) címen. A Logika, szemantika, matematika bevezetésében azt olvashatjuk, hogy Frege-nek ez a műve

a 19. század utolsó harmadának egyik legjelentősebb szellemi alkotását tartalmazza. Ma már a Begriffsschrift megjelenésének évét tekintik – és teljes joggal – a modern logika (szimbolikus vagy matematikai logika) születési évének, a könyv szerzőjét pedig – ugyancsak indokoltan – korunk Arisztotelészének.

[7. p.]

Azonban,

eltekintve néhány recenziótól, a mű a századfordulóig teljesen észrevétlen maradt, és semmiféle hatást nem fejtett ki a tudomány fejlődésére.

[7. p.]

Sikertelenségéhez az a szokatlan szimbólumrendszer is hozzájárult, melyet Frege művéhez kialakított: gyakran oldalakon keresztül még összekötő szöveget sem találunk, csak kétdimenziós formulák sokaságát.

Részlet a Begriffsschriftből

Két, ide kívánkozó részlet A logika fejlődése című kötetből:

Frege műveit, talán csak a Grundlagen kivételével, soha nem olvasták széles körben. Azok közül, akik kinyitották könyveit, némelyeket alighanem a szimbolikája riasztott vissza. Lord Russell például megvallja, hogy a Grundgesetze első kötetének jelentőségét első olvasásra ezért nem fogta fel, de még csak meg sem értette a benne foglaltakat.

[485. p.]

Frege korszakalkotó kis könyvét, sajnálatos módon, a matematikusok és a filozófusok egyaránt mellőzték. Mint később megjegyezte, nem remélhetett megértést azoktól a matematikusoktól, akik olyan logikai kifejezésekkel találkozva, mint ’fogalom’, ’reláció’, ’ítélet’, azt mondják, hogy: Methaphysica sunt, non leguntur!, [latin Metafizika következik, nem olvasandó!] de azoktól a filozófusoktól sem, akik egy formula láttán azt mondják: Mathematica sunt, non leguntur!.b

[419. p.]
  • b latin Matematika következik, nem olvasandó!

Frege megjegyzése, egy jellegzetes két kultúrás törésvonalat sejtet a XIX. század második felében.

A matematikusok manapság is gyakran küzdenek kommunikációs nehézségekkel. Ezt jól érzékelteti az Alexits György-gyel 1968-ban készült interjú itt következő részlete:

– Hát kérem, az nagyon könnyen előfordul, hogy két, egyébként szakmájában igen kiváló matematikus nem érti meg egymást. Talán mutatok egy Springer-katalógust. Ebben, mint látható, van egy könyv, amelynek ez a címe: Y4 = 0. Őszintén szólva nemcsak azt nem tudom, hogy ez mit jelent, de azt sem tudnám, hogy ez matematikáról szól, ha nem volna történetesen ideírva, hogy ez a matematika tárgykörébe tartozik.

Természetesen a XX. század második felében a számítástechnika sem kerülte (kerülhette) el a formalizálás szigorodását. Erre ékes példa az ALGOL programnyelv-családc kifejlesztése. Míg az ALGOL 60 programozási nyelv specifikációjában a tervezők megelégedtek az ún. Backus-féle normál formad alkalmazásával, a ’70-es évek egyik számítástechnikai slágerkönyvében, az ALGOL 68 programozási nyelv specifikációjában, már kétszintű nyelvtane riogatta a gyanútlan olvasót (ugyanis, csak ezen az áron tudtak a formalizált szintaktikai leírásba becsempészni szemantikai morzsákat). Ez is oka lehetett egy korabeli vélekedésnek: „az ALGOL 68 nem programozási nyelv, hanem rémregény”. Nemsokára megérhettük a programhelyesség-bizonyításf térhódítását is. Ízelítőül egy mintaoldal:

Példa formális programhelyesség-bizonyításra
  • cALGOL, ALGOrithmic Language (algoritmikus nyelv) – A számítástechnika fejlődésében nagy jelentőségű, magas szintű nyelvcsaládok egyikének gyűjtőneve.
  • ALGOL 58 – 1958-ban az USA-beli Association for Computing Machinery és Európából a német Alkalmazott Matematikai és Mechanikai Társaság (Gesellschaft für Angenwandte Mathematik und Mechanik) létrehozott egy közös bizottságot azzal a céllal, hogy definiáljanak egy nemzetközi algoritmikus nyelvet. A megtervezett nyelv ALGOL néven vált ismertté, amelynek utólag – a későbbi verzióktól való megkülönböztetés céljából – az ALGOL 58 nevet adták.
  • ALGOL 60 – Az eredeti szándék szerint az ALGOL 58 nem gyakorlati felhasználásra készült, ezért 1960-ban megalakult egy kibővített bizottság azzal a céllal, hogy elkészítse a nyelv második változatát. A nyelvnek ezt a változatát ALGOL 60 néven jelentették be. Az ALGOL 60 Európában sokkal népszerűbb volt, mint az USA-ban, valószínűleg azért, mert az Észak-Amerikai piacon jelentős befolyással rendelkező IBM, az általa kifejlesztett és igen elterjedt FORTRAN programozási nyelv „egyeduralmában” volt érdekelt. Így ha egyáltalán beszélhetünk az ALGOL széleskörű használatáról, az Európára korlátozódott. Az ALGOL 60 számos új elgondolást vezetett be, így pl. a blokkstruktúrát, az egymásba ágyazott szinteket, az eljárások számára történő paraméterátadás különböző módozatait. A nyelv definíciója bevezette a leíró szintaxis jelölésére a – mára már klasszikussá vált – Backus-féle normál formát. Jól megfigyelhető az a hatás, amelyet az ALGOL 60 valamennyi későbbi nyelvre gyakorolt. Mérföldkő volt a programozási nyelvek fejlődéstörténetében.
  • ALGOL 68 – Az ALGOL 60 jelentés közzétételét követő években az International Federation for Information Processing (IFIP) munkacsoportot hozott létre, amelynek feladata az ALGOL 60 továbbfejlesztése volt. A csoporton belül jelentős nézeteltérések voltak, ezért csak egy kisebbségi véleményt tükröző jelentést tettek közzé, amelyben az ALGOL 68 nyelv megvalósítását javasolták. Az ALGOL 68 első változatát ALGOL 68R néven a Royal Radar and Signals Establishment nevű angol intézmény készítette el. Az ALGOL 68R bebizonyította, hogy az ALGOL 68 a gyakorlatban is használható nyelv (ami a maga idejében egyáltalán nem volt nyilvánvaló). Bár az ALGOL 68 számos új, érdekes és elméleti szempontból is jelentős elgondolást vezetett be, a nyelvet a gyakorlatban szinte sehol sem használják. Az ALGOL 68 egyik legfigyelemreméltóbb jellemzője volt a nyelv kétszintű nyelvtant használó formális specifikálása. Bár ez nagyon pontos definíciót ad, a megértés igen nehéz, és ez részben megmagyarázza a nyelv szűk körű elterjedését.
  • dBackus-féle normál forma / Backus–Naur-féle forma – Az első széles körben használt jelölésmód valamely programozási nyelv szintaxisának leírására (nevének rövidítése: BNF). A jelölésmódot John Backus vezette be. A BNF-et elsősorban az ALGOL 60 Reportban használták definiáló módszerként az ALGOL 60 szintaxisának leírására. A BNF segítségével bármely környezetfüggetlen nyelv (context-free language) leírható, és különféle változatait ma is használják. A BNF nyelvtan egyrészt egy sor produkciós szabályból áll, amelyekkel szintaktikus kategóriákat lehet definiálni más szintaktikus kategóriák segítségével, másrészt a nyelv terminális szimbólumait tartalmazza.
  • ekétszintű nyelvtanok / van Wijngaarden nyelvtanok – A környezetfüggetlen nyelvtanok (context-free grammar) általánosítása, amely megenged környezetfüggő elemeket is a specifikált nyelvben. Ezeket a nyelveket A. van Wijngaarden fejlesztette ki, és az ALGOL 68 programozási nyelv formális leírásában alkalmazta. Egy kétszintű nyelv elemeit két részre lehet osztani: a környezetfüggetlen elemek alapját képező hiperszabályokra, és a metaprodukciókra. A metaprodukciók környezetfüggetlenek, és a hiperszabályokkal alkalmazható nemterminálisokat határozzák meg. A kétszintű nyelvtanok előnyei abból erednek, hogy a hiperszabályok a tevékenységek végtelen sok összességén alakulhatnak. Ezáltal képesek a nyelvnek környezetfüggőséget kölcsönözni.
  • fprogramhelyesség-bizonyítás – Formális matematikai bizonyítása annak, hogy egy program szemantikája konzisztens a program működésével kapcsolatban megadott specifikációval. Egy ilyen bizonyítás elvégzésének két feltétele van: léteznie kell egy formális program-meghatározásnak, és a programozási nyelv valamilyen formális szemantikai definíciójának. Az utóbbi állhat olyan axiómákból, amelyek a nyelv bármelyik egyszerű utasításának a szemantikáját (tartalmát, értelmét) képesek lefedni és olyan következtetési szabályokból, amelyek megmutatják, hogy az összetett utasítások szemantikája hogyan vezethető le a szabályokat alkotó (egyszerű vagy összetett) utasítások szemantikájából.

Most pedig ejtsünk szót a Pitagorasz-tétel kapcsán néhány érdekes geometriai kísérletről. A tétel legrégebbi ismert bizonyítása egy babiloni agyagtáblán található, amely Kr. e. 1000-körülre datálható:

A tétel klasszikus bizonyítása valahogy így néz ki:

A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével.

Legyen ABC egy derékszögű háromszög, és benne BAC a derékszög. Azt állítom, hogy a BC oldalú négyzet egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzet összegével.

Legyen ugyanis BDEC a BC oldallal szerkesztett négyzet, GB, HC pedig a BA, AC oldalra emelt négyzet, és húzzuk A-n át a BD és a CE egyenessel párhuzamosan AL-t, és húzzuk meg AD-t és FC-t.Minthogy pedig mind BAC, mind BAG derékszög, így a BA egyenesen levő A pontnál két AC, AG egyenes fekszik nem ugyanazon az oldalon, és két derékszöggel egyenlő szögeket alkotnak egymás mellett; tehát AC ugyanazon az egyenesen van, mint AG. Éppen ezért BA is ugyanazon az egyenesen van, mint AH. Minthogy pedig a DBC szög egyenlő FBA-val – derékszög ugyanis mind a kettő –, adjuk hozzájuk közös (tagnak) az ABC szöget; így a teljes DBA szög egyenlő a teljes FBC-vel. És minthogy DB egyenlő BC-vel, FB pedig BA-val, e két-két (oldal), DB, BA és FB, BC páronként egyenlő; és a DBA szög egyenlő FBC-vel; az AD alap tehát egyenlő az FC alappal, és az ABD háromszög egyenlő az FBC háromszöggel; és az ABD háromszögnek kétszerese a BL paralelogramma, mert ugyanaz a BD szakasz az alapjuk és ugyanazon BD, AL párhuzamosok között fekszenek; az FBC háromszögnek pedig kétszerese a GB négyzet, mert ismét ugyanaz az FB szakasz az alapjuk és ugyanazon FB, GC párhuzamosok között fekszenek. Egyenlőknek a kétszeresei pedig egyenlők egymással; egyenlő tehát a BL paralelogramma a GB négyzettel. Hasonlóképp mutatható meg AE-t és BK-t meghúzva az is, hogy a CL paralelogramma egyenlő a HC négyzettel. A teljes BDEC négyzet tehát egyenlő e két négyzettel, GB-vel meg HC-vel. És a BDEC négyzetet a BC, a GB, HC négyzeteket pedig a BA, AC oldalra emeltük. A BC oldalú négyzet tehát egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzetekkel. A derékszögű háromszögekben tehát a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével. Éppen ezt kellett megmutatni.

1847-ben, a viktoriánus Angliában Oliver Byrne angol matematikus, új formában jelentette meg Euklidész Elemeinekg első hat könyvét (a mű síkmértani részét). Sutba dobva a geometria hagyományos formalizmusát, a bizonyításokat színes alakzatok (a színek információtartalmát is kihasználva) és néhány speciális szimbólum segítségével mutatja be. Arról nem tudok, hogy kísérlete megrengette volna a matematika oktatását, de annyi bizonyos, hogy könyve a kor könyvművészetének egyik ma is nyilvántartott, becses darabja. [Aktuális ára Londonban: 5 000 angol font körül van.]

  • gEuklidész Elemei [Sztoikheia] (Kr. e. 300 körül) – Euklidész műve összefoglalását adja a kor görög matematikai ismereteinek. Informál a sík és térgeometriáról, a összemérhetőség elméletéről, és a számelméletről. Alapvető forrásmunkává válik az elkövetkezendő 2000 esztendőre.
Byrne könyvének címoldala

Euklidész Elemeinek
első hat könyve,
amelyben a könnyebb érthetőség és tanulás érdekében a betűket
szimbólumok és színes ábrák helyettesítik.

Írta
OLIVER BYRNE
Őfelsége Falkland-szigeteken fekvő gyarmatainak felmérője,
továbbá számos matematikai munka szerzője.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása Byrne könyvéből
képforrás
Végül egy Java-alapú interaktív megoldás két változatban: 1 2.

Szimbólumokra, formalizálásra persze igen nagy szükségünk van. Ügyes kiválasztásuk és adekvát alkalmazásuk sokat lendíthet egy-egy tudományterület fejlődésén (tanulságos példa a kémiából a Kekulé „álma” körüli hecckampány, de számos érdekes példát találhatunk a matematika történetében is). Ráadásul, a tudósok a bevezetett fogalmak definícióinak sorával, és az alkalmazott formalizmus világos magyarázatával küzdhet a megértésért. Ezzel együtt, vajon manapság ritkábbak a mulatságos helyzetek? Talán ma már jobban tudjuk, mit kell kezünk ügyében tartani „tudományos zsákjainkban”.

Válogatta, az összekötő szöveget írta és a jegyzeteket összeállította Visontay György

WHITEHEAD, ALFRED NORTH
(1961–1947)
angol matematikus, logikus, filozófus
RUSSELL, BERTRAND ARTHUR WILLIAM
(1872–1970)
angol tudós, aki személyében egyesítette az ún. két kultúrát. Mintegy félszáz könyvet és számtalan cikket írt. Témakörük a matematikától, a fizikától, a filozófián és a logikán keresztül az etikáig, a szociológiáig, a történelemig, a teológiáig és a politológiáig terjed.
FREGE, GOTTLOB
(1848–1925)
német filozófus, matematikus.
Alapvető kutatásokat folytatott a matematika és a logika viszonyáról, a modern szimbolikus vagy matematikai logika megalapozója (1879). Russellel, a logicista iskola megalapítója.
Források
  • Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Számítástechnikai értelmező szótár (Dictionary of Computing). Budapest: Novotrade–New York, etc.: Oxford University Press, 1989.