A ráció üzenetei

Lévárdi László, Sain Márton, 1993
Részletek
tudománytörténet, művelődéstörténet, matematika, matematikatörténet

Tartalom

Egyiptomi feladatok az ókorból
Babiloni feladatok az ókorból
Ókori és középkori kínai feladatok
Ókori és középkori hindu feladatok
Feladatok az ókori görög matematikából: Thalész · Püthagorasz · A híres ókori szerkesztési feladatok · Eukleidész · Arkhimédész · Apollóniosz · Dioklész · Menelaosz · Ptolemaiosz Klaudiosz · Hérón · Diophantosz
Az arabok: Al-Khvárizmi · Tabit ibn-Korra · Al-Kharki · Omar Khajjám · Naszir Eddin · Al-Kashi
Európa matematikája a középkorban és a reneszánszban: Flaccus Albinus Alcuinus · Gerbert d’Aurilac · Leonardo Pisano · Jordanus Nemorarius · Nicole Oresme · Regiomontanus · Tartaglia · Hieronimo Cardano · Rafael Bombelli

szóelválasztás

Egyiptomi feladatok az ókorból

A legrégibb, matematikai tartalmú írásos emlékeink az i. e. 2000. év tájáról származnak. Ezek közé tartozik két egyiptomi papirusz. Az egyiket, a Rhind papiruszt 1858-ban fedezte fel Henry Rhind skót régiségkereskedő, aki tüdőbajának gyógyítására utazott Egyiptomba. E papirusz írója Rha-a-usz fáraó udvari írnoka, Ahmesz volt, aki azonban ezt a művet maga is egy régebbi írásról másolta. A Rhind papirusz valószínűleg az akkori írnokiskolák matematikaanyagát öleli fel. Ez a Londonban őrzött tekercs 84, főként a gyakorlati élettel kapcsolatos feladatot tartalmaz. Ezekhez hasonló 25 feladatot olvashatunk a valamivel kisebb méretű, ugyanebbő1 a korból származó, Moszkvai-papiruszon. A feladatok között találunk elméleti jellegűeket is, főleg a törtekkel való műveletek gyakorlására. Mielőtt e régi feladatok néhányát megoldanánk, ismerkedjünk meg nagy vonásokban az ókori egyiptomiak számolási módjával. …

Babiloni feladatok az ókorból

A Tigris és az Eufrátesz közötti termékeny síkságon az i. e. 3200. év táján a sumérek és az akkádok éltek. Ők voltak itt az első államalapítók. Utánuk az amoriták alkottak erős birodalmat Babilon fővárossal. Erről a területről a XX. század elején a régészeti feltárások mintegy 100 000 ékírásos cseréptáblát hoztak napvilágra. Ezek között 250 matematikai tartalmú, és tanúsítják, hogy a babiloni matematikusok az i. e. 2000 körül igen fejlett matematikai ismeretekkel rendelkeztek. Helyi értékes, hatvanas számrendszerben számoltak, és szójeleik alkalmasak voltak arra, hogy bár kezdetlegesen, de pótolják a mi algebrai jeleinket. Gondolkodásmódjuk mindenesetre jellegzetesen algebrai volt. Nagyon valószínű, hogy az egyiptomi matematika tekintélyes része babiloni ihletésű. A babiloni feladatmegoldók ügyességét szeretnénk illusztrálni néhány feladattal.

Ókori és középkori kínai feladatok

A legrégibb kínai, matematika tartalmú emlék az i. e. 1100 táján keletkezett Csou Pi Szuan Csing, a Számítási könyv a napóráról. Tartalmazza az első kínai csillagászati megfigyeléseket és számításokat. Ezekből következtethetjük, hogy a kínaiak e könyv írásának idejében már ismerték a Pitagorasz-tételt. Ősrégi kínai könyv, valószínűleg a „Csou Pi” idejéből az I csing (A változások könyve) című jóskönyv is. Ebben található az irodalom első bűvös négyzete az, amelyet az I. ábra mutat. Benne a sorok, az oszlopok, valamint az átlós számok összege 15.

Ókori és középkori hindu feladatok

A XI. század elején a nagy arab matematikus, Al-Biruni azt írta a hindu matematikáról, hogy csillogó kristályoknak és értéktelen kavicsoknak a keveréke. Mi igyekeztünk e korszakból kiválasztani a ragyogó ékköveket. E válogatásbeli jóindulatot megérdemli az a nép, amely megajándékozta a világot a helyi értékes tízes számrendszerrel. Ez pedig jórészt az 500. év táján működő Árjabhata és az utána 100 évvel későbben élt Brahmagupta érdeme.

Feladatok az ókori görög matematikából

A görög matematika kezdeteiről semmit sem tudunk. Az első görög matematikus, akinek nevét és eredményeit Eudémosz (i. e. 320) matematikatörténete említi, a milétoszi Thalész (i. e. 624?–547?) volt. Az ő felfedezései azonban, és azok megfogalmazása is annyira fejlett és kész, hogy jogosan gondolhatunk előzményekre, amelyeket sajnálatosan nem ismerünk. Az biztosnak látszik, hogy a görögök sok matematikai ismeretet vettek át az egyiptomiaktól és a babiloniaktól, de amit idegenben tanultak, azt továbbfejlesztették, a maguk sajátosan görög gondolkozásukhoz igazították. Főleg avval múlták felül az őket környező népek matematikáját, hogy kifejlesztették a bizonyítási igényt. Nem elégedtek meg az eredmények és az eljárások puszta közlésével, hanem meg is indokolták azokat. A másik görög matematikai sajátosság Püthagorasz (i. e. VI. század), illetőleg az irracionális viszony felfedezése után jelentkezett. Ez a matematika teljes átgeometrizálásában nyilvánult meg. Az algebrának korukban már meglevő gyökereit nem fejlesztették tovább, egészen Diophantoszig (III. század). A geometria területén viszont ragyogó sikereket értek el. Ezek között elsősorban az Eukleidész (i. e. 300 körül) által mintaszerűen megalapozott axiomatikus felépítést kell kiemelnünk, amely mind a mai napig befolyásolja a tudományos gondolkozást. Az algebrai szimbólumoknak teljes hiánya, a csupán szavakkal leíró, bár rajzokkal is illusztráló geometriai irányzat végül is saját maga állított korlátot a görög matematika fejlődése elé. Amit azonban az i. é. VI. század és az i. sz. IV. század között, tehát Thalésztől Papposzig a görög matematika elért, az valóban bámulatra méltó. Thalész, Püthagorasz, Eudoxosz, Eukleidész, Arkhimédész, Apollóniosz, Ptolemaiosz és Diophantosz csillogó nevei jelzik a görög matematika ez idő alatt megtett káprázatos útját. Ebből az időszakból valók a következő feladatok. …

A híres ókori szerkesztési feladatok

Az i. e. V. század közepén a püthagoreusok már két, egymással is szembenálló táborra bomlottak. Az egyiknek hívei főleg vallási és életmódbeli szempontokat helyeztek előtérbe, a másik szekta tagjai pedig a matematika művelését tekintették életcélnak. Ebbő1 az időből származnak az első emlékek a három leghíresebb ókori feladatról. Az egyik szerint adott körhöz, avval egyenlő területű négyzetet kell szerkeszteni (körnégyszögesítés); a másik keresi, hogyan lehet adott szöget három egyenlő részre osztani (szögharmadolás); a harmadik célja, hogy adott kockához kétszer akkora köbtartalmú kockát szerkesszen (kockakettőzés). Ezekkel a feladatokkal szinte minden jelentős görög matematikus foglalkozott, és így rengeteg szellemes megoldás született. Ezek a megoldások azonban a Platón, illetve Eukleidész által megszigorított szerkesztési feltételeket – amelyek csak körző és vonalzó használatát engedik meg – nem tartották be. Jóval később kiderült, hogy euklideszi szerkesztéssel e feladatok nem oldhatók meg. Matematikatörténeti jelentőségük éppen az, hogy a szerkeszthetőségi feltételek tisztázásával és az új szerkesztési módszerek kutatásával előmozdították a matematika több területének a fejlődését, gazdagodását.

Az arabok

Arab csodának szokás emlegetni azt az aránylag nagyon rövid korszakot, amely alatt az arabok a VI–VIII. században létrehozták hatalmas világbirodalmukat. A hódításnál még nagyobb csoda volt azonban, hogy eközben magukba szívták a leigázott népek kultúráját, amit lényegesen tovább is fejlesztettek. Az araboknak köszönhető, hogy az ókori egyiptomi, görög, hindu és mezopotámiai természettudományok és a matematika is összeforrtak, sajátos arab szemlélettel kibővültek és számunkra megmaradtak. A most következő feladatok a VIII–XV. századi arab világ matematikusainak a műveiből adnak szemelvényeket, de a mához illő, korszerű feldolgozásban.

Európa matematikája a középkorban és a reneszánszban

Azokhoz a magaslatokhoz képest, amelyeket a matematikai fejlődés a görögöknél és később az araboknál elért, Európa matematikája még az V–X. századokban sem volt jelentős. Habár kisebb mértékben, de ezekben a századokban a keresztény tudósok között is akadtak, főleg a Bizánci Császárságban, akik igyekeztek a klasszikussá vált görög tudomány hagyományait az újabb korok számára átmenteni. Európa nagy tömbje azonban ebben az időben a matematika területén tudatlannak mondható. Az élet sem kívánt csak csekély gyakorlati számolási készséget és matematikából annyit, amennyi a naptárkészítéshez és az egyházi ünnepek helyes megállapításához kellett.

Európa nagy tanulása, amikor tudásra éhesen igyekezett megismerni az ókori matematikai eredményeket – főleg a görög geometriát és az arab algebrát – csak a XI–XII. századokban kezdődött. Ekkor már az eredményes tanulás nyomán új, önálló gondolatok, felfedezések is születtek. Az újrafejlődő matematikának ezt, a nagyjából a XVI. századig tartó szakaszát szeretné jellemezni a következő néhány feladat.

Forrás

Lévárdi László–Sain Márton: A ráció üzenetei. Feladatok a távoli múltból. 2., rövidített kiadás. Budapest: TypoTeX Kiadó, 1993.