Jani Pannonii carmina mathematica*

Egy elszigetelt mozzanat a magyar matematikatörténetben
Ruzsa Z. Imre
MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutató Intézet
Budapest, Pf. 127 1364
matematika, számelmélet, Janus Pannonius, Jani Pannonii
szóelválasztás

Előbeszéd

Az akadémiai székfoglalóban olyan kutatásokat szokás összefoglalni, amelyek a taggá választásban szerepet játszottak. Ezzel a hagyománnyal némileg szakított Frankl Péter**, amennyiben székfoglalóját zsonglőrmutatványokkal tarkította. Ilyen irányú sikerei feltehetőleg nem befolyásolták alapvetően beválasztását, de olyan területen maradt, amelyen a világelsők közé tartozik; én viszont olyasmiről készülök szólni, amiben nemcsak hogy kutatást nem végeztem, de nem is érzem szakértőnek magamat. Egyszerűen olvastam pár érdekességet: néhány matematikai vonatkozású verset, hozzájuk fűződő magyarázatokat és kapcsolódó műveket, és most elmesélem.

Ez talán megér egy csipetnyi magyarázkodást.

  • * A Magyar Tudományos Akadémián, 2005. december 7-én elhangzott székfoglaló előadás szövege – A szerk.
  • ** Frankl Péter (1953–) – Japánban élő magyar matematikus, zsonglőr, az MTA külső tagja (1998) – A szerk.

Egyrészt megpróbálom felhívni a figyelmet ezekre az érdekességekre, sajátos szemszögből és hallgatóságnak; matematikusként nézek ezekre a versekre, és (nagyrészt) matematikusoknak mesélek róluk.

Másrészt szeretnék felmutatni egy érintkezési pontot a reál és humán tudományok között. Némi szomorúsággal figyelem a köztük levő szakadékot, és megpróbálok szerény lehetőségeimnek megfelelően valamit tenni ennek áthidalásra.

Mint már bevallottam, a következőkben kevés az eredeti. Forrásaimat felsorolom az irodalomjegyzékben; ezúttal is kiemelem közülük a legfontosabbat, Vadász Géza [9] cikkét.

A versek

Mert van sok eszme, igaz fogalom,
Mitől előre borsózik dalom.
Az egyszeregy, bár meg nem dönthető,
Képzelmi szósszal bé nem önthető.

Ez a vélemény igazán autentikus forrásból, magától az MTA főtitkárától1 származik, konszenzusnak mégsem tekinthető. Már az ókori görög epigrammák között akad, amely matematikai feladványt szed versbe. Hazai földön pedig Janus Pannonius versei között találjuk az alábbiakat.2

De corporibus mathematicis

Punctum sit, cuius non possis sumere partem.
Extento gracilis decurrat linea puncto.
Inde superficiem geminato linea tractu
Efficiat, nullo pateat quae lata profundo.
Bina superficies solidi vim corporis edat,
Quod longo, et lato dimensum constat et alto,
Tessera, seu cubus, seu quadrantale vocatum;
Quod promtum semper quovis consistere iactu,
Sena superficies, octonus et angulus ambit.

De monade et dyade, numeris

Quid sit prima Monas summae Deitatis imago,
Mascula dividuas admittere nescia partes,
Non numerus, verum numeri pollentis origo.
Haec Dyadem geminate creet, quam prima secare
Possit, et imbellem referat ceu femina sexum.

A geometriai idomokról

Pont az, melynek már részét felfogni se tudnád,
megnyújtod, s karcsú egyenes fut bármely irányban.
Sík felület születik, ha meg is duplázza futását:
széltében terjed, nem nyílik meg soha mélye.
Két-két sík a szilárd testet jellemzi, kiadja
hosszúságát és szélességét, meg a mélyét.
Kockának, köbnek hívják s négyzetlapu testnek,
bárhogy esik, mindig jól látni a részeit ennek;
hat síkot foglal be magába, a szöglete épp nyolc.

A monászról és a düászról

Legfőbb Istenség első képmása az Egyes
hímnemü, még osztott feleket sem tud befogadni,
nem szám ő, hanem épp a hatalmas szám születése.
Megduplázva teremt Kettest, ezt tudja először
szétvágni, s mint nő, meghozza a gyönge nemet majd.

Kurcz Ágnes fordításai
  • 1 Tódítás, mert a Vojtina ars poétikája írásának idején tagja volt ugyan az Akadémiának, de még nem volt főtitkára.
  • 2 [7b] 328., az előző kiadásban [7a] 265. epigramma és 153. epigramma.

Ha valaki netán úgy érzi, hogy ennek olyan sok értelme nincs, annak persze igaza van. Erről nem a fordító tehet; megragadom az alkalmat, hogy csodálattal adózzam Kurcz Ágnes3 fordításainak, akinek a formahűség gúzsában táncolva az eredeti zavarosságát is tökéletesen sikerült visszaadnia, noha erős lehetett a kísértés, valami világosabbal és egyértelműbbel helyettesíteni. Ha az alábbiakban hellyel-közzel mégis prózai nyersfordítást használok, az csak a más szövegekkel való könnyebb egybevetés kedvéért lesz.

  • 3 Kurcz Ágnes (1937–1976) – irodalomtörténész, műfordító. Számos Janus Pannonius verset fordított le elsőként a [7a] kiadás számára. Ezek egy részét a bővített [7b] kiadásban újabb fordításra cserélték, e sorok írójának elfogult magánvéleménye szerint többnyire nem szerencsésen.
Janus Pannonius költeményei, Battista Guarino levelei
Észak-Itália, 15. század, pergamen, 79 levél, 181 × 126 mm 18–19. századi bőrkötés Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Cod. Lat. 357. Forrás: Janus Pannonius E-digitália földjén

Háttér

Honnan származnak a költemények gondolatai, és mi vehette rá Janust, hogy versbe szedje őket?

Az első vers első sorai Eukleidészt látszanak felidézni.

Punctum sit, cuius non possis sumere partem.
Extento gracilis decurrat linea puncto.
Inde superficiem geminato linea tractu
Efficiat, nullo pateat quae lata profundo.

– írja Janus, vagyis

Pont az, aminek nem vehetjük részét.

A megnyújtott pontból fut ki a vékony vonal. Kétszer meghúzott vonal hozza létre a felületet, amelynek mélysége nincs.

Vessük ezt össze Eukleidész első definícióival.

D1. Pont az, aminek nincs része.
D2. A vonal szélesség nélküli hosszúság.
D3. A vonal végei pontok.
D5. Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van.
D6. A felület végei vonalak.4

  • 4 Eukleidészt mindig Mayer Gyula fordításában idézem [5].

Az első sor szinte szóról szóra egyezik az első definícióval, a második sor a második definícióra, a negyedik sor az ötödik definícióra hasonlít. A harmadik sor pedig érdekesen kontrasztál Eukleidész 9. axiómájával:

A9. Két egyenes vonal nem fog közre területet.

Első ötletem az volt, hogy talán Eukleidészből – még inkább valamely romlott változatából – taníthatták. Valójában a kapcsolat legfeljebb áttételes, erre még visszatérek.

Mint Vadász Gézától [9, 10] megtudhatjuk, Janus közvetlen forrása leginkább Macrobius lehetett.

Ambrosius Theodosius Macrobius 5. századi író Commentarii in Somnium Scipionis, vagyis Megjegyzések Scipio álmához című művét, mely szerény címe dacára teljes filozófiát és természettudományos világképet ír le, tankönyvként használták a reneszánsz idején.

Macrobius írja:5

Omne solidum corpus trina dimensione distenditur, habet enim longitudinem latitudinem profunditatem nec potest inveniri in quolibet corpore quarta dimensio (…) Geometrae tamen alia sibi corpora proponunt quae appellant mathematica, cogitationi tantum subicienda non sensui. Dicunt enim punctum corpus esse individuum in quo neque longitudo neque latitudo nec altitudo deprehendatur (…)

Hoc protractum efficit lineam, id est corpus unius dimensionis: longum est enim sine lato sine alto, et duobus punctis ex utraque parte solam longitudinem terminantibus continetur. Hanc lineam si geminaveris, alterum mathematicum corpus efficies, quod duabus dimensionibus aestimatur, longo latoque sed alto caret et hoc est quod apud illos superficies vocatur, punctis autem quattuor continetur id est per singulas lineas binis. Si vero hae duae lineae fuerint duplicatae, ut subiectis duabus duae superponantur, adicietur profunditas et hinc solidum corpus efficitur, quod sine dubio octo angulis continebitur, quod videmus in tessera, quae Graeco nomine ’kybos’ vocatur.

Azaz:

Minden szilárd test három dimenzióba terjed ki, ugyanis hosszúsága, szélessége és mélysége van, negyedik dimenzió semmilyen testben nem található. A geométerek azonban másféle testeket is feltételeznek, melyeket matematikainak neveznek, a gondolatból, nem pedig az érzékekből véve. Pontnak az olyan oszthatatlan testet nevezik, amelyben sem hosszúság, sem szélesség, sem magasság nem található. (…)

Ezt elhúzva nyerjük a vonalat, vagyis az egy dimenziós testet: hosszú, szélesség és magasság nélkül, és végein a hosszúság határát jelző két pont zárja le. Ha ezt a vonalat megkettőzzük, újabb matematikai test keletkezik, amely két dimenzióban mérhető, hosszában és széltében, de magassága nincs; ezt nevezik felületnek, és négy pont fogja közre, vonalanként kettő. Ha ezt a vonal-párt megkettőzzük, úgy, hogy két lerakott fölé két másikat helyezünk, hozzáadódik a mélység és így jön létre az a szilárd test, amelyet nyolc szöglete zár közre, miként a (dobó)kockán látjuk, amelyet görögül kübosznak hívnak.

  • 5 2. könyv 2. fejezet. A Macrobius idézeteket az internetes [8a] változatból vettem, ami egy régi kiadáson [8b] alapul. Ezt futólag egybevetettem egy újabb kiadással, de nem filológusi gondossággal.

Ez a megközelítés észrevehetően különbözik Eukleidésztől; Eukleidésznél a pont, egyenes, sík, tér egyszerűen vannak, Macrobiusnál pedig mintegy kinőnek egymásból, valami direkt szorzat-szerű elképzelést felidézve a mai olvasóban. Janusszal a párhuzam tökéletes. A folytatás átvezet a számokhoz és a másik Janus vershez.

His geometricis rationibus adplicatur natura numerorum, et monas punctum putatur, quia sicut punctum corpus non est sed ex se facit corpora ita monas numerus esse non dicitur sed origo numerorum.

E geometriai fogalmakhoz hasonlítható a számok jellege. Az egység tekinthető pontnak, mert miként a pont nem test, de belőle állnak a testek, úgy az egységet sem mondják számnak, hanem a számok eredetének.

Vessük össze Eukleidész hetedik könyvével:

D1. Az egység az, ami szerint minden létezőt egynek mondunk.
D2. Szám az egységekből összetevődő sokaság.

A mai olvasó nehezen éli bele magát azon lépések nehézségébe, amelyek bevezették az egyet, majd a nullát, majd a negatív számokat a teljes jogú számok körébe. Macrobius tovább hasonlítja a számokat a testekhez:

Primus ergo numerus in duobus est, qui similis est lineae de puncto sub gemina puncti terminatione productae. Hic numerus duo geminatus de se efficit quattuor ad similitudinem mathematici corporis, quod sub quattuor punctis longo latoque distenditur. Quaternarius quoque ipse geminatus octo efficit, qui numerus solidum corpus imitatur, sicut duas lineas diximus duabus superpositas octo angulorum dimensione integram corporis soliditatem creare, et hoc est quod apud geometras dicitur bis bina bis corpus esse iam solidum.

Az első szám tehát a kettes, amely hasonló a vonalhoz, amelyet a két lezáró pontja teremt. Ez a kettes megduplázva a négyet alkotja, annak a matematikai testnek a hasonlóságára, amely négy pont között hosszában és szélében terjed ki. A négyes megduplázva pedig nyolcat ad; ez a szám a szilárd testet utánozza, miként a két vonal fölé helyezett másik kettő nyolc szögletével a szilárd testet alkotja, és ekként mondják a geométerek a kétszer kétszer kettőt szilárd testnek.

A négyzetszám és köbszám némileg körülményesen elmagyarázva, de lényegében úgy jelenik meg, ahogy ma is használjuk.

Az egyes szám isteni jellege, valamint a páros-páratlan, nő-férfi kapcsolat is fellelhető Macrobiusnál. Hogy ez utóbbinak mi lehet a szemléleti alapja, arra nem tudtam rájönni.

Unum autem quod ’monas’ id est unitas dicitur et mas idem et femina est, par idem atque impar, ipse non numerus sed fons et origo numerorum. Haec monas initium finisque omnium neque ipsa principii aut finis sciens ad summum refertur deum.6

Az egyes, amelyet monasznak, azaz egységnek is mondanak, egyszerre férfi és nő, páros és páratlan; maga nem szám, hanem a számok kútfeje és eredete. Ez a monasz mindennek a kezdete és vége, neki magának pedig sem eleje sem vége nem lévén a legfelső istenre utal.

  • 6 1. könyv 6. fejezet.

Macrobius, Scipio, Cicero, Platón, Bonfini

Macrobius Megjegyzései Scipio álmához Cicero De re publica (Az államról) című könyvének zárófejezetéhez kapcsolódnak, és terjedelemben jóval felülmúlják a kommentált művet.

Cicero e műve töredékesen maradt ránk, és 1820-ig csak ez a „Scipio álma” címmel fennmaradt rész volt ismert belőle. A teljes könyv címe Platón Államára utal, és hasonlít rá párbeszédes formájában is. A dialógus egyik szereplője az ifjabb Scipio7, a Karthágó teljes elpusztításához vezető harmadik pun háború hadvezére. Álmában az idősebb Scipióval8 beszélget, aki megjósolja halála idejét:

Nam cum aetas tua septenos octies solis anfractus reditusque converterit duoque hi numeri, quorum uterque plenus, alter altera de causa habetur, circuitu naturali summam tibi fatalem confecerint, in te unum atque in tuum nomen se tota convertet civitas: te senatus, te omnes boni, te socii, te Latini intuebuntur, tu eris unus in quo nitatur civitatis salus, ac ne multa, dictator rem publicam constituas oportet si impias propinquorum manus effugeris.

Mert amikor életkorod nyolcszor hét alkalommal teszi meg a nap körútját és visszatérő pályáját, és ez a két szám, amelyek mindegyike más-más okból teljes, a természetes keringés által megadja életednek a sors szabta végösszeget, az egész állam egyedül hozzád és a te nevedhez fordul, reád tekint majd a senatus, az összes derék polgár, reád függesztik szemüket a szövetségesek és a latinok is. Egyedül rajtad fog múlni az állam fennmaradása, és hogy ne sokat szaporítsam a szót, neked kell helyreállítanod dictatorként a köztársaságot, ha egyáltalán elkerülöd rokonaid istentelen kezét.9

  • 7 Publius Cornelius Scipio Aemilianus (Kr. e. 185–129), Africanus Minor.
  • 8 Publius Cornelius Scipio (Kr. e. 235–183) – Africanus Maior Hannibállal harcolt az első pun háborúban. Nem vérrokon, fia örökbe fogadta az ifjabb Scipiót.
  • 9 Havas László fordítása.

Ezután a lélek halhatatlanságáról beszél (ami szerinte nem mindenki osztályrésze, hanem csak a legérdemesebbeké); a lelkek lakhelyét pedig az égitestek körébe teszi, és ez alkalmat ad egy teljes kozmológia felvázolására.

Cicerónál összesen a fenti sorok utalnak számokra, megemlítve, hogy a hét és a nyolc „más-más okból teljes”; ez a pár szó alkalmat ad Macrobiusnak, hogy hosszasan elmélkedjék az egyes számok csodálatos tulajdonságairól.

Macrobius művének nem leltem magyar fordítására (és ahogy nézem, elég hálátlan feladat lenne lefordítani). Azaz mégis: jó néhány részletet kis híján szó szerint idéz Bonfini, és ezzel vissza is kerültünk Mátyás király körébe.

Bonfini szintén párbeszédes formában írta Symposion de virginitate et pudicitia coniugali, azaz Beszélgetés a szüzességről és a házasélet tisztaságáról című könyvecskéjét. A szereplők között ott találjuk Mátyást és Beatrix királynét is, és hogy-hogy nem éppen az ő szájukból hangzanak el a legbölcsebb gondolatok (a legotrombábbak pedig a vetélytárs Galeotto Marzióéból). Itt a számokhoz bibliai bevezetés adatik.

Beatrix: (…) Miért van, hogy Isten hat napon át munkálkodott, de ugyanakkor hét napot számlálunk?

Mátyás király: Túlságosan eltérítesz, leányom, szándékomtól és vállalt feladatomtól. Ám legyen, ahogy óhajtod. A csodálatos vallást, mint Püthagorasz tanítványai állítják, számokkal kell kifejeznünk, mert felfogásuk szerint mindent a számok alkotnak. (…)

A páros szám a nőt, a páratlan viszont a férfit jelképezi, s a nemzés a férfi és a nő révén jön létre. Az egyes szám viszont minden eredete, vagyis az egyedül való Isten, aki a dolgok fejlődésének kezdete. A termékenységet és befejezettséget jelképező hatos szám is innen eredhet. S bár az ember születése a számok bizonyos harmóniája következtében a kilencedik hónapra szokott esni, mindamellett a hatos számnak a sokszorozódásban megnyilvánuló elve arra késztet, hogy hét hónapot vegyünk figyelembe, minthogy a köbre emelésnek kétféle eredménye lehetséges, s ez szilárd test esetében vagy páros szám, vagyis nyolc, vagy páratlan szám, azaz huszonhét, s a páros köbszám a nőt, a páratlan férfit jelent. Ha ezt a kettőt a hatos számmal megszorozzuk, megkapjuk a hét hónap alatt eltelt napok számát. Vagyis ha összeadjuk a nőt jelentő nyolcas és a férfit jelentő huszonhetes számot, eredményül harmincötöt kapunk. S ha ezt hattal megszorozzuk, kétszáztíz az eredmény, ami megfelel a hét hónap napjai számának. (…)

Az egyes pedig, amit monasznak, azaz alapegységnek neveznek, férfi és nő is. Püthagorasz ezt fölfogva mondta Istenről: »király és királynő, uralkodó és uralkodónő«, vagyis mindkét nemnek s ezek termékenységének eredete. Így hát páros és páratlan, s nem szám, hanem a számok forrása és eredete. Ez a monasz mindennek a kezdete és vége, s maga sem tudván, hogy kezdet-e vagy vég-e, a mindenható Istennel azonosítható. Ez Istennek ama bizonyos szellemi lényege, amely noha nem megszámlálható, mégis magából megteremti és magában tartalmazza a dolgok számtalan fajtáját. Gondolkozzatok el azon, hogy a mi lelkünkkel is kapcsolatba lehet hozni a monaszt, amely az ősanyaggal való érintkezése folytán lett lényegesen mássá, s nyerte el mesterkéletlen természetességét, s ámbár lélekké válva a testben nyert szállást, egységében még sincs semmiféle kétlényegűség.10

  • 10 Muraközy Gyula fordítása [2b]. A magyar idézeteket mind ebből veszem, a latint a [2a] kiadásból.

Más felhasznált eszméket is meglelünk Bonfininél, némileg összekuszálva:

Beatrix királyné: (…) Fejtsd ki azt is, hogy a világ hét égövét miért egészítette ki Isten egy nyolcadik szférával is, sőt lényegében két újat adott hozzájuk, a fagyosat és a tüzeset.

Király: Ismét a számok birodalmába kényszerítesz vissza, kiváló szellemű leányom, s hogy ezeknek jelentőségét alaposan ki tudjam fejteni előttetek, a páros és páratlan számok köbét, illetve ennek legfelsőbb fokát kell megtalálnunk. A páros köbszám ugyanis a kettes számból ered. Mert kétszer kettő összege négy, s a mértani test, a kocka is köbre emelés, mert kétszer-kétszer kettő eredménye nyolcat tesz ki, s ez a köbre emelés egy szilárd test arányosságát jelzi. A három azonban, mivel páratlan szám, hárommal megszorozva kilencet eredményez, s ha ezt ismét megszorozzuk hárommal, huszonhetet kapunk, tehát ez a köbre emelés páratlan számot ad. S jegyezzük meg, hogy a páratlan szám a férfit, a páros viszont a nőt jelenti.

De hogy a nyolcas számhoz visszatérjünk: a számok teljessége nemcsak az isteni és égi dolgokat fejezi ki sajátos módon, hanem azokat is, amelyek vagy összekötő erővel rendelkeznek, vagy testeket hoznak létre, vagy pedig maguk válnak testté. S minthogy a szilárd testet – amit steronnak, szilárdnak neveznek – három dimenzió alkotja, akkor a kocka alakú test esetében az alaphoz hozzáadott magasság alkotja a szilárd testet, amely a nyolcas számnak felel meg, hiszen szemmel láthatóan nyolc csúcs alkotja. A nyolcas szám azonkívül, általános vélemény szerint, a legnagyobb teljességet jelképezi. Egyrészt, mivel olyan elemei vannak, amelyek nem teremtenek semmit, s maguk sem teremtmények, mivel egy monasz és egy hetes alkotja, másrészt mert olyan részek egyesülése alkotja, amelyek teremtenek és teremtetnek, mint a kocka esetében is, hiszen a kocka kettesekből születik és nyolcast szül.

Számelmélet és számmisztika

Jól mondja Bonfini, a számok bűvös tulajdonságaira való rácsodálkozás (legalábbis) Püthagoraszig nyúlik vissza. Számelmélet és számmisztika–filozófia nála még nem válik szét. Még Platónnál sem; neki ugyan nem mestersége a matematika, de tisztelettel említi, és vannak jeles görög matematikusok, Theodórosz és Theaitétosz, akiket az ő tudósításából ismerünk.

Ez után a történet szétágazik. A matematikai ágon leljük a fentebb említettek közül Eukleidészt és a hellenisztikus matematika más jeleseit, majd (némi középkori cezúra után) következik Fermat és tőle kezdve folytonos az átmenet a mai számelmélethez. A másik ágon van a számmisztika – Cicero, Macrobius, Bonfini és Janus, inkább erózió, mint fejlődés. Hadd illusztráljam ezt a tökéletes számokról szóló részlettel – akik nekem azért is kedvesek, mert mintegy 40 évvel ezelőtt ők vezettek el engem a számelmélethez.

Bonfini így ír:

Exas enim fecunditatis est numerus. Nam senarius, qui Greece exas dicitur, pro media parte triadem, pro tertia dyadem, pro sexta monadem habet et nullus est numerus, qui in sues partes divisus redintegratis illis ita in se ipsum redeat, veluti exas.

Az ’exas’ pedig a termékenységet jelző szám. Mert a hatos szám – ennek görög neve az exas – két részre osztva három, három részre osztva két, s hat részre osztva pedig egy egységre oszlik, s nincs még egy szám, amely, ha részeire osztottuk, s ezeket újra egyesítettük, ilyen módon újra saját magává váljék, mint a hatos.

Ugyanez Macrobiusnál:

Primum quod solus ex omnibus numeris qui intra decem sunt de suis partibus constat. Habet enim medietatem et tertiam partem et sextam partem et est medietas tria, tertia pars duo, sexta pars unum, quae omnia simul sex faciunt.

Elsősorban ez az egyetlen a tíz alatti számok között, amely saját részeiből előáll. Van ugyanis fele, harmada és hatoda, a fele három, a harmada kettős és a hatoda egy, amelyek összevéve hatot adnak.

Macrobius tehát még helyesen csak annyit állít, hogy tízig nincs több ilyen, arról óvatosan hallgat, hogy a nagyobb számok között melyek akadnak (pedig a 28-as számról a Hold keringése kapcsán sokat ír).

Eukleidésztől többet tudhatunk meg:

Egy szám tökéletes, ha egyenlő az osztói összegével.

Hetedik könyv, D23

Ha az egységtől kezdve kétszeres arányban képzünk egy mértani sorozatot, amíg a sorösszeg prím nem lesz, és az összeggel megszorozzuk az utolsó tagot, akkor a szorzat tökéletes szám lesz.

Kilencedik könyv, 36. tétel

Ez, kicsit körülményesen elmondva, a páros tökéletes számokat előállító jól ismert képlet. 2000 évvel később bizonyította be Euler, hogy a páros számok között nincs rajtuk kívül tökéletes, azt pedig azóta sem tudjuk, páratlan van-e.

Irodalomjegyzék

  1. Bollók János: Asztrális misztika és asztrológia Janus Pannonius költészetében. Argumentum, Budapest. 2003.
  2. a. Antonio Bonfini: Symposion de virginitate et pudicitia coniugali. Ed. Apró István. Egyetemi Nyomda, Budapest. 1943.
    b. Antonio Bonfini: Beszélgetés a szüzességről és a házasélet tisztaságáról. Fordította Muraközy Gyula. Szépirodalmi Könyvkiadó, Budapest. 1985.
  3. Cicero válogatott művei. Szerkesztő Havas László, Európa, 1987.
  4. a. Marcus Tullius Cicero: De re publica. Ed. Günter Ludwig, Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main–Berlin–Bonn 1958.
    b. Marcus Tullius Cicero: Scipio álma. Fordította Havas László. [3], 418–428. p.
  5. Euklidész: Elemek. Fordította Mayer Gyula. Gondolat, Budapest. 1983.
  6. Jankovits László: Accessus ad Janum. Balassi Kiadó, Budapest. 2002.
  7. a. Janus Pannonius munkái latinul és magyarul. Tankönyvkiadó, Budapest. 1972.
    b. Janus Pannonius összes munkái. Tankönyvkiadó, Budapest 1987.
  8. a. http://www.music.indiana.edu/tml/3rd-5th/MACCOM1TEXT.html és http://www.music.indiana.edu/tml/3rd-5th/MACCOM2TEXT.html
    b. Macrobius, ed. Franciscus Eyssenhardt (Leipzig: B. G. Teubner, 1868), 571–641. p.
  9. Vadász Géza: Janus Pannonius két pythagoreus szellemű verse. Magyar Filozófiai Szemle 34/3–4 (1990), 199–203. p.
  10. –: Janus Pannonius epigrammái. Argumentum, Budapest. 1993

Ruzsa Z. Imre (Budapest, 1953–): magyar matematikus, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja. Kutatási területe a számelmélet, ezen belül a számelmélet és a valószínűségszámítás határterületei.

Forrás

Elektronikus kézirat.