Esti Kornél entrópiája

Beszélgetés Tóth Jánossal
Schiller Róbert
matematika, információelmélet, entrópia
szóelválasztás

…tévednek azok, akik szerint a matematikai tudományok
semmit sem mondanak a szépről vagy a jóról.

Arisztotelész

A történet tulajdonképpen kedélyes és tréfás, Kosztolányi nyelve derűsen ironikus, mégis döbbenten tesszük le, még sokadik olvasás után is, a novelláskötetet. A bolgár kalauz, az Esti Kornél történetek egyik legismertebb része, bizony hogy horror a javából. Információelméleti horror.

Arról van szó, hogy az elbeszélő, Esti Kornél, átutazóban Bulgárián, egész éjjel beszélget a vasúti kalauzzal, pedig csak annyit tud bolgárul, hogy igen meg nem. A történet nem arról szól, hogy ennyi is elég. Arról szól, hogy ez is túl sok. Mert a kalauz Esti kérdő tekintetére előbb néhány mondatot mond; majd az első „igen” elhangzása után mintha egy hosszabb történetbe kezdene, amelybe aztán egy újabb „igen” hatására úgy belemelegszik, hogy egy negyedórán át, majd kisebb megszakításokkal vagy másfél órán keresztül beszél és beszél. Vidáman megvannak, jó cimboraságban.

Aztán egyszerre elhallgat a kalauz, egy kutya fényképét mutatja Estinek, meg egy levelet meg két csontgombot (elég meglepő kollekció), aztán hirtelen zokogásba tör ki – és Esti ekkor azt mondja: „Nem, nem nem.” Ez a szó hirtelen ellenségessé, gyanakvóvá teszi a kalauzt, láthatóan nem bízik már Estiben; az nem tehet mást, szótlanul a fülkéjébe vonul.

Amíg csak a búcsúzónál, ahogy leszáll a vonatról, oda nem kiáltja a kalauznak: „Igen”. Amitől az „megenyhült, földerült, a régi lett.” Vagyis hát boldogan végződik a történet. A kalauznak-e, Estinek, vagy nekünk, olvasóknak?

Balassa Péter egy mostanában megjelent tanulmányában1 azt írja, hogy ez a novella a diszkurzív logika kritikája, és az emberi érintkezés egy alapvető hipotézisének diadala, amely szerint a metakommunikáció eszközei egyformák a szabadkai gimnáziumban, a pesti kávéházban és egy bolgár vonaton. Ez bizony nyaktörő játszma – ismeri el Balassa is. Dehát a metakommunikáció leginkább csak az „igent” és a „nemet” helyettesíti ő szerinte is – nem követünk el ezért talán nagy hibát, ha csak az „igenre” meg a „nemre” gondolunk a továbbiakban.

  • 1 Balassa Péter: A bolgár kalauz. Pesti Szalon, Budapest, 1996.

Számítástechnika és információelmélet nagy divatja idején lehetetlen, hogy eszünkbe ne jusson: Esti $1$ bit információ leadására képes, és ezt az $1$ bitet a kalauz fel tudja dolgozni. Esti azonban képtelen arra, hogy a kalauztól származó információt dekódolja. Mit jelent ez a szituáció az információelmélet nyelvén?

Matematikus barátomat, Tóth Jánost kérdeztem meg, hogyan lehetne ezt az aszimmetrikus diskurzust az információelmélet fogalmaival kifejezni.

– Gondoljunk el először egy még szélsőségesebb szituációt – javasolta János.

– Nem kell elgondolni, más már elgondolta – és Jókait ajánlottam.

Sátory őrnagy, süket mint az ágyú, a nádor előszobájában várakozik kihallgatásra. Közben beszédbe elegyedik egy ott várakozó francia úrral, akinek jó magvas franciasággal elmennydörgi a maga baját. „A szegény megfogott idegen hiába szabadkozik, hogy ő egy szót sem ért franciául, mert ő olasz; mindegy! Meg kell őneki mind azt hallgatni, ami neki van szánva.” Jókainak ezen a kis történetén az És mégis mozog a Föld minden olvasója derülni szokott. A nádor előszobájában azonban csak egyetlen embernek kellett a nevethetnékjét féken tartania, a kalocsai prelátusnak, ő lévén a társaságban az egyetlen, aki franciául is, olaszul is értett.

No lám, ez egyszerűbb eset, itt egyik fél se tudta a másik üzenetét dekódolni, nem cseréltek semmi információt. Ami azonban a harmadik jelenlévőt illeti, a prelátus információja szépen növekedett közben. Ez azonban a beszélgetőkön semmit nem segített.

Jellemezzük a párbeszédeket az egymást követő megszólalások kölcsönös információjával – javasolta János. A kölcsönös információ, $I(X,Y)$, jól ismert fogalom az információelméletben; átlagosan ennyi információt szerzünk $Y$-ról $X$ ismeretében. Ez a mennyiség szimmetrikus $X$-re és $Y$-ra: $I(Y,X) = I(X,Y)$. Ha $S(X)$ az $X$-re vonatkozó információelméleti entrópia, más szóval a hiányzó információ átlagos mennyisége (ha úgy tetszik, a váratlanság várható értéke); $S(Y|X)$ annak az információnak az átlagos mennyisége, amely Y értékének a megadáshoz szükséges, ha $X$ értéke ismert; $S(X,Y)$ pedig az együttes eloszlásból származó entrópia; úgy a kölcsönös információ:

$$I(X,Y)=S(X)-S(Y|X)=S(X)+S(Y)-S(X,Y)$$

Az entrópiákat a megfelelő valószínűségekkel fejezhetjük ki:

$$S(X)=-\Sigma_i p(i)\ln p(i)$$ $$S(Y|X)=-\Sigma_i p(i)\Sigma_j p(j|i)\ln p(j|i)\text{,}$$

ahol $p(i)$ annak a valószínűsége, hogy $X=x(i)$, és $p(j|i)$ annak a valószínűsége, hogy $Y=y(j)$, feltéve, hogy $X=x(i)$.

Egy párbeszéd során a két beszélgető partner, $A$ és $B$, váltva szólal meg. Legyen az egymás utáni megszólalások sorszáma $1, 2, \ldots, (n-1), n, \ldots$. Az $A$ partner szövegének valószínűségi változója az $n$-edik megszólaláskor $X_n$, a $B$ partneré az $(n-1)$-edik megszólaláskor $Y_{n-1}$. Általában az egyik fél $(n-1)$-edik megszólalása befolyásolja a másik fél $n$-edik megszólalását.

Egy „jó beszélgetésben”, ahol a résztvevők szókincse, fogalomköre, érvrendszere egymáshoz hasonló, ott az egyikük szóhasználatát leíró $p(i)$ és $p(j|i)$ valószínűségek eloszlásai nagyon hasonlóak lesznek a másikukét leíróhoz. Következésképpen az egymást váltogató megszólalások kölcsönös információja átlagosan és közelítőleg egyenlő egymással:

$$I(X_{n+1},Y_n) \approx I(Y_n,X_{n-1})$$

Intuitíve azt is várja az ember, hogy $n$ növekedtével $I$ zérushoz tart; az érvek kimerültével a megszólalók egyre kevésbé tudják egymást befolyásolni, ezért

$$S(Y_n|X_{n-1})\longrightarrow S(Y_n)$$

A „nádori előszoba” szituációjában

$$I(X_{n+1},Y_n)=I(Y_n,X_{n-1})=0$$

minden $n$-re, vagyis a kölcsönös információk értéke azonosan zérus, mert a beszélgetők semmi módon nem tudják egymást befolyásolni, ezért

$$S(X)+S(Y)=S(X,Y)$$

A „bolgár kalauz” szituációban legyen a kalauz valószínűségi változója $X$, Estié pedig $Y$. A kalauz ismeri és használja anyanyelvének szókincsét, ennek valószínűségi eloszlása legyen $P[X = x(i)] = p(i)$. Esti csak igent és nemet tud mondani, véletlen eloszlásban, ezért az ő szövegére igaz, hogy $Y = j \in (0,1)$ és $p(j) = 1/2$.

Annak a valószínűsége, hogy Esti $0$-t vagy $1$-et mond az $n$-edik megszólalásnál, miután a kalauz $x(i)$-t mondott az $(n-1)$-edik megszólalásnál, mindig $1/2$, mivel Estit nem befolyásolja a kalauz szövege. Ezért a feltételes valószínűség:

$$P[Y_n=j|X_{n-1}=x(i)]=p(j)=1/2$$

Ezzel szemben annak a valószínűsége, hogy a kalauz $x(i)$-t mond az $(n+1)$-edik megszólalásnál, miután Esti $0$-t vagy $1$-et mondott az $n$-edik megszólalásnál, tehát a $P[X_{n+1} = x(i)|Y_n = j]$ feltételes valószínűség, általában függ $j$-től, tehát attól, amit Esti találomra mondott. A kalauz szövegének $S(X)$ teljes entrópiája mindig valamilyen nagy szám, Esti szövegének entrópiája pedig $\ln 2$. Esti megszólalásának kölcsönös információja:

$$I(Y_n,X_{n-1})=S(X_{n-1})+S(Y_n)-S(X_{n-1},Y_n)= \\ =S(X_n)+\ln 2-[S(X_n)+\ln 2]=0$$

A kalauz megszólalásának kölcsönös információja pedig:

$$I(X_{n+1},Y_n)=S(X_{n+1})+S(Y_n)-S(X_{n+1},Y_n)= \\ =S(X_{n+1})+\ln 2-S(X_{n+1},Y_n)>0$$

Ezt az információt nyeri a kalauz Estitől, mert $X_{n+1}$ függ $Y_n$-től, tehát $S(X_{n+1},Y_n) \lt S(X_{n+1}) + S(Y_n)\text{.}$ Esti a kalauztól nem nyer információt, mert $Y_n$ nem függ $X_{n-1}$-től.

Ennél többet az információelmélet, amely érzéketlen az információk tartalmára, nem nagyon tud mondani. Továbbiakat ezért már csak valamilyen empirikus vizsgálattól várhatunk. Ez a vizsgálat maga a novella. Ennek eredménye pedig megdöbbentő. A fenti elemzés szerint a döntő kifejezés az $S(X_{n+1},Y_n)$ entrópia függvény. Ennek argumentumában két mennyiség áll: $X$ – ez a teljes bolgár nyelv, és $Y$ – ez $0$ vagy $1$. Esti Kornél kísérlete azt bizonyítja, hogy az $X$-hez képest jelentéktelennek tetsző $Y$ hatalmas változásokat okozhat a kölcsönös információban.

Kosztolányi a „bábeli nyelvzavar édes rémületéről” ír a novella alcímében. A rémületet értem: alig lehet valami ijesztőbbet elképzelni, mint ha egy elhanyagolhatóan kicsi perturbációt aránytalanul nagy válasz követ. Egy gyufaláng méretű perturbációt egy benzintartály robbanása. A kalauz – ha szabad magamat így kifejeznem – rémítően nemlineáris rendszer. A ritkásan elhangzó igenekre és nemekre váratlanul nagyot változik a tőle kiinduló információ.

Azon inkább lehet csodálkozni, hogy ezt a rémületet édesnek nevezi az író. No igen, a novellának végtére is derűs a befejezése. De érdemes lenne meghallgatni az esetről a kalauz véleményét is.

Forrás

Természet Világa 127 (1996) 12. 561–562. p. [link]