E könyv első két része a görög matematika kibontakozását igyekezett megvilágítani a tudomány fejlődésének abban a korai szakaszában, amelynek betetőzéseként Euklidész i.e. 300 körül összeállította alapvető művét, az Elemeket. Bizonyos, hogy már ez a régi kor ismerte a matematikai irracionalitás fogalmát. Bár az „irracionális szám” megjelölés csak azt a tényt juttatja kifejezésre, hogy a kérdéses mennyiség nem két más számnak egymáshoz való viszonya (rációja),a mégis úgy látszik, hozzájárulhatott e név könnyen félreérthető jelentése is ahhoz, hogy kialakuljon erről a kérdésről egy ma már nagyon réginek ható tudománytörténeti legenda.

  • aA négyzetgyök 2 vagy a négyzetgyök 3 tehát azért irracionális szám, mert nem tört. Két számnak egymáshoz való viszonya (rációja, a : b) ugyanis a mi fogalmaink szerint törtszám (a/b). A négyzetgyök 2 vagy pedig nem ilyen. Bármely törtszám csak megközelítheti azt az értéket, amelyet mai gyakorlat szerint az adott módon, négyzetgyökjel alá írunk.

A tudománytörténet egyik „klasszikusa”, a francia P. Tannery még a múlt század végén úgy gondolta, hogy a matematikai irracionalitás fölfedezése az egykorú görögök szemében valóságas „logikai botrány” (scandale logique) lehetett. Ez a megjelölés jellemző, ha nem is a régi fölfedezőkre, de mindenesetre arra, aki ezt a mesét költötte róluk. „Logikai-botrány” ti. csak akkor lehetett volna a matematikai irracionalitás, ha azok, akik először rájöttek, úgy gondolták volna: az, amit fölfedeztek, józan ésszel, logikával, rációval fölfoghatatlan, valóságos „botrány”. Nyilvánvaló, hogy Tannery, amikor ebben az összefüggésben szárnyára bocsátotta a „scandale logique” megjelölést, a modern „irracionális” szó másik értelmének („ésszerűtlen”) a hatása alatt állott.

Más értelemben költötték a „botrány” meséjét a matematikai irracionalitás korai történetével kapcsolatban azok a késő antik írók, akiknek híradására egy-egy modern szerző néha még ma is hivatkozik. Érdekes, hogy ezeket az utóbbiakat éppen úgy egy antik terminus technicus kettős értelme vezette félre, mint Tanneryt az „irracionális” szó.

A matematikai „irracionális” egyik görög neve ugyanis „arrhéton” (= kimondhatatlan). „Kimondhatatlan” mint szám pl. a négyzet átlója akkor, ha ugyanannak a négyzetnek az oldalát valamely szám adja meg. A görög vallásos kultuszok, a misztériumok szóhasználata szerint viszont arrhéton, azaz kimondhatatlan volt mindaz, amiről a beavatottnak nem volt szabad beszélnie mások előtt. Aki pedig megszegte ezt a vallásos tilalmat, aki kifecsegte az „arrhétont”, azt – hitük szerint – előbb-utóbb utolérte az istenség bosszúja, büntetése.

Egyes késő antik szerzők, akiknek nem sok közük volt a matematikához, ebben az értelemben értették félre a matematikai „arrhétont”. Elmondták, hogy a régi pythagoreusok, amikor rájöttek a matematikában az első ilyen meglepő esetre, annyira megdöbbentek, hogy elhatározták: titokban tartják fölfedezésüket. Ezért nevezték ezt „arrhéton”-nak. Akadt azonban közöttük egy istentelen, a metapontumi Hippaszosz, aki kifecsegte a féltve őrzött titkot. De utol is érte Hippaszoszt a büntetés. Nemcsak társai, a pythagoreusok rekesztették ki a szentségtörőt vallásos közösségükből: síremléket állítottak neki már életében, mintha meghalt volna. Később tengerbe is fulladt Hippaszosz, így bűnhődött a szentségtörésért.

Érdekes, hogy milyen könnyen összeolvadt ez a naiv mese Tannerynek a „scandale logique”-ra vonatkozó elképzelésével. Ezeknek a jegyében publikálta 1928-ban két német matematikus híressé lett könyvét arról, hogy állítólag milyen mély válságot okozott volna a görög matematika történetében az irracionalitás fölfedezése.b (A pythagoreusok, akik korábban meg voltak győződve arról, hogy minden kifejezhető mint szám, rájöttek volna a négyzet átlójával kapcsolatban az első olyan esetre, amely „nem szám”. Ez okozta volna tudományuk első nagy, alapvető krízisét.)

  • bH. HASSE–H. SCHOLZ: Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik. Charlottenburg, 1928.

Bár ma már alig van szerző, aki teljes egészében magáévá tudná tenni ezeket a gondolatokat, itt-ott még ma is fölbukkannak tudománytörténeti értekezésekben olyan elképzelések, amelyek végső soron ezekből a komolytalan késő antik és modern legendákból sarjadtak ki.

Hogy mennyire megbízhatatlan, késői kitalálás az „arrhéton” elárulásáról szóló antik történet, az kitűnhet már a következőkből is. Bizonyos, hogy Platón és Arisztotelész időben jóval közelebb éltek az irracionalitás fölfedezésének a korához, mint azok a késő antik szerzők, akik a Hippaszosszal kapcsolatos legendáról hírt adnak. De Platón és Arisztotelész nemcsak hogy semmit nem tudnak a Hippaszosz-történetről, hanem minden kétséget kizáróan kimutatható műveikből az is: ők még tisztában voltak azzal, hogy a matematikai arrhétonnak az égvilágon semmi köze sincs a vallásos misztériumok arrhétonjához. – Még kevésbé lehet szó arról, hogy akár ők maguk, akár kortársaik tudtak volna arról, hogy a matematikai arrhétont régebben bárki is „logikai botránynak” tartotta volna.

Még általánosabban elterjedt az irodalomban egy olyan fölfogás a matematikai irracionalitás korai történetéről, amelyet röviden Theaitétosz-legendának nevezhetnénk. Ezt a nevet kapta ez a rekonstrukció – amelyet alább mindjárt összefoglalok – az egyik szkeptikus matematikustól (K. Reidemeister) a közelmúltban, aki észrevette már, hogy az egész elképzelés valahogy nem egészen meggyőző. Az ún. Theaitétosz-legenda a következő.

Valamikor, a közelebbről meg nem határozható régmúltban rájöttek már a pythagoreusok arra, hogy a négyzet átlója nem határozható meg (= kimondhatatlan) mint szám akkor, ha adva van ugyanannak a négyzetnek az oldala mint valamely más szám. Ez a négyzetgyök 2 irracionalitása, amely kezdetben egyedülálló, elszigetelt eset lehetett. Ezt a fölismerést fejlesztette volna tovább egy név szerint ismert régi matematikus az 5. század végén (vagy a 4. század elején), a kyrénéi Theodórosz, aki kimutatta volna, hogy ugyanígy irracionális a négyzetgyök 3, négyzetgyök 5 és a többi mind a négyzetgyök 17-ig bezárólag. (A sorozatból természetesen kihagyta volna a négyzetgyök 4-et, és a négyzetgyök 16-ot.) Theodórosz azonban nem jutott volna tovább a négyzetgyök 17 irracionalitásának a kimutatásán. Az ő művét folytatta volna tovább tanítványa, Platón ifjabb kortársa, az athéni Theaitétosz, kimutatván minden nem négyzetszámból vont négyzetgyöknek az irracionalitását. – Ezt az egészet pedig igazolná Platón Theaitétosz című dialógusa, amelyben – úgy gondolták – maga az ifjú Theaitétosz számol be fölfedezéséről. A filozófus Platón éppen korán elhunyt ifjú barátjának, a nagy görög matematikus Theaitétosznak akart volna emléket állítani ebben a róla elnevezett dialógusban.

Túlságosan messzire vezetne, ha részletesen meg akarnám okolni ebben az összefüggésben, miért elfogadhatatlan ez a rekonstrukció. Részletezés helyett álljon itt röviden csak ennyi: az említett dialógus nem igazolja sem azt, hogy Theodórosz, sem pedig azt, hogy Theaitétosz bármi olyasmit fedeztek volna föl a matematikában, amit ne tudtak volna a görög matematikusok már előttük is réges-régen. Csak a szöveg megdöbbentően felületes félreértése, félremagyarázása adhatott alkalmat erre a föntebb röviden összefoglalt Theaitétosz-legendára.