Az irracionalitás fölfedezése

Részlet A görög matematika kibontakozása című kötetből
In memoriam
Szabó Árpád
(1913—2001)
matematika, számelmélet, racionális szám, irracionális szám

Csak egyszer hallottam Szabó Árpádot előadni. Az Akadémián megrendezett Brassai emlékülés délutánján volt levezető elnök. Az egyik előadó „felkonferálása” váratlanul egy magával ragadó kiselőadássá sikeredett. Az érintett jó humorérzékről tett tanúbizonyságot, amikor végül szót kapva megjegyezte: ennyire érdekes előadásra azért tőle ne számítsunk. — A szerk.

E könyv első két része a görög matematika kibontakozását igyekezett megvilágítani a tudomány fejlődésének abban a korai szakaszában, amelynek betetőzéseként Euklidész i.e. 300 körül összeállította alapvető művét, az Elemeket. Bizonyos, hogy már ez a régi kor ismerte a matematikai irracionalitás fogalmát. Bár az „irracionális szám” megjelölés csak azt a tényt juttatja kifejezésre, hogy a kérdéses mennyiség nem két más számnak egymáshoz való viszonya (rációja),a mégis úgy látszik, hozzájárulhatott e név könnyen félreérthető jelentése is ahhoz, hogy kialakuljon erről a kérdésről egy ma már nagyon réginek ható tudománytörténeti legenda.

  • aA négyzetgyök 2 vagy a négyzetgyök 3 tehát azért irracionális szám, mert nem tört. Két számnak egymáshoz való viszonya (rációja, a : b) ugyanis a mi fogalmaink szerint törtszám (a/b). A négyzetgyök 2 vagy pedig nem ilyen. Bármely törtszám csak megközelítheti azt az értéket, amelyet mai gyakorlat szerint az adott módon, négyzetgyökjel alá írunk.

A tudománytörténet egyik „klasszikusa”, a francia P. Tannery még a múlt század végén úgy gondolta, hogy a matematikai irracionalitás fölfedezése az egykorú görögök szemében valóságas „logikai botrány” (scandale logique) lehetett. Ez a megjelölés jellemző, ha nem is a régi fölfedezőkre, de mindenesetre arra, aki ezt a mesét költötte róluk. „Logikai-botrány” ti. csak akkor lehetett volna a matematikai irracionalitás, ha azok, akik először rájöttek, úgy gondolták volna: az, amit fölfedeztek, józan ésszel, logikával, rációval fölfoghatatlan, valóságos „botrány”. Nyilvánvaló, hogy Tannery, amikor ebben az összefüggésben szárnyára bocsátotta a „scandale logique” megjelölést, a modern „irracionális” szó másik értelmének („ésszerűtlen”) a hatása alatt állott.

Más értelemben költötték a „botrány” meséjét a matematikai irracionalitás korai történetével kapcsolatban azok a késő antik írók, akiknek híradására egy-egy modern szerző néha még ma is hivatkozik. Érdekes, hogy ezeket az utóbbiakat éppen úgy egy antik terminus technicus kettős értelme vezette félre, mint Tanneryt az „irracionális” szó.

A matematikai „irracionális” egyik görög neve ugyanis „arrhéton” (= kimondhatatlan). „Kimondhatatlan” mint szám pl. a négyzet átlója akkor, ha ugyanannak a négyzetnek az oldalát valamely szám adja meg. A görög vallásos kultuszok, a misztériumok szóhasználata szerint viszont arrhéton, azaz kimondhatatlan volt mindaz, amiről a beavatottnak nem volt szabad beszélnie mások előtt. Aki pedig megszegte ezt a vallásos tilalmat, aki kifecsegte az „arrhétont”, azt — hitük szerint — előbb-utóbb utolérte az istenség bosszúja, büntetése.

Egyes késő antik szerzők, akiknek nem sok közük volt a matematikához, ebben az értelemben értették félre a matematikai „arrhétont”. Elmondták, hogy a régi pythagoreusok, amikor rájöttek a matematikában az első ilyen meglepő esetre, annyira megdöbbentek, hogy elhatározták: titokban tartják fölfedezésüket. Ezért nevezték ezt „arrhéton”-nak. Akadt azonban közöttük egy istentelen, a metapontumi Hippaszosz, aki kifecsegte a féltve őrzött titkot. De utol is érte Hippaszoszt a büntetés. Nemcsak társai, a pythagoreusok rekesztették ki a szentségtörőt vallásos közösségükből: síremléket állítottak neki már életében, mintha meghalt volna. Később tengerbe is fulladt Hippaszosz, így bűnhődött a szentségtörésért.

Érdekes, hogy milyen könnyen összeolvadt ez a naiv mese Tannerynek a „scandale logique”-ra vonatkozó elképzelésével. Ezeknek a jegyében publikálta 1928-ban két német matematikus híressé lett könyvét arról, hogy állítólag milyen mély válságot okozott volna a görög matematika történetében az irracionalitás fölfedezése.b (A pythagoreusok, akik korábban meg voltak győződve arról, hogy minden kifejezhető mint szám, rájöttek volna a négyzet átlójával kapcsolatban az első olyan esetre, amely „nem szám”. Ez okozta volna tudományuk első nagy, alapvető krízisét.)

  • bH. HASSE—H. SCHOLZ: Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik. Charlottenburg, 1928.

Bár ma már alig van szerző, aki teljes egészében magáévá tudná tenni ezeket a gondolatokat, itt-ott még ma is fölbukkannak tudománytörténeti értekezésekben olyan elképzelések, amelyek végső soron ezekből a komolytalan késő antik és modern legendákból sarjadtak ki.

Hogy mennyire megbízhatatlan, késői kitalálás az „arrhéton” elárulásáról szóló antik történet, az kitűnhet már a következőkből is. Bizonyos, hogy Platón és Arisztotelész időben jóval közelebb éltek az irracionalitás fölfedezésének a korához, mint azok a késő antik szerzők, akik a Hippaszosszal kapcsolatos legendáról hírt adnak. De Platón és Arisztotelész nemcsak hogy semmit nem tudnak a Hippaszosz-történetről, hanem minden kétséget kizáróan kimutatható műveikből az is: ők még tisztában voltak azzal, hogy a matematikai arrhétonnak az égvilágon semmi köze sincs a vallásos misztériumok arrhétonjához. — Még kevésbé lehet szó arról, hogy akár ők maguk, akár kortársaik tudtak volna arról, hogy a matematikai arrhétont régebben bárki is „logikai botránynak” tartotta volna.

Még általánosabban elterjedt az irodalomban egy olyan fölfogás a matematikai irracionalitás korai történetéről, amelyet röviden Theaitétosz-legendának nevezhetnénk. Ezt a nevet kapta ez a rekonstrukció — amelyet alább mindjárt összefoglalok — az egyik szkeptikus matematikustól (K. Reidemeister) a közelmúltban, aki észrevette már, hogy az egész elképzelés valahogy nem egészen meggyőző. Az ún. Theaitétosz-legenda a következő.

Valamikor, a közelebbről meg nem határozható régmúltban rájöttek már a pythagoreusok arra, hogy a négyzet átlója nem határozható meg (= kimondhatatlan) mint szám akkor, ha adva van ugyanannak a négyzetnek az oldala mint valamely más szám. Ez a négyzetgyök 2 irracionalitása, amely kezdetben egyedülálló, elszigetelt eset lehetett. Ezt a fölismerést fejlesztette volna tovább egy név szerint ismert régi matematikus az 5. század végén (vagy a 4. század elején), a kyrénéi Theodórosz, aki kimutatta volna, hogy ugyanígy irracionális a négyzetgyök 3, négyzetgyök 5 és a többi mind a négyzetgyök 17-ig bezárólag. (A sorozatból természetesen kihagyta volna a négyzetgyök 4-et, és a négyzetgyök 16-ot.) Theodórosz azonban nem jutott volna tovább a négyzetgyök 17 irracionalitásának a kimutatásán. Az ő művét folytatta volna tovább tanítványa, Platón ifjabb kortársa, az athéni Theaitétosz, kimutatván minden nem négyzetszámból vont négyzetgyöknek az irracionalitását. — Ezt az egészet pedig igazolná Platón Theaitétosz című dialógusa, amelyben — úgy gondolták — maga az ifjú Theaitétosz számol be fölfedezéséről. A filozófus Platón éppen korán elhunyt ifjú barátjának, a nagy görög matematikus Theaitétosznak akart volna emléket állítani ebben a róla elnevezett dialógusban.

Túlságosan messzire vezetne, ha részletesen meg akarnám okolni ebben az összefüggésben, miért elfogadhatatlan ez a rekonstrukció. Részletezés helyett álljon itt röviden csak ennyi: az említett dialógus nem igazolja sem azt, hogy Theodórosz, sem pedig azt, hogy Theaitétosz bármi olyasmit fedeztek volna föl a matematikában, amit ne tudtak volna a görög matematikusok már előttük is réges-régen. Csak a szöveg megdöbbentően felületes félreértése, félremagyarázása adhatott alkalmat erre a föntebb röviden összefoglalt Theaitétosz-legendára.