Erkölcsi és esztétikai értékek a fizikában és a matematikában

Szegeczky Tibor
tudománytörténet, tudományfilozófia, matematikai és fizikai gondolkodás
szóelválasztás

A legnagyobb tanári művészet,
hogy az alkotás és felismerés örömét ébresszék.

Albert Einstein

El kell ismerni, hogy az erkölcsi és az esztétikai nevelésben nem a matematika és a fizika játssza a főszerepet. Az erkölcsi nevelés fő területei az erkölcstan, a hittan és a történelem, az esztétikát pedig leginkább talán az ének–zene, a rajz és az irodalom tantárgyakon keresztül lehet megismerni. Azt is el kell azonban fogadni, hogy e két tárgy, a matematika és a fizika tanításának módja sem közömbös az erkölcsi és esztétikai nevelés szempontjából. A két tantárgyban, illetve tudományban fellelhető erkölcsi és esztétikai értékek – melyek közül igyekszem e dolgozatban néhányat számba venni – segíthetnek a tanulónak világképe formálásában.

Az 1995. október 10-én kiadott Nemzeti Alaptanterv a következőket tartalmazza:

A matematika rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra, a felfedeztetés, az ötletes megoldások keresésére nevel. […] A matematika története igen sok érdekességgel és tanulsággal szolgál. Ezek szerepeltetése is jól motiválhatja a tanulókat. […] A természettudományos nevelés elemi szinten is a környezeti nevelés része. Olyan összetett személyiség-, magatartás- és attitűdformálás, amely képessé tesz a másokkal való együttműködésre, a környezettudatos életvitelre.

Az ember minden jel szerint arra van teremtve, hogy gondolkozzék; ebben rejlik minden méltósága és minden érdeme; egyetlen kötelessége az, hogy helyesen gondolkozzék.

– írja Blaise Pascal. A gondolkodás képességének alakításával az erkölcsi nevelésben is minden bizonnyal jelentős szerep jut a matematikának.

A matematika történetében rejlő tanulságok közül említsük meg az irracionális számok felfedezésének történetét. A pitagoreusok a számelméletben óriási eredményeket értek el, számmisztikájuknak köszönhetően. A pitagoraszi szemlélet összefoglalása: a dolgok természete, lényege: a szám. A szám szó náluk természetes számot, illetve azok arányait, tehát racionális számot jelentett. Az irracionális szám felfedezéséhez az a kérdés vezetett, hogy mekkora az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza. A pitagoreusok ismerték azt a tételt, mely mindmáig Püthagorasz nevét viseli. Ezek szerint a $c$ átfogóra igaz, hogy $c^{2}=1^{2}+1^{2}=2$. Olyan számot kell tehát keresni, melynek négyzete 2. Ez a szám a pitagoreusok szerint egész számok arányával kifejezhető: \( c=\frac{m}{n} \). Itt vagy $m$, vagy $n$ páratlan, hiszen ha mindkettő páros, kettővel egyszerűsíthetünk addig, míg ezt el nem érjük. Ekkor tehát \( \frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}=2 \), azaz $m^{2}=2n^{2}$. Ezek szerint $m$ páros, tehát $n$-nek páratlannak kell lennie az előzőek értelmében. Mivel $m$ páros, írhatjuk $2p$ alakban. Tehát $(2p)^{2}=2n^{2}$, azaz $2p^{2}=n^{2}$. Ez azt jelenti, hogy $n$ páros, ami ellentétben áll kezdeti állításunkkal. Az ellentét feloldásának egyetlen módja: hibás volt az a feltételezés, mely szerint a $c$ átfogó nagyságát két egész szám hányadosaként írtuk fel. Az átfogó méretét jellemző szám tehát irracionális ($\sqrt{2}$).

Ez a bizonyítás önmagában is sokat mond a matematikában fellelhető esztétikumról, az „erkölcsi mondanivaló” azonban csak most következik. A felfedezés sokként hatott a pitagoreusokra, hiszen egész számmisztikájuk csődjét jelentette. A legenda szerint azt a társukat, aki a felfedezést tette, tengerbe vetették, mivel megsértette a kozmoszba, mint összehangzó szép rendbe vetett hitet. A tanulság tehát: a tudományok fejlődésével időről időre beköszöntő szemléletváltással (ún. paradigmaváltással) mindig együtt jár a tiltakozás, a meg nem értés. Nem Giordano Bruno és Galileo Galilei voltak tehát az elsők, akik megszenvedték kutatásaik eredményét (és képesek voltak a felismert igazságért az életüket adni).

A pitagoreusok egyéb eredményei is figyelemre méltóak tárgyunk szempontjából. A zenei hangok harmóniájának vizsgálata során egyszerű kapcsolatot találtak a harmonikus hangokat létrehozó húrok hosszai között. Ezek szerint az oktáv az 1:2, a kvint a 2:3, a kvart pedig a 3:4 aránynak felel meg. A harmóniák tehát a kis egész számokkal vannak kapcsolatban. Épp ez a kapcsolat vezette a pitagoreusokat a kozmosz, az összehangzó szép rend képéhez.

A bölcsek is azt mondják, Kalliklész, hogy kölcsönösség, barátság, összhangzó rend, józan mérték és igazságosság fűzi össze az eget és a földet, az isteneket és az embereket. Ezért nevezik a mindenséget is világrendnek – kozmosznak.

Platón: Gorgiász

A természettudományos kutatásban sok helyen tetten érhető a szépség, a harmónia keresése. Kepler harmadik törvényét (a bolygók keringési idejének négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a középnaptávolságok köbei) éppen így találta meg: a mért adatok között olyan matematikai kapcsolatot keresett, mely kis egész számokkal leírható. A felfedezés nyomán óriási örömében így ír Harmonices mundi című könyvében:

Most, miután 18 hónappal ezelőtt az első hajnali derengés, három hónappal ezelőtt a reggeli világosság, pár nappal ezelőtt viszont már a ragyogó nap világította meg ezt a csodálatos színjátékot, semmi sem tart vissza: igen, szent őrjöngés vesz erőt rajtam. Fölényesen dacolok a halandókkal, nyíltan bevallva: megloptam az egyiptomiak aranyedényeit, hogy Istenemnek szentelt hajlékot építsek azokból messze túl Egyiptom határain. Bocsássatok meg nekem, hogy így örülök. Ám, haragudjatok, azt is elviselem. Rajta, elvetem a kockát, és könyvet írok a jelennek vagy az utókornak. Nekem mindegy! Ám, várjon száz évig olvasójára; nem várt e az Isten is hatezer évig, míg értőjére lelt?!

Kepler komolyan vette a „szférák zenéjét”, a bolygók keringési adatai alapján megadta azok zenei motívumait is!

A Mars retrográd mozgásának ábrázolása a geocentrikus világkép alapján (Johannes Kepler illusztrációja az Astronomia Nova 1609-es kiadásában)
A bolygók „zenéje”

Az egész számok arányai, a kis egész számok jelentette harmónia a fizikában éppen a XX. század forradalmian új elméletében, a kvantumelméletben kerül ismét felszínre. Bár a kvantumelméletet gimnáziumban sem tanítjuk részleteiben, erre mindenképpen érdemes felhívni a figyelmet. Sommerfeld írja:

Az egész számok által kormányzott spektrumsorozatok alapjában véve az ősi lant összhangzó akkordjainak értelemszerű általánosításai, amelyből a pitagoreusok 2500 évvel ezelőtt a természeti jelenségek »egész számú« harmóniájára következtettek; a mi kvantumaink valóban emlékeztetnek arra a szerepre, amelyet az egész számok a pitagoreusoknál feltehetőleg játszottak: a fizikai történéseknek nem jellemzőit, hanem lényegét fejezik ki.

Werner Heisenberg leír egy történetet, melyben kifejti, milyen hatással volt rá egy fizikai kép, mely nem nyújtott számára elegendő esztétikai élményt, mivel nem lelte meg benne az egyszerűséget, harmóniát.

Abban az időben egy egyébként igen jó fizikakönyvből tanultunk, mely azonban, érthető módon, a modern fizikát kissé mostohán kezelte. Ennek ellenére a könyv utolsó oldalán az atomokról is volt valamelyes szó, s világosan emlékszem még egy képre, amelyen nagyobb számú atomot lehetett látni. A kép nyilvánvalóan egy gáz állapotát akarta kicsiben bemutatni. Az egyes atomok csoportokba kapcsolódtak össze, éspedig kapcsokkal és fűzőkarikákkal, melyek nyilvánvalóan a kémiai kötést ábrázolták. A szövegben pedig az állt, hogy az atomok a görög filozófusok véleménye szerint az anyag legkisebb oszthatatlan építőkövei. Ez a kép mindenkor heves ellenvetésre ingerelt, s felháborodtam azon, hogy ily ostobaságot lehet egy fizikakönyvben olvasni. […] Az a tétel, amit Platón a Timaiosban felállított, hogy ti. az atomok szabályos testek, nem volt ugyan egészen világos számomra, de mégis megnyugtatott, hogy legalább nincsenek kapcsaik és karikáik.

A modern fizikában is egy fizikai elmélet helyességének kritériuma lehet, hogy esztétikus e, szép e az illető elmélet. Dirac írja a következőket:

Amidőn Einstein a gravitáció elméletének alkotásán fáradozott, nem az a törekvés vezette, hogy néhány megfigyelés eredményéről számot adjon. Messze nem! Minden erőfeszítése arra irányult, hogy egy szép elméletet találjon, […] hogy elméletének meglegyen az a szépsége és eleganciája, amellyel elvárhatóan a természet minden alapvető leírásának rendelkeznie kell.

„És most nézzünk szembe azzal a kérdéssel, hogy az általános relativitáselmélet és a megfigyelés között megerősített, megalapozott eltérés lép fel. Mi legyen az álláspontunk?! Mi lenne magának Einsteinnek az álláspontja?! Alapvetően rossznak kellene tartanunk az elméletet? Szeretném leszögezni, hogy az utolsó kérdésre adott válasz csak határozott Nem lehet. Mindenkinek érezni kell, aki értékelni tudja azt az értelmi harmóniát, amely összekapcsolja a természet működésének útjait és az általános matematikai elveket, hogy egy olyan elmélet, amely az Einstein-elmélet eleganciájával és szépségével rendelkezik, kell hogy lényegében helyes legyen. Ha az elmélet alkalmazásakor valahol diszkrepancia jelentkezik, az csak valamilyen másodlagos jelenség következménye lehet, amelyet nem vettek kellőképpen figyelembe, de nem jelentheti az elmélet általános elveinek csődjét.”

Napjaink fizikájának is kedvelt kutatási területe a káoszkutatás. A káosz, azaz a véletlen matematikai és fizikai törvényeinek kutatásában úttörő szerepet vállaló Benoît Mandelbrot-ról elnevezett alakzatot, a Mandelbrot-halmazt, vagy más néven alma emberkét láthatjuk az ábrán. Mandelbrot állította elő először számítógépes grafikával fraktálok (törtdimenziós terek) képét. A ma oly népszerű animációs rajzfilmek háttereinek többségét is számítógépes grafikával, a fraktálok matematikájának segítségével készítik.

Szintén nem tananyag a középiskolákban, de mindenképpen említésre méltóak a fizika szimmetria- és megmaradási törvényei, ha esztétikumról beszélünk. Érdekes tény, hogy a tükrözési szimmetria megsértésének törvényét kínai tudósok elméletileg megsejtették, majd kísérletileg is igazolták. A nyugati kultúra fontosabb szimbólumai – a kereszt, az ötágú csillag (mely eredetileg épp a már emlegetett pitagoreusok jelvénye volt) tükörszimmetrikusak, míg a kínai kultúrában nagy szerepet játszó Yang szimbólum nem tükörszimmetrikus. A tükrözési szimmetria megsértésének törvényével kapcsolatban Simonyi Károly ezt írja: „a kis aszimmetria növeli az esztétikumot”.

A XX. század fizikájával felmerül egy látszólag új kérdés: a fizikus felelőssége. Nagyszerű lehetőség ennek bemutatására az irodalomban Dürrenmatt Fizikusok című drámája. Hogy a kérdés nem új, bizonyítja a következő, Leonardo da Vinci-től származó idézet:

Vannak olyan fajta hídjaim, amelyek rendkívül erősek és könnyűek. Másfajták viszont biztosak, tűzben és csatában nem mennek tönkre, kényelmesen lebonthatók és újra felépíthetők. Van arra is módszerem, hogy az ellenség hasonló hídjait felégessem és tönkretegyem. Tudom azt, ha ostromlunk egy erődítményt, hogyan lehet a vizet eltávolítani az árokból. […] Továbbá olyan puskáim is vannak, amelyek könnyen kezelhetők és hordozhatók. […] Szükség esetén ágyúkat is készítek.

Már Arkhimédész-ről is azt tartják, hogy tükrökkel, emelőkkel és horgokkal vett részt városa, Szirakuza védelmében, mely több mint egy évig ellenállt a római támadásoknak a második pun háborúban. Weisskopf, aki Los Alamosban részt vett az atombomba létrehozásában, így ír:

A fizika fontosságának megítélése nagyon nehéz dolog. A fizika nem csak az igazság keresése, a fizika a természet feletti uralom lehetősége; a két aspektus nem választható el egymástól. Valaki azt mondhatná, hogy a fizikus keresse csak az igazságot, és hagyja a természet fölötti uralmat valaki másra. De ez az attitűd csak kerülgeti a témát, és nem számol a realitásokkal. A fizikában és a legtöbb tudományban az a lényeg, hogy az nem csak természetfilozófia, hanem mélyen belenyúlik a cselekvés szférájába: az életbe, a halálba, a tragédiába, a visszaélésbe és a bonyolult emberi viszonylatokba. Hogy ez jó vagy rossz, ki hivatott ezt megítélni. Mindegyik oldal mellett lehet érveket találni.

Érdemes körüljárni a természettudomány és a humán tudományok kapcsolatainak témakörét, és a tanításban, nevelésben az így nyert tanulságokat felhasználni. A „humán” és a „reál” tárgyak élesen elkülöníthetőek, a tanulókat rendszerint vagy humán, vagy reál érdeklődésük szerint segítik, irányítják a pályaválasztásban. E „két világ” között elmélyülő, egyre mélyebb szakadék kialakulásáról, és e helyzet hatásairól írja C. P. Snow a következőket.

Azt hiszem, hogy a nyugati társadalom egészének intellektuális élete egyre növekvő mértékben hasad szét két szemben álló csoportra… Az irodalmárok az egyik oldalon, a tudósok – és ezek között is elsősorban a fizikusok – a másikon. A kettő között pedig kölcsönös meg nem értés és néha (különösen a fiatalok között) az ellenszenv és ellenséges érzés szakadéka. Különlegesen eltorzított képe van egyiknek a másikról… A nem tudósoknak az a gyökeres benyomásuk, hogy a tudósok sekélyesen optimisták, és nincsenek tisztában az ember helyzetével. A másik oldalon a tudósok azt hiszik, hogy az irodalmárokból teljesen hiányzik a megfontoltság; nem törődnek felebarátaik sorsával, a szó mélyebb értelmében antiintellektuálisak, le akarják szűkíteni a művészetet és a gondolatot a pillanatnyi létezésre…

Egy tudóst megkérdezve, hogy milyen könyveket olvasott, határozottan és magabiztosan ezt felelte: »Könyveket? Én a könyveimet inkább eszközként használom.« Nehéz megállni, hogy ne eresszük szabadjára fantáziánkat – vajon milyen eszközként használható egy könyv. Talán kalapács vagy primitív ásószerszám? […] Nem arról van szó, hogy az érdeklődés hiányozna belőlük. Inkább az, hogy a tradicionális kultúra teljes irodalma tevékenységi körük számára irreleváns. Természetesen a legkevésbé sincs igazuk. Ez ugyanis azt eredményezi, hogy alkotó képzeletük sekélyesebb, mint lehetne. Önmagukat szegényítik el…

Az irodalmárok viszont a tudósokat megvetik, mint tudatlan specialistákat. De az ő saját tudatlanságuk és saját specializálódásuk éppen olyan meglepő. […]

Egy, a tradicionális kultúra szemszögéből nézve igen művelt társaságban feltettem a kérdést, hogy közülük ki tudná elmondani a termodinamika második tételét. A kérdés fogadtatása hűvös volt, és a válasz teljesen negatív. Pedig én valami olyasvalamit kérdeztem tőlük, ami tudományos vonalon annak a kérdésnek megfelelője: Olvasta ön Shakespeare valamelyik munkáját?

Ma már azt hiszem, hogy ha még egyszerűbb kérdést tettem volna fel, például azt: »Mit ért ön tömeg vagy gyorsulás alatt?«, amely annak a kérdésnek tudományos megfelelője: »Tud e ön olvasni?« – ezen művelt embereknek legfeljebb egytizede érezte volna, hogy közös nyelven beszélünk. És miközben a modern fizika hatalmas épülete felépül, a nyugati világ legképzettebb főinek többsége éppoly kevéssé érti, mint akár kőkorszakbeli elődjeik.

Társadalmunkban (vagyis a fejlett nyugati társadalomban) elvesztettük a közös kultúrának még a látszatát is. A lehető legjobban képzett személyek többé nem tudnak véleményt cserélni legfőbb intellektuális érdeklődésük síkján. Ez aggasztó alkotó, intellektuális és mindenekfölött morális életünk szempontjából. Ahhoz vezet, hogy rosszul értelmezzük a múltat, rosszul ítéljük meg a jelent, és megtagadjuk jövő reményeinket. Megnehezíti, talán lehetetlenné teszi, hogy helyesen cselekedjünk.

Természetesen nincs teljes megoldás. […] De mégis tehetünk valamit: a legfőbb eszköz, ami rendelkezésünkre áll, a nevelés – a nevelés elsősorban az általános és középiskolákban, de a főiskolákon és az egyetemeken is. Nincs mentség arra, hogy a következő generációt is olyan tudatlanságban, a kölcsönös megértéstől és rokonszenvtől megfosztva bocsássuk útjára, mint amilyenek mi is vagyunk.

Úgy vélem, a gondolatmenet megérte a hosszúra nyúló idézetet, mert elvezet a legfontosabb felismeréshez: az emberi kultúra egészében hordozza csak az erkölcsöt. A pitagoreusoknál – mint láttuk – egy természettudományos felfedezés az egész kultúrát érintette, hasonlóan a reneszánsz nagy eredményeihez. A XX. század fizikai forradalmát, bár alapjaiban változtatta meg világképünket, gyakorlatilag csak igen kevesek élték át.

Amit a fizika és matematika oktatója tehet, két irányú. Egyrészt igyekeznie kell az érdeklődést, a rokonszenvet felkelteni tudománya iránt, hogy akiket „nem érdekelnek a reál tárgyak”, azok is képesek legyenek rácsodálkozni, hogy ezekben a tantárgyakban, tudományokban a természet megismerése mellett az emberi gondolkodás nagyszerűségére is ráismerhetnek. Másrészt pedig a tehetséges tanulókat nem szabad OKTV-esélyesként színtiszta, szűrt tudománnyal fertőzni, hanem számukra is be kell mutatni a tudományok társadalmi hátterét, a felfedezések, kutatások történetét, beillesztve az egyetemes kultúrtörténetbe. Meg kell ismertetni a tanulókkal a tudósok, nagy gondolkodók emberségét is, hogy ne csak a kész állítást, tételt lássák, hanem az odavezető emberi teljesítményt is. Hiszen

meglátni a szépet az általános relativitáselméletben, egy szoborban, vagy egy versben – mindegyikhez készség a befogadásra és értelmi erőfeszítés szükséges.

Simonyi Károly

Ennek a készségnek kifejlesztése, erősítése, és az értelmi erőfeszítés segítése minden tanár legfőbb feladata.

Lássuk most – talán igazolásképpen – két nagyszerű ember: egy író és egy fizikus véleményét e kérdésről.

Németh László írja egy levelében Marx György-nek:

A vitában a legtöbb szó esett arról a szakadékról, mely a természettudományos és történeti műveltség között tátong. Én ezt a szakadékot önmagamban soha nem éreztem. […] Hol van hát, s hol nyílt az a szakadék, melyről a felszólalók panaszkodtak? Nyilván az emberek képzettségében, s a pedagógia tehetetlensége, ami nyitva tartja.

Feltűnő, hogy Németh László is pedagógiától vár választ erre a problémára. S valóban a pedagógia szép feladata, hogy minél kevesebben érezzék önmagukban a „szakadékot”.

Werner Heisenberg A mai fizika világképe című tanulmányában külön fejezetet szentel e témakörnek, A humanisztikus műveltség, a természettudomány és az európai kultúrkör viszonyáról címmel. A humanisztikus gimnázium védelmében írja:

Aki tehát a görögök filozófiájával foglalkozik, lépten nyomon az elvi kérdésfelvetésnek erre a képességére bukkan, s így a görög szerzők olvasásával ama legerősebb eszköz használatában gyakorolhatja magát, amit az európai gondolkodás létrehozott. Ennyiben tehát lehet állítani, hogy hasznos az, amit a humanisztikus gimnáziumban tanulunk. […] Valóban semmiképp sem felel meg korunknak, hogy gyermekeinket a szellemi értékeknek az anyagi értékekkel szembeni nagyobb megbecsülésére kívánjuk nevelni. […] Ha a nyíl az ág húrjáról elpattant, pályáján repül és semmi sem térítheti le azt a pályáról, csak egy még nagyobb erő; előzőleg azonban a nyíl irányát csak az határozza meg, aki céloz, s célzó szellemi lény nélkül a nyíl egyáltalán nem tudna repülni. Ennyiben tehát talán mégsem olyan rossz, ha ifjainkat arra neveljük, hogy a szellemi értékeket ne becsüljék le túlságosan. […] A kémia épülete atomfizikai alapokra épül, a modern asztronómia szorosan kapcsolódik az atomfizikához és nélküle alig művelhető, s már a biológia oldaláról is hidakat vernek az atomfizika területére. Az utolsó évtizedekben sokkal nagyobb mértékben, mint korábban, láthatóvá váltak a különböző természettudományi ágak közötti kapcsolatok. Sok helyütt felismerhetők a közös eredet jelei, s a közös eredet végül is valamiféleképpen az antik gondolkodásban gyökerezik.

Öveges József, a legendás hírű fizikatanár varázslatos előadásaival és kísérleteivel igyekezett a fizikát minél szélesebb körben megszerettetni az emberekkel. Érdekes fizika című könyvének bevezetőjében írja:

Egy középiskolai tanár azt mondotta, hogy olyan érdekes A legújabb kor fizikája, mint a legérdekesebb detektívregény. Elszomorodtam. Csak olyan érdekes? Sokkal érdekesebben szerettem volna megírni!

Mert

indulhatnánk e izgalmasabb felfedező útra, mint a szépet és jót szolgáló új ismeretek világába?

Felhasznált irodalom

  1. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. 2. bővített kiadás. Budapest: Gondolat Kiadó, 1981.
  2. Werner Heisenberg: Válogatott tanulmányok. Budapest: Gondolat Kiadó, 1967.
  3. Albert Einstein: Hogyan látom a világot? Budapest: Gladiátor Kiadó, 1995.
  4. Öveges József: Érdekes fizika. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, [reprint kiadás]