Vekerdi László és Németh László levelezése a két Bolyai kérdésköréről

matematika, geometria, nemeuklideszi, Bolyai Farkas, Bolyai János
szóelválasztás
VEKERDI LÁSZLÓNAK1

[Sajkod, 1959. november 4–19.]

Kedves Laci!

A feleségem lehozta a könyvet; azóta úgy hallottam, hogy ezt az idézetet tudományosan is feldolgozták, s Sőtér megígérte, hogy ezt a feldolgozást juttatja majd el Grúziába.

Nagyon köszönöm, amit a könyvbe tett cédulára írtál. Te voltál az egyetlen, akinek gondja volt rá, hogy megnyugtasson, s épp azt írtad, amivel én is nyugtatom magam; hogy amit írtam, az igaz és helyes. Hozzátehetjük: s mint előre tudtam, nem szerzek vele semmiféle előnyt, csak hátrányt magamnak.2

Egy erdélyi nő fejébe vette, hogy drámát írat velem a Bolyaiakról. Legépeltette az apjával az egész Bolyai-levelezést, s ideajándékozta. Én a Te drámádra gondoltam, s azt mondtam: legföllebb tanulmányt írnék róla: a pedagógus apa – aki egy lángeszű s kegyetlen kritikust nevel a fiában magának, ez, ami ebben a témában személy szerint is érdekel.

Amióta hazajöttem, keresem a munkát, amibe beleölhessem magam. S ebben a témában igazán benne van a mi magyar életünk egész borzasztósága! Arra gondoltam – nem írhatnék-e mégis, nem drámát, de drámai költeményt róla. A tiédet így kétszeresen is elkerülné, mint elsősorban Farkasról szóló munka s mint költemény.

Tudnál-e tanácsot adni: mit érdemes elolvasni? Olvastam egy regényt (a Barabás Gyuláé), annak bővebb forrásai lehettek, mint nekem. Az Appendix megjelent-e modern kiadásban, esetleg fordítással, magyarázattal?

Egészség dolgában jobban vagyok, de persze hermetice elzárva attól, ami bánthatna, s ami tudom, hogy van, de az mégis más, mint ha érintkezem is vele.

Lezárom egy-két munkámat (fordítások javítása), s akkor visszamerülök tudománytörténetünkbe is!

Szeretettel köszönt, Jutkának kézcsókját küldi:

Németh László

  • 1 Forrás: 1463. sz. levél. Vekerdi Lászlónak. = Németh László élete levelekben. I. 1949–1961. Összegyűjt. és szerk.: Németh Ágnes. Budapest, 2000. Osiris. 669. p. (Osiris klasszikusok)
  • 2 Célzás a szovjet úttal kapcsolatos cikkekre.
VEKERDI LÁSZLÓTÓL3

Budapest, 1959. november 19.

Kedves Laci Bácsi!

Nagy örömmel olvastam a Bolyai-tervet. Még jobban örülnék, ha nem „elkerülné” az enyémet, hanem megcsinálná – jól – azt, amit én is szerettem volna. Annál is inkább, mert a mintát úgyis Laci Bácsi drámáiból vettem, főleg a Görgeyről és II. Józsefről. 1956 tavaszán egymás után 4 ilyen kísérletet írtam (Bolyaiak, Kepler, Erasmus, Watteau), s még kettőt készültem (Csokonai, Bessenyei), amikre már nem került sor. Ma visszanézve úgy látom, hogy ezek az érzelmi és gondolkozási krízis vetületei voltak: az érzelmi krízis a meg nem értett vagy félreértett tudóst háborgatta bennem (Watteau-t átírtam a festés tudósának, ami persze nem igaz), a gondolkozásomban pedig a természettudományokról történelemre való áttérés nagyon is bonyolult folyamata jelentkezett. Túlságosan is személyes ügyeim voltak ezek az írások akkor, hogy türelmem lett volna javítani rajtuk, s én túlságosan filológus [vagyok] ahhoz, hogy cselekvő alakokat tudjak teremteni. Nagy kínomban is azzal küszködtem, hogy beszorítsak pl. a Bolyaiakba egy Tentamenről és egy Appendixről szóló tanulmányt. S emellett egyet a 48-as Erdély lelkivilágáról. Ez a vágy: a tanulmányé azóta is él bennem, ha égető munkám legelején túljutok, belefognék. Így elég jól ismerem a Bolyai-irodalmat, egy-más nekem is megvan. A leginkább én is Farkas levelezését ajánlom, itt is mint legfontosabbat, a Bolyai–Gauss-levelezést. A század elein ezt kiadta az Akadémia is. Utána messze (és egyetlen valamirevaló) legjobb a P. Stäckel tanulmánya (a két legnagyobb magyar tudósról magyar eddig elfogadható tanulmányt nem írt! Stäckel német professzor). Pár éve sikerült ezt a ma már ritka könyvet megszereznem. A magyar tanulmányok közül még ma is legtöbbet ér Bedőházi János, a Két Bolyai, Mvhely, 1897. Sokkal jobb, különösen Farkast illetőleg, mint ahogy a későbbi kritika írja. A Tentament ebből lehet legkönnyebben megérteni (Egyetemi Könyvtárban megvan). Nagy hibája, hogy Farkas nagy emberi és matematikai tulajdonságait János hátrányára igyekszik kiemelni. A másik elviselhető magyar tanulmány: Dávid Lajos A két Bolyai élete és munkássága pedig megfordítja: Jánost emeli Farkas rovására, akiben inkább csak a nagy embert, nem a nagy matematikust látja. A harmadik terjedelmesebb magyar tanulmány: az Alexits György: Bolyai Jánosa pedig már mind a kettőben csak főurak áldozatát látja. Szerinte Farkas: vén talpnyaló, János pedig (akit bosszantó módon állandóan „szegény”-nek titulál) üldözött és meg nem értett – kommunista, csak nem következetes. (Ezért „szegény”?).

Az igazság az, hogy Farkas matematikusnak is éppen olyan nagy, mint János, Tentamenében lefekteti egy olyan geometria alapjait, amit sokkal később – igaz, hogy sokkal világosabban – Felix Klein fog a híres Erlangeni programban levezetni: a „mozgáscsoportokra” felépített geometria fogalmát. Több mint fél évszázaddal Klein előtt pontosan definiálja a mozgáscsoportok és a csoportgeometria fogalmát, s ezt a tudománytörténészek – még a jó szemű Stäckel sem veszi észre, s Farkast mint a nem euklideszi geometria „Mózesét” marasztalják el, amiben persze nem is első és nem is legnagyobb. De mint a koordinátamentes térgeometria megteremtője igen is első, s ezt nem tudják ma sem. Azt Stäckel is észreveszi – nehéz is lenne nem –, hogy az axiomatikus geometria első nagy mestere Farkas, de inkább elszórt, zseniális intuícióknak tekinti alkotásait. Pedig az egy egészen új, s csak a XIX–XX. század fordulóján kibontakozó matematikai világ első megfogalmazása.

János pedig embernek se kicsi. Látszik ez annyit szidott és lesajnált Üdvtanából is, meg azokból a kivonataiból is, amik hozzáférhetők. (Nem adták ki soha, csak szemelvényeket idéztek itt-ott.) Az Üdvtanban a lehetetlen nagy vállalkozások és félig megtett utak annyira ismerős világa is keserít. Farkasnak inkább a matematikája ilyen: az emberi oldala neki szerencsésebb volt. János matematikája mentes ettől. Az Appendix olyan nagy, olyan teljes, befejezett, hogy már nem mérhető matematikai mértékkel (ezért nem is fogható Gauss és Lobacsevszkij hasonló jellegű munkáihoz).

Többek között benne van – éspedig tudatosan – az Appendixben az Általános Relativitás elméletének egész problematikája is. Tökéletes Kristály. A zene és a matematika privilégiuma csak ez a tömörség: a par excellence művészeté és tudományé. Itt nem Sejtések és Mélységek szólnak, mint Farkasnál, hanem Tudás és Magasság. Az Appendix a történelem ritka nagy pillanatai közé tartozik. Nekünk jelképünk lehetne és vigaszunk: lényegét tanítani kéne az elemiben. Az Appendix csúcsaihoz azonban nem egészen könnyű eljutni. Ismerni kell hozzá az euklideszi geometriát, s valamely modern differenciál geometriából valamit. Jó tudni valamit hozzá a Hilbert axiomatikájából, pl. ahogy az oly korán elhalt nagy matematikus, Kerékjártó geometriájában olvasható. Az Appendixnek különben van jó magyar kiadása is, Kárteszi Ferenc adta ki 1952-ben, az Akadémiai Kiadónál. Nem könnyű olvasmány, de az I. fejezet, amelyben a párhuzamosság fogalmát tisztázza, könnyen, előtanulmányok nélkül érthető, s vezérmotívumként elmondja az egész mű „hangulatát”. De a legszebb éppen a következő részekben van: különösen a II. fejezet. A párhuzamosság vezérmotívuma itt tágul ki: segítségével könnyűszerrel el tud különíteni két rendszert: amelyikben az euklideszi párhuzamosság-axióma érvényes (Σ rendszer), és egy másikat, amelyikben a Bolyai-féle párhuzamossági axióma érvényes (S rendszer). A geometriai tételek egy része csak a Σ rendszerben, mások csak az S rendszerben érvényesek.

„Mindazok a tételek, amelyeknél nem említjük kifejezetten, hogy vajon a Σ vagy az S rendszerben érvényesek, abszolút igazak, vagyis állítjuk, hogy érvényesek, akár Σ, akár S teljesül a valóságban.” Bolyai ismerte fel először világosan, hogy egymástól független, önmagukban zárt rendszerek állhatnak fenn egymás mellett anélkül, hogy bármelyikük is helytelen lenne. Ezeket önmagukban összemérni nem lehet. Ha azonban egy átfogóbb, az alaprendszerektől függetlenül, abszolút érvényes tételekből álló rendszert sikerül találni, ez a geometriai problémák egészen más, sokkal mélyebb szinten történő tárgyalását teszi lehetővé. Ez a Bolyai geometriai csodájának a lényege: az abszolút geometria felismerése. Itt már készen áll a század végén kialakított invariáns elmélet minden lényeges vonása, az általános relativitáselmélet pedig nem egyéb köztudomásúan, mint az invariáns elmélet egy alkalmazása. Maga Bolyai veti fel még a kérdést: vajon a valóságban a Σ vagy az S rendszer realizálódik-e? Helyesebben valamelyik S rendszer, mert S rendszer végtelen sok van, megfelelően annak, hogy (pl. két dimenzióban) az S rendszer nem sík, hanem egy görbült felület geometriája, s ennek a görbülete végtelen sokféle lehet. Ezek a problémák a III. fejezetben tisztázódnak, ahol a gömbi trigonometria axiómáiról mutatja ki, hogy ezek az S rendszerben is érvényesek, tehát az abszolút geometria kincsei.

A IV. fejezetben különböző geometriai idomokra vonatkozó számításokat (pl. a kör területe) végez az S rendszerben, s itt fogalmazza meg a XX. század fizikájának a nagy kérdését: melyik rendszer realizálódik a világban? S arra a végső következtetésre jut, hogy ha tudnánk, hogy nem a Σ érvényesül, akkor hosszméréseinkben szükségszerűen fellépne egy bizonyos természetes egység, épp az illető S rendszer görbületét jellemző állandó, s mi anélkül, hogy tudnánk, mindent ehhez viszonyítva mérnénk.

Ugyanezt számtalanszor elismétlik a relativitáselmélet klasszikusai és tankönyvei – Bolyairól még csak említést sem téve. Mert beskatulyázták a „nem euklideszi geometria” megteremtőjeként, s hogy sokkal többet tett, azt nem hajlandók elismerni még ma sem. Mint ahogy még kevesebben tudnak Farkas nagyságáról. S ami a legszomorúbb, hogy világviszonylatban is kiváló matematikusaink és történészeink közül nem akadt egy se, aki felismerje. (Igaz, Gauss mellett! legalább megemlítik Jánost – „szegényt”.)

Az Appendix a Tentamen hátterében még fényesebben tömör és világos, s annak kavargó mélysége ennek világos ragyogásában is benne van. Zeusz és Pallasz Athéné: s mi csak alig hogy tudunk róluk! Ezért Németh Lászlónak – s éppen a drámaírónak a sok közül – kötelessége is hozzájuk fordulni. A téma olyan nagy s fennkölt, hogy talán az időbeli közelsége ellenére is elbírja a verset, ha ugyan a mi korunk elbírja (az igazi verset soha nem csak az író írja). Én valahogy jobban el tudnám képzelni Széchenyi-, II. József-, Galilei-féle prózában, mint Sámson soraiban.

A tragédiát én nem a magánál nagyobb matematikust nevelt apa és a kegyetlen kritikussá vált fiú közt érzem: a két életmű matematikailag is, emberileg is külön vágányokon fut. A tragédia a két ember s a világ között van, külön-külön, amit csak indikál az egymással való – és eltúlzott – zsörtölődésük. Abból, hogy a kor két legnagyobb matematikusa egymás mellett élve kerüli egymást: a szörnyű és szörnyeteggé tevő magyar magány látszik. Farkas egy kicsit II. József: Világpolgár. Marosvásárhelyen és Göttingában él, 48-ban is a felvilágosodott századfordulón.

János sokkal bonyolultabb. Az Appendix tökéletessége mellett még döbbentőbb élete sikertelensége. Nemcsak külső: belső sikertelensége is. Úgy látszik, hogy az a nagy rend, amit az Appendixbe préselt, belőle mindent kimosott. Farkas sztoicizmusa tudott egy kis világot teremteni magának, amiben, ha rosszul is, élhetett. János csak az egész világ megváltásával érezte volna magát otthon a földön. Ez az alapmagatartás tükröződik matematikájukban is: Farkas axiomatikába keríti a geometria egy speciális ágát, János a végtelenből befogja minden geometria alapjait. Farkas az emberek világában él, János maga teremtette más világban. Farkas a környezetével harcol, János önmagával. A XIX. század eleje és vége: Schiller és Rimbaud közti különbség.

Matematikai-generációs kor- és magyar kérdések kereszteződnek a két Bolyai találkozásában, még akkor sem egymással van bajuk, ha egymást marják, mint a kutyákat a tavaszi levegő, hajtja őket egymásnak a világ. Annak a bogozását, hogy az akkori Erdély és a mostani Magyarország, a drámabeli Farkas és Németh László között volt-e, és miféle hasonlóság, már az irodalomtörténészekre hagyom, a tapasztalat szerint szeretik az ilyen „csemegéket” – (hisz ebből élnek).

Én a szabadságom eltelte óta sehogy se haladok a munkával. Napi 8–12 óra teljesen értelmetlen robot után képtelen vagyok már dolgozni. Pár évvel ezelőtt még a jogosnak vélt megbecsülés hiánya gyötört, ma már sokkal elemibb és emberibb szükségletek: az időé és a szabadságé! Az öreg Farkas szerint is: „…a Teleki-tékában kedvesen lehet elálmodni az alig kiállható, kedvtelen életet…”, s ha ez az álom-lehetősége nincs meg, nem lehet élni. A megélhetést az élet árán kell megvásárolni. Lehet, hogy ez patetikus és szenvelgő, de így van, és nagyon szomorú.

Szeretettel üdvözöl:

Vekerdi Laci

  • 3 Forrás: 1469. sz. levél. Vekerdi Lászlótól. = Németh László élete levelekben. I. 1949–1961. Összegyűjt. és szerk.: Németh Ágnes. Budapest, 2000. Osiris. 673–677. p. (Osiris klasszikusok)
VEKERDI LÁSZLÓNAK4

[Pb.: Aszófő, 1959. november 21.]

Kedves Laci!

Nagyon örülök, hogy tervem ilyen hosszú levelet ugratott ki Belőled; egész kis Bolyai-esszé, el is teszem egy külön kis kartonba, tulajdonképpen ilyenféle „önkéntelen”, tájékoztató kis írásokban is fel lehetne építeni egész világokat, a forma szerénységével leplezve (vagy hangsúlyozva) tájékozottság és gondolatok gazdagságát.

Azzal, hogy a drámaterv nem támasztott kellemetlen érzéseket Benned, a megírás lényeges akadályát hárítottad el útjából: nem szeretek a más kertjébe taposni. Azóta kaptam más könyveket is: egyelőre matematikai homályok vannak inkább csak előttem; a nálam lévő mat. történetek véget érnek a 19. század elején – s nem ismerem eléggé az új diszciplínákat, amelyeknek Farkas és János (nem csak a nem euklideszi geometriában) úttörői voltak (pl. nem tudnám Hamilton és János komplex számteóriáját összehasonlítani). S nem merném azt mondani, hogy a drámához mindezt nem kell tudni.

Az embernek, persze, megvan a személyes kulcsa a témákhoz (az enyémet a kissé ironikus „Apai dicsőség” cím fejezhetné ki), de az nem akadálya annak, hogy végül a maguk mivoltában is ne lássa őket; ehhez segítség a Te leveled.

Nagyon nyomaszt, amit leveled végén életről és megélhetésről írsz. Mai állapotomban sajnos, csak önbizalom-adással tudhatlak támogatni: nemzeti s emberi érdeknek tartom, hogy olvass és gondolkozz, s eredményeidet valahogy tovább adhasd (sőt, mint egyetlen öreg tanítványod írom ezt), adhassuk.

Én magam valami furcsa, orbáncszerűen föl-föllobbanó rhinitistől5 szenvedek; el sem tudom képzelni, mint szedtem össze ott keleten.

A közvéleménytől már nyugodtabban alszom.

Ölel s kézcsókját küldi

Laci bácsi

  • 4 Forrás: 1470. sz. levél. Vekerdi Lászlónak. = Németh László élete levelekben. I. 1949–1961. Összegyűjt. és szerk.: Németh Ágnes. Budapest, 2000. Osiris. 677–678. p. (Osiris klasszikusok)
  • 5 Orrnyálkahártya-gyulladás.
VEKERDI LÁSZLÓTÓL6

[Budapest, 1960. március vége]

Kedves Laci Bácsi!

Először is nagyon szépen köszönöm a meghívást, mit tetszene szólni hozzá, ha a közeljövőben épp vasárnap, Koczogh Ákossal együtt mennénk le? (Így a Laci Bácsi ránk fordított ideje is „feleződik”.) A pontos időpont részemről még a féljegy megújításától is függ, és a nyakamba szakadt egyre több munkától, amit igyekszem lelkiismeretesen és jókedvvel csinálni. (Nem mindig megy, de csak átmenetileg török le.)

Találtam végre olyan könyvet, amiből jól lehet tájékozódni a XIX. [század] matematikájában. F. Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert első kötete. (Egyetemi Könyvtár, Ea 1640/24.) Jelenleg nálam van, kb. 2–3 hét múlva adom vissza, tessék bevezetni a jövő hónapi könyvtervébe. (Ha van Laci bácsinak kölcsönzőjegye, szívesen kiveszem és leviszem, a magaméra azért nem vállalom, mert így is szörnyű harcokat vívok a könyvtárosokkal, hogy 4 kötetnél többet adjanak ki egyszerre. S már ez is kegyelem, mert a szabály 3.) El kell olvasni azért is, mert a Bolyai-kérdés egyik legjobb ismerője, a nem euklideszi geometriák tanának bevezetője (Cayley–Klein-modell), a századforduló egyik legnagyobb hatású matematikusa (1849–1925). A Hamilton-féle quaternio-elméletről is igen jó képet ad, a matematikai fizika kialakulásáról szóló fejezetei nagyszerűek. Azt hiszem, egyik megalkotója a Gauss-mítosznak, a B.-kal szemben így szükségképpen igazságtalan. Nála még Jánosnak nincs semmi jelentősége. – Melyiké provincializmus? a Magyaroké vagy a göttingai professzor Kleiné, aki – Gaussból önmagának készít „archetypust”, mint Thomas Mann Goethéből a Lottéban. Igaz, hogy Gauss felől is meg kellene nézni a B.-kat, s ehhez jól kellene ismerni Gausst. (Nem könnyű, s főleg nekem nagyon unalmas feladat. Ha van a matematikának nacionalitása, ez olyan tömény német, hogy az ember nehezen emészti.) – Úgy is lehetne mat.-történetet írni, hogy mindenkit kihagynánk, akinek a hiánya az egész fejlődésben nem okoz megmagyarázhatatlan hiátust. Gauss (persze csak egyes eredményei: a legkisebb négyzetek a diff. geometr. quadratikus formája – az elliptikus függvényektől és csoportelméleti megfontolásokról azt hiszem, Klein önmagából vetíti vissza őket G.-ba) nem lenne kihagyható, B. igen. De csak vagylagosan: vagy B. János, vagy Lobacsevszkij. Ue. a helyzet az integrál-differenciálszámításnál is: vagy Newton, vagy Leibniz, a koordinátageometriánál: vagy Fermat, vagy Descartes, a jeles-algebránál: vagy Viète, vagy Stevin–Girard. Vajon a görög mat. Archytas, Eudoxos, Menaichmos, Archimedes sora nem csak ismereteink hiányossága miatt egyértelmű? Nem tudom. De a nyugati mat. történetét egyenesen a nagy felfedezések körüli veszekedésekre lehetne – mint vázra – felépíteni.

Akárhogy is, Gauss nem teremtett nem euklideszi ötleteiből rendszert: még kevésbé „abszolút geometriát”. (Az ötlet persze felmerült benne is.) De épp az, hogy ezeket az ötleteket nemcsak hogy nem közölte, de még – egyébként annyira őszinte naplójának vagy íróasztalának se dolgozta ki, ő, aki olyan gondosan vigyázott, hogy semmije el ne vesszen, ő, aki ott is szívesen aratott, ahol nem vetett (l. Abel), épp az mutatja, hogy nem hitt benne. Jánosban épp ez a nagy. Gauss a mat. építészei, János a kertészei közé tartozik.

Viszontlátásig, szeretettel üdvözli

Vekerdi Laci

  • 6 Forrás: 1516. sz. levél. Vekerdi Lászlótól. = Németh László élete levelekben. I. 1949–1961. Összegyűjt. és szerk.: Németh Ágnes. Budapest, 2000. Osiris. 720–721. p. (Osiris klasszikusok)
Németh László
(1901–1975)
Kossuth-díjas magyar író, esszéista, drámaíró, műfordító
Vekerdi László
(1924–2009)
Széchenyi-díjas magyar irodalom-, tudomány- és művelődéstörténész, könyvtáros, közíró, polihisztor
Forrás

Vekerdi László matematikatörténeti írásaiból. Válogatta és bevezette: Szabó Péter Gábor. Magyar Tudománytörténeti Intézet Budapest, 2014. (A Magyar Tudománytörténeti Intézet Tudományos Közleményei, 124.)