Tolsztoj matematikája a Háború és béké-ben

Paul Vitanyi
matematika, Zénón, aporia, paradoxon, infinitezimális mennyiségek, végtelen sorok összege, halmazelmélet, fizika, erőhatás, mozgás, folytonosság
szóelválasztás

Figyelmet érdemlő érdekesség, ha a matematikusok vagy más tudósok kirándulást tesznek a széppróza vagy a költészetet területeire és viszont, bár a költők és szépírók matematikai leleményeit kevésbé ismerjük.

Az előbbi egyik példája Luitzen E. J. Brouwer kirándulása az irodalomba és a környezetvédelembe [environmentalism]1, mely utóbbi nem más, mint kiáltás – avant la lettrea – a föld természetes környezetének az emberi szennyezéstől való védelme érdekében. Brouwer szándéka annak a technológiának a kiküszöbölésére irányul, amely az embernek hatalmat ad a természet fölött, ideértve az ezt lehetővé tevő fizikát és matematikát is. Csupán azt a tiszta (’intuicionista’)b matematikát kell megőrizni, amelyet, mert arra természeténél fogva alkalmatlan, nem használnak fel ördögi célokra, s amely a nemes elme végső leleménye.

  • 1 Brouwer, L. E. J.: Leven, Kunst en Mystiek. Waltman, Delft, 1905. English translation by W. P. van Stigt. Notre Dame Journal Formal Logic 37 (1996) 3, 391–431. p.
  • aAvant la lettrefrancia szó szerint: a betű előtt, vagyis mielőtt még a kifejezést feltalálták, vagy a szakterületet művelték vagy formalizálták volna.
  • bintuicionista matematika tudományfilozófia Brouwer, Weyl, illetve Poincaré szerint az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Ezért a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. A halmazelméleti antinómiák (ellentmondások) oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. Az intuicionisták szerint: 1. aktuális végtelen nem létezik. (Potenciálisan végtelen: valamely folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége [pl. a természetes számok sorozata]. Aktuálisan végtelen: a halmaz készen tartalmaz végtelenül sok elemet, sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz megváltozna [pl. a valós számok halmaza].) 2. nem érvényes a harmadik kizárásának elve. (Arisztotelész: Egy állítás ha nem igaz, akkor hamis, harmadik lehetőség nincs.) 3. valamely dolog akkor létezik, ha megkonstruálható. A fentiekből következően, az intuicionista matematika lemond a hagyományos matematika számos eredeményéről.

Más irányt követett Andrej N. Kolmogorov, a nagy orosz matematikus, akit mindenek előtt az ugyancsak orosz író, Puskin költészetének formája és struktúrája érdekelt.2 Kolmogorov többek között ezt a kérdést teszi fel:3 „Mi értelme van például azt vizsgálni, mekkora a Háború és béke információtartalma?” Ésszerű-e ezt a regényt a ’lehetséges regények’ halmazába sorolni, vagy, mi több, e halmaz valószínűségi eloszlását is posztulálni? Másrészről éljünk-e azzal a feltevéssel, hogy e könyv egyedi színhelyei egymással ’sztochasztikus reláció’-t jelző véletlenszerű sorozatot alkotnak?

  • 2 Kolmogorov, A. N.: Statistics and probability theory in research into Russian poetry. Proceedings Symposium on complex investigation of artistic creation. Nauka, Leningrád, 1964, 23. p.
  • 3 Kolmogorov, A. N.: Three approaches to the quantitative definition of information. Problems in Information Transmission. 1 (1965) 1. 1–7. p.

Ez utóbbi kérdésre határozott ’nem’-mel kell válaszolnunk. A Háború és békében, az elejétől a végéig fel-felbukkan egy általános téma, jelesül, hogy önmagában egyetlen személy (ellentétben a történetírók általános felfogásával) semmilyen értelemben sem képes befolyásolni a történelem menetét, mert azt a szabad akarat vezérelte, végtelenül csekély egyedi emberi cselekedetek milliárdnyi megnyilvánulásának összjátéka határozza meg, felettébb hasonlóan egy madársereghez, amely látszólag vezér nélkül együtt kereng. Az emberi egyedek olyanok, mint az ideális gáz egymással helyettesíthető atomjai, amelyek összessége határozza meg makroszkopikus hatásukat, például a hőmérsékletet vagy a nyomást, ahogyan azt a tizenkilencedik században H. von Helmholtz statisztikai fizikájában leírta. Ez csupán az egalitáriánus doktrína igazolását szolgálja. Helmholtztól származik az ’összefüggéstelen okoskodás’ eszméje is, mely annyira igaz és annyira ismeretlen a politikusok és a tudomány menedzserei számára: „A tudomány bármely művelője, kutatván annak közvetlen gyakorlati hasznát, biztos lehet abban, hogy kutatása hiábavaló.”4

A ’Háború és béke’ szerzőjét, Lev Nyikolajevics Tolsztoj grófot nagyon érdekelte a tudományok matematikai megközelítése, amint az kiviláglik a háború szociológiai, történelmi és tudományos megalapozására irányuló javaslataiból, hasonlóan a matematikus Neumann Jánoshoz, aki a közgazdaságtant javasolta matematikai alapokra helyezni.5

  • 4 Helmholtz, H. L. F. von: Academic Discourse. Heidelberg, 1862.
  • 5 Neumann, J. von & Morgenstern, O.: Theory of Games and Economic Behavior. Wiley, 1944.

Ezzel kapcsolatos felfogását Tolsztoj terjedelmesen részletezi a Háború és békében, melyet sokan a bármely nyelven írt regények közül a legnagyobbnak tartanak. Mindezek a részletek Tolsztoj egalitáriusc filozófiáján alapulnak, vagy talán igazolják is azokat, s e nagy regény vége felé, több helyen szétszórva olvashatók. Jusson eszünkbe, hogy a könyv látszólag egy arisztokratikus embercsoport tetteiről és kalandjairól szól, súlyos harcokról, midőn Napóleon csapatai elözönlötték a nagy Oroszország kietlen tájait. Csak alaposabb elemzéssel juthatunk arra a következtetésre, hogy – s ez a történet fő tételeinek egyike – az olyan tényleges hősöktől, mint Napóleon, akár el is tekinthetünk, nincs jelentőségük a történelem sodrában: az események ugyanígy játszódtak volna le az úgy nevezett főhősök nélkül is. Vizsgálódásunkhoz Rosemary Edmonds 1957-es angol nyelvű fordítására alapozzuk, amely a Penguin Classics sorozatban jelent6 I. rész, 1972, II. rész, javított, 1978.

  • cegalitárius francia egyenlősítő, egyenlőségre törekvő
  • 6 Tolsztoj, L. Ny. [1869]: Háború és béke. I–IV. kötet. Fordította: Makai Imre. (A Világirodalom Remekei.) Budapest: Európa Könyvkiadó, 1976. [A tanulmány által hivatkozott kiadás: L. N. Tolstoy: War and Peace. 1869. (English translation by Rosemary Edmonds. First published in 1957 in Penguin Classics.)]

Matematikai szociológia

Tolsztoj nem ért egyet azzal a történészi szemlélettel, amely az események alakulását egyéneknek tulajdonítja:

[…] azt hinné az ember, hogy a hadjáratnak ebben az időszakában azok a történészek, akik a tömegek cselekedeteit egy ember akaratának szokták tulajdonítani, ezt a visszavonulást már nem írhatják le felfogásuknak megfelelően. De nem. A történészek egész halom könyvet írtak erről a hadjáratról, és mindenütt Napóleon intézkedéseiről, mély értelmű terveiről, az egész hadsereget irányító manővereiről és marsalljainak lángelmére valló rendelkezéseiről esik szó.

IV. könyv, 3. rész, 18. fejezet

Az egyén nem csupán nem lehet a történelem fő alakítója, de:

Ezek a történészek a valamennyi élő jelenséget kísérő jelek töméntelen sokaságából az értelmi tevékenység ismertető jeleit választják ki, és azt mondják: ez az ismertetőjel az ok.


…egy jelenség valamennyi okának számbavétele meg is haladja az emberi értelmet.


az emberi értelem […] az ok közvetlenül felfogható megközelítését ragadja meg és azt tekinti oknak.

Epilógus, 2. rész, 2. fejezet

Ezt követően Tolsztoj így folytatja:

Történelmi eseményekben (ahol az emberek cselekvése a megfigyelés tárgya) a legősibb látszatokul az istenek akarata, majd azoknak az embereknek akarata tűnt fel, akik a történelemben a legjobban látható helyen állnak – a történelmi hősöké.

IV. könyv, 2. rész, 1. fejezet

A továbbiakban Tolsztoj lerántja a leplet a történelem hagyományos szemléletében tükröződő általános félreértésről:

Miért történt hát ez így és nem másképp?

Azért, mert így történt. ’A véletlen megteremtette a helyzetet, a lángész pedig felhasználta’ – mondja a történelem.

De mi az a véletlen? Mi az a lángész?

A véletlen és a lángész szó nem jelent semmi valóban létezőt, így hát nem is lehet meghatározni. Ezek a szavak csupán a jelenség megértésének egy bizonyos fokát jelölik. Nem tudom, miért jön létre ez vagy az a jelenség; azt hiszem, nem is tudhatom; ezt aztán nem is akarom tudni, és azt mondom: véletlen. Látok egy erőt, amely az átlagos emberi képességeket felülmúló cselekedetet hajt végre; nem értem, miért történik az, és azt mondom: lángész.

Epilógus, 1. rész, 2. fejezet

Így érkezünk el hát – az oly sikeres természettudomány szellemében – az igazi történelemszemlélethez. A „matematika ésszerűtlen [unreasonable]d hatékonysága a tudományban”, ahogyan azt Wigner Jenő megfogalmazta, ki kell terjedjen avant la lettre a szociológiára és a politikai történelemre is.

A történelem törvényeinek tanulmányozása végett teljesen meg kell változtatnunk vizsgálódásunk tárgyát, békében kell hagynunk a cárokat, a minisztereket, a tábornokokat, és azokat a végtelenül kicsiny, egynemű elemeket kell tanulmányoznunk, amelyek a tömegeket irányítják. Senki se mondhatja, mennyire adatott meg az embernek, hogy ezen az úton eljusson a történelem törvényeinek értéséhez; de nyilvánvaló, hogy csakis ezen az úton nyílik lehetőségünk a történelem törvényeinek megragadására; de ezen az úton az emberi elme még egymilliomod részét sem tette meg azoknak az erőfeszítéseknek, amelyeket a történetírók a különféle cárok, hadvezérek és miniszterek tetteinek leírására és e tettekre vonatkozó saját elképzeléseik kifejtésére fordítottak.

III. könyv, 3. rész, 1. fejezet
  • dWigner Jenő a következő jelzőket használja A matematika meghökkentő hatékonysága a természettudományokban című írásában: váratlan, roppant, hátborzongató, zavarba ejtő. Wigner J.: Szimmetriák és reflexiók.

Hogyan tehetünk szert a történelem e sajátos szemléletére? Tolsztoj a mozgás folyamatát taglalja, amely a folyamatot egységekre osztó törvényekben mutatkozik meg. Megjegyzi, hogy ebben hibát is véthetünk:

Közismert az az ókori úgynevezett szofizma,e mely abban áll, hogy Achilles sohasem éri utol az előtte mászó teknősbékát, jóllehet Achilles tízszerte gyorsabban halad: mialatt Achilles megteszi azt a távolságot, amely a teknősbékától elválasztja, a teknősbéka is megteszi ő előtte e távolság tizedrészét; mialatt Achilles megteszi ezt a tizedrésznyi távolságot, a teknősbéka is megteszi a századrészét és így tovább a végtelenségig. Az ókoriak szemében megoldhatatlannak látszott ez a probléma. A következtetés képtelensége (Achilles sosem éri utol a teknősbékát) csakis abból eredt, hogy önkényesen egységekre tagolták a mozgást, holott mind Achilles, mind a teknősbéka mozgása folyamatosan ment végbe.

Ha mind apróbb és apróbb egységekre bontjuk a mozgást, csupán közelebb jutunk a kérdés megoldásához, de sohasem érjük el. Csak ha végtelenül kicsiny mennyiséget és a belőle egy tizedesig levezetett haladványt alkalmazzuk, ha e mértani haladvány összegét tekintjük, csak akkor érjük el a kérdés megoldását.f

III. könyv, 3. rész, 1. fejezet
  • eszofizma: ál-okoskodás; szántszándékkal hazugul felépített következtetés, amely forma szerint helyesnek látszik, de a valóságban a fogalmak kétértelműségét használja fel. Ebben az esetben, nem igazán szerencsés a pejoratív tartalommal is bíró szofizma kifejezés használata. Valójában Zénón egyik aporiájáról, azaz paradoxonáról van szó, amely alkalmas annak bemutatására, hogy a valóságról alkotott fogalmi modelljeink ellentmondásokhoz vezethetnek. – A szerk.
  • fItt Tolsztoj a klasszikus analízis azon eredményére utal, amely szerint a végtelen sorok összege nem szükségképpen végtelen (lásd a határérték fogalmát). Valójában, a végtelen kicsiny mennyiségeket a XX. század második felében, Abraham Robinson – az Egyesült Államokba emigrált német matematikus – regulázta meg az ún. nem-standard analízis megalkotásával. – A szerk.

Most érkeztünk el a dolog lényegéhez. Tolsztoj a történelem differenciális és integrális elemzésére vonatkozó javaslata:

A matematika egyik új ága, amely eljutott a végtelen kicsiny mennyiségekkel való bánás művészetéhez, most már a mozgás más, még bonyolultabb kérdéseire is megadja a választ, olyan kérdésekre, amelyek megoldhatatlannak látszottak. A matematikának ez az ókoriakg előtt ismeretlen, új ága a mozgás kérdéseinek vizsgálata során azzal, hogy végtelen kicsiny, vagyis olyan mennyiségeket tételez fel, amelyek lehetővé teszik a mozgás főfeltételének (az abszolút folyamatosságnak) a helyreállítását, kiküszöböli azt a hibát, amelyet az emberi ész nem kerülhet el, ha a folytonos mozgás helyett csupán a mozgás külön egységeit vizsgálja. A történelmi mozgás törvényeinek kutatása során teljesen ugyanaz történik.

Az emberiség mozgása, mely tömérdek ember ösztönös akaratából származik, folyamatosan megy végbe. E mozgás törvényeinek felderítése a történelem feladata. De az emberi elme avégett, hogy felderítse valamennyi ember summázott ösztönös akarata folytonos mozgásának törvényeit, önkényes, tagolt egységeket tételez fel. A történetírás első módszere az, hogy a folytonos eseményekből önkényesen kiragad egy sort, és a többiektől elszakítva vizsgálja, holott nincs és nem is lehet kezdete semmilyen eseménynek, hanem az egyik esemény mindig folyamatosan a másikból ered. A másik módszer, hogy egy ember, cár vagy hadvezér cselekedeteit az emberek ösztönös akaratának summájaként vizsgálja, holott az emberek ösztönös akaratának summája sohasem egy történelmi személy tevékenységében fejeződik ki.

[…] Csak ha végtelen kicsiny egységet, a történelem differenciálját, vagyis az emberek egynemű törekvéseit vesszük szemügyre, és ha eljutottunk az integrálás művészetéhez (e végtelen kis mennyiségek összegezéséhez) – csakis akkor remélhetjük, hogy felderítjük a történelem törvényeit.

III. könyv, 3. rész, 1. fejezet

A háború matematikája

A háborúban foglalt okság ellenszegül az egyszerű elemzésnek, mondja Tolsztoj, de megragadható, ha az elenyészően kicsi egyedi okokat integráljuk:

A szabad erők tengernyi sokasága (hiszen az ember sehol sem szabadabb, mint éppen a csatában, ahol életről és halálról van szó) gyakorol hatást az ütközet irányára, és ezt az irányt sohase lehet előre kiszámítani, mert sohasem esik egybe egy bizonyos erő irányával.

Ha egy testre egy időben különböző irányú erők hatnak, akkor a test mozgásának iránya sohasem esik egybe egyik erőnek irányával sem; mindig a legrövidebb, a középső irányt választja, melyet a mechanikában az erők parallelogrammájának átlója fejez ki.

IV. könyv, 2. rész, 7. fejezet

Tolsztoj felvázolja a háború matematikáját, és belebonyolódik egy explicit számításba, amely nyilvánvalóan hibás:

[…] a haditudomány a csapatok erejét azonosnak tekinti a csapatok létszámával. A haditudomány azt mondja, hogy minél nagyobb a hadsereg, annál nagyobb az ereje. Les gros bataillons ont toujours raison.h

Pedig ha a haditudomány ezt mondja, hasonlít ahhoz a mechanikához, amely a testek mozgásának vizsgálata közben csakis a testek tömegének arányát tartaná szem előtt, és azt mondaná, hogy erejük azért egyenlő, vagy azért nem egyenlő, mert egyenlő, illetve nem egyenlő a tömegük.

Az erő (a mozgás mennyisége) a tömeg és a sebesség szorzatával egyenlő.

A haditudományban a hadsereg ereje ugyancsak a tömeg szorzata, de valami mással, egy ismeretlen x-szel.

IV. könyv, 3. rész, 2. fejezet
  • hfrancia – Mindig a nagyobb csapatnak van igaza.

A következőkben az író azt taglalja, mit is jelölhet ez az ismeretlen x, és elveti az általános felfogást, különösen azt, mely szerint x a vezérlő tábornokok lángelméinek összege, majd így folytatja:

Ezt a feladatot csak akkor oldhatjuk meg, ha nem próbáljuk többé önkényesen behelyettesíteni ezt az ismeretlen x-et azokkal a körülményekkel, amelyek között jelentkezik ez az erő, például a hadvezér intézkedéseivel, a fegyverzettel stb. – ha nem tekintjük őket tényezőknek, hanem teljes egészében ezt az ismeretlent tekintjük annak, vagyis kinek-kinek azt az erősebb vagy gyengébb vágyát, hogy verekedjék, és kitegye magát minden veszélynek. Ha már egyenletekkel akarjuk kifejezni a történelmi tényeket, csak ez ismeretlen viszonylagos értékének kiszámítása alapján lehet remélni magának az ismeretlennek meghatározását.

Tíz ember, zászlóalj vagy hadosztály tizenöt emberrel, zászlóaljjal vagy hadosztállyal megütközve legyőzi a tizenötöt, vagyis megöli és foglyul ejti mind kivétel nélkül, ő maga pedig négyet veszít; tehát az egyik oldalon négy, a másik oldalon tizenöt pusztul el. Következésképpen a négy egyenlő tizenöttel, azaz 4x = 15y-nal. Következésképpen x:y = 15:4. Ez az egyenlet nem adja meg az ismeretlen értékét, de megadja a két ismeretlen arányát. Ha a különválasztott történelmi egységeket (ütközeteket, hadjáratokat, a háború egyes szakaszait) hasonló egyenletekbe foglaljuk, egész sor számot kapunk; ezekben benne kell lenniök a törvényeknek, tehát fel is lehet fedezni őket.

IV. könyv, 3. rész, 2. fejezet

Tolsztoj érve figyelemre méltó. Összehasonlítja a győztes hadsereg veszteségét a legyőzött hadsereg teljes veszteségével – valószínűleg azzal a feltevéssel élve, hogy a legyőzött hadsereg teljesen megsemmisült. Próbaként szélsőséges adatokat behelyettesítve, például hogy egy 1 000 000 katonából álló hadsereg legyőz egy 10 főből állót, midőn a győztes hadsereg egy embert veszít, az x = 10y egyenlethez jutunk. Ez azt jelenti, hogy az egymilliós hadsereg harci szelleme szükségképpen felülmúlta a kicsiny, tíz emberes hadseregét, éspedig tízszeresen.

Tolsztoj érvelésének problémája, hogy a győztes hadsereg veszteségének és a vesztes hadsereg egészének arányát (tekintet nélkül a hadseregek teljes nagyságára) egyenlővé teszi a vesztes hadsereg és a győztes hadsereg harci szellemének arányával. Véleményünk szerint ezt az érvelést általánosságban nehéz megvédeni, ahogyan azt fentebb, szélsőséges adatok behelyettesítésével is megmutattuk. Az érvelés iránya azonban természetesen ésszerű. Vegyük észre (a szerző szándéka ellenére), hogy az x és az y változó tartalmazhatja a parancsnokok minőségét is (hasonlóan ahhoz, hogy egy jó zenekar előadásának minősége nagyban függ a karmester minőségétől).

Következtetés

Egy nagy író szándéka ritkán irányul arra, hogy egy jeles irodalmi műbe hosszas fejtegetést illesszen a társadalomtudományok matematikai alapjairól. Sokkal gyakoribb, hogy tudósok keresnek felüdülést az irodalomban. Tolsztoj ritka példája az előbbinek. Valójában határozott javaslatokat tesz a történelem, a szociológia és a hadtudomány matematizálására, összhangban a tizenkilencedik század racionális törekvéseivel.

Könyves Tóth Pál fordítása; A Tolsztoj-idézeteket Makai Imre fordította

Források
  • Paul Vitanyi: Tolstoy’s Mathematics in „War and Peace”. Elektronikus kézirat.
  • Lev Tolsztoj: Háború és béke. I–IV. Fordította: Makai Imre. Budapest: Európa Könyvkiadó, 1976. (A világirodalom remekei, hatodik sorozat.)