Budai esték

szóelválasztás

Szívesen töltöttem volna a nyár egy részét a görög tengerparton, de utazás helyett be kellett érnem azzal, hogy a Horváth Antikvárium tulajdonosa ráirányította figyelmemet Gelliusa Attikai éjszakák című művének alábbi részletére:

Milyen mennyiséget jelent a hemiolios (másfél) és milyet az epitritos (négyharmad) s hogy ezeket a szavakat a mieink nem igen merték latin nyelvre fordítani.

Néhány számviszonyra, amit a görögök meghatározott nevekkel jelölnek, a latin nyelvben nincs kifejezés. Azok is, akik a számok tudományáról latinul írtak, magukat a görög kifejezéseket használták s nem akartak szókat képezni a mi nyelvünkből, mivel az képtelen dolog lett volna.

Milyen neve lehetett volna ugyanis a hemiolios és az epitritos számviszonynak? A hemiolios ugyanis valamely egészet s annak felét foglalja magában, mint 3 a 2, 15 a 10, 30 a 20-hoz viszonyítva. Az epitritos pedig egy egész számot s annak egy harmadrészét jelenti, mint 4 a 3-hoz, 12 a 9-hez, 40 a 30-hoz viszonyítva. Ezeket feljegyezni és felemlíteni nem láttam tárgytalannak, mert ha e számviszonyok kifejezéseit nem értjük, a bölcsészek munkáiban megírt igen finom számításokat nem tudjuk felfogni.

  • aAulus Gellius (Róma, 130 körül–? 165): római író. Rómában retorikát, majd Athénben filozófiát tanult. Rómában magánjogi ügyek bírájaként működött. Athéni tartózkodásának köszönhetjük Noctes Atticae című művét. A mű filozófiai, grammatikai, életrajzi, szövegkritikai, történelmi, jogi és régiségtani kérdésekkel foglalkozik; nem önálló kutatásokon alapszik, hanem görög és latin írók alkotásaiból készült kivonatgyűjtemény. Csaknem 300 szerzőt említ név szerint, sok – egyébként elveszett – szerzőt idéz. Kivonatolási technikája hasonlít a modern Reader’s Digest műfajához.

Felébredt bennem a kíváncsiság: miféle bölcsészekre és főleg miféle számításokra utal az amúgy bölcsész szerző alig-alig burkolt fenyegetése? Példának okáért, Euklidészb alábbi levezetésének ismerete nélkül többnyire egészen jól elvan az ember, de elvolt már az ókori Rómában is (gyengébb idegzetűek átugorhatják az idézetet):

[…] amiből a gömb átmérője négyzetértékben hat egység, abból a gúla éle négy, az oktaéder éle három, a kocka éle pedig két egység. A gúla éle tehát négyzetértékben az oktaéder élének négyharmada, a kocka élének kétszerese, az oktaéder éle pedig a kockáénak másfélszerese. A három test említett élei tehát – ti. a gúláé, az oktaéderé és a kockáé racionális arányban állnak egymással. A többi kettő viszont, ti. az ikozaéderé és a dodekaéderé, sem egymással, sem az előbb említettekkel nem áll racionális arányban, hiszen irracionálisak […]

Elemek XIII. könyv, 18. tétel, 83. sor., 502. p.; Mayer Gyula fordítása.
  • bEukl(e)idész (Kr. e. 365 körül–300 körül) – görög matematikus.

A Györkösy-féle Ógörög–magyar nagyszótár a ’négyharmad’ szó eredetét a Plat. rövidítéssel intézi el,c márpedig a Platón összesd három vastag kötetre rúg. Némi segítséget nyújthat számunkra a keresésben a matematikus Øystein Øre megjegyzése:

  • cὲπίτριτοςógörög egy egészet és egy harmadot tartalmazó (Platón) · ήμιόλιονógörög valaminek a másfélszerese; másfél, másfélszeres; Polübiosz | másfél-egy (3:2) arányban álló Platón.
  • dPlatón (Kr. e. 427–347) – görög filozófus.

Sok adatunk van az ókori görögök számmisztikájáról, azaz ismerjük különböző számok jelképes jelentéséről alkotott vélekedéseiket és babonáikat. […] Ha valaki példákat óhajt látni a magasabb szintű számmisztikára, vegye elő Platón Állam című művét, és olvassa el annak 8. könyvét. Bár az ilyenféle számmisztika nem mutat valami sokat a matematikai elgondolások alakulásáról, mégis van benne valami kis mesterkedés a számokkal és tulajdonságaikkal. Később látni fogjuk, hogy a görög számmisztikából ered a számelmélet néhány olyan nevezetes problémája, amely még ma is foglalkoztatja a matematikusokat.

És valóban, a megjelölt könyvben így érvel Szókratész:

Ami pedig a ti nemzetségtek termékenységét és meddőségét illeti, akármilyen bölcsek is azok, akiket az állam vezetőiül neveltetek fel, nem fognak tapasztalattal párosult okoskodásukkal több eredményt elérni, mert a helyes megoldás elkerüli a figyelmüket, s néha olyankor is nemzenek gyermekeket, amikor nem volna szabad. Az isteni nemzetségnek van egy körforgása, melyet tökéletes szám foglal egybe; az emberi nemzetség pedig egy olyan szám, amelynek legkisebb formájában bizonyos uralkodó és alárendelt szorzások, három közt és négy tagot alkotva – a hasonlóság és különbözőség, a növekedés és fogyás útján – az összes tagokat egymásnak megfelelővé és egymással összemérhetővé teszik. E számok négyharmados alapja öttel összekötve, s háromszor megszorozva két összhangot eredményez: az egyiket úgy nyerjük, ha egyenlőt egyenlővel, s százat százzal szorzunk, míg a másiknak a tényezői részben egyenlők, részben egyenlőtlenek, vagyis az »öt« racionális átlóinak százszoros négyzete, ha tudniillik mindegyikből egyet kivonunk, illetve az irracionális átlóké, ha kettőt vonunk ki belőlük – és a háromnak százszoros köbe. Ez az egész egy »mértani« számot alkot, amely a jobb és rosszabb születések kérdésében dönt; márpedig ha őreink ezeket nem ismerik fel, s az ifjakat a hajadonokkal időszerűtlenül házasítják össze, akkor nem születhetnek jó növésű és szerencsés ivadékok; s ezek közül a legjobbakat fogják ugyan elődeik az élre állítani, de mivel nem odavalók, az apjuk hatalmi polcára jutva azzal fogják kezdeni, hogy őr létükre mindenekelőtt bennünket hanyagolnak el […]

Egyszóval a jövőnkről van szó! Arisztotelésze sem akart lemaradni és kritikával illette Platón gondolatmenetét:

A Politeiában [Állam] Szókratész is szól a forradalmakról, de nem helyesen, mert nem szól a legjobb és legeredetibb alkotmányok sajátos változásáról. Okként azt említi, hogy semmi sem maradandó, hanem ciklikusan változik; a változás kezdete pedig azon számoknak az alapmennyisége, melyek egymással 4:3 viszonyban vannak, s melyek az ötös számmal összefoglalva kettős harmóniát alkotnak; arra az esetre érti ezt, mikor ennek az alakzatnak száma szilárd, és rámutat, hogy néha a természet is selejtes embereket termel, akiken még a nevelés sem fog […]

Arisztotelész: Politika. V. könyv. Bekker 1316a6; Arisztotelész: Politika. Fordította Szabó Miklós. 2. kiadás. Budapest: Gondolat Könyvkiadó, 1969. [Politikai gondolkodók.] 252–253. p.; Szabó Miklós fordítása
  • eArisztotelész (Kr. e. 384–322) – az egyik legjelentősebb görög gondolkodó.

Megjegyzem, hogy Platón számmisztikájában nyugodtan támaszkodhatott a püthagoreusokfg tanításaira is. Bár az általuk használt elnevezéseket nem ismerem, zeneelméletükben a (4:3) arány [azaz a kvart] alapvető szereppel bírt.

  • fszamoszi Püthagorasz (Kr. e. VI. század) – görög matematikus, filozófus.
  • gpüthagoreusok – (Kr. e. V. század–IV. század) vallási-etikai és filozófiai szekta.

A ’másfél’ szót már nehezebb volt megtalálni Platón Phaidónjának az ideákról szóló okoskodásában:

Az ötös nem fogadja be a páros ideáját, sem a tízes, a kétszerese, a páratlanét. Hiszen önmagában ugyancsak nem ellentétes semmivel, mégsem fogadja be a páratlan fogalmát; éppígy sem a másfél, sem a többi efféle, félmivoltában, az egésznek a fogalmát, sem a harmadrész és minden efféle, ha ugyan követni tudsz és te is így látod.

A keresett szavak számos más szerzőnél is szerepelnek (például a ’négyharmad’ Plutarkhosznál, a ’másfél’ Galénosznál, de az előfordulások nagy többsége kommentár.

Újraolvasva Platón figyelmeztetését, miszerint

a legjobbakat fogják ugyan elődeik az élre állítani, de mivel nem odavalók, az apjuk hatalmi polcára jutva azzal fogják kezdeni, hogy őr létükre mindenekelőtt bennünket hanyagolnak el

rossz érzés kerített hatalmába: matematikai tájékozatlanságunk folyományaként már jó ideje megvalósult volna a Platóni idea?

Visontay György