Csata a katonával

Tömörkény István
matematika, fizika, mechanika, homogén test, inhomogén test, stabilitás, stabil egyensúlyi helyzet, instabil egyensúlyi helyzet, Várkonyi Péter, Domokos Gábor, Vlagyimir Igorjevics Arnold, Gömböc, Tömörkény István
szóelválasztás

János a tanyáról többféle alapon jött be ezúttal a városba. Elsősorban a piaci árak érdekelték, s azon fölül néhány apró tárgyat is kellett venni. Ugyanis kell egy karika a malac orrára, egy karika az ingaóra láncára, amit mindig ellopkodnak a gyerekek, végül pedig adót is kellene fizetni.

János ez utóbbi mesterséget végzi el először, s megszaporodva jön ki az adóhivatalból. János odakint azt határozta, hogy tíz forintot fog fizetni, de csak ötöt fizetett, s így financiálisan szaporodott. Ez mindig vidám állapot. Most már lehet karikákat keresni. Talált is kettőt, nagyon szépet. Egyik jó volt az órára, a másikat pedig nagyollta kissé a malac orrára, de hát üsse kő, majd hozzánövekszik. Az orr növendő. Ezzel most már egészen készen van, s lehetne is menni kifelé, midőn eszébe ötlik, hogy vesz egy olcsó jegyzőkönyvet a fiúnak. Inkább abba irkáljon, mint a ház falára.

Ez természetes. János valami játéküzletbe megy, végignézi a kirakott tárgyakat, s néhány fillérért vesz egy kis noteszt. Szép azért az nagyon, olyan aranyos a háta, akár a biblia.

– No majd möglátom, mit ír bele a gyerök – szól bíztató mosollyal János a boltoshoz. – Maga lösz a felelős azért, amit a gyerök ebbe a könyvbe szerkeszt.

Így elválnak.

Amint azonban János az aprópénzt tartalmazó tárcát a belső zsebbe akarná tenni, a tárca leesik a földre, mert nem olyan könnyű a subában való mozgás, mint ahogy azt az ember gondolná.

János lehajol érte, s amikor felvenné, egy kis színes alakon akad meg a szeme. Ez egy játékkatona, amely fakarjával szalutál, s kabátja kékre, lábai vörösre vannak festve. A szerencsétlen kis katona feküdt a földön, mert csákójával odaszorult az árusítóasztal lábához, de még így fekve is következetesen tisztelgett. Természetesen, János ahogy megpillantja, villámgyorsan az eszébe ötlik, hogy a kis könyv mellett ez a katonababa is igen jó lesz a gyereknek.

Hamar kikapja hát fekvő helyzetéből, s hozzámarkolva a tárcához, mind a kettőt az öklébe fogja. Fölegyenesedik, s az öklét bedugja a belső zsebbe. Ott kinyitja, a katona és a tárca bent maradnak, kezét pedig nyitott állapotban húzza vissza. No, ez rendben van. Most már végleg elköszön a boltostól, s az utcán kedvvel rázza bele magát a subába.

Most addig be nem nyúl a zsebbe, amíg a tanyára nem ér.

Nincs otthon senki, mivelhogy a gyerek iskolában van, az asszony pedig odajár a szomszéd tanyára, ahol valami torban segédkezik.

Így hát a lovakat kifogja, s előkeresve az eresz alól a kulcsot, bemegy a házba. Jó meleg van bent. János topog egy kicsit a szobában, s jár-kel. Majd pedig gondolkozik, vajon utánamenjen-e az asszonynak, vagy rátegye az órára a karikát.

Eközben eszébe jut a notesz meg a katona. Gyertek elő. Zsebbe nyúl, s kiveszi mind a kettőt. Az asztalra teszi, s az ablakhoz megy, kitekint a néma tájra, az útra, hogy jön-e a gyerek. No, nem jön még.

Visszafordul, s ekkor ahogy tekintete az asztalra esik, megdöbbenve lép hátra.

A notesz fekszik az asztalon, de a katona, melyet mellé fektetett, nem fekszik, hanem áll, és fölemelve tartja a kezét.

– Nini – mondja János.

Odamegy hozzá, s lefekteti.

De midőn elvonja a kezét, újra fölugrik a katona, előbb hajlong jobbra-balra, mintha igen mérges lenne, azután megáll keményen, éppen neki szemközt fordulva, és a kezét le nem eresztené egy világért.

– No – szól újra János, és komolyan szemügyre veszi a kék-vörös emberkét.

Fa ez, fa. Legalább annak mutatkozik. S miként van az, hogy mégis mozog?

Leteszi most már keményen az asztalra, s meg is nyomja, hogy jól fekve maradjon. Úgy is van. Erős keze alatt megfekszi az asztalt a katona, és semmi mozgása nem érzik.

Ámde kezét hirtelen elvonva onnan, újra csak fölpattan, hajlong, megint előtte áll meg, s két festett szemével reá tekint.

– Üssön mög a part! – kiáltja János, és mérgesen csapja le újra.

Ezúttal politikával él. Nem kapja föl hirtelen a kezét, hanem lassan fogja elhúzni. Meg is próbálja, de íme, mi történik megint. Ahogy szelíd vigyázattal emeli föl az ujjait, akként kél utána lassan a katona, mígnem ismét teljesen egyenesen áll, és karját Jánosra emeli.

– Engöm ne fenyögess – mondja János, s elmegy az asztaltól egészen a sarokig.

Onnan gyanúsan nézi. Csönd van kint, bent. Kissé alkonyodik, s a pusztára leszáll a téli napáldozat ólmos fátyola. Semmi zaj sem hallható, a boglyakemencében összeomlik néha a zsarátnok, s koppan a tapasztott falon. A notesz az asztalon fekszik, János a kemencepadkán ül, a katona áll az asztalon, s mereven nézi Jánost.

Meg se mozdul.

János erős pillantásai egyre gyengébbek, végül lesüti szemeit a katona tekintete előtt.

– Én nem loptalak el – védekezik halkan –, feküdtél a földön. Akkor minek feküdtél… Mert le voltál szorulva. Köszönd, hogy fölemeltelek! Ez nem lopás. Más is elvitt volna, hallod-e! Engöm ne verj mög szömmel, mert leütlek az asztalrul. Leütlek!

Erőt gyűjt, és fenyegetve közeledik hozzá. János már-már kiüti, mikor új gondolata támad. Az asztalon a kancsó, körülötte vizes az új deszka. Hirtelen elkapja a katonát, és fejjel belenyomja a vízbe.

– Ne kutya! – hörgi, s homlokán verejtékcsöppek ütnek ki.

Mikor elveszi róla a kezét, fölkiált.

A katona nem kelt föl, ott maradt fekve a vízben.

János vigadozva nézi.

– No most ott vagy… Most mozogj, kutyafülű!

Mozog is. Ijedve veszi ezt észre a küzdő felek nagyobbika. A víz nem bírta teljesen leragasztani a zöld festékhez a kék festékes katonát, egyszerre mozogni kezd s hopp! megint egyenesen áll már, de előbb előre-hátra hajladozik fölemelt karjával.

Hátha ez nem célzatos fenyegetés, akkor egyáltalán nincs fenyegetés a világon.

János meghőköl, derekát az ágyhoz üti, s fölszisszen. Dühös lesz.

– Minek is hoztalak ide! – kiáltja. – Engöm ne bánts mög. Ne ronts mög. Összetörlek!

Előkapja a botot a sarokból, s tisztes távolban maradva, le akarja azzal nyomni a katonát. Nem megy. Kitér a bot elől, s minél jobban hozzásújt, annál hevesebben fenyegetőzik.

János homlokán ismét ott van már a hideg veríték. Mit tegyen, mit tegyen?

Eh, egyszer hal meg az ember. Hirtelen elsiklik az asztal mellett, hogy az ablakhoz jusson. Ezt reszkető kézzel kinyitja. Akkor visszafordul bátran, nagy kezével megmarkolja a kis embert, hogy egészen elvesz az öklében.

– Gáspár… Menyhért… Boldizsár… – mondja, s kilöki a katonát az ablakon.

Repül, repül egy darabon, azután a fagyos göröngyök közé bukik, s hentereg ide-oda.

János utána néz.

– Huh! – csattan föl egyszer.

Már megint áll a katona egy hókupac tetején, hajlong, integet, emeli a kezét, és erős szemrehányás van a tekintetében.

– Loptál, loptál, loptál…

János hallani véli a szavakat, és szívét névtelen ijedtség szorítja össze.

És rontások rontása, hogy épp most jön haza a gyerek az iskolából. Látszik az úton. Közeledik, ő meg kiáltani akar reá.

– Kerüld el, kerüld el!

De nem bír. Rémülten, elzsibbadva látja az ablaknál, hogy a fiú észreveszi a katonát, fölemeli, s diadallal hozza befelé.

Már az ajtónál kiáltoz:

– Nézze kend, apám, nézze…

Az apja felhördül, s kezét tiltakozva tartja maga elé.

– Be ne hozd! Ide ne hozd! Most vívtam vele éppen…

A fiú nem érti. A kis ember szemei szeretettel nézik a még kisebb embert, s kacagva kiált:

– Nézze kend, ólom van az aljában. Ha lefektetöm, fölugrik. Nézze kend mán!

Jánosról lefoszlik most a zsibbadtság, rémület, s benső indulatai elcsöndesülnek.

– Ó! – sóhajtja megkönnyebbülten. – Ólom van benne.

Aztán röstelkedve mozog, okát adandó az eddigi violenciának.

– Azt hittem: lélök.

1895

TÖMÖRKÉNY ISTVÁN
(1866–1917)
Várkonyi Péter a Gömböc modelljével
Domokos Gábor a Mathematical Intelligencer című folyóirattal, címlapon a Gömböccel
Fotó: origo.hu
Vlagyimir Igorjevics Arnold (1937 Ogyessza– ) – Wolf-díjas (2001) szovjet–orosz matematikus, Kolmogorov tanítványa. Kutatási területei: dinamikus rendszerek, differenciálegyenletek, hidrodinamika, magneto-hidrodinamika, klasszikus és égi mechanika, geometria, topológia, algebrai geometria, szingularitáselmélet. Nevéhez fűződik a dinamikai rendszerek alapjait érintő KAM-tétel (Kolmogorov–Arnold–Moser-tétel) bizonyítása.
Jegyzet

Nota bene! Az ólomkatona nem homogén test. – A szerk.

Köszönöm Schiller Róbertnek, hogy Tömörkény novellájára felhívta a figyelmem.

Forrás

Tömörkény István: Tömörkény István válogatott novellái. A válogatás és a jegyzetek Vas István munkája. Budapest: Szépirodalmi Könyvkiadó, 1977. 34–39. p. (Magyar remekírók.)

Függelék

Gömböc a Műegyetemről

Ötvös Zoltán

A budapesti Műegyetem két oktatója – Várkonyi Péter és Domokos Gábor – bizonyította be a világ egyik leghíresebb matematikusának egyik sejtését. A felfedezés eredménye egy furcsa idom, amely leginkább egy teknős páncéljához hasonlít.


Matematikai szempontból kiemelt jelentőségű az egyetlen stabil és egyetlen instabil egyensúlyi helyzettel egyaránt rendelkező test – állítja Domokos Gábor, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszékének tanszékvezető egyetemi tanára. Domokos Gábor (46 éves) – jelenleg a legfiatalabb hazai akadémikus – a rendszerváltás idején találkozott a káoszelmélet kidolgozásában maradandót alkotó Vlagyimir Igorjevics Arnolddal, a világ egyik leghíresebb matematikusával. A tudós sejtette, hogy létezik olyan homogén (vagyis egyetlen anyagból készült) test, amelynek csak egy stabil s egy instabil egyensúlyi helyzete van, és arra sarkallta a fiatal magyar kutatót, hogy találjon ilyen idomot.

A döntő ötletet végül Várkonyi Péter, a műegyetemi tanszék ifjú oktatója adta, aki jelenleg az amerikai Princetoni Egyetemen dolgozik. Ennek alapján tavaly alkották meg a Gömböc fantázianevű testet, mely egy tekintélyes tudományos folyóirat, a The Mathematical Intelligencer legújabb számának címlapján is megjelent. Ilyesmi utoljára 1979-ben fordult elő magyar találmánnyal – az a Rubik-kocka volt.

A Gömböc megértéséhez előbb az egyensúlyi helyzetek jelentőségét kell tisztázni. A jól ismert kockának hat stabilegyensúlyi helyzete van a hat lapján, a csúcsainál pedig nyolc instabil egyensúlyi helyzete, ugyanis a csúcsára állított kockára ható erők is egyensúlyban vannak – az ilyen instabil helyzetet azonban a gyakorlatban csak pillanatokig lehet előidézni. Az élek további, tizenkét, úgynevezett nyereg típusú egyensúlyt jelentenek. Domokosék egyik lényeges eredménye, hogy a testek a nyereg-egyensúlyok nélkül is egyértelműen osztályozhatók, így a kockát a (6,8)-as osztályba sorolták.

Arnold azt sejtette, hogy létezik (1,1)-es test. Az ilyen test mindig ugyanabba a helyzetbe tér vissza, ebben hasonlít a gyerekjátékként ismert keljfeljancsira. Az utóbbi azonban nem homogén, hiszen legalább két anyagból készítik, amelyek közül az egyik az egyensúlyt biztosító nehezékként szolgál. Homogén keljfeljancsit sem könnyű készíteni, olyan testet pedig, melynek emellett csak egy instabil helyzete van, eddig nem ismert a tudomány.

A magyar kutatók csavaros módon igazolták a test létezését. Először síkban, azaz két dimenzióban bizonyították be, hogy ott nem létezik (1,1)-es síkidom. Megmutatták, hogy ha létezne ilyen homogén korong, akkor azt a súlypontján átmenő egyenessel úgy lehetne kettéosztani, hogy az egyik oldalon minden súlyponttól mért sugár nagyobb, mint a másik oldalon. Létezne tehát egy „vastagabb” és egy „vékonyabb” fele, vagyis a kiindulási pont mégsem tekinthető súlypontnak.

A térbeli esetben döntően más a helyzet: ez a bizonyítás ott csődöt mond, emiatt a titokzatos test létéről, illetve nemlétéről sokáig csak találgatni lehetett. Várkonyiék azt feltételezték Arnold sejtése nyomán, hogy létezhet ilyen idom, ha a vastagabb és a vékonyabb fele úgy ölelkezik össze, hogy éppen kiegyensúlyozzák a testet. A Gömböc felfedezéséhez tehát a síkban leírt cáfolat vezetett.

A magyar páros azt is igazolta, hogy egy homogén test egyensúlyi helyzeteinek száma a test apró módosításával mindig növelhető (ilyesmit tett Columbus, amikor a róla elnevezett tojás csúcsát az asztal lapjához ütve „egyensúlyozta” ki). Mivel ez fordítva nem igaz (tehát az egyensúlyok száma apró módosításokkal általában nem csökkenthető), az (1,1) típusú Gömböcből, az őssejthez hasonlóan, minden más típus származtatható, őt magát azonban nem származtathatjuk máshonnan.

Nem véletlenül keresztelték Gömböcnek az új formát. A testek lapossága és hosszúkássága számszerűsíthető, mindkét esetben a minimális érték éppen egységnyi. Domokosék azt igazolták, hogy magán a gömbön kívül csak az (1,1) típusú testek érik el mindkét mutatóban a minimumot.

A Gömböc meglepő formája számos asszociációt ébreszt, az eddigi leglátványosabb a teknőspáncélokkal való párhuzam. A magas páncéllal rendelkező teknősök ugyanis a Gömböc alakjához meglepően hasonlító burkot növesztettek, ami segíti őket, ha kibillennek az egyensúlyukból. „A lapos páncélú teknősök a nyakukat használva fordulnak vissza, ha megfordítjuk őket. A magas páncélúak erre nem tudják használni a nyakukat, ezt a feladatot a páncél vette át” – állítja a kutató, aki munkatársaival teknősöket és más, páncéllal rendelkező állatokat szeretne vizsgálni.

Forrás: Népszabadság · 2007. február 3.


Lásd még a felfedezést publikáló cikket: P. L. Várkonyi and G. Domokos Mono-monostatic Bodies: The Answer to Arnold’s Question.

Fotó: nol.hu
Függelék

Kolmogorov, a kozmikus matematikus

Szász Domokos

A Naprendszer stabilitásának problémáját már maga Isaac Newton (1642–1727) is felvetette, amint megértette a bolygók mozgását leíró egyenleteket. A kérdés természetesen az, hogy ha esetleg ezen egyenletek pontosan nem is oldhatók meg, a megoldások nem olyanok-e, hogy egy vagy több bolygó (akár maga a Föld) elrepül vagy beleesik a Napba? Ha csak két testet tekintünk, például a Napot és egy bolygót, akkor ez a középiskolában is tanult Kepler-probléma. Ekkor az egyenletek megoldhatók, a testek ellipszis pályákon mozognak, és a rendszer stabil (megjegyzem, bizonyos kezdeti feltételekre az egyenleteknek instabil – parabola illetve hiperbola – megoldásaik vannak).

A következő kérdés nyilván a háromtest-probléma: pl. a Napra és két bolygóra írjuk fel Newton egyenleteit. Ezzel a problémával, sőt ennek egy leegyszerűsített formájával; a korlátozott háromtest-problémával (amikor az egyik égitest tömege viszonylagosan nagyon kicsi, például a három test a Nap, a Jupiter és a Vénusz) a legkiválóbb elmék birkóztak évszázadokon keresztül. A teljességre való törekvés nélkül említsünk meg néhány tudóst, akik egy-egy jelentős észrevétellel előbbre jutottak: Alexis Claude Clairaut (1713–1765; 1752-ben egy vonatkozó dolgozata elnyerte a Szentpétervári Akadémia díját), Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813; 1772-ben Euler és Lagrange vonatkozó memoárjai elnyerték a Prix de L’Académie de Paris-t), Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), George William Hill (1838–1914), George H. Darwin (1845–1912).

1954-ben [Andrej Nyikolajevics] Kolmogorov négyoldalas dolgozatot publikált a Szovjetunió Tudományos Akadémiája közleményeiben. Itt megfogalmazott tétele a probléma teljesen váratlan megoldását javasolta: a kezdeti feltételek számelméleti tulajdonságaitól függően a megoldás hol stabil, hol instabil. A cikk természetesen azonnal felkeltette a szakértők érdeklődését, így Carl Ludwig Siegelét (1896–1981), és tanítványáét Jürgen K. Moserét (1928–1999), akik már dolgoztak 1956-ban megjelent Vorlesungen über Himmelsmechanik című monográfiájukon. A gond azonban az volt, hogy Kolmogorov cikke nem tartalmazott bizonyítást, pusztán rövid utalást e verifikálás ugyancsak forradalmian új módszerére (egy gyorsan konvergáló algoritmikus eljárásra, amely valójában az egyetemen sokak által tanult Newton-féle eljáráson alapul).

Jürgen Moser mesélte nekem már az 1990-es években, hogy Kolmogorovtól nem sikerült további információt szerezniük bizonyításáról. Viszont az a tény, hogy a tételt ő fogalmazta meg, olyan bizalmat alapozott meg bennünk, hogy Siegel javaslatára nekilátott a bizonyítás kidolgozásának. Ez öt év alatt sikerült is, és dolgozata 1962-ben meg is jelent. Vele párhuzamosan Kolmogorov tanítványa, Vlagyimir Igorjevics Arnold (sz. 1937) is nyert egy bizonyítást, amely 1963-ban jelent meg. Ma az elmélet, amelyet megalkotóik nevének kezdőbetűi alapján KAM-elméletnek neveznek, a dinamikai rendszerek alapjaihoz tartozik, a Kolmogorov által kigondolt és az Arnold és Moser által kidolgozott rendkívül hatékony módszert a legkülönfélébb területeken alkalmazzák. Megjegyzem, hogy egyetemi kurzuson csak a tétel kimondására és értelmezésére ma is egy dupla órát kell szánnom, a bizonyítás további négy dupla óra. Minderről további részletek is olvashatók Staar Gyula Jürgen Moserrel készített interjújában, a Természet Világa 1996 májusi számában.

Forrás: Szász Domokos: Kolmogorov, a kozmikus matematikus. Magyar Tudomány 2003/4