The Analyst · Az analizáló

Part III · III. rész
George Berkeley
püspök vitairata angol és magyar nyelven
matematika, differenciálszámítás, fluxió, infinitezimális mennyiségek, Newton, Leibniz
szóelválasztás

XXVI. The Doctrine premised may be farther illustrated by the following simple and easy Case, wherein I shall proceed by evanescent Increments.

26. A szóban forgó elmélet további szemléltetésére szolgálhat a következő egyszerű és könnyű példa, amelyben az eltűnő növekmények módszerét alkalmazom.

Suppose $AB=x$, $BC=y$, $BD=o$, and that $xx$ is equal to the Area $ABC$: It is proposed to find the Ordinate $y$ or $BC$. When $x$ by flowing becomes $x+o$, then $xx$ becomes $xx+2xo+oo$: And the Area $ABC$ becomes $ADH$, and the Increment of $xx$ will be equal to $BDHC$ the Increment of the Area, i.e. to $BCFD+CFH$. And if we suppose the curvilinear Space $CFH$ to be $qoo$, then $2xo+oo=yo+qoo$, which divided by $o$ give $2x+o=y+qo$. And, supposing $o$ to vanish, $2x=y$, in which Case $ACH$ will be a straight Line, and the Areas $ABC$, $CFH$, Triangles. Now with regard to this Reasoning, it hath been already remarked,i that it is not legitimate or logical to suppose $o$ to vanish, i.e. to be nothing, i.e. that there is no Increment, unless we reject at the same time with the Increment it self every Consequence of such Increment, i.e. whatsoever could not be obtained but by supposing such Increment. It must nevertheless be acknowledged, that the Problem is rightly solved, and the Conclusion true, to which we are led by this Method. It will therefore be asked, how comes it to pass that the throwing out $o$ is attended with no Error in the Conclusion? I answer, the true reason hereof is plainly this: Because $q$ being Unite, $qo$ is equal to $o$: And therefore $2x+o-qo=y=2x$, the equal Quantities $qo$ and $o$ being destroyed by contrary Signs.

Legyen $AB=x$, $BC=y$; $BD=0$ és legyen $xx$ egyenlő az $ABC$ területtel. Keresendő $BC$, vagyis az $y$ ordináta. Amikor a fluens $x$ mennyiség $x+0$-vá lesz, akkor $xx$ az $xx+2x0+00$ mennyiséggé válik, az $ABC$ terület pedig $ADH$-vá, és $xx$ növekménye egyenlő lesz $BDHC$-val, a terület növekményével, azaz $BCFD+CFH$-val. Ha feltesszük, hogy a görbe vonallal határolt $CFH$ terület $q00$, akkor $2x0+00=y0+q00$, ami $0$-val osztva: $2x+0=y+q0$. És ha feltesszük, hogy $0$ eltűnik, akkor $2x=y$, amely esetben $ACH$ egyenes szakasszá válik, $ABC$ és $CFH$ pedig háromszögekké. Nos, e gondolatmenetet illetően már megjegyeztük: jogtalan és nem logikus feltenni, hogy $0$ eltűnik, semmivé válik, azaz nincs növekmény, hacsak egyidejűleg el nem vetjük magával a növekménnyel együtt annak minden következményét, tehát mindazt, amit e növekmény feltételezése alapján nyertünk. Mindazonáltal el kell ismernünk, hogy a feladatot helyesen oldották meg, s az e módszerrel levezetett konklúzió igaz. Jogos tehát a kérdés, hogyan lehetséges, hogy $0$ elhanyagolása nem vezet hibás konklúzióra? A válaszom az, hogy az ok egyszerűen a következő: mivel $q$ egységnyi, $q0=0$, tehát: $2x+0-q0=y=2x$; ugyanis $q0$ és $0$ egyenlőek és ellentétes előjelűek lévén, megsemmisítik egymást.

XXVII. As on the one hand it were absurd to get rid of $o$ by saying, let me contradict my self: Let me subvert my own Hypothesis: Let me take it for granted that there is no Increment, at the same time that I retain a Quantity, which I could never have got at but by assuming an Increment: So on the other hand it would be equally wrong to imagine, that in a geometrical Demonstration we may be allowed to admit any Error, though ever so small, or that it is possible, in the nature of Things, an accurate Conclusion should be derived from inaccurate Principles. Therefore $o$ cannot be thrown out as an Infinitesimal, or upon the Principle that Infinitesimals may be safely neglected. But only because it is destroyed by an equal Quantity with a negative Sign, whence $o-qo$ is equal to nothing. And as it is illegitimate to reduce an Equation, by subducting from one Side a Quantity when it is not to be destroyed, or when an equal Quantity is not subducted from the other Side of the Equation: So it must be allowed a very logical and just Method of arguing, to conclude that if from Equals either nothing or equal Quantities are subducted, they shall still remain equal. And this is a true Reason why no Error is at last produced by the rejecting of $o$. Which therefore must not be ascribed to the Doctrine of Differences, or Infinitesimals, or evanescent Quantities, or Momentums, or Fluxions.

27. Mert amint képtelenség lenne oly módon megszabadulni a $0$-tól, hogy azt mondjuk: „Hadd mondjak ellent önmagamnak!”, „Hadd ingassam meg saját feltevésemet!”, „Hadd vegyem, úgy, hogy nincs növekmény, de azért megtartom azt amennyiséget, amit csak a növekmény feltételezésével tudtam előállítani!” – ugyanígy helytelen lenne azt képzelni, hogy egy geometriai bizonyításban akár a legkisebb hibát is megengedhetjük magunknak, vagy hogy a dolgok természetéből következően lehetséges lenne kifogástalan konklúzióhoz jutni kifogásolható premisszák alapján. Ezért $0$-t nem lehet azon az alapon elvetni, hogy infinitezimális, az infinitezimálisuk pedig nyugodtan elhanyagolhatók. Csakis azért lehet figyelmen kívül hagyni, mert egy vele azonos nagyságú és ellentétes előjelű mennyiség megsemmisíti, tehát $0-q0$ nullával lesz egyenlő. És amennyire megengedhetetlen egy egyenlet egyik oldalából levonni egy mennyiséget, ha az nem nulla vagy ha nem vonunk le a másik oldalból is egy vele azonos mennyiséget, annyira helyes és logikus az a következtetés, hogy ha egyenlőkből semmit vagy egyenlőket vonunk le, akkor továbbra is egyenlők maradnak. Ez a valódi oka annak, hogy végül is miért nem vezetett hibához $0$ elhanyagolása. Az tehát, hogy nem volt hiba, nem a differenciák, infinitezimálisok, eltűnő mennyiségek, momentumok vagy fluxiók elméletének javára írandó.

XXVIII. Suppose the Case to be general, and that $x^{n}$ is equal to the Area $ABC$, whence by the Method of Fluxions the Ordinate is found $nx^{n-1}$ which we admit for true, and shall inquire how it is arrived at. Now if we are content to come at the Conclusion in a summary way, by supposing that the Ratio of the Fluxions of $x$ and $x^{n}$ are foundj to be 1 and $nx^{n-1}$, and that the Ordinate of the Area is considered as its Fluxion; we shall not so clearly see our way, or perceive how the truth comes out, that Method as we have shewed before being obscure and illogical. But if we fairly delineate the Area and its Increment, and divide the latter into two Parts $BCFD$ and $CFH$,k and proceed regularly by Equations between the algebraical and geometrical Quantities, the reason of the thing will plainly appear. For as $x^{n}$ is equal to the Area $ABC$, so is the Increment of $x^{n}$ equal to the Increment of the Area, i.e. to $BDHC$; that is, to say,

$$\small no{ x }^{ n-1 }+\frac { nn-n }{ 2 } oo{ x }^{ n-2 }+ \text{&c.} =BDFC+CFH \text{.}$$

And only the first Members, on each Side of the Equation being retained, $nox^{n-1}=BDFC$: and dividing both Sides by $o$ or $BD$, we shall get $nx^{n-1}=BC$. Admitting, therefore, that the curvilinear Space $CFH$ is equal to the rejectaneous Quantity

$$\frac{nn-n}{2}oo{x}^{n-2}+\text{&c.}$$

and that when this is rejected on one Side, that is rejected on the other, the Reasoning becomes just and the Conclusion true. And it is all one whatever Magnitude you allow to $BD$, whether that of an infinitesimal Difference or a finite Increment ever so great. It is therefore plain, that the supposing the rejectaneous algebraical Quantity to be an infinitely small or evanescent Quantity, and therefore to be neglected, must have produced an Error, had it not been for the curvilinear Spaces being equal thereto, and at the same Time subducted from the other Part or Side of the Equation agreeably to the Axiom, If from Equals you subduct Equals, the Remainders will be equal. For those Quantities which by the Analysts are said to be neglected, or made to vanish, are in reality subducted. If therefore the Conclusion be true, it is absolutely necessary that the finite Space $CFH$ be equal to the Remainder of the Increment expressed by

$$\frac{nn-n}{2}oo{x}^{n-2}+\text{&c.}$$

equal I say to the finite Remainder of a finite Increment.

  • jSee the Figure in Sect. 26.
  • kSect. 13.

28. Vegyük szemügyre most az előbbinél általánosabb esetet, és tegyük fel, hogy $x^{n}$ egyenlő az $ABC$ területtel; ennek következtében a fluxiók módszere alapján az ordináta $nx^{n-1}$, amit igaznak fogadunk el, és megvizsgáljuk, milyen módon jutottak hozzá. Mármost, ha rövid úton akarunk eljutni a végeredményhez, és elfogadjuk, hogy $x$ és $x^{n}$ fluxióinak arányát korábban 1-nek és $nx^{n-1}$-nek találtuk, és hogy a terület ordinátája nem más, mint a fluxiója, akkor nem fogjuk oly világosan látni eljárásunkat, vagy felfogni, hogyan áll elő az igazság, mivel az a módszer, amelyet az előbbiekben bemutattunk, zavaros és logikátlan. De ha helyesen rajzoljuk fel a területet és növekményét, majd az utóbbit $BCDF$ és $CFH$ részre osztjuk9 és szabályosan felírjuk az algebrai és geometriai mennyiségek közötti egyenleteket, akkor a dolog világossá fog válni. Mivel ugyanis $x^{n}$ egyenlő az $ABC$ területtel, így $x^{n}$ növekménye egyenlő lesz a terület növekményével, azaz $BDHC$-val, tehát

$$\small n0{ x }^{ n-1 }+\frac { nn-n }{ 2 } 00{ x }^{ n-2 }+ \text{stb.} =BDFC+CFH \text{.}$$

Az egyenletnek mindkét oldalon csak ez első tagjait megtartva: $n0x^{n-1}=BDFC$; azután mindkét oldalt $0$-val, vagyis $BD$-vel végigosztva: $nx^{n-1}=BC$. Feltéve, hogy a $CFH$ görbe vonalú terület egyenlő az elvetett

$$\frac{nn-n}{2}00{x}^{n-2}+\text{stb.}$$

mennyiséggel, s hogyha ezt elhagyjuk az egyik oldalról, akkor ugyanakkora mennyiséget hagyunk el a másik oldalról is, a gondolatmenet helyessé és a konklúzió igazzá válik. És mindegy, milyen nagynak vesszük $BD$-t, infinitezimális differenciának vagy tetszőlegesen nagy véges növekménynek. Ezért nyilvánvaló, hogy az a feltevés, mely szerint az elvetendő algebrai mennyiség végtelenül kicsiny, eltűnő mennyiség s így elhanyagolható, hibához vezetett volna, ha a görbe vonalú területet nem tekintettük volna vele egyenlőnek, s nem vontuk volna le egyidejűleg az egyenlet másik oldalából, összhangban azzal az axiómával, hogy ha egyenlőkből egyenlőket vonunk le, a maradékok is egyenlők lesznek. Mert azok a mennyiségek, amelyekről az analízis művelői azt mondják, hogy elhanyagolandók vagy eltüntetendők, valójában kivonandók. Ahhoz tehát, hogy a konklúzió igaz legyen, feltétlenül szükséges, hogy a véges $CFH$ terület egyenlő legyen a növekmény maradékával, azaz:

$$\frac { nn-n }{ 2 } 00{ x }^{ n-2 }+\text{ stb.-vel }$$

vagy inkább úgy mondanám: egy véges növekmény véges maradékával.

  • 9Lásd a 26. §-hoz tartozó ábrát.

XXIX. Therefore, be the Power what you please, there will arise on one Side an algebraical Expression, on the other a geometrical Quantity, each of which naturally divides it self into three Members: The algebraical or fluxionary Expression, into one which includes neither the Expression of the Increment of the Absciss nor of any Power thereof, another which includes the Expression of the Increment it self, and the third including the Expression of the Powers of the Increment. The geometrical Quantity also or whole increased Area consists of three Parts or Members, the first of which is the given Area, the second a Rectangle under the Ordinate and the Increment of the Absciss, and the third a curvilinear Space. And, comparing the homologous or correspondent Members on both Sides, we find that as the first Member of the Expression is the Expression of the given Area, so the second Member of the Expression will express the Rectangle or second Member of the geometrical Quantity; and the third, containing the Powers of the Increment, will express the curvilinear Space, or third Member of the geometrical Quantity. This hint may, perhaps, be further extended and applied to good purpose, by those who have leisure and curiosity for such Matters. The use I make of it is to shew, that the Analysis cannot obtain in Augments or Differences, but it must also obtain in finite Quantities, be they ever so great, as was before observed.

29. Ezért tehát bármekkora kitevőről legyen is szó, az egyenlet egyik oldalán egy algebrai mennyiség fog állni, a másikon pedig egy geometriai mennyiség, és mindegyikük természetes módon három tagra oszlik. Az algebrai vagy fluxiós kifejezés egy olyan tagra, amelyben nem szerepel sem az abszcissza növekménye, sem ennek valamilyen hatványa; egy olyan másik tagra, amelyben maga a növekmény szerepel; és egy olyan harmadikra, amelyben a növekmény hatványai szerepelnek. A geometriai mennyiség, azaz a teljes megnövekedett terület szintén három részből áll, amelyek közül az első a kiindulásul adott terület, a második az abszcissza növekménye és az ordináta által alkotott téglalap, a harmadik pedig egy görbe vonalú terület. Ha mindkét oldalon összehasonlítjuk a megfelelő vagy homológ tagokat, azt találjuk, hogy az első tag az adott terület algebrai kifejezése lévén, a második a téglalapot, azaz a geometriai kifejezés második tagját fogja kifejezni, a harmadik pedig, amely a növekmény hatványait tartalmazza, a görbe vonalú területet, vagyis a geometriai mennyiség harmadik tagját. Ezt az útmutatást azok, akiknek idejük van az effélékre és kedvüket lelik benne, talán még ki is terjeszthetik és jó célra fordíthatják. Én csupán arra használom, hogy megmutassam, az analízisnek nemcsak a növekmények vagy differenciák esetében kell érvényesnek lennie, hanem – mint az előbb megjegyeztük – a véges mennyiségek körében is, legyenek bármilyen nagyok.

XXX. It seems therefore upon the whole that we may safely pronounce, the Conclusion cannot be right, if in order thereto any Quantity be made to vanish, or be neglected, except that either one Error is redressed by another; or that secondly, on the same Side of an Equation equal Quantities are destroyed by contrary Signs, so that the Quantity we mean to reject is first annihilated; or lastly, that from opposite Sides equal Quantities are subducted. And therefore to get rid of Quantities by the received Principles of Fluxions or of Differences is neither good Geometry nor good Logic. When the Augments vanish, the Velocities also vanish. The Velocities or Fluxions are said to be primò and ultimò, as the Augments nascent and evanescent. Take therefore the Ratio of the evanescent Quantities, it is the same with that of the Fluxions. It will therefore answer all Intents as well. Why then are Fluxions introduced? Is it not to shun or rather to palliate the Use of Quantities infinitely small? But we have no Notion whereby to conceive and measure various Degrees of Velocity, besides Space and Time, or when the Times are given, besides Space alone. We have even no Notion of Velocity prescinded from Time and Space. When therefore a Point is supposed to move in given Times, we have no Notion of greater or lesser Velocities or of Proportions between Velocities, but only of longer and shorter Lines, and of Proportions between such Lines generated in equal Parts of Time.

30. Mindezek alapján bízvást kijelenthetjük tehát, hogy a végeredmény nem lehet helyes, ha elérése érdekében bármely mennyiséget el kell tüntetni, el kell hanyagolni, hacsak az így elkövetett hibát helyre nem hozzuk egy másikkal; vagy ha egy egyenlet egyik oldalán azonos, de ellentétes előjelű mennyiségeket el nem hagyunk, úgyhogy az elvetni szándékozott mennyiséget eleve semmissé tesszük; végül, ha az egyenlet két oldalából egyenlő mennyiségeket le nem vonunk. Geometriailag és logikailag egyaránt rossz tehát, ha az ember bizonyos mennyiségektől a fluxiók vagy differenciák elfogadott elvei szerint szabadul meg. Amikor a növekmények eltűnnek, a sebességek velük enyésznek el. A sebességeket vagy fluxiókat primónak vagy ultimónak mondják, aszerint, hogy a növekmény születőben vagy elenyészőben van-e. Vegyük tehát az elenyészőben levő mennyiségek arányát, s ez meg fog egyezni a fluxiókéval. Minden egyéb célra ennélfogva éppúgy megfelel, mint az utóbbi. Miért kell tehát egyáltalán bevezetni a fluxiókat? Vajon nem azért, hogy elkerüljék vagy inkább álcázzák a végtelenül kicsiny mennyiségek használatát? A különböző sebességi fokok értelmezésére és mérésére azonban csak a tér és az idő fogalma révén van módunk; azaz akkor, ha az utak mellett az idők is adottak. A tértől és időtől elvonatkoztatott sebességről fogalmat sem alkothatunk. Ha tehát egy pontról feltesszük, hogy adott idők alatt mozgást végez, akkor itt nem lehet szó kisebb vagy nagyobb sebességekről, illetve a sebességek arányairól, hanem csak rövidebb vagy hosszabb szakaszokról, illetve arról, hogy miképpen aránylanak egymáshoz ezek a szakaszok, amelyek az idő egyenlő részeiben jönnek létre.

XXXI. A Point may be the limit of a Line: A Line may be the limit of a Surface: A Moment may terminate Time. But how can we conceive a Velocity by the help of such Limits? It necessarily implies both Time and Space, and cannot be conceived without them. And if the Velocities of nascent and evanescent Quantities, i. e. abstracted from Time and Space, may not be comprehended, how can we comprehend and demonstrate their Proportions? Or consider their rationes primae and ultimae? For to consider the Proportion or Ratio of Things implies that such Things have Magnitude: That such their Magnitudes may be measured, and their Relations to each other known. But, as there is no measure of Velocity except Time and Space, the Proportion of Velocities being only compounded of the direct Proportion of the Spaces, and the reciprocal Proportion of the Times; doth it not follow that to talk of investigating, obtaining, and considering the Proportions of Velocities, exclusively of Time and Space, is to talk unintelligibly?

31. Egy pont határolhat egy szakaszt; egy szakasz határolhat egy síkot; egy pillanat határolhat egy időtartamot. Hogyan alkothatnánk azonban sebességfogalmat ezekből a határfogalmakból? A sebesség fogalma szükségszerűen feltételezi mind az idő, mind a tér fogalmát, nem alkotható meg nélkülük. És ha már a születőben és eltűnőben levő, azaz tértől és időtől elvonatkoztatott mennyiségek sebességeit sem tudjuk értelmezni, hogyan tudhatnánk a sebességek arányait? Vagy nézzük meg, mik is lehetnek a rationes primae és ultimae. Ahhoz, hogy bizonyos dolgok ratióját, azaz arányát megvizsgálhassuk, ezeknek a dolgoknak bizonyos nagysággal kell rendelkezniök; a nagyságáknak pedig mérhetőknek és egymáshoz viszonyíthatóknak kell lenniök. De mivel a sebességek mértéke csak a tér és az idő lehet, a sebességek aránya pedig csak az utak egyenes és az idők fordított arányaiból állítható elő, nem következik-e ebből, hogy tértől és időtől elvonatkoztatott sebességek arányainak vizsgálatáról, felállításáról és kiszámításáról beszélni teljességgel értelmetlen?

XXXII. But you will say that, in the use and application of Fluxions, men do not overstrain their Faculties to a precise Conception of the abovementioned Velocities, Increments, Infinitesimals, or any other such like Ideas of a Nature so nice, subtile, and evanescent. And therefore you will perhaps maintain, that Problems may be solved without those inconceivable Suppositions: and that, consequently, the Doctrine of Fluxions, as to the practical Part, stands clear of all such Difficulties. I answer, that if in the use or application of this Method, those difficult and obscure Points are not attended to, they are nevertheless supposed. They are the Foundations on which the Moderns build, the Principles on which they proceed, in solving Problems and discovering Theorems. It is with the Method of Fluxions as with all other Methods, which presuppose their respective Principles and are grounded thereon. Although the rules may be practised by Men who neither attend to, nor perhaps know the Principles. In like manner, therefore, as a Sailor may practically apply certain Rules derived from Astronomy and Geometry, the Principles whereof he doth not understand: And as any ordinary Man may solve divers numerical Questions, by the vulgar Rules and Operations of Arithmetic, which he performs and applies without knowing the Reasons of them: Even so it cannot be denied that you may apply the Rules of the fluxionary Method: You may compare and reduce particular Cases to general Forms: You may operate and compute and solve Problems thereby, not only without an actual Attention to, or an actual Knowledge of, the Grounds of that Method, and the Principles whereon it depends, and whence it is deduced, but even without having ever considered or comprehended them.

32. Önök ugyan erre azt fogják válaszolni, hogy a fluxiók használata és alkalmazása során az emberek nem arra összpontosítják képességeiket, hogy pontos fogalmat alkossanak az említett sebességekről, növekményekről, infinitezimálisokról és más hasonló kifinomult, szubtilis és megfoghatatlan ideákról. S ezért talán azt fogják állítani, hogy a problémák megoldhatók ama bizonyos felfoghatatlan előfeltevések nélkül is; következésképpen a fluxiók elmélete – ami a gyakorlati alkalmazását illeti – mentes az effajta nehézségektől. A válaszom az, hogy ha nem figyelnek is a módszer alkalmazásakor a nehéz és homályos pontokra, ezek ettől még nem szűnnek meg. A modern matematikusok rájuk építenek, ezeknek az elveknek az alapján járnak el a problémák megoldásakor és a tantételek felállításakor. A fluxiók módszerével ugyanaz a helyzet, mint más módszerekkel, amelyek előfeltételezik a maguk alapelveit és ezeken alapulnak: olyan emberek is felhasználhatják a szabályokat, akik ügyet sem vetnek az alapelvekre vagy nem is ismerik őket. Ahhoz hasonlóan, ahogy egy tengerész alkalmazhat a gyakorlatban a csillagászatból és a geometriából származó szabályokat, amelyeknek alapelveit nem érti; vagy ahogy bármely közönséges ember meg tud oldani különféle számítási feladatokat az ismert aritmetikai műveletek és szabályok alapján, amelyeket azonban anélkül hajt végre és alkalmaz, hogy tudná az értelmüket. Ily módon tagadhatatlan, hogy Önök is alkalmazhatják a fluxiós módszer szabályait: összehasonlíthatnak és általános alakra hozhatnak egyedi eseteket; műveleteket végezhetnek, megoldhatnak és kiszámíthatnak feladatokat, nemcsak anélkül, hogy ténylegesen figyelembe vennék vagy akár csak ismernék is e módszer alapjait és azokat az alapelveket, amelyeken nyugszik s amelyekből levezették, hanem anélkül, is, hogy ezeket valaha is átgondolták és megértették volna.

XXXIII. But then it must be remembred, that in such Case although you may pass for an Artist, Computist, or Analyst, yet you may not be justly esteemed a Man of Science and Demonstration. Nor should any Man, in virtue of being conversant in such obscure Analytics, imagine his rational Faculties to be more improved than those of other Men, which have been exercised in a different manner, and on different Subjects; much less erect himself into a Judge and an Oracle, concerning Matters that have no sort of connexion with, or dependence on those Species, Symbols or Signs, in the Management whereof he is so conversant and expert. As you, who are a skilful Computist or Analyst, may not therefore be deemed skilful in Anatomy: or vice versa, as a Man who can dissect with Art, may, nevertheless, be ignorant in your Art of computing: even so you may both, notwithstanding your peculiar Skill in your respective Arts, be alike unqualified to decide upon Logic, or Metaphysics, or Ethics, or Religion. And this would be true, even admitting that you understood your own Principles and could demonstrate them.

33. Emlékeztetnünk kell azonban arra, hogy ebben az esetben Önök jó mesteremberek, ügyes számolók vagy analitikusok lehetnek ugyan, de semmiképpen sem tekinthetők tudósoknak, azaz olyan embereknek, akik bizonyítják is, amit mondanak. És senki nem képzelheti magáról, hogy ha jártas e zavaros analízisben, akkor kifinomultabb észbeli képességekkel rendelkezik, mint a más módon és más tárgyban iskolázottak; még kevésbé, hogy bíró és orákulum lehet olyan dolgokban, amelyek semmiféle kapcsolatban vagy összefüggésben nem állnak azokkal a formulákkal, jelekkel vagy szimbólumokkal, melyek kezelésében oly jártas és gyakorlott. Mint ahogy Ön, uram, aki ügyes számoló vagy analitikus, ezért még nem tekinthető ügyes anatómusnak; vagy megfordítva: ahogy valaki, aki mesterien boncol, járatlan lehet az Ön számítási módszerében; ugyanígy mindketten, szakmai ügyességük ellenére, egyformán alkalmatlanok arra, hogy döntsenek logikai, metafizikai, etikai vagy vallási kérdésekben. S ez még akkor is igaz lenne, ha Ön értené és bizonyítani tudná saját alapelveit.

XXXIV. If it is said, that Fluxions may be expounded or expressed by finite Lines proportional to them: Which finite Lines, as they may be distinctly conceived and known and reasoned upon, so they may be substituted for the Fluxions, and their mutual Relations or Proportions be considered as the Proportions of Fluxions: By which means the Doctrine becomes clear and useful. I answer that if, in order to arrive at these finite Lines proportional to the Fluxions, there be certain Steps made use of which are obscure and inconceivable, be those finite lines themselves ever so clearly conceived, it must nevertheless be acknowledged, that your proceeding is not clear nor your method scientific.

34. Azt mondják, a fluxiók kifejezhetők vagy bemutathatók velük arányos, véges szakaszok révén, amely szakaszok – mivel tisztán felfoghatók, megismerhetők és elgondolhatók – helyettesíthetik a fluxiókat, arányaik vagy kölcsönös viszonyaik pedig a fluxiók arányait; miáltal az elmélet világossá és használhatóvá válik. Erre a következőket válaszolom: ha ahhoz, hogy eljussanak ezekhez a fluxiókkal arányos véges szakaszokhoz, olyan lépéséket kell megtenniük, amelyek zavarosak és felfoghatatlanok, akkor legyenek bár a véges szakaszok mégoly világosan felfoghatók, el kell ismerniük, hogy eljárásuk nem világos és módszerük nem tudományos.

For instance, it is supposed that $AB$ being the Absciss, $BC$ the Ordinate, and $VCH$ a Tangent of the Curve $AC$, $Bb$ or $CE$ the Increment of the Absciss, $Ec$ the Increment of the Ordinate, which produced meets $VH$ in the Point $T$, and $Cc$ the Increment of the Curve. The right Line $Cc$ being produced to $K$, there are formed three small Triangles, the Rectilinear $CEc$, the Mixtilinear $CEc$, and the Rectilinear Triangle $CET$. It is evident these three Triangles are different from each other, the Rectilinear $CEc$ being less than the Mixtilinear $CEc$, whose Sides are the three Increments abovementioned, and this still less than the Triangle $CET$. It is supposed that the Ordinate $bc$ moves into the place $BC$, so that the Point $c$ is coincident with the Point $C$; and the right Line $CK$, and consequently the Curve $Cc$, is coincident with the Tangent $CH$. In which case the mixtilinear evanescent Triangle $CEc$ will, in its last form, be similar to the Triangle $CET$: And its evanescent Sides $CE$, $Ec$ and $Cc$ will be proportional to $CE$, $ET$ and $CT$ the Sides of the Triangle $CET$. And therefore it is concluded, that the Fluxions of the lines $AB$, $BC$, and $AC$, being in the last Ratio of their evanescent Increments, are proportional to the Sides of the Triangle $CET$, or, which is all one, of the Triangle $VBC$ similar thereunto.l It is particularly remarked and insisted on by the great Author, that the Points $C$ and $c$ must not be distant one from another, by any the least Interval whatsoever: But that, in order to find the ultimate Proportions of the Lines $CE$, $Ec$, and $Cc$ (i.e. the Proportions of the Fluxions or Velocities) expressed by the finite Sides of the Triangle $VBC$, the Points $C$ and $c$ must be accurately coincident, i.e. one and the same. A Point therefore is considered as a Triangle, or a Triangle is supposed to be formed in a Point. Which to conceive seems quite impossible. Yet some there are, who, though they shrink at all other Mysteries, make no difficulty of their own, who strain at a Gnat and swallow a Camel.

  • l Newton: Introductio ad Quadratum Curvarum.

Feltéve például, hogy $AB$ az abszcisszája, $BC$ az ordinátája és $VCH$ az érintője az $AC$ görbének, $Bb$ vagy $CE$ az abszcissza növekménye, $Ec$ az ordináta növekménye, amely $VH$-t a $T$ pontban metszi, $Cc$ pedig a görbe növekménye. A $Cc$ szakaszt $K$ irányában meghosszabbítva, három kis háromszög keletkezik: az egyenesek által alkotott $CEc$ és $CET$ háromszög, valamint a két egyenes és egy görbe vonal által határolt $CEc$ háromszög. Nyilvánvaló, hogy e háromszögek különböznek egymástól, az egyenes oldalú $CEc$ háromszög kisebb, mint a görbe oldalú $CEc$, melynek oldalai a fentebb említett növekmények, s ez szintén kisebb, mint a $CET$ háromszög. Felteszik, hogy a $bc$ ordináta a $BC$ felé mozog úgy, hogy a $c$ pont végül egybeesik a $C$ ponttal; a $CK$ egyenes, következésképpen a $Cc$ görbe egybeesik a $CH$ érintővel. Ebben az esetben a görbe oldalú, eltűnő $CEc$ háromszög végül is hasonlóvá válik a $CET$ háromszöghöz; végtelenül kicsinnyé váló $CE$, $Ec$ és $Cc$ oldalai pedig arányosak lesznek a $CET$ háromszög $CE$, $ET$ és $CT$ oldalaival. Ebből arra következtetnek, hogy az $AB$, $BC$ és $AC$ szakaszok fluxiói, melyek e szakaszok eltűnő növekményei közül az utolsók arányával egyeznek meg, végeredményben a $CET$, vagy ami ugyanaz, a hozzá hasonló $VBC$ háromszög oldalaival lesznek arányosak.10 A jeles szerző külön is kiemeli és hangsúlyozza, hogy a $C$ és $c$ pontnak a lehető legkisebb távolságban kell lennie egymástól, sőt hogy a $CE$, $Ec$ és $Cc$ szakaszok utolsó arányainak (azaz a fluxiók vagy sebességek arányainak) előállításához – amely arányok a $VBC$ háromszög véges hosszúságú oldalaival fejezhetők ki – a $C$ és $c$ pontnak teljesen egybe kell esnie, azonossá kell válnia. Így tehát egy pontot háromszögnek, vagyis egy háromszöget pontnak tekintenek. Ezt belátni pedig teljes lehetetlenség. Vannak azonban, akik minden más misztériumtól visszahőkölnek, csak a sajátjukból nem csinálnak problémát, akik más szemében a szálkát is észreveszik, a sajátjukban a gerendát sem.

  • 10vö. Newton: Introductio ad Quadraturam Curvarum.

XXXV. I know not whether it be worth while to observe, that possibly some Men may hope to operate by Symbols and Suppositions, in such sort as to avoid the use of Fluxions, Momentums, and Infinitesimals after the following manner. Suppose $x$ to be one Absciss of a Curve, and $z$ another Absciss of the same Curve. Suppose also that the respective Areas are $xxx$ and $zzz$: and that $z-x$ is the Increment of the Absciss, and $zzz-xxx$ the Increment of the Area, without considering how great, or how small those Increments may be. Divide now $zzz-xxx$ by $z-x$ and the Quotient will be $zz+zx+xx$: and, supposing that $z$ and $x$ are equal, this same Quotient will be $3xx$ which in that case is the Ordinate, which therefore may be thus obtained independently of Fluxions and Infinitesimals. But herein is a direct Fallacy: for in the first place, it is supposed that the Abscisses $z$ and $x$ are unequal, without such supposition no one step could have been made; and in the second place, it is supposed they are equal; which is a manifest Inconsistency, and amounts to the same thing that hath been before considered.m And there is indeed reason to apprehend, that all Attempts for setting the abstruse and fine Geometry on a right Foundation, and avoiding the Doctrine of Velocities, Momentums, $\textit &c.$ will be found impracticable, till such time as the Object and the End of Geometry are better understood, than hitherto they seem to have been. The great Author of the Method of Fluxions felt this Difficulty, and therefore he gave in to those nice Abstractions and Geometrical Metaphysics, without which he saw nothing could be done on the received Principles; and what in the way of Demonstration he hath done with them the Reader will judge. It must, indeed, be acknowledged, that he used Fluxions, like the Scaffold of a building, as things to be laid aside or got rid of, as soon as finite Lines were found proportional to them. But then these finite Exponents are found by the help of Fluxions. Whatever therefore is got by such Exponents and Proportions is to be ascribed to Fluxions: which must therefore be previously understood. And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?

  • mSect. 15.

35. Nem tudom, érdemes-e megjegyezni, hogy talán egyesek azt remélik: a tételek és szimbólumok alkalmazhatók úgy is, hogy az alább következő módon elkerülik a fluxiók, momentumok és infinitezimálisok használatát. Tegyük fel, hogy $x$ egy görbe egyik, $z$ pedig egy másik abszcisszája. Tegyük fel továbbá, hogy a nekik megfelelő területek: $xxx$ és $zzz$; és hogy $z-x$ az abszcissza növekménye, $zzz-xxx$ pedig a területé, tekintet nélkül arra, hogy milyen nagyok vagy kicsinyek ezek a növekmények. Osszuk el most $zzz-xxx$-et $z-x$-szel, a hányados: $zz+zx+xx$ lesz; feltéve most, hogy $z$ egyenlő $x$-szel, ez a hányados $3xx$ lesz, s ez egyúttal az ordináta értéke, amit így fluxiók és infinitezimálisok igénybevétele nélkül állítottunk elő. Ez az okoskodás azonban szembeszökően hibás, mert először feltettük, hogy a $z$ és $x$ abszcisszák nem egyenlők, hiszen e feltevés nélkül egyetlen lépést sem tehettünk volna tovább; másodszorra viszont már azt tettük fel, hogy $z$ és $x$ egyenlő. S ez így nyilvánvaló önellentmondás, tehát mindaz érvényes rá, amit korábban mondtunk. Ezért jó okunk van úgy vélni, hogy e rejtélyes és elvont geometria megbízható alapokra helyezése, valamint a sebességek, momentumok és hasonlók elméletének kiiktatása kivihetetlennek fog bizonyulni mindaddig, amíg e geometria tárgyát és célját az eddiginél jobban át nem gondolják. A fluxiós módszer jeles szerzője érezte e nehézséget, s ezért folyamodott ama kényes absztrakciókhoz és mértani metafizikához, amelyek nélkül – jól tudta – semmire sem menne az elfogadott alapelvekkel; s hogy a bizonyítás során mire ment velük, ítélje meg maga az olvasó. Azt azonban el kell ismerni, hogy a fluxiókat csak olybá vette, mint egy épület állványzatát, mint olyasmit, amitől azonnal meg kell szabadulnia, amit félre kell tennie, mihelyt velük arányos véges szakaszokat talált. E véges megfelelőket azonban mégiscsak a fluxiók segítségével nyerte; s így mindaz, ami e megfelelők és arányaik révén áll elő, a fluxiók javára írandó, ezeket tehát előzőleg már meg kell érteni. De mik ezek a fluxiók? Az eltűnőben levő növekmények sebességei? És mik ezek az eltűnőben levő növekmények? Se nem véges mennyiségek, se nem végtelenül kicsinyek, még csak nem is semmik. Mi mások lennének tehát, mint a kimúlt mennyiségek kísértetei?

XXXVI. Men too often impose on themselves and others, as if they conceived and understood things expressed by Signs, when in truth they have no Idea, save only of the very Signs themselves. And there are some grounds to apprehend that this may be the present Case. The Velocities of evanescent or nascent Quantities are supposed to be expressed, both by finite Lines of a determinate Magnitude, and by Algebraical Notes or Signs: but I suspect that many who, perhaps never having examined the matter, take it for granted, would upon a narrow scrutiny find it impossible, to frame any Idea or Notion whatsoever of those Velocities, exclusive of such finite Quantities and Signs.

36. Az emberek gyakorta hiszik és hitetik el másokkal is, hogy megértettek, felfogtak bizonyos jelekkel kifejezett dolgokat, noha valójában fogalmuk sincs ezekről a dolgokról, legfeljebb csak az őket jelölő jelekről. Okunk van feltenni, hogy a jelen esetben is így áll a dolog. A születőben és eltűnőben levő mennyiségek sebességeiről felteszik, hogy meghatározott nagyságú véges szakaszokkal és algebrai jelekkel vagy szimbólumokkal egyaránt kifejezhetők. Én azonban azt gyanítom, hogy sokan, akik a dolgot biztosnak vették, mert talán sohasem gondolkodtak róla, már rövid vizsgálódás után belátják, hogy lehetetlen bármilyen ideát vagy fogalmat alkotni ama bizonyos sebességekről, ha a véges mennyiségektől és a jelektől elvonatkoztatunk.11

Suppose the line $KP$ described by the Motion of a Point continually accelerated, and that in equal Particles of time the unequal Parts $KL$, $LM$, $MN$, $NO$, $\textit &c.$ are generated. Suppose also that $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $\textit &c.$ denote the Velocities of the generating Point, at the several Periods of the Parts or Increments so generated. It is easy to observe that these Increments are each proportional to the sum of the Velocities with which it is described: That, consequently, the several Sums of the Velocities, generated in equal Parts of Time, may be set forth by the respective Lines $KL$, $LM$, $MN$, $\textit &c.$ generated in the same Times: It is likewise an easy matter to say, that the last Velocity generated in the first Particle of Time, may be expressed by the Symbol $a$, the last in the second by $b$, the last generated in the third by $c$, and so on: that $a$ is the Velocity of $LM$ in statu nascenti, and $b$, $c$, $d$, $e$, $\textit &c.$ are the Velocities of the Increments $MN$, $NO$, $OP$, $\textit &c.$ in their respective nascent estates. You may proceed, and consider these Velocities themselves as flowing or increasing Quantities, taking the Velocities of the Velocities, and the Velocities of the Velocities of the Velocities, i.e. the first, second, third $\textit &c.$ Velocities ad infinitum: which succeeding Series of Velocities may be thus expressed, $a$. $b-a$. $c-2b+a$. $d-3c+3b-a$. $\textit &c.$ which you may call by the names of the first, second, third, fourth Fluxions. And for an apter Expression you may denote the variable flowing Line $KL$, $KM$, $KN$, $\textit &c.$ by the Letter $x$; and the first Fluxions by $\dot{x}$, the second by $\ddot{x}$, the third by $\dddot{x}$, and so on ad infinitum.

Tegyük fel, hogy a $KP$ szakaszt egy folytonosan gyorsuló mozgású pont írja le, és hogy egyenlő idők alatt a nem egyforma hosszúságú $KL$, $LM$, $MN$, $NO$ stb. szakaszok keletkeznek. Tegyük fel továbbá, hogy $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ stb. a generálópont sebességeit jelölik a különböző növekmények vagy részek létrejöttekor. Könnyű észrevenni, hogy e növekmények mindegyike az őt létrehozó sebességek összegével arányos, következésképpen, hogy az egyenlő idők alatti különböző sebességösszegek a megfelelő $KL$, $LM$, $MN$ stb. szakaszokkal reprezentálhatók, amelyek ugyanezekben az időkben jönnek létre. Hasonlóképpen egyszerűen azt mondhatjuk, hogy az első időintervallumban keletkező végsebesség $a$-val, a második alatt keletkező végsebesség $b$-vel, a harmadikban keletkező $c$-vel stb. jelölhető; tehát $a$ az $MN$ sebessége in statu nascendi, $b$, $c$, $d$, $e$ stb. pedig az $MN$, $NO$, $OP$ stb. növekmények születési sebességei. Mindez ugyanígy tovább is folytatható; tehát magukat a sebességeket fluens vagy növekvő mennyiségeknek tekinthetjük, és előállíthatjuk a sebességek sebességeit, a sebességek sebességeinek sebességeit, azaz az első-, másod-, harmad- stb. rendű sebességeket ad infinitum; a sebességek sora a következőképpen írható fel: a; $b-a$; $c-2b+a$; $d-3c+3b-a$; stb., amelyeket nevezhetünk első-, másod-, harmad- és negyedrendű fluxióknak. A kifejezés egyszerűsítése érdekében pedig jelölhetjük a változó, fluens $KL$, $KM$, $KN$ stb. szakaszt $x$-szel, elsőrendű fluxióját $\dot{x}$-tal, másodrendű fluxióját $\ddot{x}$-tal, a harmadrendűt $\dddot{x}$-tal, és így tovább ad infinitum.

  • 11Változatlan formában közöljük Berkeley diagramját, amely azonban nem felel meg teljesen a szövegben adott leírásának.

XXXVII. Nothing is easier than to assign Names, Signs, or Expressions to these Fluxions, and it is not difficult to compute and operate by means of such Signs. But it will be found much more difficult, to omit the Signs and yet retain in our Minds the things, which we suppose to be signified by them. To consider the Exponents, whether Geometrical, or Algebraical, or Fluxionary, is no difficult Matter. But to form a precise Idea of a third Velocity for instance, in it self and by it self, Hoc opus, hic labor. Nor indeed is it an easy point, to form a clear and distinct Idea of any Velocity at all, exclusive of and prescinding from all length of time and space; as also from all Notes, Signs, or Symbols whatsoever. This, if I may be allowed to judge of others by my self, is impossible. To me it seems evident, that Measures and Signs are absolutely necessary, in order to conceive or reason about Velocities; and that, consequently, when we think to conceive the Velocities, simply and in themselves, we are deluded by vain Abstractions.

37. Mi sem könnyebb, mint nevekkel, jelekkel vagy kifejezésekkel ellátni ezeket a fluxiókat, és számolni vagy műveleteket végezni sem nehéz az ilyen jelek segítségével. Jóval nehezebb azonban a jeleket elhagyva megtartani elménkben azokat a dolgokat, amelyeket feltevésünk szerint jelölnek. Mert e dolgok geometriai, algebrai vagy fluxiós kifejezéseit nem nehéz szemügyre venni, de annál nehezebb pontos ideát formálni például egy harmadrendű sebességről magáról; hoc opus, hic labor.12 Már az sem könnyű dolog, hogy tiszta és világos ideát alakítsunk ki valamely sebességről úgy, hogy közben elvonatkoztatunk a távolságoktól és időtartamoktól, illetve lemondunk a jelölések és bármiféle szimbólumok használatáról. Ez – ha a magam esete alapján ítélhetek – lehetetlen. Számomra nyilvánvalónak tűnik, hogy a sebesség fogalmának kialakításához és a róla való elmélkedéshez feltétlenül szükségesek a jelölések és a mértékek; következésképpen, amikor azt hisszük, hogy a sebességeket egyszerűen és önmagukban fogjuk fel, akkor hiú absztrakciók csapdájába esünk.

  • 12Ez a feladat, ez a munka – A ford.

XXXVIII. It may perhaps be thought by some an easier Method of conceiving Fluxions, to suppose them the Velocities wherewith the infinitesimal Differences are generated. So that the first Fluxions shall be the Velocities of the first Differences, the second the Velocities of the second Differences, the third Fluxions the Velocities of the third Differences, and so on ad infinitum. But not to mention the insurmountable difficulty of admitting or conceiving Infinitesimals, and Infinitesimals of Infinitesimals, $\textit &c.$ it is evident that this notion of Fluxions would not consist with the great Author’s view; who held that the minutest Quantity ought not to be neglected, that therefore the Doctrine of Infinitesimal Differences was not to be admitted in Geometry, and who plainly appears to have introduced the use of Velocities or Fluxions, on purpose to exclude or do without them.

38. Némelyek talán könnyebb módszernek tartják a fluxiók fogalmának kialakítására, ha feltesszük, hogy ezek az infinitezimális differenciák keletkezési sebességei. Így az elsőrendű fluxiók az elsőrendű differenciák sebességei, a másodrendű fluxiók a másodrendű differenciák sebességei, a harmadrendűek a harmadrendűekéi, és így tovább ad infinitum. Eltekintve azonban az infinitezimálisoknak, illetve az infinitezimálisok infinitezimálisainak stb. leküzdhetetlen fogalmi nehézségeitől, nyilvánvaló, hogy a fluxiók ilyetén értelmezése összeegyeztethetetlen lenne a jeles szerző nézeteivel is, mivel ő azt tartotta, hogy a legkisebb mennyiségeket sem szabad elhanyagolni, s ezért az infinitezimális differenciák elmélete elfogadhatatlan a geometriában; a sebességek vagy fluxiók használatát pedig láthatólag éppen azért vezette be, hogy kiküszöbölhesse az infinitezimálisokat, hogy meglegyen nélkülük is.

XXXIX. To others it may possibly seem, that we should form a juster Idea of Fluxions by assuming the finite unequal isochronal Increments $KL$, $LM$, $MN$, $\textit &c.$ and considering them in statu nascenti, also their Increments in statu nascenti, and the nascent Increments of those Increments, and so on, supposing the first nascent Increments to be proportional to the first Fluxions or Velocities, the nascent Increments of those Increments to be proportional to the second Fluxions, the third nascent Increments to be proportional to the third Fluxions, and so onwards. And, as the first Fluxions are the Velocities of the first nascent Increments, so the second Fluxions may be conceived to be the Velocities of the second nascent Increments, rather than the Velocities of Velocities. But which means the Analogy of Fluxions may seem better preserved, and the notion rendered more intelligible.

39. Másoknak úgy tűnhet, hogy megfelelőbb ideát formálhatunk a fluxiókról, ha a $KL$, $LM$, $MN$ stb. véges, izokron és nem egyforma hosszúságú növekményeket in statu nascendi vesszük, valamint azok növekményeit is in statu nascendi, azután e növekmények születőben levő növekményeit és így tovább, és feltesszük, hogy az első növekmények az elsőrendű fluxiókkal vagy sebességekkel arányosak, e növekmények születőben levő növekményei a másodrendű fluxiókkal, a harmadrendű születőben levő növekmények a harmadrendű fluxiókkal, és így tovább. És ahogy az elsőrendű fluxiók az első születő növekmények sebességei, úgy a másodrendű fluxiók felfoghatók a másodrendű születő növekmények sebességeiként, nem pedig a sebességek sebességeiként. Ily módon a fluxiók alapjául szolgáló analógia jobban érvényesül s a fogalom felfoghatóbbá válik.

XL. And indeed it should seem, that in the way of obtaining the second or third Fluxion of an Equation, the given Fluxions were considered rather as Increments than Velocities. But the considering them sometimes in one Sense, sometimes in another, one while in themselves, another in their Exponents, seems to have occasioned no small share of that Confusion and Obscurity, which is found in the Doctrine of Fluxions. It may seem therefore, that the Notion might be still mended, and that instead of Fluxions of Fluxions, or Fluxions of Fluxions of Fluxions, and instead of second, third, or fourth, $\textit &c.$ Fluxions of a given Quantity, it might be more consistent and less liable to exception to say, the Fluxion of the first nascent Increment, i.e. the second Fluxion; the Fluxion of the second nascent Increment i.e. the third Fluxion; the Fluxion of the third nascent Increment, i.e. the fourth Fluxion, which Fluxions are conceived respectively proportional, each to the nascent Principle of the Increment succeeding that whereof it is the Fluxion.

40. És valóban úgy látszik, hogy egy egyenlet másod- vagy harmadrendű fluxióinak előállításakor a szóban forgó fluxiókat inkább növekményeknek, mint sebességeknek tekintik. Ám az a tény, hogy egyszer ilyen, máskor olyan értelemben veszik őket, hogy egyszer magukat a fluxiókat, másszor a megfelelőiket veszik tekintetbe, láthatólag nem csekély mértékben osztozik a fluxiók elméletét jellemző zűrzavar és homály előidézésében. Ezért úgy tűnhet, hogy a fogalmat mégis meg lehet javítani, és a fluxiók fluxiói, illetve a fluxiók fluxióinak fluxiói helyett, vagyis egy mennyiség másod-, harmad-, negyedrendű stb. fluxiói helyett következetesebb és kivételekre kevésbé hajlamos lenne, ha így beszélnénk: az első születőben levő növekmény fluxiója, azaz a másodrendű fluxió; a másodrendű születőben levő növekmény fluxiója, azaz a harmadrendű fluxió; a harmadrendű születőben levő növekmény fluxiója, azaz a negyedrendű fluxió; ha tehát a fluxiók mindegyikét arányosnak tekintenénk annak a növekménynek a következő, születőben levő kezdeményével, amelynek a fluxiója.

XLI. For the more distinct Conception of all which it may be considered, that if the finite Increment $LM$n be divided into the Isochronal Parts $Lm$, $mn$, $no$, $oM$; and the Increment $MN$ divided into the Parts $Mp$, $pq$, $qr$, $rN$ Isochronal to the former; as the whole Increments $LM$, $MN$ are proportional to the Sums of their describing Velocities, even so the homologous Particles $Lm$, $Mp$ are also proportional to the respective accelerated Velocities with which they are described. And as the Velocity with which $Mp$ is generated, exceeds that with which $Lm$ was generated, even so the Particle $Mp$ exceeds the Particle $Lm$. And in general, as the Isochronal Velocities describing the Particles of $MN$ exceed the Isochronal Velocities describing the Particles of $LM$, even so the Particles of the former exceed the correspondent Particles of the latter. And this will hold, be the said Particles ever so small. $MN$ therefore will exceed $LM$ if they are both taken in their nascent States: and that excess will be proportional to the excess of the Velocity $b$ above the Velocity $a$. Hence we may see that this last account of Fluxions comes, in the upshot, to the same thing with the first.o

  • nSee the foregoing Scheme in Sect. 36.
  • oSect. 36.

41. Az elmondottak világosabb felfogásának érdekében tegyük fel, hogy az $LM$ véges növekményt13 az $Lm$, $mn$, $no$, $oM$ izokron részekre osztjuk, az $MN$ növekményt pedig az előbbiekkel izokron $Mp$, $pq$, $qr$, $rN$ részekre; és amint a teljes $LM$, $MN$ növekmények arányosak az őket leíró sebességek összegével, úgy a velük homológ $Lm$, $MP$ szakaszok is arányosak az őket leíró egyre növekvő sebességekkel. És mivel $Mp$ keletkezési sebessége nagyobb, mint $Lm$-é, az $Mp$ szakasz is nagyobb, mint az $Lm$ szakasz. Általában: minthogy az $MN$ részeit generáló izokron sebességek nagyobbak, mint az $LM$ részeit generáló sebességek, így maguk a részek is rendre nagyobbak az előbbiben, mint a megfelelő részek az utóbbiban. S ez érvényes marad, bármilyen kicsinyek legyenek is a részek. $MN$ tehát nagyobb lesz, mint $LM$, ha születő állapotukban vesszük is őket; nagyságkülönbségük pedig a $b$ és $a$ sebességek nagyságkülönbségével lesz arányos. Látni való ennélfogva, hogy a fluxióknak ez az utóbbi felfogása végeredményben ugyanoda vezet, mint az előző.

  • 13Vö. a 36. §-hoz tartozó ábrát.

XLII. But notwithstanding what hath been said it must still be acknowledged, that the finite Particles $Lm$ or $Mp$, though taken ever so small, are not proportional to the Velocities $a$ and $b$; but each to a Series of Velocities changing every Moment, or which is the same thing, to an accelerated Velocity, by which it is generated, during a certain minute Particle of time: That the nascent beginnings or evanescent endings of finite Quantities, which are produced in Moments or infinitely small Parts of Time, are alone proportional to given Velocities: That, therefore, in order to conceive the first Fluxions, we must conceive Time divided into Moments, Increments generated in those Moments, and Velocities proportional to those Increments: That in order to conceive second and third Fluxions, we must suppose that the nascent Principles or momentaneous Increments have themselves also other momentaneous Increments, which are proportional to their respective generating Velocities: That the Velocities of these second momentaneous Increments are second Fluxions: those of their nascent momentaneous Increments third Fluxions. And so on ad infinitum.

42. Az elmondottaktól függetlenül azonban be kell látnunk, hogy az $LM$ vagy $Mp$ véges szakaszok – bármilyen kicsinyek legyenek is – nem az $a$ és $b$ sebességekkel arányosak, hanem pillanatról pillanatra változó sebességek egész sorozatával, vagy – ami ugyanaz – mindegyikük azzal a növekvő sebességgel arányos, amely őt egy bizonyos igen kicsiny időtartam alatt létrehozza; tehát egy-egy adott sebességgel csupán a véges mennyiségek születőben levő kezdetei vagy eltűnőben levő végei arányosak, amelyek pillanatok vagy végtelenül kicsiny időrészecskék alatt jönnek létre. Ezért ahhoz, hogy az elsőrendű fluxiókról fogalmat alkothassunk, előbb a pillanatokra osztott időről, az e pillanatokban létrejövő növekményekről és az e növekményekkel arányos sebességekről kell fogalmat alkotnunk. Így tehát ahhoz, hogy a másod- és harmadrendű fluxiókról fogalmunk lehessen, fel kell tételeznünk, hogy a születőben levő kezdeményeknek, azaz a pillanatnyi növekményeknek maguknak is vannak pillanatnyi növekményei, melyek az őket létrehozó sebességekkel arányosak, és e másodrendű pillanatnyi növekmények sebességei a másodrendű fluxiók, a másodrendű pillanatnyi növekmények születőben levő pillanatnyi növekményeinek sebességei pedig a harmadrendű fluxiók; és így tovább ad infinitum.

XLIII. By subducting the Increment generated in the first Moment from that generated in the second, we get the Increment of an Increment. And by subducting the Velocity generating in the first Moment from that generating in the second, we get the Fluxion of a Fluxion. In like manner, by subducting the Difference of the Velocities generating in the two first Moments, from the excess of the Velocity in the third above that in the second Moment, we obtain the third Fluxion. And after the same Analogy we may proceed to fourth, fifth, sixth Fluxions $\textit &c.$ And if we call the Velocities of the first, second, third, fourth Moments, $a$, $b$, $c$, $d$, the Series of Fluxions will be as above, $a$. $b-a$. $c-2b+a$. $d-3c+3b-a$. ad infinitum, i.e. $\dot{x}$. $\ddot{x}$. $\dddot{x}$. $\ddddot{x}$. ad infinitum.

43. Ha kivonjuk az első pillanatban létrejött növekményt abból, amelyik a második pillanatban keletkezett, akkor egy növekmény növekményét kapjuk eredményül. És ha kivonjuk az első pillanatbeli generálósebességet a második pillanatbeli generálósebességből, akkor egy fluxió fluxiójához jutunk. Hasonlóképpen, a két első pillanatbeli generálósebességek különbségét kivonva a harmadik és második pillanatbeli sebességek különbségéből, a harmadrendű fluxiót kapjuk. Ennek analógiájára nyerhetjük a negyed-, ötöd-, hatodrendű stb. fluxiókat. És ha az első, második, harmadik, negyedik pillanatbeli sebességeket rendre $a$, $b$, $c$, $d$-ével jelöljük, akkor a fluxiók sorozata ugyanaz lesz, mint fentebb: $a$; $b-a$; $c-2b+a$; $d-3c+3b-a$; … ad infinitum, azaz $\dot{x}$, $\ddot{x}$, $\dddot{x}$, $\ddddot{x}$ … ad infinitum.

XLIV. Thus Fluxions may be considered in sundry Lights and Shapes, which seem all equally difficult to conceive. And indeed, as it is impossible to conceive Velocity without time or space, without either finite length or finite Duration,p it must seem above the powers of Men to comprehend even the first Fluxions. And if the first are incomprehensible, what shall we say of the second and third Fluxions, $\textit &c.$? He who can conceive the beginning of a beginning, or the end of an end, somewhat before the first or after the last, may be perhaps sharpsighted enough to conceive these things. But most Men will, I believe, find it impossible to understand them in any sense whatever.

  • pSect. 31.

44. A fluxiókat tehát sokféle megvilágításban és alakban szemügyre vehetjük, de úgy tűnik, mindenképpen nehéz felfogni őket. És minthogy lehetetlen a sebességről fogalmat alkotni, ha tértől és időtől, minden véges távolságtól vagy időtartamtól eltekintünk, már az elsőrendű fluxiók is meghaladják az emberi felfogóképességet. Ha pedig már az elsőrendűek felfoghatatlanok, mit mondjunk a másod- és harmadrendű stb. fluxiókról? Aki el tudja képzelni egy kezdet kezdetét vagy egy végződés végződését, valamit, ami előbbi az elsőnél vagy későbbi az utolsónál, az talán lesz annyira éles eszű, hogy felfogja a fluxiókat is. De a legtöbb ember, azt hiszem, lehetetlennek fogja találni, hogy bármiképpen is megértse őket.

XLV. One would think that Men could not speak too exactly on so nice a Subject. And yet, as was before hinted, we may often observe that the Exponents of Fluxions or Notes representing Fluxions are confounded with the Fluxions themselves. Is not this the Case, when just after the Fluxions of flowing Quantities were said to be the Celerities of their increasing, and the second Fluxions to be the mutations of the first Fluxions or Celerities, we are told that z''. $\acute{z}$. $\dot{z}$. $\ddot{z}$. $\dddot{z}$.q represents a Series of Quantities, whereof each subsequent Quantity is the Fluxion of the preceding; and each foregoing is a fluent Quantity having the following one for its Fluxion?

  • q De Quadratura Curvarum.

45. Azt hihetnénk, hogy az ilyen elvont tárgyról nem is igen lehet szabatosan beszélni. Ám, amint már utaltunk rá, gyakorta megfigyelhetjük, hogy a fluxiók kifejezéseit, azaz a fluxiókat jelölő szimbólumokat összekeverik magukkal a fluxiókkal. Vajon nem ez-e a helyzet akkor, amikor nyomban azután, hogy azt mondták: a fluens mennyiségek fluxiói e mennyiségek növekedésének sebességei, a másodrendű fluxiók pedig az elsőrendű fluxiók, vagyis sebességek változásának mértékei, kijelentik, hogy z'', $\acute{z}$, $\dot{z}$, $\ddot{z}$, $\dddot{z}$ a mennyiségek olyan sorozatát ábrázolja, amelyben mindegyik következő mennyiség az előzőnek a fluxiója, tehát mindegyik olyan fluens mennyiség, amelynek a rákövetkező tag a fluxiója?

XLVI. Divers Series of Quantities and Expressions, Geometrical and Algebraical, may be easily conceived, in Lines, in Surfaces, in Species, to be continued without end or limit. But it will not be found so easy to conceive a Series, either of mere Velocities or of mere nascent Increments, distinct therefrom and corresponding thereunto. Some perhaps may be led to think the Author intended a Series of Ordinates, wherein each Ordinate was the Fluxion of the preceding and Fluent of the following, i.e. that the Fluxion of one Ordinate was it self the Ordinate of another Curve; and the Fluxion of this last Ordinate was the Ordinate of yet another Curve; and so on ad infinitum. But who can conceive how the Fluxion (whether Velocity or nascent Increment) of an Ordinate should be it self an Ordinate? Or more than that each preceding Quantity or Fluent is related to its Subsequent or Fluxion, as the Area of a curvilinear Figure to its Ordinate; agreeably to what the Author remarks, that each preceding Quantity in such Series is as the Area of a curvilinear Figure, whereof the Absciss is $z$, and the Ordinate is the following Quantity.

46. Geometriai és algebrai mennyiségek és kifejezések különböző korlátlanul vagy vég nélkül folytatható sorozatai vonalak, felületek és műveletek segítségével könnyen felfoghatók. De puszta sebességek vagy születőben levő növekmények sorozatát, amely különbözik ezektől a sebességektől és növekményektől és megfelel nekik, már korántsem ilyen könnyű felfogni. Némelyek talán arra a gondolatra hajlanak, hogy a szerző az ordináták olyan sorozatát értette, amelyben minden ordináta az őt megelőzőnek a fluxiója, és fluense a rákövetkezőnek, tehát egy ordináta fluxiója maga is egy másik görbe ordinátája, s ennek az utóbbi ordinátának a fluxiója ismét egy újabb görbe ordinátája, és így tovább ad infinitum. De vajon ki képes felfogni, hogyan lehet egy ordináta (akár sebességnek, akár születő növekménynek tekintett) fluxiója maga is ordináta? Vagy még inkább azt, hogy bármely előző mennyiség vagy fluens miképpen viszonyul a rákövetkezőhöz, vagyis saját fluxiójához úgy, ahogyan egy görbe vonalú idom területe viszonyul a görbe ordinátájához; ugyanis a szerző felfogása szerint az effajta sorozatban minden előző mennyiség egy olyan görbe vonalú idom területe, amelynek abszcisszája a $z$, ordinátája pedig a rákövetkező mennyiség.

XLVII. Upon the whole it appears that the Celerities are dismissed, and instead thereof Areas and Ordinates are introduced. But however expedient such Analogies or such Expressions may be found for facilitating the modern Quadratures, yet we shall not find any light given us thereby into the original real nature of Fluxions; or that we are enabled to frame from thence just Ideas of Fluxions considered in themselves. In all this the general ultimate drift of the Author is very clear, but his Principles are obscure. But perhaps those Theories of the great Author are not minutely considered or canvassed by his Disciples; who seem eager, as was before hinted, rather to operate than to know, rather to apply his Rules and his Forms, than to understand his Principles and enter into his Notions. It is nevertheless certain, that in order to follow him in his Quadratures, they must find Fluents from Fluxions; and in order to this, they must know to find Fluxions from Fluents; and in order to find Fluxions, they must first know what Fluxions are. Otherwise they proceed without Clearness and without Science. Thus the direct Method precedes the inverse, and the knowledge of the Principles is supposed in both. But as for operating according to Rules, and by the help of general Forms, whereof the original Principles and Reasons are not understood, this is to be esteemed merely technical. Be the Principles therefore ever so abstruse and metaphysical, they must be studied by whoever would comprehend the Doctrine of Fluxions. Nor can any Geometrician have a right to apply the Rules of the great Author, without first considering his metaphysical Notions whence they were derived. These how necessary soever in order to Science, which can never be obtained without a precise, clear, and accurate Conception of the Principles, are nevertheless by several carelesly passed over; while the Expressions alone are dwelt on and considered and treated with great Skill and Management, thence to obtain other Expressions by Methods, suspicious and indirect (to say the least) if considered in themselves, however recommended by Induction and Authority; two Motives which are acknowledged sufficient to beget a rational Faith and moral Persuasion, but nothing higher.

47. Mindebből végül is kitűnik, hogy a sebességekkel felhagynak és helyettük területeket és ordinátákat vezetnek be. De bármilyen hasznosak legyenek is az ilyen kifejezések és analógiák a modern kvadratúrafeladatok megoldásának megkönnyítésére, a fluxiók valóságos, eredendő természetére egyáltalán nem vetnek fényt; és nem segítenek hozzá bennünket ahhoz, hogy helyes ideát formáljunk róluk. A szerző általános és végső célja világos, de az alaptételei homályosak. Meglehet persze, hogy a jeles szerző idevágó elméleteit nem vizsgálták és vitatták meg elég tüzetesen a tanítványai, akik mint már utaltunk rá, buzgóbbak a cselekvésben, mint a megismerésben, szorgosabbak az elmélet szabályainak és formuláinak alkalmazásában, mint alaptételeinek megértésében és alapfogalmainak tisztázásában. Annyi mindazonáltal bizonyos, hogy ha követni akarják mesterüket a kvadratúraszámításban, akkor érteniük kell fluensek előállításához ezek fluxiói alapján; ehhez viszont érteniük kell adott fluensek fluxióinak megtalálásához, a fluxiók előállításához pedig mindenekelőtt tudniuk kell, mik a fluxiók. Másképp eljárásuk nélkülözi a világosságot és a tudományt. A direkt módszer megelőzi a fordítottját, és mindkettő feltételezi az alapelvek ismeretét; de olyan szabályok és általános formulák alkalmazása, amelyeknek kiinduló alapelveit és indokait nem értik, puszta ügyességnek minősül. Aki tehát érteni akarja a fluxiók elméletét, annak tanulmányoznia kell az alapelveit, bármily rejtélyesek és metafizikaiak legyenek is. Egyetlen geométernek sincs joga felhasználni a jeles szerző által adott szabályokat, amíg meg nem vizsgálta a metafizikai alapfogalmakat, amelyekből ő ezeket levezette. E fogalmak nélkülözhetetlenek a tudományossághoz, amely elérhetetlen az alapelvek pontos, világos és kifogástalan megértése nélkül; sokan mégis hanyagul átsiklanak felettük, pusztán a formulákat tartják szem előtt és azokkal törődnek; nagy gonddal, igen ügyesen kezelik őket, hogy azután újabb formulákhoz jussanak olyan önmagukban véve (enyhén szólva) kétes és közvetett módszerekkel, amelyek mellett csak az Indukció és a Tekintély szól, olyan szószólók tehát, amelyek legfeljebb racionális hitet és erkölcsi meggyőződést eredményezhetnek, semmi többet.

XLVIII. You may possibly hope to evade the Force of all that hath been said, and to screen false Principles and inconsistent Reasonings, by a general Pretence that these Objections and Remarks are Metaphysical. But this is a vain Pretence. For the plain Sense and Truth of what is advanced in the foregoing Remarks, I appeal to the Understanding of every unprejudiced intelligent Reader. To the same I appeal, whether the Points remarked upon are not most incomprehensible Metaphysics. And Metaphysics not of mine, but your own. I would not be understood to infer, that your Notions are false or vain because they are Metaphysical. Nothing is either true or false for that Reason. Whether a Point be called Metaphysical or no avails little. The Question is whether it be clear or obscure, right or wrong, well or ill-deduced?

48. Meglehet, Önök azzal az általános ürüggyel remélik élét venni a mondottaknak és palástolni elveik hamisságát és okoskodásaik ellentmondásosságát, hogy kijelentik: e kifogások és észrevételek metafizikaiak. Ez azonban csalóka ürügy. Az általam előadottak nyilvánvaló értelmét és igazságát illetően értelmes és elfogulatlan olvasóim belátásához folyamodom. Rájuk bízom annak megítélését is, hogy a kifogásolt tételekben nem a legértelmetlenebb metafizika nyilvánult-e meg. Mégpedig nem az én metafizikám, hanem az Önöké. Nem szeretném azonban, ha úgy vélnék, azért tartom hamisnak és használhatatlannak az Önök fogalmait, mert metafizikaiak. Nem emiatt lesz valami igaz vagy hamis. Az, hogy valamely tétel metafizikai-e vagy sem, keveset számít. A kérdés az, hogy világos-e vagy zavaros, helyes-e vagy helytelen, jól van-e levezetve vagy rosszul.

XLIX. Although momentaneous Increments, nascent and evanescent Quantities, Fluxions and Infinitesimals of all Degrees, are in truth such shadowy Entities, so difficult to imagine or conceive distinctly, that (to say the least) they cannot be admitted as Principles or Objects of clear and accurate Science: and although this obscurity and incomprehensibility of your Metaphysics had been alone sufficient, to allay your Pretensions to Evidence; yet it hath, if I mistake not, been further shewn, that your Inferences are no more just than your Conceptions are clear, and that your Logics are as exceptionable as your Metaphysics. It should seem therefore upon the whole, that your Conclusions are not attained by just Reasoning from clear Principles; consequently that the Employment of modern Analysts, however useful in mathematical Calculations, and Constructions, doth not habituate and qualify the Mind to apprehend clearly and infer justly; and consequently, that you have no right in Virtue of such Habits, to dictate out of your proper Sphere, beyond which your Judgment is to pass for no more than that of other Men.

49. Jóllehet a pillanatnyi növekmények, a születőben és eltűnőben levő mennyiségek, a különböző fokozatú fluxiók és infinitezimálisok igazság szerint olyan árnylétezők, olyan nehezen felfoghatók vagy elképzelhetők, hogy (enyhén szólva) nem is lehetnének a tiszta és pontos tudomány alapelvei vagy tárgyai; és jóllehet az Önök metafizikájának e zavarossága és érthetetlensége önmagában is elégséges lenne ahhoz, hogy csillapítsa evidencia-igényeiket, mégis, ha nem tévedek, én kimutattam azt is, hogy az Önök következtetései semmivel sem helyesebbek, mint amennyire világosak a fogalmaik, és az Önök logikája ugyanolyan kifogásolható, mint metafizikájuk. Mindebből kitűnik tehát, hogy Önök a konklúzióikhoz nem világos alaptételekből levont helyes következtetések révén jutottak el; tehát a modern analízis alkalmazása hasznos lehet ugyan matematikai számítások és szerkesztések elvégzésére, de nem szoktatja rá, nem teszi képessé az elmét a világos fogalomalkotásra és a helyes következtetésre; Önöknek tehát ezen a címen nincs rá joguk, hogy saját hatáskörüket meghaladó állásfoglalásokat diktáljanak, mert e körön túl az Önök ítélete legföljebb egy lehet a sok közül.

L. Of a long Time I have suspected, that these modern Analytics were not scientifical, and gave some Hints thereof to the Public about twenty five Years ago. Since which time, I have been diverted by other Occupations, and imagined I might employ my self better than in deducing and laying together my Thoughts on so nice a Subject. And though of late I have been called upon to make good my Suggestions; yet, as the Person, who made this Call, doth not appear to think maturely enough to understand, either those Metaphysics which he would refute, or Mathematics which he would patronize, I should have spared my self the trouble of writing for his Conviction. Nor should I now have troubled you or my self with this Address, after so long an Intermission of these Studies; were it not to prevent, so far as I am able, your imposing on your self and others in Matters of much higher Moment and Concern. And to the end that you may more clearly comprehend the Force and Design of the foregoing Remarks, and pursue them still further in your own Meditations, I shall subjoin the following Queries.

50. Hosszú ideje gyanítottam, hogy a modern analízis nem tudományos, és néhányszor nyilvánosan is céloztam rá huszonöt évvel ezelőtt. Azóta más dolgok foglalkoztattak, s úgy gondoltam, helyesebb, ha gondolataimat nem e kényes tárgy feletti elmélkedésre fecsérlem. És noha nemrégiben felszólítottak, hogy bizonyítsam célzásaimat, de mivel az a személy, aki erre felszólított, nem látszott eléggé érett gondolkodásúnak sem ahhoz, hogy megértse azt a metafizikát, amelyet cáfolni kívánt, sem azt a matematikát, amelyet pártfogolni óhajtott, bízvást megtakaríthattam volna magamnak a fáradságot, hogy az ő meggyőzésére tollat fogjak. Miután e tárgyú vizsgálódásaimat oly hosszú időre megszakítottam, most sem fárasztottam volna sem Önöket, sem magamat e tanulmánnyal, ha nem akartam volna tőlem telhetőleg elejét venni annak, hogy Önök jóval magasabb rendű és elmélkedésre méltóbb dolgokba is beleártsák magukat, és másokat is erre ösztönözzenek. Hogy pedig még világosabban megértsék előbbi megjegyzéseim szándékát és érvényét, s hogy továbbra is elmélkedhessenek fölöttük, a mondottakhoz az alábbi kérdéseket csatolom:

Query 1. Whether the Object of Geometry be not the Proportions of assignable Extensions? And whether, there be any need of considering Quantities either infinitely great or infinitely small?

1. kérdés. Vajon a geometria tárgyát nem a megadható kiterjedések arányai alkotják? És van-e bármi szükség végtelenül nagy vagy végtelenül kicsiny mennyiségek felvételére?

Query 2. Whether the end of Geometry be not to measure assignable finite Extension? And whether this practical View did not first put Men on the study of Geometry?

2. kérdés. Vajon a geometriának nem a megadható véges mennyiségek mérése a célja? És nem e gyakorlati szempont vitte-e rá először az embereket a geometria tanulmányozására?

Query 3. Whether the mistaking the Object and End of Geometry hath not created needless Difficulties, and wrong Pursuits in that Science?

3. kérdés. Vajon a geometria tárgyának és céljának szem elől tévesztése nem idézett elő szükségtelen nehézségeket és hamis törekvéseket e tudományban?

Query 4. Whether Men may properly be said to proceed in a scientific Method, without clearly conceiving the Object they are conversant about, the End proposed, and the Method by which it is pursued?

4. kérdés. Vajon mondhatjuk-e, hogy tudományosan jár el az, aki nem képes világosan felfogni sem a tárgyat, amellyel foglalkozik, sem a kitűzött célt, sem a cél elérésére alkalmazott módszert?

Query 5. Whether it doth not suffice, that every assignable number of Parts may be contained in some assignable Magnitude? And whether it be not unnecessary, as well as absurd, to suppose that finite Extension is infinitely divisible?

5. kérdés. Vajon nem lenne-e elég feltenni, hogy egy adott nagyság adott számú részt tartalmaz? És nem épp oly szükségtelen, mint amennyire képtelen az a feltevés, hogy egy véges kiterjedés végtelenül osztható?

Query 6. Whether the Diagrams in a Geometrical Demonstration are not to be considered, as Signs of all possible finite Figures, of all sensible and imaginable Extensions or Magnitudes of the same kind?

6. kérdés. Vajon egy geometriai bizonyításban az ábrákat nem úgy tekintik, mint egy adott típushoz tartozó összes lehetséges véges alakzatok, összes érzékelhető és elképzelhető kiterjedések és nagyságok jeleit?

Query 7. Whether it be possible to free Geometry from insuperable Difficulties and Absurdities, so long as either the abstract general Idea of Extension, or absolute external Extension be supposed its true Object?

7. kérdés. Vajon megszabadítható-e a geometria a leküzdhetetlen nehézségektől és a képtelenségektől, amíg tárgyának a kiterjedés elvont általános ideológiáját vagy az abszolút külső kiterjedés ideáját tekintik?

Query 8. Whether the Notions of absolute Time, absolute Place, and absolute Motion be not most abstractedly Metaphysical? Whether it be possible for us to measure, compute, or know them?

8. kérdés. Vajon az abszolút tér, abszolút idő és abszolút mozgás fogalmai nem a legelvontabb metafizikai fogalmak? Lehetséges-e számunkra, hogy megmérjük és megismerjük őket s hogy számoljunk velük?

Query 9. Whether Mathematicians do not engage themselves in Disputes and Paradoxes, concerning what they neither do nor can conceive? And whether the Doctrine of Forces be not a sufficient Proof of this?r

  • rSee a Latin treatise, De Motu, published at London, in the year 1721.

9. kérdés. Vajon a matematikusok nem olyan vitákba és paradoxonokba bonyolódnak, amelyeket nem fogtak és nem is foghatnak fel? És nem elégséges bizonyítéka-e ennek az erők tana?

Query 10. Whether in Geometry it may not suffice to consider assignable finite Magnitude, without concerning our selves with Infinity? And whether it would not be righter to measure large Polygons having finite Sides, instead of Curves, than to suppose Curves are Polygons of infinitesimal Sides, a Supposition neither true nor conceivable?

10. kérdés. Vajon a geometriában nem elegendő adott véges nagyságokat vizsgálni, anélkül, hogy a végtelennel törődnénk? És nem lenne-e helyesebb görbék helyett véges számú oldallal rendelkező nagy sokszögeket mérni, mint feltételezni, hogy a görbék infinitezimális oldalú sokszögek, ami se nem igaz, se nem belátható feltevés?

Query 11. Whether many Points, which are not readily assented to, are not nevertheless true? And whether those in the two following Queries may not be of that Number?

11. kérdés. Vajon a nem egykönnyen elfogadható tételek nem lehetnek mégis igazak? És a két következő kérdés nem ilyenekre vonatkozik-e?

Query 12. Whether it be possible, that we should have had an Idea or Notion of Extension prior to Motion? Or whether if a Man had never perceived Motion, he would ever have known or conceived one thing to be distant from another?

12. kérdés. Vajon lehetséges-e, hogy a kiterjedésről a mozgást megelőző fogalmat vagy ideát alkossunk? Vagy ha az ember sohasem észlelt volna mozgást, felfoghatta volna-e valaha is azt, hogy egy dolog valamilyen távolságra van a másiktól?

Query 13. Whether Geometrical Quantity hath coexistent Parts? And whether all Quantity be not in a flux as well as Time and Motion?

13. kérdés. Vajon egy geometriai mennyiségnek vannak-e koegzisztens részei? És nem fluens-e minden mennyiség, nem időben és mozgásban van-e?

Query 14. Whether Extension can be supposed an Attribute of a Being immutable and eternal?

14. kérdés. Vajon feltehető-e, hogy a kiterjedés egy változatlan és örök Lény attribútuma?

Query 15. Whether to decline examining the Principles, and unravelling the Methods used in Mathematics, would not shew a bigotry in Mathematicians?

15. kérdés. Vajon a matematikában használt módszerek elemzésének és az alapelvek vizsgálatának elhárítása nem a matematikusok elvakultságára mutat-e?

Query 16. Whether certain Maxims do not pass current among Analysts, which are shocking to good Sense? And whether the common Assumption that a finite Quantity divided by nothing is infinite be not of this Number?

16. kérdés. Vajon nem számítanak-e közkeletűnek a matematikusok körében olyan maximák, amelyek a józan értelem számára megdöbbentőek? És vajon ama közkeletű feltevés, hogy egy véges mennyiség zérussal osztva végtelent ad, nem ilyen jellegű-e?

Query 17. Whether the considering Geometrical Diagrams absolutely or in themselves, rather than as Representatives of all assignable Magnitudes or Figures of the same kind, be not a principal Cause of the supposing finite Extension infinitely divisible; and of all the Difficulties and Absurdities consequent thereupon?

17. kérdés. Vajon az, hogy a geometriai ábrákat önmagukban, vagyis abszolút rtelemben veszik, ahelyett, hogy azonos típusú alakzatok vagy adott nagyságok ábrázolásának tekintenék őket, nem a legfőbb oka-e annak, hogy valamely véges kiterjedést végtelenül oszthatónak tartanak; továbbá annak a sok nehézségnek és képtelenségnek, amely ebből következik?

Query 18. Whether from Geometrical Propositions being general, and the Lines in Diagrams being therefore general Substitutes or Representatives, it doth not follow that we may not limit or consider the number of Parts, into which such particular Lines are divisible?

18. kérdés. Mivel a geometriai tételek általánosak, a geometriai ábrákat alkotó vonalak tehát az általánost ábrázolják vagy helyettesítik, vajon nem ebből következik-e, hogy nem tudjuk megszámlálni vagy valamiképpen korlátozni azoknak a részeknek a számát, amelyekre az adott konkrét vonal felosztható?

Query 19. When it is said or implied, that such a certain Line delineated on Paper contains more than any assignable number of Parts, whether any more in truth ought to be understood, than that it is a Sign indifferently representing all finite Lines, be they ever so great. In which relative Capacity it contains, i.e. stands for more than any assignable number of Parts? And whether it be not altogether absurd to suppose a finite Line, considered in it self or in its own positive Nature, should contain an infinite number of Parts?

19. kérdés. Amikor azt mondják vagy gondolják, hogy egy ilyen konkrét, papírra rajzolt vonal bármilyen megadható számnál nagyobb számú részt tartalmaz, jelenthet-e az igazság szerint mást, mint azt, hogy ez a vonal olyan jel, amely egyaránt ábrázolja az összes véges szakaszokat, bármily nagyok legyenek is, és mint ilyen tartalmazhat, azaz képviselhet bármely megadható számnál nagyobb számú részt? És vajon nem teljes képtelenség-e feltételezni, hogy egy önmagában vett véges szakasz végtelen számú részt tartalmazhat?

Query 20. Whether all Arguments for the infinite Divisibility of finite Extension do not suppose and imply, either general abstract Ideas or absolute external Extension to be the Object of Geometry? And, therefore, whether, along with those Suppositions, such Arguments also do not cease and vanish?

20. kérdés. Vajon a véges kiterjedés végtelen oszthatósága mellett felhozott összes érvek nem azon nyugszanak-e, nem azt feltételezik-e, hogy a geometria tárgyát általános elvont ideák vagy abszolút külső kiterjedések alkotják? Tehát nem tűnnek-e el, nem válnak-e semmissé e feltevésekkel együtt az effajta érvek is?

Query 21. Whether the supposed infinite Divisibility of finite Extension hath not been a Snare to Mathematicians, and a Thorn in their Sides? And whether a Quantity infinitely diminished and a Quantity infinitely small are not the same thing?

21. kérdés. Vajon a véges kiterjedés feltételezett végtelen oszthatósága nem volt-e szálka a matematikusok szemében és nem bizonyult-e csapdának? Továbbá, egy végtelenül kicsinnyé vált és egy végtelenül kicsiny mennyiség nem ugyanaz-e?

Query 22. Whether it be necessary to consider Velocities of nascent or evanescent Quantities, or Moments, or Infinitesimals? And whether the introducing of Things so inconceivable be not a reproach to Mathematics?

22. kérdés. Szükség van-e vajon a születőben és eltűnőben levő mennyiségek sebességeire, a momentumokra vagy infinitezimálisokra? És az ilyesfajta felfoghatatlan dolgok bevezetése nem ejt-e foltot a matematikán?

Query 23. Whether Inconsistencies can be Truths? Whether Points repugnant and absurd are to be admitted upon any Subject, or in any Science? And whether the use of Infinites ought to be allowed, as a sufficient Pretext and Apology, for the admitting of such Points in Geometry?

23. kérdés. Vajon igaz lehet-e az, ami ellentmondásos? Vajon elfogadhatók-e bármely tárgyban vagy tudományban ellentmondásos és képtelen nézetek? És a végtelenek felhasználása vajon megfelelő ürügy és mentség-e az ilyen nézetek elfogadására a geometriában?

Query 24. Whether a Quantity be not properly said to be known, when we know its Proportion to given Quantities? And whether this Proportion can be known, but by Expressions or Exponents, either Geometrical, Algebraical, or Arithmetical? And whether Expressions in Lines or Species can be useful but so far forth as they are reducible to Numbers?

24. kérdés. Vajon nem akkor tekintünk-e ismertnek egy mennyiséget, ha ismerjük más, adott mennyiségekhez való arányát? És vajon ismerhetjük-e ezt az arányt más módon, mint aritmetikai, algebrai vagy geometriai kifejezések, szimbólumok segítségével? És vajon a vonalakból és műveletekből álló kifejezések nemcsak annyiban és addig használhatók-e fel, amennyiben és ameddig számokra redukálhatók?

Query 25. Whether the finding out proper Expressions or Notations of Quantity be not the most general Character and Tendency of the Mathematics? And Arithmetical Operation that which limits and defines their Use?

25. kérdés. Vajon nem az-e a matematika legáltalánosabb jellemzője és törekvése, hogy mennyiségek számára megfelelő kifejezéseket és jelöléseket vezessen be? És olyan aritmetikai műveleteket, amelyek meghatározzák és korlátozzák ezek használatát?

Query 26. Whether Mathematicians have sufficiently considered the Analogy and Use of Signs? And how far the specific limited Nature of things corresponds thereto?

26. kérdés. Vajon a matematikusok kellőképpen megvizsgálták-e , a jelek használatát és az alapul szolgáló analógiát? Vajon mennyire felel ez meg a dolgok sajátos, korlátozott természetének?

Query 27. Whether because, in stating a general Case of pure Algebra, we are at full liberty to make a Character denote, either a positive or a negative Quantity, or nothing at all, we may therefore in a geometrical Case, limited by Hypotheses and Reasonings from particular Properties and Relations of Figures, claim the same Licence?

27. kérdés. Vajon azért, mert a tiszta algebrában általában tetszés szerint választhatjuk meg, hogy egy kifejezés pozitív vagy negatív mennyiséget, esetleg zérust jelöljön-e, ugyanilyen szabadságra tarthatunk-e igényt a geometriában is, amelyet az alakzatok sajátos, konkrét tulajdonságaiból és viszonyaiból eredő hipotézisek és gondolatmenetek korlátoznak?

Query 28. Whether the Shifting of the Hypothesis, or (as we may call it) the fallacia Suppositionis be not a Sophism, that far and wide infects the modern Reasonings, both in the mechanical Philosophy and in the abstruse and fine Geometry?

28. kérdés. Vajon a hipotézis-váltás vagy (ahogy nevezhetnénk) fallacia suppositionis14 nem szofizma, amely keresztül-kasul megfertőzte már a modern gondolkodást mind a mechanikai filozófiában, mind a nehezen érthető és szövevényes geometriában?

  • 14A kiinduló feltevés felcserélése, feltevés-tévesztés – A ford.

Query 29. Whether we can form an Idea or Notion of Velocity distinct from and exclusive of its Measures, as we can of Heat distinct from and exclusive of the Degrees on the Thermometer, by which it is measured? And whether this be not supposed in the Reasonings of modern Analysts?

29. kérdés. Ha a sebességet különválasztjuk és elhatároljuk mértékeitől, vajon képesek vagyunk-e ugyanígy ideát vagy fogalmat alkotni róla, mint a hőről, ha különválasztjuk és elhatároljuk a hőmérő fokaitól, amelyen mérik? És vajon nem ezt tételezik-e fel okoskodásaikban a modern analitikusok?

Query 30. Whether Motion can be conceived in a Point of Space? And if Motion cannot, whether Velocity can? And if not, whether a first or last Velocity can be conceived in a mere Limit, either initial or final, of the described Space?

30. kérdés. Vajon elképzelhető-e mozgás egy térbeli pontban? És ha mozgás nem, sebesség elképzelhető-e? Ha pedig nem, akkor hogyan képzelhető el egy első vagy utolsó (vég)-sebesség a leírt út kezdő- vagy végpontjában?

Query 31. Where there are no Increments, whether there can be any Ratio of Increments? Whether Nothings can be considered as proportional to real Quantities? Or whether to talk of their Proportions be not to talk Nonsense? Also in what Sense we are to understand the Proportion of a Surface to a Line, of an Area to an Ordinate? And whether Species or Numbers, though properly expressing Quantities which are not homogeneous, may yet be said to express their Proportion to each other?

31. kérdés. Nemlétező növekményeknek vajon van-e hányadosuk? És tekinthetünk-e nemlétezőket valóságos mennyiségekkel arányosaknak? Vajon nem értelmetlenség ilyen arányokról beszélni? És mit értsünk egy felületnek egy szakaszhoz vagy egy területnek egy ordinátához való arányán? És olyan kifejezések vagy számok, amelyek nem homogén mennyiségek arányát fejezik ki, tekinthetők-e valódi arányoknak?

Query 32. Whether if all assignable Circles may be squared, the Circle is not, to all intents and purposes, squared as well as the Parabola? Of whether a parabolical Area can in fact be measured more accurately than a Circular?

32. kérdés. Ha az összes megadható körök négyszögesíthetők, vajon nem tekinthető-e a kör négyszögesítése csakúgy, mint a paraboláé, minden szempontból megoldottnak? Vagy talán egy parabolikus terület csakugyan pontosabban megmérhető, mint egy körterület?

Query 33. Whether it would not be righter to approximate fairly, than to endeavour at Accuracy by Sophisms?

33. kérdés. Vajon nem lenne-e helyesebb tisztességes közelítéseket alkalmazni, mintsem szofizmákkal törekedni a pontosságra?

Query 34. Whether it would not be more decent to proceed by Trials and Inductions, than to pretend to demonstrate by false Principles?

34. kérdés. Vajon nem volna-e ildomosabb a próbálgatások és indukciók útját választani, mint hamis alapelvekkel bizonyítást színlelni?

Query 35. Whether there be not a way of arriving at Truth, although the Principles are not scientific, nor the Reasoning just? And whether such a way ought to be called a Knack or a Science?

35. kérdés. Vajon nincs-e mód igazsághoz jutni akkor is, ha sem az alapelvek nem tudományosak, sem az okoskodás nem helyes? És ezt a módot ügyeskedésnek kell-e neveznünk vagy tudománynak?

Query 36. Whether there can be Science of the Conclusion, where there is not Evidence of the Principles? And whether a Man can have Evidence of the Principles, without understanding them? And therefore, whether the Mathematicians of the present Age act like Men of Science, in taking so much more pains to apply their Principles, than to understand them?

36. kérdés. Vajon lehet-e tudományos egy olyan következmény, amelyet tudománytalan alapelvekből vontak le? És bírhat-e az ember tudományos ismerettel olyan elvekről, amelyeket nem ért? Korunk matematikusai tehát tudósként cselekszenek-e, amikor jóval több fáradságot szánnak alapelveik alkalmazására, mint megértésére?

Query 37. Whether the greatest Genius wrestling with false Principles may not be foiled? And whether accurate Quadratures can be obtained without new Postulata or Assumptions? And if not, whether those which are intelligible and consistent ought not to be preferred to the contrary? See Sect. XXVIII and XXIX.

37. kérdés. Vajon nem intő példa-e, hogy a legnagyobb géniusz sem birkózott meg a hamis alapelvekkel? És vajon előállíthatók-e pontos kvadratúrák új posztulátumok vagy feltevések nélkül? Ha pedig nem, akkor a felfogható és ellentmondásmentes posztulátumokat nem kellene-e előnyben részesíteni a felfoghatatlan és ellentmondó feltevésekkel szemben? Vö. 28. és 29. §.

Query 38. Whether tedious Calculations in Algebra and Fluxions be the likeliest Method to improve the Mind? And whether Mens being accustomed to reason altogether about Mathematical Signs and Figures, doth not make them at a loss how to reason without them?

38. kérdés. Vajon a fluxiók és a fárasztó algebrai számítások szolgáltatnák a leghathatósabb módszert az elme élesítésére? És vajon az, hogy az emberek annyira hozzászoktak már a matematikai jelekről és ábrákról való gondolkodáshoz, nem teszi-e képtelenné őket arra, hogy ezek nélkül gondolkodjanak?

Query 39. Whether, whatever readiness Analysts acquire in stating a Problem, or finding apt Expressions for Mathematical Quantities, the same doth necessarily infer a proportionable ability in conceiving and expressing other Matters?

39. kérdés. Az a készség, amelyre az analitikusok a problémák felállításában és a matematikai mennyiségek megfelelő kifejezéseinek megtalálásában szert tesznek, vajon szükségszerűen alkalmassá teszi-e őket ezzel arányos mértékben más dolgok helyes felfogására és kifejezésére is?

Query 40. Whether it be not a general Case or Rule, that one and the same Coefficient dividing equal Products gives equal Quotients? And yet whether such Coefficient can be interpreted by $o$ or nothing? Or whether any one will say, that if the Equation $2×o=5×o$, be divided by $o$, the Quotients on both Sides are equal? Whether therefore a Case may not be general with respect to all Quantities, and yet not extend to Nothings, or include the Case of Nothing? And whether the bringing Nothing under the notion of Quantity may not have betrayed Men into false Reasoning?

40. kérdés. Vajon nem általános szabály-e, hogy azonos szorzatokat azonos osztóval osztva a hányados is azonos lesz? És vajon tekinthető-e osztónak a $0$, vagyis a semmi? És akad-e valaki, aki azt mondaná, hogy ha a $2×0=5×0$ egyenletet $0$-val végigosztjuk, a hányadosok egyenlők lesznek? Vajon egy általános, minden mennyiségre érvényes szabály kiterjeszthető-e a nullára is? Vajon nem az vitte-e tévútra az emberek gondolkodását, hogy a nullára is kiterjesztették a mennyiség fogalmát?

Query 41. Whether in the most general Reasonings about Equalities and Proportions, Men may not demonstrate as well as in Geometry? Whether in such Demonstrations, they are not obliged to the same strict Reasoning as in Geometry? And whether such their Reasonings are not deduced from the same Axioms with those in Geometry? Whether therefore Algebra be not as truly a Science as Geometry?

41. kérdés. Vajon az arányokról és egyenletekről folytatott általános elmélkedések nem bizonyíthatók-e éppúgy, mint a geometriaiak? És e bizonyítások nem köteleznek-e ugyanolyan szigorú gondolkodásra, mint a geometriában? Vajon ezek a gondolatmenetek nem ugyanazokból az axiómákból indulnak-e ki, mint a geometriában? Vajon ezért az algebra nem ugyanolyan valódi tudomány-e, mint a geometria?

Query 42. Whether Men may not reason in Species as well as in Words? Whether the same Rules of Logic do not obtain in both Cases? And whether we have not a right to expect and demand the same Evidence in both?

42. kérdés. Vajon nem lehet-e ugyanúgy gondolkodni formulákban, mint szavakban? Vajon nem ugyanazok a logikai szabályok érvényesek-e mindkét esetre? És nem jogos-e elvárnunk és megkövetelnünk, hogy mindkettő egyformán nyilvánvaló legyen?

Query 43. Whether an Algebraist, Fluxionist, Geometrician, or Demonstrator of any kind can expect indulgence for obscure Principles or incorrect Reasonings? And whether an Algebraical Note or Species can at the end of a Process be interpreted in a Sense, which could not have been substituted for it at the beginning? Or whether any particular Supposition can come under a general Case which doth not consist with the reasoning thereof?

43. kérdés. Vajon elnézhetjük-e bárkinek is, foglalkozzék akár algebrával, akár geometriával, akár fluxiókkal vagy bármifajta bizonyítással, hogy az alapelvei zavarosak, okfejtései helytelenek? És megengedhető-e, hogy egy algebrai szimbólum vagy formula a vele végzett műveletsor végén olyan értelmezést kapjon, amely az elején még elfogadhatatlan lett volna? Vagy besorolható-e bármely különös feltevés egy általános eset alá, ha ez nem egyezik a feltevésre vonatkozó okfejtéssel?

Query 44. Whether the Difference between a mere Computer and a Man of Science be not, that the one computes on Principles clearly conceived, and by Rules evidently demonstrated, whereas the other doth not?

44. kérdés. Vajon egy tudós nem abban különbözik-e attól, aki csupán a számításokban jártas, hogy az egyik világosan felfogott alapelvek és nyilvánvalóan bebizonyított szabályok alapján végzi a számításokat, a másik pedig nem?

Query 45. Whether, although Geometry be a Science, and Algebra allowed to be a Science, and the Analytical a most excellent Method, in the Application nevertheless of the Analysis to Geometry, Men may not have admitted false Principles and wrong Methods of Reasoning?

45. kérdés. Tudván, hogy a geometria tudomány, és elfogadván, hogy az algebra is tudomány, az analitikus módszer pedig kiváló, vajon megengedhetők-e hamis alapelvek és helytelen okfejtések az analízisnek a geometriára való alkalmazásakor?

Query 46. Whether, although Algebraical Reasonings are admitted to be ever so just, when confined to Signs or Species as general Representatives of Quantity, you may not nevertheless fall into Error, if, when you limit them to stand for particular things, you do not limit your self to reason consistently with the Nature of such particular things? And whether such Error ought to be imputed to pure Algebra?

46. kérdés. Elfogadván tehát, hogy az algebrai okfejtések tökéletesen helyesek, ha a mennyiségek általános megjelenítőiként felfogott jelekre vagy műveletekre szorítkoznak, nem eshetünk-e vajon mégis tévedésbe, ha a jeleket meghatározott, különös dolgok jelölésére korlátozzuk ugyan, de önmagunkat nem korlátozzuk olyan okfejtésre, amely megegyezik a különös dolgok természetével? És vajon az effajta tévedés a tiszta algebra rovására írható?

Query 47. Whether the View of modern Mathematicians doth not rather seem to be the coming at an Expression by Artifice, than at the coming at Science by Demonstration?

47. kérdés. Vajon nem úgy látszik-e, hogy a modern matematikusok nézete szerint jobb különféle mesterkedések révén formulákhoz jutni, mint bizonyítások révén tudományhoz?

Query 48. Whether there may not be sound Metaphysics as well as unsound? Sound as well as unsound Logic? And whether the modern Analytics may not be brought under one of these Denominations, and which?

48. kérdés. Vajon értelmes metafizika nem lehetséges-e éppúgy, mint értelmetlen? Józan logika éppúgy, mint hibbant? És vajon besorolható-e a modern analízis e megnevezések valamelyike alá és melyik alá?

Query 49. Whether there be not really a Philosophia prima, a certain transcendental Science superior to and more extensive than Mathematics, which it might behove our modern Analysts rather to learn than despise?

49. kérdés. Vajon nem létezik-e valójában egy bizonyos philosophia prima, a matematikánál magasabb rendű és átfogóbb transzcendens tudomány, amelyet a modern analitikusoknak inkább illenék tanulni, mint megvetni?

Query 50. Whether ever since the recovery of Mathematical Learning, there have not been perpetual Disputes and Controversies among the Mathematicians? And whether this doth not disparage the Evidence of their Methods?

50. kérdés. Vajon a matematika tudományának felfedezése óta nincs-e örökös vita és nézeteltérés a matematikusok körében? És vajon nem költi ez rossz hírét módszereik megbízhatóságának?

Query 51. Whether any thing but Metaphysics and Logic can open the Eyes of Mathematicians and extricate them out of their Difficulties?

51. kérdés. Vajon a metafizikán és a logikán kívül képes-e bármi is felnyitni a matematikusok szemét és kihúzni őket a bajból?

Query 52. Whether upon the received Principles a Quantity can by any Division or Subdivision, though carried ever so far, be reduced to nothing?

52. kérdés. Vajon az elfogadott elvek alapján lehetséges-e, hogy zérust kapjunk végeredményül, ha egy mennyiséget osztunk vagy belőle gyököt vonunk, bármeddig folytassuk is e műveleteket?

Query 53. Whether if the end of Geometry be Practice, and this Practice be Measuring, and we measure only assignable Extensions, it will not follow that unlimited Approximations completely answer the Intention of Geometry?

53. kérdés. Ha a geometria célja gyakorlati, ha ez a gyakorlat a mérés, mérni pedig csak megadható kiterjedéseket lehet, akkor vajon nem az következik-e ebből, hogy a korlátlan közelítések teljesen megfelelnek a geometria céljainak?

Query 54. Whether the same things which are now done by Infinites may not be done by finite Quantities? And whether this would not be a great Relief to the Imaginations and Understandings of Mathematical Men?

54. kérdés. Vajon nem tehető-e meg mindaz véges mennyiségekkel is, ami a végtelenekkel? És vajon nem jelentene ez roppant könnyebbséget a matematikusok értelme és képzelete számára?

Query 55. Whether those Philomathematical Physicians, Anatomists, and Dealers in the Animal Oeconomy, who admit the Doctrine of Fluxions with an implicit Faith, can with a good grace insult other Men for believing what they do not comprehend?

55. kérdés. Vajon azok a matematikarajongó orvosok, anatómusok és zoológusok, akik feltétlen hittel fogadják el a fluxiók elméletét, szemére vethetik-e nyugodt lélekkel másoknak, hogy olyasmiben hisznek, amit nem értenek?

Query 56. Whether the Corpuscularian, Experimental, and Mathematical Philosophy so much cultivated in the last Age, hath not too much engrossed Mens Attention; some part whereof it might have usefully employed?

56. kérdés. Vajon a manapság oly elterjedt korpuszkuláris, kísérleti és matematikai filozófia nem kötötte-e le túlságosan is az emberek figyelmét, amelynek jó részét pedig hasznosabb dolgokra fordíthatnák?

Query 57. Whether from this, and other concurring Causes, the Minds of speculative Men have not been borne downward, to the debasing and stupifying of the higher Faculties? And whether we may not hence account for that prevailing Narrowness and Bigotry among many who pass for Men of Science, their Incapacity for things Moral, Intellectual, or Theological, their Proneness to measure all Truths by Sense and Experience of animal Life?

57. kérdés. Vajon emiatt és más hasonló okokból nem alacsonyult-e le az elméleti emberek gondolkodása olyannyira, hogy magasabb rendű képességeik elsatnyultak és megbénultak? És nem ezzel magyarázható-e, hogy a tudósnak számító emberek körében szűklátókörűség és elvakultság uralkodik, hogy érzéketlenek az erkölcsi, intellektuális és teológiai dolgokkal szemben, és hajlamosak minden igazságot az állatvilág érzékeivel és tapasztalataival mérni?

Query 58. Whether it be really an Effect of Thinking, that the same Men admire the great Author for his Fluxions, and deride him for his Religion?

58. kérdés. Vajon valóban gondolkodásra vall-e ha ugyanazok, akik csodálják a jeles szerzőt a fluxiókért, kigúnyolják vallásosságáért?

Query 59. If certain Philosophical Virtuosi of the present Age have no Religion, whether it can be said to be for want of Faith?

59. kérdés. Vajon a hitük kevés-e ahhoz korunk filozofáló természetbúvárainak, hogy vallásosak legyenek?

Query 60. Whether it be not a juster way of reasoning, to recommend Points of Faith from their Effects, than to demonstrate Mathematical Principles by their Conclusions?

60. kérdés. Vajon nem helyesebb módja-e az okoskodásnak, ha hittételeket ajánlunk hatásaik alapján, mintha matematikai elveket bizonyítunk következményeik alapján?

Query 61. Whether it be not less exceptionable to admit Points above Reason than contrary to Reason?

61. kérdés. Vajon nem kevésbé kifogásolható-e olyan tételeket elfogadni, amelyek meghaladják az értelmet, mint olyanokat, amelyek ellentétesek vele?

Query 62. Whether Mysteries may not with better right be allowed of in Divine Faith, than in Humane Science?

62. kérdés. Vajon a misztériumok jelenléte nem megengedhetőbb-e az Isteni Kinyilatkoztatásban, mint az Emberi Tudományban?

Query 63. Whether such Mathematicians as cry out against Mysteries, have ever examined their own Principles?

63. kérdés. Vajon azok a matematikusok, akik annyira tiltakoznak a misztériumok ellen, megvizsgálták-e valaha is saját alapelveiket?

Query 64. Whether Mathematicians, who are so delicate in religious Points, are strictly scrupulous in their own Science? Whether they do not submit to Authority, take things upon Trust, and believe Points inconceivable? Whether they have not their Mysteries, and what is more, their Repugnancies and Contradictions?

64. kérdés. Vajon azok a matematikusok, akik oly érzékenyek a vallási kérdéseket illetően, aggályos szigorral járnak-e el saját tudományukban? Nem hódolnak-e be a tekintélynek, nem fogadnak-e el tételeket vak bizalommal, és nem hisznek-e felfoghatatlan dolgokat? Vajon nekik nincsenek-e misztériumaik, mi több, elfogadhatatlan, és ellentmondásos tételeik?

Query 65. Whether it might not become Men, who are puzzled and perplexed about their own Principles, to judge warily, candidly, and modestly concerning other Matters?

65. kérdés. Vajon azok az emberek, akik saját alapelveiket illetően is tanácstalanok és zavarban vannak, alkalmasak-e arra, hogy más dolgokban körültekintően, elfogulatlanul és mértékletesen ítéljenek?

Query 66. Whether the modern Analytics do not furnish a strong argumentum ad hominem against the Philomathematical Infidels of these Times?

66. kérdés. Vajon a modern analízis nem szolgáltat-e erős argumentum ad hominemet a matematikarajongó hitetlenek ellen?

Query 67. Whether it follows from the abovementioned Remarks, that accurate and just Reasoning is the peculiar Character of the present Age? And whether the modern Growth of Infidelity can be ascribed to a Distinction so truly valuable?

67. kérdés. Vajon az következik-e az említett észrevételekből, hogy korunk sajátos jellemvonása a pontos és helyes gondolkodás? És vajon a hitetlenség növekedése manapság az oly dicséretes ítélőképesség növekedésének tulajdonítható-e?