Bizonyítások és cáfolatok

Lakatos Imre
Részlet
tudományfilozófia, matematika, bizonyítás
szóelválasztás

Egy probléma és egy sejtés

A dialógus egy képzeletbeli tanteremben folyik. A hallgatókat érdekelni kezdi egy Probléma: van-e összefüggés a poliéderek – különösen a szabályos poliéderekc csúcsainak, é éleinek és l lapjainak száma között, amely analóg a sokszögek csúcsainak és éleinek száma közti triviális összefüggéssel, vagyis azzal, hogy a sokszögeknek annyi csúcsa van ahány éle (c = é)? Ez az összefüggés teszi ugyanis lehetővé, hogy a sokszögeket az élek (vagy csúcsok) száma szerint osztályozzuk: háromszögek, négyszögek, ötszögek stb. Egy ezzel analóg összefüggés segítségével a poliédereket is osztályozni tudnánk.

Számtalan próbálkozás és tévedés után a hallgatók észreveszik, hogy minden szabályos poliéder esetében cé + l = 2.a Az egyik hallgató úgy véli, hogy ez mindenféle poliéderre alkalmazható. A többiek megpróbálják megcáfolni ezt a sejtést, sokféleképpen vizsgálgatják, de továbbra is igaznak bizonyul. Az eredmények alátámasztják a sejtést, és azt sugallják, hogy bizonyítható is. A probléma és a sejtés felvetését követően lépünk most be a tanterembe. A tanár épp arra készül, hogy bebizonyítsa a sejtést.


  • aEzt az összefüggést először Euler vette észre. (L. Euler: Elementa Doctrinae Solidorum. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 1758. 109–140. p.) Euler eredeti problémája a poliéderek osztályozása volt […]

Ómega: Ez igaz lehet. De a 4. szabály kétféleképpen értelmezhető. Mindeddig csak az első, gyengébb értelmezést vettük figyelembe: „könnyű finomítani és helyesbíteni a bizonyítást úgy, hogy a hamis lemmát egy némileg módosított lemmával cseréljük fel, amelyet majd az ellenpélda sem cáfol meg”; csupán a bizonyítás kicsit „gondosabb” vizsgálatára és egy „jelentéktelen módosításra” van szükség. Ebben az értelmezésben a 4. szabály csak helyi barkácsolás az eredeti bizonyítás keretein belül.

Én a másik – radikális – értelmezéssel értek egyet: a lemmát – vagy esetleg valamennyi lemmát – nem úgy próbáljuk kicserélni, hogy az adott bizonyításból a tartalom utolsó cseppjét is kifacsarjuk, hanem lehetőleg egy egészen más, átfogóbb, mélyebb bizonyítás kigondolásával.

Tanár: Például?

Ómega: Egyszer egy barátommal beszélgettem a Descartes–Euler-sejtésről, aki azonnal a következő bizonyítással próbálkozott: képzeljük a poliédert belül üresnek, valamilyen kemény anyagból, mondjuk kartonból készült felülettel. Belső felületére pontosan rá kell festeni az éleket. A belső rész legyen jól megvilágítva, s az egyik lapot tekintsük egy közönséges fényképezőgép lencséjének, mégpedig azt a lapot, amelyen át az összes élt és csúcsot szemléltető kép készíthető.

Szigma (félre): Fényképezőgép egy matematikai bizonyításban?

Ómega: Így egy síkbeli háló képét kapjuk, ez ugyanúgy kezelhető, mint a tanár úr bizonyításában alkalmazott hálórács. Az ott használt módszerrel be tudom bizonyítani, hogy ha a lapok egyszeresen összefüggők, akkor cé + l = 1, s a fényképen nem látható lencse-lapot még hozzávéve megkapom az Euler-formulát. A fő lemma itt az, hogy a poliédernek van egy olyan lapja, amely – átalakítva egy fényképezőgép lencséjévé – úgy fényképezi le a poliéder belsejét, hogy valamennyi él és csúcs rákerül a képre. Most a következő rövidítést vezetem be: ahelyett, hogy „egy poliéder, amelynek legalább egy olyan lapja van, amelyen át az egész belső rész lefényképezhető”, azt mondom, „egy kvázikonvex poliéder”.

Béta: A tételed tehát így hangzik: Minden olyan kvázikonvex poliéder, amelynek lapjai egyszeresen összefüggők, Euler-féle.

Ómega: A rövidség kedvéért és e rendkívüli bizonyítás kitalálója iránti tiszteletbőlb inkább így mondanám: „Minden Gergonne-féle poliéder Euler-féle”.

  • bGergonne bizonyítása Lhuilier egyik idézett művében található. (S. A. J. Lhuilier: Mémoire sur la polyèdrométrie. Idézett kiadás 177–179. p.) Az eredeti elgondolásban természetesen nem szerepelhettek fényképészeti eszközök. Ez így hangzik: „Vegyünk egy olyan poliédert, amelynek egyik lapja átlátszó, és képzeljük el, hogy szemünkkel olyan szorosan megközelítjük ezt a lapot, hogy valamennyi többi lap belső felülete észlelhető legyen…” Gergonne szerényen megjegyzi, hogy Cauchy bizonyítása mélyebb, mivel „megvan az az értékes előnye, hogy egyáltalán nem feltételezi a konvexitást”. (Az viszont nem jut eszébe Gergonne-nak, hogy megkérdezze, mit feltételez.) Később Jacob Steiner lényegében ugyanezt a bizonyítást fedezte fel újra. (J. Steiner: Leichter Beweis eines stereometrischen Satzes von Euler. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1826. 364–367. p.) Azután felhívták a figyelmét arra, hogy Gergonne-é az elsőbbség, mire elolvasta Lhuilier dolgozatát a kivételek felsorolásával együtt, de ez sem tartotta vissza attól, hogy bizonyítását a következő „tétellel” zárja: „Minden poliéder Euler-féle.” Steiner dolgozata tüzelte fel Hesselt – a németek Lhuilier-jét –, hogy megírja a maga tanulmányát. (J. F. Hessel: Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. Idézett kiadás.)

Gamma: De van sok egyszerű poliéder, amelyik – bár teljesen Euler-féle – olyan csúnyán horpadt, hogy egyetlen lapján át sem lehet a belső részét lefényképezni. Gergonne bizonyítása nem mélyebb Cauchyénál, ellenkezőleg, Cauchy bizonyítása a mélyebb!

Ómega: Hát persze! Szerintem a tanár úr ismerte Gergonne bizonyítását, néhány helyi, de nem globális ellenpélda segítségével rájött, hogy nem kielégítő, és ezért az optikai – fényképészeti – lemmát a gyengébb topológiai – kinyújtást alkalmazó – lemmával helyettesítette. Így a mélyebb, Cauchy-féle bizonyításhoz nem „gondos bizonyításelemzést” követő csekély módosítással, hanem egy radikális, képzeletdús újítás segítségével jutott el.

94–95. p.

Lakatos Imre (1922–1974) matematika- és tudományfilozófus is egyike a számos magyar tudósnak, akinek munkássága idegen földön teljesedett ki. Élete fordulatokban gazdag és ellentmondásokkal teli. Fiatal korában meggyőződéses kommunista volt, a háború után magas állami pozícióba jutott, aztán kizárták a pártból, és megjárta a recski munkatábort. 1956-ban disszidált, és a London School of Economics filozófia-tanszékének professzorává küzdötte föl magát, ahol Karl Popper utóda lett.

Lakatos a tudományfilozófiának egy új irányzatát, a kétségbevonhatóság filozófiáját fejlesztette ki, a matematika tanításának egy új elképzelését dolgozta ki, az ún. Lakatos-féle heurisztikát, amelyben egy problémából, egy sejtésből kiindulva párhuzamosan keresi a bizonyítást és az ellenpéldát. A Lakatos-féle heurisztikát a világon széles körben alkalmazzák mind az oktatásban, mind a kutatásban. Ennek elveit ismerhetjük meg a Proofs and Refutations (Bizonyítások és cáfolatok) című tanulmányból és a hozzá csatolt függelékekből.

Lakatos matematikus volt, de széles körű érdeklődése, műveltsége és eredeti gondolkodásmódja hatására nemcsak szűken értelmezett matematikai problémákkal foglalkozott. Jelentős eredményeket ért el metamatematikai, logikai, matematikai logikai, tudományelméleti és tudománytörténeti kutatásaival.

Forrás

Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok. Fordította Boreczky Elemér. Budapest: TypoTex Kiadó, 1998.