Möbius szalagok síklapokból

Böszörményi István
szobrász
7629 Pécs, Körös u. 21. Hungary e-mail: ujbosze@gmail.com
matematika, geometria, topológia, Möbius szalag

2012 augusztusában jelent meg Kaposváron, egy nagyszerű, színes ábrákkal illusztrált könyv, a matematikaoktatásról, geometriáról és művészetről. (Experiente-centered Approach and Visuality in the Education of Mathematics and Physics, 2012 Kaposvár University) Tudósokat és művészeket kértek föl rövid cikk írására. A felkérésben megszabták a cikk maximális terjedelmét, ami mindössze 2000 karakter lehetett. Ez a korlátozás adta az ötletet, hogy legfrissebb geometriai kalandozásaimról hasonlóan szigorú feltételek mellett számoljak be. Legfeljebb két oldalon, az illusztrációkat is beleértve, folytatásos formában. Megpróbáltam beállítani egy dózist, amely a diákoknak még fogyaszthatóvá teszi a geometriát. Kaposvári cikkemet Tanítványaimnak ajánlottam, ezt pedig nekik írtam.

Ám azt ők sem tudják, hogy összeállítottam egy másik levelezőlistát, néhány, a témát szerető és értő közeli ismerősömről. Tanítványaimmal azonos időben, nekik is elküldtem a cikkeket. Az epizódokat két hetenként postáztam. A szöveget most változatlan formában, egybe szerkesztve mutatom be.

Pécsett, 2013. április 28.

Böszörményi István

szóelválasztás

I

A Möbius szalag egy igen fura felület. Egy papírlapnak normális esetben két oldala van, erre akár két különböző ábra is rajzolható. (Ez rajzórán jól jöhet a diáknak, osztályzáskor viszont megbosszulja magát.) Ha egy papírszalagot megtekerünk, két végét egy félfordulattal összeillesztve, érdekes felületet kapunk. Ujjunkat végigvezetve tapasztalhatjuk, hogy az teljes felület végigsimítható anélkül, hogy felemelnénk róla a kezünket. Nehéz elfogadni, hogy az imént arról győződtünk meg, hogy papírlapunknak csupán egy oldala van. Ha a szalag peremét simítjuk végig, azt is beláthatjuk, hogy a teljes perem egyetlen folytonosan körbefutó él.

I/1. ábra
A Möbius szalagnak egy lapja és egy éle van. Felületén (a megcsavarás miatt) felcserélődik a jobb és a bal irány. Az ilyen felületet nem irányítható felületnek nevezik

Készíthető-e Möbius szalag síklapokból, avagy síkokra bontható-e a Möbius szalag kecses íve? Ha elég sok lap áll rendelkezésünkre, akkor belátható, hogy igen. Minél kevesebb síkot használunk, a Möbius szalag íve annál darabosabbá válik.

I/2. ábra
Möbius szalag 48 síklapból

Ne zavarjon minket, hogy az egyre szögletesebbé váló szalag már alig hasonlít az eredetire, mert alakja bár megváltozott, legfontosabb geometriai tulajdonságai változatlanok maradtak. Ugyanúgy végigvezethetjük az ujjunkat a teljes felületen, és az egyetlen körbefutó élen, ahogy az eredeti Möbius szalagon.

I/3. ábra
Möbius szalagok 24, 10 illetve 6 darab háromszögből. A figyelmes szemlélő észreveheti, hogy mindegyik szalagon található két szomszédos háromszög, mely azonos síkba helyezkedve, konkáv négyszöget alkot

A síklapokra bontáskor persze a lapok találkozásánál is megjelennek élek. Ezek akár össze is téveszthetők az eredeti Möbius szalagon körbefutó élekkel, de van egy fontos különbség közöttük. Az eredetileg körbe futó él, mindig egyetlen lap „pereme” míg a későbbiekben megjelent élek, mindig két síklap metszéspontjai. Az viszont könnyen belátható, hogy nem csökkenthetjük bármeddig a síkok számát. A mai kérdés az, hogy meddig csökkenthető a síkok száma? Azaz: Minimálisan hány síklap szükséges egy Möbius szalag elkészítéséhez?

Várom ötleteiket.

II

Előző alkalommal megvizsgáltuk a Möbius szalag néhány alapvető tulajdonságait. Beláttuk, hogy egyetlen oldala, és egyetlen körbefutó éle van. Megvizsgáltuk mi történik a Möbius szalagok síklapokra bontásakor. Azt tapasztaltuk, ha csökkentjük a lapok számát, akkor a szalag alakja radikálisan megváltozik, de alapvető geometriai tulajdonságai változatlanok maradnak. Végül feltettem a kérdést: Minimálisan hány síklap elegendő egy Möbius szalag létrehozásához?

II/1. ábra
Möbius szalagok 24 illetve 8 db háromszögből szerkesztve

Nos, a választ nem tudom, de sikerült 2 síklapból megépítenem, méghozzá többféle módon. (Viszont nem sikerült bebizonyítanom, hogy 2 síklap a minimálisan szükséges, ahogy azt sem sikerült bizonyítanom, hogy egy síklapból nem építhető Möbius szalag.) Ennél a feladatnál nem lehet hajlítgatni a síklapokat így a klasszikus egy szalagból hajlított Möbius nem megoldás.

Az elv a következő: Képzeljük el, hogy már valami módon a birtokunkban van egy két lapból álló Möbius szalag, és az egyik lapját pontosan élből látjuk. Nem látunk belőle többet, mint egy egyenes szakaszt. Ha ez a lap vízszintesen helyezkedik el, akkor egy vízszintes vonalnak látjuk. A másik lapot rendesen látjuk. Látjuk, hogy ez a lap elindul a vízszintes lap alsó oldaláról, megkerüli azt, és felülről csatlakozik ugyanannak a lapnak a túloldalához. Megvalósult a Möbius szalag. Ezt az elrendezést UG konfigurációnak nevezik, az U két vége azonos irányba mutat, míg a G irányfordítóként működik.

II/2. ábra
Figyeljük meg a G alakú lapot, a két pirossal jelölt él egy egyenesre esik, ám annak két különböző oldalára. Az U alakú lap kékkel jelölt élei szintén egy egyenesre esnek, de azonos oldalra. A két elemet összeillesztve, két lapból álló Möbius szalagot kapunk

Az ábra alapján otthon is elkészíthető a két lapból álló Möbius szalag. Hasonló elrendezésben számtalan variáció szerkeszthető akár kockás papíron is. Az ügyesebbek észrevehetik, hogy létezik más konfiguráció is nem csak az UG. Itt természetesen nem a V-re gondolok az U helyett, geometriailag a kettő ugyanaz.

II/3. ábra
Möbius szalag 2 síklapból, U és G elrendezés szerint Figyeljük meg, hogy a G a ludas abban, hogy átjutunk az U alakú lap túloldalára
II/4. ábra. Az előbbi modell fotókartonból elkészítve

Várom a variációkat, illetve a választ, milyen elrendezés létezik még az UG konfiguráción kívül?

III

Előző alkalommal sikerült két síklapból a Möbius szalagot. Láttuk, hogy az egyik elem, megkerüli a másik elem síkját, és annak túlsó oldalán csatlakozik. Az elrendezést UG konfigurációnak neveztük el. Variációkat kértem, továbbá, hogy találjanak egy ettől eltérő elrendezést, mely szintén kétlapú Möbius szalagot eredményez. Nos, variációk szép számmal akadnak, íme néhány:

III/1. ábra
Néhány variáció az UG elrendezésre. A piros színű élek összekötik a másik lap, ellentétes oldalait
III/2. ábra
Az előbbi elemek összeszerelve Möbius szalagot alkotnak

Az UG elrendezésben a G elem megkerüli az U szárait, s így kapcsolja össze annak felületének két oldalát. Ám nem feltétlen kell megkerülni az U-t. Át lehet kanyarogni annak két szára között is. Így egy másik elrendezés jön létre, az US, vagy ha jobban tetszik az UZ konfiguráció.

III/3. ábra
Két példa az US típusú elrendezésre. Az U lapok ezen túl pirossal jelölve
III/4. ábra
Az előbbi lapok megfelelő elrendezésben, Möbius szalagként. A második Möbius szalagnak mindössze 8 csúcsa van. Érdemes újfent kipróbálni, hogyan vezethető végig az ujjunk a teljes felületen, anélkül, hogy felemelnénk

Aki kipróbálta, tapasztalhatta, hogy a Möbius szalag elkészítéséhez, mindkét típusú elemre szükség van. Nem építhető meg csupán két azonos elemből. Sem U-ból, sem G-ből, sem S-ből. Ennek az az oka, hogy az irányfordító elemek (G, S) páros alkalmazása a szalag túloldalának a túloldalára visz, tehát oda, ahonnét indultunk. Két U összeragasztásával, pedig nem érhető el a túlsó oldal. Mint írtam mindkét típusú elemre szükség van, de ez az állítás azt jelenti-e, hogy kétlapú Möbius szalag csak különböző elemekből építhető meg! Avagy és ez a mai kérdés: Megépíthető-e a Möbius szalag két egybevágó sokszögből?

IV

Az előbbiekben sikerült létrehoznunk Möbius szalagot mindössze két sokszög felhasználásával, UG és US elrendezésben. Beláttuk, hogy a Möbius szalag létrehozásához, mindkét típusú elemre szükség van. Az irányfordítókra is (G, S) és az iránymegtartókra is (U). Mégis azt kérdeztem, lehetséges-e két azonos elemből, két egybevágó sokszögből Möbius szalagot létrehozni? Nos, olyan elemből, mely csakis az egyik tulajdonságot hordozza, mint láttuk, nem lehet. Ám létezhet olyan elem, mely egyszerre hordozza mindkét típus jellegzetességeit. Teszem azt, U és G egyben!

Az intuíció, hogy létezhet ilyen többfunkciós elem, valahonnan a biokémiai világából eredt, nem tudom pontosan felidézni, az intuíciókkal már csak előfordul az ilyesmi. Az enzimek kulcs-zár szisztémájával kapcsolatos, amikor az egyik fehérje molekula alakja meghatározza a vele reakcióba lépő másik molekula szerkezetét. Vagy tán a DNS spirálban kapcsolódó bázispárok szimmetriája.

IV/1. ábra
Ez a tizenhárom oldalú sokszög egyaránt rendelkezik az U és a G tulajdonságaival. A megfelelő részleteket sötétebb tónussal jelöltem
IV/2. ábra
A két egybevágó elem megfelelő elrendezésben egyoldalú felületet alkot. A figyelmes szemlélő hamar rájön, hogy az elemek többféle téri elrendezésben is összeilleszthetők
IV/3. ábra
További kettős tulajdonságú elemek. Ezek mindegyike képes önmagával párba állítva Möbius szalagot alkotni

Keressék meg és színezzék át a G illetve U tulajdonsággal rendelkező részeket! Próbálkozzanak további változatokat keresni!

IV/4. ábra
A fenti elemek önmagukkal Möbius szalagot alkotnak. Kérem, ellenőrizzék, hogy valóban egyoldalú felületekről van szó!

Kétségtelen érdekesek ezek a szerves kémiára és harckocsi akadályokra hajazó alakzatok, ám rengeteg fölösleges rész van rajtuk. Felületüknek csekély százaléka vesz részt a Möbius szalag létrehozásában, többi részei, amolyan ráaggatott fülekként viselkednek. Sikerült azonos elempárokból Möbius szalagot építeni, de a rendszer túlbonyolított. Lehet, hogy az U és G elemek nem igazán szeretnek közös tulajdonságokban egyesülni? Mi a helyzet a másik elrendezéssel?

Érdemes lenne olyan Möbius szalag elemeket keresni, amelyek U és S konfiguráció tulajdonságait egyesítik egyetlen sokszögben. Talán velük többre jutunk.

V

Előző részben sikerült olyan sokszöget terveznünk, mely önmagával párt alkotva, Möbius szalagot képez. Az UG közös elrendezés működőképesnek, ám túlbonyolítottnak bizonyult. Kértem tervezzenek olyan sokszögeket, melyek az US elrendezés alapján képesek önmagukkal Möbius szalagot alkotni. Talán ezek egyszerűbbek lesznek. Íme, néhány variáció:

V/1. ábra
Önmagukkal Möbius szalagot alkotni képes elemek US elrendezés alapján

Tapasztalhattuk, hogy némely esetben egészen „gazdaságos” elemekhez jutunk. Némely elem felületének nagy része mindkét típusú terület közös része.

V/2. ábra
Az UG elrendezésnél, sokkal egyszerűbb olyan sokszöget szerkeszteni, mely egyszerre rendelkezik S és U tulajdonságokkal. Ezúttal is sötét tónussal jelöltem az érintett részeket
V/3. ábra
Az előbbi sokszögek Möbius szalaggá ragasztása, két különböző módon
V/4. ábra
Négyzethálós papíron is szerkeszthetők US közös tulajdonságú elemek. Íme, az egyik legismertebb variáció. A világos tónussal jelölt elem funkcionál S-ként, a sötéttel színezett U-ként

Legközelebbi alkalomra, kérem, próbáljanak meg papírmodelleket készíteni, a fenti ábrák, illetve saját tervezés alapján. Higgyék el, megéri!

VI

A mai alkalommal csupán egy elemet vizsgálunk meg. Tizenegy csúcsával, és oldalával, nem tűnik különlegesnek, ennél jóval kevesebb csúccsal készíthető Möbius szalag alkatrész. Egyaránt rendelkezik az U és az S elemek sajátosságaival, és még valamivel: Figyeljünk csak!

VI/1. ábra
Két egybevágó elemből álló Möbius szalagba betoldható egy harmadik is

Ha ügyesek vagyunk, nem csupán két elem szerelhető össze, hanem beilleszthető egy harmadik is. Sőt, további elemek is beilleszthetőek, így készíthetünk négy illetve öt elemből álló variációt is. Kísérleteink során először megjelenik a szimmetria, méghozzá gyönyörű forgásszimmetria. A forgástengelyen elhelyezkedő központi csúcs, egy-egy szabályos tetraéder, oktaéder, és ikozaéder csúcsainak szögével egyezik. Ahogy szaporodnak a lapok, úgy csökken a csúcs magassága. Beilleszthetnénk egy hatodik lapot is, ez esetben a magasság nullára csökkenne, a rendszer egy szabályos hatszög alakú hópehelymintázatot alkotna.

VI/2. ábra
Három, négy illetve öt egybevágó elemből álló egy oldalú felület
VI/3. ábra. Még tovább építhetve megjelenik a tükörszimmetria

A központi csúcsot eltávolítva, nagyon szép, három elemből álló Möbius szalagot kapunk. A kilenc szögekből további sarkok csippenthetők le. Amire szükségünk van, az S belső éle és az hozzá kapcsolódó U megmaradt éle. Továbbá egy pont, az említett két élen kívüli részéről a lapnak. Ez összesen öt csúcs. Három ilyen elemből már Möbius szalag építhető, ez a tavalyi előadásomban bemutatott Ulrich Brehm Möbiusának szerkesztési elve. Ha most a levágnám a kifehérített sarkokat, akkor valószínűleg szerzői jogsértést követnék el. Kérem Önöket, meg ne forduljon a fejükben, hogy megteszik!

VI/4. ábra
Mai alapformánk csonkolásával, néhány lépéssel eljutunk Ulrich Brehm Möbius szalagjáig

Láttuk, hogyan készíthető Möbius szalag két síklapból. Találtunk olyan elemeket is, melyek önmagukkal párba állítva képesek Möbius szalagot alkotni. Ezek egyszerre teljesítik az U és G típusú elemek vagy az U és S elemek tulajdonságait. Vajon lehetséges-e olyan elemet tervezni, melyek mindhárom tulajdonsággal egyaránt rendelkeznek? Azaz, egyszerre U, G és S.

VII

Geometriai szappanoperánk lassan a végéhez közeledik. Harcedzett olvasóim már tudják, hogy kérdéseim valójában feladatok, s nem ússzák meg rajzolás nélkül. Legutóbb azt kérdeztem: Lehetséges-e olyan elemet tervezni, mely egyaránt rendelkezik mindhárom tulajdonsággal? Nos, azt hiszem, erre egyszerű válaszolni. Ha képesek voltunk két elemből hibridet előállítani, akkor ugyan mi akadályozhatná meg, hogy három vagy több elemet egyesítsünk szörnyszülötté? Tehát nem az a kérdés, hogy megszülhető-e, hanem az, hogy vajon hogy néz ki a bébi?

VII/1. ábra
Egybevágó sokszögek, melyek S, G és U tulajdonságaival rendelkeznek. Sötétebb árnyalattal jelölve az S, a G és az U-ként értelmezhető felületek. Az irányfordító élek pirossal, az iránytartók kékkel jelölve. Párosítsuk a megfelelő éleket, pirosakat a kékekhez. Hogy ne tévesszük el, gondoljunk a mágnes rúd színezésére, ahol az azonos színnel jelölt pólusok taszítják, egymást, a különböző színnel jelöltek, vonzzák
VII/2. ábra
Figyeljük meg, a sárga kék pár SU elrendezésű, ahol a sárga elem az S, míg a kék az U. Ugyanakkor a kék elem G ként is találkozik a pirossal, mely ez esetben U-ként viselkedik
VII/3. ábra
Ez egy másik elrendezés
VII/4. ábra
Ha egyszer egy üzlet beindul, négyzethálós füzetben tervezhető önmagukkal többféle módon is Möbius szalagot alkotó elemek. Néhány a számos variáció közül
VII/5. ábra
A függőleges elem U-ként működve alkot Möbius szalagot az azonos vízszintes elemmel, amely először S, majd G-ként kapcsolódik az U-hoz

Azt hiszem ez már nekem is egy kicsit bonyolult. Egyszerűsítsünk! Próbáljuk megtervezni azt a legegyszerűbb elemet, azaz legkevesebb oldalú sokszöget, mely önmagával párba állítva, Möbius szalagot alkot!

VIII

Elmúlt alkalommal azt kértem, próbáljuk megtervezni a legegyszerűbb Möbius szalag-elemet. Ehhez a feladathoz, egy kockás papír elegendő. Azt már láthattuk, hogy akárhogy is néz ki az elemünk, egyetlen fontos része van, az a két pár él, ahol egymáshoz csatlakoznak. A többi részlet egyelőre lényegtelen. Próbáljuk csak ezeket az éleket, a négyzethálós lapra rajzolni. Él, szünet, él és még egyszer él, szünet, él. Semmi sem tiltja, hogy mindegyik hossza egy négyzetrács egység legyen. Most próbáljuk meg ezt a két „lyukas szakaszt” különböző elrendezésben egymás mellé rajzolni. Ehhez maximum 8 pontra lesz szükségünk, a pontokat próbáljuk a legkevesebb egyenes vonallal összekötni, s máris készen vagyunk.

VIII/1. ábra
Egy matekfüzet lapján is megtervezhetők a Möbius szalag elemei
VIII/2. ábra
A két fontos él elhelyezkedése meghatározza, hogy minimum hány pontot kell még felvenni a Möbius szalag elem megrajzolásához. Az első két esetben plusz két pontra volt szükség, míg a harmadik elrendezésben elegendő volt a már meglévő hét csúcspont

Ez a mindössze hét csúcsból álló sokszög képes önmagával Möbius szalagot alkotni, méghozzá többféle variációban. A harmadik ábrán két különböző elrendezés látható. A lapok egymással bezárt szöge szabadon választható, a képen látható variációknál épp derékszög. A továbbiakban a középső változattal foglalkozunk. Látszólag alig különbözik a jobb szélső elrendezéstől, ám míg az utóbbi meddőnek bizonyul, ez továbbfejleszthető.

VIII/3. ábra
Az előző ábra konkáv hétszögéből, papírlapból kivágva Möbius szalag ragasztható

Tükörképével összeillesztve kétszeres Möbius szalag hozható létre. A négy egybevágó lap szabadon mozgatható, s elrendezése lehetővé teszi, hogy néhány síklap beillesztésével Klein palackot készítsünk. Ez azonban már egy másik történet.

VIII/4. ábra
Az így létrehozott Möbius szalag továbbfejleszthető Klein palackká
VIII/5. ábra
Klein palackok 11 síklapból, egybevágó lapokból szerkesztett Möbius szalagokkal

Ennyit egyelőre a Möbius szalagokról. Remélem nem voltam túlzottan fárasztó. Igyekeztem olyan jelenségekről írni, melyekre az elmúlt hetekben, egyedül bukkantam rá. Talán ez lehet az oka, hogy kissé eltértem a közismert Möbius szalag képtől. Akit ez érdekel, utána járhat, hiszen a témának bőséges irodalma van.

Köszönöm figyelmüket!

Források

Elektronikus kézirat.