Lewis Carroll valószínűségszámítási abszurdja

Székely J. Gábor
Részlet a Paradoxonok a véletlen matematikájában című kötetből
matematika, valószínűségszámítás, paradoxon

Az alábbi példával azt szeretném megmutatni, hogy – többek között – mivel foglalkozott Lewis Carroll, amikor nem gyerekkönyveket írt. Ez egyben valószínűsíti a széles körben elterjedt anekdotát, miszerint Viktória királynőt elbűvölték az Alice-könyvek, így arra kérte a szerzőt, hogy a következő művét is mutassa meg. Némi idő elteltével Carroll meg is jelent a királynőnél a differenciálegyenletekről szóló opusával.

szóelválasztás

„Az ész természetéhez tartozik,
hogy a dolgokat nem mint véletleneket,
hanem mint szükségszerűeket szemléli.”

Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel

A villámparadoxonok sorát valószínűségszámítási abszurdokkal, falláciákkal zárjuk, olyan feladatokkal, amelyekre helytelen megoldást adunk, az eredmények nyilvánvaló képtelenségek, de talán nem mindenki számára nyilvánvaló, hogy a megoldásban hol a hiba. Mind az irodalomban, mind a matematikában az abszurd nagy kedvelője volt Lewis Carroll (eredeti nevén Charles Dodgson), a leghíresebb angol gyerekkönyv: az Alice Csodaországban szerzője. (Nicolae Balota Abszurd irodalom című művében Carrollt a modern abszurd első számú előfutárának tekinti.) Carroll élete utolsó tíz évében erősen vonzódott a matematikai abszurd felé [utalhatunk a Curiosa Mathematica (1888) gyűjteményére vagy a Mind folyóirat 1895. áprilisi számában közölt cikkére]. Pillow Problems [Kedvenc feladatok] (1894) című művében a következő abszurd olvasható.

Egy zsákban két zseton van, mind a kettő vagy piros vagy fehér. Találjuk ki a zsetonok színét, anélkül, hogy megnéznénk azokat. Carroll szerint a helyes felelet mindenképpen a következő: az egyik piros, a másik fehér; indokolása így hangzott. Ha a zsákban két piros (P) és egy (F) zseton volna, akkor $\frac{2}{3}$ valószínűséggel húznánk a zsákból pirosat, és ennek a fordítottja is igaz: csak akkor $\frac{2}{3}$ a P húzásának valószínűsége, ha a zsákban két P és egy F zseton van. Tegyünk az eredetileg két zsetont tartalmazó zsákba még egy P zsetont. Ekkor a zsákban négy egyenlő esélyű ($\frac{1}{4}$ valószínűségű) zsetonösszetétel lehetséges: PPP, PFP, PPF, PFF. Ha az első a tényleges helyzet, akkor 1 valószínűséggel húzunk P-t, a második és harmadik esetben $\frac{2}{3}$ valószínűséggel, az utolsó esetben pedig 1/3 valószínűséggel. Ezek szerint a P húzásának a valószínűsége: $1 \times \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times ¼ = \frac{2}{3}$, ami az előbbiek szerint csak úgy lehetséges, ha a zsákban két P és egy F zseton van, tehát a P zseton hozzátétele előtt csak egy P és egy F lehetett a zsákban. A most kapott eredmény nyilvánvaló képtelenség, valahol tehát hibás a „levezetés”. Ennek a hibának a megkeresését az olvasóra bízzuk. (Biztatásul egy Lewis Carroll idézet: „Tudom, hogy képtelenséget beszélek… és emiatt nincs miért sírnom.”)

Jegyzet

Carroll levezetésében az első mondat szerint P húzásának valószínűsége akkor és csak akkor $\frac{2}{3}$, ha a zsákban két P és egy F zseton van. Ez az állítás adott zsetonösszetételre vonatkozik, azaz a PPP, PFP, PPF és PFF összetételek közül a két középsőre. (Ezek feltételes valószínűségek arra a feltételre nézve, hogy a zsetonösszetétel adott.) Ezek után Carroll kiszámítja a P húzásának abszolút (feltétel nélküli) valószínűségét (amely összetételre való tekintet nélkül érvényes). Ez „véletlenül” szintén $\frac{2}{3}$, ennek ellenére nem tévesztendő össze az első mondatban szereplő feltételes valószínűségekkel. Ezért az azokra történő hivatkozás hibás. (Csáki Péter)

Forrás

Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában. Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1982. 85. p.