A megtestesült analízis
Leonhard Euler

Pach János
matematika, analízis, Leonhard Euler

A Fény Százada

„A természeten s törvényein az éj sötétje ült.
Isten így szólt: Legyen Newton! S mindenre fény derült.”1

Ahhoz azonban, hogy ez a fény bevilágítsa Európát, hogy Newton felfedezései tért hódítsanak a tudományos világban, csaknem egy évszázadra volt szükség. A ragyogó XVIII. századra, melyet a franciák a Fény Századaként tartanak számon.

  • 1Alexander Pope Newton halálára írt verséből. FEHÉR MÁRTA: Utószó Newton A világ rendszeréről című művéhez. Magyar Helikon, Budapest, 1977. 394. p.

Talán jelképesnek is tekinthető az a tény, hogy a kor természettudományos érdeklődésének homlokterében — főleg Descartes óta — épp a fény viselkedésére, terjedésére vonatkozó problémák álltak. Ismeretes Newton szellemes alapkísérlete, melyben egy fehér fénynyalábot egy prizma segítségével szivárványszerű spektrumára húz szét, és megállapítja, hogy a spektrum egyszínű nyalábjai tovább már nem bonthatóak. A forradalmi gondolat útjában álló akadályok és előítéletek szívósságára jellemző, hogy — a természettudományokban és az optikában egyébként járatos — Goethe csaknem ötven évvel később még így fakadt ki:

„Newton matematikusként oly nagy hírű, hogy ama végképp szerencsétlen tévedése, miszerint a világos, tiszta, örökkön folttalan fény sötét fényekből tevődik össze, mind a mai napig tartja magát… Hanem azt mondja meg nekem valaki, hogy a színek Newton-féle összekotyvasztásából mi jó sült ki?”2

Néhány évtizeddel később művelt társaságban már aligha lehetett volna feltenni ezt a kérdést anélkül, hogy erős megütközést vagy élénk derültséget ne váltott volna ki.

  • 2Maximák és reflexiók, Goethe hagyatékából. GOETHE: Antik és modern. (Szerkesztő Pók Lajos.) Gondolat, Budapest, 1981. 886. p.

A XVIII. század, amely a történelemben addig példátlan módon járult hozzá a tudományok terjedéséhez, kétségtelenül a Franciák Százada volt.

„Egyedül Párizsban élnek az emberek, másutt csak vegetálnak”

— mondta a kor egyik legszínesebb egyénisége, a velencei kalandor: Giacomo Casanova.3 S valóban: Párizs megvalósítani látszott az életöröm és a kultúra permanens forradalmát. Arisztokraták, bankárok, nemesek és nagypolgárok egymással versengve nyitották meg fényűző szalonjaikat az „előkelő társaság” előtt, s ebbe a fogalomba — a régensség korának toleráns légkörében — alkalmasint mindenki belefért, aki „számított” vagy „számítani akart”. Politikusok és írók, természettudósok és vállalkozók, kereskedők és filozófusok estéről estére ott nyüzsögtek a csillogó fogadásokon, kerti mulatságokon, véget nem érő, gáláns ünnepségeken. Élvezték Rameau muzsikáját, gavottot táncoltak, udvaroltak, és közben könnyed, kifinomult szellemességgel vagy éppen maró gúnnyal vitatkoztak, társalogtak politikáról, művészetről és tudományról. Franciaország s így a szalonok társasága — tobzódott a zsenikben, és ez meghatározta a szókimondó viták és bizalmas beszélgetések szellemi színvonalát. Virágoztak az akadémiák és a szabadkőműves páholyok, egyre több közkönyvtár nyílt, irodalmi és tudományos lapok jelentek meg, megannyi lehetőség az „elme művelésére”, a párbeszédre, a kultúra terjesztésére. Európa csodálattal és irigykedve tekintett Párizsra, a királyi és fejedelmi udvarok egytől-egyig Versailles-szerű kastélyokba költöztek (az udvari nyelv is francia), és Berlintől Szentpétervárig tárt karokkal várták a francia építőmestereket és zenészeket, tudósokat és filozófusokat.

  • 3GEORGES DUBY—ROBERT MANDROU: A francia civilizáció ezer éve. Gondolat, Budapest, 1975. 369. p.

Mert a XVIII. század a Filozófusok Százada is volt. Elég csak egy pillantást vetni a nagy francia Enciklopédia szerzőinek névsorára: Buffon, d’Alembert, Diderot, Fontenelle, Holbach, Montesquieu, Rousseau, Voltaire… Hosszan folytathatnánk a felsorolást. „Sapere aude! Merj tudni!” — ez volt a felvilágosodás filozófusainak jelszava, s a zaklatások ellenére mindnyájan töretlen optimizmussal hittek az emberben, a „tiszta ész” erejében és a jövőben. Csak erősítette ezt a hitet, hogy a háttérben közben ott zajlott a „természetfilozófia” (értsd: fizika) csendes forradalma, amely csillagászati, optikai, áramlástani, mágnesességi problémák egész sorának megoldásához vezetett. Az ember minden dolgában a fizikához és a tapasztaláshoz forduljon, ezektől kérjen tanácsot vallásában, erkölcsében, törvénykezésében, kormányzatában, a tudományokban, a művészetekben, örömeiben és bajaiban” — írta Holbach!4 Nem meglepő tehát, hogy Descartes-tól Leibnizig oly sok filozófus volt egyúttal kiváló matematikus és fizikus is.

  • 4HOLBACH: A természet (ford. GYERGYAI ALBERT. lásd SIMONYI KÁROLY: A fizika kultúrtörténete. Gondolat, Budapest, 1978. 263. p.
Leonhard Euler (1707—1783) portréja
Emanuel Handmann (1718—1781) festménye, 1753
Jean Philippe Rameau
francia zeneszerző
(1683—1764)

Az enciklopédisták mozgalma persze korántsem volt egységes. Nem is lehetett volna teljes egyetértést várni ennyi ragyogóan tehetséges egyéniségtől, aki a párizsi szalonok zabolátlanul szókimondó vitáinak légkörében nőtt föl, ahol az, eredetiség, a kritikai szellem és a gyors válaszadás képessége volt a legnagyobb érték. Egy dologban azonban mindnyájan egyetértettek. Abban, hogy a legfőbb ellenség a katolikus egyház. (Voltaire klérusellenességében addig ment el, hogy majd minden írását az „Écrlinf” rövidítéssel zárta: „zúzzátok szét a gyalázatost!”.) A probléma gyökere azonban mélyebbre nyúlik. A fejlemények nemcsak az egyházat, de magát a vallást is alapjaiban rázták meg.

„Az ember tehát ne keressen ezen az ő világán kívül olyasféle lényeket, amelyelvtől a természet által megtagadott boldogságot reméli”

— írja, Holbach.

„E helyett tanulmányozza ezt a természetet, tanulja meg törvényeit, figyelje meg energiáját, s változatlan cselekvésmódját; alkalmazza felfedezéseit saját boldogságára, s engedelmeskedjék csendben azoknak a törvényeknek, amelyek alól semmi, de semmi se mentheti fel.”

S bár sokan vannak, akik nem teljesen osztják ezt a nézetet, annyi bizonyos, hogy az ateizmus és a deizmus különböző formái rohamosan tért (lódítanak, s a századvég Franciaországában már-már illetlenségszámba megy, ha valaki művelt társaságban vallásról beszél. 1776. július 4-én pedig az óceán túlsó partján Thomas Jefferson szinte magától értetődő természetességgel írja az Amerikai Függetlenségi Nyilatkozat elejére a következő szavakat „the pursuit of happiness”, „a boldogság keresése”. A XVIII. század a Vallás Trónfosztásának Százada.

A történelem azonban fittyet hány a szép szavaknak és a látványos címéknek. Leonhard Euler, minden idők egyik legzseniálisabb matematikusa és fizikusa aki a Franciák és Filozófusok Századában talán a legtöbbet tett fizikusa, aki a természettudományok fejlesztéséért, a newtoni gondolaton kidolgozásáért és terjesztéséért, se francia nem volt, sem pedig jelentékeny filozófus. Ráadásul eredetileg papi pályára készült, és élete végéig tradíciókhoz hű, mélyen vallásos ember maradt.

Az Ígéret Földje

Leonhard Euler 1707. április 15-én született Bázelban, abban a gazdag svájci kereskedő és egyetemi városban, amely a XVII—XVIII. szárad fordulóján egy jelentős matematikai iskola kibontakozásának volt a színtere. A bázeli iskola vezéralakjai a ragyogóan tehetséges, ám örökkön viszálykodó és féltékenykedő testvérek, Jakob és Johann Bernoulli voltak. Leonhard Euler édesapja, egy Bázel melletti kis falu (Riehen) kálvinista lelkipásztora, ifjúkorában maga is erősen vonzódott a matematikához, és rendszeresen látogatta Jakob Bernoulli egyetemi előadásait. Később jó barátságba heveredett a másik Bernoulli fivérrel, Johannal, akit valószínűleg ő bírt rá, hogy akkor már 16 éves fiának heti egy alkalommal különórákat adjon. A fiatal Euler rendkívül szorgalmas tanítványnak bizonyult. Hamarosan idejének legnagyobb részét a tanárától kapott feladatok megoldásával töltötte, s közben életre szóló barátságot kötött ennek két tehetséges fiával, Niklaus-szal és Daniel-lel. Egy évvel később, 1724-ben sikeresen befejezte teológiai, héber nyelvi és filozófiai tanulmányait a bázeli egyetemen, de ekkor már hallani sem akart apja kívánságáról, hogy a papi pályát válassza. Egy tudományos dolgozattal a háta mögött, 19 éves borában megpályázta az egyetem éppen megüresedett fizikaprofesszori székest. Sikertelenül. Minden bizonnyal ennek a kudarcnak volt köszönhető, hogy hamarosan végleg elhagyta szülőhazáját és Szentpétervárott próbált szerencsét. Európa legfiatalabb fővárosa a kortársak szemében az Ígéret Földjének tűnt.

A pétervári Tudományos Akadémia a Néva parton
(korabeli metszet)

Alig volt húsz éve, hogy az orosz történelem egyik legbecsvágyóbb uralkodója Nagy Péter cár (akinek nevéhez több legenda fűződik, mint a mi Mátyás királyunkéhoz) saját kezűleg rakta le a város alapjait, és hozzálátott egy központosított, modern állam szervezéséhez. A nagy áldozatukat igénylő, feszített tempójú közmunkák eredményeképpen néhány év múlva már csodálatos, barokk nagyváros körvonalai rajzolódtak ki a Néva partján. Sorra épültek a kollégiumok (mai értelemben vett szakminisztériumok), orvosképző és katonaiskolák, sőt a nagyralátó uralkodó — életének utolsó évében — még arra is gondolt, hogy létrehozza a Tudományok Akadémiáját (1725). A cárt egykori szeretője, később hitvese, I. Katalin követte a trónon, aki szívén viselte a tudományok sorsát. Az akadémia titkári teendőivel megbízott J. D. Schumacher segítségével Európa legkiválóbb tudósait próbálta megnyerni az egyes tudományos osztályok élére. A közel hatvan éves Johann Bernoulli már nem vállalkozott arra, hogy Oroszországba települjön. Fiait azonban elküldte Pétervárra, ahol 1725-ben mindketten jól fizetett professzori állást kaptak. Daniel Bernoulli nem sokkal megérkezése után levélben értesítette Eulert arról, hogy várhatóan megüresedik egy hely az akadémia fiziológiai és anatómiai osztályán. Euler egy év leforgása alatt letette a szükséges vizsgákat az egyetem orvosi karán, majd 1727. április 5-én hajóra szállt a Rajnán, hogy végleg elhagyja Bázelt. Hat héttel később érkezett Szentpétervárra, épp azon a napon, amikor I. Katalin cárnő meghalt.

Thomas Jefferson
(1743—1826)
amerikai államférfi, az USA harmadik elnöke
(1801—1809)
I. (Nagy) Péter
(1672—1725)
orosz cár
(1698—1725)
I. Katalin
(1684—1727)
orosz cárnő
(1725—1727)

Az akadémia léte egy csapásra kérdésessé vált, és úgy tűnt, hogy a külföldi tudósoknak el kell hagyniuk az országot. Euler gondolt egyet, és a biztos megélhetés reményében hadnagyként az orosz flotta szolgálatába állt. A hatalomért folytatott éles küzdelem során egyszer az új, másszor a régi arisztokrácia képviselői, Mensikovok vagy Dolgorukijok kerültek többségbe a legfelsőbb Titkos Tanácsban, s ez mindannyiszor kisebb palotaforradalommal ért fel.5 Az alulmaradtakra többnyire száműzetés várt. Az akadémiáról ilyen körülmények között szerencsére mindenki megfeledkezett. A külföldiek maradhattak, de nem csoda, ha többen nem látták biztosítottnak hosszú távú karrierjüket Pétervárott. Így történt, hogy 1730-ban a bázeli iskola egy másik jelentős alakja, Jakob Hermann úgy döntött, hogy visszatér hazájába. A fizikai osztály vezetését Eulernak ajánlották fel, aki örömmel vált meg katonai rangjától. S bár I. Anna trónralépése után a helyzet valamelyest normalizálódott, három évvel később Daniel Bernoulli is otthagyta Oroszországot, helyette pedig az akadémia matematikai osztályának élére a 26 éves Eulert nevezték ki. Euler még ugyanebben az évben megnősült. Felesége, Katharina Gsell, a Pétervári Festészeti Akadémia ugyancsak svájci származású igazgatójának lánya, aki az évek során 13 gyermekkel ajándékozta meg.

  • 5lásd Világtörténet (szerk. J. J. ZUTYISZ). Kossuth, Budapest, 1964. V. k. 385. p.

Niklaus Bernoulli korai halálával és Daniel Bernoulli elutazásával Euler elveszítette két legjobb barátját, és csaknem teljesen visszavonult a társasági élettől. A személyes kapcsolaton fesztelenségét és a pörhangulatot amúgy is mérgezte, hogy a cárnő az oligarchák elleni harcában fizetett besúgók egész hadát vetette be, akik a legszűkebb körű összejövetelekre is beférkőztek. Euler ettől kezdve minden idejét családjának és a tudománynak szentelte, s e két dolog összehangolása — úgy tűnik — a legcsekélyebb gondot sem okozott számára. Egy korabeli anekdota szerint6 a vacsorára hívó első és második gongszó közötti fél órában Euler könnyedén papírra vetette legfrissebb matematikai dolgozatát, csöppet sem zavartatva magát attól a körülménytől, hogy nyakában egyik, térdén pedig másik gyermeke lovagolt. Az elkészült cikket általában az íróasztala szélén publikálásra váró halomnyi írás tetejére helyezte, s amikor az akadémiai közlemények (Commentarii Acad. Sci. Imperialis Petropolitanae) újabb kötetének előkészítésére került sor, a titkár néhány dolgozatot egyszerűen leemelt a köteg tetejéről. Így eshetett meg, hogy Euler egyes cikksorozatai épp a megírás időpontjaival ellentétes sorrendben jelentek meg. Az elsőként közölt dolgozat annak a problémának a teljes megoldását adta, melyet a szerző csak egy jóval később megjelent cikkében vázolt föl.

  • 6E. T. BELL: Men of mathematics. Simon and Schuster, 1965. 146. p.

Leonard Euler ontotta magából a szebbnél szebb eredményeket, tudományos felfedezéseket, azzal a természetes könnyedséggel, ami élete végéig minden munkáját jellemezte. Találóan írta róla a francia csillagász, Dominique Arago, hogy

„számításait minden látható erőfeszítés nélkül végzi. Úgy, ahogy az ember lélegzik, vagy ahogy a sas szárnyal”.7

Korai dolgozatai még a Bernoulli-iskola szellemében fogantak, főképp variációszámítási kérdésekről egyes differenciáleqyenletek megoldásairól és az izoperimetrikus problémáról. Érdeklődése azonban mindenre kiterjedt, ami közvetve vagy közvetlenül a matematikával kapcsolatos. 1731-ben például zeneelméleti, néhány évvel később pedig hajózási szakkönyvet írt.8 Itt is elsősorban a problémák matematikai analízise foglalkoztatta: kidolgozta a rezgéselméletet, leírta a rezonancia jelenségét és behatóan tanulmányozta a statikát. A felvonultatott impozáns matematikai apparátus mindig a problémák velejéig hatolt, még akkor is, ha a vizsgált modell néhol túl absztraktnak, a valóságtól elrugaszkodottnak tűnt. 1731. augusztus 11-én kelt meleg hangú levelében9 Johann Bernoulli így dicsérte Euler zeneelméleti munkáját:

„könyve nagyon tetszett, mert… bizonyítja, hogy egy matematikus képes lehet minden tudomány kifejtésére, míg azok a mesterek, akik csak a gyakorlat emberei, a saját művészetükről is úgy írnak, akár egy vak a színekről”.

Ugyanaz az ész erejébe vetett rendíthetetlen hit csendül ki ezekből a sorokból, mellyel a felvilágosodás filozófusai ajándékozták meg a világot.

  • 7ARAGO: Werke. 1854. II. k. 109. p.
  • 8Tentamen novae theoriae musicae és Scientia navalis sen tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Leonhardi Euleri Opera Omnia, Berlin—Göttingen—Leipzig—Heidelberg, Ser III, I. k. és ser. II., XVIII—XIX. kötet.
  • 9J. ber. der Mathematik 23 (1842), 200. p.

Közismert tény, hogy a modern fizika „bibliájában”, a Principiában10 Newton nem alkalmazta a tőle (és Leibniztől) származó infinitezimális módszereket, a differenciál- és integrálszámítást. Az eredmények zömének bizonyítása olyan ad hoc ötletekre épül, melyek megértése igencsak próbára tehette az egykori olvasót. Euler felbecsülhetetlen érdeme, hogy 1736-ban megírta az újkor első fizikatankönyvét, melynek címe: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (A mozgás tudományának analitikus tárgyalása).11 A kétkötetes mű „királyi utat” kínál a newtoni mechanika megértéséhez. Az elemi matematikában járatos olvasó egy világos és egyszerű bevezető rész után, minden nehézség nélkül juthat el a dinamika alaktörvényeihez. A mű hatása felmérhetetlenül nagy volt. A mechanika egy csapásra a geometriához hasonlítható egzakt mintatudománnyá vált, amely része az általános természettudományos műveltségnek. A könyvet még több mint száz évvel később is érdemesnek találták arra, hogy német nyelven, nagy példányszámban megjelentessék; a benne bevezetett jelölésrendszert napjainkig használják, példái, feladatai jórészét pedig fellelhetjük a mai fizikatankönyvekben is.

  • 10Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. London, 1687 (Cambridge, 1972).
  • 11Opera Omnia. ser. II., I—II. k.

Euler tehát nem hiába települt Oroszországba. Harminc éves fejjel elérte mindazt, amiről Bázelben csak álmodott, neve és művei bejárták a tudományos világot, Európa egyik legkiválóbb matematikusaként tartották számon. Tudományos munkája mellett messzemenően eleget tett az akadémiai tagsággal járó minden kötelezettségének: részt vett a súly- és mértékrendszer reformjának előkészítésében, a földmérési hivatal munkájában és számtankönyvet írt az orosz gimnáziumon számára. Hihetetlen munkabírással dolgozott. Amikor 1735-ben a párizsi akadémia díjat tűzött ki egy bolygók pályájával kapcsolatos probléma megoldására, Euler nekilátott, kidolgozott egy szellemes módszert, és háromnapos megfeszített munkával éjt nappallá téve a legapróbb számításokat is elvégezte. Valószínű, hogy ennek a rendkívüli megerőltetésnek is része volt abban, hogy jobbszeme előbb begyulladt, majd teljesen használhatatlanná vált.12 Ez a szomorú közjáték azonban cseppet sem szegte munkakedvét. Életének legtermékenyebb évei csak ezután következtek.

  • 12Ezt kétségbevonja G. ENESTRÖM. Bibliotheca Mathematica 3. Folge, 10 (1910), 308. p.

Két zseni viszálykodása

Anna Ivanovna (I. Anna) (1693—1740) orosz cárnő (1730—1740)

1740-ben meghalt I. Frigyes Vilmos porosz király, a katonaállam megteremtője, „őrmester a trónon”, aki minden bizonnyal korának egyik legműveletlenebb és legotrombább uralkodója volt. Minisztereit rendszeresen pofozta, fiát — a későbbi Nagy Frigyest — pedig, aki lelkesedett a francia kultúráért és levelezésben állt a legkiválóbb filozófusokkal, börtönbe csukatta. Az 1700-ban alapított Tudományos Társulatot (Societät der Wissenschaften) egy 1731-ben kiadott rendeletében egyszerűen „udvari bolondok gyülekezetének” titulálta, a társaság munkáját pedig szinte teljesen elfojtotta.

Az 1740 májusában trónra lépő Nagy Frigyes a hadsereg fejlesztése mellett legfontosabb feladatának egy színvonalas akadémia létrehozását tekintette, és azonnal hozzálátott kiváló tudósok toborzásához. Voltaire tanácsára már két héttel később levelet írt U. F. von Suhm pétervári követnek, hogy próbálja megnyerni Eulert a létrehozandó matematikai osztály élére.13 Még ugyanebben az évben meghalt I. Anna cárnő is, és Oroszországban ismét fellángoltak a belpolitikai harcok. Ilyen körülmények között Euler elérkezettnek látta az időt, hogy otthagyja Pétervárt és örömmel fogadta a király rendkívül kedvező ajánlatát.

  • 13Oeuvres de Frédéric le Grand. Decker, 1858, XVI, k. 391. p.
I. Frigyes Vilmos
(1688—1740)
porosz király
(1713—1740)

Családjával 1741. július 25-én érkezett Berlinbe. Közben Poroszország háborút indított a Habsburg-birodalom ellen az iparilag rendkívül fontos Szilézia birtoklásáért, és az akadémia újjászervezése egyelőre lekerült a napirendről. Nagy Frigyes mégis hamarosan személyes kihallgatáson fogadta Eulert. Az európai felvilágosodás két ragyogó alakja találkozott egymással; mindegyik zseni a maga területén, de alig lehetne elképzelni náluk ellentétesebb egyéniségeket. A király — korának egyik legkiválóbb stratégája — teljesen a francia humán kultúra hatása alatt állt. Potsdami kastélyában kiváló francia írókat, filozófusokat látott vendégül (egyebek között Voltaire-t), a németek többségét pedig mélyen megvetette. Jól játszott hangszereken és szellemes epigrammákat rögtönzött — többnyire franciául, hiszen a németet „kocsisnyelvnek” tartotta, amely irodalmi célokra teljességgel alkalmatlan.14 Euler legszívesebben anyanyelvén (svájci németül) szólalt meg, kissé naiv módján gyakran félreértette a szellemes csipkelődéseket, és filozófiában való járatlansága sokszor köznevetség tárgya volt. S bár a klasszikus irodalmat eredetiben olvasta, a divatos francia szerzők egyikének-másikának még a nevét sem hallotta. Euler első baklövését már a királyi kihallgatáson elkövette.15 Az anyakirálynő rendkívül szívélyesen és őszinte érdeklődéssel fogadta. Fél órán keresztül különböző kérdésekkel ostromolta, de mindig kurta, visszautasító választ kapott. Mikor ezt megsokallta, így fordult Eulerhez:

— „Uram, miért nem akar Ön velem beszélgetni?”

— „Madame” — hangzott a rövid válasz — „én egy olyan országból jövök, ahol az ember a fejével fizethet azért, ha kinyitja a száját”.

  • 14lásd SZERB ANTAL: A világirodalom története. V. kiadás, Magvető Könyvkiadó, Budapest, 1973. 421. p.
  • 15M. J. A. N. Caritat de Condorcet: Eloge de M. Leonard Euler. Hist. Mém. Ac. Sc. Paris, 1783, Oeuvres (Edition d’Arago), 1847. III. k. 6. p.

Nem csoda, ha Nagy Frigyes és Euler között már első találkozásukkor kölcsönös ellenszenv ébredt, és viszonyuk a későbbiekben csak még jobban elmérgesedett.

Eulert azonban nem olyan fából faragták, hogy kedvét szegték volna az efféle nehézségek. Töretlen szorgalommal dolgozott most is, úttörő jelentőségű eredményeket ért el a matematika szinte minden ágában, és évről évre megjelentetett egy-egy nagyszabású tankönyvet. Ezek egyike (Az artilléria új alapelvei16) hadászati jelentősége miatt még a király tetszését is elnyerte. A könyv tulajdonképpen Benjamin Robins hasonló című, angol nyelvű munkája fordításának készült, amely rendkívül precízen végrehajtott kísérletek eredményeit közli. Eulert a légellenállás kérdése már korábban is foglalkoztatta, úgyhogy lelkesen fogott hozzá a mérési eredmények analizálásához. A könyvet a differenciálszámítási módszerek alkalmazásával teljesen átdolgozta. Így született az első elméleti ballisztikai tankönyv, melynek sikerére jellemző, hogy hamarosan visszafordították angolra és megjelentettk franciául is. Minden bizonnyal a fiatal Napóleon is ebből a könyvből tanult.

  • 16Neue Grundsätze der Artillerie. Opera Omnia. ser. II., XIV. k. 49. p.

Euler már említett zeneelméleti munkájáról Nagy Frigyesnek korántsem volt olyan jó véleménye, mint az Artillériáról. Egyik esszéjében maró gúnnyal így írt:

„Egy bizonyos geométer, aki a sok számolástól elveszítette fél szemét, arra gondolt, hogy menüettet komponál $a$ plusz $b$-kből. Ha ezt bemutatták volna Apollón előtt, szegény matematikust biztos elevenen megnyúzzák, akárcsak Marsyast.”17

Másutt a király így gúnyolódott:

„Egyszer színházba ment Euklidesz fia,
És dolgozni kezdett rögtön az agya.
Se látott, se hallott, feje félredőlt
És számolni kezdett hang- és fényerőt,
Hogy honnan verődik majd vissza a hang,
Ha felzúg a taps és kondul a gong.
Bár megkapta ő az egyenlet gyökét,
Már ebben se lelte semmi gyönyörét,
Undorral az arcán egyszercsak felállt,
Kiment és bevágta a páholy ajtaját.”18
  • 17Frédéric le Grand: i. m. IX. k. 64. p.
  • 18Frédéric le Grand: Sur les plaisirs. I. m. X. k. 169. p.

Az ilyen és hasonló csipkelődések dacára Euler helyzete Berlinben lassan megszilárdult, tudományos tekintélyét senki sem vonta kétségbe. Tovább javult a helyzet, amikor 1744-ben a hivatalosan is újjászervezett akadémia elnöki tisztét Nagy Frigyes Maupertuis-re bízta, aki Eulert nemcsak becsülte,
de szerette is. A matematikai osztály élére Eulert nevezték ki, bár a király egy pillanatig habozott, vajon Lambert nem lenne-e alkalmasabb erre a posztra. D’Alembert azonban gyorsan lebeszélte tervéről, ami annál is könnyebben ment, mert ez uralkodónak Lambertről sem lehetett valami hízelgő véleménye: egyik levelében egyszerűen „marhának” titulálta.

Még ugyanebben az évben megjelent Euler híres variációszámítási könyve, melyben a Bernoulli-iskola eredményeit messze túlszárnyalva, megveti a modern rugalmasságtan alapjait.19 Az itt levezetett nevezetes formulákat ma is változatlan alakban használják hidak és vázszerkezetek tervezésénél. Nem sokkal később Euler még három megy jelentőségű fizikai felfedezést tett. Először is bebizonyította, hogy a newtoni axiómák érvényessége a tömegpontról kiterjeszthető pontrendszerekre is, és ezzel lehetővé vált a merev testek és folyadékok mozgásának leírása. Ez utóbbi téma kidolgozásánál, a tudomány történetében először, felírta az áramlásokra vonatkozó folytonossági egyenletet, ami az anyagmegmaradás elvével ekvivalens. Másik nagy felfedezése, hogy matematikailag teljesen precíz formába öntötte és a fénytörés jelenségére alkalmazta a (Fermat és Maupertuis által már — metafizikai meggondolásokkal és részben hibásan — kikövetkeztetett) minimumtörvényt: a legkisebb hatás elvét. Harmadik nagy felismerése szintén az optikával kapcsolatos. Ismeretes, hogy Newtont az a bátor hipotézise vezette fénytani felfedezéseihez, hogy a tárgyak képét határoló tarka kontúr, melyet távcsőbe nézve oly gyakran észleltek, talán nem lencsehibával, a csiszolás elégtelenségével magyarázható, hanem a fénytörés természetéből következik. Ezt a feltételezését hamarosan kétséget kizáróan be is bizonyította. Ettől kezdve a csillagászok csak tükrös távcsövek építésén fáradoztak. Euler jött rá, hogy a newtoni optika (Newton felfogásával ellentétyen) nem zárja ki ún. akromatikus lencse létezését. Meglepő elgondolása az volt, hogy ilyen lencsét két különböző törésmutatójú üveg összeillesztésével lehet készíteni, és ezt számításokkal igazolta is. 1757-ben Dolland, angol optikus Euler előírásai szerint megkonstruálta az első akromatikus lencsét. Euler saját szerteágazó munkásságával bizonyította, hogy az analízis új módszerei a gyakorlati élet szinte minden területén sikerrel alkalmazhatóak, s ezzel elindította a matematikát máig tartó hódító útján.

  • 19Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Opera Omnia. Ser. I., XXIV. kötet.

A „tiszta” matematikában ez idő tájt elért eredményei döntően befolyásolták a tudomány fejlődését, és jelentőségükben cseppet sem maradnak el az eddig ismertetettektől. 1749-ben például majdnem hiánytalan bizonyítást közölt az algebra alaptételére (ezt fél évszázaddal később Gauss tökéletesítette), és egy sor speciális magasabb fokú egyenlet megoldására adott gyökképletet. A Moszkvában élő német polihisztorral, Goldbachhal folytatott levelezése keltette föl érdeklődését a számelmélet iránt.20 1750-ben kezdte vizsgálni az ún. barátságos számokat; néhány évvel később pedig bevezette az azóta róla elnevezett $\varphi$ függvényt ($\varphi(n)$ jelöli az $n$-nél kisebb, hozzá képest relatív prím pozitív egészek számát), melyre több összefüggést igazolt. Bebizonyította, hogy minden $4n+1$ alakú prímszám felbomlik két négyzetszám összegére, és ezzel kapcsolatban eljutott a kvadratikus maradék fogalmához. Tőle származik a témakör alaptétele is, a tévesen Legendre-nak tulajdonított reciprocitási tétel.21 1748-ban megjelent könyve, az Introductio in Analysin Infinitorum (Bevezetés a végtelenek analízisébe) több szempontból is rendkívül jelentős. Megtalálható benne a lánctörtek elméletének első részletes leírása, a nevezetes

\[ \sum _{i=1}^{\infty}\frac{1}{{i}^{2}}=\frac{{\pi}^{2}}{6} \]

összegképlet, számtalan más sorfejtés igazolása, továbbá az exponenciális és trigonometrikus függvények közötti összefüggést demonstráló híres Euler-formulák:

\[ {\displaystyle \sin{x}=\frac{{e}^{ix}-{e}^{-ix}}{2i}},\cos{x}={\displaystyle \frac{{e}^{ix}+{e}^{-ix}}{2}} \]
  • 20Leonhard Euler und Christian Goldbach, Briefwechsel 1729—1764 (herausgegeben und eingeleitet von A. P. JUŠKEVIČ und E. WINTER). Akademie-Verlag, Berlin, 1965.
  • 21Lásd LEONHARD EULER: Theoremata circa divisores numerorum in hac forma: $pa^{2} ± qb^{2}$. Commentarii Academiae Petropolitanae 14 (1744—46), 151—181. p.

A könyvben bevezetett szimbólum- és jelölésrendszer gyorsan elterjedt, és lényegében azonos a máig használatossal. Végül két elemi geometriai eredményt emelünk ki a berlini évek gazdag terméséből. Az egyik szerint bármely háromszög magasságpontja, súlypontja és körülírt körének középpontja egy egyenesre esik. A másik tétel azt mondja, hogy

\[ C\text{-vel, }E\text{-vel, illetve }L\text{-lel} \]

jelölve egy poliéder csúcsainak, éleinek, illetve lapjainak számát a

\[ C-E+L=2 \]

összefüggés áll fenn.

Tudományos munkája mellett Euler messzemenő lelkiismeretességgel teljesítette mindazokat a megbízásokat, melyeket a királyi udvartól kapott. Szakértőként részt vett az Oderát a Havellel összekötő — máig működő — csatorna szabályozásában, a schönebecki sóbánya munkálatainak beindításában, a hallei egyetem átszervezésében, sőt, olyan kérdésekben is kikérték véleményét, mint például egy nagyszabású nyilvános lottójáték megindítása, egyes orosz nyelvű diplomáciai jegyzékek értelmezése vagy a Sanssouci park szökőkútjának tervezése.22 A vállára nehezedő terhek csak súlyosbodtak, amikor 1759-ben meghalt legfőbb berlini támasza, barátja és jótevője: Maupertuis. Ezzel az akadémia irányításával járó adminisztratív gondok teljesen Eulerre hárultak. Az ellentétek ismeretében nem meglepő, hogy a király vonakodott Euler ideiglenes elnöki megbízatásának állandósításától. Erre a posztra mindenképp d’Alembert-t kívánta megnyerni, akit az Euler jövedelmét egy nagyságrenddel meghaladó, kivételes fizetésajánlat sem tudott elcsábítani Párizsból. Nagy Frigyes öt évvel később formálisan végül magát nevezte ki az akadémia elnökévé, bizottságokat ültetett Euler nyakába és a legfontosabb kérdésekben levél útján továbbra is d’Alembert-hez fordult tanácsért.

  • 22Ezzel a munkával a király elégedetlen lehetett. Lucchesini szerint egy beszélgetés során azt mondta, hogy „Euler két hibát követett el. Először is, hogy Berlint olyan városnak tartotta, ahol bármi keresnivalója van. Másodszor: rosszul vezette a csatornát a Sanssouci kert szökőkútjához”. Lásd G. Valentin: Leonhard Euler in Berlin, Festschrift zur Feier des 200. Geburtstages Leonhard Eulers. Teubner, Leipzig—Berlin, 1907.

Közben 1762-ben Nagy Katalin személyében igen művelt, rátermett és erőskezű uralkodó, lépett az orosz trónra, aki — a porosz királyhoz hasonlóan — nagy tisztelője volt a francia filozófiának, és hosszú uralkodása idején sokat tett az orosz kultúra felvirágoztatásáért. A császárnő minden bizonnyal tökéletesen tisztában volt Euler nehéz helyzetével amikor felvetette, hogy települjön vissza Pétervárra.23 Az anyagi feltételek is rendkívül kedvezőek voltak: évi 3000 rubeles kiemelt igazgatói fizetés Eulernak, feleségének 1000 rubeles nyugdíj, továbbá idősebb fiuknak egy akadémiai titkári állás, 2000 rubel jövedelemmel. Euler hamarosan döntött, és 1766 júliusában egész családjával együtt elhagyta Berlint. Útjára csak kisebbik fia nem kísérhette el, aki tüzérségi tisztként a porosz hadseregben szolgált. Rajta csattant a király kicsinyes bosszúja: Nagy Frigyes először börtönbe záratta, mert nyilvánosan civil ruhában mutatkozott, majd kereken elutasította leszerelési kérelmét, amit csak jóval később, a cárnő személyes közbenjárására volt hajlandó aláírni. Bármilyen érzelmeket is táplált Nagy Frigyes Euler iránt, uralkodói hiúságát azért felettébb sértette világhírű matematikusának elvesztése.

  • 23Az ötlet már korábban is felvetődött. Berlin orosz megszállásakor G. F. Müllerhez írt levelében (1760. X. 18.) Euler így fogalmaz: „Fischer hadnagy úrtól és más tisztektől hallom, hogy, Pétervárott az a hír járja: visszatérésem esetén évi 3000 rubeles jövedelem várna rám. Ön, Méltóságos Uram éppoly jól tudja, mint én, hogy e mendemondának semmi alapja. Nem válna büszkeségemre, ha az emberek azt hinnék, hogy ilyen kedvező feltételeket visszautasítottam volna. Ezért tisztelettel kérem Őméltóságodat, hogy e híreszteléseket nyomatékosan cáfolja meg.” Lásd Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel Leonhard Eulers. Teil I., Akademie-Verlag, Berlin, 1959. 162. p.

Sötétbe burkolózva

A Berlinben töltött 25 év alatt Euler kapcsolata a pétervári akadémiával mit sem lazult. Mindvégig levelezésben állt az akadémia vezető funkcionáriusaival, J. D. Schumacherrel és G. F. Müllerrel, továbbá számos matematikussal, így a már említett Ch. Goldbach-hal is. Az ötvenes évek elején házát valóságos diákszállássá alakította, ahol fiatal orosz ösztöndíjasokat oktatott és látott vendégül.24 Rendszeresen fizette elő és küldte el a pétervári akadémia könyvtárának a Poroszországban és Svájcban megjelenő természettudományos és filozófiai kiadványokat, térképeket, sőt, gyakran ő szerezte be a szükséges kísérleti eszközök, optikai felszerelések egy részét is. Amikor az orosz akadémia meghonosította azt a Párizsban kialakított szokást, hogy díjakat tűznek ki egy-egy nagy érdeklődésre számottartó tudományos probléma megoldására, Euler évről évre számos feladatjavaslatot tett, és a pályamunkák véleményezéséből is kivette a részét. Dolgozatainak többségét továbbra is Pétervárott publikálta, és aktívan részt vett az akadémia 1750-ben indított új folyóirata (a Novi Commentarii) szerkesztésében. Gyakran kérték ki tanácsát olyan tudományszervezési kérdésekben, mint új akadémikusok, professzorok kinevezése, könyvkiadási tervek összeállítása, és Euler válasza általában postafordultával megérkezett. (A levél akkortájt körülbelül 10 nap alatt ért Berlinből Szentpétervárra.)

  • 24Közülük Euler leginkább Sz. K. KOTYELNYIKOVval és SZ. JA. RUMOVSZKIJjal volt megelégedve, akiket a Müllerrel folytatott levelezésben (lásd az előző hivatkozást) gyakran említ. Mindketten hamarosan professzori kinevezést is kaptak.
II. (Nagy) Frigyes
(1712—1786)
porosz király
(1740—1786)

Az orosz akadémia nagyvonalúan hálálta meg Euler sokirányú fáradozását. Berlinbe is rendszeresen folyósították (nem csekély) akadémikusi illetményét, ők fedezték Euler legtöbb nagyszabású munkájának kiadási költségeit, sőt a könyvek megírásáért nem egy esetben külön honoráriumban is részesítették. Az orosz kancellária még egy meglehetősen szokatlan módon is kifejezésre juttatta a híres matematikus iránt tanúsított jóindulatát. Miközben a Hétéves Háború egy futó epizódjaként az orosz csapatok 1760 októberében néhány napra megszállták Berlint, fosztogató szász katonák feldúlták Euler charlottenburgi birtokát. Az oroszok — részben G. F. Müller közbenjárására — hatalmas kártérítést fizettek a birtokról elhurcolt állatokért és a megrongált bútorokért. Amikor tehát Euler 1766. július 17-én — a lengyel királynál való rövid vendégeskedés után — tizennyolctagú családjával és személyzetével ismét orosz földre lépett, nyugodtan mondhatjuk, hogy hazaérkezett. Kapcsolatát a pétervári akadémiával semmilyen személyes ellentét, titkolt gyűlölködés, tisztázatlan probléma nem árnyékolta be. Nagy Katalin fejedelemnek kijáró tisztelettel fogadta, 8000 rubelt ajándékozott neki egy szép ház vásárlására, és egyik udvari szakácsát bízta meg Euler konyhájának vezetésével.

A kiváló körülmények még jobban fokozták a 60 éves tudós munkakedvét. Gyors egymásutánban két nagy jelentőségű művet publikált: a háromkötetes Dioptricaet, melyben a fénynyalábok viselkedésének elemzésével megvetette az optikai ipar alapjait, és másik híres munkáját, a később minden világnyelvre lefordított Vollstündige Anleitung zur Algebrat. Ez utóbbi könyvének25 első kötetét Euler egyik szolgájának kezdte diktálni, aki eredeti foglalkozására nézve szabóinas volt. A legenda szerint a részletszámításokat a szolgának magának kellett végrehajtania. Euler így kívánt megbizonyosodni arról, hogy az anyag felépítése világos, egyszerű, és laikusok számára is érthető.

  • 25Opera omnia ser. III., III—IV. k. és ser. I., I. k.

A hetvenes évek elején három szomorú esemény következett be Euler életében. Épen maradt bal szemén hályog keletkezett és látása rohamosan hanyatlani kezdett. A folyamatot az sem tudta megállítani, hogy von Wenzel báró, korának legkiválóbb szemspecialistája sikeres operációval eltávolította a hályogot. A műtét helye hamarosan elfertőződött, és Euler teljes sötétségbe süppedt.26 Ráadásul az 1771-es nagy pétervári tűzvész elpusztította gyönyörű házát, és csak szolgája hősiességének köszönhető, hogy a vak mester túlélte a katasztrófát. Kéziratai szerencsére megmenekültek, de értékes könyvei mind egy szálig a tűz martalékává lettek. A harmadik csapás az volt, hogy 1773-ben elvesztette feleségét.

  • 26Lásd R. FUETER: Über eine Eulersche Beweismethode in der Zahlentheorie. Schweiz. Med. Wochenschrift. 43, 103. p. és R. FUETER: Leonhard Euler, Beihefte zur Zeitschrift Elemente d. Mathematik. Birkhäuser, Basel, 1948.

Euler — részben mély vallásosságának köszönhetően — rendkívüli türelemmel viselte a tragikus események terhét. Tudományos dolgozatait általában tanítványainak vagy idősebb fiának diktálta, a képleteket pedig öles betűkkel írta fel egy palatáblára. Vakon is ugyanolyan lendülettel dolgozva, mint korábban; ez időszak terméséből több mint 200 publikációja maradt fenn. Munkájában nagy hasznát látta egészen kivételes memóriájának. Egyik tanítványa arról számolt be, hogy Euler nemcsak bonyolult matematikai formulákat volt képes évtizedekig fejben tartani, hanem rövid gondolkodás után meg tudta mondani például, hogy mely szóval kezdődnek az Aeneis általa iskoláskorában olvasott példányának egyes oldalai.27 Talán az efféle agytornák is hozzájárultak ahhoz, hogy évei gyarapodtával mit sem veszített szellemi frissességéből. Minden fizikai vagy matematikai természetű probléma, mellyel így-vagy-úgy szembekerült, ugyanúgy rabul ejtette, akárcsak ötven évvel korábban. A konkrét kérdések iránti szenvedélyes érdeklődése magyarázza, hogy a tudomány oly sok, egymástól táveleső területét gazdagította korszakalkotó felfedezésekkel.

  • 27N. FUSS: Eloge de M. Leonhard Euler, lu à l’Académie Impériale des Sciences, dans son Assamblée du 23. Octobre 1783. St. Petersbourg, 1783. 68. p.

Kétszáz évvel ezelőtt, 1783. szeptember 18-án halt meg. Vacsora után épp a hőlégballon mozgásával kapcsolatos számításokat végzett, és közben unokájával játszott, amikor szélütés érte. Személyében a XVIII. század legnagyobb matematikusa távozott az élők sorából. Példátlan termékenységére jellemző, hogy hátrahagyott dolgozatai halála után még hatvan évig jelentek meg rendszeresen a pétervári akadémia közleményeiben. 1910-ben összeállított első (korántsem teljes) publikációs jegyzéke 866 művet számlál. Arago szavai szerint Euler volt „a megtestesült analízis” (l’analyse incarnée). Megvetette modern matematikai gondolkodásunk alapjait, továbbfejlesztette, népszerűsítette és a gyakorlati élet legkülönbözőbb területein sikerrel alkalmazta a newtoni fizika és differenciálszámítás módszereit. S bár személyes sorsának alakulása miatt korántsem érezte így, valójában a barikád ugyanazon oldalán harcolt, mint a francia enciklopédisták. A természettudományokban Euler vívta meg azt a forradalmat, melyet a maguk területén a felvilágosodás filozófusai.

D. G. Levitsky:
II. (Nagy) Katalin
orosz cárnő portréja, 18. század vége, olaj, vászon
Uralkodott: 1762—1796.