„Sed haec iam satis.” — „Ennyi most elég is.” — az okoskodásból.1 Ezekkel a szavakkal fejezi be Giovanni Girolamo Saccheri (1667—1733) jezsuita teológus, matematikus, sakkmester és lángelme Euclides ab omni naevo vindicatus (A szégyenfoltjaitól megszabadított Euklidész) című művének első könyvét, tudományos karrierjét és kisvártatva az életét is…

  • 1Girolamo Saccheri’s Euclides Vidicatus, sajtó alá rendezte és angolra fordította G. B. Halsted; bilingvis kiadás; megjelent 1920-ban a The Open Court Publishing Company gondozásában Londonban. Az idézetek ebből a kiadásból származnak (a magyar fordításért és a kiemelésekért én felelek: Győrfi Z.). A címben idézett mondat az első könyv végén, a mondott kiadás 240. lapján található. A félmondat az „okoskodásról” tőlem származik.

Saccheri majd’ 100 évvel megelőzve2 Bolyait, Lobacsevszkijt és Gausst felfedezi a nemeuklideszi geometria alapvető igazságait, ő, a sakktörténelem egyik rekordere, aki három táblán szimultánozik bekötött szemmel3; ő, aki a világ egyik legnagyobb matematikusa (lehetett volna), most egyetlen kézmozdulattal lesöpri az asztalról életművét: „Ennyi most elég is.” — mondja és elmegy. Euklidész V. Posztulátumának4 tagadására épített tételei mind hamisak — ahogy mondja — „…quia repugnantis naturae lineae rectae…” Vagyis „…mert ellentmondanak az egyenes [igaz] természetének.”5 „Ennyi most elég is.” — és levonja a következtetést: az V. Posztulátum indirekte be van kérem bizonyítva: tagadása ugyanis ellentmondásra vezet; [élet]terünk egyetlen lehetséges geometriája tehát az euklideszi. És ez most elég is ahhoz, hogy Saccherire ne mint a hiperbolikus geometria felfedezőjére emlékezzünk; elég ahhoz, hogy Kant a Tiszta ész kritikájában mély meggyőződéssel az euklideszi geometriában jelölhesse meg az elme számára egyedül adott helyes Anschauungot;a elég ahhoz, hogy a kispolgár-óriás, Gauss ne merje publikálni eredményeit a nemeuklideszi geometriáról; és elég ahhoz, hogy Bolyai és Lobacsevszkij teljes meg nem értettségben, elkeseredetten éljék le életüket. Nem mintha Saccheri tehetne minderről. Nagyon is valószínű, hogy sem Kant, sem Gauss, sem a többiek nem ismerték Saccheri munkáját…

  • 2Igazságtalanok lennénk Omar Khajjámmal (1025?—1122?), ha említetlenül hagynánk nevét. Illendő Khajjám—Saccheri-négyszögnek nevezni azt az alakzatot, amelynek egyenes alapjára állítunk két merőleges, azonos hosszúságú egyenes szakaszt és ezek felső végpontjait összekötjük egy egyenessel és azt kérdezzük, hogy az összekötési pontokban keletkező szögek derékszögek-e? Kérdez ilyet épelméjű ember?
  • 3D. W. Fiske: The Book of the First American Chess Congress. Rudd & Carleton, New York 1859, 78. p.
  • 4Euklidész V. posztulátuma lényegében azt mondja, hogy egy egyeneshez egy tetszőleges, rajta kívül fekvő ponton át egy és csakis egy olyan egyenes húzható, amely a szóban forgó egyenes és a kiválasztott pont síkjában fekszik és nincs közös pontja a szóban forgó egyenessel.
  • 5i.m. 232. p. Hogy mit mutat meg Saccheri az most nem fontos. Az érvelés módja fontos: Valami nem lehet igaz, mert ellentmond az egyenes természetének. Milyen az egyenes természete? — kérdezzük újra és újra.
  • adie Anschauungnémet szemlélet, nézet, vélemény.

Akkor miért fontos Saccheri? Azért, mert ő dokumentálta a leghívebben az emberi elme elkeseredett és ma is folyamatos küzdelmét minden szemléletek legmakacsabbikával az euklideszi geometria euklideszi Anschauungjával, az egyenes vonal félreértett természetével. Olyan nekünk a nemeuklideszi vonal, mint Thénardier szemében Jean Valjean, hátán a félholt Marius-szelb a csatornában: Thénardier szemüvegén át (Anschuungjában) nem látszik (látszhat) más, mint gyilkos és áldozata — Thenárdier osztozkodni akar a rablott garasokon, mert fel nem foghatja, hogy a Párizs csatornái mélyén valaki éppen megment valakit és nem a hulláját kívánja eltakarítani…

  • bThénardier, Jean Valjean és MariusVictor Hugo A nyomorultak című regényének szereplői.

De miben is áll az egyenes vonal (Thénardier vagy Jean Valjean?) igaz természete? Ha Saccheri Euclides Vindicatusának egy fontos ábráját kiragadjuk, akkor meglepődve láthatjuk, hogy az ő egyenesei nem igazán olyanok, mint a mi iskolai anschulicherc egyeneseink.

  • canschaulichernémet szemléletes.

Íme:

Ez az ábra Saccheri XXV. tételének illusztrációja. A tétel szövegezése így kezdődik:

„Si duae rectae … AX, BX in eodem plano existentes…”6 Vagyis „Ha két, egy síkban levő AX és BX egyenes…”. BX még csak egyenesnek látszik, de AX? Saccheri komoly erőfeszítéseket tesz, hogy az euklideszi Anschauungtól elszakadva újraeméssze a geometriát. Nem sikerül neki. Kiöklendezi eredményeit. Hányingert kap szörny-állításaitól. Megriad attól például, hogy AX és BX… „Itaque in uno, eodemque puncto X infinite dissito commune haberent perpendiculum.”7 Vagyis, hogy akkor a fenti ábra szerinti két egyenesnek AX-nek és BX-nek a végtelen távoli X pontban kellene legyen egy közös merőlegese. De két különböző, metsző egyenesnek a metszéspontban nem lehet közös merőlegese! Hacsak nem olyanok az egyenesek, mint AX. Ha az ábrára pillantunk, láthatjuk, hogy, ha AX valóban egyenes, akkor az NK, MK, …, LK stb. egyenesek, amelyek egyelőre csak BX-re látszanak merőlegesnek lenni, a végtelenben majd, az X pontban tudni illik mindkettőre merőlegesek lesznek. Ez pediglen ellentmondás „…quia repugnantis naturae lineae rectae…”. Ha tehát olyanok az egyenesek, mint AX és BX, akkor lehet közös merőlegesük a végtelenben, he meg nem ilyenek, akkor meg nem…

  • 6Saccheri i.m. 190. p.
  • 7Saccheri i.m. 156. p.

Milyenek tehát az egyenesek? Milyen Thénardier és milyen Jean Valjean? Jean Valjean nem lehet olyan, amilyennek Thénardier látja… Saccheri ezzel a végkövetkeztetéssel nem csak arról maradt le, hogy a nemeuklideszi geometria felfedezőjeként vonuljon be a tudomány történetébe,8 hanem arról is, hogy a túlvilág létezésének természettudományos indokát szolgáltassa…

Ha ugyanis feltesszük, hogy terünk hiperbolikus természetű, akkor egyeneseink — a fénysugarak pályáját tekintve egyeneseknek —, legalábbis nyomvonalukat tekintve szükségképpen folyatódnak a végtelenen túl az ultra-végtelenben is.9 Két ilyen egyenes, ha a végtelenben metszik egymást, akkor van ott közös merőlegesük —, amely éppen egy a mi firmamentumunkat kívülről érintő túlvilági síkban fekszik. Igaz, belülről még a végtelen sem érhető el ebben világban, de logikailag konzisztens (azaz jobb definíció híján kénytelenül létező) az a világocska, amelyben az egyenesek folytatódnak az ultra-végtelenben és amely világocskát kívülről, — mint angyalokat az angyalhaj — burkol a túlvilági egyenesek áthatolhatatlan kuszasága. Ha Saccheri képes volt (lásd az AX egyenest odafent), jobban mondva, ha képes lett volna így látni a dolgokat, akkor a teológiának nagy szolgálatot tesz. De meghalt 1733. október 25-én. Meggyőződésem, hogy Saccherit a könyv megjelenése után magához szólította az Úr — továbbképzésre. Pedig, ha hősünk újragondolja állításait talán még idebenn eljut az odaátba és ma szentként tiszteli a tudomány és a katolikus egyház. De mielőtt megvilágosodott volna, és visszatért volna az ultra-végtelenbe utolsó szavai megpecsételik a sorsát: „Sed haec jam satis.” — legalábbis én így gondolom. Odaát azután (és ez egészen bizonyos) a Mennyei Atyával egymás hasát fogják a nevetéstől az örök megvilágosodásban, és kéz a kézben drukkolnak Kant ellenében a Bolyai, Lobacsevszkij, Gauss triónak. Öten egy ellen!

  • 8Szándékkal mondok tudományt matematika helyett. A nemeuklideszi geometria felfedezését ugyanis az első igazi „kopernikuszi fordulatnak” tartom. Kopernikusz és Kant (önjelölt) kopernikuszi táncra perdülései csak tudománynépszerűsítő és könnykereskedői marketingfordulatok voltak
  • 9Az általános relativitáselmélettel Einstein mindent újraértékelt és a teológusok neki már valóban hálásak lehetnek.
  • dfirmamentumlatin az égbolt; a látható ég, mely a régiek fölfogása szerint szilárd (firmus) volt. (Pallas Nagylexikon)

Tehát, akkor most és végeredményben Saccheri visszavonja tanait és eltöröli az olyan egyenesek lehetségességét, mint AX a fenti ábrán? Igen. Ez Euklidész, Arisztotelész és Kant szellemében saját eretneksége eltörlését jelenti, ám annál nagyobb eretnekséget amannál, az Ördögbe is: elmulasztja felfedezni a túlvilág létezésének logikai szükségszerűségét. Ha a tér hiperbolikus lenne, akkor valami — nevezzük csak Mennyek Országának azt a valamit! — körül venné. És ebben a valamiben folytatódna a tér, ha nem is a megszokott módon…

Van itt még valami: Ha Saccheri felfedezi a túlvilágban folytatódó egyeneseket, akkor még az euklideszi geometriának is tesz egy Fields-medált érő szolgálatot. Ugyanis, ettől a felfedezéstől már csak egy lépésre van annak felfedezése, hogy világunk a Mennyországgal együtt mégiscsak lehet euklideszi, és lehet, csak itt benn, ebben a Siralomvölgyben vagyunk hiperbolikusnak öltözve; legalábbis — mivel —, az euklideszi geometriában modellezhető a hiperbolikus geometria; vagyis, a környüllálóe transzcendencia lehet euklideszi. Ez persze nem számít sokat, mert a hiperbolikus geometrián belül is modellezhető az euklideszi. Vagyis, fordítva is működik a Siralomvölgy—Mennyország kettős kettős-geometriája. A lényeg azonban, a lényeg: két világ van itten egymásba sajtolva. De legalább Kant és követői a fenekükön maradhattak volna, ha sakkmester géniuszunk nem olyan bamba. Bolyai, Lobacsevszkij és Gauss előtt persze kevesen érthették Saccheri Mennyországba kiáltott szavait.10 Valószínűleg ma sem értik sokan…

Sed haec iam satis.

  • ekörnyülállás — körülmény. Oh jaj! jaj! az eszem mint éjtszakáim, felzavarva van a környűlállások boldogtalan örvényin. (Katona: Bánk bán) A latin circumstantia (’körülállás’) tükörszava.
  • 10Azért ne feledkezzünk meg Lambertről, Schewikartról és Taurinusról. Bolyai János apja (és Gauss stammtischf cimborája), Bolyai Farkas a rossz nyelvek szerint (például Németh László) soha nem értette, mit beszél a fia. Szerintem értette, de ő is reszketett a beóciaiakg kiabálásától. Viszont egyikük sem tudta meg életében, hogy mi volt az igazi eretnekség: Gauss ateista volt, Farkas pedig bigott.
  • fder Stammtischnémet törzsasztal
  • gBeóciatörténelem, földrajz régi görög tartomány Théba fővárossal. Lakosai dőzsölni szerető, nehézkes felfogású s nem sokra becsült, de jó földművelő, iparos és lovas hírében állottak.
Romero Seth: Geometria / Geometry