Egy Leonardo-vázlathoz

Excentrikus, kör alakú evolvens fogaskerékkel kapcsolódó ellenkerék tervezése és gyártása
Dr. Laczik Bálint
Budapesti Műszaki Egyetem Gépgyártástechnológia Tanszék (email)
fogaskerék-áttétel, Leonardo da Vinci
szóelválasztás

Bevezetés

A változó áttételű, nem kör gördülő görbéjű fogaskerekek a hajtástechnika méltatlanul kevéssé ismert, ritkán használt gépelemei. Az elmúlt évszázadok logarléccel, körzővel-vonalzóval dolgozó mérnökei még bátran alkalmazták ezeket az érdekes alkatrészeket. A szerszámgépek előtoló mechanizmusaiban, az elektromechanikus számítógépek függvény generátorainak potenciométereiben, a nyomda, textil és élelmiszeripar megannyi berendezésében működő nemlineáris centrois mechanizmusok mára csaknem teljességgel eltűntek a gyakorlatból.

A vezérelt villamos hajtások fejlődése némiképpen magyarázza e különleges gépelemek háttérbe szorulását. A változó áttételű fogaskerék hajtás a periodikusan gyorsuló-lassuló mozgások előállítására azonban

  • csupán két mechanikus elemet igényel,
  • egyszerű alakú,
  • jól terhelhető,
  • megbízható, hosszú élettartamú szerkezet.

A mérnöki munkát segítő számítógépi rendszerek (CAD-CAM és szimbolikus matematikai programok) és az új technológiák (huzalszikra forgácsolás, rapid prototyping eljárások, koordináta méréstechnika) a szabatos tervezés, gyártás és ellenőrzés minden szükséges lehetőségét biztosítják – ám a legegyszerűbb elliptikus fogaskerékpár létrehozásához szükséges alapismeretek nem lelhetők fel műszaki felsőoktatásunk egyetlen, ma oktatott tantárgy tematikájában sem.

A jelen összeállítás a változó áttételű fogaskerekek egy különleges változatát vizsgálja. A kör alakú, excentrikusan csapágyazott fogaskerékkel kapcsolódó ellenkerék sajátos alakja Leonardo da Vinci Madridi Kódex című vázlatgyűjteményében található [7]. A cikk e különleges – ismereteink szerint a szakirodalomban eddig nem vizsgált – hajtáspár tervezésének és gyártásának kérdéseit tárgyalja.

Leonardo fogaskerekei

Leonardo da Vinci, a nagy reneszánsz művész civilizációnk mindmáig ható, emblématikus alakja. Festményei a leghíresebb múzeumok féltve őrzött kincsei, neve a komoly nemzetközi tudományos projektek, a könyv és filmpiac legfrissebb bestseller címei között egyaránt fellelhető. Titokzatos személyisége, torzójában is monumentális életműve megannyi ellentmondó értelmezésre, túl- és alulértékelésre egyaránt alapot szolgáltat. A róla szóló könyvtárnyi kommentárirodalomban olykor minden idők legnagyobb polihisztora, máskor zseniális dilettáns – személye néha különleges küldetésű kiválasztott, más elemzőnél naiv álmodozó. Elképesztő részletességű, gyönyörű vázlatain meglepően modern benyomást keltő szerkezetek, precíz anatómiai ábrák és monumentális épületek, fényképszerűen pontos állat- és emberalakok, a jövő futurisztikus városának és pusztító háborújának képei burjánzanak. Matematikai tárgyú feljegyzéseiben az alapműveletek eredményei sokhelyütt hibásak, másutt azonban az évszázadokkal később felfedezett integrálszámítás alapjai sejlenek fel.

A XV–XVI. század fordulóján az alkalmazott mechanikai és technológiai ismeretek már meglepően fejlettek voltak. Jóllehet a korabeli tudomány szempontjából nem tartoztak a disciplináris értékek közé, a katonai és civil célokra készült, megvalósult vagy csak elképzelt gépszerkezetek már számos olyan konstrukciós elemet tartalmaztak, amelyek mérnökhallgatóink tananyagában és napjaink műszaki alkotásaiban egyaránt helyet kapnak – avagy oda bátran beilleszthetők lennének. Az ókortól ismert egyszerű fizikai elemek (lejtő, csavar, emelő, hengerkerék, csigasor) mellett a – technika- és kultúrtörténeti szempontból méltatlanul kevéssé elemzett – karos-csuklós, valamint centrois (bütykös és fogaskerék) mechanizmusok több változatát már ismerték és alkalmazták. A könyvnyomtatás felfedezése révén nagyobb példányszámban válhattak közkinccsé a műszaki ismeretek. Az ókori,1 majd a középkorban2 élt alkotók sok századon keresztül, kézzel másolt alapkönyvei után a korabeli3 szerzők munkái is segítették a tudás terjedését.

A kerekes óra egy szép versszaknyi terjedelemben már Dante XIV. században írott Isteni színjátékában említésre került.4 A spanyol népköltészetben mindmáig él a toledói mechanikus vízemelő csodagépet megalkotó Juanelo Turriano,5a a „hispániai Faust” legendás alakja. A nem sok évvel Leonardo után alkotó nagy mérnökök6 szépen illusztrált kötetei a korabeli technika fejlettségét bizonyítják.

A kinematikai szabadságfok kérdésköre csak a XIX–XX. századfordulóra tisztázódott. A XV–XVI században még hiányzó matematikai apparátus miatt a szerkezeti méretek, arányok olykor irreálisak – Leonardo „naiv” műszaki érzéke és lenyűgöző térlátása azonban egyetlen, mégoly bizarr készülékénél sem vétett lényeges, elvi, a működőképességet befolyásoló hibát. [11] Az excentrikus, kör gördülő görbéjű evolvens fogaskerék ismert alakja a Reauleaux féle kinematikai gyűjteményben szerepel. A szakirodalomban Litvin alapművei [1–4] részleteiben is tárgyalják e fogaskerék rendszer legfontosabb sajátosságait. A profiltervezés komplex algebrai módszerével kapcsolatban lásd az [5–6], illetve [8] forrásokat.

A jelen összeállítás szerzője Leonardo Madridi Kódex címen ismert vázlatgyűjteményében bukkant a változó áttételű fogaskerék hajtások néhány vázlatára. Az 1(a) ábra szembeszökően nagy excentricitású, kör alakú fogaskerekei, valamint a vázlatgyűjtemény további lapjain (például 1(b) ábra) látható szerkezetek alapján egyértelmű, hogy Leonardo a gyorsuló-lassuló forgó mozgás átvitelének lehetőségeit is kereste. Az 1(a) ábra jelölt konstrukciója szabályos kör alakú kerekekkel bár nem valósítható meg, a körhöz közeli, kis excentricitású ellipszis fogaskerekekkel azonban működőképes. A kör alakú, excentrikus kerékkel kapcsolódó ellenkerék 1(b) ábra kiemelt alakja egy különleges érdekességű szerkezetet eredményez.

1. ábra
a. b. Cams. Madrid MS I, f. 28 v
  • 1 Vitruvius, i. e. 90–i. e. 10, De architectura libri X; Alexandriai Heron (i. e. I. század): Opera quae supersunt omnia.
  • 2 Herrad (cca. 1175): Hortus deliciarum. Villard de Honnecourt (leghíresebb vázlatkönyve 1235 táján készült)
  • 3 Roberto Valturio (1405–1475) De re militari (1472, Verona)
  • 4 Paradicsom, X. 139–148, Babits Mihály fordítása

    Miként az óra, csengve-bongva tarkán,
    az Úr arája keltét jelzi reggel,
    s zeng Jegyeséhez szent szerelmi dalt tán,
    hol kerekek fogózva kerekekkel
    tin-tin szavát mind oly remekbe csengi,
    hogy duzzad a jók lelke szeretettel:
    úgy láttam én, hogy ütemét kerengi
    a szent kerék, s felelget hangra hangot,
    oly édesen, hogy nem sejtheti senki,
    csak ott, hol az örök Kéj ver harangot.

    Indi, come orologio che ne chiami
    ne l’ora che la sposa di Dio surge
    a mattinar lo sposo perché l’ami,
    che l’una parte e l’altra tira e urge,
    tin tin sonando con sì dolce nota,
    che ’l ben disposto spirto d’amor turge;
    così vid’io la gloriosa rota
    muoversi e render voce a voce in tempra
    e in dolcezza ch’esser non pò nota
    se non colà dove gioir s’insempra.

  • 5Juanelo Turriano (1500–1585), II. Fülöp udvari órásának egyik működő finommechanikai remeke egy hazai közgyűjteményben is fellehető.
  • aJosé de Valdivieso verse Juanelo Turrianoról:

    Del lombardo Juanelo atento mira
    el artificio, que por sí se mueve,
    como reloj que con sus ruedas gira.

    José Amador de los Ríos: Toledo Pintoresca ó, Descripcion de sus mas célebres monumentos (Madrid, 1845). 202. p. Nyersfordításban valami ilyesmi:

    A lombardiaiak figyelik Juanelo szerkezetét,
    amely magától működik, mint
    az órában forgó kerekek.

    A szerk.
  • 6 Georgius Agricola (1494–1555): De re metallica (1556, Basel); Agostino Ramelli (cca. 1531–1600): Le diverse et artifiose machini (1588, Paris)

A fogazatok gördülő görbéi

A kör alakú kereket \(z\), a nem kör alakú ellenkereket $z,2z,\dots,nz$ fogszámmal kialakítva a hajtás globálisan állandó, vagy lassító áttételű. Vagyis a kör alakú fogaskerék egy teljes fordulatára az ellenkerék $1,\dots,1/n$ teljes fordulatot végez. (A kör alakú kerék egy körülfordulása során megvalósuló lassító-gyorsító mozgásciklus a nem kör alakú kerék egy teljes körülfordulása során $1, 2, \dots, n$ alkalommal jön létre.)

A – meglehetősen gyér – nemzetközi szakirodalomban is teljességgel ismeretlen az excentrikus, kör alakú kerékkel kapcsolódó, globálisan gyorsító fogaskerék. Ennél a rendszernél a kör alakú fogaskerék egy teljes fordulatára az ellenkerék $2,3,\dots,n$ teljes körülfordulása adódik. Az excentrikus, kör alakú kerékkel kapcsolódó ellenkerék gördülő görbéjének meghatározásához elsőként írjuk fel a kör alakú kerék gördülő görbéjének polár egyenletét.

A polár koordináta rendszer kezdőpontját helyezzük az $O_{1}C_{1}=e$ excentricitású, $C_{1}P_{1}=a$ osztókör sugarú kerék forgáspontjába. A 2(a) ábra a kerék alaphelyzetét, a 2(b) ábra a kezdetihez képest $C_{1}OP_{1}=C_{2}OP_{2}=\phi$ szöggel elfordult helyzetét szemlélteti:

2(a, b). ábra

A $C_{1}O_{1}P_{1}$ háromszögre felírt cosinus tétel az $O_{1}P_{1} = r_{1}$ jelöléssel

\[ {a}^{2}={e}^{2}+{r}_{1}^{2}-2e{r}_{1}\cos\phi\tag{1} \]

illetve – az $r_{1}$ ismeretlenre másodfokú egyenlet két megoldásából a pozitív diszkriminánst választva

\[ {r}_{1}=\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}{\sin^{2}\phi}}+e\cos\phi\tag{2} \]

A kör alakú kerékkel kapcsolódó ellenkerék tengelytávolsága legyen az egyelőre ismeretlen $O_{1}O_{2}=E$. A kör alakú kerék $r_{1}$ sugarú gördülőköri pontjával nyilván az ellenkerék

\[ {r}_{2}=E-{r}_{1}\tag{3} \]

sugarú pontja kapcsolódik.

A gördülő görbék egymáson csúszás nélkül gördülnek. A pillanatnyi érintkezési helyzethez tartozó polársugaraik aránya a $\xi$ áttételi függvény. (Az áttételi függvény egyben a 2 indexű, nem köralakú hajtott és az 1 indexű, kör alakú hajtó fogaskerék szögsebességeinek aránya.)

\[ \xi =\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{{\omega }_{2}}{{\omega }_{1}}\tag{4} \]

Az 1 kerék $\phi$ polárszöghöz tartozó kapcsolódási helyzetére az áttételi függvény

\[ \xi =\frac{\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}{\sin(\phi)}^{2}}-e\cos(\phi)}{E-\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}{\sin(\phi)}^{2}}+e\cos(\phi)}\tag{5} \]

Határozzuk meg a $E$ tengelytávolságot olyképpen, hogy a kör alakú hajtó kerék egy fordulata során a hajtott, nem kör alakú kerék pontosan két teljes fordulatot végezzen. Legyen a hajtó szögsebesség $\omega_{1} = 1$. Az áttételi függvényt a $\phi=[0..\pi]$ tartományban (a hajtó kerék fél fordulata során) integrálva a hajtott kerék egy teljes fordulata adódik:

\[ \underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\xi d\phi=2\pi\tag{6} \]

Az egyenlet kifejtett alakja:

\[ \xi =\frac{\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}{\sin(\phi)}^{2}}-e\cos(\phi)}{E-\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}{\sin(\phi)}^{2}}+e\cos(\phi)}\tag{7} \]

A (7) egyenletből az $E$ érték zárt alakban nem fejezhető ki, azonban az $e$ és az $a$ paraméterek konkrét értékeivel, például az intervallum felezés gyökközelítő módszerét alkalmazva könnyen meghatározható.

Az áttételi függvény értelmezéséből következően a hajtó kerék $\lambda$ szögű elfordulásához a hajtott kerék

\[ \kappa =\underset{0}{\overset{\lambda}{\int }}\xi d\phi\tag{8} \]

szögű elfordulása tartozik. A hajtott kerék ezen kapcsolódási helyzetében a polársugár értéke

\[ {r}_{2}={r}_{2}(\phi=\lambda)\tag{9} \]

A hajtott kerék forgáspontjával egybeeső origójú derékszögű koordináta rendszerben az $r_{2}(\phi=\lambda)$ polársugárhoz tartozó görbepont $x, y$ koordinátái:

\[ x={r}_{2}\cos\kappa\enspace\enspace y={r}_{2}\sin\kappa\tag{10} \]

A bemutatott összefüggéseket alkalmazva, $e=20, a=48$ esetben a (7) egyenlet egyik numerikus megoldására $E=99,9596038$ értéknél a hajtott kerék gördülő görbéjének szokványos, míg az $E=79,86777595$ értékre a Leonardo-vázlaton láthatóhoz hasonló, önátmetsző alakzata adódik (3. ábra):

3. ábra

A kerekek fogazatai

A gördülő görbék alapján könnyűszerrel előállítható a Leonardo elképzelése szerinti pálcás fogaskerék valamint a kapcsolódó ciklois profilú homlokkerék CAD modellje (4. ábra):

4. ábra

(A pálcás és ciklois fogazattal kapcsolatban lásd a [2–4], illetve a [9–10] forrásokat.)

Az önátmetsző gördülő görbéjű fogaskerék megvalósítható, ha az önmetszési ponttól balra, illetve jobbra eső fogazatot a forgástengely irányában eltolt, párhuzamos síkokban hozzuk létre. A folyamatos forgó mozgást biztosító fogazatnál a gördülő görbe önátmetszési pontja egy fogárok (vagy fog) középpontjával esik egybe.

A hajtott kerék egy teljes, n radián mértékű elfordulásához a hajtó kerék $e$ szögű elfordulása tartozik. A korábbiakkal összhangban

\[ \underset{0}{\overset{\theta}{\int}}\xi d\phi=\pi\tag{11} \]

vagyis az (önátmetsző gördülő görbéjű) ellenkerék és az excentrikus kör alakú hajtókerék elfordulásának aránya megegyezik az ellenkerék $z(\theta)$ és a hajtókerék $z(\pi)$ fogszám arányával.

\[ i=\frac{\theta}{\pi}=\frac{\mathrm{z}(\theta)}{\mathrm{z}(\pi)}\tag{12} \]

Az i értékét elemi lánctört sorozattal felírva, az ötödik \( \frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{8}}}} \) közelítés 7 tizedesjegyre pontos értéke $i=35/44$.

Vagyis az excentrikus, kör alakú kerék fogszámát $z_{1}=88$-ra, az önátmetsző gördülő görbéjű ellenkerék fogszámát $z_{2}=44$-re választva az alaphelyzetből induló rendszer a $z_{12}=35$-ik fogpár kapcsolódásnál jut el az önátmetszési pontig.

A (4) áttételi függvényt az $\omega_{1}=1$ szögsebességgel működő hajtókerékhez felrajzolva, a hajtott kerék szögsebességének $\omega_{2}=0,56–5,8$ értékek között változik (5. ábra):

5. ábra. Áttételi függvény

A kerekeket a klasszikus, $a=20^{\circ}, h=1, c=0,25$ alakjellemzőjű evolvens fogazattal kialakítva, a modul az

\[ m=\frac{2a\pi }{{z}_{1}}\tag{13} \]

formulával $m=1,090909091$-re adódott.

A lefejtő lécprofil sarokponti komplex koordinátáit $Q_{j}$-vel jelölve, a (9.) gördülő görbén csúszás nélkül legördített léc $j$ indexű sarokpontjának komplex koordinátái:

\[ {w}_{j}=({Q}_{j}-L){e}^{i(\phi+\mathrm{\mu}(\phi))}+{r}_{2}{e}^{i\phi}\tag{14} \]

ahol

\[ \mathrm{\mu}(\phi)=\arctan\left[\frac{{r}_{2}}{\frac{d{r}_{2}}{d\phi}}\right] \enspace\enspace L=\underset{0}{\overset{\phi}{\int}}\sqrt{{r}_{2}^{2}+{\left[\frac{d{r}_{2}}{d\psi }\right]}^{2}}d\psi\tag{15} \]

$\mu(\phi)$ a (9.) görbe polársugara és érintője által bezárt szög, illetve $L$ a (9.) görbén csúszás nélkül legördült szerszám gördülő egyenesének hossza.

A fogazatok tervezéséhez a Maple V. R10 és az AUTOCAD 2002 programokat használtuk. A működőképes szerkezet a BME Gépgyártástechnológia Tanszék ragasztott papír rétegekkel dolgozó (LOM) gyors prototípus gyártó berendezésén készült el (6. ábra):

6. ábra
Felvétel a működő fogaskerék-áttételről

Összefoglalás

A cikk Leonardo da Vinci néhány, a Madridi Kódex gyűjteményben fellelhető fogaskerék vázlata nyomán az excentrikus, kör alakú fogaskerék kapcsolódását vizsgálja. A tengelytáv alkalmas megválasztásával az ellenkerék sajátos, önátmetsző gördülő görbéje adódik. A kerekek kapcsolódó fogszámait és evolvens fogazati jellemzőit meghatározva, a rapid prototyping technológiával legyártott hajtáspár – közel 600%-os max. áttételi viszony mellett – teljességgel működőképesnek bizonyult.

Irodalom

  1. Ф. Л. Литвин: Некруглые зубчатые колеса. изд. МАШГИЗ, Москва–Ленинград (1956)
  2. Ф. Л. Литвин: Теория зубчатых зацеплений. изд. НАУКА, Москва–Ленинград (1967)
  3. Litvin, F. L.: Gear Geometry and Applied Theory. Prentice Hall, New York (1994)
  4. Litvin, F. L.: A fogaskerék kapcsolás elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest (1972)
  5. Laczik, B.–Szaniszló, Z.: Measuring of Gears with General (Non-Circular) Pitch Curve. Proc. INES. 2001, 373–376. p., Helsinki
  6. Laczik, B.: Involute Profile of Non-Circular Gears.
  7. Kinematic Models for Design.
  8. Laczik, B.: Változó áttételű fogaskerekek. Műszaki Magazin Budapest, XIII. évf. 2003. 12. 42–44. p.
  9. Laczik, B.: Ciklois bolygómű fogazat kapcsolódása. A Dunaújvárosi Főiskola Közleményei XXVI/II, Dunaújváros, 2004, 281–291. p.
  10. Laczik, B.: Pálcás koronafogazat tervezése HD transzformációval. A Dunaújvárosi Főiskola Közleményei XXVI/II, Dunaújváros, 2005, 379–385. p.
  11. Laczik, B.: Leonardo mérnöki alkotásai. Természet Világa Budapest, 136. évf. 2005. 09. 426–427. p.

Villard de Honnecourt Villard
(kb. 1200–1270)

Hortus deliciarum
Bibliothèque Nationale, Paris

Leonardo da Vinci
(1452–1519)

Madrid Manuscript I (BNM), fol. 45r (részlet)
Madrid Manuscript I, f. 45 r
Codex Atlanticus (BAM), fol. 30v
Codex Atlanticus (BAM), c. 26v
Madrid Manuscript I, f. 16 r

Georgius Agricola
(1494–1555)

Georgii Agricolae De re metallica libri XII: quibus officia, instrumenta…, London, 1561
Georgii Agricolae De re metallica libri XII: quibus officia, instrumenta…, London, 1657
Bányaszivattyú
A bánya szellőztetésének három módja

Juanelo Turriano
(1500–1585)

A toledói mechanikus vízemelő felépítése
Toledó látképe
El Greco (1541–1614) · 1596 és 1600 között · olaj, vászon · Metropolitan Museum of Art, New York
A kép középső részén látható a vízemelő

Agostino Ramelli
(1531–1600)

Le diverse et artificiose machine del Capitano Agostini Ramelli… Parigi, 1588
4. ábra
9. ábra
10. ábra