Euler örök érvényű munkálkodásai a mérnöki tudományokban

Laczik Bálint
matematika, fizika, műszaki tudományok, sakk, Leonhard Euler
szóelválasztás

Occasione CCC. iubilei emeriti professoris, qui nominatur Leonhard Euler.

Leonhard Euler születésének háromszázadik évfordulója alkalmából a tudós világ, szülőhazája és szülővárosa együtt tiszteleg minden idők egyik legnagyobb matematikusának emléke előtt. A konferenciasorozatok, kiállítások mellett remek életrajzi könyv1 és felszínesebb érdeklődőknek szánt képregény2 is segít a nagy tudós életútjának és munkásságának megismerésében (1. ábra). (A képregény lapjain elrejtett valamennyi anakronizmust felfedezők könyvjutalomban részesültek.)

1. ábra
Az építőkockáiból fantasztikus statikai rendszert építő Euler gyerekjáték gőzmozdonya jó egy századdal előzi meg az első, igazi vasúti gépeket

Euler kivételes gazdagságú életművét Gustaf Eneström (1852–1923) svéd matematikatörténész rendezte és dolgozta fel. A néhány lap terjedelmű cikkeket és a többkötetes, sok száz oldalas könyveket egyaránt tartalmazó anyagban az E1-től E866-ig sorszámozott Eneström-index segíti eligazodni a kutatókat. A megjelenésük időrendjében felsorolt publikációkról a Die Schriften Eulers chronologisch nach den Jahren geordnet, in denen sie verfasst worden sind (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung) című összeállítás 1913-ban számolt be. Az utolsó, E866 jelzetű tudományos művet, a d’Alembert-nek 1748-ban írott levelet Paul Stäckel 1910-ben jelentette meg.

A jubileumra több neves intézmény és a svájci állam összefogásával a csaknem teljes Euler-életmű és a kommentárirodalom nagy része felkerült a világhálóra. A példás műgonddal szerkesztett3 honlap Euler eredeti munkái és életrajzai mellett a vele kapcsolatban álló sok száz neves, avagy feledésbe merült kortárs tudós között segít eligazodni. A hiperlink-technika valamennyi lehetőségét kihasználva kalandozhatunk a modern matematika és a műszaki tudományok csodálatos forrásvidékén.

Euler az egyetemes tudománytörténet kiemelkedő nagysága. Életrajzai, munkásságának elemzései szinte minden nyelven, magyarul is olvashatók (lásd például 456).

A jelen összeállítás szerzője a mérnöki tudományok egyes tárgyköreiből igyekszik bemutatni a csodálatos életmű néhány olyan eredményét, amely a műszaki gyakorlatban és a felsőoktatás aktuális tananyagában mindmáig számottevő jelentőséggel bír.

Mechanika

Euler tudósi érdeklődését megannyi egyszerű fizikai jelenség és a mesteremberek kétkezi munkájában alkalmazott eszköz, eljárás is felkeltette és továbbgondolásra ösztönözte. A csigán átvetett, avagy a csigasorba fűzött kötéllel végzett teheremelés módja már az ókorban ismeretes volt. A XVIII. század hatalmas hajóin igen bonyolult kötélrendszerrel mozgatták a vitorlákat. A mai hajókon, kikötőkben, darukon is alkalmazott „spilldob” egy különleges csiga. Ha a dob homorú palástján két-három menetben körbecsavart kötél egyik végét kis erővel meghúzzák, a megfeszülő kötél másik ága a feszítőerő sokszorosának kifejtését teszi lehetővé. A dob és a kötél között fellépő megcsúszás határhelyzetét jellemző „áthúzási fokot” (a két kötélvégen ható $F_{1}$ és $F_{2}$ húzóerők arányát) az Euler által levezetett

\[ \frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}={e}^{\mu \alpha } \]

összefüggés jellemzi ($e \approx 2,718$, a természetes logaritmus alapja, $\mu$ a kötél és a dob között fellépő súrlódási tényező, $\alpha$ a kötél átfogási szöge radiánban).


A modern mechanika alapjait Newton munkássága teremtette meg. A későbbiekben paradigmateremtőnek bizonyult Principia mathematica philosophiae naturalis (1687, Cambridge) a kortársak számára is igen nehezen értelmezhető olvasmány volt. A definíciókkal, axiómákkal bevezetett első nagy fejezet a tömegpont mozgását vizsgálja kúpszelet alakú pálya, illetve centrális erőhatás esetén. A második rész a súrlódásos közegben mozgó testek viselkedését elemzi, a harmadik a filozófiai okfejtések szabályait, majd az égitestek mozgásának táblázatos adatait tartalmazza. A továbbiakban megfogalmazott tételek között lelhető meg Newton munkásságának egyik legkiemelkedőbb felismerése: az egyetemes tömegvonzás, a négyzetes erőtörvény (mai alakjában)

\[ F=k\frac{mM}{{r}^{2}} \]

formulája. A centrális erőtörvény segítségével válik lehetővé a továbbiakban a Hold mozgásának részletes leírása, a Föld precessziójának és az árapály jelenségének értelmezése. Az erő, mint a tömeg és a sebesség szorzatával értelmezett mozgásmennyiség idő szerinti megváltozása, avagy állandó tömeg esetén az „Erő = tömeg × gyorsulás” azonban sehol sem szerepel a kötetben!

Az időben változó $s=s(t)$ elmozdulás, a \( v=\frac{ds}{dt} \) sebesség, az \( a=\frac{{d}^{2}s}{d{t}^{2}}=\frac{dv}{dt} \) gyorsulás értelmezése, majd a Newton II. axiómájaként ismert \( F=\frac{d}{dt}(mv) \) formula Euler [E177] cikkében jelent meg először. A dinamikában alapvető fontosságú a tömegközéppont, valamint a forgómozgást végző test tehetetlenségi nyomatéka; [E289] (a 2. ábrán a kötet egy illusztrációja látható). Ezek precíz definíciója és a test helyzetét jellemző (a ma általánosan nevesített Euler-féle) szögek segítségével fogalmazódtak meg a pörgettyűelmélet, a pörgettyű precessziós és nutációs mozgásának alapelvei, valamint a pörgettyű általános mozgását leíró differenciálegyenlet-rendszer.

2. ábra
Illusztráció Euler [E289] könyvéből,
A merev vagy rugalmas testek mozgásának elméleté”-ből

Vizsgáljuk meg egy test – például egy dobókocka – eredeti és tetszőlegesen elforgatott helyzetét az Euler-szögek segítségével. Kössünk a kocka középpontjához egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az $x$ tengely a 6, az $y$ tengely a 4, míg a $z$ tengely a 2 ponttal jelölt lapsíkra legyen merőleges.

Forgassuk a kockát a $z$ tengely körül $\alpha$ szöggel, majd a kockával együtt mozgó koordinátarendszer $y$ tengelye körül $\beta$, végül a mozgó koordinátarendszer $z$ tengelye körül $\gamma$ szöggel. A kocka eredeti és új helyzetéhez tartozó rendszerek között három jellemző – az Euler-féle szöghármas – létesít kapcsolatot.

A $\vartheta$ nutációs szöget az eredeti és a végső állapothoz tartozó $z$ (a kocka 2 ponttal jelölt lapsíkjára merőleges) tengelyek között értelmezzük. A $\psi$ precessziós szög az eredeti (a kocka 6 ponttal jelölt lapsíkjára merőleges) $x$ tengely, valamint az eredeti helyzetű és a végállapothoz tartozó $xy$ síkok metszésvonala közötti szög. A $\varphi $ forgásszöget a végállapothoz tartozó $x$ irány és az iménti metszésvonal zárja be.

A kockát végtelen sokféleképpen forgathatjuk az I-ből a IV. helyzetbe. Az $\alpha, \beta, \gamma$ szögek ismeretében adódnak a $\varphi, \psi, \vartheta$ Euler-szögek – másként az ismert forgatások alapján egyértelmű a végső állapot. (Ez az ún. direkt kinematikai feladat.)

Az I. kezdő és a IV. végső helyzetet jellemző Euler-szögek ismeretében azonban nem tudjuk meghatározni a véghelyzetet eredményező szögeket, hiszen például az $\alpha+2\pi$, $\beta+4\pi$, $\gamma-8\pi$ mértékű forgatások ugyanazt a véghelyzetet eredményezik, mint az $\alpha, \beta, \gamma$. Bár az ún. inverz kinematikai feladatnak nincs egyértelmű megoldása, az Euler-szögek ismeretében kiszámolhatók azok a testhez rögzített $z, y$, majd ismét a $z$ tengely körüli legkisebb forgatások, amelyek éppen a végállapothoz vezetnek.

Az Euler-szögeket a repülés és az űrnavigáció mellett a robottechnikában is általánosan alkalmazzák a test orientációjának jellemzésére, illetve a kezdeti és a végső helyzet közötti, legkisebb mértékű forgatások meghatározására. Az ipari hosszmérés egyik fontos, új eszköze a csuklókaros koordinátamérő gép. A legbonyolultabb, nehezen hozzáférhető felületek „letapogatására” és a tapintási pontok helyzetének felvételére szolgáló szerkezet karelemeit csuklók kötik össze. A csuklókba épített elfordulás-érzékelők mérési jeleiből a rendszer számítógépe – az Euler-szögek alapján – számolja ki a karrendszer végén lévő, a vizsgált felületet éppen érintő tapintógömb helyzetét

3. ábra
Az Euler-szögek értelmezése, illetve a FARO rendszerű csuklókaros ipari hosszmérő gép

A mechanika egyik legáltalánosabb törvényét fogalmazza meg a „legkisebb hatás” elve. Pierre Louis Maupertuis (1698–1759) teológiai magyarázata szerint minden mozgás a Teremtő hatalmának legbölcsebb felhasználásával megy végbe. A fizikai szempontból megalapozatlan hipotézis azonban az ún. legkisebb hatás mechanikai elvének felfedezéséhez vezetett. Az erőhatásra mozgó test $mv$ impulzusmennyiségét elemezve született meg az Euler-féle (illetve a tárgykörben tovább dolgozó Lagrange iránti tiszteletből az Euler–Lagrange-, másutt csupán Lagrange-féleként ismert)

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial}{\partial{q}_{k}}=0 \]

alapegyenlet. A több szabadságfokú rendszerben $L=T-U$ a helyzeti és mozgási energiák különbsége, $q_{k}$ a $k$-adik szabadságfokhoz tartozó koordinátaváltozó, \( {\dot{q}}_{k} \) a koordinátaváltozó idő szerinti deriváltja.

4. ábra
A: mindkét rúdvég oldalirányú elmozdulása és elfordulása kizárt; B: az alsó rúdvég szabadon elfordulhat; C: a mindkét rúdvég elfordulhat, a felső oldalirányban el is mozdulhat; D: csupán a felső rúdvég fordulhat el

A mérnöki szerkezetek terhelhetőségi kérdéseivel a szilárdságtan foglalkozik. Azonos anyagú, keresztmetszetű s hosszúságú, hossztengelyeik vonalában terhelt, nyomott rudak kihajlása (és ezt követően teljes legörbülése) a végpontok megtámasztásának módjától függ (4. ábra).

Az egyes terhelési esetekhez tartozó, kihajlást okozó határterhelések alapján végezhető el egy rácsos szerkezet méretezése. Euler ma is használatos szilárdságtani képletei az anyag lineáris rugalmasságát tételezik fel. A nyomott rudak kihajlásának további, a rugalmas-képlékeny állapotváltozást is figyelembe vevő vizsgálatában a repüléstechnika magyar géniusza, Kármán Tódor (1881–1963) ért el fontos eredményeket.

A modern kinematika és dinamika nagy kihívása volt a XVIII. században az „izochron probléma”. Huygens, majd a Bernoulli család három matematikusnemzedékének tagjai mellett a kor valamennyi komoly matematikusa foglalkozott a kérdéssel. Az eredeti – Huygenstől származó – feladat: létezik-e olyan görbe, amely mentén a görbe tetszőleges pontjából induló, csupán saját súlyerejének hatására mozgó test mindig azonos idő alatt ér egy alacsonyabban fekvő, adott pontba? Az egyszerű ciklois ilyen tulajdonságú alakzat. Euler első tudományos értekezése [E001] a csillapító közegekhez tartozó izochron görbéket tárgyalta; később számos további tanulmányban elemezte a kérdéskört.

Gépelemek

5. ábra
Körevolvens fogaskerékprofil geometriai származtatása, valamint az együttműködő evolvens kerekek között a kerületi erő átadása
6. ábra
A XVII. századi rajzon jól látszanak a kerületi erőátadás szempontjából elvileg helytelen fogalakok. Az evolvens fogprofilt a mérnökök a XIX. század második felében kezdték alkalmazni. Eulernek a fogaskerekekről írott, teljességgel elfelejtett cikkeit [E249 E300 E330] csupán 1929-ben fedezte fel és tette közzé Karl Kutzbach német professzor

A matematika függvényfogalmának értelmezésében, az egy- és többváltozós függvények általános jellemzőinek meghatározásában Euler múlhatatlan érdemeket szerzett. A sík- és térgörbék fontos elemei az érintő, a normális és a görbület. A Newton és Leibniz nyomán kifejlődő differenciálszámítás eszközei jól használhatók a differenciálgeometriában. A mai felhasználó részére kézikönyvekben, vagy az interneten könnyen elérhetők a szükséges formulák. Nagyrészt a XVIII. század matematikusaitól származnak ezek a – például a függvénygörbe érintőjének, két pontja közti ívhosszának, görbületi középpontjának és sugarának előállítására szolgáló – közkeletű összefüggések.

7. ábra
Euler [E249] cikkében az igen nagy átmérőjű fogaskerék egyenes vonalú fogával kapcsolódó ellenprofil egzakt alakját vezette le és bizonyította be, hogy a szabatos fogprofil a rajzokon szembeszökő körevolvens. (A végtelen nagy átmérőjű fogaskerék evolvens profiljának határalakzata valóban az egyenes.)

Euler egyik briliáns eredménye a gépek mindmáig fontos eleméhez, a fogaskerékhez kapcsolódik. Valamely síkgörbén csúszás nélkül mozgó egyenes egy pontja a görbe evolvensét írja le.

Az evolvens fogaskerék profilját a kerék alapkörén csúszásmentesen mozgó egyenes egy pontja írja le. Az 5(a) ábrán a profilpontok $A_{0}, A_{1}, A_{2}$; a csúszásmentes gördülés miatt az $A_{0}B_{1}$ ívhossz megegyezik az $A_{1}B_{1}$, illetve az $A_{0}B_{2}$ ívhossz az $A_{2}B_{2}$ egyenes szakaszok hosszaival. Az együttműködő fogaskerekek fogfelületeinek érintkezési (például az 5[b] ábra $B$ és $D$) pontjai mindig állandó irányban, a kerekek alapköreinek közös $AE$ érintő vonalán adják át a kerületi erőt.

A fogaskerekek évszázadokon keresztül használt fogalakjai, a kör keresztmetszetű pálcasorral kapcsolódó koronakerék, vagy a tapasztalatilag kialakult ciklois profilú fogazatok (6. ábra) kisebb-nagyobb egyenetlenséggel működtek. A korabeli gépépítők számára ez fel sem vetődött: Euler tisztán elméleti levezetéssel nyerte az állandó irányú és nagyságú kerületi erőt átadó fogaskerék-fogalak szabatos alakját. A XVIII. század ipari forradalmának gépkonstruktőreihez nem jutottak el Euler kristálytiszta eredményei (7. ábra). Közel egy évszázadon át a mérnökök nem ismerték fel az evolvens fogprofil valamennyi más alakzattal szembeni előnyét.

Optika, zene, sakk

Euler optikai munkásságának eredményeit egy vaskos tankönyvben és több tanulmányban adta közre. [E367 E386 E404] A fény fizikai lényegét illetően a XIX. század kezdetéig részint a forrásból kilövellt anyag, másfelől a valamilyen rugalmas közeg (éter) által közvetített rezgések hívei vitáztak egymással. Az előbbi, ún. emissziós felfogás nagy képviselője Newton volt; az ő nyomasztó tekintélye okán a feltevés támadhatatlannak tűnt.

A Descartes-tól származó hullámelméletet képviselte Huygens, majd később Euler is. A fény valódi, kettős természetétől független geometriai optika a prizmákból, lencsékből, tükrökből felépülő készülékekben a fénysugarat egyenes vonalakkal modellezi. A mélyebb fizikai lényeget nem érintő módszer meglehetősen jó távcsövek, mikroszkópok szerkesztését teszi lehetővé.

Euler egyik fontos, előre mutató felismerése a kromatikus aberrációhoz kapcsolódik. Az optikai lencse – a prizmához hasonlóan – a fehér fényt összetevő színeire bontja, és az egyes összetevőket különböző mértékben töri meg. Ezért a geometriai optikai elven számolt sugármenetek a fény színétől függően a valóságban torzulnak. Az Euler előtti csillagászati távcsövekben e probléma megoldására kis átmérőjű és nagy gyújtótávolságú lencséket építettek, ezzel azonban a műszerek hossza jelentősen megnőtt. A színhibát megfelelő üveganyagokkal, valamint az anyag optikai tulajdonságaihoz igazodó gyújtótávolságokkal korrigálva jobb képalkotású, rövidebb lencserendszerek készülhettek.

Euler – megannyi más tárgykör mellett – zeneelmélettel is foglalkozott. Berlini tartózkodása során kezdett dolgozni az egész és fél hangok viszonyainak arányrendszerén. A püthagoreusok felfogását idéző elmélete szerint a hangok magasságai (frekvenciái) között 2a:3b:5c alakú arányok vannak.

8. ábra
A huszár – számokkal jelölt lépései során – bejárja a sakktábla valamennyi mezőjét

A puritán életvitelű tudós nehezen találta helyét a német főváros párizsi szalonokat mímelő társasági életében. A felvilágosult francia szellemiség minden formája iránt rajongó II. (Nagy) Frigyes (1712–1786) király, aki Eulert meghívta a porosz tudományos akadémiára, kedvét lelte a könnyed, szellemes társalgásban, verselgetésben, muzsikálgatásban. A zenei összhangzat, harmóniák, ellenpontok szabályait is matematikai formulákban kereső Euler törekvéseit éppúgy nem értette meg, amint a húrok és membránok rezgéseinek analitikus vizsgálatát sem tudta megfelelően értékelni.

Nagy Frigyes apja, I. Frigyes Vilmos (1688–1740) a világtörténelem legfaragatlanabb uralkodójaként vált hírhedtté. A műveltségére, ateista világnézetére és fuvolatudományára oly büszke fia – udvaroncai körében természetesen mihamar elterjedt – csúfolódó versikéket fabrikált a puritán szellemű, vallásos tudósról, aki „…egyik szemét számolásai során vesztette el, s elhatározta, hogy menüettet ír az $a+b$ segítségével”. A fél szemére (élete végére majd teljesen) megvakult Eulert a finom ízlésű Frigyes „korlátolt Küklopsz”-ként is emlegette…6

Euler szívesen és jól sakkozott. Híres felfedezése volt annak igazolása, hogy a huszár szabályos „lóugrásokkal” bejárhatja a tábla valamennyi kockáját (8. ábra [E309]).

A budapesti Műcsarnokban a közelmúltban láthattuk az Ember a gépben című kiállítást, amely Kempelen Farkas híres-hírhedt sakkozó törökét is bemutatta. A bizarr szerkezet eredetije (valójában a bábut működtető mestersakkozó) olykor – az angol nyelvterületen „Knight tour” néven ismert – Euler-féle lépéssorozatot is bemutatta ámuló közönségének.

Folyadékok és gázok

Euler technikai tárgyú munkásságának egyik, terjedelmében és jelentőségében is hatalmas darabja az 1749-ben megjelent, a hajók elméletét tárgyaló, kétkötetes mű. [E110 E111] A folyadékban úszó testre ható felhajtóerő mellett a stabilitás (a hajó felbillenéssel szembeni biztonsága) is igen fontos kérdés. A tőkesúlyos hajókban a hajótest alsó részéhez rögzített nehezék biztosítja ezt (súlystabilitás).

9. ábra
Euler megvalósult, 71% hatásfokú turbinája és az eredeti cikk illusztrációja [E259]

A hajó alakjától függő elfordulási szögig stabil egyensúly lehet akkor is, ha a hajó súlypontja az aktuálisan kiszorított víztérfogat tömegközéppontja fölött van. A hajók effajta alakstabilitása a hajótest alakjától függő dőlési határszögig érvényes. Az Euler által megfogalmazott elvek a modern hajóépítésben is döntő fontosságúak.

A folyadékok áramlását Euler sok más, hosszabb-rövidebb tanulmányában vizsgálta. A mozgó folyadék sebességi és gyorsulási viszonyainak leírására igen alkalmasnak bizonyult a helytől és az időtől függő, 4 változós függvényrendszere. Lagrange nehézkesebb, csupán az időtől függő rendszerével ellentétben az Euler-féle leírási mód az áramlástechnika nélkülözhetetlen eszköze.

A turbinák, szivattyúk lapátkoszorúin kialakuló áramlások sebesség- és nyomásviszonyait a mindmáig alapvető turbinaegyenlet fogalmazza meg. A kérdéskör érdekes magyar tudománytörténeti vonatkozása: Euler az egyenletet a vele évtizedeken át tudományos levelezést folytató Segner János (1704–1777) közismert reakciós turbinája, a Segner-kerék alapján vezette le. [E179 E259]

Az eredeti számítások alapján Jakob Ackeret (1898–1981), az áramlástan kiváló zürichi tudósa 1944-ben elkészítette Euler turbináját (9. ábra). A szerkezet hatásfoka 71% – a mai, legkorszerűbb vízturbinák hatásfoka sem lépi túl a 80%-ot!2

A folyadékok és gázok mechanikája mellett a fizika más területein is fontos az Euler-féle kontinuitási egyenlet. A $\rho$ sűrűségű, $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ sebességkomponensekkel mozgó folyadékelemre általánosan érvényes differenciálegyenlet:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho{v}_{x})}{\partial x}+\frac{\partial(\rho {v}_{y})}{\partial y}+\frac{\partial(\rho {v}_{z})}{\partial z}=0 \]

A villamosságtanban a töltésmegmaradás egyenlete pontosan ilyen alakú: az anyag sűrűsége helyett itt a töltéssűrűség szerepel – a félvezetők modern elméletében is nagy jelentőségűek a hasonló szerkezetű kifejezések.7

Newton II. axiómájának a folyadékokra érvényes, Euler által levezetett összefüggése a ma használatos vektorjelöléssel a

\[ \frac{dv}{dt}=\underline{g}-\frac{1}{\rho}\mathrm{grad}(p) \]

egyenlet. (Az egységnyi folyadéktömeg mozgásmennyiségének megváltozása a \( \underline{g} \) térerősség vektor és a $\rho$ nyomás lokális megváltozásának – gradiensének – függvénye, $\rho$ a folyadék sűrűsége.)

Euler munkálkodásának az áramlástani modellezésben használatos dimenzió nélküli Euler-féle hasonlósági szám – a folyadék tömegegységére ható erők aránya a nyomásból származó erő és a tehetetlenségi erő hányadosa – állít emléket.10

Euler pályája kezdetén orvosi tanulmányokat is végzett, orvos-doktori diplomát azonban nem szerzett. Anatómiai ismeretei viszont később alapot szolgáltattak az emberi vérkeringés áramlástechnikai modellezéséről szóló tanulmánya elkészítésében. [E855]

Euler páratlan zsenialitása a gyakorlati kérdésekben rejlő, mélyebb elméleti problémák felismerésében és hasznosítható megoldásában is fellelhető. A vízi és szélmalmok lapátjainak, vitorláinak áramlástani szempontból optimális alakját [E229] tanulmányában szabatos levezetéssel határozta meg. Hasonlóan praktikus probléma megoldása a vízemelő arkhimédészi csavar működésének analitikus tárgyalása. [E248]

Az alkalmazott tudományok igen különleges területe a ballisztika. A csöves lőfegyverek lövedékeit a lőpor gyors égése során felszabaduló, hatalmas gázmennyiség gyorsítja. A csőből kilépő lövedék mozgását a csőtorkolat közelében a kilépő gázok utóhatása befolyásolja, majd ennek megszűntével csupán a külső légtér ellenállása és a Föld tömegvonzása érvényesül. (Különlegesen nagy lőtávolságok – pl. a német hadsereg által az I. világháborúban bevetett, híres „Párizs-ágyú” – esetében a Föld forgásából adódó Coriolis-erő is jelentős szerepet kap a lövedék röppálya alakulásában.) A lövés során a mechanika, a hőtan és az áramlástan törvényei rövid idejű, igen nagy energiájú folyamatokban valósulnak meg. A fegyvercsőben lejátszódó folyamatokat a belballisztika, a gázutóhatásokat az átmeneti, a lövedék légtérbeli mozgását a külballisztika, a célban kifejtett hatást kifejtő viselkedést a célballisztika vizsgálja. A differenciálegyenletek közelítő megoldási módszereinek fejlődésében később fontos, ösztönző szerepet adó tárgykör első tudományos szakkönyvét Euler 1745-ben jelentette meg. [E077]

10. ábra
Korabeli rajz a Montgolfier-léghajó első felbocsátásáról

A később számos nyelvre lefordított Euler-mű Benjamin Robbins (1707–1751) 1739-ben kiadott, rövidebb munkájának német fordításaként indult. Euler a témában mind jobban elmélyedve végül egy önálló diszciplína alapjait fektette le.

Az emberi repülés igazi kezdete 1782 tavasza: ekkortól kísérleteztek a Montgolfier testvérek a meleg levegővel töltött gömbbel. Hatalmas eseménynek számított 1783. szeptember 19-én, XVI. Lajos és Marie Antoinette, valamint további 130 000 ember szeme láttára – a földet jelképező birkával, a levegő madarait képviselő kakassal és a víz világából származó kacsával induló – léghajó felemelkedése a versailles-i kastély udvarán (10. ábra). Ugyanezen év október 15-én már bátor vállalkozók is akadtak: Jean-François Pilâtre de Rozier és d’Arlandes márki lépett elsőként a szabadon szálló léghajó kosarába.

A látását immár teljesen elveszített, idős, megrokkant Euler a sikeres repülési kísérletek beszámolója nyomán írta meg utolsó tanulmányát a léggömbre ható felhajtóerőről, a léghajó repülésének elméletéről. A francia akadémia kiadványában közreadott cikke megjelenését és az első, igazi repülést már nem érte meg. Az akadémia vezetése mély megrendüléssel tudatta, hogy a tudomány páratlan géniusza, Leonhard Euler 1783. szeptember 18-án Szentpéterváron elhunyt. [E579]

Euler mai tanítványa

Euler áradóan termékeny munkássága során ontotta magából a nagy hatású elméleteket; briliáns számoló- és formulakezelő képessége a számítások, levezetések hihetetlen tömegét hozta létre. Eredeti közleményeinek böngészése a korabeli tudományos latin nyelv alapos ismerete nélkül azonban szinte reménytelen időtöltés.

A tudományt korábban művelő generációk még eredetiben tanulmányozhatták a cikkeket, könyveket – hogy aztán élő nyelveken írják az Euler úttörő munkásságához kapcsolódó tanulmányok sokaságát.

\begin{aligned} x &:=cg\int{e}^{(gv)}\sin{(Av)dv},\mathrm{simplify}(x,symbolic) \\ y &:=cg\int{e}^{(gv)}\cos{(Av)dv},\mathrm{simplify}(y,symbolic) \end{aligned} \begin{aligned} x &:=cg\left(-\frac{A{e}^{(gv)}\cos{(Av)}}{{g}^{2}+{A}^{2}}+\frac{g{e}^{(gv)}\sin{(Av)}}{{g}^{2}+{A}^{2}}\right)-\frac{cg{e}^{(gv)}\cos{(Av)}A-g\sin{(Av)}}{{g}^{2}+{A}^{2}} \\ y &:=cg\left(\frac{g{e}^{(gv)}\cos{(Av)}}{{g}^{2}+{A}^{2}}+\frac{A{e}^{(gv)}\sin{(Av)}}{{g}^{2}+{A}^{2}}\right)-\frac{cg{e}^{(gv)}g\cos{(Av)}-\sin{(Av)}A}{{g}^{2}+{A}^{2}} \end{aligned}
11. ábra
Egy formula Maple-programmal előállítva és Euler apró hibájú levezetése

A jelen összeállítás szerzője műegyetemi tanulmányai bevezető, alaptárgyi előadásain találkozott először Euler nevével, az általa kidolgozott tételekkel, formulákkal. Gyakorló mérnöki, majd később egyetemi oktató- és kutatómunkájában sokszor alkalmazta azokat. Euler életútjának megismerésével talán a nagy alkotó egyéniségéhez is sikerült kissé közel kerülnie – és mélyen szégyelli, hogy az általa oly tisztelt tudós életművében, teljesen véletlenül bukkant egy, a kutatók részéről eddig talán fel sem lelt, apró hibára.

Az [E129] tanulmány 36. oldalán, az 59.§-ban található levezetés az

\[ X:=cg\int{e}^{(gv)}\sin{(Av)dv} \]

és az

\[ Y:=cg\int{e}^{(gv)}\cos{(Av)dv} \]

kifejezéseket állítja elő. A Maple–10R programmal részletezett parciális integrálás az eredmény nevezőjében az $1+g \cdot g=1+g^{2}$ helyett bizony a $g^{2}+A^{2}$ formulát állítja elő (11. ábra). Az eredmény azonban az $A^{2}$-től függetlenül is, mindig logaritmikus spirális, azaz a Mester saját szavaival – quae aequatio semper est ad logarithmicam spiralem.

Nos notarii laudationis lecturis salutem! Mi, a dicséret szerzői, köszöntjük az olvasót! – mondhatja végül a számítógépével ügyeskedő, szerény mai tanítvány.

Irodalom

A hivatkozott Euler-művek

  • E001 Constructio linearum isochronarum in mediae quocunque resistente.
  • E077 Neue Grundsätze der Artillerie.
  • E110 Scientia Navalis, volume 1.
  • E111 Scientia Navalis, volume 2.
  • E129 Investigatio curvarum quae evolutae sui similes producunt.
  • E177 Decouverte d’un nouveau principe de Mécaniquebr.
  • E179 Recherches sur l’effet d’un machine hydraulique proposée par M. Segner, professeur à Goettingue.
  • E229 De constructione aptissima molarum alatarum.
  • E248 De cochlea Archimedis.
  • E249 De aptissima figura rotarum dentibus tribuenda.
  • E259 De motu et reactione aquae per tubos mobiles transfluentis.
  • E289 Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum.
  • E300 Demonstratio theorematis Bernoulliani qoud ex evolutione curvae cujuscunque rectangulae in infinitum continuata tandem cycloides nascantur.
  • E309 Solution d’une question curieuse que ne paroît soumise à aucune analyse.
  • E330 Supplementum de figura dentium rotarum.
  • E367 Dioptricae pars prima continens lubrum primum de explicatione principiorum, ex quibus constructio tam telescopiorum quam microscopiorum est petenda.
  • E386 Dioptricae pars secunda continens lubrum secundum de constructione telescopiorum dippticorum cum appendice de constructione telescopiorum catoptico-dioptricorum.
  • E404 Dioptricae pars tertia, continens librum tertium, de constructione microscopiorum tam simplicium, quam compositorum.
  • E579 Calculs sur les ballons aérostatiques, faits par le feu M. Léonard Euler, tels qu’on les a trouvés sur son ardoise, après sa mort arrivée le 7 Septembre 1783.
  • E855 Principia pro motu sanguinis per arterias determinando.

Eulerrel és munkásságával foglalkozó művek

  1. E. A. Fellmann: Leonhard Euler. Birkhäuser Verlag, Basel, 2007.
  2. Andreas K., Alice Heyne: Leonhard Euler, Ein Mann, mit dem man rechnen kann. Birkhäuser Verlag, Basel, 2007.
  3. www.math.dartmouth.edu/˜euler/
  4. Sain M.: Nincs királyi út! Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
  5. Gingyikin, Sz. G.: Történetek matematikusokról és fizikusokról. TypoTex Kiadó, Budapest, 2004.
  6. Pach J.: A megtestesült analízis – Leonhard Euler. Magyar Tudomány 1984/3, 203–213. p.
  7. Simonyi K.: A fizika kultúrtörténete. Gondolat Kiadó, Budapest, 1978.
  8. Bárány N.–Mittnyán L.: Optimechanikai műszerek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  9. Seher-Thoss, H.–Chr. Graf v.: Die Entwicklung der Zahnradtechnik. Springer Verlag, 1965.
  10. Lajos T.: Az áramlástan alapjai. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2004.

Leonhard Euler. Ein Mann, mit dem man rechnen kann. Heyne, Andreas K., Heyne, Alice K. ISBN: 978–3–7643–7779–3. Ein Birkhäuser Buch; Leonhard Euler. A Man to Be Reckoned With. Heyne, Andreas K., Heyne, Alice K. ISBN: 978–3–7643–8332–9 A Birkhäuser book.

Forrás

Természet Világa 2007/9. Melléklet: 300 éve született Leonhard Euler, CXXXVII–CXLII. p.