A Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára Kézirattárában, a Bolyai-gyűjteményében, K 23/48 jelzet alatt egy Bolyai Farkas által írt négyoldalas kézirat található, amit Fráter Jánosné – a gyűjtemény katalógusának összeállítója – így ír le:

Bolyai Farkas [megjegyzések] az Athenaumi Figyelmezőjének1 102-dik lapján kezdődő, ’s 104-dik lapján végződő könyvbírálatra.2

A katalógus azt is megjegyzi, hogy a kézirat 1914-ben, Szabó Péter3 hagyatékából került az MTA tulajdonába.

Ez a rövid matematika tartalmú kézirat egy recenzió, amiben Bolyai arra az újságcikkre reagál, amit Vállas Antal4 írt az Athenaeumi Figyelmezőben. Vállas egy matematika könyvről írt bírálatot, ami Bécsben jelent meg 1837-ben. Nagy Károly5 Elemi arithmologia, arithmographia. Második rész: Elemi algebra. Számírás közönséges jegyekkel (Bécs, 1837) című kötetéről Vállas Antal rendkívül elismerő véleményt írt, amivel Bolyai nem értett egyet. Ebben a kéziratban megírta a bírálat bírálatát, azaz kifogásait Vállas bírálatával szemben. Bolyai nem kevesebbet állít írásában, mint azt, hogy a Nagy Károly kötet egyes részeit ő maga, jóval korábban, az akadémiához beküldött saját köteteiben (Az arithmetica eleje6 (1830); Tentamen7 (I. kötet 1832, II. kötet 1833)) kifejtette. Rávilágít a kötetben található pontatlanságokra is. Itt kell megjegyeznünk, hogy ezt a két munkát Bolyai együtt küldte el az Akadémiának 1833-ban és a Társaság főtitkára 1835. május 1-jén jelentette be egy kisgyűlésen az ajándékkötetek megérkezését. A Magyar Tudós Társaság történetei című évkönyvek II. (1832–1834) és III. (1834–1836) kötete a Könyvtár szaporodása címszó alatt feltünteti a Bolyai Farkastól kapott tiszteletpéldányok címét. Az évkönyv II. kötete a Tentamen I. kötetéről ad hírt, a III. kötet egyéb Bolyai kötetekkel együtt Az arithmetica eleje című matematikai munkáról. Mindkét kötetben az előzéklapon ugyanaz az autográf ajánlás olvasható: „A m. t. társaságnak Bolyai Farkas mint szerző.” Szeretnénk tehát felhívni a figyelmet arra, hogy Bolyai munkáit a Tudós Társaság könyvtárában évekkel a bírált kötet megjelenése előtt valóban bárki elolvashatta.

Bolyai azt szerette volna, ha az ő írása is ugyanott lát napvilágot, ahol Vállas bírálata, azaz az Athenaeumi Figyelmező hasábjain.

  • 1 Figyelmező az egyetemes literatura’ körében. Kiadó-szerkesztők: Schedel Ferenc és Vörösmarty Mihály. Megjelent, mint az Athenaeum társlapja hetenként egyszer Pesten 1837. január 10-től 1840. december 29-ig, mikor a lap megszűnt. Könyvismertetéseket, kritikákat és bibliográfiát közölt a hazai s külföldi irodalomból. (Pallas)
  • 2 Fráter Jánosné: A Bolyai-gyűjtemény K 22–K 30. Budapest, 1968. Akadémiai Könyvtár. (A Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára Kézirattárának katalógusai 4.) 30. p. K 23/48 sz. irat.
  • 3Szabó Péter (1867–1914) – matematikus, tanár, Szabó Sámuelnek, a marosvásárhelyi kollégium egykori tanárának, egyben könyvtárosának fia. Szabó Sámuelnek szándékában állt a Bolyai-hagyatékról összeállítást készíteni, ezért jó néhány iratot hazavitt a lakására. Apja halála után Szabó Péter rábukkant a Bolyai kéziratokra és maga is foglalkozni kezdett a ritka értékes hagyatékkal. Hamarosan avatott Bolyai-kutatóként vált ismertté. Levelezett Bolyai Farkas kisebbik fiával, Gergellyel, valamint azokkal a külföldi matematikusokkal is, akik a Bolyai hagyaték iránt érdeklődtek. Bécsben is végzett kutatásokat, János katonai dokumentumait kereste. Az ő érdeme, hogy a bécsi császári és királyi hadilevéltárban őrzött Bolyai János iratok az MTA Könyvtára tulajdonába kerületek. Szabó Péter 1914-ben az apja hagyatékában talált Bolyai kéziratokat az MTA-nál helyezte el, ezek közt volt az itt közölt írás is.
  • 4Vállas Antal (1809–1869) – matematikus, 1837-től a Tudós Társaság tagja, aki ebben az időben igen aktívan részt vett az akadémia életében. Több algebrai és geometriai tárgyú tankönyvet írt, a magasabb fokú egyenletek megoldásával foglalkozó műve angol nyelven is megjelent.
  • 5Nagy Károly (1797–1868) – közismert reformkori polihisztor, a Magyar Tudós Társaság 1836-ban választotta rendes tagjává. A magyar tudományos élet és oktatás élvonalában tevékenykedett. Élete fő műve az éppen 1848-ban elkészülő és a maga korában világszínvonalú bicskei csillagvizsgáló lett volna. Tudományos munkássága egyaránt kiterjedt a csillagászati naptárszámítás, csillagászati földrajz, matematika, meteorológia, mérésügy, történelem, statisztika, leíró földrajz, demográfiai kérdéseire, valamint az egységes hazai mértékrendszer kialakítására.
  • 6Lelőhelye: MTA Könyvtára Kézirattár, Jelzet: 545.097.
  • 7Uo. Jelzete: 542.012.

Kutatva a Nagy–Vállas–Bolyai-féle matematika-vonatkozású iratokat, érdekes matematikatörténeti eseménysor bontakozott ki, aminek érdemes megismerni a részleteit. Mivel jelen tanulmány szerzője nem rendelkezik matematikai szakképesítéssel, csupán arra vállalkozott, hogy feltérképezi és időrendben közzéteszi Bolyai Farkas és a Magyar Tudós Társaság kapcsolattörténetének egy szeletét. Felkutatja és közreadja a korabeli dokumentumokat, majd Bolyai-kutatók segítségét kéri a dokumentumok szakszerű értékeléshez.

Vekerdi László tudománytörténész korábban már közzétett egy tanulmánykötetet,8 amelyben kritikusan nyilatkozik a korabeli akadémiai működéssel kapcsolatosan. Innen vettünk néhány fejezetet, amely Nagy Károly, Vállas Antal és Bolyai Farkas matematikusi érdemeit hasonlítja össze.

Oláh-Gál Róbert, a Csíkszeredai Sapientia Egyetem matematika–informatika tanára arra vállalkozott, hogy a korabeli iratokat összeveti és értékeli.

Íme tehát időrendben egy több mint százhetven évvel ezelőtti pályázati kiírás, elbírálás, díjazás, könyvrecenzió, valamint az ellenvélemények elhallgatásának eseménysorozata. Számunkra azért érdekesek ezek a részletek, mert rávilágítanak a földrajzi centrumban és a periférián élő tudósok érvényesülési esélykülönbségére, ami sajnos gyakran tapasztalható ma is. Megértjük a Bolyaiak munkásságának ismeretlenségét a maguk idejében és sajnálkozással vegyes szomorúsággal szemléljük erőfeszítéseiket, amivel munkásságukat próbálták megismertetni tudományos körökben, országhatároktól függetlenül.

  • 8 Vekerdi László: A Tudománynak háza vagyon. Reáliák a Régi Akadémia terveiben és működésében. Magyar Tudománytörténeti Intézet, Piliscsaba, 1996.

I. Bolyai Farkas és a Magyar Tudós Társaság kapcsolata

1825-ben a pozsonyi országgyűlésben egy sorshatározó döntés született a Magyar Tudós Társaság megalapításáról. Teleki József (1790–1855), a Magyar Tudós Társaság első elnöke már a pozsonyi országgyűlésen 1826. március 17-én kijelentette, hogy a társaság „…a nemzeti nyelv előmozdítására” fog törekedni. A társaság kifejtette azt a vállalását is, miszerint

a tudományok és szépmesterségek minden nemeiben a nemzeti nyelv kimíveltetésén igyekszik egyedül.

Rögzítették azt is, hogy céljuk az, hogy

…az Akadémia tagjainak munkálkodása a nemzeti egységet szolgálja, a tudósok szabadon dolgozhassanak, semmi ne korlátozza őket tudományos munkájukban.9

  • 9A felállítandó Magyar Tudós Társaság Alap-Intézetének és Rendszabásainak elkészítésére rendelt küldöttségnek jegyzőkönyve. I. ülés. 1826. március 15.

1832. március elején a Tudós Társaság Második Nagygyűlésén Bolyai Farkast titkos szavazással a Társaság levelező tagjává jelölték. A március 9-i szavazáson a Természettudományi Osztály levelező tagjává választották, egy nappal később pedig, 1832. március 10-én átsorolták a Mathesis osztályba. Bolyai bizonyára tájékozott volt az akadémiai eseményekről, a társaság célkitűzéseivel is tisztában volt. Ő maga már közel három évtizeddel korábban aktív tagja volt Marosvásárhelyen az Aranka György-féle Erdélyi Nyelvmívelő Társaságnak. Egy akadémiai tervezetet is készített. Ez a társaság elsősorban a magyar nyelv művelését tűzte ki céljául, de munkássága során a felvilágosodás szellemében a társadalom-, majd a természettudományok művelésével és népszerűsítésével is foglalkozott. Erdélyben Aranka társasága is – a Habsburg fennhatóság szorítójában – fontos feladatának tekintette a magyar „nyelvművelés és világosodás” kérdését, ami a nemzeti identitás megőrzése érdekében szinte létfontosságú volt. A társaság arra ösztönözte tagjait, hogy a különféle tudománykörök területéről magyar nyelven ismeretterjesztő munkákat adjanak ki nyomtatásban. A „kiadási lajstrom” tematikája a nyelvészeti, statisztikai, gazdasági tárgykörök mellette egyre inkább sürgette a közhasznú ismeretek terjesztését is.10 Ezek után a Magyar Tudós Társaság elvárásai a nemzeti nyelv, hazai művelődés, felvilágosodás vonatkozásában nem voltak idegenek Bolyai számára. Ellenkezőleg, úgy fogadhatta a Tudós Társaság elindulását, mint az Aranka-féle társaság 1806-os megszűnését követő valamiféle nemzeti feltámadást.

  • 10 Aranka György erdélyi társaságai. Budapest, 1988, 16. p.

Bolyai a Tudós Társaság fő célkitűzéseinek megfogalmazását követően szinte azonnal eleget akart tenni annak a felhívásnak (1826), miszerint a társaság:

a tudományok és szépmesterségek minden nemeiben a nemzeti nyelv kimíveltetésén igyekszik

munkálkodni. Még az akadémiai tagsága előtt (1832) 1829 októberében sajtó alá rendezte Az arithmetica eleje című kötetet, ami 1830-ban jött ki a nyomdából. 1833-ban jelent meg latin nyelvű összefoglaló matematikai műve – a Tentamen (Tom. I.). Meg kell jegyeznünk, hogy a Tentamen I. kötetének függeléke – appendixe – Bolyai János: Scientia spatii… című geometriai munkája, amiben lefektette a nemeuklideszi geometria alapjait, és amiben egy kétezer éves matematikai kérdésre adott választ. A két munkát Bolyai együtt elküldte a Tudós Társaságnak, pontosabban a főtitkár Döbrentei Gábornak.11 Döbrentei levelében jelzi a kötetetek átvételét, valamint kifogásait. Íme Döbrentei levele:

Kedves barátom, Aug. 10. leveledet Csiki elhozta hozzám, de nem tudom hol kerestessem, annál fogva ezt postán kapod, kapitány fijadnak szóló nálam reá várt leveledet pedig majd máskor adom valakinek kezébe Marosvásárhelyre menőnek. Könyvedet tehát nevedben a Társaságnak október 1-ső napján adom majd bé midőn héti üléseink megint kezdődnek, mert most a Társaságnak szeptember utolsó napjáig vacatioja van, engem kivéve, mert én dolgozom mint… tudod mi. Rád nézve is egyenesen írtam midőn kívántam, hogy mathesisi munkádat magyarul írd, mivel 3d vidéki rendes tagnak óhajtottalak majd 300 pengő forinttal, ami mellett már ezután deák munkád miatt nem szólhatok; fijadra a kapitányra nézve is az a barátságos észrevételem van, hogy ha magyarul adja ki a munkáját lehet még helybeli tag itt 500 pengő forinttal, mely summa penziójához egykor jól járulna; lehet vidéki rendes tag 300 pengő forinttal. Én a hiuságnak azon eledeleire, hogy engem német nyelven majd a külföldek is dicsérnek – kevésbé dolgoznám; mintsem eme szép áldozatára, hogy nyelvemen a magyart emelem és magamnak is későbbre jobb állapodást szerzek. Továbbá mathesisi magyar munkát, mellyben újabb rend, továbbravitel lenne, nem ismertethetné-e meg később német fordítás is így: Überse … vagy nach dem ungarischen original. Az alól pedig kedves becses barátom, hogy életírásodhoz adatokat ne küld; nem oldozhatlak fel, mert határozata a Társaságnak. Ne tartoztasson, kérlek szerénységed. Akik béküldötték már a magokéit, nálam külön állnak, senki azokhoz nem nyúl, senki azokkal vissza nem él. Legalább azt írd meg, hol, mikor születtél, nevelkedtél, tanultál, mik munkáid? Újítom kérésemet. Mert ha elébb talál[nál] e szép bohóságú világból kisétálni nálamnál is, én még titoknok leszek, nekem lenne majd kötelességem másoknak írnom, hogy felőled holmit adjanak tudtomra, így hát attól meg nem menekszel már tag létedre, hogy rólad szó ne legyen. Könnyebbítsz tehát mosolyogva, előre is sok terhet. Titoknokok szegények. A tréfa után, valósággal is elvárom adataidat, addig Isten Hozzád. November elején leszen nagygyűlésünk. Híved Döbrentei Gábor Budán, Aug. 29. 1833.12

  • 11Döbrentei Gábor (1785–1851) – tudós, műfordító. 1814-ben Kolozsváron megindította és négy éven át szerkesztette az Erdélyi Múzeum című periodikát. Ebben jelentette meg azt a drámapályázatot, amelyre Bolyai Farkas több színművet is írt, és amelyen Katona József is a Bánk Bánnal sikertelenül pályázott. Elkészítette az Erdélyi Magyar Tudós Társaság tervezetét is. 1830-tól a Magyar Tudós Társaság (az MTA elődje) rendes tagja, 1831-től az Akadémia első főtitkára és az MTA Filozófiai Osztály első helybeli rendes tagja lett.
  • 12Lelőhelye: MTA Könyvtára Kézirattár, K 23/21.

Döbrentei – amint azt olvashatjuk – rosszallását fejezi ki amiatt, hogy apa és fia mindketten latin nyelven írták igen értékes matematikai munkáikat. Ebben a levélben azonban nem esik szó Az arithmetica eleje című magyar nyelvű kötetről, ami a Tentamennel egyszerre érkezett a Tudós Társasághoz. Bolyainak a magyar nyelvű matematika kötetéről sokkal ritkábban esik szó mint a Tentamenről, ezért áldozzunk most néhány fejezetet ennek a kötetnek. Nézzük meg, igaza volt-e Döbrenteinek akkor, amikor szemrehányásként azt írja, hogy: „kívántam, hogy mathesisi munkádat magyarul írd”?

II. Az arithmetica eleje

Idézzük Az arithmetica… című kötet címlapját és első bekezdéseit, amiben a Bolyai a kötet megírásának célját körvonalazza:

Az Arithmetica eleje
(az előszóban írt módon)
B
[olyai] B[olyai] F[arkas]
Mathesisi és Physicát tanitó P
[rofessor] által
M. VÁSÁRHELYT, 1830.


Imprimatur.
M.Vásárhelyini 12-a
Mensis Octobris 1829


Paulus Horváth.
Abbas Parochus
Et Censor Librorum


A m[agyar]t[udós] társaságnak
Bolyai Farkas, mint szerző

ELŐSZÓ


Legelébb-is arra kéretik az Olvasó, hogy a’ kitett hibákat igazíttsa meg? ’s nem felejtve-el, hogy a’mi állásunk a’ külső írókétól van annyira, mint tőlletek, hazafi szívvel vegye ezen próbatételt, ’s szenvedje13 meg az eddig-elé (előttem esmeretes) magyarúl írttak, (mindenik a maga nemében derék) Maróthi,14 Dugonits, a két Méhes15 [György és Sámuel?] és Pethe16 sorában, ezt is a maga nemében nézvén: másfelől azonban magam-is a’midőn minden (ha nem tulajdon Mu’sájában szertett Péta, vagy nem arra indulván ki, hogy író legyen, már a’ munka előtt az) meg kellene gondolni; hogy a könyvek nagy számát nevelve, nem tsak méjebben sűljeszti-é a’ tapasztalatlanul keresőnek kintsét; elsőben ezen munkátskára, azután a’ 4-ta Maji 1829 kihírdetett déákra nézve eléadom mentségemet. […] Hazafiasság is jött hozzá, hogy az alsó és felső Arithmeticában eléjövő képzeteknek a’ dologból vett Magyar megnevezésére egy próbát kivántam tenni; tapaszatlván, mennyire nehezítik a megértést a’ sokszor a dologgal ellenkezőt tevő szók […] ha használok, azon kedves Tanítványaimnak köszönöm, a’ kiknek munkás unszolására indultam meg […]

A’mi pedig ezen magyar munkátska betsét és hasznosságát illeti: az elsőt a’ Mathesisbe méjjebben látó itéli meg; a másodikat az idő mutatja ki; az új magyar nevek miatt való megijedés hasznát egy-előre hátráltathatja, de majd mind a’ dologra magára mutatván reménylem, hogy a gyermek is a’ mennyire nékie kell, ha jól vezettetik bé, hamar beléjön […]

Az eszet rontás nélkül lehet előre készíteni, a’ gyermeket az ő kedvére hasznosan foglalva el: tapasztalásból szóllok – 9 esztendős gyermeket még nem mertem a’ numeratióra tanítani. [Valószínűen Jánosra utal, akit 9 éves koráig ő maga tanított otthon, nem engedte iskolába járni] […] tanuljon számlálni az újján, ’s fuszujkával,17 […] lineával18 3 szöget, 4 ’s több mindenféle szöget írni, bizonyos számú egyenlő részekre osztani, az egyenes lineát, az egyközű 4 szögű átlója által lett két 3 szöget miképpen kelljen fordítani, hogy elfedjék egymást, […]19

  • 13Elszenvedni – itt elfogadni.
  • 14Maróthi György (1715–1744) – matematikus, pedagógus, a magyar zeneelmélet úttörője, a debreceni kollégiumban többek között mennyiségtant tanított. Bolyai valószínűleg az Arithmetica vagy számvetésnek mestersége. (Debrecen, 1743) munkájára utal.
  • 15Méhes György (1746–1809) – Bolyai Farkas egykori matematika professzora a kolozsvári kollégiumban. Bolyai az Arithmetika az alsóbb osztályok számára. 1814. (Belső czíme: Az arithmetikának első része, melyben a számvetéseknek közönséges regulái adattatnak elő) című kötetére utalhat. Újabb kiadásai: 1819. és 1833. A köteteket fia Méhes Sámuel (1785–1852) adta ki, aki maga is neves matematikaprofesszor volt a kolozsvári kollégiumban.
  • 16Pethe Ferenc (1763–1832) – mezőgazda, szakíró, újságíró. A tudományos élet fellendítéséért harcolt, társadalmi, gazdasági reformokat sürgetett. A Természet-história és mesterségtudománya tanítók és tanulók szükségére című munkájáért elsőnek részesült 1817-ben Marczibányi-nagyjutalomban. A díjat Marczybányi István (1752–1810) udvari tanácsos alapította, amelyet többek között „tudományok magyar nyelven való művelésének előmozdítását célzó pályázatokra” kellett fordítani. (Az Akadémia 1831–1858 között alapított jutalomtételei és előzményei. Az MTA Könyvtárának Közleményei. 1988. 13. p.)
  • 17babszem.
  • 18vonalzó.
  • 19MTA Könyvtára Kézirattár, Jelzet: 545.097. 1835. május 1-én jelenti a főtitkár a könyv ajándékozását. (Kisgyülési jegyzőkönyv 1835. 207. verso) Fráter Jánosné: A Bolyai-gyűjtemény K 22–K 30. Budapest, 1968. Akadémiai Könyvtár. (A Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára Kézirattárának katalógusai 4.) 110. p.

Az idézett szövegből egyértelműen kicseng a fő cél:

az alsó és felső Arithmeticában eléjövő képzeteknek a’ dologból vett Magyar megnevezésére egy próbát kivántam tenni,

vagyis válaszolni a Tudós Társaság által megfogalmazott felhívásra a nemzeti nyelvhasználattal kapcsolatosan.

Gazda István20 művelődéstörténész egy Bolyai Farkasról szóló átfogó monográfiában21 Bolyai Farkasnak az 1834-es „Mathematikai Műszótár”-ában szereplő szakkifejezései címen 145 matematikai szakkifejezést sorol fel hozzáfűzve, hogy van közöttük jó néhány, amik meg is honosodtak magyar szaknyelvünkben, ezeket mind a mai napig használjuk, például: átló, átfogó, feladat, méret stb.

Bolyai a kötetet egyértelműen a magyar nyelven oktatóknak szánta. Ezzel szemben a latin nyelvű Tentament – függelékében János geometriai tanulmányával a tér abszolút tudományáról – annak a tudományos társadalomnak, akik nemzeti határainkon kívül élnek, azaz a tudományok „világpiacára”. Az egykori göttingeni pipacimborák, később híres matematikus professzorok, csillagászok számára készült kötetből Bolyai Farkas személyesen juttatott el példányokat.22

  • 20Gazda István (1948–) – tudománytörténész, a Magyar Tudománytörténeti Intézet Kht. vezetője.
  • 21 Egy halhatatlan erdélyi tudós, Bolyai Farkas. (Szerk. Gazda István.) Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002. 392–395. p. Főmunkatárs Oláh Anna. Kiadói Nívódíj 2003.
  • 22Friedrich Wilhelm Eichhorn (1799–1856) jogász, államférfi, kultuszminiszter(?); Heinrich Wilhelm Brandes (1774–1834) – német fizikus, meteorológus és csillagász; Johann Joseph Anton Ide (1775–1806) – német matematikus, a moszkvai egyetem professzora; Johann Friedrich Benzenberg (1777–1846) – német fizikus, geodéta és publicista; Carl Friedrich Gauss – Bolyai Farkas göttingeni diáktársai (lásd: Oláh Anna: Tanár Bolyai Farkas emlékkönyvi levélkéi. Cumania Kiadó, 1996.)

III. A Bolyaiak nyelvhasználati dilemmái és akadémiai tagságuk története

Nos, a Bolyaiak súlyos dilemmával küzdöttek, amikor arra a kérdésre kellett válaszolniuk, hogy milyen nyelven publikálják tudományos munkáikat?

Bolyai Farkas kéziratban fennmaradt magyar nyelvű (sajnos keltezés nélküli), rövid, tömör ismeretterjesztő írásai (például a csecsemőgondozásról, dajkaságról, különféle betegségek megelőzéséről, rágcsálók elleni különféle módszerekről stb.) bizonyára az Erdélyi Nyelvmívelő Társaság kiadványai számára készültek.23 Az 1806-ban megszűnt társaság feladatainak szellemi örököse Döbrentei Gábor lett, aki 1814–1818 között Kolozsváron az Erdélyi Muzeum című periodikát szerkesztette. Döbrentei a lap első számában magyar történelmi drámapályázatot hirdetett a készülő kolozsvári első magyar kőszínház megnyitójára, ugyanis akkoriban jórészt német nyelvről fordított darabokat játszottak a színházakban. Bolyait szoros érzelmi szálak kötötték a kolozsvári színházhoz. Még diákkorában, Kolozsváron, a piactéri Rhédey-ház tánctermében tartott színielőadások egyikén például statisztált is. Ezért aztán annyira fellelkesítette a drámapályázat (no meg a pályadíj összege), hogy előbb három drámát küldött a pályázatra, majd később még kettőt. Mivel az eredményhirdetés késlekedett, még az eredmény kihirdetése előtt saját költségén névtelenül kiadta darabjait Öt szomorú játék címen. Amúgy erre a drámapályázatra írta Katona József a Bánk bán című drámáját. Ezzel csak azt szeretnénk érzékeltetni, hogy Bolyai Farkas számára a nemzeti művelődés kérdése legalább annyira fontos volt, mint a Tudós Társaság számára.

  • 23Kiadva lásd: Egy halhatatlan erdélyi tudós, Bolyai Farkas. Akadémiai Kiadó 2002.

Farkas tehát érezte döntéshozatalának súlyát, akkor, amikor a Tentamen és a János Appendixének latin nyelvű kiadása mellett döntöttek. Farkas szinte előre tudta, hogy a latin kiadvánnyal szembehelyezkedik a Magyar Tudós Társaság alapvető célkitűzéseivel. Pontosan ismerte a Társaság álláspontját a magyar nyelvű tudományos művek megjelentetésével kapcsolatosan. Szinte hallani vélte a latin nyelvet ellenzők kifogásait, valószínűen szerette volna elejét venni a kritikáknak. Ezzel magyarázható, hogy a Tentamen 2. kötetéhez Bolyai egy magyar nyelvű „toldalékot” is fűzött, amiben kifejezi kritikáját a Tudós Társaság merev nemzeti nyelvhasználati elvárásaival szemben. Ezt írja:

Egy kis toldalék és jelentés. [részletek]

Egyébaránt ezen lapokon az írás sokban különbözik az említett könyvecskebelitől ugyanis itt a Pesten 1832-ben nyomtattatott Magyar Helyesírás főbb szabályihoz kívántam magam alkalmazni; mivel amidőn ahányan vagyunk, annyiképpen írunk, […] Sok van, amelyre nézve kisebb az, miként, mint az, hogy eldöntve legyen; s megegyezve, valahára azon a nyelven tanuljunk, amelyet Anyáiktól tanultunk; […] – s csak két nyelvet meg is lehet bírni (legalább inkább, mint annyit, ahányat most tanulni kénytelenek vagyunk), s a tudomány nyelve is akkor a Deák volna. Vajha a tudós Társaságok abban egyeznének meg, hogy a tudományok óriási növelésével, amidőn az emberi erő s idő nem nő, a mostani sok s mind több-több helyett egy mathesisi s muzsikai lélekkel alkotott vég nélkül tökélyesíthető nyelven nyomtassanak mindent (a szükségest is lefordítva): […] De az említett nyelvre térve vissza; az nem rekeszti a nemzeti nyelvet ki; A köznyelv mellett minden nemzetnek ekkor is művelni kellene a magáét; s két nyelvet meg is tanulhatna mind a két nem; s minden nemzet egy nyelven tudván szólani, az egymás megértése milyen egybefoglaló kötél lenne (amely Hazánkban is oly kívánatos volna); s mely közelítés lenne az emberi nem egyezségére…24

  • 24 Egy kis toldalék és jelentés. Tentamen. 2. köt. Marosvásárhely, 1833. 413–415. p.

Nem tudjuk, hogy ez a TOLDALÉK Döbrentei levele előtt, vagy utána íródott. Ha ez a toldalék időben megelőzi Döbrentei levelét, akkor Bolyai igen jól ismerhette Döbrentei nézeteit, mert elébe ment a levélben foglaltaknak. Amennyiben Döbrentei levele kézhezvétele után írta Bolyai a TOLDALÉK-ot, akkor ez tulajdonképpen válasz Döbrentei levelére. Bolyai nem értett egyet a nemzeti nyelv használatával akkor, amikor a tudományok a határokon túlra kell, hogy íveljenek, amikor a tudósok meg kell ismerjék egymás munkáit. Amellett érvelt, hogy a határokon átívelő tudományos párbeszéd pedig csakis egy KÖZ[vetítő]NYELV segítségével valósulhat meg.

Az a tény is figyelemreméltó, hogy Bolyai 1833-ban írt toldalékában a Tudós Társaság alig néhány hónappal korábban megjelent kiadványára hivatkozik,25 ami annak a bizonyítéka, hogy élénk figyelemmel kísérte a társaság munkáját. Azt is észre kell vennünk, hogy Bolyai Farkas ezekben a sorokban a mai globalizált világ egyik alapkövetelményét, a nemzeti nyelv mellett egy közvetítő nyelv ismeretét szorgalmazza.

  • 25A Tudós Társaság 1832-ben kiadott első nyelvészeti kiadványa a Vörösmarty Mihály és Toldy Ferenc által szerkesztett A magyar helyesírás és szóragasztás főbb szabályai.

Ezzel szemben az akadémia elnöke – gróf Teleki József – szinte a Tentamen kézhezvétele után, 1834-ben, az akadémia közgyűlését megnyitó beszédében mintha Bolyai Farkassal szállna vitába, amikor ezeket mondja:

»A deák nyelv, a tudósok nyelve köti össze a világ különböző részeit, vannak tudományok, mellyeket más nyelven elő sem lehet adni, a magyar nyelv nincs kimívelve, erre valamint a tudományok előadására alkalmatlan, általa a több nemzetektől elszigeteltetünk, sok ajakú hazánknak oly köz nyelvre van szükségünk, melly egyik nemzetnek sem különös tulajdona.«

Így mentegették hidegségüket a nemzeti nyelv és tudományosság iránt azok, kik a dolgot mentésre méltónak találták az előítéletek ezen hatalmas seregének kellett fedezni sokaknál a hazafi érzés meztelenségét. Sokáig czélt is értek, mert a megrögzött előítéletek kiírtása soha sem volt, nem lesz, és nem lehet a szempillanat szüleménye, és a magyar tudományosság lankadt előlépése sok részben igazolta állításaikat.

Közel tíz évvel később Teleki elnök még mindig küzd azért, hogy a tudósok a nemzeti nyelven közöljenek. 1843. október 8-án, az Akadémia XII. közülését, megnyitó beszédében talán egy kicsit a Bolyaikra is célzott, amikor ezeket mondta:

…kénytelen vagyok azonban előre megjegyezni, hogy itt nem egyes férfiakról van szó, kik vas szorgalmok és idegen nyelvek segítségével a tudományok mélyébe hatva, fényes csillagokként ragyogtak hazánk egén, de nemzetünk míveltségét vagy nem tekintve, vagy arra hatni csak idegen nyelv segítségével akarva, minden hazafiságok, minden magyar érzéseik mellett is idegenek maradtak a magyar földön; minden dicséretes ügyekezetök, minden nagy fáradalmaik eredménytelenül hangzottak el, mint azon kertészé, ki nem a hazai növények nemesítésén, nem az idegenek meghonosításán törekszik, hanem minden erejét, minden mesterségét égmérsékletünkhez nem alkalmaztathatók… megtartására fordítja, hogy ne mondjam, pazarolja…26

  • 26 Magyar Academiai Értesítő 1843. 171–178. p.

Ezen a ponton ki-ki döntse el a tudósok közötti eszmecsere létjogosultságát, akkori és mai korszerűségét.

És ha véletlenül Teleki a Bolyaikra célzott volna, akkor cáfolatként álljon itt Bolyai Jánosnak egy vallomása:

1842 nyara óta némi apróbb tanulmányok után anyanyelvemre s annak kitűnő derék tulajdonaira közelebbről kezdettem figyelmemet… [fordítani] …a magyar nemzetet s nyelvet különösön szeretem, s épen javát kívánom eszközölni mint az is bizonyítja, hogy tanaimat magyarul írtam, s írom is.27

  • 27Uo.

De lássuk a Bolyai kézirat további történetét.

IV. A „Mathesisi” pályázat

IV.1. A pályázati kiírás

1835. szeptember 13-án – négy hónappal az után, hogy az akadémia titoknoka kézhez vette Bolyai Arithmetikáját –, a Tudós Társaság pályázatot írt ki magyar nyelvű Mathesisi munka írására. A kijelölt témakörről jegyzőkönyvben az alábbi bejegyzést találjuk:

NEGYEDIK KÖZÜLÉS’ JEGYZŐKÖNYVE


14. A’ titoknok kihirdette 1835re ezen kétféle kérdést:


Mathesisi:

Mutattassanak ki a’ felsőbb analysis’ azon tanítmányai, mellyek a’ műtudományokba (scientiae technicae) befolynak, ’s adassék elő népszerűen gyakorlati alkalmazások.

Jutalma 100 darab arany.

Mindenik osztálybeli felelet’ beküldésének változatlan határnapja 1837b. martius’ 19dike, mellyen azt, írója’ nevét rejtő pecsétes levélre hivatkozó jelmondattal, a’ titoknok veszi által. Azon napon túl érkező felelet el nem fogadható. Kiköttetik még, hogy a’ kézirat tisztán irva, lapozva, bekötve, jőjön.


Pesten, a’ IVdik közülésből, september’ 13d. 1835. Döbrentei Gábor m. k. titoknok28

Ugyanaz a Döbrentei Gábor írja alá az akadémiai pályázati felhívást, aki korábban saját kezűleg vette át Bolyai Farkas Arithmeticaját. Az akadémiai tagság egyébként tájékozott volt már korábban is a kötet megjelenéséről, mert Tittel Pál29 1831-ben összeállította A’ Mathesisnek akármelly ágazattyából kijött Magyar Könyvek Lajstomá-t, ahová a szerző feltüntetése nélkül bevette Az arithmethica elejét is.

  • 28A Magyar Tudós Társaság Évkönyvei harmadik kötete (1834–1836; kiadva 1837-ben) az 55. oldalon közli az 1835. szeptember 7–15. között tartott negyedik közgyűlés jegyzőkönyvét.
  • 29Tittel Péter Pál (1784–1831) – csillagász. Gaussnál tanult Göttingenben, aki igen megszerette szorgalmáért, tehetségéért, szórakoztató egyéniségéért. 1830-ban a Tudós Társaság – a matematikusok közül elsőként – rendes tagjai közé sorolta.

IV.2. Vélekedések a díjazott pályaműről

A pályázatot Nagy Károly ugyanezen évben megjelent Arithmetica; számírás különös jegyekkel (Bécs, 1835) című kötete nyerte el. A hivatalos eredményhirdetés a társaság 1836. szeptemberi VII. nagygyűlésén történt meg. Ekkor már Schedel Ferenc30 volt a társaság titoknoka. Úgy tűnik, hogy Bolyai még 1836 tavaszán értesült a pályadíjas kötetről, ugyanis 1836. augusztus 1-én levelet írt a Bécsben tanuló egykori kiváló tanítványához, (albisi) Bod Péterhez,31 akit Bolyai igen tehetséges matematikusnak tekintett. Arra kérte Bod Pétert, mondjon véleményt a díjazott műről, amit úgy tűnik ő még nem olvasott. Kérdéseket tett fel neki a könyvvel kapcsolatosan bízva abban, hogy ő hozzáférhet a Bécsben nyomtatott kiadványhoz. Íme néhány sor a levélből:

  • 30Schedel (Toldy) Ferencz (1805–1875) – bölcseleti és orvosdoktor, királyi tanácsos, egyetemi tanár és könyvtárigazgató, a Magyar Tudományos Akadémia rendes és igazgatósági tagja, 1835–1861-ig az MTA titoknoka. Vörösmarty Mihállyal és Bajza Józseffel az Athenaeumot szerkesztette.
  • 31(albisi) Bod Péter (1801–1868) – Bolyai Farkas egyik legtehetségesebb diákja, aki Bécsben végezete tanulmányait. Hazaérkezése után Bethlen Ferenc birtokán lett nevelő, gazdatiszt, majd tisztviselő az erdélyi udvari kancellárián.

IV.2.a. Bolyai Farkas levele Bod Péternek

Kedves Tisztelt Öcsém Uram!

…M[agyar] országon 200 Cs. Aranyot nyert Nagy Károly Mathesise: itt a’ tavasszal tanítványaim ugyan másként ítéltek; tudósítson ha valami eredetit ’s csak valamit tisztába hozva talált benne; vagy ha valamelly jó új műszó van benne.

A’ nyomtatás szép az igaz, ’s Correct ’s elég nagy, de részemről edj lapot többre becsülök, a’ mellybe valami tisztába van hozva, mint csak összerakott tíz fóliánsot. […] Vagyok atyafiságod szíves indulattal

Barátja

Bolyai Farkas

M[aros]Vásárhely, 1836. aug. 1.32

  • 32Lelőhelye: Marosvásárhely, Teleki–Bolyai Könyvtár, Bolyai gyűjtemény, Bolyai Farkas iratai, 305. sz. irat.

Bolyai bizonyára csak elmesélésből tudott a nyomtatás jó minőségéről, de a tartalmát nem ismerte részleteiben. Ezért kérdezte Bod Pétert. Egy hónappal a levél keltezése után – 1836. szeptember 5-én – a Magyar Tudós Társaság VII. nagygyűlésén hivatalosan is kihirdették a pályázat eredményét és aprólékosan indokolták az ítéletet is. Íme a Társaság Évkönyvének ezzel kapcsolatos bejegyzése:

IV.2.b. A hivatalos indoklás

10. Végre az 1335re kiadott nagy jutalomról szóló következő jelentést

Megvizsgálván a’ társaság, hat tudományosztályának hivatalosan beadott feljegyzéseiből 1835. év’ lefolyta alatt kijött magyar könyveket, örömmel vette észre némelly dicséretes elmemívben a’ nemzeti tudományos míveltségnek újabb jeles fejlődését, ’s azok közül a’ 200 arany nagy jutalmat szavazat-többséggel a’ kivetkező czíműnek ítélte: »Artihmetica; számírás különös jegyekkel; írta Nagy Károly; Bécs, 1835.«

Ítélt pedig így a’ társaság ezen okoknál fogva:

1) Az eddig magyar nyelven kijött arithmeticák között legjelesebben kidolgozott egészet formál; helyesen fogta fel a’ szerző az arithmetica’ és algebra’ szoros egybeköttetését, melly tekintetből annak lépcsőnként az algebra felé kell közelíteni, ’s arra előleges bevezetésül szolgálni.

2) Ugyan ez okból szélesebb, de egyszersmind czélszerübb kört szabott magának. Érintette az algebrának és analysisnek csaknem minden tárgyait, mellyek a’ mélyebb és terjedelmesebb szemléleteknek alapjait teszik. Számvetési tekintetben pedig meg nem állapodván a’ közönségesen tudva lévő munkálatok’ előadásával, azokon kívül kifejtette a’ tizedes törteknek csaknem minden, tudományos munkákban egyedül előforduló, haszonvételét, a’ láncztörtek’ tulajdonit, ’s a’ logarithmokkal bánást, melly utóbbiak által eszközölhető könnyítések kiváltképen megérdemelnék, hogy a’ köz életben gyakoribb alkalmaztatást nyernének.

3) A befoglalt számtáblák a’ gyakorlati számvetésben igen érzett hiányt pótolnak ki; a’ számvetési példák pedig nemcsak az eléadást világosítják fel, hanem egyszersmind a’ haszonvételt is előterjesztik.

4) Ezen oknál fogva minden eddig magyar nyelven kijött arithmeticák közül legalkalmasabb az, ifjúságnak a’ mathematicai tudományokba első alapos bevezetésül; másoknak pedig, kik a’ számvetésben némi jártasságot kívánnak magoknak szerezni, további bővebb utasításul. […] Írta Fejér György33, Buda, 1835.34

  • 33Fejér György (1766–1851) – teológiai doktor, prépost-kanonok, az Egyetemi Könyvtár igazgatója.
  • 34 A M[agyar] T[udós] Társaság Évkönyvei. 1834–1836. III. kötet. (Első osztály. Döbrentei Gábor: A Magyar Tudós Társaság történetei). 154. p. Ötödik közgyűlés jegyzőkönyve, elölülő gr. Teleki József, D. Schedel Ferenc titoknok.

IV.2.c. Döbrentei Gábor levele Bolyai Farkasnak

Döbrentei Gábor beszámolt Bolyai Farkasnak is az eseményről. 1836. november 4-én kelt levelében, ezt írta:

Nagy Károly arithmeticája kapta 1835-re a 200 darab aranyat. Győry,35 Nyíry,36 Bitnitz37 mathesisi tagok nagyon ajánlották. A választottság négy tagja Fáy,38 Vörösmarty,39 Szász Károly,40 Stettner41 azon a véleményen volt, hogy 100 Bajzának menjen verseiért, 100 Nagy Károlynak; 3 tagja pedig: Döbrentei, Kállay,42 Győry mind a 200 Nagynak egyedül. E kisebb számban maradottak közül Döbrentei és Kállay felolvasták külön szavazatukat a 32 tagu nagygyűlés előtt, s erre 18 csak Nagy Károlyra szavazott.43

  • 35Győry Sándor (1795–1870) – mérnök és országos királyi építészeti igazgató, 1832-től a Tudós Társaság matematikai osztályának rendes tagja. A matematikai tudományok hazai terjesztése, a magyar műnyelv, műszavak megteremtése volt fő célkitűzése.
  • 36Nyíry István (1776–1838) – a sárospataki főiskolai tanára, 1832-től a Tudós Társaság matematikai osztályának rendes tagja.
  • 37Bitnitz Lajos (1790–1871) – bölcselettudor, a Tudós Társaság előbb a matematikai osztályban vidéki rendes, később tiszteletbeli tag.
  • 38Fáy András (1786–1864) – író, politikus és nemzetgazda, a magyar reformkor irodalmi és társadalmi mozgalmainak egyik legtevékenyebb alakja. Tevékenyen vett részt a kor minden kulturális és gazdasági mozgalmában. Nevéhez fűződik a Pesti Első Hazai Takarékpénztár megalapítása. Az akadémia tiszteletbeli tagja.
  • 39Vörösmarty Mihály (1800–1855) – költő, író, a magyar romantika egyik legnagyobb alakja. A Tudós Társaság 1830. november 17-i alakuló ülésén Vörösmartyt rendes tagjává választotta – rendszeres fizetéssel. 1837–1843-ban Bajza Józseffel és Toldy Ferenccel az Athenaeumot szerkesztette.
  • 40Szász Károly (1798–1853) – államférfi, tudós, matematikus, 1834-től a Tudós Társaság rendes tagja. Bécsben természettudományi tanulmányokat folytatott. Itt ismerkedett meg Bolyai Jánossal. Hazatérte után előbb Enyeden, majd élete végén, Marosvásárhelyen matematikát tanított Bolyai Farkas utódaként. Bolyai Farkas nagyra értékelte tudását, és halálára írt nekrológban azt írja, hogy: „A mathesis és physika ritka jeles tanára, Szász Károly nincs többé!” A nekrológ teljes szövegét lásd: Dr. Oláh-Gál Róbert: Lyukas óra, Szász Károly és Bolyai János című írásában. (Népújság. Marosvásárhely, 2002. november 2–3.)
  • Az MTA Könyvtára Kézirattárában (a Bolyai-gyűjtemény részeként) megtalálhatóak kollégiumi előadásainak jegyzetei. (Jelzet: K 30/ 25–35)
  • 41Zádor (Stettner) György (1799–1866) – a magyar királyi tábla közbírája, a Magyar Tudós Társaság és a Kisfaludy Társaság rendes tagja.
  • 42Kállay Ferencz (nagy-kállói) (1790–1861) – nyugalmazott császári és királyi hadbíró-kapitány, 1832-től a Tudós Társaság rendes tagja. „Kivált a régibb történet-nyomozás és az összehasonlító philologiában munkás volt, de figyelmét a philosophiára s a társadalmi tudományokra is kiterjesztette” (Szinnyei).
  • 43 Irodalomtörténeti Közlemények 1897. 450. p.

A nagyjutalom odaítélését követő napon, 1836. szeptember 10-én Nagy Károly az akadémia rendes tagja lett.

Érdemes vetni egy pillantást azoknak a tagoknak a matematikai jártasságára, akik véleményezték a matematikai díjnyertes munkát, és akik szavaztak a pályadíj odaítéléséről. Mindössze négy főt találunk a szavazó 32 tag között, akik valóban jártasak voltak valamelyest ebben a tudományban. Szász Károly például élete vége felé rövid ideig Marosvásárhelyen Bolyai Farkas utóda volt a kollégium matematika katedráján. Ő sokallta a 200 aranyat Nagy munkájáért. Nos, annyi bizonyos, hogy pénzről, sikerről, akadémiai tagságról egy igen belterjes, különféle ismeretségek, vagy érdekközösségek alapján, távolról sem szakmai érvek mentén, döntöttek a „Matematikai Osztály mandarinjai” – ahogyan Vekerdi László jellemzi a döntéshozókat említett munkájában.

Több mint valószínű, hogy időközben Bolyai Farkas is elolvasta a kötetet, ugyanis egy hónappal a hivatalos ítélethirdetés után egyik Gausshoz44 írt levelében Bolyai egészen más szempontok szerinti ítéletet ír a díjazott munkáról, mint a Tudós Társaság bírálói. Tíz kifogást is talál a könyv tartalmi, nyelvészeti és szakmai színvonalával kapcsolatban, ami alapján egyszersmind a bírálókról is véleményt mond. Íme, egy részlet a levélből:

  • 44Carl Friedrich Gauss [Gauß] (1777–1855) – német matematikus és természettudós, Bolyai Farkas göttingeni diáktársa, egy életen keresztül jó barátja, levelezőtársa volt. A gyakran a „matematika fejedelmé”-nek is nevezett Gauss munkássága olyan komoly hatással volt a matematika és a tudomány több területének fejlődésére, hogy Euler, Newton és Arkhimédész mellett, minden idők egyik legnagyobb matematikusaként tartják számon.

IV.2.d. Bolyai Farkas levele Carl Friedrich Gaussnak

Hogy mint áll nálunk a Matematika ez mutatja: egy most magyarul megjelent munka az Arithmetika és Algebra alapelemeiről elnyerte a Tudós Társaság kétszáz aranyos díját, pedig egyéb érdeme nincs e munkának, mint hogy Bécsben szépen és helyesen nyomtatták; híján van a legcsekélyebb eredetiségnek, éleselméjűségnek, semmit sem tisztáz, nyoma sincs a tömörségnek, tartalma csekély. S nemcsak középszerű de rossz.

Nem szeretném, ha egy leendő matematikus ebből tanulna, nincs egyetlen jó műszava, minden szolgai fordítás.

Mégis örvendek neki, mert ezzel az első lépcsőfokra léptünk. Még egy évszázad, és az elsőből ezredik lesz (vagy lehet)45

  • 45 Bolyai-levelek. Szerkesztő Benkő Samu. Bukarest, 1975. 188–189. p.

IV.3. Nagy Károly, Vállas Antal és Bolyai Farkas
vélekedése ugyanazokról a matematikai kérdésekről

1837 elején Bécsben megjelenik Nagy Károlynak egy újabb matematika kötete, Elemi arithmologia, arithmographia. Második rész: Elemi algebra. Számírás közönséges jegyekkel (Bécs, 1837).

Erről a munkáról 1837. április 4-én Vállas Antal egy részletes ismertetést közölt a Tudós Társaság főtitkára által szerkesztett újságban.46 A bevezető lelkes sorok után Vállas kiemelt Nagy kötetéből néhány olyan feladatot és annak megoldását, amelyet újszerűnek tartott, összehasonlítva az addig Magyarországon ismert munkákkal. Íme néhány részlet Vállas írásából:

’S örvendeni kell minden igazi hazafinak, hogy nálunk, olly kevés ösztön és serkentés mellett is támadnak férfiak, kik, bő és alapos tudományoknál fogva, hátra maradt hazájok’ fiait egyszerre a miveltebb nemzetek’ tudományos titkaiba avatni képesek… Hogy a szerző a legújabb nézeteket követte, nem kevés dicséretére válik… legszebb oldalai közé tartozik, például e sornak $½=1-1+1-1+\dots-$, megfejtése maradvány által, mi az úabbj idők’ Lagrange47 és Cauchy’48 tulajdona. Euler49 még a sort 1 és 0 közti ingadozással fejtette meg… az olvasó csakhamar észre veendi, melly végtelen nagy különbség van e jeles munka, s azon elemi ’s legnagyobb részint elavult bevezetések közt, mellyekkel bennünekt Dugonics,50 Pethe, ’s utánok mások is megajándékoztak.51

  • 46Megjelent a Figyelmező az egyetemes literatura’ körében. Kiadó szerkesztők Schedel (Toldy Ferenc), Vörösmarty Mihály. Pesten, 1837. április 4.
  • 47Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – itáliai születésű francia matematikus; a számelmélet, a matematikai analízis és az égitestek mechanikája területén elért eredményeiről híres. Legfontosabb műve a Mécanique analitique, amely az e témakörben később írott könyvek alapja lett.
  • 48Augustin Louis Cauchy (1789–1857) – francia matematikus. Új tételekkel gazdagította a felsőbb algebrát, a számelméletet és a differenciálszámítást – matematikát, csillagászatot, fizikát egyaránt.
  • 49Euler, Leonhard (1707–1783) – svájci matematikus és fizikus, a matematikatörténet egyik legtermékenyebb és legjelentősebb alakja.
  • 50Dugonics András (1740–1818) – író, áldozórendi pap és tanár. A tudákosságnak III. könyve: A három szögellések (trigonometria) és IV. könyve: a csúcsos szelésekről (de sectionibus conicis) (Pozsony és Pest, 1798) című munkájával kívánt felelni II. József kormányának a német nyelvet tannyelvül kijelölő rendelete ellen, bizonyítandó a magyar nyelvnek a felsőbb tudományok tárgyalására is alkalmas voltát.
  • 51 Figyelmező. 1837. április 4. 13. sz. 102–104 p.

Bolyai Farkasnak is a kezébe került Vállas cikke. Meglepetéssel látta, hogy a Vállas által dicsért megoldásokat ő már közel egy évtizeddel korábban leírta, és saját munkáját a Tudós Társaságnak is elküldte. Ekkor döntött úgy, hogy ő maga is értékeli a Vállas által dicsért részeket. Azzal a szándékkal írta meg négyoldalnyi megjegyzéseit Vállas könyvbírálatára, hogy közzéteszi ugyanazon kiadványban, ahol a Vállas írása is megjelent. Ellenvéleményét – négyoldalnyi terjedelemben – Bod Péter Bécsben tanuló egykori diákjának küldte el azzal a kéréssel, hogy

küldje le Pestre a Tudós Társaság Titoknokjához, Schädel Ferencz Úrhoz az Athenaeum Figyelmezőjébe lejendő kinyomtatás végett.

Íme, néhány részlet a Bod Péterhez írt levélből:

Kedves Tisztelt Öcsém Uram!

Atyafiságos levelét igen szívesen vettem […]

…Ide mellékelt írásomat kérem küldje le Pestre a Tudós Társaság Titoknokjához, Schädel Ferencz Úrhoz az Athenaeum Figyelmezőjébe lejendő kinyomtatás végett: (legalul subscriptio52 helyett Co van)

Többet írtam volt; de a’ többit elhagytam; ennyit pedig mindent kímélni kívánó természetem mellet is, kinyilatkoztatni kötelesnek éreztem magamat, hogy ha lehet az uralkodni kezdett fattyú53 fény ne hátráltassa még tovább is hazánkban a kimívelődés teknősbékai későségét.

Tavaly [1836-ban] írtam volt Schädelnek kétszer is; hogy ha a T[udós] T[ársaság] kinyomtatná és szélyel küldözné, küldenék néhány ívet, az alsó ’s felső Mathesis magyarul lejendő alapos kiadásáról, oly céllal, hogy az (minden templom fertőztető gúny ’sat.) félre tételével, az Igazsághoz és Hazához való tiszta hívséggel, ha lehet míg élek még vitatódnék meg, mind a terminológiára, mind a dologra nézve; hogy osztán úgy készüljön edj alapos magyar Mathesis: de még feleletet se vettem; melyen nem is csudálkozom ott, a’hol a Nagy Károly Arithmetikáját megkoszoruzták. Igymár kéntelen vagyok (akármely szegényen is meggyőződésbeli áldozatot téve) magam költségé[n] nyomtattatni ki, ’ szélyel küldözni, meghíva egész szerény ’s tiszta célú szóval minden ahhoz értőt, a’ publicae nyomtatásban (in speciae az Atheneumban) lejendő megvitatásra.

Néhány munkám volna még kinyomtatni, de nincs pénz, ’s idő, kedv sincs.

Ha ezen írás Pestre lejendő megküldését, az ügyes ’s energiás Tü[z]szögi Károly úr, kinek Pesten atyafiságos esmeretsége is van, könnyebben megteheti.

Szíves barátságos kérésemet közölje… maradván atyafiságos szeretettel kedve öcsém uramnak igaz barátja Bolyai Farkas, MVásárhelyt, 1837be, Június 20-dikán.54

  • 52aláírás.
  • 53hamis, ál.
  • 54Lelőhelye: Marosvásárhely, Teleki–Bolyai Könyvtár, Bolyai gyűjtemény, Bolyai Farkas iratai, 304. sz. irat.

A Bodhoz címzett levél jelenleg Marosvásárhelyen, a Teleki–Bolyai Könyvtár Bolyai-gyűjteményében, Bolyai Farkas iratai közt található, jelzete 304. Ezzel szemben a levél mellékletét a Vállas cikkéhez fűzött észrevételekkel, az MTA Könyvtára Kézirattárában K 23/48 jelzet alatt őrzik. Tudjuk, hogy Bolyai Farkas marosvásárhelyi kézirathagyatékában megtalálható jó néhány olyan levél, amiket ő írt, főként azoknak a tanítványoknak, akikkel rendszeresen levelezett külföldi tanulmányaik alatt. Ilyen tanítványa volt például Jakab Lajos, vagy (albisi) Bod Péter. Nos, minden bizonnyal ezek a diákok beadták a kollégium könyvtárába egykori professzoruktól kapott leveleiket. Évekkel később Szabó Sámuel könyvtáros hazavitt a lakására számos Bolyai kéziratot. Bizonyára ekkor választotta szét a Bod Péterhez írt levelet a mellékletétől, és csak ez utóbbit vitte el, később fia ezt találta meg és adta be az MTA Könyvtára Kézirattárának.

Ezen a ponton több kérdés is felmerül a kutatóban.

Elsőként az, hogy miért küldte Bolyai a kinyomtatásra szánt írását Bod Péternek Bécsbe ahelyett, hogy egyenesen Athenaeum Figyelmezőjébe küldte volna?

Nos, több válasz is lehetséges. Egyik az, amit Bolyai maga ír le, nevezetesen, hogy egy energikus személy útján – akihez Bodnak kellett volna eljutatni az írást – valószínűbb volt az írás elhelyezése szerkesztőségbe. Ismerve azonban Bolyai tudományos magányát, nincs kizárva, az sem, hogy Bod Péter kiváló matematikus diákjának véleményére is kíváncsi volt. Arra számított, hogy Bod elolvassa a Bécsben megjelent bírált kötetet, utána a Bolyai megjegyzéseit, és mintegy lektorként fog közreműködni. Remélte, hogy ha neki magának esetleg nem lenne igaza, azt Bod jelezni fogja.

Egy másik kérdés az, hogy mit csinált Bod az írással, hiszen mint a bizonyítékok is mutatják, a kézirat a Bolyai-hagyatékban maradt. Sajnos a Bolyai-hagyatékban nincsenek meg a Bolyaihoz írt diáklevelek, holott Bolyai folyamatosan az előzőleg kapott levekre válaszolt. Így nem tudhatjuk pontosan ennek a küldeménynek sem az útját. Lehet, hogy a Bolyai által megnevezett személy (Tüzszögi?) elvitte a Figyelmezőhöz, de nem fogadták el, ő pedig ezután pedig visszaadta Bodnak. Az is megtörténhetett, hogy Bodnak nem sikerült a tanulmányt eljuttatni a Figyelmezőhöz. Annyi bizonyos, hogy a Tudós Társaságban sohasem esett szó erről a tanulmányról, és nyomtatásban sem jelent meg sehol.

Lássuk, mit szeretett volna Bolyai Farkas válaszolni Vállas Antalnak a Figyelmezőben, ha lehetőséget adtak volna neki:

A tudományos kutatások története során gyakran előfordult már, hogy különböző korok tudósai ugyanarról a kérdésről különbözőképpen vélekedtek különösen akkor, ha az adott tudományágban újabb felfedezések születtek. Jelen esetben egyetlen kérdés körül – a Nagy Károly könyvében tárgyalt matematikai feladat megoldása – öt különböző vélekedést tudunk egymás mögé állítani.

Nagy Károly – szerző, matematikus (1837)
Vállas Antal – bíráló, matematikus (1837)
Bolyai Farkas – bíráló, matematikus (1837)
Vekerdi László – művelődéstörténész, tudományos kutató (1996)
Oláh-Gál Róbert – matematikus, egyetemi oktató (2006)

Jelen sorok szerzője úgy szerkesztette a tanulmányát, hogy egymás mögé helyezte az említett írásokat. Az olvasónak lehetősége van történelmi távlatokból követni egy matematikai mű évszázadokon átívelő értékelését, megítélését. Sikerül bepillantania a korabeli akadémiai folyamatokba, és felmérni azokat a nehézségeket, amivel a periférián élő tudós őseink küzdöttek saját maguk tudományos megismertetéséért, elismertetéséért.

IV.3.a. Nagy Károly: Elemi arithmologia, arithmographia

Második rész: Elemi algebra. Számírás közönséges jegyekkel. Írta nagy Károly (m. t. társ. amer. phil. t. rendes tag). Bécs, MDCCCXXXVII. (Szemelvények)

[Ezekről a bekezdésekről írta Vállas Antal elismerő ismertetőjét a Figyelmezőben.]

3. § Elosztás.

13. Közönséges tekintetek

14… stb.

20. Az algebrai osztás némely nevezetes tekintetekre vezet, ’s noha szabályai minden esetre alkalmazhatók, mégis úgy látszik mintha kivételek is helyt találhatnának, ha alakjait különös jegyekre a’ számokra visszük. Közelebbi figyelem semmi kétséget nem hagy azonban, valódi helyeslétek iránt.

1) Ha $(x^{3}-1)$, mi mindegy és egyenlő $(x^{3}-1^{3})$el, $(x-1)$el elosztjuk lesz

$$(x^{3}-1):(x-1)=x^{2}+x+1$$

[Itt következik a levezetés.]

2) $(x^{n}-1):(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^{2}+x^{1}+1$.

Legyen tehát $x$ nek bármelly mutatója, vagyis legyen $n$ bármely szám $(x^{n}-1)$ mindenkor osztható $(x-1)$ által.

Egészen másként van $(x^{n}+1)$el, mert ezt nem lehet $(x-1)$ által úgy elosztani, hogy maradék ne támadna, bár végtelenig fojtassuk is az osztást, p. o.:

3) $(x^{2}+1):(x-1)=x+1+\frac{2}{x-1}$, hol $\frac{2}{x-1}$
a’ maradék ’s ha az osztást folytatjuk jön 1 után

$$\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}+\dots\text{’sa’t.}$$ $$(x^{3}+1):(x-1)=x^{2}+x+1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}+\dots\text{’sa’t.}$$

4) Hasonló kifejezések mint

$$(x^{2}-1),\ \ (x^{4}-1),\ \ (x^{6}-1),\ \ \text{’sa’t.}$$

mellyeknél $x$ nek mutatója párosszám, tökéletesen oszthatók $(x+1)$ által; tehát közönségesen $(x^{2n}-1)$ osztható $(x+1)$ által ’s véget ér maradék nélkül, lesz pedig a’ részes

$$(x^{2n}-1):(x+1)=x^{2n-1}-x^{2n-2}+x^{2n-3}-\dots\text{’sa’t.}+x^{3}-x^{2}+x-1$$

hol mindegyik $x$ melynek mutatója páros szám, tagadó vagy $-$ jeggyel illetett.

A’ példákban a’ tanuló $x$ és $n$ helyett bármelly számokat tehet gyakorlásul.

5) Ha ezen kifejezésekben elöl tesszük az egyet, a’ részes alakja nem változik, csak hogy $x$ emelései felmenő sorban fognak állani, p. o.:

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-\dots\text{’sa’t.}$$

Mint látjuk a’ sor végnélküli ’s bárhol hagyjuk el az osztást mindenütt marad valami: p. o.: ha csak egy tagot veszünk

$$\frac{1}{1+x}=1-\frac{x}{1+x}$$

ha két tagot lesz

$$=1-x+\frac{x^{2}}{1+x}$$

ha hármat

$$=1-x+x^{2}-\frac{x^{3}}{1+x}$$

’s így tovább, hol minden páros mutatója $x$-nek $+$, páratlan pedig $-$ jeggyel van illetve.

Ha a’ tanuló ezen alakokat különös jegyekkel írja figyelemmel legyen a’ maradékra, különben ellentmondásokra akad. Azt mondanánk p. o.: hogy $(x^{4}+1)$ nem osztható $(x-1)$ által maradék nélkül, és p. o.:

$$(x^{4}-1):(x-1)=x^{3}+x^{2}+x+1+\frac{2}{x-1}$$

hol $\frac{2}{x-1}$ a’ maradék. Ha azonban $x$ helyett hármat irunk, vagyis $x=3$ tesszük, lesz

$$(x^{4}+1)=3^{4}+1=82$$

és

$$(x-1)=3-1=2$$

82 pedig osztható 2 által maradék nélkül és a’ részes 41, ’s itt úgy látszik, hogy az algebrai alak nem közönséges, de ha $x$ mostani értékét a’ sorba tesszük vagy az osztást csakugyan algebrai módon végezzük, lesz

$$(3^{4}+1):(3-1)=3^{3}+3^{2}+3+1+\frac{2}{3-1}$$

mint fellyebb, e’ pedig nem egyéb mint:

$$27+9+3+1+\frac{2}{2}\text{ hol }\frac{2}{2}$$

a’ maradék itt történetből egész szám és $=1$, és az egész részes $=41$.

6) Ha a felsőbbi példánkban $x$-et tagadóan vesszük lesz

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+\text{’sa’t...}$$

végnékül.

7) Ha ugyan a’ felsőbbi példában $x$ helyett egyet teszünk lesz

$$\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=1-1+1-1+1-1+1-1+1-\text{’sa’t...}$$

végnélkül és bármily tagnál hagyjuk el az osztást, az osztási érték $½$, vagy $=0$, vagy $=+1$ és egyik sem igaz, de ha a’ maradékot figyelemben tartjuk és a’ talált résztagokhoz adjuk, kétségen kívül meg kell találnunk $½$-nek valódi értéket. Ezen maradék vagy $-\frac{1}{1+1}$, vagy $+\frac{1}{1+1}$, azaz vagy $-½$, vagy $+½$ mint páros vagy párotlan tag következik, bárhány tagot vegyünk tudniillik, ha páros számu tagot veszünk p. o.: $2, 4, 6, 8 \text{ vagy } 10$ tagot, ezen páros számu tagok öszvese mindig $=0$, hozzájuk adván a’ következő párotlan helyen álló maradékot melly

$$+½\text{, lesz }\frac{1}{1+1}=0+½=½$$

és szinte így bármely tagot vegyük párotlan számmal 1, 3, 5, 7, 9, ’sa’t., öszvesük mindenkor $+1$, hozzá ad ván a’ páros helyen álló maradékot melly mindenkor $-½$ lesz ismét

$$\frac{1}{1+1}=+1-\frac{1}{1+1}=½$$

Álmélkodni lehet hogy ezen környülállás több igen jeles író elöl mintegy elszökött, ’s hogy okát inkább elmélkedéssel akarták bizonyítni, mintsem a’ mardékra jutottak volna egyszerűen. Igy eszmélkedte p. o.: a’ többek közt. A’ sor végnélküli, felváltván jegyeiket a’ tagok $+$ és $-$ követik egymást ’s bárhol hagyjuk el ezen végnélküli sort, vagy $+1$, vagy $0$ lesz $½$ nek értéke, de mivel a változások minden két egymásmellett álló tagközt ismételve vannak, az egész tagnak is a kettő közt kell lennie, mint hogy tehát $½$ sem $+1$, sem $0$ nem lehet, szükségképpen a’ két érték közepiben kell lennie, ez pedig $=½$. Mennyire lehetne az illy okoskodás meggyőző, azt kiki általlátja…55

  • 55A fejezetek és alfejezetek számozása követi a kötet fejezeteinek számozását, ugyanis a kiemelt feladatok a könyv különböző fejezeteiből származnak.

IV.3.b. Vállas Antal könyvbírálata Nagy Károly munkájáról

[Figyelmező az egyetemes litaratura’ körében. Pest, 13. szám, 1807. április 4. 102–104. p.]

Mathematicai tudományok.


3) Elemi arithmologia, arithmographia. Második rész: Elemi algebra. Számírás közönséges jegyekkel. Irta Nagy Károly (m. t. társ., amer. phil. t. rendes tag). Bécs, Rohrmann és Schweigerd, cs. k. udv. könyvtárosoknál MDCCCXXXVII. n. 8. XIV és 373 lap. Ára 1 ft. 40 kr. cp.


E’ munkájáról a’ szerző maga a’ következőket mondja:

Jelen munka a’ számirásnak egészítője, és egyszersmind bevezető az analysisba. Előadja a’ tudomány’ legbecsesb és leghasznosabb tárgyait, (magában) foglalván azt, mi az ujabb előmenet’ és vizsgálatok’ következése, kizárván, mi régibb vagy inkább történeti ’s mit, a’ tudományt ’s annak útját nyomozó tanuló, több nyelveken irt számos könyvekben megtalál.

Ennyit a’ szerző az előszóban. Már a’ foglalatból is kitetszik, hogy a’ szerző részint többet ád, mint közönséges elemi könyveink, ’s részint (nálunk) szokatlan tekintetekkel él. Például szolgáltatnak: az »egyenletek közönséges theoriája«, és a’ gyökerek- és mutatókróli alszakaszok. Fölosztása és elrendelése a’ fölvett tárgyaknak ez: I. szakasz. Alap miveletek; II. szak. Factorok és osztók; III. szak. Törtek (közöns. törtek, láncz- és tizedes törtek); IV. szak. Emelések és gyökerek (mutatói számírás); V. szak. Többtaguak emelései, gyökérvevés; VI. szak. Arányok, progressiók és sorok (arithm. geom. és kevert sorok); VII. szak. Logarithmok; VIII. szak. Egyenletek (első és másodrendű egyenletek egy vagy több ismeretlennel, kéttagú egyenletek); IX. szak. Egyenletek’ közönséges theoriája (közönséges föloldások közelítés által), pénzbeli kamatok’ viszonyai.

Ref. ismételni nem akarja, mit a’ tiszta mathesis’ tanítmányainak helyes elrendeléséről más helyen már mondott, ’s mire visszatérni kétség kívül még lesz alkalma. A’ szerző a’ jelen kor’ legtudósb mennyiségtanítói’ példájára elszakasztá a’ változatlan, azaz állandó menynyiségek’ tanítmányait a’ változókat illetőktől, ’s ez utolsókat az analysisra hagyá. Mert a’ felsőbb egyenletek’ ismeretlenét változónak nézni nem lehet, valamint a’ bizonytalan egyenletekben előforduló egyik ismeretlent sem, kivévén ha ez semmi föltételhez kötve nincsen. Ezt előre bocsátván, ref. a’ tárgyak’ fölvételét és elrendelését igen helyesnek találja. ’S örvendeni kell minden igaz hazafinak, hogy nálunk, olly kevés ösztön és serkentés mellett is, támadnak férfiak, kik, bő és alapos tudományoknál fogva, hátra maradt hazájok’ fiait egyszerre a’ míveltebb nemzetek’ tudományos titkaiba avatni képesek. Hogy a’ szerző a’ legújabb nézeteket követte, nem kevés dicséretére válik; de, ha lehetne, még inkább dicsérnők, hogy megkimélt puszta speculatiókkal — mellyeket elkerülni gyakorlott analystának majdnem lehetetlen.

A’munka’ legszebb oldalai közzé tartozik, például, e’ sornak

$$\frac{1}{2}=l-1+1—1+1\dots$$

megfejtése a’ maradvány által, ’s általában a’ maradványra figyelés, mi az újabb idők’, Lagrange’ és Cauchy’ tulajdona. Euler a’ sort még az 1 és 0 közti ingadozás által fejtette meg. Aztán a’ 42. lapi tétel:

„Ha valamelly kifejezésben a’ betűnek olly értékét adhatjuk, hogy az egész mennyiség semmivé lesz, akkor a’ betű és ezen érték közti különbség, factora az adott mennyiségnek.“

Szembetünő, hogy ez által a’ szerző megelőzi azon akadályokat, mellyek előlálhatnak az egyenletek’ theoriájában. Ref. örömmel olvassa a’ 83. lapi észrevételt, hogy ha

$$\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\text{ a és }\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\text{ a}$$

a harmadik fokra emeltetnek, a’ következet mindig $=a^3$. Így anticipálja a’ szerző, hogy $a^3$-nak három gyökere van, t. i.

$$\text{a, }\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\text{ a, }\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\text{.}$$

Továbbá említetik, hogy

$$a^2+b^2=\left[a+\sqrt{-b^2}\right]\left[a—\sqrt{-b^2}\right]\text{,}$$

minél fogva $(a^2+b^2)^3$ gyökerei tudvák. Ref. kijeleli még a’ binomium’ alkalmaztatását, és a’ logarithmok’ kiszámítását illető tételeket és észrevételeket. Ez utólsók közt a’ megfordított kérdés’ megfejtése is találtatik, t. i. valamelly logarithmushoz az illető számot megtudni, ’s ennek következésében Dodson’ táblája.

Az előadás legtöbbnyire világos; ellenben a’ nyelvvel vétkes gondatlansággal bánik. Ref. sajnálkozik, hogy a’ szerző néha nem hivatkozik előbbeni tételekre, vagy Arithmeticájára, mi a’ tanulást nem kévéssé elősegítené. Így, például, a’ 47. lapon 3)-nál a’ 32. és 33. lapi tételeket emlékezetbe hozni nem vala fölösleges. Nagyobb akadályok talán, némelly tanulókra nézve, a’ számos nyomtatási vagy írásbeli hibák, ’s ref. reményli, hogy a’ szerző a’ javítandó hibák’ lajstromát még igen sokkal fogja bővíteni. Így áll:

$$\frac{a\sqrt{-1}+a}{\sqrt{-1}+1}\text{ vagy }\frac{\sqrt{-a^2}+a}{\sqrt{-1}+1}$$

helyett a’ 83. lapon:

$$\frac{a\sqrt{-a}+a}{\sqrt{-1}+1}$$

Így 114. l.

$$\left[\begin{matrix}m\\r\end{matrix}\right]=\frac{m(m-1)\dots (m-r+1)}{1\cdot 2\dots r}$$

helyett

$$\left[\begin{matrix}m\\r\end{matrix}\right]=\frac{m(m-1)\dots (m-r+2)}{1\cdot 2\dots (r-1)}$$

Aztán a’ 116. lapon a’ következőben:

$$(1+z)^{-m}=1-\left[\begin{matrix}m\\1\end{matrix}\right]z+\left[\begin{matrix}m\\2\end{matrix}\right]z^2-\left[\begin{matrix}m\\3 \end{matrix}\right]z^3+\left[\begin{matrix}m\\4\end{matrix}\right]z^4+\dots$$ $$\left[\begin{matrix}m\\r\end{matrix}\right]=\text{alatt ez értetik}$$ $$\frac{m(m+1)\dots (m+r+1)}{1\cdot 2\dots r}$$

az előbbi értelemhatározás ellenére. A’ 121. lapon

$$\frac{1}{x^m}-m\frac{a}{x^{m+1}}+\frac{m(m+1)}{1\cdot2}\cdot\frac{a^2}{x^{m+2}}-\frac{m(m+1)(m+2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{a^3}{x^{m+3}}$$

helyett áll:

$$\frac{1}{x^m}-m\frac{a}{x^{m-1}}+\frac{m(m+1)}{1\cdot2}\cdot\frac{a^2}{x^{m-2}}-\frac{m(m+1)(m+2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{a^3}{x^{m-3}}$$

A’ polynomium $$[a+bx+cx^2+\dots]^m$$

kifejtésében mindjárt $x^3$ „velejárója“ hibás, melly, mint tudjuk,

$$=ma^{m-1}d+m(m-1)a^{m-2}bc+\frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}a^{m-3}b^5$$

A’ 146. lapon többször áll $\frac{am}{m-1}$ helyett $\frac{am}{m^{n-1}}$. – Már ezekből is látni fogják az olvasók, milly vigyázattal kelljen lennünk a’ szerző által fölhozott alkatok iránt. Ref. azt hiszi, hogy a’ szerző sokkal fölebb polczon áll, ’s tudománya sokkal velősebb és alaposb, minthogy híre, mellyet való érdemek által szerze magának, az előhozott hibák miatt legkisebbé is csonkulhatna; mindazáltal el nem hallgathatta azokat, leginkább az olvasó vagy tanuló’ könyebbsége miatt, mellyet szem előtt tartani és előmozdítani hazafiúi kötelesség. Ajánlja végre ref. e’ könyvnek szorgos olvasását, vagy inkább tanulását, ’s biztosan reményli, hogy az olvasó csakhamar észre veendi, melly végtelen nagy különbség van e’ jeles munka, ’s azon elemi ’s legnagyobb részint elavult bevezetések közt, mellyekkel bennünket Dugonics, Pethe, ’s utánok mások is, megajándékoztak.

D. Vállas A.

IV.3.c. Bolyai Farkas megjegyzései Vállas Antal könyvbírálatára

[MTA Könyvtára Kézirattár, Bolyai-gyűjtemény, K 23/48 irat, h.é. nélkül, autográf, 2f. 20 × 24 cm]

Ref.56 mind a’ Szerző, [Nagy Károly] mind a’ Bíráló [Vállas Antal] iránti teljes tisztelettel, kötelesnek érezi magát, következő világítás tételére.

Ref. a’ könyvet nem látta, tehát arról nem is ítél; de úgy látja, hogy dicsérete nemcsak más honfiak’ hív próbatételeit, hanem a’ Mathesisben valamelyst jobban [?] jártosok előtt magát a’ munkát [?] felsőbbíti[?].

Ugyanis az a’ munka melynek legszebb oldalainak néhány locus communis57 hozatik elé, nem állana (amint iratik) végtelen különbséggel a Dugonics, Pethe ’s azutáni mások próbatételeinél, melyek közül némelyekben éppen azon locus communisak megvannak.

Hogy a’ munka legszebb oldalainak irttak locus communisak, ’s D[ugonics] és P[ethe] utáni hazai pórbatételekben megvannak: megtetszik innen:

  • 56latin szó rövidítése, itt lehet a reflektáló, véleménynyilvánító, azaz maga Bolyai Farkas.
  • 57közös, egyforma, egyező hely, rész.

1. [I.]


Az első az; hogy $½=1-1+1-1\dots$ megfejtetik maradvány által: mely is csak az algebrai divisio; melynek következő eléadása Arithmetika Eleje 1829 az 140. és 141.dik lapokon, és a Tentamen juventutem studiosum in elementa matheseos purae elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi. Tom. I. et II. az első darab 126-dik lapján, ezen könyvnek csekélyebb helyei közé tartozik.

Ha a dividendus59 $D$-nek, ’s a divisor60 $d$-nek neveztetik, ’s az algebrai közönséges diviso61 szabálya szerint a quotusba62 rendre $a,b\dots k$ jőnek ki, és $r$-nek neveztetik a’ mi marad, ha $d\cdot k$ a legújabb residuumból subtráháltatik: úgy $a+b\dots+k+r\text{ quotus,}$ s $a+b+\dots+k$ nem quotus $r/d$ hozzáadása nélkül hanemha $r=0$.

Mert $a+b\dots+k$ neveztessék $q$-nak; az első residuum lesz $D-ad$, a 2-dik pedig $D-ad-bd$; ’s úgy tovább; ’s ha $k$-nál tetszett megállni, az utolsó residuum $r=D-ad-bd\dots-kd$ mely $=D-d(a+b\dots+k)=D-dq$

Világos pedig, hogy $(q+(D-qd)/d)d=D$

Melyet alkalmazva az $1/(1-1)$-re jön ki $1-1+1-1\dots$; mely mivel $r$ nem $0$, csak úgy és nem különben quotus, hanemha $r/d$ hozzáadódik; mely ha $+1$-nél tetszik megállni, lesz $-½$, mert ekkor $r=-1$ és az első esetben a’ quotus $1-½$, a 2-dikban $0+½$; mely mindenik $=½$.

  • 59osztandó.
  • 60osztó.
  • 61osztás.
  • 62hányados.

2. [II.]


A sorok pótlékaira elmulhatlan szükséges vigyázat is azon könyvekben nemcsak nyilván megmondatik, hanem mindenütt alkalmaztatik is. Tom. I. 292. p. ’s több helyeken.

Az iratik; hogy ha $f(x)$ olyan functio, hogy $f(a)=0$, akkor $x-a \text{ factora } f(x)$-nek.

Ez amilyen locus communis – az eléadása kényesecske; de ez nem említtetik. Tentamen Tom. I. 362. p. …az itti módon kívül a közönséges is kiegészíttetik.


3. [III.]


Az $a^{3}$-nek három radix cubicaji közönségesek. De tudatik az is, hogy $A=A\cdot 1$, és $\sqrt[n]{A}=\sqrt[n]{A} A\cdot\sqrt[n]{1}$; és $1$-nek $n$ grádusu radixai $n$ számmal vagynak; melyek Tentamen Tom. I. 109. p. mind kimutattatnak; az honnan az $A$ minden radixa tudva [$\sqrt[n]{A}=n$-ik gyök alatt $A$ stb.]


4. [IV.]


Hogy $a^{2}+b^{2}=(a+\sqrt{{-b}^{2}})\cdot(a-\sqrt{{-b}^{2}})$ az igaz, mely is csakannyi mint hogy $(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)=\alpha^{2}-\beta^{2}$ itt $\beta^{2}=-b^{2}$, és $-\beta^{2}=b^{2}$ lévén.

De ez mit tegyen az $(a^{2}+b^{2})^{3}$ gyökire, Ref. nem látja.

A’ binomi[?] alkalmazása, logarithmok’ megfelelő számjai’ sat. is mindenütt meglévő dolgok, miképpen legyenek, a Bíráló nem említi, tehát erről Ref. nem szóll.

A sok nyomtatási hibákra nézve azt jegyzi meg Ref. hogy hibátlan Mathesist a legjobb műhelyben is csak gondtul szabad szerző adhat ki: önként megengedtetnek azok a járatlan kőszirtek közt út-törő honfinak.

Talán még hibával telyesebbek az említett munkák; de az igazsághoz hív felebaráti jó szív a burjánok között is meglátja a virágot. Nem teheti mindazáltal erre nézve Ref., hogy hibául ne tegye ki Magyarnak, hogy nem magyarul írt, s ha oly alakba adta ki, melyben a’ mai időben életre nem jöhet, sok főtörése’ szüleményeinek temetését békével nézze el, azzal a reménnyel, hogy deák halottja [valószínűen a Tentamen] valaha salakjából megtisztulva magyarul támad fel. Co.

IV.4. Vekerdi László értékelése Bolyai Farkas matematikai munkásságáról, valamint a korabeli akadémiai könyvbírálókról63

  • 63 Vekerdi László: A Tudománynak háza vagyon. Reáliák a Régi Akadémia terveiben és működésében. Magyar Tudománytörténeti Intézet, Piliscsaba, 1996. (Magyar Tudománytörténeti Szemle Könyvtára 1.), mek.oszk.hu (O. A. lábjegyzete)

[…] az induló Tudós Társaság […] a [z 18]30-as évek elején […] megkezdette tényleges működését. Az ország értelmisége is úgy tekintett rá, mint tevékenységét elbíráló s jutalmazó szerve, s az Akadémia is ezt tekintette a tagok elsőrendű feladatának. Így például Tittel Pál 1831. június 19-én beterjesztette A’ Mathesisnek akármelly ágazattyából kijött Magyar Könyvek Lajstomá-t, melyben 27 címet sorolt fel, válogatás nélkül, a szerző (Bolyai Farkas) feltüntetése nélkül bevett Az arithmethica elejétől (Marosvásárhely, 1830) Varga Márton A’ Gyönyörű természet tudományáig (Nagyvárad 1808). Szerepelnek a felsorolásban kalendáriumok, hadtudományi munkák, csíziók, földrajzi művek is; nagyobb részük fordítás.64 Ez a lista tekinthető a későbbi nyomtatott akadémiai könyvlisták ősének, melyekben összeállították egy-egy év szakosított könyvtermését, s szétküldték a rendes és a levelező tagoknak azzal, hogy – a rendes tagok kötelességszerűen – mondjanak véleményt a feltüntetett művekről, s a legjobbnak ítélteket, kellő indoklással, terjesszék föl jutalomra. Az ilyen véleményeket azután többnyire recenzióként is beadták valamelyik folyóiratnak… az Athenaeum és kritikai melléklapja a Figyelmező, számos recenziót közölt… az Akadémia könyvbíráló politikája már az első évtizedben a recenziós tevékenység hatalmas mérvű mennyiségi megnövekedésére vezetett.

  • 64Régi Akadémiai Levéltár 79:1831.

Más kérdés azonban, milyen volt a recenziók minősége, s főként mennyire segítette a szakmai tájékozódást, a reális tudományos értékrend kialakulását […] gondosan ügyeltek rá, hogy végül – legalábbis az Akadémia lapjaiban – a tagok álláspontja kerüljön ki győztesen […] az ifjú intézmény nagy tekintélye miatt ki sem alakulhatott olyan szellemi klíma, mely alkalmas lett volna korszerű kémiai és fizikai gondolatok befogadására. Az igazi tragédia azonban a matematikában zajlott le, jóvátehetetlenül. A matematikai osztály tagjai – kivált Vállas Antal és Győry Sándor – hatalmas buzgalommal láttak neki azonnal könyvértékelői, pályakérdés-készítői és elbírálói, jutalomkiosztói és tehetségkeresői tisztüknek.

A hatalmas buzgalom azonban nem társult megfelelő szakmai hozzáértéssel és kritikusi kompetenciával. Ítéleteik felületesek, s többnyire személyes kapcsolataik, illetve társadalmi összeköttetések által irányítottak. Így például Vállas Antal a Figyelmező 1837. április 4-iki számában valósággal extatikus elragadtatás hangján ismertette Nagy Károly „(m[agyar] t[udós] társ[aság], Amer[ikai] phil[osophia] t[ársaság] rendes tag)” Bécsben 1837-ben megjelent Elemi algebráját.

Az olvasó csakhamar észre veendi – írja –, melly végtelen nagy különbség van e’ jeles munka, ’s azon elemi ’s legnagyobb részint elavult bevezetések közt, mellyekkel bennünket Dugonics, Pethe ’s utánok mások is, megajándékoztak… ’S örvendeni kell minden igazi hazafinak, hogy nálunk, olly kevés ösztön és serkentés mellett is, támadnak férfiak, kik, bő és alapos tudományoknál fogva, hátra maradt hazájok’ fiait egyszerre a’ miveltebb nemzetek’ tudományos titkaiba avatni képesek.65

Nem most történt először, hogy Vállas Antal szuperlatívuszokban szólt tagtársa matematikai munkásságáról. A Tudománytár 1836-os évfolyamában, a honi matematikai irodalom áttekintésében66 már hosszasan és igen intenzíven dicsérte Nagy Károly aritmetikáját67 sőt még egy másik tagtársának kiosztott dicséretébe is bevette a korábban már részletesen méltatott szerzőt.68

Vállas összefoglalásában persze ma már a méltatlanul kiosztott dicséretek is fülsértőek, az azonban még másfél évszázad távolából is fölháborító, hogy megemlíti felsorolásában Bolyai Farkas kicsi magyar nyelvű remekét, az 1830-ban Marosvásárhelyen kiadott Az arithmetica elejét, sőt a Tentament is, anélkül, hogy egyetlen elismerő vagy akárcsak tárgyilagosan ismertető szót is vesztegetne rájuk. Ezt a gyalázatos eljárást Bolyai Farkas szóra sem méltatta, ha ugyan egyáltalán tudott róla, bár tudhatott, mert a Tudománytár első évfolyamában, 1834-ben neki is megjelent egy kis értekezése a Marosszéki lakodalmi szertartásokról.69

  • 65 Elemi arithmologia, arithmographia. Második rész: Elemi algebra. Számirás közönséges jegyekkel. Írta Nagy Károly (m[agyar] t[udós] társ[aság], amer[ikai] phil[ozófiai] t[ársaság] rendes tag). Bécs, Rohrmann és Schwigerd, cs[ászári] [és] k[irályi] udv[ari] könyvárusoknál MDCCCXXXVII. n. 8. XIV. és 372 lap. Ára 1 ft. 40 kr. cp. (Figyelmező 1837. április 4. 13. sz. 102–104. p.)
  • 66 Vállas A.: Magyar legujabb mathematica literatura, és visszatekintés a’ régire. Tudománytár 1836. 12. sz. 143–172. p.
  • 67 Vállas i. m. 153–154. p.
  • 68 Győry Sándor A’ felsőbb analysis elemei című könyvének első füzetéről írva újból visszatér Nagy Károly dicséretére: „Ha mármost visszatekintünk e’ füzetre, nem lehet nem örvendenünk egy felül, hogy honi literaturánk nem sokára olly munkával fog birni, mellyel pirulás nélkül a’ mathematicai külfölddel szemközt állhatunk, mit eddig, Nagy K. munkáját kivéve, alig tehettünk;” (i. m. 171. p.)
  • Az Akadémia korai fázisában láthatóan a dicséret volt az uralkodó „elv” a tagok műveinek ismertetésében. Nagy Károly, nehezményezve Kalendáriumának Vállas általi bírálatát (Figyelmező 1838. jan. 9. 2. sz. 17–28. p.), nyíltan meg is mondotta: „Elmellőzném itt, bármit mond V. A. felőle, mindenesetre alkalmatlan egy dolog, hogy olyasvalamit mi a’ tagság kebléből kerül, ismét a’ társaság kebeléhez tartozó tag rostálgatja.” (Nagy Károly levele Toldy Ferenchez 1838. március 6., MTA Könyvtára Kézirattár, Magyar Irodalmi Levelek 4-r. 84. sz. 67.). Pedig Vállas bírálata dicsérő, s egyetlen aprócska kifogást említ csupán.
  • 69 Bolyai Farkas: Marosszéki lakodalmi szertartások. Tudománytár 1834. 2. sz. 221–222. p.

A maga nemében kitűnő kis értekezés, párját ritkítja tárgyilagosságával és szép magyar nyelvével abban a nyakatekert és fellengzős folyóiratban, de az mégiscsak feltűnő, hogy az elég sok – s már a maga idején elavult – matematikai cikk között pont a nagy matematikus korszerű és eredeti gondolatainak nem jutott hely. Még föltűnőbb azonban a műveit környező csaknem teljes hallgatás akkor, amikor a Vállas Antalok, Nagy Károlyok és Győry Sándorok egekig magasztaltatnak. Nagyon is érthető volt tehát, hogy a nagy matematikus a Figyelmezőben megjelent Nagy Károly-magasztalás reá nézve sértő sorait már nem állhatta szó nélkül. Fráter Jánosné, a Bolyai-gyűjtemény gondosan összeállított katalógusához írt bevezető tanulmányában részletesen beszámolt Bolyai Farkas eme recenzióhoz írt megjegyzéséről, s megállapította, hogy a nagy matematikus

válaszcikkében csaknem tételről tételre bizonyítja be Vállas Antalnak, hogy a Nagy Károly művében tárgyalt matematikai kérdésekkel ő már az 1830-ban megjelent »Arithmetica elejé«-ben, majd később a Tentamenben foglalkozott és tisztázta a Vállas Antal által dicsért tételeket.70

De hiába mutatta meg Bolyai, hogy Nagy Károly egekig magasztalt tételeinek egy része már Dugonics, Pethe, s mások munkáiban is megtalálható. Hiába figyelmeztet, hogy Nagy Károly gyakran csak úgy odavet valamit, holott – amint ő a Tentamenben szépen bebizonyította – „az előadása kényesecske”, a Figyelmező még csak nem is közölte gondosan megírt szép cikkét; sőt, Vállas valószínűleg megfontolásra sem méltatta, mert amikor évekkel később egy akadémiai osztálygyűlésen szóba került a honi tudománytörténet fontossága, ő a matematikai tudományok részéről egyértelműen – és mint semmi korrekcióra nem szorulóra – hivatkozott a Tudománytárban megjelent, fentebb említett összefoglalásra.71 Bizony, hiába figyelmeztette Bolyai, hogy

az igazsághoz hiv felebaráti jó sziv a’ burjánok között is meglátja a’ virágot,

s hiába remélte – meghatóan szép szemérmességgel kínálva lefordítását –

hogy diák halottja (t.i. a Tentamen) valaha salakjából megtisztulva magyarul támad fel.72

  • 70 Fráter Jánosné: A Bolyai-gyűjtemény K 22–K 30. Budapest, 1968. Akadémiai Könyvtár. (A Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára Kézirattárának katalógusai 4.) 9. p.
  • 71 Akadémiai Levéltár, a III. Osztály jegyzőkönyvei, 1846. február 16.
  • 72Az Athenaumi Figyelmezőnek 102-k lapján kezdődő s 104-k lapján végződő könyv-birálatra. Fráter Jánosné: i. m. 30. p., K 23/48. Bolyai Farkas, miután pontról-pontra megmutatta, hogy a Nagy Károly könyvében egekig magasztalt tételek mind megtalálhatók már Dugonics, Pethe „s azutáni mások próbatételeiknél”, továbbá sok, Nagy Károly által hanyagul kezelt tétel pontosan olvasható az Arithmetica eleje (1829) című könyvecskéjében vagy a Tentamenben, mely „könyvnek csekélyebb helyei közé tartozik”, így végzi a recenziót, a Tentamenre célozva: „Nem teheti mindazáltal erre nézve Ref. hogy hibául ne tegye ki Magyarnak, hogy nem magyarul írt; ’s ha oly alakba adta ki, melyben a’ mái időkben életre nem jöhet sok főtörése’ szüleményeinek temetését békével nézze el, azzal a’ reménnyel, hogy diák halottja valaha salakjából megtisztulva magyarul támad fel.”

Pedig nem kell hozzá különösebb szakértelem, hogy Bolyai Farkas szép cikkében, ha mást nem, a szakmában járatos matematikust azonnal fölismerje valaki, s a Matematikai Osztály rendes tagjai – akik tömérdek papirosokat irkáltak teli első pillantásra értéktelen elmeszüleményekként lelepleződő „matematikai felfedezések” bírálataival – igazán szakíthattak volna kicsi időt, hogy legalább megvizsgálják Bolyai Farkas említett munkáit. A Tentamen-példány – melyet Bolyai Farkas küldött az Akadémiának – ma is megvan a Könyvtárban, s már csak a felajánlott magyar nyelvű átdolgozása miatt is meg kellett volna nézzék a t. rendes tagok. Ám ahogy a fizikában a Tarczy73–Warga74 vonal, úgy a matematikában a Vállas–Győry vonal csak a saját vágyaival és tudásával összhangban tudta elképzelni a honi tudomány haladását. Ebben a felületesen tájékozódó, mélyebb matematikai műveltségre szert soha nem tevő, ámde a csalhatatlan ítélet igényével fellépő világban nyilvánvalóan nem fért el Bolyai Farkas mély matematikai képzettsége. Pedig roppant valószínű, hogy ha az Akadémián – folyóiratokban, évkönyvekben s pályázatokon – az utóbbi képviseli az alaphangot, még idejében s itthon kellő helyre kerülhetett volna Bolyai János világrengető fölfedezése is. S felesleges említeni, micsoda hatással lehetett volna ez a matematikai – de tán mindenféle – tudományok fejlődésére hazánkban. S tán még nem is csak a tudományokra.

  • 73Tarczy Lajos (1807–1881) – filozófus, természettudós, a Pápai Református Kollégium tanára, a Tudós Társaság tagja. (O. A. lábjegyzete)
  • 74Warga (szigethi) János (1804–1875) – református főgimnáziumi igazgató-tanár nagykőrösi líceumban, a természettan és mennyiségtan tanára, a Tudós Társaság levelező tagja. (O. A. lábjegyzete)

Benkő Samu75 eligazító tanulmányainak egyikéből76 ugyanis tisztán látjuk ma már, milyen erősen hatott még így, igen korlátozott körülményei közepette is Bolyai Farkas, az egyszerű marosvásárhelyi tanár a honi műszaki értelmiség felnövekedésére. Nem kell túlságosan nagy képzelőerő ahhoz, hogy belássuk, mit tehetett volna az Akadémia tekintélyével maga mögött, szakmai s nevelői képességeinek megfelelő intézményben. S mindehhez még különösebb tőke sem igényeltetett volna, csupán egy kis „kompetencia” és lelkiismeret azokban, akikre a honi tudomány felvirágoztatása a matematika s a fizika terén bízatott […]. Bolyai Farkas […] sok tekintetben kora gyermeke volt, kortársaival többé-kevésbé azonos eszmerendszer szerint gondolkozott, s ha tán a Tentamenben nem is, Az arithmetica elejében közepes matematikusok is föl kellett volna ismerjék a kor matematikai igényeire színvonalasan, közérthetően és nem utolsó sorban pompás, pontos magyar nyelven válaszoló remeket. Ha másért nem, állandóan hangoztatott nyelv-szolgálatuk miatt a legnagyobb érdeklődéssel kellett volna fogadják Bolyai Farkast. Neki meg láthatóan egy kicsi biztatás kellett volna csak, s az Akadémia ma tán matematikai – s úgy lehet technikai – remekművek sorával gazdagabb. De nem kértek tőle semmit. […]”

  • 75Benkő Samu (1928–) – Bolyai-kutató, az MTA Filozófiai és Történettudományok Osztályának tagja, a magyar, erdélyi művelődéstörténet szakértője. (O. A. lábjegyzete)
  • 76 Benkő Samu: Bolyai Farkas, a tanár. Sorsformáló értelem. Bukarest, 1971. 155–182. p.

IV.5. Oláh-Gál Róbert észrevételei
Nagy Károly és Bolyai Farkas ugyanazon matematikai levezetéseiről

Vekeredi László tudománytörténész pontosan megírta, mennyire nem értékelték Bolyai Farkas Tentamenjét míg Nagy Károly aritmetikai és algebrai munkáját 200 arannyal jutalmazták, olyan eredményekért, amiket öt évvel korábban Bolyai Farkas már megírt a Tentamenben.

Mi célul tűztük ki, hogy utánanézzünk Nagy Károly néhány fontosabb eredményének, amit Vállas Antal kiemel, viszont Bolyai Farkas megbírál. Konkrétan, kíváncsiak voltuk a matematikai eredményre és annak levezetésére, bizonyítására. Nagy meglepetésünkre, nem csak arról van szó, ahogyan Vekerdi nagyon diplomatikusan fogalmaz, hogy középszerű eredményt és már ismert tételeket közölt Nagy Károly, hanem arról, hogy sok butasággal is tele van Nagy Károly munkája. Ugyanazt a három eredmény vizsgáltuk meg, amit Bolyai Farkas is kifogásol.

A legérdekesebb az $1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$ végtelen sor összegzése. Ennek külön matematika-történeti múltja van és az tette híressé, hogy Euler is megvizsgálta, a fenti alternáló sort és konvergensnek találta, vagyis kimondta róla, hogy van összege és az egyenlő $½$-del. Nos, ma minden Romániában érettségiző diáknak, Magyarországon pedig, minden elsőéves műszakis hallgatónak tudnia kell, hogy a fenti sor divergens. Tehát, bármennyire is meglepő, a nagy Euler itt tévedett. Mondhatnánk, hogy ha Euler hibázott, akkor Nagy Károlynak is meg lehet ezért bocsátani. Viszont Euler száz évvel Nagy Károly előtt élt, és száz év alatt sokat fejlődött matematika, főleg annak fogalmi rendszere. Euler idejében a legnagyobb gondot az okozta, hogy a sor és sorozat fogalmi rendszere nem volt még tisztázva. Ezért pontatlan meghatározással indulva, könnyel lehetett tévútra menni.

Nagy Károly gondolatmenetében az a legnagyobb hiba, hogy ő az egész számok körében érvényes osztási tételt (algoritmust), alkalmazta valós számokra. Ugyanis $1$-et osztotta $(x+1)$-gyel maradékos osztási tétellel. Azért tekinthetjük nagy hibának, mert az egész számok körében érvényes osztási tételt már Euklidész77 is ismerte és a modern algebrában és számelméletben is egyik alapvető eszköz, az euklideszi algoritmus, amely két egész szám legnagyobb közös osztójának a kiszámítására szolgál.

  • 77Euklidész vagy Euklidész (Kr.e. 300 körül született) – görög matematikus, akit később a geometria atyjaként is emlegettek. Nem tévesztendő össze a több száz évvel később élt megarai filozófussal.

Nagy Károly a következőképpen osztja el az $1$-et $(1+x)$-szel maradékosan.

$$\require{enclose} \begin{array}{ll} \underline{\phantom{00000}1}:1+x=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\dots \\ \underline{-1-x} \\ \hspace{1.7em}\underline{-x} \\ \hspace{1.7em}\underline{+x+x^2} \\ \hspace{3.5em}\underline{+x^2} \\ \hspace{3.5em}\underline{-x^2-x^3} \\ \hspace{5.8em}\underline{-x^3} \\ \hspace{5.8em}\underline{+x^3+x^4} \\ \hspace{8.1em}\underline{+x^4} \\ \hspace{8.1em}\underline{-x^4-x^5} \\ \hspace{10.4em}\underline{-x^5} \\ \hspace{10.4em}\underline{+x^5+x^6} \\ \end{array}$$

Ez olyan mind a bűvész kalapja, bármit kihúzhatunk belőle.

Bolyai Farkas arra figyelmeztet, hogy ez nem helyes, mert a maradékos osztás tétele szerint $D$ osztandót $d$ osztóval elosztani, annyit jelent, mint keresni egy a hányadost és egy $r$ maradékot, amelyre fennáll, hogy

$$D= a\cdot d+r\text{,}$$

ahol az $r$ maradék mindig kisebb, mint a $d$ osztó és nagyobb vagy egyenlő mint nulla.

Vállas Antal szerint:

A munka legszebb oldalai közé tartozik, például e sornak $½=1-1+1-1+1-1+1-\dots$ megfejtése a maradvány által, s általában a maradványra figyelés, mi az újabb idők Lagrange és Cauchy tulajdona.

Bolyai levele Gaussnak, Marosvásárhely, 1836. X. 3. (29. p.)

Jele annak, hogy nálunk a matematika hogyan áll, az hogy a Tudós Társaság mostanában egy magyarul kiadott művet, mely az aritmetika és algebra elemeit tárgyalja (szerzője Nagy Károly), kétszáz arannyal jutalmazott, bár e műnek egyéb érdeme nincsen, mint az, hogy Bécsben szépen és pontosan kinyomtatták; a legcsekélyebb eredetiség és minden elmeél híjával van, semmi sincsen benne tisztázva, a szigorúságnak még szikrája is hiányzik belőle és kevés a tartalma, nemcsak középszerű, hanem rossz; nem szeretném, ha valamely leendő matematikus ebből tanulna – még jó mesterszó sincsen benne, minden csak rabszolgai módon van lefordítva.

Bolyai-levelek. Kriterion Könyvkiadó, Bukarest. Válogatta és szerkesztette Benkő Samu.

Felmerül a kérdés, hogy a Bolyaiak hol olvasták Nagy Károly művét? Erre a válasz egyértelmű. A Református Kollégiumnak volt (és a Teleki–Bolyai Könyvtárban ma is megvan) egy 1835-ben kiadott példánya és kézírásos dokumentumaink vannak, hogy ezt a művet mind a két Bolyai olvasta. Mivel Farkasnak dokumentálhatóan csak a[z 18]35-ös kiadás járt a kezében, ezért vizsgáljuk meg, hogy abban hogyan vezette be Nagy Károly az

$$1-1+1-1+1-1+\dots-\dots$$

végtelen sor összegét.

Az ugyancsak Bécsben kiadott 1835-ös kiadás 324. oldalán a 2 §-ban „A végnélküli vagy határtalan mennyiségekről” című fejezett alatt a 265. pontnál felírja:

„Ha $\frac{a}{1-a}$ az algebra szerént feloldatik, lesz az osztás részese, az az

$$\frac{a}{1-a}=a:(1-a)=a-{a}^{2}+{a}^{3}-{a}^{4}+{a}^{5}-{a}^{6}+\dots$$

és épp így

$$\frac{a}{1-a}=a-{ax}^{2}+{ax}^{3}-{ax}^{4}+{ax}^{5}-{ax}^{6}+\dots$$

és ha itt az utolsó példában $x$ helyett $1$-et teszünk, lesz

$$\frac{a}{1-1}=a+a+a+a+a+a+\dots$$

s mindeggyik sor végnélküli. Adjunk ezen $a$-nak akármely értéket, látszik, hogy a részes nagyobb mint akármely még oly nagy szám, s következéskép $=\infty$ s így:

$$\frac{a}{1-1}=\frac{a}{0}=\infty$$

és ebből

$$\frac{a}{\infty }=0$$ $$\frac{a}{1+a}=a-{a}^{2}+{a}^{3}-{a}^{4}+{a}^{5}-{a}^{6}+\dots$$

s így tovább, ha $a=1$ lesz:

$$\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=1-1+1-1+1-1+1-\dots$$

végnélkül s a mint egyik tag a másikat semmivé teszi, a maradék mindég $½$ marad. E szerént az elosztást különb alakokban végezvén, több nevezetes sorra lehet találni:

$$\begin{align} \frac{1+1}{1-2} &=1+3+6+12+24+\dots \\ \frac{1+1}{1-3} &=1+4+12+36+108+\dots \\ \frac{1+1}{1-4} &=1+5+20+80+320+\dots \\ \frac{1+2}{1-2} &=1+4+8+16+32+\dots\text{”} \end{align}$$

Eddig az idézet a Nagy Károly mű 1835-ös kiadásából.

Szinte mondhatnánk, hogy ennek a nevezetes problémának, vagyis az $1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$ sor kezelése, csak romlott az 1837-es kiadásban.

Persze a matematika szépsége, hogy $\frac{x}{1-x}$ Taylor-sorba fejtése

$$1+1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+\dots,$$

vagy $\frac{x}{1+x}$ Taylor-sorba fejtése egyenlő

$$1-1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-\dots$$

Csakhogy ezek a sorok, csak akkor konvergensek, ha $-1\lt x\lt 1$, így nem lehet alkalmazni $x=1$-re. Mindenesetre a Nagy Károly-féle osztási bűvészkalapban kijött eredmények formálisan megegyeznek a Taylor-sorba fejtéssel. De mind mondjuk, ez csak a matematikai nyelvezet fintora.

$$\begin{align} \frac{2}{1-x} & =2+2x+{2x}^{2}+{2x}^{3}+{2x}^{4}+{2x}^{5}+{2x}^{6}+\dots \\ \frac{{x}^{3}+1}{1-x} & =1+x+{x}^{2}+{2x}^{3}+{2x}^{4}+{2x}^{5}+{2x}^{6}+\dots \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{2}{x-1} & =\sum _{i=1}^{\infty}\frac{2}{{x}^{k}} \\ \frac{x}{x-1} & =\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{{x}^{k}} \\ \frac{1}{x-1} & =\sum _{k=1}^{\infty}\frac{1}{{x}^{k}} \end{align}$$

A mai egzakt de egyszerű meghatározás szerint egy végtelen sor mellé rendelik a részösszegek sorozatát a következőképpen:

$$\begin{align} A & =a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{n}+\dots \\ \\ S_{0} & =a_{0} \\ S_{1} & =a_{0}+a_{1} \\ S_{2} & =a_{0}+a_{1}+a_{2} \\ S_{3} & =a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3} \\ \dots \\ S_{n} & =a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{n}+\dots \end{align}$$

Akkor $A$ sor (meghatározás szerint) akkor és csakis akkor konvergens (divergens), ha az $S$ sorozat konvergens (divergens). Mivel a mi esetünkben az $S$ alteráló, végtelen sok tagja lehet $+1,-1$ vagy $0$ ezért az $S$-nek nincs határértéke, tehát divergens és így $A$-sor is divergens, vagyis nincsen összege. Ilyen egyszerű! Csak ehhez szükség volt az egzakt meghatározásra.

Nem az a baj, hogy Nagy Károly konvergensnek vélte ezt a sorozatot, hanem ahogy az egész számok körében használható egész számok osztási tételét alkalmazta.

A butaság odáig fajult, hogy

Azt mondanánk p. o.78: hogy $(x^{4}+1)$ nem osztható $(x-1)$ által maradék nélkül, és p. o.:

$$(x^{4}-1):(x-1)=x^{3}+x^{2}+x+1+2/(x-1)\text{,}$$

hol $\frac{2}{x-1}$ a’ maradék.

Ha azonban $x$ helyett hármat írunk vagyis $=3$ tesszük, lesz

$$(x^{4}+1)=34+1=82\text{ és }(x-1)=3-1=2$$

82 pedig osztható maradék nélkül és a’ részes79 $41$, ’s itt úgy látszik, hogy az algebrai alak nem közönséges, de ha $x$ mostani értékét a’ sorba tesszük, vagy az osztást csakugyan algebrai módon végezzük, lesz

$$(34+1):(3-1)=33+32+3+1+\frac{2}{3-1}$$

mint fellyebb, e’ pedig nem egyéb mint:

$$27+9+3+1+\frac{2}{2}\text{ hol }\frac{2}{2}$$

a’ maradék itt történetből egész szám és $=1$, és az egész részes $=41$.

Tehát Nagy Károly szerint $(x^{4}-1)$ nem osztható $(x-1)$-gyel, még ha a példája ellent is mond ennek. Szerinte van nem közönséges algebrai alak, amelyik nem engedelmeskedik a nagykárolyi kijelentéseknek, és van közönséges, amely engedelmeskedik?!!

  • 78p.o.valószínűleg példának okáért.
  • 79részes – hányados.

Összefoglalva elmondhatjuk, Bolyai Farkasnak mindenben igaza volt. Nagy Károly műve nem érdemelte meg a 200 aranyat, míg a Tentamen az Appendixszel 200 kg aranyat is megérdemelt volna. De hát nem így döntött a Magyar Tudós Társaság, a bűvészkalapért ma is többet fizetnek.

V. Utószó

A Bolyaiak munkásságát sem éltükben, sem haláluk után a Magyar Tudományos Akadémia nem ismerte el oly módon, hogy rendes taggá választotta volna őket.

János halálát követően 10 évvel a latin nyelvű Appendix, mint az évszázad legjelentősebb felfedezése, már Texastól Tokióig ismert volt. A római Akadémia elnöke úgy vélekedett, hogy

…Bolyai Jánosnak a paralellák teóriájáról írt kisebb munkája… legnagyobb mi a matematika körében e század alatt történt…80

Ezt írta Baldassare Boncompagni (1821–1894) Bolyai János halála után néhány évvel Eötvös Józsefnek, figyelmeztetve őt a Bolyai hagyaték értékére és betekintést kért a kéziratokba. Egy évtizeddel Bolyai János halála után Boncompagni a magyar kultuszminiszerhez Pauler Tivadarhoz fordul, sürgeti a Bolyaiak kézirathagyatékának kiadását. Az udvarias szavak mögül súlyos kritika árad és a nemzetközi tudományos világ értetlensége fejeződik ki. Íme a levél:

Miniszter Úr! Néhány év óta az egész Európa geométereinek figyelme a két magyar tudós Bolyai – apa és fiú – felfedezései felé fordul, amely beható vizsgálatokból éles fény derül a geometria alapvető és régóta ellentmondásos néhány kérdésére. Ennek a két eminens férfinek Marosvásárhelyen, az eldugott kisváros magányában életükben nem sikerült annak a hírnévnek örvendeni, ami tehetségüket megillette, és csak a hírneves Gauss, Bolyai Farkas bensőséges barátja tudta méltóképpen értékelni őket. A fiú Bolyainak tudható az a jelentős tanulmány, amely a párhuzamosok valódi elméletét rögzítette, és ami csak egy töredékét tartalmazza azoknak a kutatásoknak, amiket ez a mély és eredeti elme végzett ebben az igen nagy terjedelmű és bonyolult kérdéskörben. Munkásságának többi része még nem látott napvilágot és a kéziratai, együtt az apjáéval, a Marosvásárhelyi Református Kollégium Könyvtárában lettek elhelyezve. Immáron két éve annak, hogy szerencsém volt Ön elődjének, báró Eötvös úrnak felhívni a figyelmét ezekre az elhagyatott értékekre, aki szíves volt csatlakozni kérésemhez és elrendelni az értékes iratok Pestre történő szállítását és a M. T. Akadémia általi átvizsgálását. A Pesten élő építész, Schmidt Ferenc úrtól kapott értesüléseim szerint, aki matematika iránti szeretetétől buzdítva, valamint hazája tudományos hírneve érdekében mindenkinél többet tett azért, hogy a két nagy matematikust a világgal megismertesse, nos azt kell hinnem, hogy az Eötvös báró úr rendeletei nem lettek végrehajtva, és a pesti Akadémiának nem lettek a rendelkezésére bocsátva azok a dokumentumok amiket vizsgálat alá kellene vetni. Ilyen körülmények között, Miniszter úr, bátorságot veszek Excellenciás uramhoz fordulni és támogatását kérni az elődje által elhanyagolt művek érdekében, amik valódi felfedezésekkel gazdagíthatnák a tudományokat egy olyan területen, amelyre senkinek nem sikerült még eddig olyan mélyre behatolni, mint az Ön két honfitársának. Schmidt úr hazafiaságtól buzdítva közzétett a Bolyaiakról egy írást amelyben minden honfitársának felhívja a figyelmét azokra a tennivalókra amik még hátra vannak a két erdélyi geométer hagyatékának megőrzésére. Magam az európai tudomány nevében – amely várja Magyarországtól ezt a halaszthatatlan szolgálatot – teljességgel csatlakozom az ő felszólításához. Jelen pillanatban Oroszország Bolyai vetélytársaként emeli magasba Nicolas Lobatchevskyt, egy hozzá méltó nagyságot, akinek egy csodálatos kiadványban közzé tette munkáit. Magyarország nem hagyhatja a leghíresebbek közül való két gyermekét a feledés homályába merülni. Excellenciás uram! Szeretném ha biztosítana a felől, hogy valami módon adminisztrációs intézkedéseket tesz annak érdekében hogy előmozdítsa azokat a kiadványokat, amelyek dicsőséget hozhatnak az Ön hazájának. Az iratoknak az Akadémiához történt megérkezésétől számítva élénk érdeklődéssel fogom követni az elvégzett vizsgálatok eredményeit… Miniszter úr kérem fogadja megkülönböztetett elismerésemet.

Az Ön elkötelezett híve, Baldassare Boncompagni

Róma, 1871. július 7.

  • 80Eötvös Józsefnek 1869-ben fiához, Eötvös Lorándhoz írt levele.

Ezek után az akadémián bizottságot hoztak létre a Marosvásárhelyről kölcsönkért Bolyai kéziratok vizsgálatára, évtizedekig tanulmányozták azokat, azonban egyet sem tartottak kiadásra érdemesnek. Bolyai János születésének 100. évfordulója alkalmából (1902) az akadémia kinyomtatta díszkötésben a Tentament, továbbá külön kötetben az Appendixet.a

Az akadémiai díszkiadás kötetei
  • a[BOLYAI Farkas] Wolfgangi Bolyai de Bolya: Tentamen. Iuventutem studiosam in elementa matheseos purae elementaris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic propria introducendi, cum appendice triplici. Ed. Iosephus Kürschák, Mauritius Réthy, Béla Tőtössy de Zepethnek. Tom. 2., Elementa geometriae et appendices. Pars 1., Textus. Lipcse: B. G. Teubner–Budapest: MTA, MCMII [1902]. [Kísérlet, a tanulóifjúságot a tiszta matematika elemeibe és a magasabb fejezeteibe szemléletes és éppen ezért közérthető módon bevezetni. Három függelékkel.]
  • [BOLYAI Farkas] Wolfgangi Bolyai de Bolya: Tentamen. Iuventutem studiosam in elementa matheseos purae elementaris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic propria introducendi, cum appendice triplici. Ed. Iosephus Kürschák, Mauritius Réthy, Béla Tőtössy de Zepethnek. Tom. 2., Elementa geometriae et appendices. Pars 2., Figurae. Lipcse: B. G. Teubner–Budapest: MTA, MCMIII [1903].
  • [BOLYAI János] Ioannis Bolyai de Bolya: Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei, a priori haud unquam decidenda, independentem: adiecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica. Editio Nova. Oblata ab Academia Scientiarum Hungarica ad diem natalem centesimum auctoris concelebrandum. Ediderunt Iosephus Kürschák, Mauritius Réthy, Béla Tőtössy de Zepethnek – Academiae Scientiarum Hungaricae Sodales. Lipsiae in aedibus B. G. Teubneri [Budapestini, Sumptibus Academiae Scientiarum Hungaricae.] MCMIII. [Függelék. A tér abszolút igaz tudománya: a XI. euklideszi axióma {a priori, soha el nem dönthető} helyes, vagy téves voltától független tárgyalásban: annak téves volta esetére, a kör geometriai négyszögesítésével. MTA, 1903.]
  • Megjelent még: Bolyai Farkas és Gauss Frigyes Károly levelezése. Az MTA megbízásából szerkesztették, jegyzetekkel és életrajzzal ellátták Schmidt Ferenc és Stäckel Pál. Budapest: 1899.

Vajon hogyan értette volna meg a világ Bolyai János munkáját, ha magyarul írta volna? A latin nyelvű Bolyai-kötetek jóvoltából ma a Bolyaiak neve világszerte ismert, ezzel szemben igen sok – az Appendixszel „kortárs” – magyar nyelvű értékes szakkönyv szinte ismeretlen a nemzetközi tudományos könyvpiacon. Itt kell megjegyeznünk, hogy napjainkban az MTA Könyvtárában nem létezik egyetlen Nagy Károly matematika kötet sem. Ez csupán azért elgondolkoztató, hogy egy 200 aranyat nyert kötetből, valamint akadémikusok által sajtóban felmagasztalt munkából egyetlen példánya se legyen az akadémia könyvtárának. Nagy Károlynak csupán a 1842-ben megjelent Daguerrétyp című kötetéből van néhány példány az MTA Könyvtárában. De az Országos Széchényi Könyvtárban sem lelhető fel a díjnyertes kötet. Hosszas kutatás után szerző a Műszaki Egyetem könyvtárában bukkant rá Nagy Károly matematika köteteire, így vált lehetővé az itt közölt szövegrészek összehasonlító vizsgálata.

A Bolyaiak azért nem lehettek itthon a Magyar Tudós Társaság rendes tagjai, mert különbséget tettek a tudományos és az ismeretterjesztő publikációk nyelve között.

Fő művük publikálásában mindketten latin nyelv mellett döntöttek, azért, mert csak így kerülhetett munkásságuk nemzetközileg is ismertté, elméleteik pedig a tudományok világpiacára, ahol haláluk után az évszázad legértékesebb szellemi értékeként értékelte a matematikusok társadalma.

Életükben nem volt részük szakmai elismerésben, a latin nyelven történt publikálás miatt egyik Bolyai sem lehetett a magyar Tudós Társaság rendes tagja, függetlenül a munkájuk értékétől, mindössze Farkast vették fel a Akadémia levelező tagjai közé.

Megjelenésétől számított 66 év után, világviszonylatban hatodik nyelvként és tizenegyedik kiadásként, 1897-ben magyar nyelven is az olvasók kezébe kerülhetett „a tér abszolút igaz tudománya”.

Nélkülözések közepette, szakmai elismertség nélkül éltek és haltak meg.

Post Scriptum:

Bolyai János Appendixének saját munkapéldánya81 – ami az MTA Könyvtára Kézirattárában található – a CORVINA-k után a második, magyarországi viszonylatban a negyedik olyan szellemi termék, amelyet 2008-ban jelöltek az UNESCO Memory of the World listájára.

Az idő tehát, több mint másfél évszázad távlatából, a Bolyaiakat igazolta.

  • 81Jelzete: 545.091.
Az arithmetica eleje címlapja
A Tentamen címlapja
Nagy Károly könyvének címlapja
A Figyelmező címlapja
Bolyai Farkas
Nagy Károly
Vállas Antal
Toldy Ferenc
Tarczy Lajos
Pethe Ferenc
Döbrentei Gábor
Bitnicz Lajos
Vörösmarty Mihály
Zeyk Miklós
Dugonics András
Carl Friedrich Gauss
Siegfried Detlev Bendixen · 1828 · litográfia
Publikálva: Astronomische Nachrichten, 1828
Leonhard Euler
Augustin Louis Cauchy
Joseph Louis Lagrange
F. J. Benzenberg
Vekerdi László
Benkő Samu
Oláh-Gál Róbert
Baldassarre Boncompagni
forrás: Massimo Mazzotti (2000): For science and for the Pope-king: writing the history of the exact sciences in nineteenth-century Rome, BJHS, 33. 257–282. p.
Forrás

Elektronikus kézirat.