Amint ismeretes, a nemeuklideszi geometria a XIX. század húszas éveiben jelent meg. Utólag visszatekintve az eseményekre, igen meglepő az a szimultaneitás, ami ezt a megjelenést jellemezte: Gauss már 1824-ben, Bolyai János már 1825-ben, Lobacsevszkij pedig valószínűleg már 1826-ban birtokában volt az elmélet alapjainak. De rajtuk kívül még hárman, Wachter, Schweikart és Taurinus is útban voltak a nemeuklideszi geometria felé, habár oda effektíve soha nem érkeztek el. Ez a ritkán előforduló, többszörös szimultaneitás kezdetben arra késztette a kutatókat, hogy felvessék a felfedezők közötti titkos befolyás és összeköttetés — be kell vallanunk — első pillanatra igen plauzibilis feltevését. Már Bolyai Jánosban felmerült a gyanú (amit azonban hamarosan el is vetett), hogy Lobacsevszkij 1840-ben megjelent német nyelvű munkájához Gauss nyújtotta volna az adatokat az Appendix nyomán. Későbbi kutatók pedig feltételezték, hogy Bolyai Jánost apja közvetítésével Gauss idevágó elgondolásai vezették volna kutatásaiban. Amint utólag teljes részletességgel bebizonyosodott: mindhárom (sőt, mind az öt) kutató egymástól teljesen függetlenül dolgozott és ért el lényégében azonos, és csak a kifejezés stílusában különböző eredményeket.

I

A nemeuklideszi geometria megjelenése váratlan eseménye volt az akkori matematikának. Sőt, ha már várakozásról van szó, akkor azt kell mondanunk, hogy az egész matematikai közvélemény ennek épp az ellenkezőjét várta — tehát a párhuzamosok problémájának klasszikus értelemben történő megoldását. De ezen túlmenőleg — a XIX. század harmincas éveiben már szinte általánossá vált a hit, hogy a párhuzamosok problémáját a „nagy Legendre” kielégítően meg is oldotta, és hogy a nevezetes euklideszi állítást, mint az abszolút geometria egy tételét, szigorúan bebizonyította volna. Csak egynéhány kiváló kritikai érzékkel megáldott koponya tudta akkor, hogy Legendre bizonyítási kísérletei csupán sikertelen próbálkozások, amelyek a párhuzamosok problémáját semmivel sem vitték előbbre a megoldás útján.

De ha a nemeuklideszi geometria megjelenése váratlan volt is — mégsem okozott meglepetést, mert szinte azt lehet mondani, hogy még jó egynéhány évtizedig senki sem vette észre. Csupán 1870 után Felix Klein, Sophus Lie, Helmholtz, Beltrami, majd Poincaré munkássága nyomán kezdett az érdeklődés — de most aztán robbanásszerűen — az új geometria felé fordulni. Kezdetben a nemeuklideszi geometria híveinek száma elenyésző volt, és ezek is mind a fiatal, sőt, nagyon fiatal matematikusok köreiből kerültek ki. De fanatikus hívő és elvakult ellenség egyaránt egyetértett abban, hogy a nemeuklideszi geometria nemcsak mint logikai rendszer, hanem mint történelmi jelenség is szinte a semmiből bukkant fel hirtelen, minden előzetes előkészítés és előzmény nélkül. Úgy tűnt, hogy ez az elmélet nem lassú és fokozatos fejlődés útján nőtte bele magát a matematika épületébe, hanem hogy egyszeriből, teljes fegyverzettel pattant a színre, mint Pallasz Athéné Zeusz fejéből (ez a hasonlat maga is Helmholtztól származik). Természetesen a hívek éppen emiatt magasztalták és az ellenségek pedig éppen emiatt vetették el. Oroszországban különösen Osztrogradszkij akadémikus sugallatára jelentek meg az új geometria ellen ezen az alapon igen diffamáló cikkek még a harmincas években, majd a nyolcvanas években Csernyisevszkij írt az új geometria ellen — kulturált folyóiratban nehezen reprodukálható — durván szidalmazó stílusban. Egyidőben ezzel Németországban Eugen Dühring írt hasonló útszéli stílusban az új geometria ellen.

De már maga Beltrami felfedezte, hogy a nemeuklideszi geometriának vannak ősei, és ő volt az első, aki rámutatott arra, hogy Gerolamo Saccheri egy 1733-ban megjelent nagyszabású munkájában már számos alapvető nemeuklideszi tételt fogalmazott meg és bizonyított be. De nemcsak Saccheri, hanem egynéhány évtizedre rá, a XVIII. század végén a neves svájci matematikus J. H. Lambert (Kant levelező partnere) is bizonyított már hasonló tartalmú tételeket, bár ő maga idevonatkozó kutatásait soha nem publikálta.

II

Saccheri és Lambert eredményei a párhuzamosak problémájának indirekt úton való megoldási kísérletéből sarjadtak.

Mai terminológiával a párhuzamosok problémáját a következőképpen fogalmazhatnánk meg: bizonyítandó, hogy adott egyeneshez szerkesztett párhuzamos unicitása az abszolút geometria axiómáiból szigorúan következik, azaz, hogy az euklideszi párhuzamosok posztulátuma tulajdonképpen egy abszolút geometriai tétel.

Első megbízható írásbeli értesüléseink erről a problémáról egy kitűnő Kr.u. V. századbeli görög szerzőtől, Proklosztól származnak. Ő arról értesít bennünket, hogy az időszámításunk előtti utolsó évszázadban már egy Geminosz nevű, görög matematikus, majd kb. három évszázadra rá pedig Ptolemaiosz, a neves csillagász is foglalkozott a probléma megoldásával. Proklosz maga át is tanulmányozta Ptolemaiosz munkáját, abból lényeges kivonatokat közöl és részletes bírálatnak veti alá megoldási kísérletét. Munkájában maga Proklosz is közöl egy önmagában igen szellemes és elegáns, nem könnyen cáfolható megoldási kísérletet; az ebben rejlő hibát Saccherinek sikerült első ízben felderítenie.1

  • 1Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii; ex reconditione Godofredi Friedlein, Lipsiae 1873; 191, 23; 365, 7; 368, 1; 183, 14; 192, 5; 371, 10.

Geminosz, Ptolemaiosz és Proklosz — valamint még évszázadok hosszú során át az utánuk következő kutatók mind — közvetlen úton kísérelték meg a probléma megoldását, azaz az euklideszi állítást a geometria többi (azaz az abszolút geometria) axiómájából megkísérelték effektíve levezetni. Az eközben elkövetet hiba logikai struktúrája minden esetben, más és más alakot öltve is, változatlanul ugyanaz maradt: a bizonyítás kiindulási feltételei között a bizonyítandó posztulátum, más fogalmazás alá rejtve, már szerepelt. Így például kísérletében Proklosz abból a szemléletes feltevésből indul ki, hogy két egymást nem metsző egyenes nem távolodhatik egymástól; de ezzel — anélkül, hogy számot adott volna magának erről — már felvette feltevései közé magát a bizonyítandó posztulátumot, mint bizonyított tételt.

Saccheri2 és — még nem biztos, hogy vajon tőle teljesen függetlenül-e — Lambert3 új utat választott: nevezetesen, indirekt úton kísérelte meg annak a bebizonyítását, hogy a párhuzamosok posztulátuma tulajdonképpen az abszolút geometria egy tétele. Saccheri felvett egy, az euklideszi posztulátummal lényegében ekvivalens állítást, amely — az eredetitől lényegtelenül eltérő formában — a következőképpen hangzik: a négyszög szögeinek összege 4R — valamint ennek a formális negációját: a négyszög szögeinek összege nem egyenlő négy derékszöggel; ha mármost gondolta Saccheri, a matematika eddigi tapasztalataira alapozva — az euklideszi tétel igaz (és semmi oka nem volt, mint ahogy nekünk sincs ma, hogy ebben kételkedjék), akkor az ennek formálisan ellentmondó állítás szükségszerűen hamis. Saccheri, ugyancsak nem egészen alaptalan véleménye szerint, a hamisat sokkal könnyebb bizonyítani, mint az igazat, mert a hamis mindig egy belső ellentmondás formájában nyilvánul meg. Ha tehát az euklideszi posztulátummal szembehelyezett feltevés hamis, akkor, ebből kiindulva, véges lépésben, két egymásnak formálisan ellentmondó következményre kell bukkannunk. És ha az euklideszinek ellentmondó hipotézist sikerül ezen az úton (természetesen csak az abszolút geometria tételeit használva) ad absurdum vinni, akkor a párhuzamosok problémája ezzel szigorúan megoldottnak is tekinthető. A könnyebb kezelhetőség kedvéért Saccheri az eredeti egységes feltevést két, egymást logikailag kiegészítő részre bontotta: (1) a négyszög szögeinek összege nagyobb mint 4R (a tompaszög hipotézise), illetve (2) a négyszög szögeinek összege kisebb mint 4R (a hegyesszög hipotézise). Ami a tompaszög hipotézisét illeti, ebben az esetben Saccheri-nek sikerült is egy igen pregnáns ellentmondásra jutnia, amelyet a következőképpen fogalmazhatunk meg, egy, az eredetitől szinte alig eltérő módon: ha a négyszög szögeinek összege nagyobb mint 4R, akkor a párhuzamos (tehát a nem metszőknek feltételezett) egyenesek metszik egymást. Amint ismeretes, a hegyesszög hipotézisének esetében nem sikerült a remélt hasonló ellentmondásra akadnia — bár ő maga tévesen meg volt győződve arról, hogy a hegyesszög hipotézisét is lerombolta. Természetesen, a hegyesszög és a tompaszög hipotéziseinek szigorú következményeit nyomon követve Saccheri akaratán kívül olyan tételeket mondott ki és bizonyított be, amelyek ma a nemeuklideszi geometria tételei között szerepelnek.

  • 2G. Saccheri: Euclides ab omni naevo vindicatus etc. Mediolani, 1733.
  • 3J. H. Lambert: Theorie der Parallellinien, 1766. Stäckel—Engel: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss; eine Urkundensammlung, Leipzig, 1895.

Meg kell itt azonban jegyeznem, hogy a hegyesszög hipotézisére épülő Saccheri-féle rendszer mégsem nevezhető a szó mai értelmében egy kezdetleges nemeuklideszi geometriának, egy igen lényeges és alapjában véve nem egészen geometriai természetű részlet hiánya miatt; nevezetesen a Saccheri-féle rendszerből hiányzik annak tudata, hogy ez a rendszer éppoly jogosult és ellentmondásmentes, mint az euklideszi. Ez az a lényeges, döntő állítás, ami a mai értelemben vett nemeuklideszi geometria megjelenését jelzi. Saccheri rendszerében a nemeuklideszi tételek még mind a hamisság értékét viselik magukon. Éppen ennek a különbségnek a szóbeli hangsúlyozására a Saccheri-féle rendszert, mint egy puszta gondolatkísérletet, mint egy, az euklideszi posztulátum abszolút bizonyítására készült mesterséges lényt: anti-euklideszi rendszernek fogom nevezni.

III

Ezelőtt kb. három évtizeddel [1935 körül — A szerk.] ismertté vált, hogy Saccheri indirekt eljárása nem az első ilyen kísérlet volt a matematika történetében; az első ilyen kísérlet eszméje még a nagy perzsa költő, filozófus és matematikus, Omar Khajjám nevéhez fűződik. Saccheri is ebből az ötletből indult ki, amiről neki Omar egyik jeles tanítványán, Naszreddin Tuszin keresztül volt tudomása. De a történet ezzel még nem zárul le, mert figyelmesen áttanulmányozva az Arisztotelésztől, illetve közvetlen tanítványaitól fennmaradt munkákat, olyan szövegeket fedezünk fel ezekben, amelyek hasonló kísérletek meglétéről tanúskodnak már a Kr.e. IV. század közepén, tehát két generációval Euklidész előtt.

Már az Analytica Priora4 [Első Analitika] első könyvében találkozunk egy olyan, önmagában igaz, ámde rendkívül homályos hellyel, amely azonban egy, a párhuzamosok problémájának direkt úton való megoldására, illetve ennek sikertelenségére tett célzásnak tűnik. Ennek a helynek az analízisére és az ezzel kapcsolatban felállítható történelmi hipotézisekre később térünk rá.

  • 4Aristoteles Graece; ex recensione Immanuelis Bekkeri; edidit Academia Regia Borussica, Berolini 1831.

De már a következő lapon, az Analytica Priora következő fejezetében találkozunk egy olyan szöveggel, amely egymagában is tanúsítani képes azt, hogy az Arisztotelész-korabeli görög geométereket már foglalkoztatta a párhuzamosok problémája. Egy példáról van szó, amelyet Arisztotelész azért vezet be, hogy ezáltal illusztrálja azt az állítását, amelynek értelmében két egymástól különböző hamis premisszából egyaránt nyerhető ugyanaz a hamis konklúzió. Mert — mondja Arisztotelész — ugyanaz a hamis végkövetkeztetés: „a párhuzamosok metszik egymást”, levezethető mind abból a feltevésből, hogy {1} „a belső szög nagyobb mint a külső” — mind pedig abból, hogy {2} „a háromszög szögeinek összege nagyobb mint 2R” (66a 14—15). — Itt kell megjegyeznem, hogy Arisztotelész matematikai megfogalmazásai rendkívül koncentráltak, egyenesen elliptikusak és általában ismert tételekre való rövid célzások formájában vannak megfogalmazva. Így például Arisztotelész a háromszög szögösszegére vonatkozó tételt (egyik legkedveltebb példája) rendszerint a következő formában fogalmazza: „három szög két derék” — amelynek teljes jelentése viszont Euklidész megfogalmazásában: „Minden háromszög három belső szöge együttesen két derékszöggel egyenlő”. Hasonlóképpen a fent szóról-szóra idézett elliptikus állítás: „a belső szög nagyobb mint a külső” egyértelmű jelentése: ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metsz, akkor az általuk alkotott bármelyik belső szög nagyobb, mint a metsző egyenesnek ugyanazon az oldalán az adott belső szöggel szemben fekvő külső szög. Bárki, aki a legkisebb mértékben is járatos a nemeuklideszi geometria történetében, azonnal látja, hogy az idézett két premissza nem más, mint a Saccheri által bevezetett tompaszög-hipotézis két egymással, valamint a Saccheri-féle megfogalmazással logikailag teljesen egyenértékű formája. Sőt, a tétel maga is — amit ez az arisztotelészi szöveg két különböző premisszából származtat — ugyancsak szerepel Saccheri-nél és egész művének egyik alapvető eredményét képezi. Az Euclides ab omni naevo vindicatus című könyvében ez a tétel a következőképpen van megfogalmazva: ha a négyszög szögeinek összege nagyobb, mint 4R, akkor a párhuzamos egyenesek metszik egymást. Amint ismeretes, a párhuzamos egyenesek definíciója az Elemekben a következő: koplanáris, egymást nem metsző egyenesek. Ez azonban egy puszta nominális definíció. Az Elemek I. könyvének 27. tételében aztán szerepel a párhuzamos egyenesek egy ősrégi konstruktív definíciója: ha két koplanáris egyenest egy harmadik egyenes úgy metsz, hogy a metsző két alternatív belső szöge egymással egyenlő, akkor a két adott egyenes nem metszi egymást. Ez a tétel, amint ismeretes, a Bolyai-féle abszolút geometria egyik fontos tétele. — Közbevetőleg jegyzem meg, hogy Bolyai-féle abszolút geometriának nevezzük azoknak a tételeknek az összességét, amelyek például a Hilbert-féle Grundlagen der Geometrie [A geometria alapjai] című munkában felállított axiómarendszerből a párhuzamosok axiómájának elhagyásával következik; szorosabb értelemben azonban a geometriai tételeknek azt a rendszerét nevezik abszolút geometriának, amelynek axiómarendszeréből a párhuzamosok axiómáján kívül még más axiómák (pl. az Eudoxosz—Archimedész féle axióma, valamint az az incidencia-axióma, amelyik kimondja, hogy két pontot mindig legfeljebb egy egyenes köt össze egymással) is hiányzanak.

Az idézett tételből mármost az a végkövetkeztetés vonható le, hogy a Bolyai-féle abszolút geometria összeegyeztethetetlen a tompaszög hipotézisével, mert a tompaszög hipotézise segítségével a Bolyai-féle abszolút geometrián belül két egymásnak formálisan ellentmondó következményre jutunk: egyrészt az Elemek I. 27. abszolút tételből következik, hogy a már előzetesen pusztán nominálisan bevezetett nem-metsző egyenesek valóban egzisztálnak és effektíve megkonstruálhatók, nevezetesen, hogy a közös metszővel, egymással egyenlő alternáló belső szögeket alkotó koplanáris egyenesek nem metszik egymást, — másrészt pedig, hogy (ha a tompaszög hipotézise igaz) a hipotézis szerint egymást nem-metsző egyenesek metszik egymást, illetve, hogy a közös metszővel egymással egyenlő alternáló szögeket alkotó koplanáris egyenesek metszik egymást, és hogy ennélfogva párhuzamos egyenesek egyáltalában nem egzisztálnak. Saccheri számára ez a nevezetes és frappáns eredmény éppen annak volt a jele, hogy a tompaszög hipotézise, mivel az abszolút geometrián belül ilyen formális ellentmondásra vezet, hamis és ezért kiküszöbölendő. Természetesen ezt a matematikai tételt ma helyesen úgy fogalmazzuk, hogy a tompaszög hipotézise a Bolyai-féle abszolút geometriával összeegyeztethetetlen. Ha ellenben a szélesebb értelemben vett abszolút geometriából indulunk ki (amelyben a párhuzamosok axiómáján kívül még a másik két, fentebb idézett axióma is hiányzik), akkor a tompaszög hipotéziséből nem következik olyan állítás, amely az abszolút geometria egyéb tételének formálisan ellentmondana. Amint ismeretes, a Bolyai-féle abszolút geometria és a hegyesszög hipotézisének axiómaként való elfogadásából származtatható a hiperbolikus (Hilbert elnevezésében Bolyai—Lobacsevszkij-féle geometria), míg a tágabb értelemben vett abszolút geometria és a tompaszög hipotéziséből a Riemann-féle geometria építhető fel. Az a végkövetkeztetés, hogy párhuzamos egyenesek nem egzisztálnak, vagy az, hogy az egymással egyenlő belső alternáló szögekkel képzett koplanáris egyenesek metszik egymást, a Riemann-féle geometriának igaz, fundamentális tételei és csak a Bolyai-féle abszolút geometriában hoznak létre belső ellentmondást.

Történelmi szempontból érdekes azonban megjegyezni a következőket: az idézett tételt a párhuzamosok problémája megoldására tett kísérletei közben Legendre is felfedezte és, mint a Bolyai-féle abszolút geometria egy tételét, a következőképpen fogalmazta meg: a háromszög szögeinek összege nem lehet két derékszögnél nagyobb. Ez a tétel aztán őáltala is vált ismertté és még ma is úgy ismerik, mint egy Legendre-féle tételt. Csak Saccheri munkájának újrafelfedezése után vált ismertté, hogy az olasz matematikus ezt a tételt lényegében már igen elegánsan bebizonyította. Bonola, egy a nemeuklideszi geometriáról és annak történetéről írott könyvében5 már a század elején felhívta a figyelmet arra a tényre, hogy a Legendre-féle tétel elnevezés éppen ezért történelmileg helytelen. Most azonban azt kell mondanunk, hogy történelmileg éppolyan helytelen ennek a tételnek az első megfogalmazását és bizonyítását magának Saccherinek is tulajdonítani — mert az már Arisztotelésznél is, mégpedig két egymással ekvivalens formában, megtalálható. Legendre ezt a tételt pozitív formában, mint az abszolút geometriának egy igaz tételét fogalmazza; ettől eltérő módon a tétel megfogalmazása Saccherinél és Arisztotelésznél lényegében teljesen azonos: mindkettő azt állítja és bizonyítja, hogy ha a tompaszög hipotézisét elfogadjuk, akkor a párhuzamos (egymást nem-metsző) egyenesek metszik egymást. Ennek ellenére azonban semmi adatunk nincsen arra vonatkozólag, hogy Saccheri ismerte az Első Analitikának fentebb idézett helyét, és minden valószínűség szerint azt nem ismerve, önállóan jutott ugyanarra a következtetésre.

  • 5Bonola: Die nicht-euklidische Geometrie; deutsch von H. Liebmann, Leipzig, 1907, 60. p.

Ámde nem ez az Első Analitikában levő hely az egyetlen, ahol a tompaszög hipotézise előfordul. Az Ethica ad Eudemum [Eudémoszi Etika] című munkában is található egy igen érdekes hely, amelyben ismét egy a tompaszög hipotéziséből származó következmény fordul elő: ha a háromszög lényege szerint megváltozik — mondja a szerző —, akkor a négyzet is megváltoztatja lényegét; és, amint a következőkből (de Arisztotelész műveinek számos más helyéből is) kiderül, ez a lényeg nem más, mint a háromszög (illetve a négyszög) szögösszegének meghatározott értéke; mert olvassuk tovább — {3} ha a háromszög szögeinek összege például 3R, akkor a négyszög szögeinek összege 6R, de ha a háromszög szögeinek összege 4R, akkor viszont a négyszög szögeinek összege 8R. (1222b 35—36) — De ezek a geometriai alakzatok a Riemann-féle geometria nevezetes szinguláris jellegű ábrái: a Riemann-féle geometriában a 8R szögösszegű négyzet a maximális szögösszeggel és egyben a maximális területi mértékkel rendelkező (degenerált) négyszög (a Riemann-geometria szférikus modelljében ez egy önmagában, zárt nagykör, amelyen négy tetszés szerinti, egymástól véges távolságra kijelölt pont alkotja a négyzet négy csúcsát). — Ezek szerint a tompaszög hipotéziséből szigorú úton levezethető következményeket kutatva a görög geométerek már felfedezték ennek a sajátos geometriának két alapvető jellegzetességét: a 8R szögösszeggel rendelkező maximális határnégyszöget, valamint azt, hogy ebben a geometriában nem létezhetnek párhuzamos egyenesek; illetve, más szavakkal, felfedezték a tompaszög hipotézisével összefüggő legfontosabb eredményt, nevezetesen, hogy a Bolyai-féle abszolút geometriában két egymásnak formálisan ellentmondó tétel bizonyítható, ha a tompaszög hipotézisét igaznak fogadjuk el.

IV

A fent idézett eredménnyel (ha a háromszög szögeinek összege nagyobb, mint két derékszög, akkor a párhuzamos egyenesek metszik egymást) a görög geométerek már elérték a tompaszög hipotézisének kiküszöbölését és nagyon valószínűnek tartjuk, hogy ők is — mint majd később Saccheri — azt gondolták, hogy ezek után már csak a hegyesszög hipotézisében kell hasonló belső ellentmondást felmutatni ahhoz, hogy a párhuzamosok problémája ezzel szigorú megoldást nyerjen.

Valószínű azonban az is, hogy ezen a téren semmi olyan eredményt nem értek el, ami — a mi számunkra szinte hihetetlen — szigorérzéküket és követelményeiket kielégítette volna. Az arisztotelészi művek Corpusában nem is fordul elő sehol a hegyesszög hipotézise, ugyanazzal az önállósággal és világossággal, mint a tompaszög hipotézise. Egyetlen helyen történik mindössze egy igen szűkszavú célzás a hegyesszög hipotézisére. Nevezetesen az Analytica Posteriora [Második Analitika] II. 2. fejezetében (90a 33—34) olvassuk, hogy {4} a háromszög lényegét annak szögösszege definiálja és hogy ez a szögösszeg lehet egyenlő, nagyobb vagy kisebb, mint 2R. Ezen a helyen tehát a három Saccheri-féle hipotézis, a derék-, a tompa- és a hegyesszög hipotézise egymás mellett, mint a priori egyformán jogosult kiinduló feltevés jelenik meg.

A továbbiakban azonban a hegyesszög hipotéziséről önálló említés többé nem történik.

Az Arisztotelész által idézett példákban általában mindig egy a háromszög összegére vonatkozó klasszikus tétellel formálisan szembenálló általános hipotézis jelenik meg, tehát azzal a tétellel, amelyik azt állítja, hogy a „háromszög szögeinek összege egyenlő 2R-rel”, Arisztotelész a következőt állítja szembe: „a háromszög szögeinek összege nem egyenlő két derékszöggel”, anélkül, hogy ezt az általános tagadó ítéletet még további két egymást kiegészítő alesetre bontaná. A továbbiakban, a rövidség kedvéért ezt az Arisztotelésznél gyakran előforduló és a klasszikus háromszögösszeg-tétellel formálisan szembenálló tételt az anti-euklideszi hipotézisnek fogom nevezni.

V

Igen pregnáns és éles módon állítja egymással szembe Arisztotelész az euklideszi háromszögösszeg-tételt és az anti-euklideszi hipotézist az Analytica Posteriora II. 8. fejezetében (93a 33—35), ahol is a következő kérdést veti fel: {5} a két egymásnak ellentmondó állítás közül: a háromszög szögeinek összege egyenlő két derékszöggel — illetve: a háromszög szögeinek összege nem egyenlő két derékszöggel — melyik az igaz, pontosabban a kettő közül melyik képezi a háromszög logoszát, értelmét, létalapját? Ebben a szövegben is talán a legkülönösebb éppen az, hogy Arisztotelész úgy kezeli a két egymásnak ellentmondó állítást, mint két egymással a priori teljesen egyenjogú hipotézist és még csak célzást sem tesz arra vonatkozólag, hogy a klasszikus háromszögösszeg-tétel képezhetné egyedül a háromszög létalapját, míg a neki ellentmondó tétel már eleve hamis, minden létalapot nélkülöző, abszurd állítás volna csupán.

Az arisztotelészi Corpus számos helyén az anti-euklideszi tételek úgy jelennek meg, mint annak az alapvető matematikai tételnek a illusztrációi, amely azt állítja, hogy a princípiumok sajátos természete, sajátos tartalma, lényege meghatározza a belőlük levezetett tantételek sajátos természetét, tartalmi lényegét is. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a helyeket:

{6} Magna Moralia [Nagy Etika] I. 10, 1187a 35—38: ha a geometriában meghatározott princípiumokból indulunk ki, akkor — bármilyenek legyenek is ezek — a belőlük levezetett tételek lényegük, sajátos természetük szerint azonosak lesznek majd az eredeti kiindulási princípiumokkal; ezt a kitételt, mai kifejezésekkel élve és felhasználva az Arisztotelész által idézett többi példát is, a következőképpen fogalmazhatjuk meg: ha euklideszi princípiumokat veszünk fel, akkor az innen levezetett tételek lényegük, sajátos természetült szerint ugyancsak euklideszi jelleggel bírnak majd, ha ellenben a kiindulópont egy anti-euklideszi princípium, akkor az ebből levezetett tételek sajátos jellege ugyancsak anti-euklideszi lesz.

{7} Ethica ad Eudemum [Eudémoszi Etika] II. 6, 1222b 25—26: matematikai téren, ha a princípiumok megváltoznak, úgy ennek megfelelően megváltoznak a belőlük levezethető tételek is. És Arisztotelész ehhez a következő fontos matematikai jellegű megállapítást fűzi hozzá:

{8} egyazon princípiumok logikai következményei nem változtathatják meg lényegüket önmaguktól, mert ebben az esetben a rendszer tételei között két egymásnak ellentmondó állítás fordulna elő, amelyek lerombolnák, megsemmisítenék egymást és magát a rendszert; más szavakkal ezt az észrevételt a következőképpen fejezhetjük ki: meghatározott princípiumokra épülő deduktív rendszernek ellentmondásmentesnek kell lennie.

{9} Magna Moralia [Nagy Etika] I. 10, 1187b 1—2: ha a háromszög szögeinek összege megváltozik, akkor a négyszög szögeinek összege is megváltozik.

Az eddig idézett töredékekben mindig arról van szó, hogy a princípiumok megváltozása nyomán a következmények is megfelelő módon átváltoznak. Ennek az állításnak a reciprokjára is említ Arisztotelész egynéhány példát: egymással ellentétes állítások csak egymással ellentétes princípiumokból vezethetők le. Ez a gondolat teljes világossággal jut kifejezésre a következő szövegekben:

{10} Ethica ad Eudemum [Eudémoszi Etika] II. 6, 1222b 41—42: ha valami azzal a reális lehetőséggel rendelkezik, hogy két egymással ellentétes módon egzisztáljon, vagy viselkedjen, akkor azok a princípiumok is, amelyekből az egymással ellenkező létezési vagy viselkedési módok következnek, szintén egymással ellentétesek kell, hogy legyenek.

Ugyanaz a gondolat dominálja még az alábbi szövegeket is:

{11} Magna Moralia [Nagy Etika] I. 10, 1187b 2—4: ha a négyszög szögeinek összege nem egyenlő négy derékszöggel, akkor a háromszög szögeinek összege sem lehet 2R. — (Ennek kapcsán fel kell hívnunk a figyelmet arra az önmagában is feltűnő tényre, hogy etikai írásaiban Arisztotelész a háromszög szögösszegére vonatkozó tételt — annak mind euklideszi, mind anti-euklideszi formájában mindig mint egy princípiumot kezeli és annak is nevezi).

{12} Physica [Fizika] II. 9, 200a 29—30: ha a háromszög szögeinek összege nem egyenlő két derékszöggel, akkor a geometria princípiumai sem lehetnek ugyanazok (vö. mint abban az esetben, amikor a háromszög szögeinek összege 2R).

Végül íme még egy fontos szöveg, amelyben ugyancsak a princípiumok és azok logikai következményei közötti összefüggésről van szó:

{13} Metaphysica [Metafizika] IX. 10, 1052a 6—7: ha a háromszög lényege szerint változatlan és változhatatlan, akkor nem lehetséges, hogy szögeinek összege egyszer egyenlő legyen, máskor pedig ne legyen egyenlő két derékszöggel.

Lényegében ez az arisztotelészi állítás megegyezik Saccheri azon nevezetes indukciós tételével, amely azt állítja, hogy a háromszög szögeinek összege vagy minden háromszög esetében egyenlő, vagy minden háromszög esetében nem egyenlő két derékszöggel. Tartalma szerint ez a jelentős tétel még a következő formában is megfogalmazható: a háromszögek osztálya vagy teljes egészében euklideszi vagy teljes egészében nemeuklideszi és nem lehet, hogy a háromszögek osztályának bizonyos elemei euklidesziek, mások pedig anti-euklidesziek legyenek.

Legutoljára hagytam végül az anti-euklideszi hipotézisre vonatkozó legjelentősebb, Arisztotelésznél szereplő tételt. Ezt Arisztotelész az Égről szóló munkájában (281b 5—7) vezeti be azzal a céllal, hogy egy matematikai példával illusztrálja a lehetetlenség fogalmának azt a fajtáját, amelyben a lehetetlenség mint egy lehetetlennek nyilvánított logikai kiindulópont szigorú következménye jelenik meg.

{14} Mert például — mondja Arisztotelész —, a háromszög szögösszegének lehetetlen két derékszöggel egyenlőnek lennie, ha ez így van, a négyszög átlója az oldalával felmérhető. De világos, hogy itt egy rendkívül mély és lényeges nemeuklideszi tétellel állunk szemben; történelmi szempontból figyelemreméltó az a tény is, hogy ez a tétel nem szerepel sem Saccheri-nél, de a szorosabb értelemben vett nemeuklideszi geometria egyetlen megalapítójánál sem. Egyedül Bolyai Jánosnál szerepel egy ennél még erősebb, a fentit lényegében magában foglaló nevezetes tétel, amely kimondja, hogy a kör négyszögesítése a hiperbolikus síkban elvégezhető. Ha a görög geométerek például a tompaszög hipotézisére épülő geometria egyes tételeit a gömbi modellen értelmezték volna, akkor könnyen találkozhattak volna ennek az általános tételnek egy triviális esetével, ugyanis a nagykörré degenerálódott négyszög oldala és átlója evidens módon racionális viszonyban állnak egymással és e viszony értéke éppen 2-vel egyenlő. De az Arisztotelész által idézett tétel általános jellegű és nemcsak a tompaszög, hanem egyaránt a hegyesszög hipotézise esetében is áll, így hát fel kell tennünk, hogy ezt a görög geométerek szigorú logikai úton vezették le a megállapodás alapján elfogadott anti-euklideszi hipotézisből, mint premisszából. Figyelemreméltó továbbá az is, hogy az idézett tétel premisszája a klasszikus háromszögösszeg-tételt nyilvánítja lehetetlennek és nem például az anti-euklideszi hipotézist. A megfogalmazásnak ez a rendkívül éles módja ismét arra vall, hogy a görög geométerek tudatosan és a leghatározottabb módon állították szembe az eredeti háromszögösszeg-tétellel az anti-euklideszi hipotézist, hiszen már a kiindulást képező állításban a klasszikus tétel lehetetlenségét, hamis voltát tették fel. A görög geométerek minden valószínűség szerint valamilyen összefüggést kerestek az anti-euklideszi hipotézis és egy olyan geometriai állítás között, amelynek a lehetetlensége már kifogástalan módon, szigorúan bizonyítva van. Ennek a geometriai lehetetlenségnek az Arisztotelész által is idézett iskolapéldája és prototípusa az a tétel, amelyik a négyzet átlója és oldala közötti racionális viszony lehetetlenségét bizonyítja. Sajnos azonban, bár az anti-euklideszi hipotézisből valóban egy lehetetlennek ismert dolog — nevezetesen a négyzetátló kommenzurábilitása következik, ennek ellenére, ebből a lehetetlenségből mégsem lehet az anti-euklideszi hipotézis abszurd voltára következtetni, mert az átló inkommenzurábilitása viszont éppen az euklideszi posztulátum szigorú következménye. Ennek a görög geométerek minden valószínűség szerint világosan tudatában is voltak, mert sehol semmi jel nincs arra vonatkozólag, mintha ők az anti-euklideszi hipotézis abszurd voltát állították volna azért, mert ebből az átló kommenzurábilitása szigorúan következik.

Az előbbiek alapján már képet alkothatunk magunknak a párhuzamosok problémája megoldására irányuló kísérletek nyomán a IV. század közepe táján kialakult helyzetről: miután a későbbi párhuzamosok posztulátumának (illetve egy ezzel ekvivalens állításnak) a direkt úton való abszolút bizonyítása mindig egy circulus vitiosus-hoz vezetett, a görög geométerek megkísérelték a probléma indirekt úton való eldöntését; e célból felállították a következő anti-euklideszi hipotézist: lehetetlen, hogy a háromszög szögösszege 2R volna és ennek a principiumnak megtett hipotézisnek követték a szigorú logikai következményeit; ennek kapcsán eljutottak ahhoz a döntő fontosságú eredményhez, hogy ha a háromszög szögeinek összegét konkrétan nagyobbnak veszik két derékszögnél, akkor a következő plasztikus ellentmondáshoz jutnak: a párhuzamosok (azaz a nem metsző egyenesek) metszik egymást. Hasonló eredményt kellett volna azonban az általános anti-euklideszi hipotézis esetében is elérniök és ezt követve szintén egy fundamentális összefüggésre bukkantak, nevezetesen arra, hogy az anti-euklideszi hipotézisből a négyzet átlójának kommenzurábilitása szigorúan következik. Ámde világos volt előttük az is, hogy ezzel a számukra bizonyára természetesnek hangzó eredménnyel (amely két abszurdnak tekintett geometriai tény között létesít ok-okozati összefüggést) a párhuzamosok problémája meg korántsem oldódott meg. Erre a zavarba ejtő különös helyzetre céloz maga Arisztotelész is, amikor az Eudémoszi Etikában az általa példaként idézett anti-euklideszi tételekkel kapcsolatosan közbevetőleg megjegyzi, hogy

{15} ezeket a dolgokat nem lehet sem teljesen elhallgatni, de pillanatnyilag nem is lehet róluk többet mondani (1222b 38—39).

VI

Kétségtelen, hogy sem Arisztotelész, sem geométer kortársai egy pillanatig sem kételkedtek abban, hogy az anti-euklideszi hipotézis valami lehetetlenséget jelent. De mivel ezt nem sikerült egy belső ellentmondás segítségével lerombolni, felvetődik a kérdés: milyen érv alapján tarthatták azt mégis hamisnak? Ez az érv szintén elég világosan meg található Arisztotelésznél és röviden a következőképpen fogalmazható meg: az anti-euklideszi hipotézis tételeiben szereplő egyenes fogalma nem egyezik az egyenes intuitív képével, tehát az egyenesről alkotott szemléletünkkel. Ezt a felfogást olvashatjuk ki több-kevesebb világossággal a következő szövegekből:

{16} Physica [Fizika] II. 9, 200a 16—19: ha az egyenes ilyen — mondja Arisztotelész (és hozzáképzelhetjük, hogy a mutató névmás kimondását egy egyenes grafikus képének a felmutatása követi) — illetve ha az egyenes olyan, ahogyan azt e vonal konvencionális definíciója állítja, akkor a háromszög szögeinek összege szükségszerű módon egyenlő két derékszöggel; ha azonban a háromszög szögeinek összege nem egyenlő két derékszöggel, akkor a háromszög oldalai sem lehetnek egyenesek.

{17} De Anima [A lélek] I. 1, 402b 18—21: mindenek előtt tudnunk kell, mi az egyenes és mi a görbe, ahhoz, hogy megtudjuk, hány derékszöggel egyenlő a háromszög szögeinek összege.

A két idézett szövegből világosan kitűnik, hogy Arisztotelész szükségszerű összefüggést látott az effektíve lerajzolt háromszög oldalainak egyenes és görbe volta és a háromszög szögeinek összege között. Valószínűnek kell tartanunk, hogy ez nem volt az ő eredeti és elszigetelt álláspontja. Ez a felfogás különösen szükségszerűen fakad Arisztotelész empirizmusából. Szinte kétségtelen, hogy az anti-euklideszi hipotézis alapjára épülő tételeket a görög geométerek szintén a homoktáblákra rajzolt ábrákon követték; ha ez így volt, akkor kétségtelen, hogy az anti-euklideszi tételeket illusztráló ábrákban az egyenest valamilyen görbével kellett mindig reprezentálni ahhoz, hogy a háromszög szögeinek összege látható módon eltérjen a két derékszögtől. Ilyen körülmények között kézenfekvő volt az az érv, hogy az anti-euklideszi tételekben szereplő egyenes-fogalom a valóságban nem valódi egyenesekre, hanem görbékre vonatkozik és hogy ebben az anti-euklideszi rendszerben lényegében az egyenes kifejezés kétértelmű, mert egyszer a szó maga az egyenes fogalmát idézi fel, a valóságban azonban a geométer görbe vonalat ért alatta. Természetesen ilyen körülmények között a háromszög szó is ezzel a zavaró kettős értelemmel terhelődik, hiszen ezt a sík alakzatot eredetileg úgy definiálják, mint egy egyenesek által határolt síktartományt, de az anti-euklideszi hipotézis keretében a háromszögű síktartományt a valóságban görbék határolják, mert csak így lehet a szögek összege két derékszögtől eltérő. Ennek a felfogásnak a visszhangját halljuk a következő szövegrészből kicsendülni:

{18} De Sophisticis Eleuchis [Szofisztikus cáfolatok] 10, 171a 12—16: nem engedhető meg, hogy a háromszög kifejezés egyszer egy olyan síkalakzatot jelentsen, amelyben a szögek összege 2R, máskor ismét egy olyat, amelyben a szögek összege nem egyenlő két derékszöggel.

Ezzel kapcsolatban megemlítendő azonban, hogy a fenti három szövegrész alapjainál levő empirista felfogással szemben Arisztotelésznél megtalálható az ezzel ellentétes helyes felfogás is, amit Arisztotelész különben számos helyen helyeslőleg idéz:

{19} A geométert nem lehet azzal vádolni, hogy hamis hipotézisekkel dolgozik, amikor mint egy láb hosszú szegmentumokról beszél olyan egyenesekről, amelyeknek hossza nem egy láb, vagy egyeneseknek mond olyan vonalakat, amelyek a rajzban nem egyenesek hiszen ő nem von le semmilyen következtetést ez alakzatok konkrét grafikai képéből, hanem csak az elvont fogalmakból, definíciókból és hipotézisekből, amelyek a levezetések alapjainál állanak. (Analytica Posteriora [Második Analitika] I. 10, 76b 39—77, a 3; lásd még: 49b 34—37, 1078a 19—21, 1089a 21—25) Bár Arisztotelész elvben és elvont módon tisztában volt a geometriának a grafikai rajztól való függetlenségével, ezt az elemi és alapvető felfogást képtelen volt a gyakorlatban keresztülvinni az anti-euklideszi tételek esetében; hasonló következetlenségek igen gyakran fordulnak elő a tudomány, és különösen a matematika történetében.

Az Arisztotelész által az anti-euklideszi hipotézissel kapcsolatban vallott empirista felfogás sokban emlékeztet a XIX. század végén a nemeuklideszi geometria ellen felhozott ellenvetésekre; ezekben, mindig az a gondolat tért vissza, hogy a nemeuklideszi geometria egyáltalán nem geometria, mert nem a térbeli alakzatokra vonatkozik, habár róluk beszél. Valamint a XIX. század empiristái, úgy valószínűleg Arisztotelész is úgy tekintette ezt az anti-euklideszi rendszert, mint egy rossz, degenerált, hamis geometriát; erre enged következtetni az alábbi szöveg:

{20} Analytica Posteriora [Második Analitika] I. 12, 77b 22—26: az állítás, amely kimondja, hogy „a párhuzamosok metszik egymást”, egyidőben geometriai és nem-geometriai: geometriai, hiszen csupa geometriai kifejezésből áll, de ugyanakkor nem-geometriai, mert a geometriai jelleget romlott, degenerált módon tartalmazza.Arisztotelész számára az egész anti-euklideszi rendszer egy ilyen romlott, monstruózus geometriát képviselt, akárcsak a nemeuklideszi geometria a XIX. század végi empirista filozófusok számára.

VII

A fent idézett szövegekből kitűnik tehát, hogy már Euklidész előtt egy fél évszázaddal komoly kísérletek folytak a későbbi euklideszi posztulátum vagy egy azzal ekvivalens állításnak az abszolút geometriai módszerekkel való szigorú bizonyítására, és méghozzá ugyanazzal az indirekt eljárással, amelyet később Saccheri alkalmazott. Ami a párhuzamosok problémájának direkt úton való megoldási kísérletét illeti, erre vonatkozólag csupán egyetlen és önmagában igen homályos szöveggel rendelkezünk, nevezetesen az Analytica Priora [Első Analitika] II. 16. fejezetében (65a 4—7) olvassuk, hogy:

{21} a petitio princiipii konvencionális elnevezésű hibát követik el azok a geométerek, akik azt hiszik, hogy „a párhuzamosokat rajzolják” (vagy „írják”), mert ezek nem veszik észre, hogy olyasvalamit tesznek fel, ami maga sem bizonyítható a párhuzamosok egzisztenciája nélkül.

Túl messzire menne és túl sok teret venne igénybe ennek a helynek a kimerítő analízise. Véleményem szerint ez a szöveg a legjobban mint egy a párhuzamosok problémájának direkt úton való megoldására tett célzás értelmezhető a legkényelmesebben és a legplauzilisebben. A „párhuzamosok rajzolása” vagy „írása”, másutt az egész klasszikus görög irodalomban elő nem forduló kifejezést úgy kell értelmeznünk, mint egy intim, familiáris jellegű kifejezést, amellyel a korabeli matematikai körökben éppen a későbbi párhuzamos-axiómájának (vagy egy ezzel ekvivalens tételnek) a bizonyítási kísérleteit jelölték. Feltevésünk szerint az a geometriai tétel, amelyről itt szó van, az Elemek I. 29. 1. tétele: ha két párhuzamos egyenest egy harmadik metsz, akkor a belső váltószögek egyenlők egymással. Ez a tétel ekvivalens a későbbi párhuzamosok posztulátumával. Feltevésünk szerint ezt a tétel reciprokjából, az Elemek I. 27. tételéből kísérelték meg levezetni és ebben, szükségszerű módon, fel kellett venni a párhuzamos unicitását, illetve az Elemek I. 30. tételben a párhuzamossági relációra bebizonyított tranzitivitást. De ez ismét csak az Elemek I. 29. 1. alapján bizonyítható, azaz egy olyan tétel alapján, amely a párhuzamosok egzisztenciáját premisszaként fogadja el. A korabeli geométerek valószínűleg minden különösebb meggondolás nélkül, mint egy magától értetődő tényt vették fel az Elemek I. 27. alapján abszolút szerkesztéssel konstruált párhuzamos unicitását illetve a párhuzamossági reláció tranzitivitását, és eleinte nem is vették észre, hogy ezt az elemi tényt is bizonyítani lehet, de éppen a bizonyítandó tétel premisszája, a párhuzamosok egzisztenciája alapján. Az itt röviden vázolt feltevés segítségével megmagyarázható az Elemek I. könyvének néhány sajátossága.

Befejezésül meg szeretném még említeni a következőket: Arisztotelésznél már elég világosan érezhető, hogy — valószínűleg a sorozatos kísérletek kudarca miatt — felmerült, egy a geometria alapjaihoz helyezendő új princípium bevezetésének a homályos gondolata is, nevezetesen, hogy már felmerült az addig használatban levő geometriai princípiumok elégtelensége, például a háromszög szögösszegére vonatkozó állítás szigorú bizonyítására. Ezt a kezdetben még csak homályosan kibontakozó gondolatot valósította meg aztán a régebbi geometriai munkákat összegyűjtő Euklidész, amikor a geometria princípiumai közé felvette — mint egy posztulátumot — az éppen ezért joggal róla elnevezett állítást.