A prímszámok egyéniségéről

Erdély Dániel
matematika, számelmélet, természetes számok, prímszámok

Rovatunk régi levelezője [Sulinet, matematikaA szerk.], Erdély Dániel, a Spidron-rendszer megalkotója nem matematikus, hanem iparművész. Ennek ellenére vonzalmat érez a matematika iránt, és érdekes nézőpontból vizsgálja ezt a tudományt.

Erről tanúskodik mostani írása is.

szóelválasztás

A matematikusok úgy tekintik a prímszámokat, mint valamely „idegen elemeket” a természetes számok körében. Lehet, hogy ez durva leegyszerűsítés bizonyos tudósembereknek a tudásuk, azaz nemtudásuk tárgyához való viszonyáról. Annyi bizonyos azonban, hogy sokat bajlódnak a prímekkel.

Én nem vagyok matematikus (csak egy kicsit, a lelkem mélyén), de én is ezt tettem és teszem. Ehhez kellő lendületet ad „pofátlanságom”, mellyel egy évezredes tudományhoz nyúlok, az a hit, hogy éppen részleges kívülállóságom miatt esetleg olyan szemléletet tudok ebbe a diszciplínába „behozni”, ami a klasszikus módon kinevelt főktől, éppen a tudásuk építményébe és az építkezés módjába vetett bizalmuk, gondolkodásbeli rutinjaikba való tudatos vagy öntudatlan kapaszkodásuk miatt távol áll.

Nagyon könnyen lehet, hogy felsülök, és megmutatják, kiderítik pillanatok alatt, hogy a többhónapos (és mögötte több éves) erőforrásaimat olyan fölösleges tevékenységekre pazarlom, amelyek egy matematikus számára régtől fogva lezárt tények, trivialitások.

Igen, ez is „benne van a pakliban”, de azért, amennyire tudok, tanulok, figyelek és a tőlem telhető mértékben tájékozódom.

A sík parkettázása spidronnal

Laczkovich Miklós matematikus barátom egyik levele jut az eszembe, ami eléggé elbizonytalanító volt:

Ugye sejted, hogy a szövegeddel egy matematikus nem sokat tud kezdeni? […] Ami az egész számok síkbeli ábrázolását illeti, nem tartom valószínűnek, hogy bármely ábrázolási módszer esetében megtudhatnánk valami újat a prímekről. Ezt persze nem tudom (és nem is lehet) bizonyítani, de ebben mégis csaknem biztos vagyok.

Amennyire Miklós biztos a próbálkozásaim hiábavalóságában, annyira kellene bizonytalannak lennem, mert a köztünk levő matematikai tudásszint különbségből ez egyenesen következik.

Mégis, mikor a Spidron rendszerrel, ami egy újszerű geometriai formarendszer, rendkívüli sík és térkitöltési lehetőségekkel, annak idején, mintegy 20 éve megkerestem, szkepsziséhez társult némi elismerés is, ami főleg a munkám esztétikai megjelenésére vonatkozott… és itt nem a külsődleges formai jegyekre, szép tálalásra gondolt.

Az elismerés nagyon is tartalmi volt. Aztán később eljött az előadásomra, ahol óvatosan ismét lökést adott a munkának azzal az apró megjegyzéssel, hogy az általam bizonygatott – de tudományosan, kellő matematika-nyelvi arzenál híján nem bizonyított – egyik állításom, nevezetesen két felület szimmetriája meggyőzőnek tűnik.

SpidroHedron

Tavaly, több mint 10 év után Szilassi Lajos matematikusnak sikerült állításaimat igazolnia.

Ez viszont elég bátorító.

Az egész hit a munkámban abból a nehezen körülírható meggyőződésből ered, hogy a rendszer, amivel foglalkozom és amely a „6”-os szám kulcsszerepére épít, magas szinten, azaz többszörösen „tökéletes”.

Mit jelent ez a kifejezés: tökéletes? A dolgot többféleképpen is meg lehet közelíteni. Ezek közül az egyikhez a történelemből meríthetek adalékokat. Az ősi vallásokban és misztikus tanokban a hatos számnak, – amely a matematikai terminológiában is kivívta a „tökéletes” megjelölést – mindig is kitüntetett szerepe volt. Vannak ezenkívül úgynevezett „nagyon tökéletes számok” is.

Tökéletesség. Ez olyan összefüggéseket takar egy szám esetében, amely „alkotórészeivel” – például a törzstényezőik vagy az osztóik – való viszonyukra utal. Emberekre is mondják, hogy „összhangban van önmagával”.

A Spidron mint forma több olyan összefüggést „képvisel”, amely a rész és egész vonatkozásában merül fel.

Ez vonatkozik a szimmetria (eltolás, forgatás, tükrözés), a hasonlóság, a területek és részterületek valamint a deformáció különböző stádiumainak, így a mozgásnak a kategóriáira is.

Tehát, amikor azt mondom egy síkbeli vagy térbeli alakzatra, hogy „tökéletes”, akkor ilyen jellegzetességeire gondolok.
Az aranymetszés is ilyen viszonyra utal a rész és az egész között. Az egészt úgy osztja egy „metszés” ketté, hogy az egész viszonya olyan legyen az egyik részhez, mint ez utóbbi viszonya a másik, megmaradt részhez. Joggal illetjük e „metszést” az „arany” előtaggal.

A hatos rendszerben való gondolkodás másik oka az az élmény, ami a kocka (hexagon) síkbeli ábrázolásánál szembeötlő. A megjelenítésnek arról a különös tulajdonságáról beszélek, amely miatt a testátlója irányából ábrázolt kocka három látható lapja pontosan fedésbe kerül a három nem látható lapjával, ami optikai csalódáshoz vezet, mivel nem lehetünk biztosak benne, hogy a kocka belsejét vagy a külsejét látjuk, különböző beállítású fényforrásokkal megvilágítva. Ez a jellegzetesség valami olyasmi megállapítás megtételét kényszeríti rám, hogy – kimondani, azaz leírni is röstellem, – a hatos szám „átvisz a dimenziókon”.

A kockáknak a belsejét vagy a külsejét látjuk?

Összefoglalva:

A hatos szám tökéletes szám, mert az osztóinak az összege. Ehhez hozzátehetjük azt az érdekességet is, hogy az első 3 szám összege is.

Az első 3 számról a misztikusok – többek között az I. Erzsébet (1558–1603) korában élt Robert Fludd – elég érdekes dolgokat írtak. Ezeket „radikális számoknak” is nevezik, mivel rendkívüli tulajdonságokkal rendelkeznek.

Az „1”-ről csak annyit, hogy nagyon különbözik az összes többitől. Az „1”-es négyzetszám is, köbszám is, sőt, bármilyen kitevőre emelve is 1 marad, tehát – mint a fehér fény – önmagába sűrít sok-sok tulajdonságot. Az „1”-ről „egyelőre” ennyit.

A „2” is „megéri a pénzét”. Az első páros szám, ugyanakkor prím. Már ezzel az egy különleges tulajdonságával is igazi „egyénisége” a természetes számok birodalmának.

A „3” az első háromszögszám. Talán kevesen tulajdonítanak neki jelentőséget, de az utolsó prímszám, amely előtt nincs összetett szám. Ez azért fontos, mert a prímszámok rendszerét éppen azért tűnik lehetetlen feladatnak „megfejteni” mert „látszólag” olyan szeszélyesen keveredik a számsorban az összetett számokkal.

Az első 3 szám, mint a nemes gázok, nem elegyednek, keverednek tehát összetett számokkal. Ezért Isteni számoknak is nevezik őket.

Konstansok kertje
Barbara Grygutis · Columbus campus, The Ohio State University, Columbus, Ohio

További számokról

Írnék még néhány gondolatot a következő számokról, a „4”-esről és az „5”-ösről, hiszen az első 6 szám közül már csak ezek nem kaptak említést.

Mondhatják, hogy ilyen alapon az összes számról lehetne akár egy 1000 oldalas könyvet is írni. Meggyőződésem, hogy ez így igaz, de én arról szeretném meggyőzni az olvasóimat, hogy ez, a szemléletünk számára oly jól áttekinthető első 6 szám együtt és külön-külön is megérdemli a kitüntetett figyelmünket, mivel olyan tulajdonságokat képviselnek, amelyek alapvetően fontosak, és amelyek a számsor további tagjaiban is újra és újra visszaköszönnek.

Továbbmenve azt szeretném elfogadtatni Önökkel, hogy ezekre a számokra „lehet építeni”. Sőt, végső (eddigi végső) következtetésem az, hogy ezekre a számokra kell építeni a pozitív egész számok rendszerének leírását.

Ha szerzői önkénnyel vádolnak, elfogadom, bár úgy hiszem, hogy megtérül az a bizalom, amit előlegként kicsikarok a nyájas olvasóból.

Beszéljünk a következő számokról. Mit mondhatunk el a „4”-esről? Az második négyzetszám a számsorban. Az első összetett szám a számsorban. Viszont olyan „különleges” összetett szám, amelynek csak egy prímosztója van: a „2”-es. Tehát az első nem prím nemcsak, hogy összetett, hanem négyzetszám is egyben. A legkisebb prím, a „2” négyzete.

Pentagram

Az „5”-ös számmal kapcsolatban jó hírrel szolgálhatok. Az „5”-ös „becsületes” prímszám. Ráadásul az őt megelőző 2 prím, a „2” és a „3” összege.

Az első hat szám közül – vagy most felejtsük el az „1”-est, mert azzal, ugye mindig „baj” van, – tehát az „1”-es utáni 5 szám: A „2”, a „3”, a „4”, az „5” és a „6” közül egyedül a szabályos 5-szöggel nem lehet homogén módon kiparkettázni a síkot.

A „2” est békén hagynám, hiszen nem lehet belőle poligont létrehozni, azaz csak egydimenziós vonalat lehetne. Így marad a szabályos 3-szög, a 4-szög, az 5-szög és a 6-szög.

Ezek közül csak a szabályos 5-szög nem alkalmas a sík homogén kiparkettázására.

Furcsa megállapításra jutunk: A végtelen síkot kiparkettázó, tehát a végtelent hézag-(maradék-)mentesen darabokra osztó szabályos sokszögek közül az 5-szög nem bizonyul megfelelőnek. Miközben az egy dimenzióban prím, aközben a belőle alkotott két dimenziós szabályos poligon nem „osztója”, „parkettázója” a két dimenziónak.

Igaz, a „6”-nál nagyobb számokból eredeztetett szabályos poligonok egyike sem, legfeljebb 2 vagy 3 különböző együtt alkalmas a sík hézagmentes lefedésére. Így hát az „5”-ösről is elmondhatjuk, hogy nagyon nagy „egyéniség” a számok között. Ha egy „végső erőfeszítéssel” bekukkantunk a három dimenzió világába, akkor az „5”-ös számnak ismét előkelő szerepét konstatálhatjuk.

Szabályos testek

A három dimenzió világában

Ötféle szabályos test van. Ezek az úgynevezett platoni testek, amelyekre jellemző, hogy csak konvex szögei vannak, egyféle szabályos sokszögek határolják és minden csúcsukba azonos számú él fut össze.

A tér kitöltése bonyolult tudomány 230 féle úgynevezett kristálycsoportba sorolhatók azok a testek, amelyek saját másolataikkal egyszeresen és hézagmentesen kitöltik a teret. A szabályos testek közül az egyetlen ilyen a hat(!) lap által körülfogott kocka. A további 4 test közül a tetraédert (4), az oktaédert (8) és az ikozaédert (20) szabályos háromszöglapok határolják, míg az utoljára maradt dodekaédert 12 db szabályos 5-szög veszi közre.

Tegyünk egy formabontó kitérőt!

Melyik számmal „van baj” az első 6 közül különböző dimenziókban?

Az első dimenzióban baj van a „2”-vel. A második dimenzióban „baj van” az „5”-tel, és három dimenzióban csak a „6”-tal nincs baj. Vagy másképpen közelítsünk?

Az „1”-et hagyjuk békén. Mondjuk azt, hogy az „1” olyan, amilyen, vele „soha sincs baj”.

A „2”-vel annyiban van baj az első dimenzióban, hogy különc. Páros prím.

Az „5”-össel baj van a második dimenzióban, mert a szabályos 5-szögparketta nem fedi le a síkot hézagmentesen. A „2” est békén hagynám, hiszen nem lehet belőle poligont létrehozni, azaz csak kiterjedés nélküli vonalat lehetne.

A harmadik dimenzióban kétféle szempontból állapíthatok meg hiányosságokat:

  1. Nem alkotható szabályos n-szögű poligonból szabályos (platoni) test.
    Ebből a szempontból a „2”-est ismét szintén „békén hagynám” a fent taglalt okokból kifolyólag. Itt a szabályos 6-szöggel, tehát a „6”-ossal van baj.
  2. Nem alkotható ennyi oldalú poliéderrel határolt térkitöltő test.
    Itt pont fordított ítéletet kell hoznunk. Éppen a „6”-os az egyedüli „jó” szám. Hiszen a kockát hat négyzet határolja.
    Ebben is megmutatkozik a „6”-os gazdag természete.

Ezek a megfontolások és érdekes tulajdonságok vezettek ahhoz a meggyőződéshez, hogy végső célom, a számegyenes térbeli felfűzésének – a természetes számok közötti összefüggések jobb megértése és szemléltetése érdekében – alapjául a „6”-os számnak és a hozzá tartozó tulajdonságoknak kiemelt szerepet szánok.

Az ez irányú tapogatódzásom egyik eredménye a 1 + 30 mezős prímszámfüzér.

A másik „ötlet” pedig az alapprobléma megfordítása volt: csináljunk rendszert a prímszámok rendszertelenségéből! Olyan tekercselését készítsük el a természetes számoknak, amelyek egy szigorú hatos rendszeren belül a prímszámok szeszélyei szerint „rendezi” a számok sorát.

Milyen eredményre vezet ez a megközelítés? Erre a kérdésre adott válaszokat szemléltettem a http://www.szinhaz.hu/edan/prim/ honlapon.

A zárt, 30 + 1 mezőből álló ábra, amely az összes természetes számnak helyet ad, magából az alapötletből adódik, azonban ennek lezártsága, az egyes mezőkben helyet foglaló számok jellegzetességei nem voltak előre megjósolhatóak. Megfelelően nagy mennyiségű természetes szám felfűzése további törvényszerűségek megállapításának ígéretével kecsegtet. Érdemesnek látszik a módszert számítógépes programmal megtámogatni és az eredményt elemezni.

Laczkovich Miklós
(*1948)
matematikus
Az Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar analízis tanszékének vezetője, 1993 óta egyetemi tanár. Megoldotta a Tarski-féle „körnégyszögesítési” problémát. Kutatási területe: valós függvénytan. A matematikai tudomány kandidátusa (1980), doktora (1992). Az MTA levelező tagja (1993), rendes tagja (1998). Grünwald Géza-díj, MTA Matematikai Díja, Akadémiai Díj (1991), Ostrowski-díj, Széchenyi-díj (1998).