Kant Immanuel és a püthagoraszi számok

Egy félreértésből támadt matematikai per
Waldapfel János
matematika, pitagoraszi számhármasok, pitagorasz-tétel

A címben szereplő ’per’ szó többnyire bírósági eljárást juttat az eszünkbe, pedig közönséges – szakkiadványokban lefolytatott – polémiára utal. Az persze nincs kizárva, hogy ennek időtartama – az akkori nyomdai viszonyokra való tekintettel – összemérhető egy ma lefolytatott valódi tyúkper idejével. (Például a vidéki nyomda, ahova Hlebnyikov orosz költő beadta a ljubity [szeretni] ige gyökeréből képzett szavait, visszaadta a kéziratot, mert nem volt elég l betű, hogy kiszedhették volna…) A szöveget a mai helyesíráshoz közelítettem, de igyekeztem megőrizni néhány korabeli sajátosságot. – A szerk.

szóelválasztás

Akik a gimnázium legfelsőbb osztályaiba járnak, okvetetlenül hallottak már a königsbergi bölcsről, ki hatalmas szelleme bélyegét rányomta a legújabb kor egész tudására, hitére és cselekvésére. De talán nem mindenki tudja közülök, hogy az újkor e legnagyobb elmélkedője, a lelkiismeretesség és kötelességtudás legélesebb elméjű szószólója, eleinte hosszú ideig leginkább matematikával foglalkozott, a matematika professzora is akart lenni, és egész hosszú, örök értékű életén át mindvégig megtartotta a matematika iránt való élénk érdeklődését.

E nagy férfiú életéből akarok ezúttal egy matematikára vonatkozó érdekes kis epizódot elbeszélni, melyből egyebek között azt az érdekes tanulságot vonhatjuk le, hogy mihelyt matematikus dologról beszélünk, lehető legpontosabban kell beszélnünk, mert különben könnyen mondunk olyasvalamit, ami valamely óvatos matematikus szomszédunknak kihívja a rendreutasító, jogos kritikáját. Ily kritika ellen a matematikában nem véd meg semmi tekintély, és amit egyszer állítólag a mi Zsigmond királyunknak arcába mondtak: Non est Caesar supra grammaticam [A császár sem áll a nyelvtan felett.], azt még nagyobb joggal alkalmazhatjuk a matematikára: Non est Caesar supra mathematicam, legyen itt akár a szellem birodalmának valamely oly hatalmas uralkodójáról szó, minő Kant Immanuel volt.

Történt ugyanis egyszer, éppen a mi millenniumi kiállításunk megnyitásának hónapjaiban volt száz éve, hogy Kant, ki akkor már réges-régen dicsősége tetőpontján állott, egy berlini folyóiratban egy kis értekezést közölt ily címen: Von einem neuerdings erhobenen vornehmen Ton in der Philosophie (A filozófiában újabban hallatott előkelő tónusról). Benne egyebek között – nem éppen elismerő módon – szóvá teszi Püthagorasznak és utódainak azt az ismeretes eljárását, hogy a számokban bizonyos titokzatos vonatkozásokat, jelentőséges szimbólumokat kerestek. Ennek kapcsán furcsáknak és haszontalanoknak mond Kant oly kérdéseket, minő például ez volna: Mi az oka, t. i. a számokon kívül levő, esetleg a világrendben, vagy általános logikai kapcsolatokban rejlő oka annak, hogy egy derékszögű háromszög három oldalának racionális viszonya csak a $3, 4, 5$ számoké lehet? Tudvalevő, hogy e számok, a $3, 4, 5$-öt, melyekre nézve áll, hogy $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, vagyis amelyek az ismeretes püthagoraszi tétel követelményeinek megfelelnek, illetőleg az $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ egyenletnek racionális, sőt egész számú megoldásai, püthagoraszi számoknak nevezik. Csakhogy nemcsak e három szám adja a racionális egész számok oly $a,\ b,\ c$ csoportját, melyre igaz, hogy $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, hanem persze mindenekelőtt az összes $3n,\ 4n,\ 5n$ számtriászok is, ahol $n$ bármely egész szám, de továbbá minden ily összetartozó számháromság is, minők ezek $m^{2}-n^{2}$, $2mn$, $m^{2}+n^{2}$, ahol $m$ és $n$ tetszés szerinti egész számok, melyekre nézve $m\gt n$. (Derékszögű háromszög oldalairól szól Kant, és azért itt csak a pozitív megoldásokat akarjuk számba venni). Kantnak fent írt mondata, hogy a derékszögű háromszög három oldalának racionális viszonya csak a $3,\ 4,\ 5$ számoké lehet, e szerint ily alakban nem áll. Az állítás helytelensége rögtön fel is tűnt egy Reimarus nevű tudósnak (nem a Lessingtől kiadott a Wolfenbütteler Fragmente híres írója, aki már 1768-ban meghalt), és ez az illető berlini folyóiratnak egy újabb számában bebizonyította, hogy bizony sok ily racionális megoldása van az $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ egyenletnek, miként ezt persze Reimarus előtt is már régen tudták.

Nos, mit gondolnak, kedves olvasóim, Kant nem tudta-e, hogy $3,\ 4,\ 5$ nem az egyetlen racionális megoldás? Bizony tudta ő is, csakhogy a maga szellemi óriás voltában megengedte magának a hanyag kifejezésmódot. Tulajdonképpen csak arra célzott volt, hogy a természetes számsorban egymás után következő három pozitív, azaz 0-nál nagyobb racionális szám nincs több, mint az említett három, mely a szóban forgó követelménynek megfelelne, és tulajdonképpen csak e szoros egymásutánban, mely többé az egész számsorban nem ismétlődik, találhatna az, ki ilyeneket keresne, valami csodálatost vagy misztikust. E helyesbítést, illetőleg szavainak magyarázatát kénytelen is volt Kant aztán egy Ausgleichung eines auf Missverstand beruhenden mathematischen Streit (Egy félreértésen alapuló matematikai vita elsimítása) című kis dolgozatban megírni, illetőleg magát a félreértésre alkalmat adó kifejezéseit némileg exkuzálni. Ha mindjárt világosan és szabatosan beszélt volna, Reimarust is, magát is megkímélte volna a felesleges irka-firkától, melyből matematikus nem tanult semmit, legfeljebb annyit, amire soraim elején utaltam, hogy mindig pontosan kell beszélni. Persze nemcsak a matematikában, hanem más téren is. Csakhogy sehol sem követi a helytelen, nem pontos beszédet oly gyorsan a nemezis, mint a matematika terén.

Végül még csak egyet kérdezek Önöktől, kedves olvasóim, és egyet, ha nincs ellene kifogásuk, ígérek is önöknek.

Kérdésem ez: Hogyan lehet azt bebizonyítani, hogy csak e három egymás után következő szám létezik a természetes számsorban, amely megfelel a Pitagorasz-tétel következményének?

Ígéretem pedig ez: Ha a fentebb elmondott apróság Kant életéből érdekelte a Középiskolai Matematikai Lapok fiatal olvasóit, kik ma talán szintén buzgó kezdő matematikusok, és egykor majd, ki tudja, mi is lesz a hivatásuk, akkor ezentúl is többször közlök egyik másik matematikai érdekű apróságot oly nagy emberek életéből, illetőleg munkásságából, kik szerették a matematikát, és mégsem lettek a szó szoros értelmében matematikusokká.

Immanuel Kant
Forrás

Középiskolai Mathematikai Lapok 1897. november. 44–46. p.