Matematikai absztrakció és skolasztikus teológia

Részlet A matematika élménye című kötetből
matematika, absztrakció, skolasztika, teológia, filozófia, Szádja Gáon
szóelválasztás

Az absztrakció a matematika éltető eleme, és viszont, ahogyan P. Dirac rámutatott:

Kifejezetten a matematika az alkalmas eszköz arra, hogy bármiféle absztrakt fogalmakkal foglalkozzunk. Teljesítőképességének ezen a területen nincs határa.

De az absztrakció mindenütt megtalálható. Ez majdhogynem ismertetőjegye vagy szinonimája magának az értelemnek. A matematikai típusú absztrakció gyümölcsei között megemlíthetjük a rendszeres skolasztikus teológiát is. Bertrand Russell véleménye szerint (A nyugati filozófia története [Bár az angol nyelvű kiadás 37. oldalán hivatkozott szövegrészt a mű magyar kiadásában nem sikerült azonosítanom, Russell valóban tesz az idézetthez hasonló tartalmú kijelentéseket, pl. a Püthagorász filozófiáját ismertető fejezetben. – A szerk.]) a rendszeres skolasztikus teológia közvetlenül a matematikából származik. Különösen érdekes ezt nyomon követni Szaád ibn Juszuf (882–942) írásaiban.

Szaád ibn Juszuf (Szádja Gáon) filozófus, teológus, a babilóniai zsidóság kiemelkedő vezetője, az egyiptomi Faijum területén született. Fő filozófiai műve: Kitáb al-amánát va-al-i’tiqádát (Hittételek és vélemények könyve) bőségesen hivatkozik bibliai és talmudi forrásokra, de ezenkívül merít az orvostudományból, anatómiából, matematikából, csillagászatból és zenéből is. A korabeli matematikusok véleménye szerint Szádja (mostantól ezen a közismertebb nevén nevezzük) alaposan elsajátította a matematikai tudományt, és ebből a szempontból fogjuk a Kitábot vizsgálni.

Szádja lenyűgöző, mert benne nemcsak korának matematikusát lehet látni. Rendszeres teológiájában már jelen voltak azok a gondolkodási módok, irányok és folyamatok is, amelyek a XIX. és a XX. századi matematikát jellemzik.

A X. századi matematika jelenik meg, amikor Szádja így szól:

Én nem 100 drachmát kérek Rúbentől, hanem tízezernek a négyzetgyökét kérem tőle.

93. p.

Nem kérek Rúbentől száz dirhemet, hanem tízezer négyzetgyökét kérem.

82. p.

Ez olyan fordulat, amely valószínűleg nem jutott volna eszébe a pumbeditai utca emberének, azonban egészen biztosan nem ez a legizgalmasabb gondolat, amelyet a X. századi matematika megálmodott. Mégis ott van egy vallásos kontextusban.

Megtalálható egy időről szóló fejtegetés is, amely Akhilleusz és a teknősbéka paradoxonára emlékeztethet, amelyben azonban nem olyan destruktív a célja, mint Zénónnak, hanem az a pozitív példa, hogy bebizonyítsa a teremtést. Ha a világ nem volna teremtve, mondja Szádja, akkor az idő végtelen volna. De végtelen időn nem lehet áthaladni. Ekkor viszont a jelen pillanat nem jöhetett volna el. De a jelen pillanat világosan létezik. Tehát a világnak volt kezdete.

A II. Tanulmányban: arra a hitre vonatkozólag, hogy minden dolgok teremtője … egy, Szádja azzal kezdi Bevezetőjét, hogy azt mondja:

az adatok, amelyekből a tudományok kiindulnak, konkrétak, míg a célok, amelyekre törekszenek, absztraktak.

88. p.

…a tudományok alapelvei konkrétak.

79. p.

Ez egészen olyan, mintha egy modern tudós mondta volna, és az ember elgondolkodik, hogy ez a szellem vajon nem a modern fordító átértelmezése-e, aki a „nagy”-ot „konkrét”-nak, a „szép”-et „absztrakt”-nak fordítja. De én azt hiszem, hogy nem, mert abban a példában, amelyet Szádja később ad, világos, hogy ami „szép”, az kevésbé specifikus, általánosabb magyarázat, éppen ezért olyan magyarázat, amely képes párhuzamos jelenségek csoportjával foglalkozni, azaz absztrakt elmélet. Később ezt mondja:

A tudás létrájának utolsó foka a legabsztraktabb és legkifinomultabb az összes közül.

90. p.

…a végső ismeret a legelvontabb.

80. p.

Ez mind csak előjátéka annak, amit bizonygat, hogy Istent az absztrakció folyamán kell, sőt csak így lehet megérteni. Szádja Istene következésképpen nagyon absztrakt, nagyon intellektualizált. A modern matematika legnagyobb szabású programja az absztrakt program. Ez meglepetésként érheti a nem-matematikust, akinek számára a számok, pontok, vonalak, egyenletek már amúgy is eléggé absztraktak. De a matematikus számára, akinek a dolga már háromezer éve az, hogy eme objektumokkal foglalkozzék, ezek már egészen konkréttá váltak, és fontosnak találja, hogy további absztrakciós szinteket hozzon létre annak érdekében, hogy megfelelően meg tudja magyarázni ezeknek a prózaibb dolgoknak bizonyos közös vonásait. Ennek következtében keletkeztek az utóbbi száz évben olyan absztrakt struktúrák, mint a „csoportok”, „terek” és „kategóriák”, amelyek meglehetősen megszokott és egyszerű matematikai fogalmak általánosításai.

Absztraháló minőségében a matematikusnak folyamatosan olyan kérdéseket kell feltennie, mint „Mi a dolog lelke?”, „Mitől működik ez az eljárás?”, „Mi adja ennek a karakterisztikus jellegét?” Amikor már megtalálta a választ ezekre a kérdésekre, vizsgálhatja a döntő részeket önmagukban, és vakon függetlenítheti magát az egésztől.

Szádja nagyrészt ugyanezen az úton jut el Isten fogalmához. Több ezer év teológiai gyakorlatához kapcsolódik, és így kezd elvonatkoztatni:

a Teremtő fogalmának szükségképpen nehezebben megfoghatónak kell lennie a legnehezebben megfoghatónál, rejtélyesebbnek a legrejtélyesebbnél, absztraktabbnak a legabsztraktabbnál.

a Teremtő […] természete a megfoghatatlannál is megfoghatatlanabb, a legrejtettebbnél is rejtettebb, a legelvontabbnál is elvontabb, […]

81 előtt

Bár a testben van valami Istenből, Isten nem testi. Bár Istenből jelen van valami a mozgásban, a tér és idő véletlen eseményeiben, az érzelmekben vagy a kvalitásokban, Isten nem azonos ezekkel. Bár ezek a tulajdonságok lehetnek az Ő sajátságai, minthogy Ő örök, élő, mindenható, mindentudó, Ő maga a Teremtő, nem pedig hiábavaló stb. Szádja ezekből az attribútumokból absztrahálta Istent. Az Istenség úgy bukkan elő, mint kapcsolatok halmaza olyan dolgok között, amelyeknek egy része anyagi, más része szellemi, és ezek a kapcsolatok bizonyos axiomatikus követelmények alanyai. Amikor Szádja arra törekszik, hogy Istent egy absztrakciós folyamaton keresztül ismerje meg, nagyon matematikus Istent talál.

Végigjárva az Istenséget absztraháló programot, Szádja megkérdezi:

Hogyan lehetséges megalapozni ezt a fogalmat gondolatainkban, ha egyszer egyik érzékszervünkkel sem érzékeltük Őt soha?

131. p.

Azzal válaszol erre, hogy

Ez ugyanazon a módon történik, ahogy értelmünk felismeri annak lehetetlenségét, hogy bizonyos dolgok egyidőben létezzenek is meg nem is, bár érzékeinkkel ilyen helyzetet soha nem figyeltünk meg.

Vagyis rájövünk arra, hogy „A” és „nem A” nem létezhetnek együtt, annak ellenére, hogy esetleg soha nem tapasztaltuk sem „A”-t, sem „nem A”-t.

Kiegészíthetjük Szádja válaszát azzal, hogy rámutatunk: történhet ez egy absztrakciós folyamattal is, ahogyan egy absztrakt gráf sem egy labirintus, sem pedig egyszerű aritmetikai vagy geometriai ábrázolása egy labirintushelyzetnek, hanem a keresztezés és csatlakozás tulajdonságainak absztrahált lényege. Megfordítva, egy labirintus egy absztrakt gráf konkrét manifesztálódása.

A szélsőséges absztrakció jelenlegi irányzata tekintetében a matematikus társadalom megosztott. Vannak, akik azt mondják, hogy az absztrakció nagyon hasznos, sőt szükségszerű, de ha túl sok van belőle, elerőtlenít. Egy túlzottan absztrakt elmélet hamarosan érthetetlenné, (önmagában) érdektelenné válik, és lehet, hogy nem lesz ereje a megújulásra. A matematika motivációja, mindent összevetve, a „közönséges”-ből és nem a „tisztá”-ból jön. Kutatók, akik egy ultraabsztrakt programot visznek végig, gyakran szentelik erőfeszítéseik nagy részét annak, hogy egyenesbe hozzák annak a terminológiának zavarait, amelyet be kellett vezetniük, megmaradó erőfeszítéseiket pedig annak szentelik, hogy álcázott formában helyreállítsák azt, ami már egyszer megvolt sokkal ragyogóbb formában, ha egyszerűbben is. A túlzott absztrakció programjai gyakran járnak együtt hirdetőik fennhéjázó attitűdjével, és érzelmi alapokon elutasításra találhatnak, mert hidegek és zárkózottak.

Ugyanezek a korlátok vannak jelen Szádja Istenség-fogalmában is. Igazi természeténél fogva nem fogható fel, az értelemre hat, nem pedig az érzelmekre. Még az értelemnek is nehézséget okoz bánni vele. Van egy történet a matematikaprofesszorról, akinek az előadásai mindig nagyon elvontak voltak. Egy ilyen előadás közepén – éppen valamilyen tételt bizonyított – megakadt, ezért odament a tábla egyik csücskéhez, és nagyon zavartan rajzolt néhány geometria ábrát, amelyek egy konkrét reprezentációját adták annak, amiről éppen beszélt. Így tisztázta a dolgot, és vidáman haladt tovább a megkezdett úton – in abstracto. Szádja Istenség-fogalma ugyanebben a fogyatékosságban szenved. Támaszra van szüksége alulról. Mint a vallás gyakorlásának része, érzelmileg metaforákkal kell kiegészülnie. Szádja maga – úgy tűnik – tudatában volt ennek, és így sok időt töltött különböző Istenhez társított antropomorfizmusok tárgyalásával. Azután tesz egy kijelentést, amelyet az ultraabsztrakt programok támogatóinak emlékezetbe kellene vésniük!

Próbáltunk volna meg, amikor arra törekedtünk, hogy számot adjunk Istenről, ragaszkodni ahhoz, hogy csak szó szerint igaz kifejezéseket használjunk… semmi sem maradt volna, amit szabad lenne állítanunk, kivéve az Ő létezésének tényét.

118. p.

Szádja témái között szerepel még

…Isten unicitásának bizonyítása…

95. p.

…találtam olyan bizonyítékot, amely [Isten] egyedülvalóságát igazolja

is. E rész egész kifejtésének meglepően matematikai íze van. Az egyik alapvető matematikai tevékenység az „egzisztencia- és unicitástételek” bizonyítása. Egzisztenciatétel az, amely azt állítja, hogy bizonyos előre megadott megszorítások mellett ennek és ennek a problémának van megoldása. Ez sohasem magától értetődő a matematikában, minthogy sok olyan kérdés vetődik fel, amelynek nyilvánvalóan nincsen megoldása. A megkötések, amelyek mellett a problémát meg kell oldani, lehetnek túl szigorúak, a feltételek lehetnek belsőleg önellentmondóak. Ezért a matematikusnak szüksége van egzisztenciatételekre, amelyek biztosítják számára azt, hogy az a probléma, amelyről beszél, valóban megoldható. Egy ilyenfajta tételt gyakran nagyon nehéz megalapozni.

Ha Szádja egy modern matematikus hátterével lett volna teológus, tanulmányát biztosan Isten egzisztenciájának bizonyításával kezdte volna. Még Maimonidész (1135–1204) is megteszi ezt (bizonyos mértékig). Így a Misna Tóra I. könyvének I. fejezetében ezt mondja:

Az alapelv az, hogy van egy Első Lény, aki minden létező dolgot létrehozott, hiszen ha azt tételezzük fel, hogy Ő nem létezett, akkor egyáltalán semmi más sem létezhetett volna…

A matematikusi fülnek ez úgy hangzik, mint egy indirekt bizonyítás (egy gyakran használt módszer). Hogy a matematikus esetleg indíttatva érzi magát arra, hogy Maimonidész szillogizmusát nonsequitur-ként [„Nem következik”, azaz hibás érvelés.] minősítse, itt most lényegtelen.

De Szádja, amennyire én látom, nem követi ezt az utat. Isten létezése adott, azaz posztulált. Azután unicitását bizonyítja, később pedig az őt jellemző tulajdonságok az absztrakció és a bibliai szillogizmusok furcsa keverékén keresztül nyernek bizonyítást. Itt a görögök módszere összeolvad a zsidók hagyományával.

Ez most elvezet bennünket az „unicitástételek” kérdéséhez. Ahogy az egzisztenciatétel azt állítja, hogy ilyen és ilyen körülmények között egy problémának van megoldása, az unicitástétel azt állítja, hogy ilyen és ilyen körülmények között egy problémának nem lehet több, mint egy megoldása. Az „egy és csak egy megoldás” a matematikában gyakran hallható kifejezés. Sok erőfeszítést szentelnek az unicitástételek bizonyításának, minthogy épp oly fontosak, amilyen nehéz őket bebizonyítani. És tényleg, nyugodtan mondhatjuk, hogy a matematikusok dühödt hévvel igyekeznek ezeket igazolni.

Az unicitás jól meghatározott helyzetet von maga után, tökéletesen prediktívet. Ha nincs unicitás, akkor többértelműség, zűrzavar van. A matematika esztétikája az előbbit szereti, és menekül az utóbbi elől. Mégis sok olyan helyzet van, amikor szigorú értelemben vett unicitás nem lehetséges. De az unicitás iránti ellenállhatatlan vágy olyan erős, hogy a matematikusok kiagyalták a módját, hogyan nyomják el a többértelműséget: egy olyan absztrakcióval, amelyben azonosítják azokat az entitásokat, amelyeknek tulajdonságai közösek, és egy szuperentitást hoznak létre belőlük, amelyikre azután már teljesül az unicitás. Ez nem csupán lovaglás a szavakon, minthogy a többértelműségek sokkal érthetőbbekké válnak, ha ezzel a látszólag mesterséges eszközzel elnyomják őket. A deizmus unicitásra törekvése nagyrészt ugyanezen a módon magyarázható.

Szaádjában még tovább böngészve, gondoljuk át a következő idézetet, amely unicitás-bizonyításában bukkan fel:

Ha Ő több lenne, mint egy, akkor rá is vonatkoznának a számok kategóriái, és a testületeket irányító törvények.

És később:

Én azt mondom, hogy a mennyiség fogalma két dolgot kíván meg, amelyek közül egyik sem alkalmazható a Teremtőre.

Majd a mennyiség [kategóriáját] illetően azt mondom, hogy a mennyiség fogalmához két dologra van szükség, s [ezekből] egyik sem vonatkozhat a Teremtőre.

Kitűnik tehát, hogy Istent nem lehet kvantálni. Mégis, lehet Istenről vitatkozni, lehet Isten egy szillogizmus tárgya. Ez meglephet valakit, hasonlóan ahhoz a – nem egészen 150 éves – tényhez, hogy a matematika olyan fogalmakkal is dolgozhat, amelyek közvetlenül nem foglalnak magukban sem számokat, sem térbeli viszonyokat.

Mindent összevetve, Szádja Istenről szóló fejezetében megtaláljuk az elvonatkoztatás folyamatát és szillogizmus használatát, beleértve néhány érdekes logikai eszközt, mint pl. az „indirekt bizonyítás”-t. Ráadásul benne van még annak a központi szerepnek a felismerése is, amelyet egy elméletben az egzisztencia- és unicitás-tételeknek kell játszaniuk.

Székely J. Gábor fordítása

1987-ben jelent meg magyarul P. J. Davis és R. Hersh The Mathematical Experience című műve, Székely J. Gábor kitűnő fordításában. Miután Szádja Gáon teológiája, akkor még nem volt magyar nyelven hozzáférhető, a művéből vett idézetek a The Book of Beliefs and Opinions című angol nyelvű kiadásból származnak és az oldalszámok is arra vonatkoznak. Azonban 2005-ben, megjelent a Hittételek és vélemények könyvének magyar fordítása – Hegedűs Gyöngyi munkája –, az eredeti judeo–arab (héber betűkkel írt klasszikus arab) szöveg alapján. Ez az oka annak, hogy a Szádjától származó idézetek két változatban olvashatóak, melyek közül a második, mindig a teológia magyar nyelvű kiadásából származik. – A szerk.

Jegyzet

A Hittételek és vélemények könyve a középkori zsidó filozófiai gondolkodás első szisztematikus összefoglalása. A X. századi Bagdadban keletkezett, mely a Marokkótól Indiáig terjedő Iszlám birodalom politikai és kulturális központja, korának legnagyobb világvárosa volt. A mű kettős céllal íródott: egyrészt a korabeli vallási viták légkörében a zsidó hit védői számára kívánt racionális alapú érvrendszert kidolgozni, másrészt a zsidó vallás arculatát a belső véleménykülönbségekkel szemben próbálta meg egységesíteni. A könyv szerzője, Szádja ibn Juszuf al-Fájjum, 882-ben született Egyiptomban. 962-ben, annak ellenére, hogy nem tartozott a helyi arisztokráciába, szúrai akadémia vezetőjévé (gáon) nevezik ki, mely a talmudi idők óta a zsidó tudományosság fellegvárának számított a diaszpórában. Fő műve, A hittételek és vélemények könyve 933-ban, Bagdadban keletkezett.

Forrás

Philip J. Davis–Reuben Hersh: A matematika élménye (The Mathematical Experience). A bevezetést írta Gian-Carlo Rota. Fordította Székely J. Gábor. Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1984. 132–137. p.