Megkerülhetetlen matematika

matematika, geometria, elhelyezési problémák

Az alábbi idézet szerzője természettudós, Sigmund Freudhoz hasonló „nyomot hagyó”. Művének birtokomban lévő 1906-os kiadása egy Popular Classics sorozat részeként jelent meg. Magyar fordítója így jellemzi a kötetet: „Időm nem kis részében olvasással és írással foglalkozó ember lévén, sokféle szöveg megfordul a kezeim között. Keveset forgattam közülük olyan élvezettel, mint ezt a munkát. Remekmű ez mindenféle tekintetben: a stiláris világosságban és a szabatos fogalmazásban éppúgy, mint gondolati eredetiségét tekintve. A szerző stílusának feszességét és gondolatainak elemző világosságát a szövegben található, máshonnan vett idézetekkel való összehasonlítás, vagy más viktoriánus szövegek alapján értékelhetjük csak igazán.”

szóelválasztás

A mézelő méh sejtépítő ösztöne

Ezzel a témával kapcsolatban nem fogok apró részletekbe bocsátkozni, csupán röviden ismertetem, amire jutottam. Az hiszem, egészen érzéketlen ember lehet, aki képes lelkes csodálat nélkül vizsgálni a lép finom szerkezetét, amely gyönyörűen alkalmazkodott a maga céljához. A matematikusoktól azt halljuk, hogy a méhek gyakorlati megoldást adtak egy igen nehéz problémára: a lép sejtjeit a lehető legkevesebb értékes viasz felhasználásával olyan alakúra készítik, hogy azok ugyanakkor a lehető legnagyobb mennyiségű mézet fogadják be. Azt is megjegyezték már, hogy még egy megfelelő szerszámokkal és mérőeszközökkel felszerelt ügyes mesterember is nehezen tudná elkészíteni a megfelelő alakú viaszsejteket, holott a méhek csapata a sötét kasban is képes erre. Bármilyen ösztönöket tételezzünk is fel náluk, először teljesen felfoghatatlannak tűnik, hogyan dolgozzák ki a szükséges szögeket és lapokat, vagy egyáltalán hogyan érzékelik, hogy helyesen készítették-e el ezeket. A probléma azonban korántsem olyan nagy, mint amekkorának az első pillantásra tetszik. Úgy vélem, megmutatható, hogy az egész gyönyörű munka néhány egyszerű ösztön eredménye.

A kérdés vizsgálatára Waterhouse úr ösztönzött, aki rámutatott, hogy a sejt alakja szoros kapcsolatban áll a szomszédos sejtek jelenlétével. Ezért az alább kifejtendő nézet talán nem is tekinthető másnak, mint az ő elmélete módosításának. Gondoljunk most a fokozatosság nagyszerű elvére, és nézzük meg, hogy vajon maga a természet nem fedi-e fel előttünk a munkamódszerét. Egy rövid sorozat egyik végén vannak a poszméhek, amelyek legtöbbször a régi gubóikat használják a méz tárolására, úgy, hogy ezekhez néha rövid viaszcsöveket is hozzátoldanak; máskor különálló, igen szabálytalan alakú, kerekded viaszsejteket készítenek. A sor másik végén találhatók a mézelő méh sejtjei, amelyek kettős sorban helyezkednek el; mint közismert, minden egyes sejt egy-egy hatszögű hasábot alkot, amelynek alsó élei egy három rombusz alkotta fordított piramishoz csatlakoznak. Ezek a rombuszok éppen megfelelő szögekkel rendelkeznek, és így az egyik sejt piramidális alapját szolgáltató három rombusz a lép másik oldalán három másik, egymással szomszédos sejt alapjául is szolgál. A mézelő méh rendkívül tökéletes sejtjei és a poszméh egyszerű sejtjei közötti mezőben találjuk a mexikói Melipona domestica sejtjeit, amelyeket Pierre Huber pontosan leírt és lerajzolt. A Melipona testi felépítése is köztes alakot foglal el a mézelő méh és a poszméh között, de közelebbi rokona az utóbbinak. Hengeres sejtekből csaknem szabályos viaszlépet készít, ahol a fiatalok kikelnek, ezenfelül néhány nagy sejtet is létrehoz a méz tárolására. Az utóbbi sejtek majdnem gömb alakúak és csaknem egyforma nagyok; szabálytalan tömeggé tapadnak össze. A legfontosabb azonban az, hogy ezeket a sejteket mindig olyan közel építik egymáshoz, hogy ha egészen pontosan gömb alakúak lennének, metszenék vagy áttörnék egymást. Ez azonban sohasem következik be, mert a méhek ott, ahol a gömbök egymást metszenék, egyenes viaszfalakat építenek közéjük. Így aztán minden egyes sejt egy külső, gömb alakú részből és két, három, vagy még több lapos felületből áll, attól függően, hogy az adott sejt két, három vagy több másikkal érintkezik. Ha egy sejt három másikhoz kapcsolódik (és minthogy a gömbök közel azonos méretűek, ez szükségképpen gyakran megesik), akkor azt találjuk, hogy a három lapos felület egy piramisban egyesül. Ez a piramis, mint Huber megjegyezte, nyilvánvalóan a mézelő méh sejtjeinek alapjánál található háromoldalú gúla durva utánzata. Akárcsak a mézelő méh sejtjeinél, egy sejt három sík felülete itt is szükségképpen három szomszédos sejt szerkezetének lesz a része. Nyilvánvaló az is, hogy a Melipona ezt az építési módot követve a viasszal, és ami még ennél is fontosabb, a munkával takarékoskodik. A szomszédos sejtek közötti lapos falak ugyanis nem duplák. Vastagságuk megegyezik a gömbi részekével, ám minden egyes síklap két sejtnek is a részét alkotja. Amikor ezen eltűnődtem, eszembe jutott, hogy ha a Melipona a gömbölyű sejtjeit egymástól egy bizonyos megadott távolságra és pontosan egyforma nagyságúra építette volna, továbbá, ha kettős rétegben, szimmetrikusan helyezte volna el, akkor az eredményül adódó struktúra ugyanolyan tökéletes lenne, mint a mézelő méh lépje. Írtam is Cambridge-be Miller professzornak, a geometria tudósának, aki volt szíves átolvasni az – ő felvilágosításai alapján fogalmazott – itt következő állításokat, és közölte, hogy azok teljesen helytállóak.


Ha nagyszámú egyforma gömböt úgy illesztünk egymáshoz, hogy a középpontjaik két párhuzamos síkban feküdjenek, továbbá minden egyes gömb középpontja r-szer négyzetgyök kettő (vagyis sugár szorozva négyzetgyök kettő) távolságraa, vagy ennél kisebbre van az ugyanabban a rétegben lévő hat szomszédos gömb középpontjától, és ugyanekkora távolságra a másik párhuzamos síkban lévő további szomszédos gömbök középontjától, akkor, ha mindkét rétegben megrajzoljuk az összes gömb metszősíkjait, hatszög alakú hasábok kettős rétegét kapjuk, amelyeket az alapjuknál három rombusz alkotta piramisok kötnek össze.

  • aHelyesen: négyzetgyök három; megrajzolva látszik, hogy 2cos30°” – A fordító jegyzete.